Puchkova N.V.
Nơi làm việc, chức vụ:
Trường THCS MBU số 67, giáo viên toán
vùng Khabarovsk
Đặc điểm tài nguyên
Trình độ học vấn:
Giáo dục phổ thông cơ bản
Các lớp học):
Mặt hàng):
Đại số học
Các đối tượng mục tiêu:
Học sinh (sinh viên)
Các đối tượng mục tiêu:
Giáo viên (giáo viên)
Loại tài nguyên:
Tài liệu giáo khoa
Mô tả ngắn gọn về tài nguyên:
Tổng quát hóa các kỹ thuật tìm tập giá trị của các hàm khác nhau.
Tổng quát hóa các phương pháp tìm kiếm khác nhau
tập hợp các giá trị của các hàm khác nhau.
Puchkova Natalya Viktorovna,
giáo viên dạy toán trường THCS MBU số 6
Lễ tân 1.
Tìm tập hợp các giá trị của hàm từ biểu đồ của nó.
Lễ tân 2.
Tìm tập hợp các giá trị của hàm bằng đạo hàm của nó.
Lễ tân 3.
Tuần tự tìm tập giá trị của các hàm có trong một nhóm cho trước
vị trí của các hàm (một phương pháp tìm từng bước một tập hợp các giá trị của hàm).
Bài tập 1.
Tìm tập giá trị của hàm y = 4 - sinx.
Biết hàm y = sinx nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 rồi sử dụng tính chất
bất đẳng thức ta tìm được -1 sinx 1
Điều này có nghĩa là hàm y = 4 - sinx có thể lấy tất cả các giá trị không nhỏ hơn 3 và không lớn hơn 5.
Tập hợp các giá trị E(y) = .
Trả lời: .
Lễ tân 4.
Biểu diễn x theo y. Chúng ta thay thế việc tìm tập hợp các giá trị của hàm đã cho bằng cách tìm
bằng cách chia miền định nghĩa của một hàm nghịch đảo cho một hàm cho trước.
Nhiệm vụ 2.
Biểu diễn x theo y: x 2 y + 3y = x 2 + 2
x 2(y - 1) = 2 - 3y.
1 trường hợp: nếu y - 1 = 0 thì phương trình x 2 + 3 = x 2 + 2 không có nghiệm. Chúng tôi nhận được rằng chức năng
Hàm y không nhận giá trị bằng 1.
Trường hợp 2: nếu y -10 thì. Kể từ đó. Giải bất đẳng thức này
sử dụng phương pháp khoảng, chúng tôi nhận được<1.
Lễ tân 5.
Đơn giản hóa công thức xác định hàm hữu tỉ phân số.
Nhiệm vụ 3.
Tìm tập hợp các giá trị của hàm.
Các miền định nghĩa của hàm số và y = x - 4 là khác nhau (khác nhau ở một điểm
điểm x = 0). Hãy tìm giá trị của hàm số y = x - 4 tại điểm x = 0: y(0) = - 4.
E(x - 4) = (). Các tập giá trị hàm và y = x - 4 sẽ là
trùng nhau nếu giá trị y = - 4 bị loại khỏi tập giá trị y = x - 4.
Lễ tân 6.
Tìm tập giá trị của hàm bậc hai (bằng cách tìm ver-
bus của một parabol và thiết lập bản chất hoạt động của các nhánh của nó).
Nhiệm vụ 4.
Tìm tập giá trị của hàm y = x 2 - 4x + 3.
Đồ thị của hàm này là một parabol. Trục hoành của đỉnh x ở = .
Tọa độ của đỉnh y в = y(2) = - 1.
Các nhánh của parabol hướng lên trên vì hệ số dẫn lớn hơn 0 (a=1>0).
Vì hàm số liên tục nên nó có thể nhận mọi giá trị của y. Một loạt
các giá trị của hàm này: E(y) = [ - 1; ).
Trả lời 1; ).
Lễ tân 7.
Giới thiệu góc phụ để tìm tập hợp các giá trị lượng giác
các hàm số học.
Kỹ thuật này được sử dụng để tìm tập hợp các giá trị của một số lượng giác
các hàm số liệu. Ví dụ: dạng y = a sinx + b cosx hoặc y = a sin(px) + b cos(px),
nếu a0 và b0.
Nhiệm vụ 5.
Tìm tập giá trị của hàm y = 15sin 2x + 20cos 2x.
Hãy tìm giá trị. Hãy biến đổi biểu thức:
15sin 2x + 20cos 2x =25,
Tập hợp các giá trị của hàm y = sin(2x +) : -11.
Khi đó tập hợp các giá trị của hàm y = 25sin(2x +): E(y) = [ - 25;25].
Đáp án: [ - 25;25].
Nhiệm vụ 6.
Tìm tập hợp các giá trị của hàm số: a) ; b) y = sin5x - cos5x;
V) ; d) y = 4x 2 + 8x + 10; d) ; đ).
Giải pháp a).
a) biểu diễn x qua y:
6x + 7 = 3y - 10xy
x(6 + 10y) = 3y - 7.
Nếu 6 + 10y = 0 thì y = - 0,6. Thay thế giá trị này của y vào phương trình cuối cùng, chúng ta nhận được:
0 x = - 8,8. Phương trình này không có nghiệm, có nghĩa là hàm số không nhận một giá trị
Nếu 6 + 10y 0 thì. Miền xác định của phương trình này là R, ngoại trừ y = - 0,6.
Chúng ta nhận được: E(y) =.
Giải pháp b).
b) tìm giá trị và biến đổi biểu thức: .
Có tính đến tập hợp các giá trị hàm, chúng ta thu được: E(y) =. Chức năng này không
không liên tục nên sẽ lấy tất cả các giá trị từ khoảng này.
Giải pháp c).
c) Xét rằng, theo tính chất của các bất đẳng thức, ta có:
Do đó, E(y) = .
Giải pháp d).
d) bạn có thể sử dụng phương pháp được đề xuất trong kỹ thuật 6 hoặc bạn có thể chọn một hình vuông hoàn chỉnh:
4x2 + 8x + 10 = (2x + 1) 2 + 9.
Các giá trị y = (2x + 1) 2 thuộc khoảng b) [ -45º; 45° ], c) [ - 180° ; 45°].
a) vì trong quý 1 hàm y = cosx liên tục và giảm dần, có nghĩa là đối số lớn hơn
ment tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm, tức là , nếu 30°45° thì hàm số
lấy tất cả các giá trị từ khoảng.
Trả lời: E(y) = .
b) trong khoảng [-45°; 45°] hàm số y = cosx không đơn điệu. Hãy xem xét
hai khoảng trắng: [ -45º ; 0° ] và [ 0° ; 45°]. Vào khoảng đầu tiên trong số này, hàm số
y = cosx liên tục và tăng, còn ở giây thứ hai nó liên tục và giảm. Chúng tôi hiểu điều đó
tập hợp các giá trị trên khoảng đầu tiên, trên khoảng thứ hai.
Trả lời: E(y) = .
c) lý luận tương tự có thể được sử dụng trong trường hợp này. Mặc dù vậy chúng tôi sẽ làm điều đó
hợp lý hơn: hãy chiếu cung MPN lên trục x.
Do tính liên tục của hàm số ta thu được tập giá trị của hàm y = cosx
tại x [ - 180° ; 45º ] có khoảng cách [ - 1;1 ].
Trả lời: [ - 1;1 ].
Nhiệm vụ cho giải pháp độc lập.
Nhóm A.
Đối với mỗi nhiệm vụ trong nhóm này, 4 phương án trả lời được đưa ra. Chọn số câu trả lời đúng.
1. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
1)[-2;2] 2)[-1;1] 3)() 4)(-2;2)
2. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
3. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
1) [-2;2] 2) 3) 4) [-1;1]
4. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
1) [-1;1] 2) 3) 4) ()
5. Tìm tập giá trị của hàm y = sinx trên đoạn thẳng.
1) 2) 3) 4) [-1;1]
6. Tìm tập giá trị của hàm y = sinx trên đoạn thẳng.
1) 2) 3) 4) [-1;1]
7. Tìm tập giá trị của hàm y = sinx trên đoạn thẳng.
1) 2) 3) [-1;1] 4)
8. Tìm tập giá trị của hàm y = sinx trên đoạn thẳng.
1) 2) 3) [-1;1] 4)
9. Tập giá trị hàm là khoảng:
1) 3)(- 5;1) 4)(0;1)
12. Chỉ định hàm giảm trên toàn bộ miền định nghĩa.
1) 2) 3) 4) y = x - 1.
13. Chỉ định phạm vi của chức năng.
1) 2)(0;1) 3) 4)
Nhóm B.
Đáp án trong nhiệm vụ của nhóm này có thể là số nguyên hoặc số viết dưới dạng thập phân.
phân số.
14. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của hàm số y = 3x 2 - x + 5 trên đoạn [ 1; 2].
15. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của hàm số y = - 4x 2 + 5x - 8 trên đoạn [ 2; 3].
16. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của hàm y = - x 2 + 6x - 1 trên đoạn [ 0; 4 ].
17. Xác định số nguyên nhỏ nhất có trong miền của hàm số
18. Cho biết miền hàm chứa bao nhiêu số nguyên.
19. Tìm độ dài của khoảng xác định của hàm số.
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
21. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
22. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
24. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
25. Tập giá trị của hàm y = sin 2 x + sinx chứa bao nhiêu số nguyên?
26. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
27. Tập giá trị hàm chứa bao nhiêu số nguyên?
28. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng.
29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng.
30. Hàm số không đạt tới giá trị nào với bất kỳ giá trị nào của x?
31. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của hàm số.
32. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của hàm số.
33. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Nhóm C
Giải quyết các nhiệm vụ sau đây với đầy đủ lý do cho quyết định của bạn.
35. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
36. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
37. Tìm tập hợp các giá trị hàm.
38. Tìm tập hợp các giá trị của hàm.
39. Tại những giá trị nào hàm số y = x 2 + (- 2)x + 0,25 không nhận giá trị âm?
40. Với những giá trị nào thì hàm y = ·cosx + sinx - ·sinx sẽ chẵn?
41. Tại giá trị nào hàm y = ·cosx + sinx - ·sinx sẽ lẻ?
Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ chuyển sang một trong những khái niệm cơ bản của toán học - khái niệm hàm số; Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn một trong các thuộc tính của hàm - tập hợp các giá trị của nó.
Trong các lớp học
Giáo viên. Trong khi giải quyết vấn đề, chúng tôi nhận thấy rằng đôi khi việc tìm tập hợp các giá trị của hàm sẽ khiến chúng tôi rơi vào tình huống khó khăn. Tại sao? Có vẻ như, đã nghiên cứu một hàm số từ lớp 7, chúng ta đã biết khá nhiều về nó. Vì vậy, chúng ta có mọi lý do để chủ động hành động. Hôm nay chúng ta cùng “chơi” với nhiều giá trị hàm để trả lời nhiều câu hỏi về chủ đề này trong kỳ thi sắp tới nhé.
Tập giá trị của các hàm cơ bản
Giáo viên. Trước tiên, bạn cần lặp lại các đồ thị, phương trình và tập giá trị của các hàm cơ bản cơ bản trong toàn bộ miền định nghĩa.
Đồ thị của các hàm được chiếu lên màn hình: tuyến tính, bậc hai, phân số hữu tỷ, lượng giác, hàm mũ và logarit, đối với mỗi hàm số, một tập hợp các giá trị được xác định bằng miệng. Thu hút sự chú ý của học sinh về hàm tuyến tính E(f) = R hoặc một số, cho tuyến tính phân số
Đây là bảng chữ cái của chúng tôi. Bằng cách bổ sung thêm kiến thức về các phép biến đổi đồ thị: dịch song song, kéo dãn, nén, phản xạ, chúng ta sẽ giải được các bài toán của phần 1 Kỳ thi Thống nhất thậm chí còn khó hơn một chút. Hãy cùng kiểm tra nào.
Làm việc độc lập
bạn Các thuật ngữ bài toán và hệ tọa độ được in cho mỗi học sinh.
1. Tìm tập giá trị hàm trên toàn miền định nghĩa:
MỘT) y= 3 tội lỗi X ;
b) y = 7 – 2 X
;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)
2. Tìm tập giá trị hàm y = x 2 ở giữa J, Nếu như:
MỘT) J = ;
b) J = [–1; 5).
3. Xác định hàm một cách giải tích (bằng phương trình), nếu tập hợp các giá trị của nó là:
1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] và f(x) - chức năng
a) bậc hai,
b) logarit,
c) mang tính trình diễn;
2) E(f(x)) = R \{7}.
Khi thảo luận một nhiệm vụ 2làm việc độc lập, thu hút sự chú ý của học sinh về thực tế rằng, trong trường hợp hàm số đơn điệu và liên tục=f(x)tại một khoảng thời gian nhất định[Một;b],nhiều ý nghĩa của nó-khoảng thời gian,đầu của nó là các giá trị của f(Một)và f(b).
Tùy chọn trả lời cho nhiệm vụ 3.
1.
MỘT) y = –x 2 + 2 , y = –(x
+ 18) 2 + 2,
y= Một(x – x c) 2 + 2 tại MỘT < 0.
b) y= –| nhật ký 8 x | + 2,
V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.
2.
a) b)
V) y = 12 – 5x, Ở đâu x ≠ 1 .
Tìm nhiều giá trị của hàm bằng đạo hàm
Giáo viên. Ở lớp 10, chúng ta đã làm quen với thuật toán tìm cực trị của hàm số liên tục trên một đoạn thẳng và tìm tập giá trị của nó mà không cần dựa vào đồ thị của hàm số. Hãy nhớ chúng ta đã làm điều này như thế nào? ( Sử dụng đạo hàm.) Hãy nhớ thuật toán này .
1. Đảm bảo chức năng y = f(x) được xác định và liên tục trên đoạn J = [Một; b]. 2. Tìm các giá trị của hàm ở hai đầu đoạn: f(a) và f(b). Bình luận. Nếu chúng ta biết rằng hàm số liên tục và đơn điệu trên J, thì bạn có thể trả lời ngay: E(f) = [f(Một); f(b)] hoặc E(f) = [f(b); f(MỘT)]. 3. Tìm đạo hàm rồi tìm điểm tới hạn xkJ. 4. Tìm các giá trị của hàm số tại điểm tới hạn f(xk). 5. So sánh giá trị hàm f(Một), f(b) Và f(xk), chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm và đưa ra đáp án: E(f)= [f tên; f ngây thơ]. |
Các vấn đề liên quan đến việc sử dụng thuật toán này được tìm thấy trong các phiên bản của Kỳ thi Thống nhất. Ví dụ, năm 2008 một nhiệm vụ như vậy đã được đề xuất. Bạn phải giải quyết nó Nhà .
Nhiệm vụ C1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2
tại | x + 1| ≤ 3.
Điều kiện bài tập về nhà được in cho từng học sinh .
Tìm tập hợp các giá trị của hàm phức
Giáo viên. Phần chính của bài học của chúng ta sẽ là các bài toán phi chuẩn chứa các hàm phức tạp, đạo hàm của chúng là những biểu thức rất phức tạp. Và chúng ta chưa biết đồ thị của các hàm này. Do đó, để giải, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa của hàm phức, tức là sự phụ thuộc giữa các biến theo thứ tự lồng của chúng trong một hàm nhất định và ước tính phạm vi giá trị của chúng (khoảng thay đổi trong các giá trị). Những vấn đề thuộc loại này được tìm thấy trong phần thứ hai của Kỳ thi Thống nhất. Hãy xem xét một số ví dụ.
Bài tập 1.Đối với chức năng y = f(x) Và y = g(x) viết hàm phức y = f(g(x)) và tìm tập giá trị của nó:
MỘT) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = tội lỗi x;
b) f(x) = –x 2 + 2x +
3, g(x) = log 7 x;
V)
g(x) = x 2 + 1;
G)
Giải pháp. a) Hàm phức có dạng: y= –sin 2 x+ 2sin x + 3.
Giới thiệu một lập luận trung gian t, chúng ta có thể viết hàm này như thế này:
y= –t 2 + 2t+ 3, ở đâu t= tội lỗi x.
Ở chức năng nội tại t= tội lỗi xđối số nhận bất kỳ giá trị nào và tập hợp các giá trị của nó là phân đoạn [–1; 1].
Vì vậy, đối với chức năng bên ngoài y = –t 2 +2t+ 3 ta đã tìm ra khoảng thay đổi giá trị của đối số của nó t: t[-1; 1]. Hãy nhìn vào đồ thị của hàm số y = –t 2 +2t + 3.
Chúng tôi lưu ý rằng hàm bậc hai tại t[-1; 1] lấy giá trị nhỏ nhất và lớn nhất ở cuối của nó: y tên = y(–1) = 0 và y naib = y(1) = 4. Và vì hàm số này liên tục trên đoạn [–1; 1], thì nó chấp nhận tất cả các giá trị giữa chúng.
Trả lời: y .
b) Sự kết hợp của các hàm này dẫn chúng ta đến một hàm phức tạp mà sau khi đưa vào một đối số trung gian, có thể được biểu diễn như sau:
y= –t 2 + 2t+ 3, ở đâu t= nhật ký 7 x,
Chức năng t= nhật ký 7 x
x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).
Chức năng y = –t 2 + 2t+ Đối số 3 (xem biểu đồ) t nhận bất kỳ giá trị nào và bản thân hàm bậc hai nhận tất cả các giá trị không quá 4.
Trả lời: y (–∞ ; 4].
c) Hàm phức có dạng sau:
Giới thiệu một đối số trung gian, chúng tôi nhận được:
Ở đâu t = x 2 + 1.
Vì đối với chức năng bên trong x R , MỘT t .
Trả lời: y (0; 3].
d) Tổ hợp của hai hàm này cho ta một hàm phức
có thể được viết là
thông báo rằng
Vì vậy, khi
Ở đâu k Z , t [–1; 0) (0; 1].
Bằng cách vẽ đồ thị của hàm số chúng ta thấy điều đó với những giá trị này t
y(–∞ ; –4] c ;
b) trong toàn bộ khu vực định nghĩa.
Giải pháp.Đầu tiên, chúng ta kiểm tra tính đơn điệu của hàm này. Chức năng t= arcctg x- liên tục và giảm dần R và tập hợp các giá trị của nó (0; π). Chức năng y= nhật ký 5 tđược xác định trên khoảng (0; π), liên tục và tăng trên khoảng đó. Điều này có nghĩa là hàm phức này giảm trên tập R . Và nó, với tư cách là thành phần của hai hàm số liên tục, sẽ liên tục trên R .
Hãy giải quyết vấn đề "a".
Vì hàm số liên tục trên toàn bộ trục số nên nó liên tục trên bất kỳ phần nào của nó, đặc biệt là trên một đoạn cho trước. Và sau đó nó có các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên đoạn này và lấy tất cả các giá trị giữa chúng:
f(4) = log 5 arcctg 4.
Giá trị kết quả nào lớn hơn? Tại sao? Và tập hợp các giá trị sẽ là gì?
Trả lời: 
Hãy giải quyết vấn đề "b".
Trả lời: Tại(–∞ ; log 5 π) trên toàn bộ khu vực định nghĩa.
Vấn đề với một tham số
Bây giờ chúng ta hãy thử tạo và giải một phương trình đơn giản với tham số có dạng f(x) = Một, Ở đâu f(x) - chức năng tương tự như ở bài 4.
Nhiệm vụ 5. Xác định số nghiệm của phương trình log 5 (arcctg x) = MỘT cho mỗi giá trị tham số MỘT.
Giải pháp. Như chúng ta đã trình bày ở nhiệm vụ 4, hàm Tại= log 5(arcctg x) - giảm và liên tục trên R và nhận các giá trị nhỏ hơn log 5 π. Thông tin này đủ để đưa ra câu trả lời.
Trả lời: Nếu như MỘT < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;
Nếu như MỘT≥ log 5 π thì không có nghiệm.
Giáo viên. Hôm nay chúng ta đã xem xét các vấn đề liên quan đến việc tìm tập hợp các giá trị của hàm. Theo con đường này, chúng tôi đã phát hiện ra một phương pháp mới để giải phương trình và bất phương trình - phương pháp ước lượng, vì vậy việc tìm tập hợp các giá trị hàm trở thành một phương tiện để giải các bài toán cấp cao hơn. Khi làm như vậy, chúng ta đã thấy các vấn đề như vậy được xây dựng như thế nào và các tính chất đơn điệu của hàm số tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải quyết chúng như thế nào.
Và tôi hy vọng rằng logic kết nối các nhiệm vụ được thảo luận hôm nay sẽ khiến bạn ngạc nhiên hoặc ít nhất là làm bạn ngạc nhiên. Không thể khác được: việc leo lên một đỉnh cao mới không ai có thể thờ ơ! Chúng tôi chú ý và đánh giá cao những bức tranh, tác phẩm điêu khắc đẹp, v.v. Nhưng toán học cũng có vẻ đẹp riêng, hấp dẫn và mê hoặc - vẻ đẹp của logic. Các nhà toán học nói rằng một lời giải đẹp thường là một lời giải đúng, và đây không chỉ là một cụm từ. Bây giờ bạn phải tự mình tìm ra những giải pháp như vậy và ngày nay chúng tôi đã chỉ ra một trong những con đường dẫn đến chúng. Chúc bạn may mắn! Và hãy nhớ: người đi sẽ làm chủ con đường!
Chức năng y=f(x) là sự phụ thuộc của biến y vào biến x, khi mỗi giá trị hợp lệ của biến x tương ứng với một giá trị duy nhất của biến y.
Miền định nghĩa hàm D(f) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của biến x.
Phạm vi chức năng E(f) là tập hợp tất cả các giá trị được chấp nhận của biến y.
Đồ thị của hàm số y=f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tọa độ thỏa mãn một sự phụ thuộc hàm cho trước, tức là các điểm có dạng M (x; f(x)). Đồ thị của hàm số là một đường thẳng nhất định trên mặt phẳng.
Nếu b=0 , thì hàm sẽ có dạng y=kx và sẽ được gọi tỷ lệ trực tiếp.
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
Đồ thị của hàm số tuyến tính là một đường thẳng.
Độ dốc k của đường thẳng y=kx+b được tính theo công thức sau:
k= tan \alpha, trong đó \alpha là góc nghiêng của đường thẳng so với chiều dương của trục Ox.
1) Hàm số tăng đơn điệu với k > 0.
Ví dụ: y=x+1
2) Hàm số giảm đơn điệu theo k< 0 .
Ví dụ: y=-x+1
3) Nếu k=0, thì cho b giá trị tùy ý, chúng ta thu được một họ đường thẳng song song với trục Ox.
Ví dụ: y=-1
Tỷ lệ nghịch đảo
Tỷ lệ nghịch đảođược gọi là hàm có dạng y=\frac (k)(x), trong đó k là số thực khác 0
D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).
Đồ thị hàm số y=\frac (k)(x) là một sự cường điệu.
1) Nếu k > 0 thì đồ thị của hàm số sẽ nằm ở phần tư thứ nhất và thứ ba của mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ: y=\frac(1)(x)
2) Nếu k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Ví dụ: y=-\frac(1)(x)
Chức năng nguồn
Chức năng nguồn là hàm có dạng y=x^n, trong đó n là số thực khác 0
1) Nếu n=2 thì y=x^2. D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in; chu kì chính của hàm số T=2 \pi
Thông thường, khi giải bài toán, chúng ta phải tìm nhiều giá trị của hàm trên một miền định nghĩa hoặc một đoạn. Ví dụ, điều này cần được thực hiện khi giải các loại bất đẳng thức khác nhau, đánh giá các biểu thức, v.v.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Trong tài liệu này, chúng tôi sẽ cho bạn biết phạm vi giá trị của hàm là gì, đưa ra các phương pháp chính để tính hàm đó và phân tích các vấn đề có mức độ phức tạp khác nhau. Để rõ ràng, các điều khoản riêng lẻ được minh họa bằng đồ thị. Sau khi đọc bài viết này, bạn sẽ hiểu toàn diện về phạm vi của một hàm.
Hãy bắt đầu với các định nghĩa cơ bản.
Định nghĩa 1
Tập các giá trị của hàm y = f(x) trên một khoảng x nhất định là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm này lấy khi lặp qua tất cả các giá trị x ∈ X.
Định nghĩa 2
Phạm vi giá trị của hàm y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của nó mà nó có thể lấy khi tìm kiếm qua các giá trị của x từ phạm vi x ∈ (f).
Phạm vi giá trị của một hàm nhất định thường được ký hiệu là E (f).
Xin lưu ý rằng khái niệm tập hợp các giá trị của hàm không phải lúc nào cũng giống với phạm vi giá trị của nó. Các khái niệm này sẽ chỉ tương đương nếu khoảng giá trị của x khi tìm một tập giá trị trùng với miền định nghĩa của hàm.
Điều quan trọng nữa là phải phân biệt giữa phạm vi giá trị và phạm vi giá trị chấp nhận được của biến x cho biểu thức ở vế phải y = f(x). Khoảng giá trị cho phép x của biểu thức f(x) sẽ là miền định nghĩa của hàm này.
Dưới đây là hình minh họa cho thấy một số ví dụ. Đường màu xanh lam là đồ thị hàm số, đường màu đỏ là đường tiệm cận, điểm và đường màu đỏ trên trục tọa độ là phạm vi hàm số.
Rõ ràng, có thể thu được phạm vi giá trị của một hàm bằng cách chiếu đồ thị của hàm lên trục O y. Hơn nữa, nó có thể biểu thị một số hoặc một tập hợp các số, một đoạn, một khoảng, một tia mở, một tập hợp các khoảng số, v.v.
Chúng ta hãy xem xét các cách chính để tìm phạm vi giá trị của hàm.
Hãy bắt đầu bằng cách xác định tập hợp các giá trị của hàm liên tục y = f (x) trên một đoạn nhất định được ký hiệu là [ a ; b] . Chúng ta biết rằng một hàm liên tục trên một đoạn nhất định sẽ đạt cực tiểu và cực đại trên đó, tức là m a x x ∈ a ; b f(x) và giá trị nhỏ nhất m i n x ∈ a ; bf(x) . Điều này có nghĩa là chúng ta có được đoạn m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , sẽ chứa các tập hợp giá trị của hàm ban đầu. Sau đó, tất cả những gì chúng ta cần làm là tìm điểm tối thiểu và tối đa được chỉ định trên đoạn này.
Hãy xét một bài toán trong đó chúng ta cần xác định khoảng giá trị arcsine.
ví dụ 1
Tình trạng: tìm khoảng giá trị y = a r c sin x .
Giải pháp
Trong trường hợp tổng quát, miền định nghĩa của arcsine nằm trên đoạn [ - 1 ; 1] . Chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm được chỉ định trên đó.
y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2
Ta biết rằng đạo hàm của hàm số sẽ dương với mọi giá trị của x nằm trong khoảng [ - 1 ; 1 ], nghĩa là trong toàn bộ miền định nghĩa, hàm arcsine sẽ tăng. Điều này có nghĩa là nó sẽ lấy giá trị nhỏ nhất khi x bằng -1 và giá trị lớn nhất là khi x bằng 1.
m i n x ∈ - 1 ; 1 arc sin x = arc sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 arc sin x = arc sin 1 = π 2
Như vậy, phạm vi giá trị của hàm arcsine sẽ bằng E (ar c sin x) = - π 2; π 2.
Trả lời: E (ar c sin x) = - π 2 ; π 2
Ví dụ 2
Tình trạng: tính khoảng giá trị y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 trên khoảng đã cho [ 1 ; 4 ] .
Giải pháp
Tất cả những gì chúng ta cần làm là tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong một khoảng cho trước.
Để xác định điểm cực trị, phải thực hiện các phép tính sau:
y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 và l và 4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1 ;4 ;x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ;4
Bây giờ chúng ta hãy tìm các giá trị của hàm số đã cho ở hai đầu đoạn thẳng và các điểm x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:
y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 ≈ 2. 08 y 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 y (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32
Điều này có nghĩa là tập hợp các giá trị hàm sẽ được xác định bởi đoạn 117 - 165 33 512; 32.
Trả lời: 117 - 165 33 512 ; 32 .
Chúng ta chuyển sang tìm tập hợp các giá trị của hàm liên tục y = f(x) trong các khoảng (a ; b) và a ; + ∞ , - ∞ ; b , - ∞ ; + ∞ .
Hãy bắt đầu bằng cách xác định các điểm lớn nhất và nhỏ nhất, cũng như các khoảng tăng và giảm trong một khoảng nhất định. Sau đó, chúng ta sẽ cần tính giới hạn một phía ở cuối khoảng và/hoặc giới hạn ở vô cùng. Nói cách khác, chúng ta cần xác định hành vi của hàm trong các điều kiện nhất định. Chúng tôi có tất cả các dữ liệu cần thiết cho việc này.
Ví dụ 3
Tình trạng: tính phạm vi của hàm số y = 1 x 2 - 4 trên khoảng (- 2 ; 2).
Giải pháp
Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn cho trước
y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)
Chúng ta nhận được giá trị tối đa bằng 0, vì tại thời điểm này dấu của hàm số thay đổi và đồ thị bắt đầu giảm. Xem hình minh họa:
Nghĩa là y(0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 sẽ là giá trị lớn nhất của hàm số.
Bây giờ hãy xác định hành vi của hàm cho một x có xu hướng - 2 ở bên phải và + 2 ở bên trái. Nói cách khác, chúng ta tìm được giới hạn một phía:
lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞
Hóa ra các giá trị của hàm sẽ tăng từ âm vô cực lên - 1 4 khi đối số thay đổi từ - 2 thành 0. Và khi đối số thay đổi từ 0 thành 2, giá trị hàm giảm dần về âm vô cùng. Do đó, tập hợp các giá trị của hàm đã cho trên khoảng chúng ta cần sẽ là (- ∞ ; - 1 4 ] .
Trả lời: (- ∞ ; - 1 4 ] .
Ví dụ 4
Tình trạng: biểu thị tập hợp các giá trị y = t g x trên một khoảng nhất định - π 2; π 2.
Giải pháp
Chúng ta biết rằng trong trường hợp tổng quát đạo hàm của tiếp tuyến là - π 2; π 2 sẽ dương, tức là hàm số sẽ tăng. Bây giờ hãy xác định cách hoạt động của hàm trong các ranh giới nhất định:
lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞
Chúng ta thu được sự tăng giá trị của hàm từ âm vô cực lên cộng vô cùng khi đối số thay đổi từ - π 2 thành π 2 và có thể nói rằng tập nghiệm của hàm này sẽ là tập hợp tất cả các số thực .
Trả lời: - ∞ ; + ∞ .
Ví dụ 5
Tình trạng: xác định khoảng của hàm logarit tự nhiên y = ln x.
Giải pháp
Chúng ta biết rằng hàm này được xác định cho các giá trị dương của đối số D(y) = 0; + ∞ . Đạo hàm trên một khoảng nhất định sẽ dương: y " = ln x " = 1 x . Điều này có nghĩa là hàm tăng trên nó. Tiếp theo, chúng ta cần xác định giới hạn một phía cho trường hợp khi đối số tiến về 0 (ở vế phải) và khi x tiến tới vô cùng:
lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞
Chúng tôi thấy rằng các giá trị của hàm sẽ tăng từ âm vô cực lên cộng vô cùng khi giá trị của x thay đổi từ 0 sang cộng vô cùng. Điều này có nghĩa là tập hợp tất cả các số thực là phạm vi giá trị của hàm logarit tự nhiên.
Trả lời: tập hợp tất cả các số thực là phạm vi giá trị của hàm logarit tự nhiên.
Ví dụ 6
Tình trạng: xác định phạm vi của hàm số y = 9 x 2 + 1 .
Giải pháp
Hàm này được xác định với điều kiện x là số thực. Chúng ta hãy tính các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm, cũng như các khoảng tăng giảm của nó:
y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x 0
Kết quả, ta xác định hàm số này sẽ giảm nếu x ≥ 0; tăng nếu x ≤ 0 ; nó có điểm cực đại y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 với biến bằng 0.
Hãy xem hàm này hoạt động như thế nào ở vô cực:
lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0
Bản ghi cho thấy rõ rằng các giá trị của hàm trong trường hợp này sẽ tiệm cận đến 0.
Tóm lại: khi đối số thay đổi từ âm vô cực thành 0, các giá trị của hàm sẽ tăng từ 0 lên 9. Khi các giá trị đối số thay đổi từ 0 thành cộng vô cùng thì các giá trị hàm tương ứng sẽ giảm từ 9 xuống 0. Chúng tôi đã thể hiện điều này trong hình:
Nó cho thấy phạm vi giá trị của hàm sẽ là khoảng E(y) = (0; 9]
Trả lời: E(y) = (0 ; 9 ]
Nếu cần xác định tập giá trị của hàm y = f(x) trên các khoảng [ a ; b) , (a ; b ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; b ] , thì chúng ta sẽ cần phải thực hiện chính xác những nghiên cứu tương tự. Chúng ta sẽ không phân tích những trường hợp này bây giờ: chúng ta sẽ gặp chúng sau này trong các vấn đề.
Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu miền định nghĩa của một hàm số nhất định là hợp của nhiều khoảng? Sau đó, chúng ta cần tính toán các tập hợp giá trị trên mỗi khoảng này và kết hợp chúng.
Ví dụ 7
Tình trạng: xác định phạm vi giá trị sẽ là bao nhiêu y = x x - 2 .
Giải pháp
Vì mẫu số của hàm không nên chuyển về 0 nên D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .
Hãy bắt đầu bằng cách xác định tập hợp các giá trị hàm trên đoạn đầu tiên - ∞; 2, là chùm tia mở. Ta biết hàm số trên nó sẽ giảm, tức là đạo hàm của hàm số này sẽ âm.
lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0
Khi đó, trong trường hợp đối số thay đổi về phía âm vô cực, các giá trị hàm sẽ tiệm cận đến 1. Nếu các giá trị của x thay đổi từ âm vô cực thành 2, thì các giá trị sẽ giảm từ 1 xuống âm vô cực, tức là. hàm trên đoạn này sẽ lấy các giá trị từ khoảng - ∞; 1 . Chúng tôi loại trừ sự thống nhất khỏi các xem xét của chúng tôi, vì các giá trị của hàm không đạt được nó mà chỉ tiếp cận nó một cách tiệm cận.
Đối với chùm hở 2; + ∞ chúng tôi thực hiện các hành động giống hệt nhau. Chức năng trên đó cũng ngày càng giảm:
lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0
Các giá trị của hàm trên một đoạn nhất định được xác định bởi tập 1; + ∞ . Điều này có nghĩa là phạm vi giá trị chúng ta cần cho hàm được chỉ định trong điều kiện sẽ là hợp của các tập hợp - ∞ ; 1 và 1; + ∞ .
Trả lời: E(y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .
Điều này có thể được nhìn thấy trên biểu đồ:
Trường hợp đặc biệt là hàm tuần hoàn. Phạm vi giá trị của chúng trùng với tập hợp các giá trị trên khoảng tương ứng với chu kỳ của hàm này.
Ví dụ 8
Tình trạng: xác định khoảng giá trị của sin y = sin x.
Giải pháp
Sin là một hàm tuần hoàn và chu kỳ của nó là 2 pi. Lấy đoạn 0; 2 π và xem tập hợp các giá trị trên đó sẽ là gì.
y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z
Trong vòng 0 ; 2 π hàm số sẽ có điểm cực trị π 2 và x = 3 π 2 . Hãy tính toán xem các giá trị của hàm sẽ bằng bao nhiêu trong chúng, cũng như trên ranh giới của đoạn, sau đó chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, max x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1
Trả lời: E(sin x) = - 1 ; 1 .
Nếu bạn cần biết các phạm vi của các hàm như lũy thừa, hàm mũ, logarit, lượng giác, lượng giác nghịch đảo, thì chúng tôi khuyên bạn nên đọc lại bài viết về các hàm cơ bản cơ bản. Lý thuyết chúng tôi trình bày ở đây cho phép chúng tôi xác minh các giá trị được nêu ở đó. Nên học chúng vì chúng thường được yêu cầu khi giải quyết vấn đề. Nếu bạn biết phạm vi của các hàm cơ bản, bạn có thể dễ dàng tìm thấy phạm vi của các hàm thu được từ các hàm cơ bản bằng cách sử dụng phép biến đổi hình học.
Ví dụ 9
Tình trạng: xác định khoảng giá trị y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .
Giải pháp
Chúng ta biết rằng đoạn từ 0 đến pi là phạm vi cung cosin. Nói cách khác, E (ar c cos x) = 0; π hoặc 0 ≤ a r c cos x ≤ π . Chúng ta có thể lấy hàm arc cos x 3 + 5 π 7 từ cung cosine bằng cách dịch chuyển và kéo dài nó dọc theo trục O x, nhưng những phép biến đổi như vậy sẽ không mang lại cho chúng ta bất cứ điều gì. Điều này có nghĩa là 0 ≤ arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ π .
Hàm 3 arc cos x 3 + 5 π 7 có thể thu được từ cung cosin a r c cos x 3 + 5 π 7 bằng cách kéo dài dọc theo trục tọa độ, tức là. 0 ≤ 3 arc cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π . Phép biến đổi cuối cùng là sự dịch chuyển dọc theo trục O y 4 giá trị. Kết quả là, chúng ta nhận được bất đẳng thức kép:
0 - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4
Chúng tôi thấy rằng phạm vi giá trị chúng tôi cần sẽ bằng E (y) = - 4; 3 π - 4 .
Trả lời: E(y) = - 4 ; 3 π - 4 .
Chúng ta sẽ viết ra một ví dụ khác mà không giải thích, bởi vì nó hoàn toàn giống với cái trước.
Ví dụ 10
Tình trạng: tính phạm vi của hàm số y = 2 2 x - 1 + 3.
Giải pháp
Hãy viết lại hàm số đã chỉ định trong điều kiện là y = 2 · (2 x - 1) - 1 2 + 3. Đối với hàm lũy thừa y = x - 1 2, phạm vi giá trị sẽ được xác định trên khoảng 0; + ∞, tức là x - 1 2 > 0 . Trong trường hợp này:
2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3
Vậy E(y) = 3; + ∞ .
Trả lời: E(y) = 3; + ∞ .
Bây giờ chúng ta hãy xem cách tìm phạm vi giá trị của hàm không liên tục. Để làm điều này, chúng ta cần chia toàn bộ khu vực thành các khoảng và tìm các tập hợp giá trị trong mỗi khoảng đó, sau đó kết hợp những gì chúng ta nhận được. Để hiểu rõ hơn về điều này, chúng tôi khuyên bạn nên xem lại các loại điểm dừng chức năng chính.
Ví dụ 11
Tình trạng: cho hàm số y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. Tính khoảng giá trị của nó.
Giải pháp
Hàm này được xác định cho tất cả các giá trị của x. Chúng ta hãy phân tích tính liên tục của nó với các giá trị của đối số bằng - 3 và 3:
lim x → - 3 - 0 f(x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f(x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)
Chúng ta có một điểm gián đoạn không thể loại bỏ được thuộc loại thứ nhất khi giá trị của đối số là - 3. Khi chúng ta tiếp cận nó, các giá trị của hàm có xu hướng - 2 sin 3 2 - 4 và khi x tiến đến - 3 ở bên phải, các giá trị sẽ có xu hướng - 1 .
lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞
Chúng ta có một điểm gián đoạn không thể loại bỏ được thuộc loại thứ hai tại điểm 3. Khi một hàm tiến tới nó, các giá trị của nó tiến tới - 1, khi tiến đến cùng một điểm ở bên phải - đến âm vô cực.
Điều này có nghĩa là toàn bộ miền định nghĩa của hàm này được chia thành 3 khoảng (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).
Trong ví dụ đầu tiên, chúng ta có hàm y = 2 sin x 2 - 4. Vì - 1 ∆ sin x ∼ 1 nên ta có:
1 ⇒ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2
Điều này có nghĩa là trên một khoảng nhất định (- ∞ ; - 3 ] tập hợp các giá trị hàm là [ - 6 ; 2 ] .
Trên nửa khoảng (- 3; 3 ], kết quả là hàm hằng y = - 1. Do đó, toàn bộ tập hợp các giá trị của nó trong trường hợp này sẽ giảm xuống một số - 1.
Ở khoảng thứ hai 3 ; + ∞ ta có hàm số y = 1 x - 3 . Nó đang giảm vì y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:
lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0
Điều này có nghĩa là tập các giá trị của hàm ban đầu cho x > 3 là tập 0; + ∞ . Bây giờ hãy kết hợp các kết quả: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Trả lời: E(y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .
Giải pháp được thể hiện trong biểu đồ:
Ví dụ 12
Điều kiện: tồn tại hàm số y = x 2 - 3 e x. Xác định tập hợp các giá trị của nó.
Giải pháp
Nó được xác định cho tất cả các giá trị đối số là số thực. Chúng ta hãy xác định xem hàm này sẽ tăng trong khoảng thời gian nào và trong khoảng thời gian nào nó sẽ giảm:
y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x
Chúng ta biết rằng đạo hàm sẽ trở thành 0 nếu x = - 1 và x = 3. Hãy đặt hai điểm này trên trục và tìm xem đạo hàm sẽ có dấu gì trên các khoảng kết quả.
Hàm số sẽ giảm đi (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) và tăng [ - 1 ; 3]. Điểm tối thiểu sẽ là - 1, tối đa - 3.
Bây giờ hãy tìm các giá trị hàm tương ứng:
y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3
Chúng ta hãy xem hành vi của hàm ở vô cực:
lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0
Quy tắc L'Hopital được sử dụng để tính giới hạn thứ hai. Hãy mô tả tiến trình của giải pháp của chúng tôi trên biểu đồ.
Nó cho thấy các giá trị của hàm sẽ giảm từ cộng vô cực xuống - 2 e khi đối số thay đổi từ âm vô cực thành - 1. Nếu nó thay đổi từ 3 thành cộng vô cùng thì các giá trị sẽ giảm từ 6 e - 3 xuống 0, nhưng sẽ không đạt tới 0.
Do đó, E(y) = [ - 2 e ; + ∞) .
Trả lời: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Khái niệm về chức năng và mọi thứ liên quan đến nó thường phức tạp và chưa được hiểu đầy đủ. Một trở ngại đặc biệt khi nghiên cứu một hàm và chuẩn bị cho Kỳ thi Thống nhất là miền định nghĩa và phạm vi giá trị (thay đổi) của hàm.
Thông thường học sinh không thấy được sự khác biệt giữa miền của hàm số và miền giá trị của nó.
Và nếu học sinh thành thạo các nhiệm vụ tìm miền định nghĩa của hàm, thì nhiệm vụ tìm tập hợp các giá trị của hàm sẽ gây ra cho các em những khó khăn đáng kể.
Mục đích của bài viết này: làm quen với các phương pháp tìm giá trị hàm.
Kết quả của việc xem xét chủ đề này, tài liệu lý thuyết đã được nghiên cứu, các phương pháp giải bài toán tìm tập giá trị hàm đã được xem xét và tài liệu giáo khoa đã được chọn để làm việc độc lập của sinh viên.
Bài viết này có thể được giáo viên sử dụng trong việc chuẩn bị cho học sinh các kỳ thi cuối kỳ và đầu vào, khi nghiên cứu chủ đề “Lĩnh vực hàm số” trong các lớp tự chọn môn Toán.
I. Xác định phạm vi giá trị của hàm.
Miền (tập hợp) các giá trị E(y) của hàm y = f(x) là tập hợp các số y 0, với mỗi số đó tồn tại một số x 0 sao cho: f(x 0) = y 0.
Chúng ta hãy nhớ lại phạm vi giá trị của các hàm cơ bản chính.
Chúng ta hãy nhìn vào bảng.
| Chức năng | Nhiều ý nghĩa |
| y = kx+ b | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = x2n | E(y) = |
| y = cos x | E(y) = [-1;1] |
| y = tan x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = ctg x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcsin x | E(y) = [-π/2 ; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = arctan x | E(y) = (-π/2 ; π/2) |
| y = arcctg x | E(y) = (0; π) |
Cũng lưu ý rằng phạm vi giá trị của bất kỳ đa thức bậc chẵn nào là khoảng , trong đó n là giá trị lớn nhất của đa thức này.
II. Thuộc tính của hàm được sử dụng khi tìm phạm vi của hàm
Để tìm thành công tập hợp các giá trị của một hàm, bạn phải có kiến thức tốt về các thuộc tính của các hàm cơ bản cơ bản, đặc biệt là các miền định nghĩa, phạm vi giá trị và tính chất đơn điệu của chúng. Chúng ta hãy trình bày các tính chất của các hàm khả vi đơn điệu, liên tục thường được sử dụng nhất khi tìm tập hợp các giá trị hàm.
Thuộc tính 2 và 3, theo quy luật, được sử dụng cùng với thuộc tính của hàm cơ bản là liên tục trong miền định nghĩa của nó. Trong trường hợp này, giải pháp đơn giản và ngắn gọn nhất cho bài toán tìm tập giá trị của hàm đạt được dựa trên thuộc tính 1, nếu có thể xác định tính đơn điệu của hàm bằng các phương pháp đơn giản. Lời giải của bài toán thậm chí còn đơn giản hơn nếu hàm số chẵn hoặc lẻ, tuần hoàn, v.v. Vì vậy, khi giải bài toán tìm tập giá trị của hàm, khi cần thiết, người ta nên kiểm tra và sử dụng các thuộc tính sau của hàm:
- liên tục;
- giọng bằng bằng;
- sự khác biệt;
- chẵn, lẻ, tính tuần hoàn, v.v.
Các tác vụ đơn giản để tìm tập giá trị của hàm hầu hết đều có tính định hướng:
a) sử dụng các ước lượng và hạn chế đơn giản nhất: (2 x >0, -1 b) để cô lập một hình vuông hoàn chỉnh: x 2 – 4x + 7 = (x – 2) 2 + 3; c) Biến đổi biểu thức lượng giác: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1; d) sử dụng tính đơn điệu của hàm số x 1/3 + 2 x-1 tăng R. III. Hãy xem xét các cách để tìm phạm vi của hàm số. a) tuần tự tìm các giá trị của các đối số hàm phức tạp; Hãy để chúng tôi tiết lộ bản chất của những phương pháp này bằng cách sử dụng các ví dụ cụ thể. Ví dụ 1: Tìm phạm vi E(y) hàm y = log 0,5 (4 – 2 3 x – 9 x). Hãy giải quyết ví dụ này bằng cách tuần tự tìm các giá trị của các đối số của hàm phức tạp. Chọn bình phương hoàn hảo theo logarit, chúng ta biến đổi hàm y = log 0,5 (5 – (1 + 2 3 x – 3 2x)) = log 0,5 (5 – (3 x + 1) 2) Và chúng ta sẽ tuần tự tìm các tập giá trị của các đối số phức tạp của nó: E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4) Hãy biểu thị t= 5 – (3 x +1) 2, trong đó -∞≤ t<4. Như vậy, bài toán quy về việc tìm tập giá trị của hàm y = log 0,5 t trên tia (-∞;4)
. Vì hàm y = log 0,5 t chỉ được xác định cho nên tập giá trị của nó trên tia (-∞;4) trùng với tập giá trị hàm trên khoảng (0;4), tức là giao điểm của tia (-∞;4) với miền định nghĩa (0;+∞) của hàm logarit. Trên khoảng (0;4), hàm này liên tục và giảm dần. Tại t> 0 nó có xu hướng +∞, và khi t = 4 nhận giá trị -2, vì vậy E(y) =(-2, +∞). Ví dụ 2: Tìm phạm vi của hàm số y = cos7x + 5cosx Hãy giải ví dụ này bằng phương pháp ước lượng, bản chất của nó là ước tính một hàm liên tục từ dưới lên trên và chứng minh rằng hàm đó đạt đến giới hạn dưới và giới hạn trên của ước tính. Trong trường hợp này, sự trùng khớp của tập hợp các giá trị hàm với khoảng từ giới hạn dưới của ước tính đến giới hạn trên được xác định bởi tính liên tục của hàm và sự vắng mặt của các giá trị khác cho nó. Từ các bất đẳng thức -1 Ví dụ 3: Tìm phạm vi E(f) chức năng f(x)= cos2x + 2cosx. Sử dụng công thức cosin góc kép, chúng ta biến đổi hàm f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 và ký hiệu t=cosx. Sau đó f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Vì E(cosx) = [-1;1] thì phạm vi giá trị của hàm f(x) trùng với tập giá trị của hàm g (t)= 2t 2 + 2t – 1 trên đoạn [-1;1] mà chúng ta tìm thấy bằng đồ thị. Vẽ đồ thị hàm số y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 trên khoảng [-1;1], ta tìm được E(f)
= [-1,5; 3]. Lưu ý: nhiều bài toán với tham số được quy giản về việc tìm tập giá trị của hàm, chủ yếu liên quan đến khả năng giải và số nghiệm của các phương trình, bất phương trình. Ví dụ, phương trình f(x)= a giải được khi và chỉ khi một E(f) Tương tự như vậy, phương trình. f(x)= a có ít nhất một nghiệm nằm trên khoảng X nào đó, hoặc không có nghiệm nào trên khoảng này khi và chỉ khi a thuộc hoặc không thuộc tập giá trị của hàm f(x) trên khoảng X. Cũng nghiên cứu sử dụng tập giá trị hàm và bất đẳng thức f(x)≠ MỘT, f(x)> một, v.v. Đặc biệt, f(x)≠ và với tất cả các giá trị được chấp nhận của x, nếu a E(f) Ví dụ 4. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) có một nghiệm duy nhất trên khoảng [-4;-1]. Hãy viết phương trình dưới dạng (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. Phương trình cuối cùng có ít nhất một nghiệm trên khoảng [-4;-1] khi và chỉ khi a thuộc tập giá trị của hàm f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) trên đoạn [-4;-1]. Hãy tìm tập hợp này bằng cách sử dụng tính chất liên tục và đơn điệu của hàm số. Trên khoảng [-4;-1] hàm số y = xІ + 4 là liên tục, giảm và dương, do đó hàm số g(x) = 1/(x 2 + 4) là liên tục và tăng trên đoạn này, vì khi chia cho một hàm dương, bản chất tính đơn điệu của hàm sẽ thay đổi theo hướng ngược lại. Chức năng h(x) =(x + 5) 1/2 là liên tục và tăng dần trong phạm vi định nghĩa của nó D(h) =[-5;+∞) và đặc biệt, trên đoạn [-4;-1], ngoài ra, nó còn dương. Sau đó, chức năng f(x)=g(x) h(x), là tích của hai hàm liên tục, tăng và dương, cũng liên tục và tăng trên đoạn [-4;-1], do đó tập giá trị của nó trên [-4;-1] là đoạn [ f(-4); f(-1)] = . Do đó, phương trình có nghiệm trên khoảng [-4;-1] và là nghiệm duy nhất (theo tính chất của hàm đơn điệu liên tục), với 0,05 ≤ a ≤ 0,4 Bình luận. Khả năng giải được của phương trình f(x) = a trên một khoảng X nhất định tương đương với việc thuộc các giá trị của tham số MỘT tập hợp các giá trị hàm f(x) trên X. Do đó, tập giá trị của hàm f(x) trên khoảng X trùng với tập giá trị tham số MỘT, trong đó phương trình f(x) = a có ít nhất một nghiệm trên khoảng X. Đặc biệt, phạm vi các giá trị E(f) chức năng f(x) khớp với tập hợp các giá trị tham số MỘT, trong đó phương trình f(x) = a có ít nhất một gốc. Ví dụ 5: Tìm phạm vi E(f) chức năng Chúng ta hãy giải quyết ví dụ bằng cách giới thiệu một tham số theo đó E(f) khớp với tập hợp các giá trị tham số MỘT, trong đó phương trình có ít nhất một gốc. Khi a = 2, phương trình là tuyến tính - 4x - 5 = 0 với hệ số khác 0 đối với x chưa biết, do đó nó có nghiệm. Với a≠2, phương trình là bậc hai, vì vậy nó có thể giải được khi và chỉ khi phân biệt của nó Vì điểm a = 2 thuộc đoạn Là sự phát triển trực tiếp của phương pháp đưa tham số khi tìm tập hợp giá trị hàm, chúng ta có thể xem xét phương pháp hàm nghịch đảo, để tìm ra phương trình nào cần giải phương trình x f(x)=y, coi y là một tham số. Nếu phương trình này có nghiệm duy nhất x =g(y), thì phạm vi giá trị E(f) chức năng ban đầu f(x) trùng với miền định nghĩa D(g) chức năng trái ngược g(y). Nếu phương trình f(x)=y có một số giải pháp x =g 1 (y), x =g 2 (y) v.v. thì E(f) bằng với hợp của các miền của hàm g 1 (y), g 2 (y) vân vân. Ví dụ 6: Tìm phạm vi E(y) hàm số y = 5 2/(1-3x). Từ phương trình. hãy tìm hàm nghịch đảo x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) và miền định nghĩa của nó D(x): Vì phương trình x có nghiệm duy nhất nên E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ). Nếu miền định nghĩa của hàm bao gồm nhiều khoảng hoặc hàm trên các khoảng khác nhau được cho bởi các công thức khác nhau thì để tìm miền giá trị của hàm cần tìm các tập giá trị của hàm trên mỗi khoảng thời gian và lấy sự kết hợp của họ. Ví dụ 7: Tìm dãy f(x) Và f(f(x)), Ở đâu f(x) trên tia (-∞;1], trong đó nó trùng với biểu thức 4 x + 9 4 -x + 3. Ta ký hiệu t = 4x. Sau đó f(x) = t+9/t+3, ở đâu 0< t ≤ 4 , так как показательная
функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем
самым множество значений функции f(x) trên tia (-∞;1] trùng với tập giá trị của hàm g(t) = t+9/t+3, trên khoảng (0;4] mà chúng ta tìm thấy bằng cách sử dụng đạo hàm g'(t) = 1 – 9/t 2. Trên đạo hàm khoảng (0;4] g'(t)được xác định và biến mất tại đó t = 3. Lúc 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4
положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) giảm và trong khoảng (3;4) nó tăng, duy trì liên tục trong toàn bộ khoảng (0;4), do đó g (3)=
9 – giá trị nhỏ nhất của hàm này trong khoảng (0;4], trong khi giá trị lớn nhất của nó không tồn tại, nên khi t→0 chức năng bên phải g(t)→+∞. Khi đó, theo tính chất của hàm liên tục, tập giá trị của hàm g(t) trên khoảng (0;4] và do đó một tập hợp các giá trị f(x) trên (-∞;-1] sẽ có tia . Bây giờ, kết hợp các khoảng - tập hợp các giá trị hàm f(f(x)), chứng tỏ t = f(x). Sau đó f(f(x)) = f(t), trong đó Đối với quy định t chức năng f(t)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 và nó lại lấy tất cả các giá trị từ 5 đến 9, tức là phạm vi E(fІ) = E(f(f(x))) =. Tương tự, biểu thị z = f(f(x)), bạn có thể tìm thấy phạm vi giá trị E(f 3) chức năng f(f(f(x))) = f(z), trong đó 5 ≤ z ≤ 9, v.v. Đảm bảo rằng E(f 3) = . Phương pháp phổ biến nhất để tìm một tập hợp các giá trị hàm là sử dụng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trong một khoảng nhất định. Ví dụ 8. Ở giá trị tham số nào R bất đẳng thức 8 x - р ≠ 2 x+1 – 2 x giữ cho mọi -1 ≤ x< 2. Đã chỉ định t = 2x, ta viết bất đẳng thức dưới dạng р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Bởi vì t = 2x– chức năng tăng liên tục trên R, thì với -1 x< 2 переменная 2 -1 ≤ t<2 2 ↔ 0,5 t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и
только тогда, когда R khác với các giá trị hàm f(t) = t 3 – 2t 2 + tở mức 0,5 t< 4. Trước tiên chúng ta hãy tìm tập giá trị của hàm f(t) trên đoạn mà nó có đạo hàm ở mọi nơi f’(t) =3t 2 – 4t + 1. Kể từ đây, f(t) khả vi nên liên tục trên khoảng. Từ phương trình. f'(t) = 0 tìm điểm cực trị của hàm số t = 1/3, t = 1, cái đầu tiên không thuộc về phân khúc và cái thứ hai thuộc về phân khúc đó. Bởi vì f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, thì theo tính chất của hàm khả vi, 0 là giá trị nhỏ nhất và 36 là giá trị lớn nhất của hàm f(t) trên phân khúc. Sau đó f(t), là một hàm liên tục, nó lấy trong khoảng tất cả các giá trị từ 0 đến 36 và giá trị 36 chỉ nhận khi t=4, do đó, với 0,5 ≤ t< 4,
она принимает все значения из промежутка }
b) phương pháp ước lượng;
c) sử dụng các tính chất liên tục và đơn điệu của hàm số;
d) sử dụng công cụ phái sinh;
e) sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm;
f) phương pháp đồ họa;
g) phương pháp nhập tham số;
h) phương pháp hàm nghịch đảo.
thì tập hợp các giá trị tham số mong muốn MỘT, do đó, phạm vi của các giá trị E(f) sẽ là toàn bộ phân khúc.
