Phương trình. Nói cách khác, việc giải tất cả các phương trình đều bắt đầu bằng những phép biến đổi này. Khi giải phương trình tuyến tính, nó (lời giải) dựa trên các phép biến đổi nhận dạng và kết thúc bằng đáp án cuối cùng.
Trường hợp hệ số khác 0 đối với một biến chưa biết.
ax+b=0, a ≠ 0
Chúng ta chuyển các số hạng có X sang một bên và các số sang phía bên kia. Hãy nhớ rằng khi chuyển các số hạng sang vế đối diện của phương trình, bạn cần đổi dấu:
rìu:(a)=-b:(a)
Hãy rút ngắn MỘT Tại X và chúng tôi nhận được:
x=-b:(a)
Đây là câu trả lời. Nếu bạn cần kiểm tra xem một số có -ba) nghiệm của phương trình, thì chúng ta cần thay thế vào phương trình ban đầu Xđây là con số:
a(-b:(a))+b=0 ( những thứ kia. 0=0)
Bởi vì đẳng thức này đúng thì -ba) và sự thật là gốc của phương trình.
Trả lời: x=-b:(a), a ≠ 0.
Ví dụ đầu tiên:
5x+2=7x-6
Chúng tôi di chuyển các thành viên sang một bên X, và ở phía bên kia là các số:
5x-7x=-6-2
-2x:(-2)=-8:(-2)
Đối với một yếu tố chưa biết, chúng tôi đã giảm hệ số và nhận được câu trả lời:
Đây là câu trả lời. Nếu bạn cần kiểm tra xem số 4 có thực sự là nghiệm của phương trình hay không, chúng ta thay thế số này thay cho X trong phương trình ban đầu:
5*4+2=7*4-6 ( những thứ kia. 22=22)
Bởi vì đẳng thức này đúng thì 4 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ thứ hai:
Giải phương trình:
5x+14=x-49
Bằng cách di chuyển các ẩn số và số theo các hướng khác nhau, chúng tôi nhận được:
Chia các phần của phương trình cho hệ số tại x(bằng 4) và chúng tôi nhận được:
Ví dụ thứ ba:
Giải phương trình:
Đầu tiên, chúng ta loại bỏ tính bất hợp lý trong hệ số của ẩn số bằng cách nhân tất cả các số hạng với:
Hình thức này được coi là đơn giản hóa vì số có gốc của số ở mẫu số. Chúng ta cần đơn giản hóa câu trả lời bằng cách nhân tử số và mẫu số với cùng một số, chúng ta có:
Trường hợp không có giải pháp.
Giải phương trình:
2x+3=2x+7
Trước mặt mọi người x phương trình của chúng ta sẽ không trở thành một đẳng thức thực sự. Đó là, phương trình của chúng tôi không có gốc.
Trả lời: không có giải pháp.
Trường hợp đặc biệt có vô số nghiệm.
Giải phương trình:
2x+3=2x+3
Di chuyển x và các số theo các hướng khác nhau và cộng các số hạng tương tự, chúng ta thu được phương trình:
Ở đây cũng vậy, không thể chia cả hai phần cho 0, vì nó bị cấm. Tuy nhiên, việc đặt vào vị trí X bất kỳ số nào, chúng tôi nhận được sự bình đẳng chính xác. Nghĩa là, mọi số đều là nghiệm của phương trình đó. Vì vậy, có vô số giải pháp.
Trả lời: vô số cách giải.
Trường hợp đẳng thức của hai dạng hoàn chỉnh.
ax+b=cx+d
ax-cx=d-b
(a-c)x=d-b
x=(d-b):(a-c)
Trả lời: x=(d-b):(a-c), Nếu như d≠b và a≠c, ngược lại có vô số nghiệm, nhưng nếu a=c, MỘT d≠b, thì không có giải pháp nào cả.
Các phương trình tuyến tính. Giải pháp, ví dụ.
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Các phương trình tuyến tính.
Phương trình tuyến tính không phải là chủ đề khó nhất trong toán học ở trường. Nhưng có một số thủ thuật có thể khiến ngay cả một học sinh đã qua đào tạo cũng phải bối rối. Chúng ta hãy tìm ra nó?)
Thông thường, một phương trình tuyến tính được định nghĩa là một phương trình có dạng:
cây rìu + b = 0 Ở đâu A và B- bất kỳ số nào
2x + 7 = 0. Ở đây a=2, b=7
0,1x - 2,3 = 0 Ở đây a=0,1, b=-2,3
12x + 1/2 = 0 Ở đây a=12, b=1/2
Không có gì phức tạp phải không? Đặc biệt nếu bạn không chú ý đến những từ: "trong đó a và b là số bất kỳ"... Và nếu bạn để ý và bất cẩn nghĩ về nó?) Rốt cuộc, nếu a=0, b=0(có thể có con số nào không?), thì chúng ta sẽ có một biểu thức hài hước:
Nhưng đó không phải là tất cả! Nếu nói, a=0, MỘT b=5,Điều này hóa ra là một cái gì đó hoàn toàn khác thường:
Điều đó thật khó chịu và làm suy giảm sự tự tin trong môn toán, vâng...) Đặc biệt là trong các kỳ thi. Nhưng trong số những biểu thức kỳ lạ này bạn cũng cần tìm X! Điều đó hoàn toàn không tồn tại. Và thật ngạc nhiên là chữ X này lại rất dễ tìm. Chúng ta sẽ học cách làm điều này. Trong bài học này.
Làm thế nào để nhận biết một phương trình tuyến tính bởi sự xuất hiện của nó? Nó phụ thuộc vào hình thức bên ngoài.) Bí quyết là các phương trình tuyến tính không chỉ là các phương trình có dạng cây rìu + b = 0 , mà còn bất kỳ phương trình nào có thể được rút gọn về dạng này bằng các phép biến đổi và đơn giản hóa. Và ai biết liệu nó có rơi xuống hay không?)
Một phương trình tuyến tính có thể được nhận biết rõ ràng trong một số trường hợp. Giả sử, nếu chúng ta có một phương trình trong đó chỉ có ẩn số ở bậc một và các số. Và trong phương trình không có phân số chia cho không xác định , nó quan trọng! Và chia cho con số, hoặc một phần số - điều đó được hoan nghênh! Ví dụ:
Đây là một phương trình tuyến tính. Ở đây có các phân số, nhưng không có x trong hình vuông, hình lập phương, v.v. và không có x trong mẫu số, tức là KHÔNG chia cho x. Và đây là phương trình
không thể gọi là tuyến tính. Ở đây tất cả các chữ X đều ở mức độ đầu tiên, nhưng có chia cho biểu thức với x. Sau khi đơn giản hóa và biến đổi, bạn có thể nhận được phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai hoặc bất cứ thứ gì bạn muốn.
Hóa ra là không thể nhận ra phương trình tuyến tính trong một số ví dụ phức tạp cho đến khi bạn gần như giải được nó. Điều này thật khó chịu. Nhưng trong bài tập, theo quy định, họ không hỏi về dạng phương trình, phải không? Các bài tập yêu cầu phương trình quyết định.Điều này làm tôi hạnh phúc.)
Giải phương trình tuyến tính. Ví dụ.
Toàn bộ nghiệm của phương trình tuyến tính bao gồm các phép biến đổi giống hệt nhau của phương trình. Nhân tiện, những phép biến đổi này (hai trong số đó!) là cơ sở của các giải pháp mọi phương trình toán học. Nói cách khác, giải pháp bất kì phương trình bắt đầu với chính những phép biến đổi này. Trong trường hợp phương trình tuyến tính, nó (lời giải) dựa trên các phép biến đổi này và kết thúc bằng một câu trả lời đầy đủ. Thật hợp lý khi theo liên kết, phải không?) Ngoài ra, còn có các ví dụ về giải phương trình tuyến tính ở đó.
Đầu tiên, hãy xem ví dụ đơn giản nhất. Không có bất kỳ cạm bẫy nào. Giả sử chúng ta cần giải phương trình này.
x - 3 = 2 - 4x
Đây là một phương trình tuyến tính. Các chữ X đều có lũy thừa bậc một, không có sự chia cho X. Nhưng trên thực tế, đối với chúng ta nó là loại phương trình nào không quan trọng. Chúng ta cần giải quyết nó. Đề án ở đây rất đơn giản. Thu thập mọi thứ có chữ X ở bên trái của phương trình, mọi thứ không có chữ X ở bên phải.
Để làm được điều này bạn cần chuyển - 4x về phía bên trái, tất nhiên là có sự thay đổi về dấu, và - 3 - rẽ phải. Nhân tiện, đây là phép biến đổi giống hệt đầu tiên của phương trình. Ngạc nhiên? Điều này có nghĩa là bạn đã không theo liên kết nhưng vô ích...) Chúng tôi nhận được:
x + 4x = 2 + 3
Dưới đây là những cái tương tự, chúng tôi xem xét:
Chúng ta cần gì để có được hạnh phúc trọn vẹn? Vâng, vậy nên có một chữ X thuần túy ở bên trái! Năm người đang cản đường. Loại bỏ năm điều đó với sự giúp đỡ phép biến đổi giống hệt thứ hai của phương trình. Cụ thể, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho 5. Chúng ta có sẵn câu trả lời:
Tất nhiên là một ví dụ cơ bản. Cái này là để khởi động.) Không rõ lắm tại sao tôi lại nhớ những phép biến đổi giống hệt nhau ở đây? ĐƯỢC RỒI. Hãy nắm lấy sừng con bò đực.) Hãy quyết định điều gì đó chắc chắn hơn.
Ví dụ: đây là phương trình:
Chúng ta bắt đầu từ đâu? Có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải? Có thể là vậy. Bước nhỏ trên con đường dài. Hoặc bạn có thể làm điều đó ngay lập tức, một cách phổ quát và mạnh mẽ. Tất nhiên, nếu bạn có các phép biến đổi phương trình giống hệt nhau trong kho vũ khí của mình.
Tôi hỏi bạn một câu hỏi quan trọng: Bạn không thích điều gì nhất ở phương trình này?
95 trên 100 người sẽ trả lời: phân số ! Câu trả lời là đúng. Vì vậy, hãy loại bỏ chúng. Vì vậy, chúng tôi bắt đầu ngay với chuyển đổi danh tính thứ hai. Bạn cần nhân phân số bên trái với mẫu số nào để mẫu số giảm hoàn toàn? Đúng vậy, ở mức 3. Và bên phải? Với 4. Nhưng toán học cho phép chúng ta nhân cả hai vế với Cùng một số. Làm sao chúng ta có thể thoát ra được? Hãy nhân cả hai vế với 12! Những thứ kia. về một mẫu số chung. Thế thì cả ba và bốn sẽ được giảm bớt. Đừng quên rằng bạn cần nhân từng phần toàn bộ. Đây là bước đầu tiên trông như thế nào:
Mở rộng dấu ngoặc:
Ghi chú! Tử số (x+2) Tôi đặt nó trong ngoặc! Điều này là do khi nhân các phân số, toàn bộ tử số sẽ được nhân lên! Bây giờ bạn có thể giảm phân số:
Mở rộng các dấu ngoặc còn lại:
Không phải là một ví dụ, mà là niềm vui thuần túy!) Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại một câu thần chú thời tiểu học: có chữ X - ở bên trái, không có chữ X - ở bên phải! Và áp dụng phép biến đổi này:
Dưới đây là một số cái tương tự:
Và chia cả hai phần cho 25, tức là áp dụng lại phép biến đổi thứ hai:
Đó là tất cả. Trả lời: X=0,16
Xin lưu ý: để biến phương trình khó hiểu ban đầu thành một dạng hay, chúng tôi đã sử dụng hai (chỉ hai!) chuyển đổi danh tính– dịch trái-phải với sự đổi dấu và nhân-chia của một phương trình cho cùng một số. Đây là một phương pháp phổ quát! Chúng tôi sẽ làm việc theo cách này với bất kì phương trình! Tuyệt đối là bất cứ ai. Đó là lý do tại sao tôi cứ lặp đi lặp lại một cách tẻ nhạt về những phép biến đổi giống hệt nhau này.)
Như bạn có thể thấy, nguyên tắc giải phương trình tuyến tính rất đơn giản. Chúng tôi lấy phương trình và đơn giản hóa nó bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau cho đến khi chúng tôi nhận được câu trả lời. Vấn đề chính ở đây nằm ở tính toán chứ không phải ở nguyên tắc giải.
Nhưng... Có những điều bất ngờ trong quá trình giải các phương trình tuyến tính cơ bản nhất có thể khiến bạn rơi vào trạng thái sững sờ...) May mắn thay, chỉ có thể có hai điều bất ngờ như vậy. Hãy gọi chúng là những trường hợp đặc biệt.
Các trường hợp đặc biệt khi giải phương trình tuyến tính.
Bất ngờ đầu tiên.
Giả sử bạn gặp một phương trình rất cơ bản, đại loại như:
2x+3=5x+5 - 3x - 2
Hơi chán, chúng ta di chuyển nó bằng dấu X sang trái, không có dấu X - sang phải... Với sự thay đổi dấu hiệu, mọi thứ đều hoàn hảo... Chúng ta nhận được:
2x-5x+3x=5-2-3
Chúng tôi đếm, và... ôi!!! Chúng tôi nhận được:
Bản thân sự bình đẳng này không có gì đáng phản đối. Số không thực sự là số không. Nhưng X bị thiếu! Và chúng ta phải viết ra câu trả lời, x bằng bao nhiêu? Nếu không thì giải pháp không được tính, phải không...) Bế tắc?
Điềm tĩnh! Trong những trường hợp đáng ngờ như vậy, những quy tắc chung nhất sẽ giúp bạn tiết kiệm. Làm thế nào để giải phương trình? Việc giải một phương trình có ý nghĩa gì? Điều này có nghĩa là, tìm tất cả các giá trị của x mà khi thay vào phương trình ban đầu sẽ cho ta đẳng thức đúng.
Nhưng chúng ta có sự bình đẳng thực sự đãđã xảy ra! 0=0, chính xác hơn bao nhiêu?! Vẫn còn phải tìm hiểu điều gì xảy ra với x. Những giá trị nào của X có thể thay thế vào nguyên bản phương trình nếu những x này liệu chúng vẫn sẽ giảm về 0 chứ? Cố lên?)
Đúng!!! X có thể được thay thế bất kì! Bạn muốn cái nào? Ít nhất là 5, ít nhất là 0,05, ít nhất là -220. Chúng vẫn sẽ co lại. Nếu không tin, bạn có thể kiểm tra.) Thay thế bất kỳ giá trị nào của X vào nguyên bản phương trình và tính toán. Lúc nào bạn cũng sẽ nhận được sự thật thuần túy: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1, v.v.
Đây là câu trả lời của bạn: x - bất kỳ số nào.
Câu trả lời có thể được viết bằng các ký hiệu toán học khác nhau, bản chất không thay đổi. Đây là một câu trả lời hoàn toàn chính xác và đầy đủ.
Bất ngờ thứ hai.
Hãy lấy cùng một phương trình tuyến tính cơ bản và chỉ thay đổi một số trong đó. Đây là điều chúng ta sẽ quyết định:
2x+1=5x+5 - 3x - 2
Sau những phép biến đổi giống hệt nhau, chúng ta nhận được một điều hấp dẫn:
Như thế này. Chúng tôi đã giải một phương trình tuyến tính và thu được một đẳng thức kỳ lạ. Về mặt toán học, chúng ta có sự bình đẳng sai lầm. Nhưng nói một cách đơn giản thì điều này không đúng. Rave. Tuy nhiên, điều vô nghĩa này lại là một lý do rất chính đáng cho nghiệm đúng của phương trình.)
Một lần nữa chúng tôi suy nghĩ dựa trên các quy tắc chung. Những gì x, khi thay thế vào phương trình ban đầu, sẽ cho chúng ta ĐÚNG VẬY bình đẳng? Vâng, không có! Không có X như vậy. Dù bạn có bỏ vào thứ gì thì mọi thứ sẽ giảm đi, chỉ còn lại những điều vô nghĩa.)
Đây là câu trả lời của bạn: không có giải pháp nào
Đây cũng là một câu trả lời hoàn toàn đầy đủ. Trong toán học, những câu trả lời như vậy thường được tìm thấy.
Như thế này. Bây giờ, tôi hy vọng rằng sự biến mất của X trong quá trình giải bất kỳ phương trình nào (không chỉ tuyến tính) sẽ không làm bạn bối rối chút nào. Đây đã là một vấn đề quen thuộc.)
Bây giờ chúng ta đã giải quyết được tất cả các cạm bẫy trong phương trình tuyến tính, việc giải chúng là điều hợp lý.
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Đầu tiên bạn cần hiểu nó là gì.
Có một định nghĩa đơn giản phương trình đường thẳng, được đưa ra ở một trường học bình thường: “một phương trình trong đó biến chỉ xảy ra ở lũy thừa bậc nhất.” Nhưng nó không hoàn toàn đúng: phương trình không phải là tuyến tính, nó thậm chí không quy về mức đó mà quy về phương trình bậc hai.
Một định nghĩa chính xác hơn là: phương trình đường thẳng là một phương trình mà sử dụng các phép biến đổi tương đương có thể được rút gọn về dạng , trong đó title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}
Trên thực tế, để hiểu liệu một phương trình có tuyến tính hay không, trước tiên nó phải được đơn giản hóa, nghĩa là đưa nó về dạng mà việc phân loại của nó sẽ rõ ràng. Hãy nhớ rằng, bạn có thể làm bất cứ điều gì bạn muốn với một phương trình miễn là nó không thay đổi gốc - nó là như vậy. chuyển đổi tương đương. Các phép biến đổi tương đương đơn giản nhất bao gồm:
- mở ngoặc
- mang lại tương tự
- nhân và/hoặc chia cả hai vế của một phương trình cho một số khác 0
- cộng và/hoặc trừ cả hai vế của cùng một số hoặc biểu thức*
*Một cách giải thích cụ thể của phép biến đổi cuối cùng là “chuyển” các thuật ngữ từ phần này sang phần khác bằng cách đổi dấu.
Ví dụ 1:
(hãy mở ngoặc)
(cộng vào cả hai phần và trừ/chuyển đổi bằng cách thay đổi dấu của số ở bên trái và các biến ở bên phải)
(hãy đưa ra những cái tương tự)
(chia cả hai vế của phương trình cho 3)
Vì vậy, chúng ta nhận được một phương trình có cùng gốc với phương trình ban đầu. Chúng ta hãy nhắc nhở người đọc rằng "giải phương trình"- có nghĩa là tìm ra tất cả các gốc rễ của nó và chứng minh rằng không có gốc rễ nào khác, và "gốc của phương trình"- đây là một số mà khi thay thế cho ẩn số sẽ biến phương trình thành một đẳng thức thực sự. Chà, trong phương trình cuối cùng, việc tìm một số biến phương trình thành một đẳng thức thực sự rất đơn giản - đây là số. Không có số nào khác sẽ tạo nên sự đồng nhất từ phương trình này. Trả lời:
Ví dụ 2:
(nhân cả hai vế của phương trình với 
, sau khi chắc chắn rằng chúng ta không nhân với : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(hãy mở ngoặc)
(hãy di chuyển các điều khoản)
(hãy đưa ra những cái tương tự)
(chúng tôi chia cả hai phần cho)
Đây đại khái là cách giải tất cả các phương trình tuyến tính. Đối với những độc giả nhỏ tuổi, rất có thể, lời giải thích này có vẻ phức tạp nên chúng tôi đưa ra một phiên bản "phương trình tuyến tính lớp 5"
Phương trình tuyến tính một biến có dạng tổng quát
ax + b = 0.
Ở đây x là một biến, a và b là các hệ số. Nói cách khác, a được gọi là “hệ số của ẩn số”, b là “số hạng tự do”.
Hệ số là một số loại số và việc giải phương trình có nghĩa là tìm giá trị của x sao cho biểu thức ax + b = 0 là đúng. Ví dụ, ta có phương trình tuyến tính 3x – 6 = 0. Giải phương trình này nghĩa là tìm x phải bằng bao nhiêu để 3x – 6 bằng 0. Thực hiện các phép biến đổi, ta có:
3x = 6
x = 2
Do đó biểu thức 3x – 6 = 0 đúng tại x = 2:
3 * 2 – 6 = 0
2 là nghiệm của phương trình này. Khi bạn giải một phương trình, bạn sẽ tìm ra nghiệm của nó.
Các hệ số a và b có thể là số bất kỳ, nhưng có những giá trị như vậy khi nghiệm của phương trình tuyến tính có một biến lớn hơn một.
Nếu a = 0 thì ax + b = 0 chuyển thành b = 0. Ở đây x bị “hủy”. Bản thân biểu thức b = 0 chỉ có thể đúng nếu biết b bằng 0. Nghĩa là, phương trình 0*x + 3 = 0 là sai, vì 3 = 0 là một phát biểu sai. Tuy nhiên, 0*x + 0 = 0 là biểu thức đúng. Từ đó, chúng ta kết luận rằng nếu a = 0 và b ≠ 0 thì một phương trình tuyến tính với một biến không có nghiệm nào cả, nhưng nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
Nếu b = 0 và a ≠ 0 thì phương trình sẽ có dạng ax = 0. Rõ ràng nếu a ≠ 0 nhưng kết quả của phép nhân là 0 thì x = 0. Tức là nghiệm của điều này phương trình là 0.
Nếu cả a và b đều không bằng 0 thì phương trình ax + b = 0 được chuyển về dạng
x = –b/a.
Giá trị của x trong trường hợp này sẽ phụ thuộc vào giá trị của a và b. Hơn nữa, nó sẽ là duy nhất. Nghĩa là không thể thu được hai hoặc nhiều giá trị khác nhau của x với cùng hệ số. Ví dụ,
–8,5x – 17 = 0
x = 17 / –8,5
x = –2
Không có số nào khác ngoài –2 có thể thu được bằng cách chia 17 cho –8,5.
Có những phương trình thoạt nhìn không giống dạng tổng quát của phương trình tuyến tính một biến nhưng lại dễ dàng chuyển đổi thành phương trình đó. Ví dụ,
–4,8 + 1,3x = 1,5x + 12
Nếu bạn di chuyển mọi thứ sang bên trái thì số 0 sẽ vẫn ở bên phải:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0
Bây giờ phương trình được rút gọn về dạng chuẩn và có thể giải được:
x = 16,8 / 0,2
x = 84
Một phương trình với một ẩn số, sau khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự, sẽ có dạng
ax + b = 0, trong đó a và b là các số tùy ý, được gọi là phương trình đường thẳng với một điều chưa biết. Hôm nay chúng ta sẽ tìm ra cách giải các phương trình tuyến tính này.
Ví dụ: tất cả các phương trình:
2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - tuyến tính.
Giá trị của ẩn số biến phương trình thành đẳng thức thực được gọi là phán quyết hoặc nghiệm của phương trình .
Ví dụ: nếu trong phương trình 3x + 7 = 13 thay vì ẩn số x, chúng ta thay số 2 thì thu được đẳng thức đúng 3 2 +7 = 13. Điều này có nghĩa là giá trị x = 2 là nghiệm hoặc nghiệm của phương trình.
Và giá trị x = 3 không biến phương trình 3x + 7 = 13 thành một đẳng thức thực sự, vì 3 2 +7 ≠ 13. Điều này có nghĩa là giá trị x = 3 không phải là nghiệm hay nghiệm của phương trình.
Việc giải bất kỳ phương trình tuyến tính nào cũng chuyển thành giải phương trình có dạng
ax + b = 0.
Chuyển số hạng tự do từ vế trái của phương trình sang phải, đổi dấu trước b thành ngược lại, ta được
Nếu a ≠ 0 thì x = ‒ b/a .
Ví dụ 1. Giải phương trình 3x + 2 =11.
Chuyển 2 từ vế trái sang phải, đổi dấu phía trước 2 thành ngược lại, ta được
3x = 11 – 2.
Sau đó hãy thực hiện phép trừ
3x = 9.
Để tìm x, bạn cần chia tích cho một thừa số đã biết, đó là
x = 9:3.
Điều này có nghĩa là giá trị x = 3 là nghiệm hoặc nghiệm của phương trình.
Đáp án: x = 3.
Nếu a = 0 và b = 0, thì ta được phương trình 0x = 0. Phương trình này có vô số nghiệm, vì khi nhân một số bất kỳ với 0 thì ta bằng 0, nhưng b cũng bằng 0. Nghiệm của phương trình này là một số bất kỳ.
Ví dụ 2. Giải phương trình 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.
Hãy mở rộng dấu ngoặc:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.
5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.
Dưới đây là một số thuật ngữ tương tự:
0x = 0.
Đáp án: x - số bất kỳ.
Nếu a = 0 và b ≠ 0, khi đó ta được phương trình 0x = - b. Phương trình này không có nghiệm, vì khi nhân bất kỳ số nào với 0, chúng ta nhận được 0, nhưng b ≠ 0.
Ví dụ 3. Giải phương trình x + 8 = x + 5.
Hãy nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số ở bên trái và các thuật ngữ tự do ở bên phải:
x – x = 5 – 8.
Dưới đây là một số thuật ngữ tương tự:
0х = - 3.
Trả lời: không có giải pháp.
TRÊN Hình 1 hiển thị sơ đồ để giải phương trình tuyến tính
Hãy vẽ một sơ đồ chung để giải phương trình với một biến. Hãy xem xét giải pháp cho Ví dụ 4.
Ví dụ 4. Giả sử chúng ta cần giải phương trình
1) Nhân tất cả các số hạng của phương trình với bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số, bằng 12.
2) Sau khi giảm chúng ta nhận được
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)
3) Để phân tách các thuật ngữ chứa thuật ngữ chưa biết và thuật ngữ tự do, hãy mở ngoặc:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.
4) Chúng ta hãy nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số vào một phần và phần còn lại - các thuật ngữ tự do:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.
5) Hãy trình bày các thuật ngữ tương tự:
- 22x = - 154.
6) Chia cho – 22, Ta được
x = 7.
Như bạn có thể thấy, nghiệm của phương trình là bảy.
Nói chung là như vậy phương trình có thể được giải bằng sơ đồ sau:
a) đưa phương trình về dạng số nguyên;
b) mở dấu ngoặc;
c) nhóm các thuật ngữ chứa ẩn số trong một phần của phương trình và các thuật ngữ tự do trong phần còn lại;
d) mang theo các thành viên tương tự;
e) giải phương trình có dạng aх = b, thu được sau khi đưa các số hạng tương tự.
Tuy nhiên, sơ đồ này không cần thiết cho mọi phương trình. Khi giải nhiều phương trình đơn giản hơn, bạn phải bắt đầu không phải từ phương trình thứ nhất mà từ phương trình thứ hai ( Ví dụ. 2), ngày thứ ba ( Ví dụ. 13) và thậm chí từ giai đoạn thứ năm, như trong ví dụ 5.
Ví dụ 5. Giải phương trình 2x = 1/4.
Tìm ẩn số x = 1/4:2,
x = 1/8 .
Chúng ta hãy xem xét việc giải một số phương trình tuyến tính trong bài kiểm tra trạng thái chính.
Ví dụ 6. Giải phương trình 2 (x + 3) = 5 – 6x.
2x + 6 = 5 – 6x
2x + 6x = 5 – 6
Đáp án: - 0,125
Ví dụ 7. Giải phương trình – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.
– 30 + 18x = 8x – 7
18x – 8x = – 7 +30
Đáp án: 2.3
Ví dụ 8. Giải phương trình
3(3x – 4) = 4 7x + 24
9x – 12 = 28x + 24
9x – 28x = 24 + 12
Ví dụ 9. Tìm f(6) nếu f (x + 2) = 3 7's
Giải pháp
Vì chúng ta cần tìm f(6) và chúng ta biết f (x + 2),
thì x + 2 = 6.
Ta giải phương trình tuyến tính x + 2 = 6,
ta được x = 6 – 2, x = 4.
Nếu x = 4 thì
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27
Trả lời: 27.
Nếu bạn còn thắc mắc hoặc muốn hiểu rõ hơn cách giải phương trình, hãy đăng ký học các bài học của tôi trong LỊCH. Tôi sẽ rất vui lòng giúp bạn!
TutorOnline cũng khuyên bạn nên xem video bài học mới từ gia sư Olga Alexandrovna của chúng tôi, bài học này sẽ giúp bạn hiểu cả phương trình tuyến tính và các phương trình khác.
trang web, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết đến nguồn.