Cách tìm nghiệm thuộc một khoảng trong lượng giác. Các phương pháp chọn nghiệm của phương trình lượng giác











Trở lại Tiến lên

Chú ý! Bản xem trước trang chiếu chỉ nhằm mục đích cung cấp thông tin và có thể không thể hiện tất cả các tính năng của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến tác phẩm này, vui lòng tải xuống phiên bản đầy đủ.

Loại bài học: Bài học về sự lặp lại, khái quát hóa và hệ thống hóa tài liệu đã học.

Mục tiêu của bài học:

  • giáo dục: củng cố khả năng chọn nghiệm của phương trình lượng giác trên đường tròn số; khuyến khích học sinh nắm vững các kỹ thuật, phương pháp hữu tỉ để giải phương trình lượng giác;
  • đang phát triển: phát triển tư duy logic, khả năng làm nổi bật nội dung chính, khái quát hóa, rút ​​ra kết luận logic đúng ;
  • giáo dục: nuôi dưỡng những phẩm chất tính cách như sự kiên trì trong việc đạt được mục tiêu, khả năng không bị bối rối trong một tình huống có vấn đề.

Thiết bị: máy chiếu đa phương tiện, máy tính.

Tiến độ bài học

I. Thời điểm tổ chức.

Kiểm tra sự sẵn sàng của bài học, lời chào.

II. Đặt mục tiêu.

Nhà văn Pháp Anatole France từng nói: “…Để tiêu hóa kiến ​​thức, người ta phải tiếp thu nó một cách thèm khát”. Vì vậy, hãy làm theo lời khuyên khôn ngoan này ngay hôm nay và tiếp thu kiến ​​thức với lòng khao khát mãnh liệt, vì nó sẽ hữu ích cho các bạn trong kỳ thi Thống nhất sắp tới.

Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ tiếp tục rèn luyện kỹ năng chọn căn trong phương trình lượng giác bằng cách sử dụng vòng tròn số. Đường tròn thuận tiện được sử dụng cả khi chọn các nghiệm trên một khoảng có độ dài không vượt quá 2π và trong trường hợp các giá trị của hàm lượng giác nghịch đảo không ở dạng bảng. Khi hoàn thành nhiệm vụ, chúng tôi sẽ không chỉ sử dụng các phương pháp, phương pháp đã nghiên cứu mà còn cả các phương pháp tiếp cận không chuẩn.

III. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản.

1. Giải phương trình: (Slide 3-5)

a) cosx = 0
b) cosx = 1
c) cosx = - 1
d) sinx = 1
e) sinx = 0
e) sinx = - 1
g) tgx = 1
h) tgx = 0

2. Điền vào chỗ trống: (Slide 6)

sin2x =
cos2x =
1/cos 2 x – 1=
sin(π/2 – x) =
sin(x – π/2) =
cos(3π/2 – 2x) =

3. Hiển thị các đoạn sau trên vòng tròn số (Slide 7) [- 7π/2; -2π], [-π; π/2], [π; 3π], , [-2π; -π/2], [-3π/2; -π/2], [-3π; -2π], [-4π; -5π/2].

4. Áp dụng định lý Vieta và hệ quả của nó, tìm nghiệm của các phương trình: (Slide 8)

t 2 -2t-3=0; 2t 2 -3t-3=0; t 2 +4t-5=0; 2t 2 +t-1=0; 3t 2 +7t=4=0; 2t 2 -3t+1=0

IV. Làm bài tập.

(Trang trình bày 9)

Sự đa dạng của các phương pháp biến đổi biểu thức lượng giác buộc chúng ta phải lựa chọn phương pháp hợp lý hơn.

1. Giải phương trình: (Một học sinh giải trên bảng. Các em còn lại tham gia lựa chọn phương án giải hợp lý và ghi vào vở. Giáo viên theo dõi tính chính xác của lý luận của học sinh.)

1) 2sin 3 x-2sinx+cos 2 x=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-7π/2; - 2π].

Giải pháp.

[-7π/2; -2π]

Chúng tôi nhận được những con số:- 7π/2; -19π/6;-5π/2.

Trả lời: a)π /2+ πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, NЄ Z; b) - 7π/2, -19π/6, -5π/2.

2) sin 2 x-2sinx∙cosx-3cos 2 x=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-π; π/2].

Giải pháp.

Một) Chia cả hai vế của phương trình chovì 2 x=0. Chúng tôi nhận được:

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[-π; π/2]

Chúng tôi nhận được những con số:- π+ arctg3 ; -π/4;arctg3.

Trả lời: a) - π /4+ πn, arctg3+ πn, NЄ Z; b) - π+ arctg3 , -π/4,arctg3.

3) 2sin 2 x-3cosx-3=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [π; 3π].

Giải pháp.

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[π; 3π]

Ta được các số: π; 4π/3; 8π/3;3π.

Trả lời: a) π +2 πn, ±2π /3+2 πn, NЄ Z; b)π, 4π/3, 8π/3,3π.

4) 1/cos2x +4tgx - 6=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [ 2π;7π/2] .

Giải pháp.

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[; 7π/2]

Ta được các số: 9π/4; 3π-arctg5;1 3π/4.

Trả lời: a)π /4+ πn, - arctg5+ πn, NЄ Z; b)9π/4, 3π-arctg5, 1 3π/4.

5) 1/cos 2 x + 1/sin(x – π/2) = 2. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-2π; -π/2].

Giải pháp.

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[-2 π; -π/2]

Ta được các số: -5π/3;-π .

Trả lời: a)π +2 πn, ± π /3+2 πn, NЄ Z; b)-5π/3;-π .

2. Làm việc theo cặp: (Hai học sinh làm bài trên bảng phụ, số còn lại ghi vào vở. Sau đó, các bài tập sẽ được kiểm tra và phân tích.)

Giải các phương trình:

Giải pháp.

Xem xét rằngtgx≠1 vàtgx>0, Hãy chọn các gốc bằng cách sử dụng vòng tròn số.Chúng tôi nhận được:

x = arccos√2/3+2 πn, NЄ Z.

Trả lời:arccos√2/3+2 πn, NЄ Z.

6cos2x-14 cos 2 x - 7sin2x = 0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-3π/2; - π/2].

Giải pháp.

Một) 6(vì 2 x- tội lỗi 2 x)-14 vì 2 x-14 cosxsinx=0; 6 vì 2 x-6 tội lỗi 2 x-14 vì 2 x-14 cosxsinx=0;

3 tội lỗi 2 x+7 cosxsinx+4 vì 2 x=0 Chia cả hai vế của phương trình chovì 2 x=0. Chúng tôi nhận được:

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[-3π/2; -π/2]

Chúng tôi nhận được các con số: -5π /4;- π - arctg4/3.

Trả lời: a)- π /4+ πn, - arctg4/3+ πn, NЄ Z; b)-5π/4, -π - arctg4/3.

3. Làm việc độc lập. (Sau khi làm bài xong, học sinh đổi vở và kiểm tra bài làm của bạn cùng lớp, sửa lỗi (nếu có) bằng bút mực đỏ.)

Giải các phương trình:

1) 2cos 2 x+(2-√2)sinx+√2-2=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-3π; -2π].

Giải pháp.

Một) 2(1- tội lỗi 2 x)+2 tội lỗi-√2 tội lỗi+√2-2=0; 2-2 tội lỗi 2 x+2 tội lỗi-√2 tội lỗi+√2-2=0; -2 tội lỗi(tội lỗi-1)-√2(tội lỗi-1)=0;

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[-3π; -2π].

Chúng tôi nhận được các con số: -11π /4;-9 π /4.

Trả lời: a) π /2+2 πn, - π /4+2 πn, -3 π /4+2 πn, NЄ Z; b)-11π/4, -9π /4 .

2) cos(3π/2-2x)=√2sinx. Chỉ định các gốc thuộc phân khúc

Giải pháp.

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng.

Ta được số: 13π /4;3 π ;4 π .

Trả lời: a)πn, ±3π /4+2 πn, NЄ Z; b) 13 π /4,3 π , 4 π .

3)1/tg 2 x – 3/sinx+3=0. Hãy chỉ ra các nghiệm thuộc đoạn [-4π; -5π/2]

Giải pháp.

b) Dùng vòng tròn số chọn các nghiệm thuộc đoạn thẳng[-4π;-5π/2].

Chúng tôi nhận được những con số:-19 π /6;-7 π /2;-23 π /6.

Trả lời: a)π /2+2 πn, π /6+2 πn, 5 π /6+2 πn, NЄ Z; b)-19 π /6,-7 π /2,-23 π /6.

V. Tóm tắt bài học.

Việc chọn nghiệm trong phương trình lượng giác đòi hỏi phải có kiến ​​thức tốt về công thức, khả năng áp dụng vào thực tế và đòi hỏi sự chú ý, trí thông minh.

VI. Giai đoạn phản ánh

(Trang trình bày 10)

Ở giai đoạn suy ngẫm, học sinh được yêu cầu sáng tác một bài đồng dao ở dạng thơ

bày tỏ thái độ của bạn đối với tài liệu đang được nghiên cứu.

Ví dụ:

Vòng tròn.
Số, lượng giác.
Hãy nghiên cứu, tìm hiểu, trở nên hứng thú.
Có mặt trong kỳ thi Thống nhất.
Thực tế.

VII. bài tập về nhàe.

1. Giải các phương trình:

2. Nhiệm vụ thực tế.

Soạn hai phương trình lượng giác chứa các công thức đối số kép.

VIII. Văn học.

Kỳ thi Thống nhất năm 2013: Toán: phiên bản đầy đủ nhất của các phiên bản tiêu chuẩn của nhiệm vụ / biên soạn của tác giả. I.V. Yashchenko, I.R. Vysotsky; được chỉnh sửa bởi A.L. Semyonova, I.V. Yashchenko - M.:AST: Astrel, 2013.

Bài viết này có thể giúp ích cho học sinh trung học cũng như giáo viên trong việc giải các phương trình lượng giác và chọn nghiệm thuộc một khoảng nhất định. Tùy thuộc vào những hạn chế được đưa ra đối với các rễ thu được, bạn nên sử dụng các phương pháp khác nhau để chọn rễ, tức là bạn cần thực hiện phương pháp sẽ cho kết quả chính xác rõ ràng hơn.

Xem nội dung tài liệu
“ CÁCH CHỌN GỐC PHƯƠNG PHÁP LÍ GIÁC”

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỌN GỐC PHƯƠNG PHÁP LÍ GIÁC

Popova Tatyana Sergeevna, giáo viên toán, khoa học máy tính, vật lý MCOU BGO Trường THCS Petrovskaya

Kỳ thi Thống nhất môn toán bao gồm các nhiệm vụ liên quan đến giải phương trình. Có các phương trình tuyến tính, bậc hai, hữu tỉ, vô tỷ, hàm mũ, logarit và lượng giác. Các phương trình này là bắt buộc: thứ nhất là giải, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của chúng, và thứ hai, chọn các nghiệm thuộc khoảng này hoặc khoảng khác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về cách giải phương trình lượng giác và chọn nghiệm của nó theo nhiều cách khác nhau. Tùy thuộc vào những hạn chế nào được đưa ra đối với các rễ thu được, bạn nên sử dụng các phương pháp khác nhau để chọn rễ, tức là bạn cần thực hiện phương pháp sẽ cho kết quả chính xác rõ ràng hơn.

Hãy xem xét ba cách để chọn rễ:

Sử dụng vòng tròn đơn vị;

Sử dụng bất đẳng thức;

Sử dụng biểu đồ.

Hãy xem xét các phương pháp này bằng một ví dụ cụ thể.

Hãy giao nhiệm vụ sau:

a) Giải phương trình

b) Hãy chỉ ra nghiệm của phương trình này thuộc đoạn thẳng.

Đầu tiên chúng ta giải phương trình này:

Sử dụng công thức góc đôi và công thức ma, chúng ta có:

Từ đây, hoặc. Giải mỗi phương trình, ta được:

; hoặc
.

b) Bạn có thể chọn các nghiệm bằng cách sử dụng một vòng tròn đơn vị (Hình 1), nhưng trẻ em sẽ bối rối vì khoảng đã cho có thể lớn hơn chiều dài của vòng tròn và rất khó để mô tả nó khi áp dụng cho vòng tròn:

Chúng tôi nhận được những con số:

Bạn có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức. Lưu ý rằng nếu cho trước một phân đoạn thì bất đẳng thức không nghiêm ngặt và nếu đó là một khoảng thì bất đẳng thức là nghiêm ngặt. Hãy kiểm tra từng gốc

Xét rằng -3, -2. Thay n vào công thức gốc, ta được rễ ; x=

Tương tự, chúng tôi tìm thấy gốc rễ của,

k- không có cái nào toàn bộ,

1, thay thế vào gốc chung

Chúng ta thu được các nghiệm giống hệt như khi sử dụng vòng tròn đơn vị.

Phương pháp này có thể phức tạp hơn, nhưng theo kinh nghiệm của chúng tôi, khi giải các phương trình như vậy và chọn nghiệm với học sinh, chúng tôi nhận thấy rằng học sinh mắc ít lỗi hơn khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức.

Sử dụng cùng một ví dụ, hãy xem xét việc chọn nghiệm của phương trình bằng biểu đồ (Hình 2)

Chúng tôi cũng nhận được ba gốc:

Chúng ta cần dạy trẻ sử dụng cả ba phương pháp chọn rễ, sau đó để trẻ tự quyết định phương pháp nào dễ hơn và phương pháp nào gần hơn. Bạn cũng có thể tự kiểm tra xem quyết định của mình có đúng hay không bằng các phương pháp khác nhau.

Văn học sử dụng:

    http://yourtutor.info

    http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matemaike

Số 10 (757) XUẤT BẢN TỪ NĂM 1992 mat.1september.ru Chủ đề của vấn đề Kiểm tra kiến ​​thức Dự án của chúng tôi Cuộc thi Chú ý - Phân tích bài học sáng tạo Cúp Ural cho kỳ thi mạnh “Tiên đề về các đường song song của học sinh” p. 16 giờ chiều 20 giờ tối 44 7 6 5 4 3 phiên bản của tạp chí ja va l 2 o n an n e r e l e n t e l n i do p o p o t e r a l s 1 m a in e t b m a c h i n L i t e r u s 1 2 3 4 5 6 0 r. 3. Đánh dấu càng nhiều điểm co-P(1; 0) càng tốt, tương ứng với các điểm đối xứng tương ứng với các giá trị đã cho của hàm kam trên đường tròn lượng giác; 1 (ví dụ | sin x | =).< x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ-  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  . ствующие требуемым значениям тригонометри-  2 2  ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со-  3π 5π  ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈  − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить  2 2  π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0.  π  − cos x ряющие условию x ∈  − ; 2π  .  2  Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме  tg x = 1, π 3  вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6  cos x < 0.  π  условия x ∈  − ; 2π  , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности  2  корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2  3π 5π  ряющие условию x ∈  − ;  .  2 2  Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2  3π 5π  графика на промежутке  − ;  .  2 2  Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6  cos x = 0,  16 − x >0. 2 Do đó, trên một khoảng cho trước phương trình có bốn nghiệm: Từ phương trình cos x = 0 ta thu được: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − .

Nghiệm của bất đẳng thức 16 – x2 > 0 thuộc khoảng 6 6 6 6 (–4; 4). Để kết luận, chúng ta hãy nhấn mạnh một vài điểm.

Hãy thực hiện tìm kiếm toàn diện: Kỹ năng liên quan đến việc tìm nghiệm thỏa mãn các giá trị cho trước của đối số, nếu n = 0 thì x = + π ⋅0 = ≈ ∈(−4; 4);

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

  • Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ email, v.v.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

  • Thông tin cá nhân chúng tôi thu thập cho phép chúng tôi liên hệ với bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo cũng như các sự kiện khác và sự kiện sắp tới.
  • Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
  • Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như tiến hành kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau nhằm cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất về dịch vụ của chúng tôi.
  • Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

  • Nếu cần thiết - theo luật pháp, thủ tục tư pháp, thủ tục tố tụng và/hoặc trên cơ sở yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ các cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
  • Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.