Công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân rất đơn giản. Cả về ý nghĩa lẫn hình thức tổng quát. Nhưng có đủ loại vấn đề về công thức của số hạng thứ n - từ rất cơ bản đến khá nghiêm trọng. Và trong quá trình làm quen, chúng tôi chắc chắn sẽ cân nhắc cả hai. Vâng, chúng ta hãy làm quen nhé?)
Vì vậy, để bắt đầu, thực sự công thứcN
Cô ấy đây rồi:
b n = b 1 · qn -1
Công thức chỉ là công thức, không có gì siêu nhiên cả. Nó trông thậm chí còn đơn giản và nhỏ gọn hơn so với một công thức tương tự. Ý nghĩa của công thức cũng đơn giản như đôi bốt nỉ vậy.
Công thức này cho phép bạn tìm BẤT KỲ phần tử nào của cấp số nhân THEO SỐ CỦA NÓ " N".
Như bạn có thể thấy, ý nghĩa hoàn toàn tương tự với cấp số cộng. Chúng ta biết số n - chúng ta cũng có thể đếm số hạng dưới số này. Bất cứ cái nào chúng ta muốn. Không nhân nhiều lần với "q" nhiều lần. Đó là toàn bộ vấn đề.)
Tôi hiểu rằng ở cấp độ làm việc với cấp số nhân này, tất cả các đại lượng có trong công thức đều đã rõ ràng với bạn, nhưng tôi vẫn coi nhiệm vụ của mình là phải giải mã từng đại lượng. Chỉ trong trường hợp.
Vì vậy, chúng ta bắt đầu:
b 1 – Đầu tiên số hạng cấp số nhân;
q – ;
N- số thành viên;
b n – thứ n (Nquần què) hạn của một tiến trình hình học.
Công thức này kết nối bốn tham số chính của bất kỳ cấp số nhân nào - bN, b 1 , q Và N. Và tất cả các bài toán cấp tiến đều xoay quanh bốn nhân vật chủ chốt này.
“Làm thế nào nó được gỡ bỏ?”– Tôi nghe thấy một câu hỏi tò mò… Tiểu học! Nhìn!
Cái gì bằng thứ hai thành viên của sự tiến bộ? Không có gì! Chúng tôi viết trực tiếp:
b 2 = b 1 ·q
Còn thành viên thứ ba thì sao? Cũng không thành vấn đề! Chúng tôi nhân số hạng thứ hai một lần nữa vàoq.
Như thế này:
B 3 = b 2 q
Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng số hạng thứ hai lần lượt bằng b 1 ·q và thay biểu thức này vào đẳng thức của chúng ta:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Chúng tôi nhận được:
B 3 = b 1 ·q 2
Bây giờ hãy đọc mục của chúng tôi bằng tiếng Nga: ngày thứ ba số hạng bằng số hạng đầu tiên nhân với q trong thứ haiđộ. Bạn hiểu không? Chưa? Được rồi, một bước nữa.
Thuật ngữ thứ tư là gì? Tất cả đều giống nhau! nhân trước(tức là số hạng thứ ba) trên q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3
Tổng cộng:
B 4 = b 1 ·q 3
Và một lần nữa chúng tôi dịch sang tiếng Nga: thứ tư số hạng bằng số hạng đầu tiên nhân với q trong ngày thứ bađộ.
Và như thế. Vậy nó thế nào? Bạn đã nắm bắt được mô hình? Đúng! Đối với bất kỳ số hạng nào có số bất kỳ, số lượng thừa số q (tức là bậc của mẫu số) sẽ luôn là ít hơn số lượng thành viên mong muốn mộtN.
Do đó, công thức của chúng tôi sẽ không có tùy chọn:
b n =b 1 · qn -1
Đó là tất cả.)
Chà, tôi đoán là hãy giải quyết vấn đề?)
Giải các bài toán về công thứcNhạng thứ của một cấp số nhân.
Hãy bắt đầu, như thường lệ, với việc áp dụng trực tiếp công thức. Đây là một vấn đề điển hình:
Trong tiến trình hình học, người ta biết rằng b 1 = 512 và q = -1/2. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân.
Tất nhiên, vấn đề này có thể được giải quyết mà không cần bất kỳ công thức nào. Trực tiếp theo nghĩa tiến triển hình học. Nhưng chúng ta cần khởi động lại với công thức của số hạng thứ n, phải không? Ở đây chúng tôi đang nóng lên.
Dữ liệu của chúng tôi để áp dụng công thức như sau.
Thành viên đầu tiên được biết đến. Đây là 512.
b 1 = 512.
Mẫu số của sự tiến triển cũng được biết đến: q = -1/2.
Tất cả những gì còn lại là tìm ra số lượng thành viên n là bao nhiêu. Không có gì! Chúng ta có quan tâm đến nhiệm kỳ thứ mười không? Vì vậy chúng ta thay thế mười thay vì n vào công thức tổng quát.
Và tính toán cẩn thận số học:
Trả lời 1
Như bạn có thể thấy, số hạng thứ mười của cấp số hóa ra là số âm. Không có gì đáng ngạc nhiên: mẫu số lũy tiến của chúng tôi là -1/2, tức là tiêu cực con số. Và điều này cho chúng ta biết rằng các dấu hiệu tiến triển của chúng ta thay đổi, vâng.)
Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Đây là một vấn đề tương tự, nhưng phức tạp hơn một chút về mặt tính toán.
Trong tiến trình hình học, người ta biết rằng:
b 1 = 3
Tìm số hạng thứ mười ba của cấp số nhân.
Mọi thứ đều giống nhau, chỉ lần này mẫu số của tiến trình là không hợp lý. Gốc của hai. Không sao đâu. Công thức là một thứ phổ quát; nó có thể xử lý bất kỳ con số nào.
Chúng tôi làm việc trực tiếp theo công thức:
Tất nhiên, công thức đã hoạt động như bình thường, nhưng... đây là lúc một số người gặp khó khăn. Làm gì tiếp theo với root? Làm thế nào để nâng gốc lên sức mạnh thứ mười hai?
Làm thế nào-làm thế nào... Bạn phải hiểu rằng bất kỳ công thức nào, tất nhiên, là một điều tốt, nhưng kiến thức về tất cả các môn toán trước đó không bị hủy bỏ! Làm thế nào để xây dựng? Vâng, hãy nhớ các tính chất của độ! Hãy biến gốc thành mức độ phân số và – theo công thức nâng cao độ lên một độ.
Như thế này:
Đáp án: 192
Và đó là tất cả.)
Khó khăn chính khi áp dụng trực tiếp công thức số hạng thứ n là gì? Đúng! Khó khăn chính là làm việc với bằng cấp! Cụ thể là nâng số âm, phân số, căn thức và các cách xây dựng tương tự lên lũy thừa. Vì vậy, những ai có vấn đề với điều này, vui lòng nhắc lại độ và tính chất của chúng! Nếu không bạn cũng sẽ làm chậm chủ đề này lại, vâng...)
Bây giờ hãy giải quyết các vấn đề tìm kiếm điển hình một trong những yếu tố của công thức, nếu tất cả những cái khác được đưa ra. Để giải quyết thành công những vấn đề như vậy, công thức rất thống nhất và cực kỳ đơn giản - viết công thứcN-thành viên thứ nói chung! Ngay trong cuốn sổ bên cạnh tình trạng. Và sau đó từ điều kiện chúng ta tìm ra cái gì được cho và cái gì còn thiếu. Và chúng tôi thể hiện giá trị mong muốn từ công thức. Tất cả!
Ví dụ, một vấn đề vô hại như vậy.
Số hạng thứ năm của một cấp số nhân có mẫu số 3 là 567. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
Không có gì phức tạp. Chúng tôi làm việc trực tiếp theo chính tả.
Hãy viết công thức của số hạng thứ n!
b n = b 1 · qn -1
Chúng ta đã được ban cho những gì? Đầu tiên, mẫu số của tiến trình được đưa ra: q = 3.
Hơn nữa, chúng ta được cấp thành viên thứ năm: b 5 = 567 .
Tất cả? KHÔNG! Chúng tôi cũng đã được cấp số n! Đây là năm: n = 5.
Tôi hy vọng bạn đã hiểu những gì trong đoạn ghi âm b 5 = 567 hai tham số được ẩn cùng một lúc - đây chính là thuật ngữ thứ năm (567) và số của nó (5). Tôi đã nói về điều này trong một bài học tương tự, nhưng tôi nghĩ nó cũng đáng được đề cập ở đây.)
Bây giờ chúng tôi thay thế dữ liệu của mình vào công thức:
567 = b 1 ·3 5-1
Chúng tôi thực hiện phép tính, đơn giản hóa và nhận được một phương trình tuyến tính đơn giản:
81 b 1 = 567
Chúng tôi giải quyết và nhận được:
b 1 = 7
Như bạn có thể thấy, không có vấn đề gì khi tìm số hạng đầu tiên. Nhưng khi tìm mẫu số q và những con số N Cũng có thể có những điều bất ngờ. Và bạn cũng cần phải chuẩn bị cho chúng (thật ngạc nhiên), vâng.)
Ví dụ: vấn đề này:
Số hạng thứ năm của một cấp số nhân có mẫu số dương là 162 và số hạng đầu tiên của cấp số nhân này là 2. Tìm mẫu số của cấp số nhân.
Lần này chúng ta được cung cấp số hạng thứ nhất và thứ năm, đồng thời được yêu cầu tìm mẫu số của cấp số nhân. Bắt đầu nào.
Chúng tôi viết công thứcNthành viên thứ!
b n = b 1 · qn -1
Dữ liệu ban đầu của chúng ta sẽ như sau:
b 5 = 162
b 1 = 2
N = 5
Thiếu giá trị q. Không có gì! Hãy tìm nó ngay bây giờ.) Chúng tôi thay thế mọi thứ chúng tôi biết vào công thức.
Chúng tôi nhận được:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Một phương trình đơn giản của mức độ thứ tư. Và bây giờ - cẩn thận!Đến bước giải này, nhiều học sinh liền vui vẻ rút ra nghiệm (bậc 4) và nhận được đáp án q=3 .
Như thế này:
q4 = 81
q = 3
Nhưng thực ra đây là một câu trả lời chưa hoàn chỉnh. Chính xác hơn là không đầy đủ. Tại sao? Vấn đề là câu trả lời q = -3 cũng phù hợp: (-3) 4 cũng sẽ là 81!
Điều này là do phương trình công suất x n = Một luôn luôn có hai gốc đối diện Tại thậm chíN . Với điểm cộng và điểm trừ:
Cả hai đều phù hợp.
Ví dụ: khi quyết định (tức là thứ haiđộ)
x 2 = 9
Vì lý do nào đó bạn không ngạc nhiên trước vẻ ngoài hai nghiệm x=±3? Ở đây cũng tương tự. Và với bất kỳ ai khác thậm chíđộ (thứ tư, thứ sáu, thứ mười, v.v.) sẽ giống nhau. Chi tiết có trong chủ đề về
Vì vậy, giải pháp đúng sẽ là:
q 4 = 81
q= ±3
Được rồi, chúng tôi đã sắp xếp các dấu hiệu. Cái nào đúng - cộng hay trừ? Nào, chúng ta hãy đọc lại báo cáo vấn đề để tìm kiếm thông tin thêm. Tất nhiên, nó có thể không tồn tại, nhưng trong bài toán này những thông tin như vậy có sẵn.Điều kiện của chúng tôi nêu rõ bằng văn bản đơn giản rằng một tiến trình được đưa ra với mẫu số dương.
Vì vậy câu trả lời là hiển nhiên:
q = 3
Mọi thứ đều đơn giản ở đây. Bạn nghĩ điều gì sẽ xảy ra nếu báo cáo vấn đề như thế này:
Số hạng thứ năm của cấp số nhân là 162 và số hạng đầu tiên của cấp số nhân này là 2. Tìm mẫu số của cấp số nhân.
Sự khác biệt là gì? Đúng! Trong điều kiện Không có gì không đề cập đến dấu hiệu của mẫu số. Không trực tiếp cũng không gián tiếp. Và ở đây vấn đề đã có rồi hai giải pháp!
q = 3 Và q = -3
Vâng vâng! Cả điểm cộng và điểm trừ.) Về mặt toán học, thực tế này có nghĩa là có hai tiến trình, phù hợp với điều kiện của bài toán. Và mỗi cái đều có mẫu số riêng. Để giải trí, hãy thực hành và viết ra năm thuật ngữ đầu tiên của mỗi thuật ngữ.)
Bây giờ chúng ta cùng luyện tập tìm số của thành viên nhé. Vấn đề này là khó khăn nhất, vâng. Nhưng cũng sáng tạo hơn.)
Cho một tiến trình hình học:
3; 6; 12; 24; …
Số nào trong tiến trình này là số 768?
Bước đầu tiên vẫn như cũ: viết công thứcNthành viên thứ!
b n = b 1 · qn -1
Và bây giờ, như thường lệ, chúng tôi thay thế dữ liệu chúng tôi biết vào đó. Ừm... nó không hoạt động! Số hạng đầu tiên ở đâu, mẫu số ở đâu, mọi thứ khác ở đâu?!
Ở đâu, ở đâu... Tại sao chúng ta cần có mắt? Vỗ lông mi của bạn? Lần này tiến trình được cung cấp trực tiếp cho chúng tôi dưới dạng trình tự. Chúng ta có thể nhìn thấy thành viên đầu tiên không? Chúng tôi thấy! Đây là bộ ba (b 1 = 3). Còn mẫu số thì sao? Chúng ta chưa nhìn thấy nó, nhưng nó rất dễ đếm. Tất nhiên, nếu bạn hiểu...
Thế là chúng tôi đếm. Trực tiếp theo ý nghĩa của cấp số nhân: chúng ta lấy bất kỳ số hạng nào của nó (trừ số hạng đầu tiên) và chia cho số hạng trước đó.
Ít nhất là như thế này:
q = 24/12 = 2
Chúng ta còn biết gì nữa? Chúng ta cũng biết một số số hạng của cấp số này, bằng 768. Dưới số n nào đó:
b n = 768
Chúng tôi không biết số điện thoại của anh ấy, nhưng nhiệm vụ của chúng tôi chính xác là tìm ra anh ấy.) Vì vậy chúng tôi đang tìm kiếm. Chúng tôi đã tải xuống tất cả dữ liệu cần thiết để thay thế vào công thức. Bản thân bạn không hề biết.)
Ở đây chúng tôi thay thế:
768 = 3 2N -1
Chúng ta hãy làm những điều cơ bản - chia cả hai vế cho ba và viết lại phương trình ở dạng thông thường: cái chưa biết ở bên trái, cái đã biết ở bên phải.
Chúng tôi nhận được:
2 N -1 = 256
Đây là một phương trình thú vị. Chúng ta cần tìm "n". Cái gì, bất thường à? Vâng, tôi không tranh luận. Thực ra đây là điều đơn giản nhất. Nó được gọi như vậy vì ẩn số (trong trường hợp này là số N) chi phí trong chỉ báođộ.
Ở giai đoạn học về cấp số nhân (đây là lớp 9), người ta không dạy các em cách giải phương trình mũ, vâng... Đây là chủ đề dành cho cấp trung học phổ thông. Nhưng không có gì đáng sợ cả. Ngay cả khi bạn không biết cách giải các phương trình đó, hãy thử tìm N, được hướng dẫn bởi logic đơn giản và lẽ thường.
Hãy bắt đầu nói chuyện. Ở bên trái chúng ta có một sự thất vọng đến một mức độ nhất định. Chúng tôi vẫn chưa biết chính xác mức độ này là gì, nhưng điều đó không đáng sợ. Nhưng chúng tôi biết chắc chắn rằng mức độ này bằng 256! Vì vậy, chúng ta nhớ số hai mang lại cho chúng ta 256 ở mức độ nào. Bạn có nhớ không? Đúng! TRONG thứ támđộ!
256 = 2 8
Nếu bạn không nhớ hoặc gặp khó khăn khi nhận dạng độ thì cũng không sao: chỉ cần liên tiếp bình phương hai, lập phương, thứ tư, thứ năm, v.v. Trên thực tế, việc lựa chọn nhưng ở cấp độ này sẽ hoạt động khá tốt.
Bằng cách này hay cách khác, chúng tôi nhận được:
2 N -1 = 2 8
N-1 = 8
N = 9
Vậy 768 là thứ chín thành viên của sự tiến bộ của chúng tôi. Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.)
Trả lời: 9
Cái gì? Nhạt nhẽo? Mệt mỏi vì những thứ cơ bản? Đồng ý. Và tôi cũng thế. Hãy chuyển sang cấp độ tiếp theo.)
Nhiệm vụ phức tạp hơn.
Bây giờ hãy giải quyết những vấn đề khó khăn hơn. Không hẳn là cực hay, nhưng là những câu hỏi cần phải nỗ lực một chút để có được câu trả lời.
Ví dụ như cái này.
Tìm số hạng thứ hai của cấp số nhân nếu số hạng thứ tư của nó là -24 và số hạng thứ bảy của nó là 192.
Đây là một tác phẩm kinh điển của thể loại này. Một số số hạng khác nhau của tiến trình đã được biết, nhưng cần tìm một số hạng khác. Hơn nữa, tất cả các thành viên KHÔNG phải là lân cận. Điều này lúc đầu có vẻ khó hiểu, vâng...
Như trong, để giải quyết những vấn đề như vậy, chúng ta sẽ xem xét hai phương pháp. Phương pháp đầu tiên là phổ quát. Đại số. Hoạt động hoàn hảo với mọi dữ liệu nguồn. Vì vậy, đó là nơi chúng ta sẽ bắt đầu.)
Chúng tôi mô tả từng thuật ngữ theo công thức Nthành viên thứ!
Mọi thứ đều giống hệt như với một cấp số cộng. Chỉ lần này chúng tôi đang làm việc với khác công thức chung. Chỉ vậy thôi.) Nhưng bản chất là như nhau: chúng ta lấy và từng cái một Chúng tôi thay thế dữ liệu ban đầu của chúng tôi vào công thức cho số hạng thứ n. Đối với mỗi thành viên - của riêng họ.
Đối với số hạng thứ tư, chúng tôi viết:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Ăn. Một phương trình đã sẵn sàng.
Đối với số hạng thứ bảy, chúng tôi viết:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Tổng cộng, chúng ta có hai phương trình cho sự tiến triển giống nhau .
Chúng tôi lắp ráp một hệ thống từ họ:
Mặc dù có vẻ ngoài đáng sợ nhưng hệ thống này khá đơn giản. Giải pháp rõ ràng nhất là thay thế đơn giản. Chúng tôi bày tỏ b 1 từ phương trình trên và thay thế nó vào phương trình dưới:
Sau khi loay hoay với phương trình dưới cùng một chút (giảm lũy thừa và chia cho -24), chúng ta nhận được:
q 3 = -8
Nhân tiện, phương trình tương tự này có thể được đưa ra một cách đơn giản hơn! Cái nào? Bây giờ tôi sẽ chỉ cho bạn một bí mật khác, nhưng một cách rất hay, mạnh mẽ và hữu ích để giải các hệ thống như vậy. Những hệ thống như vậy, các phương trình trong đó bao gồm chỉ hoạt động.Ít nhất là trong một. Gọi điện phương pháp chia phương trình này sang phương trình khác.
Vì vậy, chúng ta có một hệ thống trước mắt:
Trong cả hai phương trình bên trái - công việc, và bên phải chỉ là một con số. Đây là một dấu hiệu rất tốt.) Hãy lấy nó và... chia phương trình dưới cho phương trình trên! Có nghĩa là gì, hãy chia phương trình này cho phương trình khác? Rất đơn giản. Hãy lấy nó bên trái một phương trình (thấp hơn) và chia cô ấy trên bên trái một phương trình khác (trên). Bên phải cũng tương tự: bên phải một phương trình chia TRÊN bên phải khác.
Toàn bộ quá trình phân chia trông như thế này:
Bây giờ, giảm mọi thứ có thể giảm, chúng tôi nhận được:
q 3 = -8
Phương pháp này có gì tốt? Có, bởi vì trong quá trình phân chia như vậy, mọi điều tồi tệ và bất tiện đều có thể được giảm bớt một cách an toàn và vẫn còn một phương trình hoàn toàn vô hại! Đây là lý do tại sao điều quan trọng là phải có chỉ phép nhânít nhất một trong các phương trình của hệ. Không có phép nhân - không có gì để giảm, vâng...
Nói chung, phương pháp này (giống như nhiều phương pháp giải hệ thống không tầm thường khác) thậm chí còn xứng đáng có một bài học riêng. Tôi chắc chắn sẽ xem xét nó chi tiết hơn. Một ngày nào đó…
Tuy nhiên, việc bạn giải hệ chính xác như thế nào không quan trọng, trong mọi trường hợp, bây giờ chúng ta cần giải phương trình thu được:
q 3 = -8
Không có vấn đề gì: giải nén khối lập phương và bạn đã hoàn tất!
Xin lưu ý rằng không cần thiết phải ghi dấu cộng/trừ ở đây khi giải nén. Căn nguyên của chúng ta có cấp độ lẻ (thứ ba). Và câu trả lời cũng giống nhau, vâng.)
Vì vậy, mẫu số của sự tiến triển đã được tìm thấy. Trừ hai. Tuyệt vời! Quá trình này đang diễn ra.)
Đối với số hạng đầu tiên (giả sử từ phương trình trên), chúng ta nhận được:
Tuyệt vời! Chúng ta biết số hạng đầu tiên, chúng ta biết mẫu số. Và bây giờ chúng ta có cơ hội tìm thấy bất kỳ thành viên nào trong quá trình tiến triển. Bao gồm cả cái thứ hai.)
Đối với thuật ngữ thứ hai, mọi thứ khá đơn giản:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Trả lời: -6
Như vậy, chúng ta đã chia nhỏ phương pháp đại số để giải bài toán. Khó? Không thực sự, tôi đồng ý. Dài và tẻ nhạt? Vâng chắc chắn. Nhưng đôi khi bạn có thể giảm đáng kể khối lượng công việc. Đối với điều này có phương pháp đồ họa. Tốt cũ và quen thuộc với chúng tôi.)
Hãy vẽ một vấn đề!
Đúng! Chính xác. Một lần nữa chúng ta mô tả sự tiến triển của mình trên trục số. Không cần thiết phải tuân theo thước kẻ, không cần thiết phải duy trì các khoảng bằng nhau giữa các số hạng (nhân tiện, sẽ không giống nhau, vì cấp số nhân là hình học!), mà chỉ đơn giản là một cách sơ đồ Hãy vẽ trình tự của chúng tôi.
Tôi đã nhận được nó như thế này:
Bây giờ hãy nhìn vào bức tranh và tìm ra nó. Có bao nhiêu thừa số giống nhau “q” cách nhau thứ tư Và thứ bảy các thành viên? Đúng rồi, ba!
Vì vậy, chúng ta có toàn quyền viết:
-24·q 3 = 192
Từ đây bây giờ dễ dàng tìm thấy q:
q 3 = -8
q = -2
Thật tuyệt, chúng ta đã có sẵn mẫu số trong túi. Bây giờ chúng ta hãy nhìn lại bức tranh: có bao nhiêu mẫu số như vậy nằm giữa thứ hai Và thứ tư các thành viên? Hai! Vì vậy, để ghi lại mối liên hệ giữa các số hạng này, ta sẽ xây dựng mẫu số bình phương.
Vì vậy chúng tôi viết:
b 2 · q 2 = -24 , Ở đâu b 2 = -24/ q 2
Chúng tôi thay thế mẫu số tìm thấy của chúng tôi vào biểu thức cho b 2, đếm và nhận được:
Trả lời: -6
Như bạn có thể thấy, mọi thứ đơn giản và nhanh hơn nhiều so với thông qua hệ thống. Hơn nữa, ở đây chúng ta thậm chí còn không cần phải tính số hạng đầu tiên! Ở tất cả.)
Đây là một cách đơn giản và trực quan. Nhưng nó cũng có một nhược điểm nghiêm trọng. Bạn có đoán được không? Đúng! Nó chỉ tốt cho những đoạn tiến triển rất ngắn. Những nơi mà khoảng cách giữa các thành viên mà chúng ta quan tâm không lớn lắm. Nhưng trong tất cả các trường hợp khác, việc vẽ ra một bức tranh đã khó rồi, vâng... Sau đó, chúng ta giải quyết vấn đề bằng phương pháp phân tích, thông qua hệ thống.) Và hệ thống là những thứ phổ quát. Họ có thể xử lý bất kỳ con số nào.
Một thử thách hoành tráng khác:
Số hạng thứ hai của cấp số nhân nhiều hơn số hạng thứ nhất 10 và số hạng thứ ba nhiều hơn số hạng thứ hai 30. Tìm mẫu số của tiến trình.
Cái gì, tuyệt à? Không có gì! Tất cả đều giống nhau. Một lần nữa chúng ta chuyển lời giải bài toán sang đại số thuần túy.
1) Chúng tôi mô tả từng thuật ngữ theo công thức Nthành viên thứ!
Số hạng thứ hai: b 2 = b 1 q
Số hạng thứ ba: b 3 = b 1 q 2
2) Chúng ta viết ra mối liên hệ giữa các thành viên từ bản phát biểu vấn đề.
Chúng ta đọc điều kiện: "Số hạng thứ hai của cấp số nhân lớn hơn số hạng thứ nhất 10." Dừng lại, thứ này có giá trị!
Vì vậy chúng tôi viết:
b 2 = b 1 +10
Và chúng tôi dịch cụm từ này sang toán học thuần túy:
b 3 = b 2 +30
Chúng ta có hai phương trình. Hãy kết hợp chúng thành một hệ thống:
Hệ thống trông đơn giản. Nhưng có quá nhiều chỉ số khác nhau cho các chữ cái. Hãy thay thế số hạng thứ hai và thứ ba biểu thức của chúng thông qua số hạng thứ nhất và mẫu số! Có phải việc chúng ta vẽ chúng là vô ích?
Chúng tôi nhận được:
Nhưng một hệ thống như vậy không còn là một món quà nữa, vâng... Làm thế nào để giải quyết vấn đề này? Thật không may, không có câu thần chú bí mật phổ quát nào để giải quyết các vấn đề phức tạp. phi tuyến Không có hệ thống nào trong toán học và không thể có được. Nó thật tuyệt vời! Nhưng điều đầu tiên bạn nghĩ đến khi cố gắng bẻ một cái đai ốc cứng như vậy là phải tìm ra Nhưng chẳng phải một trong các phương trình của hệ thống đã được rút gọn thành một dạng đẹp đẽ, chẳng hạn, cho phép dễ dàng biểu diễn một trong các biến theo một biến khác sao?
Hãy tìm ra nó. Phương trình đầu tiên của hệ thống rõ ràng là đơn giản hơn phương trình thứ hai. Chúng ta sẽ tra tấn anh ta.) Chẳng phải chúng ta nên thử từ phương trình đầu tiên sao? thứ gì đó thể hiện thông qua thứ gì đó? Vì muốn tìm mẫu số q, thì sẽ thuận lợi nhất cho chúng ta bày tỏ b 1 bởi vì q.
Vì vậy, hãy thử thực hiện quy trình này với phương trình đầu tiên, sử dụng các phương trình cũ:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q – b 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
Tất cả! Vì vậy chúng tôi bày tỏ không cần thiết cho chúng tôi biến (b 1) thông qua cần thiết(q). Vâng, đó không phải là cách diễn đạt đơn giản nhất mà chúng tôi có được. Một loại phân số nào đó... Nhưng hệ thống của chúng tôi ở mức khá, đúng vậy.)
Đặc trưng. Chúng tôi biết phải làm gì.
Chúng tôi viết ODZ (Nhất thiết!) :
q ≠ 1
Chúng tôi nhân mọi thứ với mẫu số (q-1) và hủy bỏ tất cả các phân số:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Chúng tôi chia mọi thứ cho mười, mở ngoặc và thu thập mọi thứ từ bên trái:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Chúng tôi giải quyết kết quả và nhận được hai gốc:
q 1 = 1
q 2 = 3
Chỉ có một câu trả lời cuối cùng: q = 3 .
Trả lời: 3
Như bạn có thể thấy, cách giải hầu hết các bài toán liên quan đến công thức của số hạng thứ n của cấp số nhân luôn giống nhau: đọc chăm chúđiều kiện của bài toán và sử dụng công thức của số hạng thứ n, chúng ta chuyển tất cả thông tin hữu ích sang đại số thuần túy.
Cụ thể là:
1) Ta mô tả riêng từng số hạng cho trong bài toán theo công thứcNthành viên thứ.
2) Từ điều kiện của bài toán ta chuyển mối liên hệ giữa các phần tử thành dạng toán học. Chúng tôi soạn một phương trình hoặc hệ phương trình.
3) Giải phương trình hoặc hệ phương trình thu được, tìm các tham số chưa biết của cấp số nhân.
4) Trường hợp đáp án mơ hồ, đọc kỹ đề bài để tìm thêm thông tin (nếu có). Chúng tôi cũng kiểm tra phản hồi nhận được với các điều khoản của DL (nếu có).
Bây giờ hãy liệt kê những vấn đề chính thường dẫn đến sai sót trong quá trình giải các bài toán cấp số nhân.
1. Số học sơ cấp. Các phép tính với phân số và số âm.
2. Nếu có vấn đề với ít nhất một trong ba điểm này thì chắc chắn bạn sẽ mắc sai lầm trong chủ đề này. Thật không may... Vì vậy, đừng lười biếng và lặp lại những gì đã đề cập ở trên. Và theo các liên kết - đi. Đôi khi nó có ích.)
Công thức sửa đổi và tái phát.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài thi điển hình với cách trình bày tình trạng ít quen thuộc hơn. Vâng, vâng, bạn đã đoán được rồi! Cái này đã sửa đổi Và tái diễn công thức số hạng thứ n. Chúng tôi đã gặp những công thức như vậy và đã nghiên cứu về cấp số cộng. Mọi thứ đều tương tự ở đây. Bản chất là như nhau.
Ví dụ: vấn đề này từ OGE:
Sự tiến triển hình học được cho bởi công thức b n = 3 2 N . Tìm tổng số hạng thứ nhất và thứ tư của nó.
Lần này sự tiến triển không hoàn toàn như thường lệ đối với chúng tôi. Ở dạng một số loại công thức. Vậy thì sao? Công thức này là cũng là một công thứcNthành viên thứ! Bạn và tôi đều biết rằng công thức của số hạng thứ n có thể được viết dưới dạng tổng quát, sử dụng các chữ cái và cho tiến triển cụ thể. VỚI cụ thể số hạng đầu tiên và mẫu số.
Trong trường hợp của chúng tôi, trên thực tế, chúng tôi đã đưa ra một công thức thuật ngữ chung cho cấp số nhân với các tham số sau:
b 1 = 6
q = 2
Hãy kiểm tra xem?) Hãy viết công thức của số hạng thứ n ở dạng tổng quát và thay thế nó vào b 1 Và q. Chúng tôi nhận được:
b n = b 1 · qn -1
b n= 6 2N -1
Chúng tôi đơn giản hóa việc sử dụng hệ số hóa và tính chất của lũy thừa và chúng tôi nhận được:
b n= 6 2N -1 = 3·2·2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N
Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều công bằng. Nhưng mục tiêu của chúng tôi không phải là chứng minh nguồn gốc của một công thức cụ thể. Đây là một sự lạc đề trữ tình. Hoàn toàn để hiểu.) Mục tiêu của chúng tôi là giải quyết vấn đề theo công thức được cung cấp cho chúng tôi trong điều kiện. Bạn hiểu không?) Vì vậy, chúng tôi làm việc trực tiếp với công thức đã sửa đổi.
Chúng tôi đếm số hạng đầu tiên. Hãy thay thế N=1 vào công thức tổng quát:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Như thế này. Nhân tiện, tôi sẽ không lười biếng và một lần nữa thu hút sự chú ý của bạn đến một lỗi điển hình khi tính số hạng đầu tiên. KHÔNG, nhìn vào công thức b n= 3 2N, lập tức vội vàng viết số hạng đầu tiên là số ba! Đây là một sai lầm nghiêm trọng, vâng...)
Tiếp tục đi. Hãy thay thế N=4 và đếm số hạng thứ tư:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Và cuối cùng, chúng tôi tính toán số tiền cần thiết:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Đáp án: 54
Một vấn đề khác.
Tiến trình hình học được xác định bởi các điều kiện:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Tìm số hạng thứ tư của cấp số nhân.
Ở đây sự tiến triển được đưa ra bởi một công thức hồi quy. Ờ, được thôi.) Cách làm việc với công thức này – chúng tôi cũng biết.
Vì thế chúng ta hành động. Từng bước một.
1) Đếm hai liên tiếp thành viên của sự tiến bộ.
Thuật ngữ đầu tiên đã được trao cho chúng tôi. Trừ bảy. Nhưng số hạng tiếp theo, số hạng thứ hai, có thể được tính dễ dàng bằng cách sử dụng công thức truy hồi. Tất nhiên là nếu bạn hiểu nguyên lý hoạt động của nó.)
Vậy chúng ta đếm số hạng thứ hai theo câu chuyện nổi tiếng đầu tiên:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Tính mẫu số của cấp số cộng
Không có vấn đề gì cả. Thẳng thắn, hãy chia thứ hai tinh ranh lên Đầu tiên.
Chúng tôi nhận được:
q = -21/(-7) = 3
3) Viết công thứcNthành viên thứ ở dạng thông thường và tính toán thành viên cần thiết.
Vì vậy, chúng ta biết số hạng đầu tiên và mẫu số cũng vậy. Vì vậy chúng tôi viết:
b n= -7·3N -1
b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
Đáp án: -189
Như bạn có thể thấy, làm việc với các công thức như vậy đối với cấp số nhân về cơ bản không khác gì với cấp số cộng. Điều quan trọng là phải hiểu bản chất chung và ý nghĩa của các công thức này. Vâng, bạn cũng cần hiểu ý nghĩa của cấp số nhân, vâng.) Và khi đó sẽ không có những sai lầm ngu ngốc.
Chà, chúng ta hãy tự quyết định nhé?)
Các nhiệm vụ rất cơ bản để khởi động:
1. Cho một cấp số nhân trong đó b 1 = 243, một q = -2/3. Tìm số hạng thứ sáu của cấp số nhân.
2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân được cho bởi công thức b n = 5∙2 N +1 . Tìm số hạng có ba chữ số cuối cùng của cấp số này.
3. Cấp số nhân được cho bởi điều kiện:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân.
Phức tạp hơn một chút:
4. Cho một cấp số nhân:
b 1 =2048; q =-0,5
Số hạng âm thứ sáu bằng bao nhiêu?
Điều gì có vẻ siêu khó? Không có gì. Logic và sự hiểu biết về ý nghĩa của tiến trình hình học sẽ giúp bạn tiết kiệm. Vâng, tất nhiên là công thức của số hạng thứ n.
5. Số hạng thứ ba của cấp số nhân là -14 và số hạng thứ tám là 112. Tìm mẫu số của cấp số nhân.
6. Tổng số hạng thứ nhất và thứ hai của cấp số nhân là 75, tổng số hạng thứ hai và thứ ba là 150. Tìm số hạng thứ sáu của cấp số nhân.
Câu trả lời (lộn xộn): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Đó gần như là tất cả. Tất cả những gì chúng ta phải làm là học đếm tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân vâng khám phá cấp số nhân giảm vô hạn và số lượng của nó. Nhân tiện, một điều rất thú vị và khác thường! Thông tin thêm về điều này trong các bài học tiếp theo.)
>>Toán học: Cấp số nhân
Để thuận tiện cho người đọc, đoạn này được xây dựng chính xác theo cùng một kế hoạch mà chúng tôi đã thực hiện trong đoạn trước.
1. Các khái niệm cơ bản.
Sự định nghĩa. Một dãy số, tất cả các phần tử của nó khác 0 và mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ phần tử thứ hai, được lấy từ phần tử trước đó bằng cách nhân nó với cùng một số được gọi là cấp số nhân. Trong trường hợp này, số 5 được gọi là mẫu số của cấp số nhân.
Do đó, cấp số nhân là một dãy số (b n) được xác định lặp lại bởi các quan hệ
Có thể nhìn vào một dãy số và xác định xem nó có phải là một cấp số nhân hay không? Có thể. Nếu bạn tin rằng tỷ lệ của bất kỳ thành viên nào trong dãy với thành viên trước đó là không đổi thì bạn có một cấp số nhân.
Ví dụ 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
Ví dụ 2.
Đây là một tiến trình hình học có
Ví dụ 3.
Đây là một tiến trình hình học có
Ví dụ 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Đây là một cấp số nhân trong đó b 1 - 8, q = 1.
Lưu ý rằng chuỗi này cũng là một cấp số cộng (xem ví dụ 3 từ § 15).
Ví dụ 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Đây là một cấp số nhân trong đó b 1 = 2, q = -1.
Rõ ràng, một cấp số nhân là một dãy tăng nếu b 1 > 0, q > 1 (xem ví dụ 1) và một dãy giảm nếu b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Để chỉ ra rằng dãy (b n) là một cấp số nhân, ký hiệu sau đây đôi khi thuận tiện:
Biểu tượng này thay thế cụm từ “tiến trình hình học”.
Chúng ta hãy lưu ý một tính chất tò mò và đồng thời khá rõ ràng của cấp số nhân:
Nếu trình tự 
là một cấp số nhân, sau đó là dãy các hình vuông, tức là 
là một tiến trình hình học.
Trong cấp số nhân thứ hai, số hạng thứ nhất bằng và bằng q 2.
Nếu trong một cấp số nhân, chúng ta loại bỏ tất cả các số hạng theo sau b n , thì chúng ta thu được một cấp số nhân hữu hạn 
Trong các đoạn tiếp theo của phần này, chúng ta sẽ xem xét các tính chất quan trọng nhất của cấp số nhân.
2. Công thức số hạng thứ n của cấp số nhân.
Xét một tiến trình hình học 
mẫu số q. Chúng ta có:
Không khó để đoán rằng với mọi số n đẳng thức đều đúng
Đây là công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân.
Bình luận.
Nếu bạn đã đọc nhận xét quan trọng ở đoạn trước và hiểu nó, thì hãy thử chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp toán học, giống như đã làm đối với công thức cho số hạng thứ n của một cấp số cộng.
Hãy viết lại công thức cho số hạng thứ n của cấp số nhân
và giới thiệu ký hiệu: Chúng ta có y = mq 2, hay chi tiết hơn là 
Đối số x được chứa trong số mũ nên hàm này được gọi là hàm mũ. Điều này có nghĩa là cấp số nhân có thể được coi là hàm số mũ được xác định trên tập N số tự nhiên. Trong bộ lễ phục. 96a thể hiện đồ thị của hàm số Fig. 966 - đồ thị hàm số 
Trong cả hai trường hợp, chúng ta có các điểm biệt lập (với hoành độ x = 1, x = 2, x = 3, v.v.) nằm trên một đường cong nhất định (cả hai hình đều hiển thị cùng một đường cong, chỉ có vị trí và mô tả khác nhau ở các tỷ lệ khác nhau). Đường cong này được gọi là đường cong hàm mũ. Thông tin chi tiết hơn về hàm số mũ và đồ thị của nó sẽ được thảo luận trong khóa học đại số lớp 11.
Hãy quay lại ví dụ 1-5 ở đoạn trước.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Đây là một cấp số nhân mà b 1 = 1, q = 3. Hãy lập công thức cho số hạng thứ n 
2) 
Đây là một cấp số nhân mà chúng ta hãy tạo công thức cho số hạng thứ n 
Đây là một tiến trình hình học có 
Hãy lập công thức cho số hạng thứ n 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Đây là một cấp số nhân mà b 1 = 8, q = 1. Hãy lập công thức cho số hạng thứ n 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Đây là một cấp số nhân trong đó b 1 = 2, q = -1. Hãy lập công thức cho số hạng thứ n 
Ví dụ 6.
Cho một tiến trình hình học
Trong mọi trường hợp, lời giải đều dựa trên công thức của số hạng thứ n của cấp số nhân
a) Đưa n = 6 vào công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân, ta thu được
b) Chúng ta có
Vì 512 = 2 9 nên ta có n - 1 = 9, n = 10.
d) Chúng ta có
Ví dụ 7.
Hiệu giữa số hạng thứ bảy và thứ năm của cấp số nhân là 48, tổng của số hạng thứ năm và thứ sáu của cấp số nhân cũng là 48. Tìm số hạng thứ mười hai của cấp số nhân này.
Giai đoạn đầu tiên. Vẽ mô hình toán học.
Điều kiện của bài toán có thể viết ngắn gọn như sau:
Sử dụng công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:
Khi đó điều kiện thứ hai của bài toán (b 7 - b 5 = 48) có thể được viết là
Điều kiện thứ ba của bài toán (b 5 + b 6 = 48) có thể viết là
Kết quả ta thu được hệ hai phương trình hai biến b 1 và q:
trong đó, kết hợp với điều kiện 1) được viết ở trên, thể hiện một mô hình toán học của bài toán.
Giai đoạn thứ hai.
Làm việc với mô hình đã biên dịch. Cân bằng vế trái của cả hai phương trình của hệ, ta thu được:
(chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức khác 0 b 1 q 4).
Từ phương trình q 2 - q - 2 = 0 ta tìm được q 1 = 2, q 2 = -1. Thay giá trị q = 2 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được 
Thay giá trị q = -1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta thu được b 1 1 0 = 48; phương trình này không có nghiệm.
Vì vậy, b 1 =1, q = 2 - cặp này là nghiệm của hệ phương trình đã biên soạn.
Bây giờ chúng ta có thể viết cấp số nhân đã thảo luận trong bài toán: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Giai đoạn thứ ba.
Trả lời câu hỏi vấn đề. Bạn cần tính b 12. Chúng ta có
Đáp án: b 12 = 2048.
3. Công thức tính tổng các số hạng của một cấp số nhân hữu hạn.
Cho một cấp số nhân hữu hạn
Chúng ta hãy biểu thị bằng S n tổng các số hạng của nó, tức là
Hãy để chúng tôi rút ra một công thức để tìm số tiền này.
Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi q = 1. Khi đó cấp số nhân b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn gồm n số bằng b 1 , tức là. tiến trình có dạng b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Tổng của các số này là nb 1.
Giả sử q = 1 Để tìm S n, chúng ta áp dụng một kỹ thuật nhân tạo: chúng ta thực hiện một số phép biến đổi biểu thức S n q. Chúng ta có:
Khi thực hiện các phép biến đổi, trước tiên chúng ta sử dụng định nghĩa của cấp số nhân, theo đó (xem dòng lý luận thứ ba); thứ hai, họ cộng và trừ, đó là lý do tại sao ý nghĩa của cách diễn đạt tất nhiên không thay đổi (xem dòng lý luận thứ tư); thứ ba, chúng tôi sử dụng công thức cho số hạng thứ n của cấp số nhân:
Từ công thức (1) ta tìm được:
Đây là công thức tính tổng n số hạng của một cấp số nhân (đối với trường hợp q = 1).
Ví dụ 8.
Cho một cấp số nhân hữu hạn
a) tổng các số hạng của cấp số nhân; b) tổng các bình phương của các số hạng của nó.
b) Ở trên (xem trang 132), chúng ta đã lưu ý rằng nếu tất cả các số hạng của cấp số nhân đều bình phương, thì chúng ta thu được cấp số nhân với số hạng đầu tiên b 2 và mẫu số q 2. Khi đó tổng sáu số hạng của cấp số nhân mới sẽ được tính bằng
Ví dụ 9.
Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân mà
Thực tế ta đã chứng minh được định lý sau.
Một dãy số là một cấp số nhân khi và chỉ khi bình phương của mỗi số hạng của nó, ngoại trừ Định lý thứ nhất (và Định lý cuối cùng, trong trường hợp dãy hữu hạn), bằng tích của các số hạng trước và sau (a) tính chất đặc trưng của cấp số nhân).
Con số này được gọi là mẫu số của một cấp số nhân, tức là mỗi số hạng khác với số trước đó q lần. (Chúng ta sẽ giả sử rằng q ≠ 1, nếu không thì mọi thứ đều quá tầm thường). Dễ dàng thấy rằng công thức tổng quát của số hạng thứ n trong cấp số nhân là b n = b 1 q n – 1 ; các số hạng b n và b m khác nhau q n – m lần.Ở Ai Cập cổ đại, họ không chỉ biết số học mà còn cả cấp số nhân. Ví dụ, đây là một vấn đề từ cuộn giấy cói Rhind: “Bảy khuôn mặt có bảy con mèo; Mỗi con mèo ăn bảy con chuột, mỗi con chuột ăn bảy bắp ngô, và mỗi bông lúa mạch có thể trồng được bảy gié lúa mạch. Các số trong chuỗi này lớn đến mức nào và tổng của chúng là bao nhiêu?
 |
|
Cơm. 1. Bài toán cấp số nhân của người Ai Cập cổ đại |
Nhiệm vụ này được lặp đi lặp lại nhiều lần với những biến thể khác nhau giữa các dân tộc khác nhau vào những thời điểm khác nhau. Ví dụ, bằng văn bản vào thế kỷ 13. Cuốn sách Bàn tính của Leonardo xứ Pisa (Fibonacci) có một vấn đề trong đó 7 bà già xuất hiện trên đường đến Rome (rõ ràng là những người hành hương), mỗi người có 7 con la, mỗi con có 7 chiếc túi, mỗi chiếc có 7 ổ bánh, mỗi ổ có 7 con dao, mỗi ổ có 7 vỏ. Bài toán hỏi có bao nhiêu đồ vật.
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Công thức này có thể được chứng minh, chẳng hạn như sau: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
Thêm số b 1 q n vào S n và nhận được:
|
Từ đây S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), và ta thu được công thức cần thiết.
Đã có trên một trong những tấm đất sét của Babylon cổ đại, có niên đại từ thế kỷ thứ 6. BC e., chứa tổng 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Đúng, cũng như trong một số trường hợp khác, chúng ta không biết làm sao người Babylon biết được sự thật này .
Sự gia tăng nhanh chóng của tiến trình hình học ở một số nền văn hóa, đặc biệt là ở Ấn Độ, được sử dụng nhiều lần như một biểu tượng trực quan về sự bao la của vũ trụ. Trong truyền thuyết nổi tiếng về sự xuất hiện của cờ vua, người cai trị cho người phát minh ra nó cơ hội được tự mình lựa chọn phần thưởng và ông ta hỏi số hạt lúa mì sẽ thu được nếu đặt một hạt vào ô đầu tiên của bàn cờ, hai hạt ở trên. thứ hai, bốn trên thứ ba, tám trên thứ tư, v.v., mỗi lần con số này tăng gấp đôi. Vladyka nghĩ rằng cùng lắm chúng ta đang nói về vài chiếc túi, nhưng anh ấy đã tính toán sai. Dễ dàng nhận thấy rằng với tất cả 64 ô vuông của bàn cờ, người sáng chế sẽ phải nhận được (2 64 - 1) hạt, được biểu thị bằng số có 20 chữ số; ngay cả khi toàn bộ bề mặt Trái đất được gieo trồng thì cũng phải mất ít nhất 8 năm mới thu được đủ lượng ngũ cốc cần thiết. Truyền thuyết này đôi khi được hiểu là ám chỉ những khả năng gần như không giới hạn ẩn chứa trong trò chơi cờ vua.
Dễ dàng nhận thấy con số này thực sự có 20 chữ số:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (một phép tính chính xác hơn sẽ cho 1,84∙10 19). Nhưng tôi tự hỏi liệu bạn có thể tìm ra chữ số kết thúc của số này là gì không?
Một cấp số nhân có thể tăng nếu mẫu số lớn hơn 1 hoặc giảm nếu mẫu số nhỏ hơn một. Trong trường hợp sau, số qn cho n đủ lớn có thể trở nên nhỏ tùy ý. Trong khi cấp số nhân tăng dần tăng nhanh bất ngờ thì cấp số nhân giảm dần cũng giảm nhanh như vậy.
N càng lớn thì số qn khác 0 càng yếu và tổng n số hạng của cấp số nhân S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) càng gần với số S = b 1 / ( 1 – q). (Ví dụ F. Việt lý luận thế này). Số S được gọi là tổng của một cấp số nhân giảm vô hạn. Tuy nhiên, trong nhiều thế kỷ, câu hỏi về ý nghĩa của việc tính tổng TOÀN BỘ cấp số hình học, với vô số số hạng, vẫn chưa đủ rõ ràng đối với các nhà toán học.
Ví dụ, có thể thấy một cấp số nhân giảm dần trong các aporias “Half Division” và “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Trong trường hợp đầu tiên, rõ ràng là toàn bộ con đường (giả sử chiều dài 1) là tổng của vô số đoạn 1/2, 1/4, 1/8, v.v. Tất nhiên, đây là trường hợp từ quan điểm của các ý tưởng về một cấp số nhân vô hạn có tổng hữu hạn. Chưa hết - làm sao điều này có thể xảy ra?
|
Cơm. 2. Tiến triển với hệ số 1/2 |
Trong câu chuyện về Achilles, tình huống phức tạp hơn một chút, vì ở đây mẫu số của cấp số nhân không phải là 1/2 mà là một số khác. Ví dụ: Achilles chạy với tốc độ v, con rùa di chuyển với tốc độ u và khoảng cách ban đầu giữa chúng là l. Achilles sẽ đi được quãng đường này trong thời gian l/v, và trong thời gian này con rùa sẽ di chuyển một quãng đường lu/v. Khi Achilles chạy đoạn này, khoảng cách giữa anh ta và con rùa sẽ bằng l (u /v) 2, v.v. Hóa ra việc đuổi kịp con rùa có nghĩa là tìm tổng của một cấp số nhân giảm vô hạn với số hạng đầu tiên l và mẫu số u /v. Tổng này - đoạn mà Achilles cuối cùng sẽ chạy đến nơi gặp rùa - bằng l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Tuy nhiên, một lần nữa, làm thế nào để giải thích kết quả này và tại sao nó lại có ý nghĩa gì đó vẫn chưa được rõ ràng trong một thời gian dài.
|
Cơm. 3. Cấp tiến hình học có hệ số 2/3 |
Archimedes đã sử dụng tổng của cấp số nhân để xác định diện tích của một đoạn parabol. Cho đoạn parabol này được giới hạn bởi dây AB và để tiếp tuyến tại điểm D của parabol song song với AB. Gọi C là trung điểm AB, E là trung điểm AC, F là trung điểm CB. Vẽ các đường thẳng song song với DC đi qua các điểm A, E, F, B; Giả sử các tiếp tuyến tại điểm D cắt các đường thẳng này tại các điểm K, L, M, N. Hãy vẽ các đoạn AD và DB. Giả sử đường thẳng EL cắt đường thẳng AD tại điểm G và parabol tại điểm H; Đường thẳng FM cắt đường thẳng DB tại điểm Q và parabol tại điểm R. Theo lý thuyết chung về mặt cắt conic, DC là đường kính của một parabol (tức là đoạn thẳng song song với trục của nó); nó và tiếp tuyến tại điểm D có thể đóng vai trò là trục tọa độ x và y, trong đó phương trình parabol được viết là y 2 = 2px (x là khoảng cách từ D đến một điểm bất kỳ có đường kính cho trước, y là độ dài của một đoạn song song với một tiếp tuyến đã cho từ điểm đường kính này đến một điểm nào đó trên chính parabol).
Theo phương trình parabol, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, và vì DK = 2DL nên KA = 4LH. Vì KA = 2LG, LH = HG. Diện tích đoạn ADB của parabol bằng diện tích tam giác ΔADB và diện tích các đoạn AHD và DRB cộng lại. Đổi lại, diện tích của đoạn AHD tương tự bằng diện tích của tam giác AHD và các đoạn AH và HD còn lại, với mỗi đoạn bạn có thể thực hiện thao tác tương tự - chia thành một tam giác (Δ) và hai đoạn còn lại (), v.v.:
Diện tích của tam giác ΔAHD bằng một nửa diện tích của tam giác ΔALD (chúng có chung đáy AD và chiều cao chênh nhau 2 lần), do đó bằng một nửa diện tích tam giác ΔAKD nên diện tích bằng một nửa diện tích tam giác ΔACD. Như vậy, diện tích tam giác ΔAHD bằng 1/4 diện tích tam giác ΔACD. Tương tự, diện tích tam giác ΔDRB bằng 1/4 diện tích tam giác ΔDFB. Vì vậy, diện tích của các tam giác ΔAHD và ΔDRB gộp lại bằng 1/4 diện tích tam giác ΔADB. Lặp lại thao tác này khi áp dụng cho các đoạn AH, HD, DR và RB sẽ chọn các hình tam giác từ chúng, diện tích của các tam giác này gộp lại sẽ nhỏ hơn 4 lần diện tích của các tam giác ΔAHD và ΔDRB gộp lại và do đó nhỏ hơn 16 lần diện tích tam giác ΔADB. Và như thế:
Do đó, Archimedes đã chứng minh rằng “mọi đoạn nằm giữa một đường thẳng và một parabol tạo thành bốn phần ba hình tam giác có cùng đáy và chiều cao bằng nhau”.
Bài học và thuyết trình về chủ đề: "Chuỗi số. Cấp số hình học"
Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.
Dụng cụ hỗ trợ giáo dục và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral dành cho lớp 9
Quyền hạn và nghiệm Hàm số và đồ thị
Các bạn ơi, hôm nay chúng ta sẽ làm quen với một kiểu tiến triển khác.
Chủ đề của bài học hôm nay là tiến trình hình học.
Cấp số nhân
Sự định nghĩa. Một dãy số trong đó mỗi số hạng, bắt đầu từ số hạng thứ hai, bằng tích của số hạng trước đó và một số cố định nào đó được gọi là cấp số nhân.Hãy xác định trình tự của chúng ta theo cách đệ quy: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
trong đó b và q là những số đã cho nhất định. Số q được gọi là mẫu số của cấp số cộng.
Ví dụ. 1,2,4,8,16... Một cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 1 và $q=2$.
Ví dụ. 8,8,8,8... Một cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 8,
và $q=1$.
Ví dụ. 3,-3,3,-3,3... Cấp số nhân trong đó số hạng thứ nhất bằng ba,
và $q=-1$.
Tiến trình hình học có tính chất đơn điệu.
Nếu $b_(1)>0$, $q>1$,
thì dãy số tăng dần.
Nếu $b_(1)>0$, $0 Dãy số thường được ký hiệu dưới dạng: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Giống như trong một cấp số cộng, nếu trong một cấp số nhân mà số phần tử là hữu hạn thì cấp số đó được gọi là cấp số nhân hữu hạn.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Lưu ý rằng nếu một dãy là một cấp số nhân thì dãy bình phương của các số hạng cũng là một cấp số nhân. Trong dãy thứ hai, số hạng đầu tiên bằng $b_(1)^2$ và mẫu số bằng $q^2$.
Công thức số hạng thứ n của cấp số nhân
Tiến trình hình học cũng có thể được xác định ở dạng phân tích. Hãy xem cách thực hiện việc này:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Chúng ta dễ dàng nhận thấy mô hình: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Công thức của chúng tôi được gọi là "công thức số hạng thứ n của cấp số nhân".
Hãy quay lại ví dụ của chúng tôi.
Ví dụ. 1,2,4,8,16... Cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 1,
và $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Ví dụ. 16,8,4,2,1,1/2… Một cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 16 và $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Ví dụ. 8,8,8,8... Một cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 8 và $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Ví dụ. 3,-3,3,-3,3... Một cấp số nhân trong đó số hạng đầu tiên bằng 3 và $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Ví dụ. Cho một cấp số nhân $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Biết rằng $b_(1)=6, q=3$. Tìm $b_(5)$.
b) Biết rằng $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Tìm n.
c) Biết rằng $q=-2, b_(6)=96$. Tìm $b_(1)$.
d) Biết rằng $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Tìm q.
Giải pháp.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, vì $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Ví dụ. Hiệu giữa số hạng thứ bảy và thứ năm của cấp số nhân là 192, tổng của số hạng thứ năm và thứ sáu của cấp số nhân là 192. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân này.
Giải pháp.
Chúng ta biết rằng: $b_(7)-b_(5)=192$ và $b_(5)+b_(6)=192$.
Chúng ta cũng biết: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Sau đó:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Ta nhận được hệ phương trình:
$\begin(case)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(case)$.
Cân bằng các phương trình ta có:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Chúng ta có hai nghiệm q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Thay lần lượt vào phương trình thứ hai:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ không có giải pháp.
Chúng ta nhận được: $b_(1)=4, q=2$.
Hãy tìm số hạng thứ mười: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Tổng của một cấp số nhân hữu hạn
Chúng ta hãy có một cấp tiến hình học hữu hạn. Hãy, giống như cấp số cộng, hãy tính tổng các số hạng của nó.Cho một cấp số nhân hữu hạn: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Hãy để chúng tôi giới thiệu ký hiệu cho tổng các số hạng của nó: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Trong trường hợp $q=1$. Tất cả các số hạng của cấp số nhân đều bằng số hạng đầu tiên, khi đó hiển nhiên $S_(n)=n*b_(1)$.
Bây giờ chúng ta xét trường hợp $q≠1$.
Hãy nhân số tiền trên với q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Ghi chú:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Chúng ta đã thu được công thức tính tổng của một cấp số nhân hữu hạn.
Ví dụ.
Tìm tổng của bảy số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu tiên là 4 và mẫu số là 3.
Giải pháp.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Ví dụ.
Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã biết: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Giải pháp.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Tính chất đặc trưng của tiến trình hình học
Các bạn, một cấp số nhân đã được đưa ra. Hãy xét ba thành viên liên tiếp của nó: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Chúng ta biết rằng:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Sau đó:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Nếu cấp số nhân là hữu hạn thì đẳng thức này đúng cho tất cả các số hạng ngoại trừ số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng.
Nếu không biết trước dãy có dạng gì, nhưng người ta biết rằng: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Khi đó chúng ta có thể nói một cách an toàn rằng đây là một cấp số nhân.
Một dãy số chỉ là một cấp số nhân khi bình phương của mỗi phần tử bằng tích của hai phần tử liền kề của cấp số đó. Đừng quên rằng đối với một cấp số hữu hạn, điều kiện này không được thỏa mãn ở số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng.
Chúng ta hãy nhìn vào danh tính này: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ được gọi là trung bình hình học của các số a và b.
Mô đun của bất kỳ số hạng nào của cấp số nhân đều bằng trung bình hình học của hai số hạng liền kề của nó.
Ví dụ.
Tìm x sao cho $x+2; 2x+2; 3x+3$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
Giải pháp.
Hãy sử dụng thuộc tính đặc trưng:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ và $x_(2)=-1$.
Hãy để chúng tôi thay thế tuần tự các giải pháp của chúng tôi vào biểu thức ban đầu:
Với $x=2$, chúng ta có dãy: 4;6;9 – một cấp số nhân với $q=1,5$.
Với $x=-1$, chúng ta có dãy: 1;0;0.
Trả lời: $x=2.$
Vấn đề cần giải quyết độc lập
1. Tìm số hạng đầu tiên thứ tám của cấp số nhân 16;-8;4;-2….2. Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân 11,22,44….
3. Biết rằng $b_(1)=5, q=3$. Tìm $b_(7)$.
4. Biết rằng $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Tìm n.
5. Tìm tổng 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân 3;12;48….
6. Tìm x sao cho $3x+4; 2x+4; x+5$ là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.