Sự xuất hiện của khái niệm tích phân là do nhu cầu tìm hàm nguyên hàm từ đạo hàm của nó, cũng như xác định khối lượng công việc, diện tích của các hình phức, quãng đường di chuyển, với các tham số được phác thảo bằng các đường cong được mô tả bằng các công thức phi tuyến.
và công đó bằng tích của lực và khoảng cách. Nếu toàn bộ chuyển động xảy ra với tốc độ không đổi hoặc khoảng cách được bao phủ bởi cùng một lực thì mọi thứ đều rõ ràng, bạn chỉ cần nhân chúng lên. Tích phân của một hằng số là gì? có dạng y=kx+c.
Nhưng sức mạnh có thể thay đổi trong suốt quá trình làm việc và ở một mức độ phụ thuộc tự nhiên nào đó. Tình huống tương tự xảy ra khi tính quãng đường đi được nếu tốc độ không đổi.
Vì vậy, rõ ràng tại sao cần tích phân. Định nghĩa của nó là tổng các tích của các giá trị của hàm với mức tăng vô hạn của đối số mô tả đầy đủ ý nghĩa chính của khái niệm này là diện tích của một hình được giới hạn ở trên cùng bởi đường của hàm và ở các cạnh bởi ranh giới của định nghĩa.
Jean Gaston Darboux, một nhà toán học người Pháp, vào nửa sau thế kỷ 19, đã giải thích rất rõ ràng tích phân là gì. Ông nói rõ đến mức nhìn chung ngay cả một học sinh cấp hai cũng không khó hiểu vấn đề này.
Giả sử có một hàm có hình dạng phức tạp bất kỳ. Trục tọa độ mà các giá trị của đối số được vẽ trên đó được chia thành các khoảng nhỏ, lý tưởng nhất là chúng vô cùng nhỏ, nhưng vì khái niệm vô cực khá trừu tượng nên chỉ cần tưởng tượng các phân đoạn nhỏ, giá trị của nó thường là được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp Δ (delta).
Chức năng hóa ra là "chặt" thành những viên gạch nhỏ.
Mỗi giá trị đối số tương ứng với một điểm trên trục tọa độ, trên đó vẽ các giá trị hàm tương ứng. Nhưng vì vùng được chọn có hai ranh giới nên cũng sẽ có hai giá trị hàm lớn hơn và nhỏ hơn.
Tổng của các tích của các giá trị lớn hơn theo gia số Δ được gọi là tổng Darboux lớn và được ký hiệu là S. Theo đó, các giá trị nhỏ hơn trong một diện tích giới hạn, nhân với Δ, tất cả cùng nhau tạo thành một tổng Darboux nhỏ s . Bản thân mặt cắt này trông giống như một hình thang hình chữ nhật, vì độ cong của đường hàm với số gia nhỏ vô hạn có thể bị bỏ qua. Cách dễ nhất để tìm diện tích của một hình hình học như vậy là cộng các tích của các giá trị lớn hơn và nhỏ hơn của hàm với mức tăng Δ và chia cho hai, nghĩa là xác định nó là trung bình số học.
Đây là tích phân Darboux:
s=Σf(x) Δ - lượng nhỏ;
S= Σf(x+Δ)Δ là một số lượng lớn.
Vậy tích phân là gì? Diện tích được giới hạn bởi đường của hàm và ranh giới của định nghĩa sẽ bằng:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Nghĩa là, trung bình số học của các tổng Darboux lớn và nhỏ là một giá trị không đổi được đặt lại trong quá trình lấy vi phân.
Dựa trên biểu thức hình học của khái niệm này, ý nghĩa vật lý của tích phân trở nên rõ ràng. được phác thảo bởi hàm tốc độ và bị giới hạn bởi khoảng thời gian dọc theo trục x, sẽ là độ dài quãng đường đã đi.
L = ∫f(x)dx trên khoảng từ t1 đến t2,
f(x) là một hàm của tốc độ, tức là công thức mà nó thay đổi theo thời gian;
L - độ dài đường đi;
t1 - thời gian bắt đầu hành trình;
t2 là thời điểm kết thúc cuộc hành trình.
Nguyên tắc tương tự được sử dụng để xác định khối lượng công, chỉ khoảng cách sẽ được vẽ dọc theo hoành độ và lượng lực tác dụng tại mỗi điểm cụ thể sẽ được vẽ dọc theo trục hoành.
Chúng ta quay trở lại bài toán diện tích hình thang cong và định nghĩa tích phân xác định. Ta thấy rằng diện tích của một hình thang cong được giới hạn bởi đường cong y=f(x), trong đó f(x)0 trên đoạn thẳng, trục x và các đường thẳng x = a và x = b có số lượng bằng một tích phân xác định, tức là
Cho đến nay chúng ta đã xét tích phân xác định với các giới hạn tích phân không đổi a và b. Ví dụ: nếu bạn thay đổi giới hạn trên mà không rời khỏi phân đoạn, giá trị của tích phân sẽ thay đổi. Nói cách khác, tích phân có giới hạn trên thay đổi là hàm của giới hạn trên của nó. Vì vậy, nếu chúng ta có tích phân
với giới hạn dưới không đổi MỘT và giới hạn trên x thay đổi thì giá trị của tích phân này sẽ là hàm của giới hạn trên x. Chúng ta hãy biểu thị hàm này bằng Ф(х), tức là chúng ta đặt
(2.1)
và hãy gọi nó là tích phân xác định với giới hạn trên thay đổi. Về mặt hình học, hàm Ф(x) là diện tích của hình thang cong được tô bóng nếu f(x)0 (Hình 2)
Bây giờ chúng ta hãy xem cách chứng minh định lý, một trong những định lý chính của phân tích toán học.
Định lý
3
.
Nếu f(t) là hàm liên tục và 
thì đẳng thức giữ nguyên
hoặc 
(2.2)
Nói cách khác, đạo hàm của tích phân xác định của hàm liên tục đối với giới hạn trên thay đổi tồn tại và bằng giá trị của tích phân tại giới hạn trên.
Bằng chứng. Hãy lấy bất kỳ giá trị x nào và tăng cho nó x 0 sao cho x + x , tức là. 
. Khi đó hàm Ф(х) sẽ nhận một giá trị mới:
Chúng tôi tìm thấy sự gia tăng của hàm Ф(х):
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
Áp dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân cuối cùng ta có:
trong đó C là số nằm giữa các số x và x + x. Từ đây 
Nếu bây giờ x 0, thì c x và f(c) f(x) (do tính liên tục của f(x) trên ). Do đó, chuyển đến giới hạn ở đẳng thức cuối cùng ta thu được
f
(
x
)
hoặc 
,
Q.E.D.
Kết quả. Tích phân xác định với giới hạn trên thay đổi là một trong những nguyên hàm của tích phân liên tục. Nói cách khác, đối với đối với bất kỳ hàm số liên tục nào đều có nguyên hàm,
Bình luận. Tích phân có giới hạn tích phân trên thay đổi được sử dụng để xác định nhiều hàm mới, ví dụ:
.
3. Công thức Newton-Leibniz
Như chúng tôi đã lưu ý, việc tính tích phân xác định bằng phương pháp dựa trên việc tìm giới hạn của tổng tích phân thường gặp nhiều khó khăn. Do đó, có một phương pháp khác, thường thuận tiện hơn, để tính tích phân xác định, dựa trên mối liên hệ chặt chẽ tồn tại giữa khái niệm tích phân xác định và không xác định. Sự kết nối này được thể hiện bằng cách sau
Định lý 4 . Tích phân xác định của hàm liên tục bằng hiệu giữa các giá trị của bất kỳ nguyên hàm nào của nó đối với giới hạn tích phân trên và giới hạn dưới.
Bằng chứng. Chúng ta đã chứng minh rằng hàm f(x), liên tục trên đoạn này, có nguyên hàm và một trong những nguyên hàm là hàm
.
Giả sử F(x) là nguyên hàm bất kỳ của hàm f(x) trên cùng một đoạn. Vì các nguyên hàm Ф(х) và F(х) khác nhau một hằng số (xem tính chất của nguyên hàm), đẳng thức sau đây có giá trị:
trong đó C là một số nhất định. Thay thế vào đẳng thức này giá trị x = Một chúng tôi sẽ có 0 = F(Một) + C, C = - F(Một), tức là với x ta có
Đặt x = b, ta thu được hệ thức
(3.1)
Công thức (3.1) được gọi là công thức Newton-Leibniz. Sự khác biệt F(b)
–
F(Một)
Người ta thường viết nó dưới dạng 
và khi đó công thức (3.1) có dạng
Vì vậy, công thức (3.1) mà chúng ta thu được, một mặt, thiết lập mối liên hệ giữa tích phân xác định và tích phân không xác định, mặt khác, nó đưa ra một phương pháp đơn giản để tính tích phân xác định:
tích phân xác định của hàm liên tục bằng hiệu giữa các giá trị của bất kỳ nguyên hàm nào của nó, được tính cho giới hạn tích phân trên và dưới.
Hướng dẫn
Tích hợp là một hoạt động trái ngược với sự khác biệt. Vì vậy, nếu muốn học tích phân tốt thì trước tiên bạn cần học cách tìm đạo hàm của bất kỳ hàm số nào. Bạn có thể học điều này khá nhanh chóng. Rốt cuộc, có một đạo hàm đặc biệt. Với sự trợ giúp của nó, người ta đã có thể thực hiện được các phép tích phân đơn giản. Ngoài ra còn có một bảng tích phân bất định cơ bản. Nó được thể hiện trong hình.
Khi tìm tổng của hai hàm số, bạn chỉ cần phân tích từng hàm số một rồi cộng kết quả: (u+v)" = u"+v";
Khi tìm đạo hàm của tích hai hàm số, cần nhân đạo hàm của hàm số thứ nhất với hàm số thứ hai rồi cộng đạo hàm của hàm số thứ hai nhân với hàm số thứ nhất: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Để tìm đạo hàm của thương của hai hàm số, cần trừ tích đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số chia bằng tích của đạo hàm của số chia nhân với hàm số bị chia và chia tất cả điều này bằng hàm chia bình phương. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Nếu cho một hàm phức thì cần nhân đạo hàm của hàm bên trong với đạo hàm của hàm ngoài. Đặt y=u(v(x)), sau đó y"(x)=y"(u)*v"(x).
Sử dụng các kết quả thu được ở trên, bạn có thể phân biệt hầu hết mọi chức năng. Vì vậy, hãy xem xét một vài ví dụ:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ngoài ra còn có các vấn đề liên quan đến việc tính đạo hàm tại một điểm. Cho hàm y=e^(x^2+6x+5), bạn cần tìm giá trị của hàm tại điểm x=1.
1) Tìm đạo hàm của hàm số: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Tính giá trị của hàm số tại một điểm cho trước y"(1)=8*e^0=8
Chức năng F(x ) gọi điện phản đạo hàm cho chức năng f(x) trên một khoảng thời gian nhất định, nếu với tất cả x từ khoảng này đẳng thức giữ nguyên
F"(x ) = f(x ) .
Ví dụ, chức năng F(x) = x 2 f(x ) = 2X , bởi vì
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Tính chất chính của nguyên hàm
Nếu như F(x) - nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng nhất định thì hàm f(x) có vô số nguyên hàm và tất cả các nguyên hàm này có thể được viết dưới dạng F(x) + C, Ở đâu VỚI là một hằng số tùy ý.
Ví dụ. Chức năng F(x) = x 2 + 1 là nguyên hàm của hàm f(x ) = 2X , bởi vì F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); chức năng F(x) = x 2 - 1 là nguyên hàm của hàm f(x ) = 2X , bởi vì F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; chức năng F(x) = x 2 - 3 là nguyên hàm của hàm f(x) = 2X , bởi vì F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); bất kỳ chức năng nào F(x) = x 2 + VỚI , Ở đâu VỚI - một hằng số tùy ý và chỉ hàm số đó mới là nguyên hàm của hàm số f(x) = 2X . ◄ |
Quy tắc tính nguyên hàm
- Nếu như F(x) - phản đạo hàm cho f(x) , MỘT G(x) - phản đạo hàm cho g(x) , Cái đó F(x) + G(x) - phản đạo hàm cho f(x) + g(x) . Nói cách khác, nguyên hàm của tổng bằng tổng của các nguyên hàm .
- Nếu như F(x) - phản đạo hàm cho f(x) , Và k - hằng số, sau đó k · F(x) - phản đạo hàm cho k · f(x) . Nói cách khác, hệ số không đổi có thể được loại bỏ khỏi dấu của đạo hàm .
- Nếu như F(x) - phản đạo hàm cho f(x) , Và k,b- hằng số và k ≠ 0 , Cái đó 1 / k F( k x+ b ) - phản đạo hàm cho f(k x+ b) .
Tích phân không xác định
Tích phân không xác định từ chức năng f(x) được gọi là biểu thức F(x) + C, nghĩa là tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm số đã cho f(x) . Tích phân không xác định được ký hiệu như sau:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- họ gọi hàm tích phân ;
f(x) dx- họ gọi tích phân ;
x - họ gọi biến tích hợp ;
F(x) - một trong những hàm nguyên thủy f(x) ;
VỚI là một hằng số tùy ý.
Ví dụ, ∫ 2 x dx =X 2 + VỚI , ∫ vìx dx = tội lỗi X + VỚI và vân vân. ◄
Từ "tích phân" xuất phát từ tiếng Latin số nguyên , có nghĩa là "được khôi phục". Xét tích phân không xác định của 2 x, chúng tôi dường như khôi phục lại chức năng X 2 , đạo hàm của nó bằng 2 x. Khôi phục một hàm từ đạo hàm của nó, hay tương tự, tìm một tích phân không xác định trên một số nguyên đã cho được gọi là hội nhập chức năng này. Tích phân là phép toán nghịch đảo của vi phân. Để kiểm tra xem phép tích phân có được thực hiện đúng hay không, chỉ cần vi phân kết quả và thu được tích phân là đủ.
Tính chất cơ bản của tích phân không xác định
- Đạo hàm của tích phân không xác định bằng tích phân:
- Hệ số không đổi của số nguyên có thể được lấy ra khỏi dấu tích phân:
- Tích phân của tổng (vi phân) của các hàm bằng tổng (vi phân) của tích phân của các hàm này:
- Nếu như k,b- hằng số và k ≠ 0 , Cái đó
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .
Bảng nguyên hàm và tích phân bất định
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| TÔI. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Các tích phân nguyên hàm và tích phân không xác định cho trong bảng này thường được gọi là nguyên hàm dạng bảng
Và bảng tích phân
. |
|||
tích phân xác định
Hãy để ở giữa [Một; b] một hàm liên tục được đưa ra y = f(x) , Sau đó tích phân xác định từ a đến b chức năng f(x) được gọi là số tăng của nguyên hàm F(x) chức năng này, đó là
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
số Một Và bđược gọi tương ứng thấp hơn Và đứng đầu hạn chế của hội nhập
Các quy tắc cơ bản để tính tích phân xác định
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) trong đó k - không thay đổi;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), trong đó f(x) - hàm số chẵn;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), trong đó f(x) là hàm số lẻ.
Bình luận . Trong mọi trường hợp, người ta giả định rằng các tích phân có thể tích phân trên các khoảng số, ranh giới của chúng là giới hạn của tích phân.
Ý nghĩa hình học và vật lý của tích phân xác định
| Ý nghĩa hình học tích phân xác định | Ý nghĩa vật lý
tích phân xác định |
 |  |
Quảng trường S hình thang cong (một hình được giới hạn bởi đồ thị dương liên tục trên khoảng [Một; b] chức năng f(x) , trục Con bò đực và thẳng x=a , x=b ) được tính theo công thức $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Con đường S, mà điểm vật chất đã vượt qua, chuyển động thẳng đều với vận tốc thay đổi theo quy luật v(t)
, trong một khoảng thời gian ;
b] , khi đó diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số và đường thẳng này x = một
, x = b
, được tính theo công thức $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Ví dụ. Hãy tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 Và y = 2- x . Chúng ta hãy mô tả sơ đồ đồ thị của các hàm này và đánh dấu hình có diện tích cần tìm bằng màu khác. Để tìm giới hạn tích phân, ta giải phương trình: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Khối lượng của một cơ quan cách mạng
 | Nếu một vật thu được do quay quanh một trục Con bò đực hình thang cong được giới hạn bởi một đồ thị liên tục và không âm trên khoảng [Một; b] chức năng y = f(x) và thẳng x = một Và x = b , thì nó được gọi là cơ thể quay . Thể tích của vật quay được tính theo công thức $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Nếu vật quay thu được là kết quả của phép quay một hình giới hạn trên và dưới bởi đồ thị hàm số y = f(x) Và y = g(x) , theo đó, thì $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Ví dụ. Hãy tính thể tích của hình nón có bán kính r
và chiều cao h
. Ta đặt hình nón trong hệ tọa độ chữ nhật sao cho trục của nó trùng với trục Con bò đực
, và tâm của đáy nằm ở gốc tọa độ. Vòng quay máy phát điện ABđịnh nghĩa một hình nón. Vì phương trình AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| và thể tích hình nón ta có $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|