Вітаю, катани! У минулого разуми докладно розібрали, що таке коріння (якщо не помнете, рекомендую почитати). Головний висновок того уроку: існує лише одне універсальне визначеннякоріння, яке вам і потрібно знати. Решта — брехня і марнування часу.
Сьогодні ми йдемо далі. Вчимося множити коріння, вивчимо деякі проблеми, пов'язані з множенням (якщо ці проблеми не вирішити, то на іспиті вони можуть стати фатальними) і як слід потренуємося. Тому запасайтеся попкорном, влаштовуйтесь зручніше - і ми починаємо.
Адже ви теж ще не вкурили?
Урок вийшов досить великим, тому я розділив його на дві частини:
- Спочатку ми розберемо правила множення. Кеп начебто натякає: це коли є два корені, між ними стоїть знак «помножити» — і ми хочемо щось із цим зробити.
- Потім розберемо зворотну ситуацію: є один великий корінь, а нам закортіло уявити його у вигляді твору двох коренів простіше. З якого переляку це буває потрібно — окреме питання. Ми розберемо лише алгоритм.
Тим, кому не терпиться одразу перейти до другої частини — ласкаво прошу. З рештою почнемо по порядку.
Основне правило множення
Почнемо з найпростішого - класичних квадратного коріння. Ті самі, які позначаються $\sqrt(a)$ і $\sqrt(b)$. Для них все взагалі очевидно:
Правило множення. Щоб помножити один квадратний корінь на інший, потрібно просто перемножити їх підкорені вирази, а результат записати під загальним радикалом:
\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]
Жодних додаткових обмежень на числа, що стоять праворуч чи ліворуч, не накладається: якщо коріння-множники існують, то й твір теж існує.
приклади. Розглянемо відразу чотири приклади з числами:
\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \ \ \ \ \ sqrt (54) \ cdot \ sqrt (6) = \ sqrt (54 \ cdot 6) = \ sqrt (324) = 18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]
Як бачите, основний зміст цього правила - спрощення ірраціональних виразів. І якщо в першому прикладі ми б і самі витягли коріння з 25 і 4 без будь-яких нових правил, то далі починається жерсть: $ \ sqrt (32) $ і $ \ sqrt (2) $ самі по собі не вважаються, але їх добуток виявляється точним квадратом, тому корінь з нього дорівнює раціональному числу.
Окремо хотів би відзначити останній рядок. Там обидва підкорені вирази є дробами. Завдяки твору багато множників скорочуються, а весь вираз перетворюється на адекватне число.
Звичайно, не завжди все буде так гарно. Іноді під корінням стоятиме повна лажа — незрозуміло, що з нею робити і як перетворювати після множення. Трохи пізніше, коли почнете вивчати ірраціональні рівнянняі нерівності, там взагалі будуть усілякі змінні та функції. І дуже часто укладачі завдань якраз і розраховують на те, що ви виявите якісь складові або множники, що скорочуються, після чого завдання багаторазово спроститься.
Крім того, зовсім необов'язково перемножувати саме два корені. Можна помножити одразу три, чотири — та хоч десять! Правило від цього не зміниться. Погляньте:
\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0,001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0,001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]
І знову невелике зауваження на другому прикладі. Як бачите, у третьому множнику під коренем стоїть десятковий дріб — у процесі обчислень ми замінюємо його звичайним, після чого все легко скорочується. Так ось: дуже рекомендую позбавлятися десяткових дробів у будь-яких ірраціональних виразах(Тобто містять хоча б один значок радикала). У майбутньому це заощадить вам купу часу та нервів.
Але це було ліричний відступ. Тепер розглянемо більше загальний випадок— коли у показнику кореня стоїть довільне число$n$, а не лише «класична» двійка.
Випадок довільного показника
Отже, з квадратним корінням розібралися. А що робити з кубічними? Або взагалі з корінням довільного ступеня $n$? Та все те саме. Правило залишається тим самим:
Щоб перемножити два корені ступеня $n$, достатньо перемножити їх підкорені вирази, після чого результат записати під одним радикалом.
Загалом нічого складного. Хіба що обсяг обчислень може виявитися більшим. Розберемо кілька прикладів:
приклади. Обчислити твори:
\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3) ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]
І знову увага друга вираз. Ми перемножуємо кубічні коріння, позбавляємося від десяткового дробуі в результаті отримуємо у знаменнику добуток чисел 625 і 25. Це досить велика кількість— особисто я з ходу не вважаю, чому воно рівне.
Тому ми просто виділили точний куб у чисельнику та знаменнику, а потім скористалися однією з ключових властивостей (або, якщо завгодно — визначенням) кореня $n$-го ступеня:
\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a \right|. \\ \end(align)\]
Подібні «махінації» можуть здорово заощадити вам час на іспиті або контрольної роботитому запам'ятайте:
Не поспішайте перемножувати числа у підкореному вираженні. Спочатку перевірте: раптом там «зашифровано» точний ступінь якогось виразу?
За всієї очевидності цього зауваження має визнати, що більшість непідготовлених учнів не бачать точних ступенів. Натомість вони перемножують все напролом, а потім дивуються: чому це вийшли такі звірячі числа?:)
Втім, все це дитячий белькітв порівнянні з тим, що ми вивчимо зараз.
Розмноження коренів з різними показниками
Ну гаразд, тепер ми вміємо перемножувати коріння з однаковими показниками. А що якщо показники різні? Скажімо, як помножити звичайний $\sqrt(2)$ на якусь хрень типу $\sqrt(23)$? Чи можна це взагалі робити?
Так, звичайно, можна. Все робиться ось за цією формулою:
Правило множення коріння. Щоб помножити $\sqrt[n](a)$ на $\sqrt[p](b)$, достатньо виконати таке перетворення:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Однак ця формула працює лише за умови, що підкорені вирази невід'ємні. Це дуже важливе зауваження, до якого ми повернемося трохи згодом.
А поки що розглянемо пару прикладів:
\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 8) = sqrt (648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \ sqrt (1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \ sqrt (5625). \\ \end(align)\]
Як бачите, нічого складного. Тепер давайте розберемося, звідки взялася вимога невід'ємності, і що буде, якщо ми її порушимо.
Помножувати коріння нескладно Чому підкорені вирази мають бути невід'ємними?
Звичайно, можна уподібнитись шкільним вчителямта з розумним виглядом процитувати підручник:
Вимога невід'ємності пов'язана з різними визначеннямикоренів парного і непарного ступеня (відповідно, області визначення вони теж різні).
Ну що стало зрозуміліше? Особисто я, коли читав це марення у 8-му класі, зрозумів для себе приблизно таке: «Вимога невід'ємності пов'язана з *#&^@(*#@^#)~%» — коротше, я ніхрена того разу не зрозумів. :)
Тому зараз поясню все по-нормальному.
Спочатку з'ясуємо, звідки взагалі береться формула множення, наведена вище. Для цього нагадаю одне важлива властивістькореня:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Іншими словами, ми можемо спокійно зводити підкорене вираз у будь-яку натуральний ступінь$k$ - при цьому показник кореня доведеться помножити на цей же ступінь. Отже, ми легко зведемо будь-яке коріння до загального показника, Після чого перемножимо. Звідси і береться формула множення:
\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]
Але є одна проблема, яка різко обмежує застосування цих формул. Розглянемо таке число:
Згідно з наведеною формулою ми можемо додати будь-який ступінь. Спробуємо додати $k=2$:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]
Мінус ми прибрали саме тому, що квадрат спалює мінус (як і будь-який інший парний ступінь). А тепер виконаємо зворотне перетворення: «скоротимо» двійку у показнику та ступені. Адже будь-яку рівність можна читати як зліва-направо, так і праворуч-наліво:
\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2))) = sqrt (5). \\ \end(align)\]
Але тоді виходить якась хрінь:
\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]
Цього не може бути, тому що $\sqrt(-5) \lt 0$, а $\sqrt(5) \gt 0$. Значить, для парних ступенів та негативних чиселнаша формула не працює. Після чого ми маємо два варіанти:
- Вбитись об стіну констатувати, що математика — це безглузда наука, де є якісь правила, але це неточно;
- Ввести додаткові обмеження, за яких формула стане робочою на 100%.
У першому варіанті нам доведеться постійно виловлювати "непрацюючі" випадки - це важко, довго і взагалі фу. Тому математики віддали перевагу другому варіанту.:)
Але не переживайте! На практиці це обмеження ніяк не впливає на обчислення, тому що всі ці проблеми стосуються лише коренів непарного ступеня, а з них можна виносити мінуси.
Тому сформулюємо ще одне правило, яке поширюється взагалі на всі дії з корінням:
Перш ніж перемножувати коріння, зробіть так, щоб підкорені вирази були невід'ємними.
приклад. Серед $\sqrt(-5)$ можна винести мінус з-під знака кореня - тоді все буде норм:
\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]
Відчуваєте різницю? Якщо залишити мінус під коренем, то при зведенні підкореного виразу в квадрат зникне, і почнеться хрень. А якщо спочатку винести мінус, то можна хоч до посиніння зводити/прибирати квадрат — число залишиться негативним.
Таким чином, найправильніший і самий надійний спосібмноження коренів наступний:
- Забрати всі мінуси з-під радикалів. Мінуси бувають тільки в корінні непарної кратності — їх можна поставити перед коренем і при необхідності скоротити (наприклад, якщо цих мінусів виявиться два).
- Виконати множення згідно з правилами, розглянутими вище у сьогоднішньому уроці. Якщо показники коріння однакові, просто перемножуємо підкорені вирази. А якщо різні - використовуємо злісну формулу \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n) )) \].
- 3.Насолоджуємося результатом і хорошими оцінками.:)
Ну, що? Потренуємося?
Приклад 1. Спростіть вираз:
\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(align)\]
Це найпростіший варіант: показники коренів однакові та непарні, проблема лише в мінусі у другого множника. Виносимо цей мінус нафіг, після чого все легко вважається.
Приклад 2. Спростіть вираз:
\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( align)\]
Тут багатьох збентежило б те, що на виході вийшло ірраціональне число. Так, так буває: ми не змогли повністю позбутися кореня, але принаймні суттєво спростили вираз.
Приклад 3. Спростіть вираз:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]
Ось на це завдання хотів би звернути вашу увагу. Тут одразу два моменти:
- Під корінням стоїть не конкретне числоабо ступінь, а змінна $a$. На перший погляд, це трохи незвично, але насправді при вирішенні математичних завданьнайчастіше доведеться мати справу саме зі змінними.
- Наприкінці ми примудрилися скоротити показник кореня і ступінь у підкореному вираженні. Таке трапляється досить часто. І це означає, що можна було спростити обчислення, якщо не користуватися основною формулою.
Наприклад, можна було вчинити так:
\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]
По суті, усі перетворення виконувалися лише з другим радикалом. І якщо не детально розписувати всі проміжні кроки, то в результаті обсяг обчислень істотно знизиться.
Насправді ми вже стикалися з подібним завданнявище, коли вирішували приклад $ sqrt (5) \ cdot \ sqrt (3) $. Тепер його можна розписати набагато простіше:
\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) = sqrt (75). \end(align)\]
Ну що ж, з множенням коріння розібралися. Тепер розглянемо зворотну операцію: що робити, коли під корінням стоїть твір?
Формули коріння. Властивості квадратного коріння.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
У попередньому уроці ми розібралися, що таке квадратний корінь. Настав час розібратися, які існують формули для коріння, які властивості коренів, і що з цим можна робити.
Формули коренів, властивості коренів та правила дій з корінням- це, по суті, те саме. Формул для квадратного коріння на подив небагато. Що, безумовно, тішить! Точніше, понаписати будь-яких формул можна багато, але для практичної та впевненої роботи з корінням достатньо всього трьох. Решта з цих трьох відбувається. Хоча і в трьох формулах коріння багато хто блукає, та...
Почнемо з найпростішої. Ось вона:
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Відомо, що знак кореня є квадратним коренем із деякого числа. Однак знак кореня означає не лише алгебраїчна дія, а й застосовується в деревообробному виробництві - для відносних розмірів.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Якщо ви хочете дізнатися, як помножити коріння "с" або "без" множників, то ця стаття для вас. У ній ми розглянемо методи множення коренів:
- без множників;
- з множниками;
- з різними показниками.
Метод множення коренів без множників
Алгоритм дій:
Переконатися, що біля кореня однакові показники(Ступені). Згадаймо, що ступінь записується зліва над знаком кореня. Якщо немає позначення ступеня, це означає, що квадратний корінь, тобто. зі ступенем 2, і його можна множити на інше коріння зі ступенем 2.
приклад
Приклад 1: 18 × 2 =?
Приклад 2: 10 × 5 =?
приклад
Приклад 1: 18 × 2 = 36
Приклад 2: 10 × 5 = 50
Приклад 3: 3 3 × 9 3 = 27 3
Спростити підкорені вирази.Коли ми множимо коріння один на одного, ми можемо спростити отриманий підкорений вираз до твору числа (або виразу) на повний квадратабо куб:
приклад
Приклад 1: 36=6. 36 - квадратний корінь із шести (6 × 6 = 36) .
Приклад 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Число 50 розкладаємо на твір 25 та 2 . Корінь з 25 - 5 тому виносимо 5 з-під знака кореня і спрощуємо вираз.
Приклад 3: 273 = 3 . Кубічний коріньіз 27 дорівнює 3: 3 × 3 × 3 = 27 .
Метод множення показників із множниками
Алгоритм дій:
Помножити множники.Множник – число, яке стоїть перед знаком кореня. У разі відсутності множника він, за замовчуванням, вважається одиницею. Далі необхідно перемножити множники:
приклад
Приклад 1: 3 2 × 10 = 3? 3 × 1 = 3
Приклад 2: 4 3 × 3 6 = 12? 4 × 3 = 12
Помножити числа під знаком кореня.Як тільки ви перемножили множники, сміливо множте числа, що стоять під знаком кореня:
приклад
Приклад 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20
Приклад 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18
Спростити підкорене вираз.Далі слід спростити значення, які стоять під знаком кореня - потрібно винести відповідні числаза знак кореня. Після цього необхідно перемножити числа та множники, які стоять перед знаком кореня:
приклад
Приклад 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5
Приклад 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2
Метод множення коріння з різними показниками
Алгоритм дій:
Знайти найменше загальне кратне (НОК) показників.Найменше загальне кратне - найменше число, що ділиться на обидва показники.
приклад
Необхідно знайти НОК показників для наступного виразу:
Показники дорівнюють 3 і 2 . Для цих двох чисел найменшим загальним кратним є число 6 (воно ділиться без залишку і на 3 і на 2). Для множення коренів потрібен показник 6 .
Записати кожен вираз із новим показником:
Знайти числа, на які потрібно збільшити показники, щоб отримати НОК.
У виразі 5 3 необхідно помножити 3 на 2 щоб отримати 6 . А у виразі 2 2 - навпаки, необхідно помножити на 3 щоб отримати 6 .
Звести число, яке стоїть під знаком кореня, до ступеня рівну числу, яке було знайдено на попередньому кроці. Для першого виразу 5 потрібно звести до ступеня 2 , а другого - 2 до ступеня 3:
2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6
Звести у ступінь виразу та записати результат під знаком кореня:
5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6
Перемножити числа під коренем:
(8 × 25) 6
Записати результат:
(8 × 25) 6 = 200 6
По можливості необхідно спростити вираз, але в даному випадкувоно не спрощується.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.