Завдання 20 Базовий рівень ЄДІ

1)Равлик за день заповзає вгору по дереву на 4 м, а за ніч сповзає на 1 м. Висота дерева 13 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева? (4-1 = 3, ранок 4 дні виявиться на висоті 9м, і протягом дня проповзе 4м.Відповідь: 4 )

2)Равлик за день заповзає вгору по дереву на 4 м, а за ніч сповзає на 3 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик вперше доповзе до вершини дерева? Відповідь: 7

3)Равлик за день залазить вгору по дереву на 3 м, а за ніч спускається на 2 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик підніметься на вершину дерева? Відповідь:8

4) На палиці відмічені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 15 шматків, якщо по жовтих - 5 шматків, а якщо по зелених - 7 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях всіх трьох кольорів ? (Якщо розпиляти палицю по червоних лініях, то вийде 15 шматків, отже, ліній - 14. Якщо розпиляти палицю по жовтих - 5 шматків, отже, ліній - 4. Якщо розпиляти по зелених - 7 шматків, ліній - 6. Всього ліній: 14 + 4+6=24 лінії. Відповідь:25 )

5) На палиці відмічені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 5 шматків, якщо по жовтих - 7 шматків, а якщо по зелених - 11 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів? Відповідь : 21

6) На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 10 шматків, якщо по жовтих - 8 шматків, якщо по зелених - 8 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів? Відповідь : 24

7) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 10

8) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

· За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

· За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 100 мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 20

9) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 3 золоті монети отримати 4 срібні та одну мідну;

2) за 6 срібних монет отримати 4 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 35 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 10

10) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 3 золоті монети отримати 4 срібні та одну мідну;

2) за 7 срібних монет отримати 4 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 42 мідні. На скільки поменшало срібних монет у Миколи? Відповідь: 30

11) В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

1) за 4 золоті монети отримати 5 срібних та одну мідну;

2) за 8 срібних монет отримати 5 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 45 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Відповідь: 35

12) У кошику лежить 50 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 28 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки груздів у кошику? ( (50-28)+1=23 - Має бути рижиків. (50-24)+1=27 - Має бути груздів. Відповідь: груздів у кошику 27 .)

13) У кошику лежить 40 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 17 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь. Скільки рижиків у кошику? ( Відповідно до умови завдання: (40-17)+1=24 - Має бути рижиків. (40-25)+1=16 24 .)

14) кошику лежить 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь. Скільки рижиків у кошику? (Згідно з умовою завдання: (30-12)+1=19 - Має бути рижиків. (30-20)+1=11 - Має бути груздів. Відповідь: рижиків у кошику 19 .)

15) У кошику лежить 45 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 23 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 24 грибів хоча б один груздь. Скільки рижиків у кошику? ( Відповідно до умови завдання: (45-23)+1=23 - Має бути рижиків. (45-24)+1=22 - Має бути груздів. Відповідь: рижиків у кошику 23 .)

16) У кошику лежить 25 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 11 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 16 грибів хоча б один груздь. Скільки рижиків у кошику? ( Так як серед будь-яких 11 грибів хоча б один - рудик, то груздів не більше 10. Так як серед будь-яких 16 грибів хоча б один - груздь, то рижиків не більше 15. А так як всього в кошику 25 грибів, то груздів рівно 10, а рижиків рівноВідповідь:15.

17)Господар домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 4200 рублів, а за кожен наступний метр - на 1300 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 11 метрів ?(Відповідь: 117700)

18) Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3700 рублів, а за кожний наступний метр – на 1700 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 8 метрів? ( 77200 )

19) Хазяїн домовився з робітниками, що вони копають колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3500 рублів, а за кожен наступний метр – на 1600 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 9 метрів? ( 89100 )

20) Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3900 рублів, а за кожен наступний метр платитиме на 1200 рублів більше, ніж за попередній. Скільки рублів господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 6 метрів? (41400)

21) Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці 15 хвилин, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 7 хвилин. За скільки занять Андрій проведе на біговій доріжці загалом 2 години 25 хвилин, якщо слідуватиме порадам тренера? ( 5 )

22) Тренер порадив Андрію у перший день занять провести на біговій доріжці 22 хвилини, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 4 хвилини, поки воно не досягне 60 хвилин, а далі продовжуватиме тренуватися по 60 хвилин щодня. За скільки занять починаючи з першого Андрій проведе на біговій доріжці в сумі 4 години 48 хвилин? ( 8 )

23) У першому ряду кінозалу 24 місця, а в кожному наступному на 2 більше, ніж у попередньому. Скільки місць у восьмому ряду? ( 38 )

24) Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: у перший день він повинен прийняти 3 краплі, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Прийнявши 30 крапель, він ще 3 дні п'є по 30 крапель ліків, а потім щодня зменшує прийом на 3 краплі. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо в кожному міститься 20 мл ліків (що становить 250 крапель)? (2) суму арифметичної прогресії з першим членом, рівним 3, різницею, що дорівнює 3 і останнім членом, рівним 30; 165 + 90 + 135 = 390 крапель; 3+ 3(n-1)=30; n=10 і 27-3(n-1)=3; n=9

25) Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: першого дня він повинен прийняти 20 крапель, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Після 15 днів прийому пацієнт робить перерву в 3 дні і продовжує приймати ліки за зворотною схемою: в 19-й день він приймає стільки ж крапель, скільки і в 15-й день, а потім щодня зменшує дозу на 3 краплі, доки дозування не стане менше 3 крапель на день. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо у кожному міститься 200 крапель? ( 7 ) вип'є 615 + 615 + 55 = 1285; 1285: 200 = 6,4

26) У магазині побутової техніки обсяг продажу холодильників носить сезонний характер. У січні було продано 10 холодильників, і за три наступні місяці продавали по 10 холодильників. З травня продаж збільшувався на 15 одиниць порівняно з попереднім місяцем. З вересня обсяг продажів почав зменшуватися на 15 холодильників щомісяця щодо попереднього місяця. Скільки холодильників продав магазин за рік? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360

27) На поверхні глобуса фломастером проведено 12 паралелей та 22 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора. (13 · 22 =286)

28) На поверхні глобуса фломастером проведено 17 паралелей та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса? Меридіан - це дуга кола, що сполучає Північний і Південний полюси. Паралель - це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора. (18 · 24 =432)

29) Яке найменше число чисел, що йдуть підряд, потрібно взяти, щоб їх добуток ділився на 7? (2) Якби умова завдання звучала так: «Яку найменшу кількість чисел, що йдуть поспіль, потрібно взяти, щоб їх твір гарантовано ділилося на 7?» То треба було б взяти сім поспіль чисел, що йдуть.

30) Яке найменше число чисел, що йдуть підряд, потрібно взяти, щоб їх добуток ділився на 9? (2)

31) Твір десяти чисел, що йдуть поспіль, розділили на 7. Чому може дорівнювати залишок? (0) Серед 10 поспіль чисел одне з них обов'язково буде ділитися на 7, тому добуток цих чисел кратно семи. Отже, залишок від розподілу на 7 дорівнює нулю.

32) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, у яких коник може опинитися, зробивши рівно 6 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? ( коник може опинитися в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 та 6; всього 7 точок.)

33) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 12 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? ( коник може опинитися в точках: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 та 12; всього 13 точок.)

34) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 11 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? (може опинитися в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 та 11; всього 12 точок.)

35) Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 8 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

Зауважимо, що коник може опинитися тільки в точках з парними координатами, оскільки кількість стрибків, яку він робить, – парна. Максимально коник може опинитися в точках, модуль яких не перевищує восьми. Таким чином, коник може опинитися в точках: −8, −6,-2 ; −4, 0,2, 4, 6, 8 всього 9 точок.

Завдання №5922.

Хазяїн домовився з робітниками, що вони копають колодязь на таких умовах: за перший метр він заплатить їм 3500 рублів, а за кожен наступний метр – на 1600 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 9 метрів?

Так як оплата кожного наступного метра відрізняється від оплати попереднього на те саме число, перед нами .

У цій прогресії – плата за перший метр, – різниця в оплаті кожного наступного метра, – кількість робочих днів.

Сума членів арифметичної прогресії перебуває за такою формулою:

Підставимо ці завдання у цю формулу.

Відповідь: 89100.

Завдання №5943.

В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

· За 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;

· За 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, зате з'явилося 100 мідних. На скільки зменшилася кількість срібних монет у Миколи?

Завдання №5960.

Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 5 стрибків, починаючи стрибати з початку координат?

Якщо коник зробить п'ять стрибків в одному напрямку (праворуч або ліворуч), то він опиниться в точках з координатами 5 або -5:

Зауважимо, що коник може стрибати і вправо, і вліво. Якщо він зробить 1 стрибок праворуч і 4 стрибка ліворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою -3. Аналогічно, якщо коник зробить 1 стрибок ліворуч і 4 стрибка праворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою 3:

Якщо коник зробить 2 стрибки праворуч і 3 стрибки ліворуч (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою -1. Аналогічно, якщо коник зробить 2 стрибки вліво і 3 стрибка вправо (у сумі 5 стрибків), то опиниться в точці з координатою 1:

Зауважимо, що якщо загальна кількість стрибків непарна, то на початок координат коник не повернеться, тобто він зможе потрапити тільки в точки з непарними координатами:

Цих точок лише 6.

Якби кількість стрибків була парною, то коник зміг би повернутися на початок координат і всі точки на координатній прямій, у які міг би потрапити мали б парні координати.

Відповідь: 6

Завдання №5990

Равлик за день залазить на дерево на 2 м, а за ніч сповзає на 1 м. Висота дерева 9 м. За скільки днів равлик доповзе до вершини дерева?

Зауважимо, що у цьому завдання слід розрізняти поняття "добу" та поняття "день".

У задачі питається саме за скільки днівравлик доповзе до вершини дерева.

За один день равлик піднімається на 2 м, а за одну добу равлик піднімається на 1 м (за день піднімається на 2 м, а потім за ніч спускається на 1 м).

За 7 діб равлик піднімається на 7 метрів. Тобто вранці 8-го дня їй залишиться доповзти до вершини 2 м. І за восьмий день вона подолає цю відстань.

Відповідь: 8 днів.

Завдання №6010.

У всіх під'їздах будинку однакова кількість поверхів, а на кожному поверсі однакова кількість квартир. При цьому кількість поверхів у будинку більша за кількість квартир на поверсі, кількість квартир на поверсі більша за кількість під'їздів, а кількість під'їздів більша за один. Скільки поверхів у будинку, якщо всього у ньому 105 квартир?

Щоб знайти число квартир у будинку, потрібно число квартир на поверсі ( ) помножити на кількість поверхів ( ) та помножити на кількість під'їздів ( ).

Тобто нам потрібно знайти ( ), виходячи з таких умов:

(1)

Остання нерівність відображає умову "число поверхів у будинку більше за кількість квартир на поверсі, число квартир на поверсі більше за кількість під'їздів, а число під'їздів більше за одне".

Тобто ( ) - Найбільше число.

Розкладемо 105 на прості множники:

З урахуванням умови (1), .

Відповідь: 7.

Завдання №6036.

У кошику лежать 30 грибів: рижі та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

Так як серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик(або більше) число груздів має бути меншим або рівним ніж .

Звідси випливає, що число рижиків більше або рівне ніж .

Так як серед будь-яких 20 грибів хоча б один груздь(або більше), число рижиків має бути меншим або рівним ніж

Тоді отримали, що з одного боку, число рудиків більше або рівне ніж 19 , а з іншого - менше або рівно ніж 19 .

Отже, кількість рижиків одно 19.

Відповідь: 19.

Завдання №6047.

Сашко запросив Петю в гості, сказавши, що живе у сьомому під'їзді у квартирі №333, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що дім дев'ятиповерховий. На якому поверсі мешкає Сашко? (На кожному поверсі кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.)

Нехай на кожному поверсі квартир.

Тоді кількість квартир у перших шести під'їздах дорівнює

Знайдемо максимальне натуральне значення, що задовольняє нерівності ( - номер останньої квартири в шостому під'їзді, і він менший, ніж 333.)

Звідси

Номер останньої квартири у шостому під'їзді -

Сьомий під'їзд починається із 325-ї квартири.

Отже, 333 квартири знаходяться на другому поверсі.

Відповідь: 2

Завдання №6060.

На поверхні глобуса фломастером проведено 17 паралелей та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділяють поверхню глобуса? Меридіан – це дуга кола, що сполучає Північний та Південний полюси. паралель – це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

Уявімо собі кавун, який ми розрізаємо на шматочки.

Зробивши два розрізи від верхньої точки до нижньої (провівши два меридіани), ми розріжемо кавун на дві часточки. Отже, провівши 24 розрізи (24 меридіани) ми розріжемо кавун на 24 часточки.

Тепер розрізатимемо кожну часточку.

Якщо зробимо 1 поперечний розріз (паралель), то розріжемо одну часточку на 2 частини.

Якщо ми зробимо 2 поперечні розрізи (паралелі), то розріжемо одну часточку на 3 частини.

Отже, зробивши 17 розрізів, ми розріжемо одну часточку на 18 частин.

Отже, ми розрізали 24 часточки на 18 частин і отримали шматки.

Отже, 17 паралелей та 24 меридіани поділяють поверхню глобуса на 432 частини.

Відповідь: 432.

Завдання №6069

На палиці відзначені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 5 шматків, якщо по жовтих – 7 шматків, а якщо по зелених – 11 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів?

Якщо зробити 1 розріз, то вийде 2 шматки.

Якщо зробити 2 розрізи, то вийде 3 шматки.

У випадку: якщо зробити розрізів, то вийде шматок.

Назад: щоб отримати шматки, потрібно зробити розріз.

Знайдемо загальну кількість ліній, якими розрізали палицю.

Якщо розпиляти палицю по червоних лініях, вийде 5 шматків -отже, червоних ліній було 4;

якщо по жовтих – 7 шматків -отже, жовтих ліній було 6;

а якщо по зеленим - 11 шматків -отже, зелених ліній було 10.

Звідси загальна кількість ліній дорівнює. Якщо розпиляти ціпок по всіх лініях, то вийде 21 шматок.

Відповідь: 21.

Завдання №9626.

На кільцевій дорозі розташовані чотири бензоколонки: A, Б, B, і Г. Відстань між A та Б – 50 км, між A та В – 40 км, між В та Г – 25 км, між Г та A – 35 км (усі відстані вимірюються вздовж кільцевої дороги в найкоротший бік). Знайдіть відстань між Б та В.

Подивимося, як можуть бути розташовані бензоколонки. Спробуємо розташувати їх так:

При такому розташуванні відстань між Г та А не може дорівнювати 35 км.

Спробуємо так:

При такому розташуванні відстань між А та В не може бути 40 км.

Розглянемо такий варіант:

Цей варіант задовольняє умову завдання.

Відповідь: 10.

Завдання №10041.

Список завдань вікторини складався із 25 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 9 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 56 очок, якщо відомо, що, принаймні, один раз він помилився?

Нехай учень дав правильні відповіді і неправильні ( ). Так як можливо були ще питання, на які він не відповів, отримуємо нерівність:

Крім того, за умовою,

Так як правильна відповідь додає 7 очок, а неправильна зменшує 9, і зрештою учень набрав 56 очок, отримуємо рівняння:

Це рівняння треба вирішити у цілих числах.

Так як 9 на 7 не ділиться, має ділитися на 7.

Нехай тоді.

У цьому випадку всі умови виконуються.

Завдання №10056.

Прямокутник розбитий на чотири маленькі прямокутники двома прямолінійними розрізами. Площі трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі за годинниковою стрілкою дорівнюють 15, 18, 24. Знайдіть площу четвертого прямокутника.

Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін.

Жовтий і блакитний прямокутники мають спільну сторону, тому відношення площ цих прямокутників рівне відношенню довжин інших сторін (не рівних між собою).

Білий і зелений прямокутники також мають спільну сторону, тому відношення їх площ дорівнює відношенню інших сторін (не рівних між собою), тобто тому ж відношенню:

За якістю пропорції отримаємо

Звідси.

Завдання №10071.

Прямокутник розбитий на чотири маленькі прямокутники двома прямолінійними розрізами. Периметри трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі погодинної стрілки дорівнюють 17, 12, 13. Знайдіть периметр четвертого прямокутника.

Периметр прямокутника дорівнює сумі довжин усіх сторін.

Позначимо сторони прямокутників як зазначено на малюнку та виразимо через зазначені змінні периметри прямокутників. Отримаємо:

Тепер нам потрібно знайти, чому дорівнює значення виразу.

Віднімемо з третього рівняння друге і додамо третє. Отримаємо:

Спростимо праву та ліву частини, отримаємо:

Отже, .

Відповідь: 18.

Завдання №10086.

У таблиці три стовпці та кілька рядків. У кожну клітинку таблиці поставили за натуральним числом так, що сума всіх чисел у першому стовпці дорівнює 72, у другому – 81, у третьому – 91, а сума чисел у кожному рядку більша за 13, але менша за 16. Скільки всього рядків у таблиці?

Знайдемо суму всіх чисел у таблиці: .

Нехай число рядків у таблиці дорівнює.

За умовою завдання сума чисел у кожному рядку більше 13, але менше 16.

Оскільки сума чисел - натуральне число, цій подвійній нерівності задовольняють лише два натуральні числа: 14 і 15.

Якщо припустити, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 14, тоді сума всіх чисел у таблиці дорівнює , і це сума задовольняє нерівності .

Якщо припустити, що сума чисел у кожному рядку дорівнює 15, тоді сума всіх чисел у таблиці дорівнює , і це число задовольняє нерівності .

Отже, натуральне число повинне задовольняти системі нерівностей:

Єдине натуральне, що задовольняє цій системі - це

Відповідь: 17.

Про натуральні числа А, В і С відомо, що кожне з них більше 4, але менше 8. Загадали натуральне число, потім його помножили на А потім додали до отриманого твору В і відняли С. Вийшло 165. Яке число було загадано?

Натуральні числа А, В і Сможуть дорівнювати числам 5, 6 або 7.

Нехай невідоме натуральне число дорівнює.

Отримаємо: ;

Розглянемо різні варіанти.

Нехай А = 5. Тоді B=6 і С=7, або B=7 і С=6, або B=7 та С=7, або B=6 та С=6.

Перевіримо: ; (1)

165 ділиться на 5.

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Якщо різниця дорівнює , то рівність (1) неможлива. Отже, різниця дорівнює 0 і

Нехай А = 6. Тоді B=5 і С=7, або B=7 і З=5, або B=7 і З=7, або B=5 та С=5.

Перевіримо: ; (2)

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Якщо різниця дорівнює чи 0 то рівність (2) неможливо, оскільки - парне число, а сума (165 + парне число) - може бути парним числом.

Нехай А = 7. Тоді B=5 і З=6, або B=6 і З=5, або B=6 і З=6, або B=5 і З=5.

Перевіримо: ; (3)

Різниця між числами В і С або дорівнює , або дорівнює 0 якщо ці числа рівні. Число 165 при розподілі на 7 дає в залишку 4. Отже, також не ділиться на 7 і рівність (3) неможливо.

Відповідь: 33

З книги випало кілька листів, що йдуть поспіль. Номер останньої сторінки перед листами, що випали - 352, номер першої сторінки після листів, що випали, записується тими ж цифрами, але в іншому порядку. Скільки аркушів випало?

Очевидно, що номер першої сторінки після листів, що випали, більше ніж 352, значить це може бути або 532, або 523.

Кожен лист, що випав, містить 2 сторінки. Відтак випала парна кількість сторінок. 352 – парне число. Якщо ми до парного числа додамо парне, то отримаємо парне число. Отже, номер останньої сторінки, що випала, - парне число, і номер першої сторінки після листів, що випали, повинен бути непарним, тобто 523. Отже, номер останньої випалої сторінки 522. Тоді випало листів.

Відповідь: 85

Маша та Ведмідь з'їли 160 печива та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печиво, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть утричі швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли порівну?

Якщо Маша та Ведмідь з'їли варення порівну, а ведмідь за одиницю часу з'їдав утричі більше варення, значить він їв варення втричі менший час, ніж Маша. Інакше кажучи, Маша їла варення втричі довше, ніж Ведмідь. Але поки Маша їла варення, ведмідь їв печиво. Отже, ведмідь їв печиво втричі довше, ніж Маша. Але Ведмідь, до того ж, за одиницю часу з'їдав утричі більше печива, ніж Маша, отже, у результаті він з'їв у 9 разів більше печива, ніж Маша.

Тепер нескладно скласти рівняння. Нехай Маша з'їла печива, тоді Ведмідь з'їла печива. Разом вони з'їли печива. отримуємо рівняння:

Відповідь: 144

На прилавку квіткового магазину стоять 3 вази з трояндами: оранжева, біла та синя. Зліва від помаранчевої вази 15 троянд, праворуч від блакитної вази 12 троянд. Загалом у вазах 22 троянди. скільки троянд у помаранчевій вазі?

Так як 15 + 12 = 27, і 27> 22, отже, кількість кольорів одній вазі порахували двічі. І це біла ваза, тому що це має бути ваза, яка стоїть праворуч від синьої та зліва від помаранчевої. Значить, вази стоять у такому порядку:

Звідси отримуємо систему:

Віднімаючи з третього рівняння перше, отримаємо О = 7.

Відповідь: 7

Десять стовпів з'єднані між собою дроти так, що від кожного стовпа відходить рівно 8 дротів. скільки всього дротів протягнуто між цими десятьма стовпами?

Рішення

Змоделюємо ситуацію. Нехай у нас є два стовпи, і вони з'єднані між собою дроти так, що від кожного стовпа відходить рівно 1 провід. Тоді виходить, що від стовпів відходить 2 дроти. Але ми маємо таку ситуацію:

Тобто при тому, що від стовпів відходить 2 дроти, протягнутий між стовпами лише один провід. Значить, кількість протягнутих дротів вдвічі менше, ніж кількість тих, що відходять.

Отримуємо: - кількість проводів, що відходять.

Число простягнутих дротів.

Відповідь: 40

З десяти країн сім підписали договір про дружбу рівно з трьома іншими країнами, а кожна з трьох - рівно з сімома. Скільки було підписано договорів?

Це завдання аналогічне попередньому: дві країни підписують один спільний договір. На кожному договорі стоять два підписи. Тобто кількість підписаних договорів удвічі менша, ніж кількість підписів.

Знайдемо кількість підписів:

Знайдемо кількість підписаних договорів:

Відповідь: 21

Три промені, що виходять з однієї точки, розбивають площину на три різні кути, що вимірюються цілим числом градусів. Найбільший кут у 3 рази більший за найменший. Скільки значень може набувати величина середнього кута?

Нехай найменший кут дорівнює, тоді найбільший кут дорівнює. Оскільки сума всіх кутів дорівнює, величина середнього кута дорівнює.

Середній кут повинен бути більшим за найменший і менший від найбільшого кута.

Отримаємо систему нерівностей:

Отже, набуває значення в діапазоні від 52 до 71 градуса, тобто всього можливих значень.

Відповідь: 20

Мишко, Коля та Льоша грають у настільний теніс: гравець, який програв партію, поступається місцем гравцеві, який не брав участі в ній. У результаті виявилося, що Мишко зіграв 12 партій, а Коля – 25. Скільки партій зіграв Льоша?

Рішення

Слід пояснити, як улаштований турнір: турнір складається з фіксованого числа партій; гравець, який програв у цій партії, поступається місцем гравцю, який не брав участі в цій партії. За підсумками наступної партії гравець, який не брав у ній участі, заступає на місце програв. Отже, кожен гравець бере участь хоча б у одній із двох послідовних партій.

Знайдемо, скільки було партій.

Оскільки Коля зіграв 25 партій, відтак у турнірі було проведено не менше 25 партій.

Мишко зіграв 12 партій. Так як він точно брав участь у кожній другій партії, отже, було проведено не більше ніж партій. Тобто турнір складався із 25 партій.

Якщо Мишко зіграв 12 партій, то Льоша зіграв 13, що залишилися.

Відповідь: 13

Наприкінці чверті Петя виписав поспіль всі свої позначки по одному з предметів, їх виявилося 5, і поставив між деякими знаки множення. Добуток чисел виявився рівним 3495 . Яка відмітка виходить у Петі в чверті з цього предмета, якщо вчитель ставить лише позначки 2, 3, 4 або 5 і підсумкова позначка в чверті є середнім арифметичним усіх поточних позначок, заокруглених за правилами округлення? (Наприклад, 3,2 округляється до 3; 4,5 - до 5; 2,8 - до 3)

Розкладемо 3495 на прості множники. Остання цифра числа 5, отже число ділиться на 5; сума цифр ділиться на 3, отже число ділиться на 3.

Отримали, що

Отже, оцінки Петі 3, 5, 2, 3, 3. Знайдемо середнє арифметичне:

Відповідь: 3

Середнє арифметичне 6 різних натуральних чисел дорівнює 8. На скільки потрібно збільшити найбільше з цих чисел, щоб їхнє середнє арифметичне стало на 1 більше?

Середнє арифметичне дорівнює сумі всіх чисел, поділеної їх кількість. Нехай сума всіх чисел дорівнює. За умовою завдання, отже.

Середнє арифметичне стало на 1 більше, тобто стало одно 9. Якщо одне з чисел збільшили на , то сума збільшилася на і стала дорівнює .

Кількість чисел не змінилася і дорівнює 6.

Отримуємо рівність:

Яковлєва Наталія Сергіївна
Посада:вчитель математики
Навчальний заклад:МКОУ "Бунінська ЗОШ"
Населений пункт:село Буніне, Сонцівський район, Курська область
Найменування матеріалу:стаття
Тема:"Методи вирішення завдань №20 ЄДІ з математики базовий рівень"
Дата публікації: 05.03.2018
Розділ:повна освіта

Єдиний державний іспит є на даний момент єдиним

формою підсумкової атестації випускників середньої школи А отримання

атестата про середню освіту не можливе без успішного складання ЄДІ по

математики. Математика є не лише важливим навчальним предметом, але

та досить складним. Математичними здібностями володіють далеко

не всі діти, а від успішного складання іспиту залежить їх подальша доля.

Вчителі випускних класів знову і знову запитують: «Як допомогти

школяру під час підготовки до ЄДІ та успішно його здати?». Для того щоб

Випускник отримав атестат достатньо здати математику базового рівня. А

успішність складання іспиту безпосередньо пов'язана з тим, як вчитель володіє

методикою розв'язання різних завдань. До вашої уваги пропоную приклади

рішення завдання №20 математика базовий рівень ФІПД 2018 під

редакцією М.В. Ященко.

1 .На стрічці по різні боки від середини відмічені дві смуги: синя і

червоний. Якщо стрічку розрізати червоною смугою, то одна частина буде на 5 см

довше за іншу. Якщо стрічку розрізати по синій смузі, то одна частина буде на

15 см довше за іншу. Знайдіть відстань між червоною та синьою

смугами.

Рішення:

Нехай а см відстань від лівого кінця стрічки до синьої смуги, см

відстань від правого кінця стрічки до червоної смуги, зі см відстань

між смугами. Відомо, що якщо стрічку розрізати червоною смугою, то

одна частина на 5 см довша за іншу, тобто а + с – в =5. Якщо розрізати по

синій смузі, то одна частина буде довшою за іншу на 15 см, значить, в +с –

а = 15. Складемо два рівність почленно: а+с-в+в+с-а=20, 2с=20, с=10.

2 . Середнє арифметичне 6 різних натуральних чисел дорівнює 8.

скільки потрібно збільшити найбільше з цих чисел, щоб середнє

арифметичне стало на 1 більше.

Рішення:Оскільки середнє арифметичне 6 натуральних чисел дорівнює 8,

отже, сума цих чисел дорівнює 8*6=48. Середнє арифметичне чисел

збільшилося на 1 і дорівнювало 9, а кількість чисел не змінилася, значить,

сума чисел стане рівною 9*6=54. Щоб знайти на скільки збільшилося одне

із чисел, потрібно знайти різницю 54-48=6.

3. Клітини таблиці 6х5 розфарбовані у чорні та білі кольори. Пар сусідніх

клітин різного кольору 26, пар сусідніх клітин чорного кольору 6. Скільки пар

сусідніх клітин білого кольору.

Рішення:

У кожній горизонталі утворюється 5 пар сусідніх клітин, отже,

горизонталі всього буде 5 * 5 = 25 пар сусідніх клітин. По вертикалі

утворюється 4 пари сусідніх клітин, тобто всього пар сусідніх клітин по

вертикалі буде 4 * 6 = 24. Усього утворюється 24+25=49 пар сусідніх клітин. З

них різного кольору 26 пар, чорного 6 пар, отже білих пар буде 49-

26-6 = 17 пар.

Відповідь: 17 .

4. На прилавку квіткового магазину стоять три вази з трояндами: біла, синя та

червоний. Ліворуч від червоної вази знаходиться 15 троянд, праворуч від синьої вази 12

троянд. Загалом у вазах 22 троянди. Скільки троянд у білій вазі?

Рішення:Нехай х троянд знаходиться у білій вазі, у троянд – у синій, z троянд – у

червоний. За умовою завдання у вазах 22 троянди, тобто х+у+ z=22. Відомо,

що ліворуч від червоної вази, тобто в синій та білій 15 троянд, значить, х+у=15. А

праворуч від синьої вази, тобто у білій та червоній вазах 12 троянд, значить х + z = 12.

Отримали:

Додамо почленно 2-ге і 3-є рівності: х + у + х + z = 27 або 22 + х = 27, х = 5.

5 .Маша і Ведмідь з'їли 160 печива і банку варення, почавши і закінчивши

одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь печива, але в якійсь

момент вони змінилися. Ведмідь і те й інше їсть у 3 рази швидше за Машу.

Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли порівну.

Рішення:Так як Маша і Ведмідь почали їсти печиво та варення

одночасно і закінчили одночасно, причому їли один продукт, а потім

інший, і за умовою завдання Ведмідь їсть і те, й інше в 3 рази швидше, ніж

Маша, значить Ведмідь поглинав їжу в 9 разів швидше за Машу. Тоді нехай х

печива з'їла Маша, а Ведмідь 9х печива. Відомо, що всі вони з'їли

160 печива. Отримаємо: х+9х=160, 10х=160, х=16, отже, ведмідь з'їв

16 * 9 = 144 печива.

6. З книги випало кілька листів, що йдуть поспіль. Номер останньої

сторінки перед листами 352. Номер першої сторінки після

листів, що випали записується тими ж цифрами, але в іншому порядку.

Скільки аркушів випало?

Рішення:Нехай х аркушів випало, тоді кількість сторінок, що випали 2х, то

є парне число. Номер першої випалої сторінки 353. Різниця між

номером першої сторінки, що випала, і першої сторінки після тих, хто випав

повинно бути парним числом, отже, номер після листів, що випали, буде

523. Тоді кількість листів, що випали, буде дорівнює (523-353): 2 = 85.

7. Про натуральні числа А, В, С відомо, що кожне з них більше 5, але

менше 9. Загадали натуральне число, потім помножили на А, додали і

відняли С. Отримали 164. Яке число було задумано?

Рішення:Нехай х загадане натуральне число, тоді Ах + В-С = 164 Ах =

164 – (В-С), так як числа А,В,С більші за 5, але менші за 9, то -2≤В-С≤2,

отже, Ах = 166; 165; 164; 163; 162. З чисел 6,7,8 лише 6 є

Завдання №20 ЄДІ з математики містить завдання на кмітливість. Завдання у цьому розділі більш інтуїтивно зрозуміло, ніж у 19 завданні ЄДІ, проте досить складні для звичайного школяра. Отже, перейдемо до розгляду типових варіантів.

Розбір типових варіантів завдань №20 ЄДІ з математики базового рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

• за 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну;
• за 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

Алгоритм виконання:

1. Ввести умовні позначення.
2. Записати ці завдання за допомогою умовних позначень.
3. Логічно міркуючи визначити невідоме.

Рішення:

За умовою золотих монет не з'явилося, отже, всі отримані після здійснення другої операції золоті монети Микола обміняв за допомогою першої операції. Золоті монети можна міняти лише по 2 штуки, отже, других операцій було парне число.

Введемо позначення, нехай других операцій було 2n (число завжди парне).

Якщо застосувати другу операцію отримаємо:

Усі золоті монети обміняли під час першої операції. За одну операцію можна обміняти відразу дві золоті монети, отже, всього операцій буде здійснено (3 · 2n)/2 = 3 n. Тобто

3 · 2n золотих обміняли на 3 · 3n срібних + 3n мідних.

Або після перетворення:

Порівняємо результати першої та другої операції:

5 · 2n срібних обміняли на 3 · 2n золотих + 2n мідних.

3 · 2n золотих обміняли на 9n срібних + 3n мідних

5 · 2n срібних обміняли на 9n срібних + 3n мідних+2n мідних

10 n срібних обміняли на 9n срібних + 5n мідних

Якщо обмінявши 10 n срібних монет отримаємо 9 n срібних монет, то кількість срібних монет у Миколи зменшилася на n. З останнього виразу видно, що Микола отримав 5n мідних монет, а за умовою з'явилося 50 мідних, тобто 5n = 50.

Другий варіант завдання

Маша та Ведмідь з'їли 100 печива та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печива, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть утричі швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли варення порівну?

Алгоритм виконання:

1. Зіставити результати.
2. Знайти невідоме.

Рішення:

1. Так як варення і Маша, і Ведмідь з'їли порівну, і при цьому Ведмідь їв варення в 3 рази швидше, Маша їла варення (свою половину) в 3 рази довше, ніж Ведмідь (таку ж половину).
2. Тоді виходить, що Ведмідь їв печива в 3 рази довше за Машу і до того ж їв їх у 3 рази швидше, тобто, на одне з'їдене Машею печиво припадало 3∙3=9 печива, з'їденого Ведмедем.
3. У сумі ці печива становлять 1+9=10 і таких сум у 100 печивах 100:10 = 10.
4. Значить, Маша з'їла 10 печива, а Ведмідь 9∙10=90.

Третій варіант завдання

Маша та Ведмідь з'їли 51 печиво та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печива, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть у чотири рази швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли варення порівну?

Алгоритм виконання:

1. Визначити, хто й у скільки разів довше їв печиво.
2. Визначити, хто й у скільки разів довше їв варення.
3. Зіставити результати.
4. Знайти невідоме.

Рішення:

1. Так як варення і Маша, і Ведмідь, з'їли порівну, і при цьому Ведмідь їв варення в 4 рази швидше, Маша їла варення (свою половину) в 4 рази довше, ніж Ведмідь (таку ж половину).
2. Тоді виходить, що Ведмідь їв печива в 4 рази довше за Машу і до того ж їв їх у 4 рази швидше, тобто, на одне з'їдене Машею печиво припадало 4∙4=16 печива, з'їденого Ведмедем.
3. У сумі ці печива становлять 1+16=17 і таких сум у 51 печінці рівно 51:17 = 3.
4. Значить, Маша з'їла 3 печива, а Ведмідь 3∙16=48.

Четвертий варіант завдання

Якби кожен із двох співмножників збільшили на 1, їхній твір збільшився б на 11. Насправді кожен із двох співмножників збільшили на 2. На скільки збільшився твір?

Алгоритм виконання:

1. Ввести умовні позначення.
2. Перетворити набутий вираз.
3. Знайти невідоме.

Рішення:

При збільшенні цих співмножників на 1 їх добуток зростає на 11, тобто,

Тепер аналогічно обчислимо, на скільки збільшиться добуток, якщо співмножники збільшити на 2 і підставимо вже відоме нам a + b = 10:

П'ятий варіант завдання

Якби кожен із двох співмножників збільшили на 1, їхній твір збільшився б на 3. Насправді кожен із двох співмножників збільшили б на 5. На скільки збільшився твір?

Алгоритм виконання:

1. Ввести умовні позначення.
2. Записати першу умову за допомогою умовних позначень.
3. Перетворити набутий вираз.
4. Записати за умовними позначеннями друга умова.
5. Перетворити набутий вираз.
6. Знайти невідоме.

Рішення:

Нехай перший співмножник дорівнює a, а другий b, їх добуток дорівнює ab.

При збільшенні цих співмножників на 1 їх твір зростає на 3, тобто,

Перенесемо добуток ab у ліву частину з протилежним знаком і розкриємо дужки перемноживши.

Тепер аналогічно обчислимо, на скільки збільшиться твір, якщо співмножники збільшити на 5 і підставимо вже відоме нам a + b = 2:

Варіант двадцятого завдання 2017

Прямокутник розбитий на чотири менші прямокутники двома прямолінійними відрізками. Периметри трьох із них, починаючи з лівого верхнього і далі за годинниковою стрілкою, дорівнюють 24, 28 і 16. Знайдіть периметр четвертого прямокутника.

Перемалюємо прямокутник у зручному для нас вигляді:

Тепер складемо рівняння за допомогою формули периметра прямокутника:

Варіант двадцятого завдання 2019 року (1)

Список завдань вікторини складався із 25 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 7 очок, за неправильну відповідь з неї списували 10 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 42 очки, якщо відомо, що принаймні один раз помилився?

Алгоритм виконання

1. Складаємо комбінації правильних і неправильних відповідей і визначаємо кількість балів у них, наприклад: 1) 1 прав+1 неправ=7–10=–3 бали; 2) 2 прав +1 неправ = 2 · 7-10 = 4 бали і т.д.
2. З балів за прав. відповіді та балів за їх комбінації «набираємо» 42 бали. Підраховуємо кількість питань, які при цьому були задані.
3. Різницю, що залишилася, між отриманим числом питань і даними 25-ма питаннями визначаємо як ті, на які не було дано відповіді.
4. Робимо перевірку одержаного результату.

Рішення:

Введемо позначення: прав.відповідь - 1П, неправ.відповідь - 1Н.

Задаємо комбінації та визначаємо кількість балів, яка при цьому буде нарахована:

1П=7 балів

1П + 1Н = 7-10 = -3 б.

2П + 1Н = 2 · 7-10 = 4 б.

3П + 1Н = 3 · 7-10 = 11 б.

Підсумовуємо бали, які можна отримати: 7+ (–3)+4+11=19. Це явно мало. І гарантовано можна додати ще 11:19+11=30. Щоб "добрати" до 42 балів, потрібно далі додати 12 балів, які набираються потрійним входженням 4-х балів. Загалом отримуємо:

7+(-3)+4+11+11+3·4=42.

Розпишемо отриману комбінацію доданків у вигляді відповідей:

1П+(1П+1Н)+(2П+1Н)+(3П+1Н)+(3П+1Н)+3·(2П+1Н)=1П+1П+1Н+2П+1Н+3П+1Н+3П+ 1Н+6П+3Н=16П+7Н (відповідей).

16 +7 = 23 відповіді. 25–23=2 відповіді, які було отримано по 0 балів, тобто. це питання, що залишилися без відповідей.

Отже, за нашими підрахунками відповідей було дано 16.

Перевіримо це:

16 відповідей за 7 б. + 7 відповідей по (-10) б. + 2 відповіді за 0 б. = 16 · 7-7 · 10 +2 · 0 = 112-70 + 0 = 42 (балла).

Варіант двадцятого завдання 2019 року (2)

У таблиці три стовпці та кілька рядків. У кожну клітинку таблиці вписали за натуральним числом так, що сума всіх чисел у першому стовпці дорівнює 103, у другому – 97, у третьому – 93, а сума чисел у кожному рядку більша за 21, але менша за 24. Скільки всього рядків у таблиці?

Алгоритм виконання

1. Знаходимо загальну суму всім чисел у таблиці (складивши суми кожного з 3-х стовпців).
2. Визначаємо діапазон допустимих значень для сум чисел у кожному рядку.
3. Розділивши загальну суму спочатку на найменшу суму чисел у кожному рядку, а потім на найбільшу, отримуємо шукану кількість рядків.

Рішення:

Загальна сума чисел у таблиці дорівнює: 103+97+93=293.

Оскільки за умовою суми чисел у кожному рядку становлять >21, але<24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (3)

У будинку всього вісімнадцять квартир з номерами від 1 до 18. У кожній квартирі живе щонайменше одна і не більше трьох осіб. У квартирах з 1-ї по 13-у включно мешкає сумарно 15 осіб, а в квартирах з 11-ї по 18-у включно мешкає сумарно 20 осіб. Скільки всього людина живе у цьому будинку?

Алгоритм виконання

1. Визначаємо максимальну кількість проживаючих в 11-13-й квартирах, використовуючи дані про те, скільки людей живе в 1-13-й квартирах.
2. Знаходимо мінімальну кількість мешканців 11–13-ї квартир, враховуючи дані про 11–18-ї квартири, що живуть.
3. Зіставляє дані, отримані в пп.1–2, отримуємо точну кількість мешканців цих квартир №№11–13.
4. Знаходимо у живуть у квартирах 1–10-й і 14–18-й.
5. Обчислюємо загальну кількість мешканців будинку.

Рішення:

У перших 13 квартирах (з 1-ї по 13-ту) мешкає 15 осіб. Це означає, що в 11 квартирах живе по 1 людині плюс у 2 квартирах по 2 особи (11 · 1 +2 · 2 = 15). Отже, в 11–13-й (тобто у 3-х) квартирах проживає не менше 3-х та не більше 5 (1+2+2) осіб.

У других 8 квартирах (11-й по 18-й) проживає 20 осіб. При цьому з 14 по 18 квартири (тобто в 5 квартирах) не може проживати більш ніж 5 · 3 = 15 осіб. А отже, в 11-13 квартирах живе не менше, ніж 20-15 = 5 осіб.

Тобто. з одного боку в 11-13-й квартирах має жити трохи більше 5 людина, з другого – щонайменше 5. Висновок: у цих квартирах живе рівно 5 людина, т.к. інших допустимих обох випадків значень тут немає.

Тоді отримуємо: у 1–10-й квартирах мешкає 15–5=10 осіб, у 14–18-й – 20–5=15 осіб. Загалом у будинку проживає: 10+5+15=30 осіб.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (4)

В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій:

• за 4 золоті монети отримати 5 срібних та одну мідну;
• за 7 срібних монет отримати 5 золотих та одну мідну.

У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 45 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи?

Алгоритм виконання

1. Визначаємо кількість срібних монет, які необхідні Миколі для здійснення подвійного обміну так, щоб у нього не з'явилися золоті монети. Подвійний обмін – це обмін спочатку срібних монет на золоті та мідні, а потім золоті на срібні та мідні.
2. Визначаємо кількість різних монет, які з'являться у Миколи в результаті 1 подвійного обміну.
3. Обчислюємо кількість подвійних обмінів, які необхідно зробити, щоб з'явилося 45 мідних монет.
4. Знаходимо у срібних монет, які мав Микола спочатку, щоб здійснити необхідну кількість обмінів, і які отримав у результаті всіх обмінів.
5. Визначаємо потрібну різницю.

Рішення:

Здійснити 1-й обмін Микола має за 2-ї схемою, т.к. він має тільки срібні монети. Для того, щоб в результаті у нього не виявилося золотих монет, потрібно знайти мінімальне кратне для 5 золотих, які він отримає, і 4 золоті, які у нього за 1 раз можуть прийняти в повному обсязі (без залишку). Це число 20.

Відповідно, щоб здобути 20 золотих монет, у Миколи має бути 20:5=4 комплекти срібних монет по 7 штук. Отже, спочатку їх має бути 4·7=28. І при цьому Микола отримує ще й 1 · 4 = 4 мідні монети.

Здійснюючи обмін, Микола віддає 20:4 = 5 комплектів золотих медалей. Натомість він отримує 5 · 5 = 25 срібних монет і 1 · 5 = 5 мідних монет.

Т.ч., в результаті одного обміну у Миколи з'явиться 25 срібних монет та 4+5=9 мідних монет. Оскільки в результаті у Миколи виявилося 45 мідних монет, отже, було здійснено 45:9 = 5 подвійних обмінів.

Якщо в результаті 1 подвійного обміну у Миколи виявилося 25 срібних монет, то після 5 таких обмінів у нього виявиться 25 · 5 = 125 штук. А спочатку він мав для цього мати 28 5 = 140 срібних монет. Отже, їхня кількість у Миколи зменшилася на 140–125=15 штук.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (5)

У всіх під'їздах будинку однакова кількість поверхів і на всіх поверхах однакова кількість квартир. При цьому кількість поверхів у будинку більша за кількість квартир на поверсі, кількість квартир на поверсі більша за кількість під'їздів, а кількість під'їздів більша за один. Скільки поверхів у будинку, якщо всього у ньому 357 квартир?

Алгоритм виконання

1. Визначаємо рівняння для визначення кількості квартир у будинку всього через параметри, заявлені в умові (тобто через кількість квартир на поверсі і т.д.).
2. Розкладаємо 357 на множники.
3. Знаходимо відповідність отриманих множників конкретним параметрам, з умови про те, який із параметрів більше чи менше інших.

Рішення:

Т.к. на всіх поверхах однакова кількість квартир (Х), по всіх під'їздах однакова кількість поверхів (Y), то позначивши кількість під'їздів через Z, можемо записати: 357=X·Y·Z.

Розкладемо 357 на прості множники. Отримаємо: 357 = 3 · 7 · 17 · 1. І це єдиний варіант розкладу. Т.к. Y>X>Z>1, то одиницю в розкладі не враховуємо і визначаємо, що Z=3, X=7, Y=17.

Оскільки кількість поверхів було позначено через Y, то шукане число – 17.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (6)

З десяти країн сім підписали договір про дружбу рівно з трьома країнами, а кожна з трьох – рівно з сімома. Скільки було підписано договорів?

Алгоритм виконання

1. Підраховуємо кількість договорів, підписаних 7-ма країнами.
2. Визначаємо кількість договорів, які підписали 3 країни, що залишилися.
3. Знаходимо загальну кількість підписаних договорів. Ділимо його на 2, т.к. договори двосторонні.

Рішення:

Перші 7 країн підписали договори із 3 країнами, тобто. цих договорах поставлено 7·3=21 підпис. Аналогічно інші 3 країни під час оформлення договорів із 7-ма країнами поставили 3·7=21 підпис. Отже, всього поставлено 21+21=42 підписи.

Т.к. всі договори двосторонні, це означає, що у кожному їх зафіксовано 2 підписи. Отже, договорів удвічі менше, ніж підписів, тобто. 42: 2 = 21 договір.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (7)

На поверхні глобуса фломастером проведено 13 паралелей та 25 меридіанів. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса?

Меридіан – це дуга кола, що сполучає Північний та Південний полюси. Паралель – це коло, що лежить у площині, паралельній площині екватора.

Алгоритм виконання

1. Доводимо, що паралелі ділять глобус на 13+1 частину.
2. Доводимо, що меридіани ділять глобус на 25 частин.
3. Визначаємо кількість частин, на які в цілому розділений глобус, як добуток знайдених чисел.

Рішення:

Якщо будь-яка паралель – це коло, вона є замкненою лінією. А це означає, що 1 паралель ділить глобус на 2 частини. Далі 2 паралель забезпечує розподіл на 3 частини, 3-я - на 4 і т.д. Через війну 13 паралелей розділять глобус на 13+1=14 елементів.

Меридіан є дугою кола, що з'єднує полюси, тобто. замкненою лінією вона не є і глобус на частини не ділить. І це 2 меридіана вже ділять, тобто. 2 меридіану забезпечують розподіл на 2 частини, далі 3-й меридіан додає 3-ю частину, 4-й - 5-ю частину і т.д. Значить, зрештою, 25 меридіанів створює на глобусі 25 частин.

Усього частин на глобусі виходить: 14 · 25 = 350 частин.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (8)

У кошику лежить 30 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 12 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 20 грибів – хоча б один груздь. Скільки рудиків у кошику?

Алгоритм виконання

1. Визначаємо кількість груздів серед 12 грибів і рудиків серед 20 грибів.
2. Доводимо, що є єдино правильне число, що відображає кількість рудиків. Фіксуємо його у відповіді.

Рішення:

Якщо серед 12 грибів є як мінімум 1 рудик, значить, груздів тут не більше 11. Якщо серед 20 грибів є не менше 1 груздя, то не більше 19 рудиків.

Це означає, що якщо груздів не може бути більше 11, то рижиків не може бути менше 30-11 = 19 штук. Тобто. рудиків з одного боку не більше 19, а з іншого – не менше 19. Отже, рудиків може бути лише рівно 19.

Варіант двадцятого завдання 2019 року (9)

Якби кожен із двох множників збільшили на 1, то їхній твір збільшився б на 3. На скільки збільшиться добуток цих множників, якщо кожен з них збільшити на 5?

Алгоритм виконання

1. Вводимо позначення для множників. Це дозволить висловити і початковий твір (до збільшення множників).
2. Складаємо рівняння для ситуації, коли множники збільшено на 1. Виконуємо перетворення. Отримуємо новий вираз, що відображає зв'язок між початковими множниками.
3. Складаємо рівняння для ситуації, коли множники збільшено на 5. Виконуємо перетворення. Вводимо в рівняння вираз, отриманий у п.2, знаходимо потрібну різницю.

Рішення:

Нехай 1-й множник дорівнює х, 2-й – у. Тоді їхній твір – ху.

Після того, як множники збільшено на 1, отримуємо:

(х+1)(у+1)=ху+3

ху+у+х+1=ху+3

Після збільшення множників на 5 маємо:

(х+5)(у+5)=ху+N, де N – шукана різниця творів.

Виконуємо перетворення:

ху+5у+5х+25=ху+N

N=ху +5у+5х+25-ху

Т.к. вище визначено, що х+у=2, то отримаємо:

Варіант двадцятого завдання 2019 року (10)

Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе у сьомому під'їзді у квартирі № 462, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що будинок семиповерховий. На якому поверсі мешкає Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, нумерація квартир у будинку починається з одиниці.)

Алгоритм виконання

1. Способом підбору визначаємо кількість квартир на майданчику. Це має бути таке число, щоб номер квартири виявився більшим, ніж у квартирах у 6-ти під'їздах, проте меншим, ніж у квартирах у 7-ми.
2. Визначаємо кількість квартир у 6-ти під'їздах. Від 462 віднімаємо цю кількість і ділимо на кількість квартир на майданчику. Так дізнаємося номер поверху. Примітка: 1) якщо отримано ціле число, то номер поверху, що шукається, на 1 більше, ніж обчислене значення; 2) якщо отримано дробове число, то номером поверху буде заокруглений у більшу сторону результат.

Рішення:

Шукаємо кількість квартир на майданчику, перевіряючи число за числом.

Припустимо, що це кількість дорівнює 3. Тоді отримаємо, що в 7 під'їздах на 6 поверхах є 7 · 6 · 3 = 126 квартир,

а в 7 під'їздах на 7 поверхах 7 · 7 · 3 = 147 квартир.

Квартира №462 точно не потрапляє до діапазону квартир №№126–147.

Аналогічно перевіряючи числа 4, 5 і т.д., прийдемо до 10. Доведемо, що саме воно підходить:

у 7 під'їздах на 6 поверхах знаходиться 7 · 6 · 10 = 420 квартир,

у 7 під'їздах на 7 поверхах: 7 · 7 · 10 = 490 квартир. Оскільки 420<462<490, то условие задания выполнено.

Для того щоб потрапити до квартири №462, потрібно пройти повз 462–420=42 квартири. Т.к. на кожному майданчику знаходиться 10 квартир, то 42:10 = 4,2 поверхів для цього потрібно подолати. 4,2 означає, що 4 поверхи потрібно пройти повністю та піднятися на 5-й. Т.ч., шуканий поверх – 5-й.

Мисікова Юлія

Єдиний державний іспит з математики базового рівня складається із 20 завдань. У завданні 20 перевіряються навички розв'язання логічних завдань. Школяр повинен вміти застосовувати свої знання для вирішення завдань на практиці, у тому числі на арифметичну та геометричну прогресію. У цій роботі докладно розбираються способи вирішення завдання 20 ЄДІ з математики базового рівня, а також приклади та способи рішень на основі докладно розібраних завдань.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Завдання на кмітливість ЄДІ з математики базового рівня. Завдання №20 Мисикової Юлії Олександрівни, учениці 11 «А» соціально-економічного класу Муніципальна загальноосвітня установа «Середня загальноосвітня школа №45»

Равлик на дереві рішення. Равлик за день заповзає вгору по дереву на 3 м, а за ніч спускається на 2 м. Разом за добу він просувається на 3 – 2 = 1 метр. За 7 діб вона підніметься на 7 метрів. На восьмий день вона заповзе нагору ще на 3 метри і вперше виявиться на висоті 7 + 3 = 10 (м), тобто. на вершині дерева. Відповідь: 8 Слимак за день заповзає вгору по дереву на 3 м, а за ніч спускається на 2 м. Висота дерева 10 м. За скільки днів равлик доповзе від основи до вершини дерева?

Бензоколонки Рішення. Накреслимо коло і розташуємо точки (бензоколонки) так, щоб відстані відповідали умові. Зауважимо, що всі відстані між точками А, С та D відомі. АС = 20, АD = 30, CD = 20. Відзначимо точку А. Від точки А за годинниковою стрілкою відзначимо точку З пам'ятаємо, що АС=20. Тепер відзначатимемо точку D, яка лежить від А на відстані 30, цю відстань не можна відкладати від А за годинниковою стрілкою, так як тоді вийде відстань між С і D дорівнює 10, а за умовою СD = 20. Значить від А до D треба рухатися проти годинникової стрілки, відзначаємо точку D. Оскільки СD=20, то довжина всього кола дорівнює 20+30+20=70. Так як АВ = 35, то точка діаметрально протилежна точці А. Відстань від С до В буде дорівнює 35-20 = 15. Відповідь: 15. На кільцевій дорозі розташовані чотири бензоколонки: A, B, C та Д. Відстань між A та B – 35 км, між A та C – 20 км, між C та Д –20 км, між Д та A – 30 км (всі відстані вимірюються вздовж кільцевої дороги в найкоротший бік). Знайдіть відстань між B і C. Дайте відповідь в кілометрах.

У кінозалі Рішення. 1 спосіб. Просто вважаємо скільки місць у лавах до восьмого: 1 – 24 2 – 26 3 – 28 4 – 30 5 – 32 6 – 34 7 – 36 8 – 38. Відповідь: 38. У першому ряду кінозалу 24 місця, а в кожному наступному на 2 більше, ніж у попередньому. Скільки місць у восьмому ряду? 2 спосіб. Зауважуємо, що кількість місць у лавах складає арифметичну прогресію з першим членом у 24 та різницю рівною 2. За формулою n - го члена прогресії знаходимо восьмий член а 8 = 24 + (8 – 1)*2 = 38. Відповідь: 38.

Гриби у кошику Рішення. З умови, що серед будь-яких 27 грибів є хоча б один рудик випливає – кількість груздів не більше 26. З другої умови, що серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь, слід – кількість рудиків не більше 24. Оскільки всього грибів – 50, то рижиків 24, а груздів – 26. Відповідь: 24. У кошику лежать 50 грибів: рижики та грузді. Відомо, що серед будь-яких 27 грибів є хоча б один рудик, а серед будь-яких 25 грибів хоча б один груздь. Скільки рижиків у кошику?

Кубики у ряд Рішення. Якщо пронумерувати всі кубики числами від одного до шести (не враховуючи, що є кубики різного кольору), то отримаємо загальну кількість перестановки кубиків: Р(6)=6*5*4*3*2*1=720 Тепер пригадаємо, що є 2 кубики червоного кольору та перестановка їх місцями (Р(2)=2*1=2) не дасть нового способу, тому отриманий твір треба зменшити в 2 рази. Аналогічно, згадуємо, що у нас є 3 кубики зеленого кольору, тому доведеться отриманий твір зменшити ще й у 6 разів (Р(3)=3*2*1=6) Отже, отримаємо загальну кількість способів розміщення кубиків 60. Відповідь: 60 .Скількими способами можна поставити в ряд два однакові червоні кубики, три однакові зелені кубики і один синій кубик?

На біговій доріжці Тренер порадив Андрію в перший день занять провести на біговій доріжці 15 хвилин, а на кожному наступному занятті збільшувати час, проведений на біговій доріжці, на 7 хвилин. За скільки занять Андрій проведе на біговій доріжці загалом 2 години 25 хвилин, якщо слідуватиме порадам тренера? Рішення. 1 спосіб. Зауважуємо, що треба знайти суму арифметичної прогресії з першим членом 15 і різницю рівною 7. За формулою суми n перших членів прогресії S n =(2a 1 +(n-1)d)*n/2 маємо 145=(2*15+ (n–1)*7)*n/2, 290=(30+(n–1)*7)*n, 290=(30+7n–7)*n, 290=(23+7n)*n 290 = 23n + 7n 2 , 7n 2 +23n-290 = 0, n = 5 . Відповідь: 5. 2 метод. Більш трудомісткий. 1-15-15 2-22-37 3-29-66 4-36-102 5-43-145. Відповідь: 5.

Змінюємо монети Завдання 20. В обмінному пункті можна здійснити одну з двох операцій: за 2 золоті монети отримати 3 срібні та одну мідну; за 5 срібних монет отримати 3 золоті та одну мідну. У Миколи були лише срібні монети. Після кількох відвідувань обмінного пункту срібних монет у нього поменшало, золотих не з'явилося, натомість з'явилося 50 мідних. На скільки зменшилась кількість срібних монет у Миколи? Рішення. Нехай Микола зробив спочатку їх операцій другого типу, а потім в операцій першого типу. Тоді маємо: Тоді срібних монет стало на 3у -5х = 90 - 100 = -10 тобто. на 10 менше. Відповідь: 10

Хазяїн домовився Рішення. З умови зрозуміло, що послідовність цін за кожен викопаний метр є арифметичною прогресією з першим членом а 1 = 3700 та різницею d = 1700 . Сума перших членів арифметичної прогресії обчислюється за формулою S n = 0,5(2a 1 + (n – 1)d)n . Підставляючи вихідні дані, отримуємо: S 10 = 0,5 (2 * 3700 + (8 - 1) * 1700) * 8 = 77200 . Таким чином, господар повинен буде заплатити робітникам 77 200 руб. Відповідь: 77200. Хазяїн домовився з робітниками, що вони викопають йому колодязь на наступних умовах: за перший метр він заплатить їм 3700 рублів, а за кожний наступний метр – на 1700 рублів більше, ніж за попередній. Скільки грошей господар повинен буде заплатити робітникам, якщо вони викопають колодязь завглибшки 8 метрів?

Вода в котловані В результаті повені котлован заповнився водою до рівня 2 метри. Будівельна помпа безперервно відкачує воду, знижуючи її рівень на 20 см на годину. Підґрунтові води, навпаки, підвищують рівень води в котловані на 5 см на годину. За скільки годин роботи помпи рівень води в котловані опуститься до 80 см? Рішення. Внаслідок роботи насоса та підтоплення ґрунтовими водами рівень води в котловані знижується на 20-5=15 сантиметрів за годину. Щоб рівень знизився на 200-80 = 120 сантиметрів, необхідно 120:15 = 8 годин. Відповідь: 8.

Бак із щілиною У бак об'ємом 38 літрів щогодини, починаючи з 12 години, наливають повне відро води об'ємом 8 літрів. Але в дно бака є невелика щілина, і з неї за годину витікає 3 літри. У який час (в годинах) бак буде заповнений повністю? Рішення. До кінця кожної години об'єм води у баку збільшується на 8 − 3 = 5 літрів. Через 6 годин, тобто о 18 годині, в баку буде 30 літрів води. О 19 годині в бак долити 8 літрів води і об'єм води в баку дорівнюватиме 38 літрів. Відповідь: 19.

Нафтова компанія бурить свердловину для видобутку нафти, яка залягає, за даними геологорозвідки, на глибині 3 км. Протягом робочого дня бурильники проходять 300 метрів у глибину, але за ніч свердловина знову «замулюється», тобто заповнюється ґрунтом на 30 метрів. За скільки робочих днів нафтовики пробурять свердловину до глибини залягання нафти? Рішення. Враховуючи замулювання свердловини, протягом доби проходять 300-30 = 270 метрів. Отже, за 10 повних діб буде пройдено 2700 метрів і за 11-й робочий день буде пройдено ще 300 метрів. Відповідь: 11.

Глобус На поверхні глобуса фломастером проведено 17 паралелей та 24 меридіани. На скільки частин проведені лінії поділили поверхню глобуса? Рішення. Одна паралель розбиває поверхню глобусу на 2 частини. Дві на три частини. Три на чотири частини і т. д. 17 паралелей розбивають поверхню на 18 частин. Проведемо один меридіан і отримаємо одну цілу (не розрізану) поверхню. Проведемо другий меридіан і у нас вже дві частини, третій меридіан розіб'є поверхню на три частини і т. д. 24 меридіани розбили нашу поверхню на 24 частини. Отримуємо 18 * 24 = 432. Усі лінії розділять поверхню глобуса на 432 частини. Відповідь: 432.

Коник стрибає Коник стрибає вздовж координатної прямої в будь-якому напрямку на одиничний відрізок за стрибок. Скільки існує різних точок на координатній прямій, в яких коник може опинитися, зробивши рівно 8 стрибків, починаючи стрибати з початку координат? Рішення: Небагато подумавши, ми можемо помітити, що коник може опинитися тільки в точках з парними координатами, оскільки число стрибків, яке він робить, є парним. Наприклад, якщо він зробить п'ять стрибків в один бік, то у зворотний бік він зробить три стрибки і опиниться в точках 2 або −2. Максимально коник може опинитися в точках, модуль яких не перевищує восьми. Таким чином, коник може опинитися в точках: −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6 та 8; всього 9 точок. Відповідь: 9 .

Нові бактерії Щомиті бактерія ділиться на дві нові бактерії. Відомо, що весь обсяг однієї склянки бактерії заповнюють за годину. За скільки секунд бактерії заповнюють половину склянки? Рішення. Згадаймо, що 1 година = 3600 секунд. Через кожну секунду бактерій стає вдвічі більше. Значить, щоб з половини склянки бактерій вийшла повна склянка потрібна лише 1 секунда. Тому склянка була заповнена на половину за 3600-1 = 3599 секунд. Відповідь: 3599.

Ділимо числа Добуток десяти чисел, що йдуть поспіль, розділили на 7. Чому може дорівнювати залишок? Рішення. Завдання просте, тому що серед десяти поспіль натуральних чисел, що йдуть, хоча б одне ділиться на 7. Значить і весь твір буде ділитися на 7 без залишку. Тобто залишок дорівнює 0. Відповідь: 0.

Де живе Петя? Завдання 1. У будинку, де живе Петя, один під'їзд. На кожному поверсі по шість квартир. Петя живе у квартирі № 50. На якому поверсі живе Петя? Рішення: Ділимо 50 на 6, отримуємо приватне 8 та 2 у залишку. Це означає, що Петя мешкає на 9 поверсі. Відповідь: 9. Завдання 2. У всіх під'їздах будинку однакова кількість поверхів і на всіх поверхах однакова кількість квартир. При цьому кількість поверхів у будинку більша за кількість квартир на поверсі, кількість квартир на поверсі більша за кількість під'їздів, а кількість під'їздів більша за один. Скільки поверхів у будинку, якщо всього у ньому 455 квартир? Розв'язання: Розв'язання цього завдання випливає із розкладання числа 455 на прості множники. 455 = 13 * 7 * 5. Значить у будинку 13 поверхів, по 7 квартир на кожному поверсі у під'їзді, 5 під'їздів. Відповідь: 13.

Завдання 3. Сашко запросив Петю у гості, сказавши, що живе у восьмому під'їзді у квартирі № 468, а поверх сказати забув. Підійшовши до будинку, Петя виявив, що будинок дванадцятиповерховий. На якому поверсі мешкає Сашко? (На всіх поверхах кількість квартир однакова, номери квартир у будинку починаються з одиниці.) Рішення: Петя може підрахувати, що у дванадцятиповерховому будинку у перших семи під'їздах 12*7=84 майданчики. Далі, перебираючи можливу кількість квартир на одному майданчику, можна побачити, що їх менше шести, тому що 84*6 = 504. Це більше 468. Значить, на кожному із майданчиків 5 квартир, тоді в перших семи під'їздах 84*5 = 420 квартир . 468 – 420 = 48, тобто Сашко живе у 48 квартирі у 8 під'їзді (якби нумерація була з одиниці у кожному під'їзді). 48:5 = 9 і 3 у залишку. Таким чином, Сашина квартира на 10 поверсі. Відповідь: 10.

Меню ресторану У меню ресторану є 6 видів салатів, 3 види перших страв, 5 видів других страв та 4 види десерту. Скільки варіантів обіду із салату, першого, другого та десерту можуть вибрати відвідувачі цього ресторану? Рішення. Якщо ми пронумеруємо кожен салат, перше, друге, десерт, то: з 1 салатом, 1 першим, 1 другим можна подати один із 4-х десертів. 4 варіанти. З другим другим теж 4 варіанти і т.д. Усього отримаємо 6*3*5*4=360. Відповідь: 360.

Маша та ведмідь Ведмідь з'їв свою половину банки варення в 3 рази швидше, ніж Маша, отже, у нього ще залишилося в 3 рази більше часу на страву печива. Т.к. Ведмідь їсть печиво в 3 рази швидше, ніж Маша і ще в нього залишилося в 3 рази більше часу (він з'їв у 3 рази швидше за свою половину банки варення), то він з'їдає в 3⋅3=9 разів більше печива, ніж Маша (9 печива з'їдає Ведмідь, у той час як Маша тільки 1 печиво). Виходить, що щодо 9:1 їдять Ведмідь та Маша печиво. Усього виходить 10 часток, отже, 1 частка дорівнює 160:10=16. У підсумку Ведмідь з'їв 16⋅9=144 печива. Відповідь: 144 Маша та Ведмідь з'їли 160 печива та банку варення, розпочавши і закінчивши одночасно. Спочатку Маша їла варення, а Ведмідь - печиво, але рано чи пізно вони змінилися. Ведмідь і те, й інше їсть утричі швидше за Машу. Скільки печива з'їв Ведмідь, якщо вони з'їли порівну?

Палиці та лінії На палиці відмічені поперечні лінії червоного, жовтого та зеленого кольору. Якщо розпиляти ціпок по червоних лініях, вийде 15 шматків, якщо по жовтих - 5 шматків, а якщо по зелених - 7 шматків. Скільки шматків вийде, якщо розпиляти ціпок по лініях усіх трьох кольорів? Рішення. Якщо розпиляти палицю по червоних лініях, то вийде 15 шматків, отже, ліній - 14. Якщо розпиляти палицю по жовтих - 5 шматків, отже, ліній - 4. Якщо розпиляти по зелених - 7 шматків, ліній - 6. Всього ліній: 14+ 4+6=24 лінії, отже, шматків буде 25. Відповідь: 25

Лікар прописав Лікар прописав пацієнту приймати ліки за такою схемою: першого дня він повинен прийняти 3 краплі, а кожного наступного дня - на 3 краплі більше, ніж у попередній. Прийнявши 30 крапель, він ще 3 дні п'є по 30 крапель ліків, а потім щодня зменшує прийом на 3 краплі. Скільки бульбашок ліки потрібно купити пацієнтові на весь курс прийому, якщо в кожному міститься 20 мл ліків (що становить 250 крапель)? Рішення На першому етапі прийому крапель число крапель, що приймаються, в день являє собою зростаючу арифметичну прогресію з першим членом, рівним 3, різницею, що дорівнює 3 і останнім членом, рівним 30. Отже: Тоді 3 + 3(n -1)=30; 3+ 3 n -3=30; 3 n = 30; n = 10, тобто. пройшло 10 днів за схемою збільшення до 30 крапель. Знаємо формулу суми ариф. прогресії: Обчислимо S10:

За наступні 3 дні – по 30 крапель: 30 · 3 = 90 (крапель) На останньому етапі прийому: тобто. 30 -3(n-1) = 0; 30 -3n+3=0; -3n=-33; n=11 тобто. 11 днів прийом ліків зменшувався. Знайдемо суму арифметич. прогресії 4) Значить, 165 + 90 + 165 = 420 крапель всього 5) Тоді 420: 250 = 42/25 = 1 (17/25) бульбашки Відповідь: треба купити 2 бульбашки

Магазин побутової техніки У магазині побутової техніки обсяг продажу холодильників має сезонний характер. У січні було продано 10 холодильників, і за три наступні місяці продавали по 10 холодильників. З травня продаж збільшувався на 15 одиниць порівняно з попереднім місяцем. З вересня обсяг продажів почав зменшуватися на 15 холодильників щомісяця щодо попереднього місяця. Скільки холодильників продав магазин за рік? Рішення. Послідовно розрахуємо скільки холодильників було продано за кожен місяць і підсумуємо результати: 10 · 4+(10+15)+(25+15)+(40+15)+(55+15)+(70-15)+ (55- 15) + (40-15) + (25-15) = = 40 +25 +40 +55 +70 +55 +40 +25 +10 = 120 +110 +130 = 360 Відповідь: 360.

Ящики Ящики двох видів, що мають однакову ширину та висоту, укладають на складі в один ряд завдовжки 43м, приставляючи один до одного по ширині. Скриньки одного виду мають довжину 2м, а іншого-5м. Яка найменша кількість ящиків знадобиться для заповнення всього ряду без утворення порожніх місць? Рішення Т.к. треба знайти найменшу кількість ящиків, то => треба взяти найбільшу кількість великих ящиків. Значить 5 · 7 = 35; 43 - 35 = 8 і 8: 2 = 4; 4+7=11 Значить, ящиків лише 11 . Відповідь: 11.

Таблиця У таблиці три стовпці та кілька рядків. У кожну клітину таблиці поставили за натуральним числом так, що сума всіх чисел у першому стовпці дорівнює 119, у другому - 125, у третьому - 133, а сума чисел у кожному рядку більше 15, але менше 18. Скільки всього рядків у стовпці? Рішення. Загальна сума у ​​всіх стовпцях = 119 + 125 + 133 = 377 Числа 18 і 15 не включені в межу, означає: 1) якщо сума у ​​рядку = 17, то кількість рядків дорівнює 377: 17 = = 22,2 2) якщо сума у рядку = 16, то, кількість рядків дорівнює 377: 16 = = 23,5 Значить у рядків = 23 (т.к. воно має бути між 22,2 і 23,5) Відповідь: 23

Вікторина та завдання Список завдань вікторини складався з 36 питань. За кожну правильну відповідь учень отримував 5 очок, за неправильну відповідь з неї списували 11 очок, а за відсутності відповіді давали 0 очок. Скільки вірних відповідей дав учень, який набрав 75 ​​очок, якщо відомо, що, принаймні, один раз він помилився? Рішення. 1 метод: Нехай Х – кількість правильних відповідей у ​​– кількість помилкових відповідей. Тоді складемо рівняння 5х -11у = 75 де 0

Група туристів Група туристів здолала гірський перевал. Перший кілометр підйому вони подолали за 50 хвилин, а кожен наступний кілометр проходили на 15 хвилин довше за попередній. Останній кілометр перед вершиною було пройдено за 95 хвилин. Після десятихвилинного відпочинку на вершині туристи розпочали спуск, який був більш пологім. Перший кілометр після вершини був пройдений за годину, а кожен наступний на 10 хвилин швидше за попередній. Скільки годин група витратила на весь маршрут, якщо останній кілометр спуску було пройдено за 10 хвилин? Рішення. На підйом у гору група витратила 290 хвилин, на відпочинок 10 хвилин, на спуск із гори 210 хвилин. У сумі туристи витратили весь маршрут 510 хвилин. Переведемо 510 хвилин на годинник і отримаємо, що за 8,5 годин туристи подолали весь маршрут. Відповідь: 8,5

Дякую за увагу!