Державний етап. Зміни у трудовій зайнятості чоловіків та жінок за родом занять

«ВЕРОСІЙСЬКА ОЛІМПІАДА ШКОЛЬНИКІВ Місце для шифру ЗА СУСПІЛЬСТВОМ 2012/2013 РІК МУНІЦИПАЛЬНИЙ ЕТАП. МІСТО МОСКВА 10 КЛАС. 1. Виберіть...»

ВСЕРОСІЙСЬКА ОЛІМПІАДА ШКОЛЬНИКІВ Місце для шифру

ЗА СУСПІЛЬСТВОМ 2012/2013 РІК

МУНІЦИПАЛЬНИЙ ЕТАП. МІСТО МОСКВА

1. Виберіть кілька правильних відповідей у кожному завданні та занесіть вибрані відповіді до

1.1. Знайдіть у наведеному списку результати наукової діяльності та обведіть цифри,

під якими вони вказані.

1) знання основних законів природи

2) наукові лабораторії

3) збірники завдань та вправ для студентів

4) дисертаційні дослідження

5) підручники для середніх шкіл

6) доповіді на наукових конференціях

1.2. Які із наведених тверджень характерні для формаційного підходу до історії людства? Запишіть цифри, під якими вони вказані.

1) людство виникло внаслідок божественного творіння

2) рушійною силою історичного розвитку є боротьба класів

3) кожна культурно-історична спільність проходить цикл розвитку від зародження до загибелі

4) в основі устрою суспільства лежить той чи інший спосіб громадського виробництва

5) наприкінці ХХ ст. почався перехід до постіндустріального суспільства

6) комплекс моральних, правових, ідеологічних відносин утворюють надбудову суспільства

1.3. У результаті розвитку спілки первісних племен виникла держава. Які з цих ознак можуть про це свідчити?

1) усі дорослі чоловіки всіх племен носять зброю

2) усі, що входять до складу даних племен, платять певну регулярну данину своєму правителю

3) всі одноплемінники перейшли від кочового способу життя до осілого

4) основним заняттям людей, що входять до племінної спілки, стало землеробство

5) у кожному племені вищий суд здійснює посланий правителем намісник

6) імператор регулярно відбиває набіги племен, які входять у цей союз, з допомогою своєї дружини 1.1. 1.2. 1.3.

2. Що поєднує поняття, що утворюють кожен із представлених рядів? Дайте коротку відповідь.

2.1. Задоволення найважливіших суспільних потреб, наявність стійких форм спільної діяльності, функціонування на основі формально визначених правил

2.2. Після закінчення війни проведено демобілізацію, протягом року працівникам освіти тричі було підвищено заробітну плату, у 1920-х – 1930-х рр. в СРСР значна частина дорослих селян навчилася читати та писати в рамках програми ліквідації безграмотності _

3. Що зайвим у наведених рядах? Поясніть, чому ви так вирішили. Занесіть відповідь у відведені рядки.

3.1. Відносини відділу внутрішніх справ з громадянами, відносини міського Департаменту освіти з недержавною освітньою установою, відносини замовника з підрядником, відносини директора магазину з представниками санітарно-епідеміологічної служби _____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

3.2. Дохід, освіта, станова приналежність, професія, обсяг влади.

_____________________________________________________________________________________

4. Перед вами уривок із шкільного реферату, присвяченого політичним ідеологіям.

Ряд висловлених уривку положень викликали сумніви в однокласників під час захисту реферату. Ці положення пронумеровані.

Встановіть, вірність чи хибність цих положень («ТАК» або «НІ») і занесіть відповіді таблицю:

Молодіжна культура, як будь-яка культура, є статичною системою (1) зміни якої на кожному новому часовому відрізку, фіксовані у зовнішніх проявах, відображають здатність даної системи, з одного боку, відповідно реагувати на зовнішні та внутрішні процеси, а з іншого - адаптуватися до мінливих зовнішніх та внутрішніх умов свого існування. Молодіжна субкультура, зазвичай, політична(2). При цьому коливання політичних режимів правління, а відповідно до них і обстановки в базовій культурі суспільства, в рамках якого існує молодіжна субкультура, впливають на динаміку молодіжної субкультури. (3) Вибір тих чи інших цінностей найчастіше пов'язані з індивідуальними стереотипами (4) досить жорсткого характеру – незгодні сильно ризикують поповнити ряди знедолених. Групові стереотипи та престижна ієрархія цінностей зумовлені статевою приналежністю, рівнем освіти, певною мірою місцем проживання та національністю членів групи. (5) У межах молодіжних субкультур, зазвичай, немає відмовитися від національної культури, прийнятої більшістю, а виявляють лише деякі відхилення від нее.(6) Народна культура (традиції, звичаї, фольклор) активно сприймається більшістю молодих людей. (7)

5. Перед вами набір фрагментів із різних літературних джерел. У цих фрагментах представлені різні види явища, позначеного одним суспільствознавчим терміном.

5.1. Запишіть, про яке явище йдеться у всіх поданих фрагментах.

5.2. У таблиці під літерним позначенням кожного фрагмента впишіть термін, що позначає той чи інший вид певного явища, що відобразилися в даному фрагменті.

1. «Підійшли іспити. Ґуля відвезла до зазеленілого лісу свою білку, проводила на вокзал маму, що поїхала до Сочі, і повернулася до спорожнілої квартири. З нею залишилася Фрося.

Ну, Фросенько, - сказала Ґуля, - не зійду з цього місця, доки не пройду всю фізику.

І Ґуля сіла за свій стіл. Підперши голову руками, вона заглибилася в книгу. Кімната була залита сонцем. Перед вікном розпустилася акація.

«Як зараз добре на Дніпрі! - з тугою думала Ґуля. - Взяти б байдарку і попливти вниз. А потім лягти на білий пісок і дивитись у небо!»

Але це потім, після іспиту. А зараз треба забути про все на світі, крім фізики.

«Теплота»… Як на зло, доводиться повторювати цю нещасну «теплоту», коли й так нікуди подітися від спеки». (Е. Ільїна) 2. «Я писала майже безперервно з шести років, але я ніколи не була така схвильована ідеєю раніше. Я просто сиділа і думала, протягом чотирьох (із затримкою поїзда) годин, і всі деталі пузирилися в моєму мозку, і це худий, чорнявий, в окулярах хлопчик, який не знав, що він чарівник ставав усе більш реальним для мене» (Дж. Роулінг) 3. «Нас розпустили на літні канікули. Ми з Федькою будували всілякі плани на літо.

Роботи попереду треба було багато.

По-перше, треба було побудувати пліт, спустивши його в ставок, що примикав до нашого саду, оголосити себе володарями моря і дати морський бій сполученому флоту Пантюшкіних і Сімакових, які оберігали підступи до садів на іншому березі.

У нас і досі був маленький флот – спущена на воду садова хвіртка. Але в бойовому відношенні він значно поступався силам ворога, у якого була половина старих воріт, що заміняла важкий крейсер, і легкий міноносець, перероблений з колод колоди, в якій раніше годували худобу. Сили були явно нерівні». (А.П. Гайдар).

Звела вогкість корчем - Тут вибухи закудахтають неважливий мокрий затишок, в розгін ведмежих банд, сидять у темряві робітники, і підриє надра шахтою хліб, що підмок, жують. столовий «Гігант».

Але шепіт голосніше голоду - Тут стануть будови стінами.

він криє крапель спад: Гудками, пар, сипи.

«Через чотири роки Ми у сотню сонців мартенами тут буде місто-сад! Займемо Сибір (В.В. Маяковський).

5. «Я ліплю із пластиліну.

Пластелін ніжніший за глину.

Я ліплю із пластеліну ляльок, клоунів, собак.

Якщо лялька вийде погано, назву її «дурха».

Якщо клоун вийде погано, назву його «дурень».

Підійшли до мене два брати і сказали сухувато:

Хіба лялька винна? хіба клоун винен?

Ти сама їх ліпиш погано. Ти сама й невмха.

Ти сама їх ліпиш погано і ніхто не винний.

Я ліплю із пластиліну.

Пластелін ніжніший за глину.

Я ліплю із пластиліну ляльок, клоунів, собак.

Якщо лялька вийде погано, назвуть її "бідолаха".

Якщо клоун вийде погано, назву його "бідняк"». (Н.М. Матвєєва)

6. Нарешті Волька наважився: узяв перший квиток, що трапився, повільно-повільно, катуючи свою долю, розкрив його і з задоволенням переконався, що йому належить відповідати про Індію. Про Індію він знав багато. Він давно цікавився цією країною.

– Ну що ж, – сказав директор, – доповідай.

Початок квитка Волька навіть пам'ятав слово за підручником. Він розкрив рот і хотів сказати, що півострів Індостан нагадує за своїми обрисами трикутник, що омивається цей величезний трикутник Індійським океаном та його частинами: Аравійським морем – на заході та Бенгальською затокою – на сході, що на цьому півострові розташовані дві великі країни – Індія та Пакистан, що населяє їхній добрий, миролюбний народ із старовинною та багатою культурою. (Л.

Лагін) 5.1. _________________________________________________________________________________

6. Визначте пропущені в тексті терміни, які позначені порядковими номерами.

Необхідні вставки впишіть під відповідними номерами в таблицю нижче.

Гроші товар особливого роду, що використовується при обміні як _(1)_ всіх інших товарів.

Економісти виділяють п'ять основних (2) грошей.

1. Міра вартості: гроші вимірюють вартість товарів через _(3)_, порівнюючи цим товари з якісно різними споживчими властивостями. Для виконання цієї функції дуже важливо, щоб самі гроші мали стабільну цінність. Проте жоден вид грошей немає постійної цінності. В епоху паперових грошей (знецінення грошей) взагалі стала практично постійним явищем.

2. Засіб _(5)_ – гроші виконують роль посередників при товарообміні. Замість обмінювати безпосередньо один товар в інший – це називають _(6)_, – товаровиробники отримують за проданий ними товар гроші, куди купують потрібні їм інші товари.

3. Засіб _(7)_ – з допомогою грошей створюється запас багатства. Йдеться, звичайно, не про піратські скарби, наприклад, щоб купити машину, треба протягом кількох років відкладати гроші, доки не накопичиться потрібна сума. Тобто. гроші тимчасово витягуються з _(8)_ і перебувають «на руках»

у покупців.

4. Засіб _(9)_ – рух грошей «відривається» від руху товарів, запізнюється порівняно з ним. Це відбувається у разі розвитку _(10)_. Так, покупець може купити машину на виплат, внаслідок чого він відразу стає її власником, але ще протягом тривалого часу вносить частинами кошти за неї.

Особливо яскраво цей відрив проявляється у взаєминах громадян і держави: _(11)_ в принципі є платою за «громадські товари», що надаються державою (послуги захисту прав власності, військового захисту, систем загальнодоступної освіти та охорони здоров'я).

5. _(12)_ гроші – вільне обіг деяких видів грошей поза своїх національних кордонів. До 20 ст. їх роль грали грошові знаки з благородних _(13)_: у разі, як писав К.Маркс, «гроші скидають із себе національні мундири». У наші дні цю роль виконують найбільш надійні національні (14) (насамперед, долар і євро).

Завдання 7. Вирішіть правові завдання

7.1. Органами РАГС був зареєстрований шлюб між 16-річними Оленою Н. та Григорієм П. Через рік подружжя розлучилося, оформивши офіційне розлучення. Олена вирішила продати будинок, який дістався їй у спадок від діда. Нотаріус відмовився зареєструвати угоду купівлі - продажу будинку, посилаючись на те, що Олена не досягла віку 18 років і не перебуває в зареєстрованому шлюбі, а тому вона не має достатнього обсягу дієздатності для вчинення такої угоди.

Чи правий нотаріус? Свою відповідь обґрунтуйте.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

7.2. Міською Думою міста N прийнято рішення про встановлення податку на майно організацій, які здійснюють діяльність, внаслідок якої відбувається забруднення навколишнього природного середовища. Прокурор міста виніс уявлення про незаконність ухваленого Міською Думою рішення. Чи правий прокурор? Свою відповідь обґрунтуйте.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

Завдання 8. Розв'яжіть суспільствознавчий кросворд.

У виділених клітинах складеться термін, застосовуваний у гуманітарних наук

ах. Запишіть його визначення в рядках, які розміщені під кросвордом.

1. Заборона державою ввезення в свою країну або вивезення в будь-яку іншу країну товарів, послуг, валютних та інших цінностей

2. Соціальна поведінка, що відхиляється від прийнятого, соціально прийнятного у суспільстві.

3. Діяльність, що має на меті забезпечення популярності в масах ціною необґрунтованих обіцянок, демагогічних гасел.

4. Стан суспільства, у якому наступають розкладання і розпад системи цінностей і норм, гарантують громадський порядок.

6. Діяльність індивідів та соціальних груп, пов'язана з відносинами щодо завоювання, утримання та використання влади з метою реалізації своїх інтересів.

7. Крайній, націоналізм, що виражається в непомірному, звеличенні своєї нації, проповіді її національної винятковості, у політиці протиставлення цієї нації іншим

8. Згуртування, об'єднання політичних, економічних, державних та громадських структур у рамках регіону, країни, світу.

9. Незайнятість частини економічно активного населення у господарській діяльності

10. Економічна теорія, згідно з якою кількість грошей у обігу є визначальним фактором економічного життя.

Визначення ________________________________________________________________________

– – –

ЗМІНИ В ТРУДОВОЇ ЗАНЯТОСТІ ЧОЛОВІКІВ І ЖІНОК ПО РОДУ ЗАНЯТТІВ,

1992-1998 Нова цивілізація зароджується в наших життях, і ті, хто не спроможний побачити її, намагаються придушити її. Ця нова цивілізація несе із собою нові сімейні стосунки; інші способи працювати, любити та жити; нову економіку; нові політичні конфлікти, і понад усе це змінена свідомість. Шматочки нової цивілізації існують уже зараз. Мільйони людей вже налаштовують своє життя відповідно до ритмів завтрашнього дня. Інші люди, які бояться майбутнього, біжать у безнадійне, марне минуле; вони намагаються відновити світ, в якому вони з'явилися на світ.

Початок цієї нової цивілізації - єдиний факт, що володіє найбільшою вибуховою силою, часу, в якому ми живемо.

Це - центральна подія, ключ до розуміння часу, що йде за сьогоденням. Це - явище так само глибоке, як і Перша хвиля змін, викликана 10 тис. років тому запровадженням сільського господарства, або як приголомшлива Друга хвиля змін, пов'язана з промисловою революцією.

Ми - діти наступної трансформації.

Ми шукаємо слова, щоб описати всю міць і розмах цих незвичайних змін.

Джерело: Е. Тоффлер. Третя хвиля На відміну від попередніх років світова економіка більше не є в своїй основі ні аграрною, ні промисловою. Навпаки, у ній дедалі більше домінують «невагомі» та нематеріальні види діяльності. Те, що виробляє ця невагома економіка, складається з інформації – як у випадку з програмним забезпеченням, продуктами ЗМІ та промисловості розваг, а також послугами, що постачаються через Інтернет. Цей новий економічний контекст зазвичай описують таким поняттям, як «економіка знань». Джерело: Е.Гідденс. Соціологія У міру того, як системи освіти ставали загальними, дедалі більше людей охоплювалося навчанням абстрактним наукам (вивченням таких предметів як математика, природничі науки, історія, література тощо), а не практичною передачею конкретних умінь та навичок. У сучасному суспільстві люди повинні володіти основними навичками, такими як читання, письмо, рахунок і загальними знаннями в навколишньому світі. Але дуже важливо, щоб вони знали, як навчатися, і могли б опанувати нові, часто дуже специфічні форми інформації.

Розвинене суспільство потребує і чистих досліджень і осяяння, що не приносять безпосередньої практичної вигоди, але розсувають межі людського пізнання.

…У наш час освіта та кваліфікація стали важливою умовою для здобуття роботи та кар'єрного зростання. Школи та університети не лише розширюють розумові обрії людей та їхні перспективи, але вони мають, як очікується, готувати нові покоління громадян до участі в економічному житті. Джерело Е. Гідденс.

Соціологія

9.1. Проаналізуйте статистичні дані. Які очевидні тенденції простежуються за її аналізі (щонайменше двох)? Для якого суспільного ладу (типу суспільства) вони характерні?

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

9.2. Маючи текст і знання суспільствознавчого курсу, вкажіть ознаки цього громадського порядку (типу суспільства).

_____________________________________________________________________________________

9.3. Знайдіть у текстах два супутніх даному суспільному порядку (типу суспільства) соціальних інституту. Дайте їм визначення.

_____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________

9.4. Який сенс Е. Тоффлер вкладає у поняття «Перша» та «Друга» хвиля. Вкажіть щонайменше дві відмітні ознаки кожної з цих хвиль.

_____________________________________________________________________________________

Завдання 10. Шановні учасники! Перед вами висловлювання відомих вітчизняних та зарубіжних політичних діячів, мислителів та письменників. Виберіть те з них, яке стане темою твору-есе. Ваше завдання – сформулювати своє власне ставлення до проблеми, порушеної в цьому твердженні та обґрунтувати тими аргументами, які видаються вам найбільш суттєвими.

Ваша робота оцінюватиметься журі за такими критеріями:

2.Подання вашої власної точки зору при розкритті теми.

3.Внутрішня смислова єдність, узгодженість ключових тез та тверджень, несуперечність особистісних суджень.

Анотація У статті виявлено інституційну природу внутрішньофірмових криз, пов'язану з ускладненням т...» покупці! Вітаємо Вас із вдалим придбанням. Ви придбали сучасний тренажер, який, як ми сподіваємося, з...»Коротка довідка про результати Національного дослідження якості освіти (НІКО) у початковій та основній школі Загальні відомості Національні дослідження якості освіти (НІКО) проводяться Федеральною службою з нагляду у сфері освіти. ..»

2017 www.сайт - «Безкоштовна електронна бібліотека - електронні матріали»

Матеріали цього сайту розміщені для ознайомлення, всі права належать їхнім авторам.
Якщо Ви не згодні з тим, що Ваш матеріал розміщений на цьому сайті, будь ласка, напишіть нам, ми протягом 1-2 робочих днів видалимо його.

Олімпіада з математики Муніципальний етап 2013-2014 навч. м. Завдання із вказівками та рішеннями 7 клас Дві сусідні сторони прямокутника відносяться як 3:7. Чому дорівнює площа прямокутника, якщо його периметр дорівнює 40 см? Відповідь. 84 см2. Вказівка. З умов задачі менша сторона прямокутника дорівнює 3х, а більша 7х за деякого х. Тоді периметр дорівнює 2(3 x 7 x) 40 , звідки x =2. Площа 7.1. прямокутника дорівнює 3x  7 x  21x2  84 . Петя сказав Васі: «Я задумав двозначне число. Якщо переставити його цифри, то вийде число, яке в сумі із задуманим дасть 143. Відгадай задумане число, якщо відомо, що воно просте». Яке число задумав Петя? Відповідь. 67. Вказівка. Нехай a, b – цифри задуманого числа. Тоді з умов задачі 10a b 10b a 143 , звідки a + b = 13. Враховуючи, що a, b – цифри, звідси отримуємо шість можливих варіантів задуманого числа: 94, 85, 76, 67, 58, 4. З цих варіантів лише 67 просте число. 7.2. Дано 300-значне число 22...21...100...0, що містить 100 двійок, 100 одиниць і 100 нулів. Чи можна переставити цифри так, щоб вийшов квадрат натурального числа? Відповідь. Не можна. Вказівка. Сума цифр даного числа дорівнює 2100 + 1100 = 300. З ознак ділимості на 3 та 9 випливає, що дане число ділиться на 3, але не ділиться на 9. При перестановках цифр сума цифр не змінюється, і тому після перестановки не вийде точний квадрат (бо число, що зводиться у квадрат, має ділитися на 3, яке квадрат – на 9). 7.3. На дошці записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцію дозволяється стерти з дошки будь-які два числа a, b, а замість них записати числа a + 2b та b + 2a. Чи може вийти так, що в результаті кількох операцій на дошці буде записано 10 однакових чисел? Відповідь. Не може. Вказівка. Припустимо, від неприємного, що після деякої кількості операцій на дошці виявилися всі рівні числа. Зауважимо, що з будь-якої операції парність чисел не змінюється (т.к. a + 2b має ту ж парність, що a, і, аналогічно, b + 2a має ту ж парність, що b). Спочатку було 5 парних і 5 непарних чисел, тому й наприкінці має бути 5 парних та 5 непарних чисел, а у нас виявилися усі 10 чисел однакової парності). Отримана суперечність доводить утвердження завдання. 7.4. У 7а класі 30 осіб. Може у кожного учня рівно три відповіді. Може. Вказівка. схему відрізки з'єднують пари друзів. 7.5. 3 2 14 виявитися так, що друга в класі? (граф), де 15 16 1 17 30 8 клас 18 29 8.1. Петя сказав Васі: «Я задумав двозначне число. Якщо переставити його цифри, то вийде число, яке в сумі із задуманим дасть 143. Відгадай задумане число, якщо відомо, що воно просте». Яке число задумав Петя? Відповідь. 67. Вказівка. задачу 7.2. 8.2. Дано сто чисел: 1, 22, 32, ..., 1002. Обчислимо 98 різниць: a1 3 2  1 , a 2 4 2 2 2 , …, a98 100 2  98 2 . Чому дорівнює сума всіх цих різниць? Відповідь. 19796. Вказівка. a1  a2  ...  a98  (3  12)  (4  22)  2 2  (52  32)  (62  42)...  (992  972) 2 ). Підкреслені члени підрахунку суми  ~ взаємно знищуються з відповідними членами, які мають протилежний знак. Залишаться «незнищені» числа: 1002  992  12  22  19796 . Дано 300-значне число 22...21...100...0, що містить 100 двійок, 100 одиниць і 100 нулів. Чи можна переставити цифри так, щоб вийшов квадрат натурального числа? Відповідь. Не можна. Вказівка. задачу 7.3. 8.3. 8.4. Чи існує рівнобедрена трапеція, у якої середня лінія дорівнює діагоналі? Відповідь. Не існує. Вказівка. Нехай ABCD – рівнобедрена трапеція з бічними сторонами AB та CD. Опустимо з точки З висоту СМ на основу. Тоді відрізок АМ дорівнює середній лінії, т.к. середня лінія дорівнює 1 BC  AD  1 BC  BC  2MD   BC  MD  AM . 2 2 У прямокутному трикутнику АСМ гіпотенуза АС більша за катет АМ, і, отже, діагональ завжди більша за середню лінію рівнобедреної трапеції. На дошці записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцію дозволяється стерти з дошки будь-які два числа a, b, а замість них записати числа 2a + 3b та 2b + 3a. Чи може вийти так, що в результаті кількох операцій на дошці буде записано 10 однакових чисел? Відповідь. Не може. Вказівка. Зауважимо, що число 2a + 3b має ту саму парність, що b, а число, 2b + 3a має ту ж парність, що a. Тому після кожної операції на дошці має залишатися 5 парних і 5 непарних чисел (бо спочатку було 5 парних та 5 непарних). Значить усі 10 чисел однакової парності вийти не можуть. 8.5. 9.1. 9 клас Дано сто чисел: 1, 2, 3, ..., 100. Обчислимо 98 різниць: a1  3 2  1 , a 2  4 2  2 2 , …, 2 2 2 a98  100 2  98 2 . Чому дорівнює сума всіх цих різниць? Відповідь. 19796. Вказівка. задачу 8.2. 9.2. Чи існує рівнобедрена трапеція, у якої середня лінія дорівнює діагоналі? Відповідь. Не існує. Вказівка. задачу 8.4. 9.3. Дано позитивні числа a  b . Чи можна стверджувати, що a  4 b  b  4 a ? Відповідь. Не можна. Вказівка. Після зведення в квадрат отримаємо рівносильну нерівність: a  b , то це a − b  4 a − 4 b  (4 a  4 b) (4 a  4 b) (a  b) 4 a 4 b . Оскільки нерівність рівносильна наступному: (4 a  4 b) (a  b)  1 . Для малих а, b (наприклад, при a 10 4 , b 10 8) остання нерівність, очевидно, невірна. 9.4. На сторонах АВ, ВС та АС трикутника АВС взяті відповідно точки С1, А1 та В1 так, що С1А1 || АC. Доведіть, що S A1B1C1  1 S ABC . 4 Вказівка. З умови С1А1 | АC слідує, що трикутники BC1 A1 і ВАС подібні. Нехай x  C1 A1 / AC – коефіцієнт подібності. Тоді висота в трикутнику ВС1А1, опущена з точки на С1А1, дорівнює xh, де h – висота трикутника BCA з точки В. Значить, висота в трикутнику h  xh  (1  x) h . В1С1А1 з точки В1 на С1А1 дорівнює Таким чином, 1 (x  AC)  (1  x)h  x(1  x) S ABC . Максимум квадратичної функції y(x)  x(1  x) 2 1 1 досягається в точці x0  (абсцисі вершини параболи) і дорівнює, звідки слідує результат. 2 4 S A1 B1C1  На дошці записано 10 чисел: 1, 2, …, 10. За одну операцію дозволяється стерти з дошки будь-які два числа a, b, а замість них записати числа a3 + 6b та b3 + 6a. Чи може бути так, що в результаті кількох операцій на дошці будуть записані а) всі 10 однакових чисел? б) хоча б три однакові числа? Відповідь. а) не може; б) не може. Вказівка. а) Результат пункту а) (як і в задачах 7.4 і 8.5) випливає з того факту, що після кожної операції виходять числа тієї ж парності. б) Зауважимо сильніший факт, саме, те, що після кожної операції числа дають самі залишки при розподілі на 6, як і до операції. Дійсно, a3 + 6b  a  (a  1)a(a  1)  6b , і добуток трьох послідовних цілих чисел (a  1)a(a  1) ділиться як на 3, так і на 2, т .е. ділиться на 6. Отже, внаслідок всіх операцій має вийти той самий набір залишків (при розподілі на 6), як і спочатку. Але спочатку було не більше двох чисел для кожного з залишків 0, 1, 2, 3, 4, 5 (точніше, по одному числу із залишком 0 і 5 – це числа 6 та 5 – і по два числа з рештою залишків). Таким чином, наприкінці не могли виявитись три числа з однаковими залишками. 9.5. 10 клас 10.1. Дано позитивні числа a  b . Чи можна стверджувати, що відповідь. Не можна. Вказівка. задачу 9.3. 10.2. a 4 b  b 4 a ? На дошці записано 10 чисел: 12, 22, …, 102. За одну операцію дозволяється стерти з дошки будь-які два числа a, b, а замість них записати числа a b і 2 ab . Чи може вийти так, що в результаті кількох операцій усі записані на дошці числа будуть більшими за 40? Відповідь. Не може. Вказівка. Оскільки ab  ab для позитивних a, b, то в результаті кожної операції сума чисел на дошці не може збільшитися. Спочатку сума чисел була 1  2 2  ...  10 2  10 11  21 n (n  1)(2n  1)  385 (тут використовувалася формула для суми 6 6 можна підрахувати цю суму безпосередньо), а наприкінці сума чисел буде більшою за 4010=400, якщо ми припустимо неприємне. Отримана суперечність показує, що таке припущення неправильне. 10.3. Знайдіть усі значення параметра а, такі, що рівняння x 2 − 4ax  5a  0 має два дійсні корені, сума квадратів яких дорівнює 6. 3 a   . Вказівка. З умов завдання слід, що має виконуватися умова 8 2 D 4(4a  5a) 0 і рівність x12  x22  (x1  x2) 2  2 x1 x2  (4a) 2  1`0a  ми 5  11 використовували теорему Вієта). Вирішуючи останнє рівняння щодо а, отримаємо a  . 16 3 Корінь a 2   цього рівняння задовольняє нерівності 4a 2  5a  0 , а корінь а1=1 – ні. 8 Відповідь. 10.4. У трикутник АВС вписано коло з центром О. Точки М і N – точки торкання вписаного кола зі сторонами АВ та АС відповідно. Знайдіть А, якщо відомо, що AO = 2 MN. Відповідь. 30 або 150. Вказівка. Нехай К - точка перетину АТ та MN. За властивістю вписаного кола, MK KN , AK MN , і AMO 90 . Позначимо   MAO. Тоді MK  AM sin   (AO  cos )  sin  , і за умовою, AO cos  sin   1 1 AO  sin 2   2 . е.  15 або   75). 4 2 Доведіть, що рівняння y 2 − x 4  2013x5 має безліч рішень у натуральних числах х, у. Вказівка. Перепишемо рівняння у вигляді y 2  x 4 (2013x  1) . Дозволеність цього рівняння в натуральних числах рівнозначна тому, що дужка 2013х + 1 являє собою точний квадрат: 2013 x 1 t 2 (t 1) (t 1) 2013 x . Як t достатньо взяти числа виду t 2013k 1, де k – будь-яке натуральне число. Тоді 2013k (2013k  2)  2013x  x  k (2013k  2) . Звідси y  x 2t  k 2 (2013k  2)2 (2013k  1) . Оскільки k – будь-яке натуральне число, твердження доведене. 10.5. 11 клас 11.1. Розв'яжіть рівняння cos 2 (2 x) - sin 2 2 x  1 . Відповідь. х = 0. Вказівка. Ліва частина рівняння не перевищує одиниці, причому вона може дорівнювати одиниці лише за умови одночасного виконання двох рівностей: cos 2 (2 x)  1 і sin 2 x  0 . Звідси 2 x  n і 2 x   k , k, n  Z . Тоді деяких цілих n, k. Оскільки n k , тобто. 2n  2k при 2 2 2 – ірраціональне число, то з останньої рівності випливає, що k має дорівнювати нулю. Значить, k = n = 0. І х = 0. 11.2. Знайдіть усі значення параметра а, такі, що рівняння x 2 − 4ax  5a  0 має два дійсні корені, сума квадратів яких дорівнює 6. Відповідь. а = 2. Вказівка. задачу 10.3. 11.3. Дана функція f(x)  x 2  2 x . Знайдіть область визначення функції f(f(x)). Відповідь. x  (, 5  1]  (0)  (2)  )