Калькулятор площі обмежена лініями. Певний інтеграл

Насправді, для того щоб знаходити площу фігури не треба так багато знань з невизначеного і певного інтегралу. Завдання «обчислити площу за допомогою певного інтеграла» завжди передбачає побудову креслення, тому набагато актуальнішим питанням будуть ваші знання та навички побудови креслень. У зв'язку з цим корисно освіжити в пам'яті графіки основних елементарних функцій, а, як мінімум, вміти будувати пряму, і гіперболу.

Криволінійною трапецією називається плоска фігура, обмежена віссю , прямими , і безперервною графіком на відрізку функції , яка не змінює знак на цьому проміжку. Нехай ця фігура розташована не нижчеосі абсцис:

Тоді площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу. Будь-який певний інтеграл (який існує) має дуже хороший геометричний зміст.

З погляду геометрії певний інтеграл - це ПЛОЩА.

Тобто певному інтегралу (якщо він існує) геометрично відповідає площа деякої фігури. Наприклад, розглянемо певний інтеграл. Підінтегральна функція задає на площині криву, що знаходиться вище за осі (бажаючі можуть виконати креслення), а сам певний інтеграл чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції.

Приклад 1

Це типове формулювання завдання. Перший і найважливіший момент рішення - побудова креслення. Причому креслення необхідно побудувати ПРАВИЛЬНО.

При побудові креслення я рекомендую наступний порядок: спочатку краще збудувати всі прямі (якщо вони є) і лише потім – параболи, гіперболи, графіки інших функцій. Графіки функцій вигідніше будувати крапково.

У цій задачі рішення може мати такий вигляд.
Виконаємо креслення (зверніть увагу, що рівняння задає вісь):

На відрізку графік функції розташований над віссю, тому:

Відповідь:

Після того, як завдання виконане, завжди корисно поглянути на креслення і прикинути, чи реальна вийшла відповідь. У цьому випадку «на вічко» підраховуємо кількість клітин у кресленні - ну, приблизно 9 набереться, схоже на правду. Цілком зрозуміло, що якби в нас вийшов, скажімо, відповідь: 20 квадратних одиниць, то, очевидно, що десь припущена помилка - у розглянуту фігуру 20 клітинок явно не вміщається, від сили десяток. Якщо відповідь вийшла негативною, то завдання теж вирішено некоректно.

Приклад 3

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями і координатними осями.

Рішення: Виконаємо креслення:

Якщо криволінійна трапеція розташована під віссю (або, принаймні, не вищецієї осі), то її площу можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Увага! Не слід плутати два типи завдань:

1) Якщо Вам запропоновано вирішити просто певний інтеграл без жодного геометричного сенсу, то він може бути негативним.

2) Якщо Вам запропоновано знайти площу фігури за допомогою певного інтеграла, то площа завжди позитивна! Саме тому у щойно розглянутій формулі фігурує мінус.

На практиці найчастіше фігура розташована і у верхній і нижній півплощині, а тому, від найпростіших шкільних завдань переходимо до більш змістовних прикладів.

Приклад 4

Знайти площу плоскої фігури, обмеженою лініями , .

Рішення: Спочатку потрібно виконати креслення. Загалом кажучи, при побудові креслення у завданнях на площу нас найбільше цікавлять точки перетину ліній. Знайдемо точки перетину параболи та прямий. Це можна зробити двома способами. Перший спосіб – аналітичний. Вирішуємо рівняння:

Значить, нижня межа інтегрування, верхня межа інтегрування.

Цим способом краще, наскільки можна, не користуватися .

Набагато вигідніше і швидше побудувати лінії поточечно, у своїй межі інтегрування з'ясовуються хіба що «самі собою». Тим не менш, аналітичний спосіб знаходження меж все-таки доводиться іноді застосовувати, якщо, наприклад, графік досить великий, або поточена побудова не виявила меж інтегрування (вони можуть бути дрібними або ірраціональними). І такий приклад ми теж розглянемо.

Повертаємося до нашого завдання: раціональніше спочатку побудувати пряму і лише потім параболу. Виконаємо креслення:

А тепер робоча формула: Якщо на відрізку деяка безперервна функція більша або дорівнює деякій безперервній функції, то площа фігури, обмеженої графіками даних функцій і прямими, можна знайти за формулою:

Тут уже не треба думати, де розташована фігура - над віссю або під віссю, і, грубо кажучи, важливо, який графік Вище (щодо іншого графіка), а який - НИЖЧЕ.

У прикладі очевидно, що на відрізку парабола розташовується вище прямої, а тому необхідно відняти

Завершення рішення може мати такий вигляд:

Потрібна фігура обмежена параболою зверху і прямою знизу.
На відрізку , за відповідною формулою:

Відповідь:

Приклад 4

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями , , , .

Рішення: Спочатку виконаємо креслення:

Фігура, площу якої нам потрібно знайти, заштрихована синім кольором (уважно дивіться на умову – чим обмежена фігура!). Але на практиці через неуважність нерідко виникає «глюк», що потрібно знайти площу фігури, яка заштрихована зеленим кольором!

Цей приклад корисний і тим, що в ньому площа фігури вважається за допомогою двох певних інтегралів.

Дійсно:

1) На відрізку над віссю розташований графік прямий;

2) На відрізку над віссю розташований графік гіперболи.

Цілком очевидно, що площі можна (і потрібно) приплюсувати, тому:

Як вставити математичні формули на сайт?

Якщо потрібно колись додавати одну-дві математичні формули на веб-сторінку, то найпростіше зробити це, як описано в статті: математичні формули легко вставляються на сайт у вигляді картинок, які автоматично генерує Вольфрам Альфа. Окрім простоти, цей універсальний спосіб допоможе покращити видимість сайту у пошукових системах. Він працює давно (і, гадаю, працюватиме вічно), але морально вже застарів.

Якщо ви постійно використовуєте математичні формули на своєму сайті, я рекомендую вам використовувати MathJax - спеціальну бібліотеку JavaScript, яка відображає математичні позначення у веб-браузерах з використанням розмітки MathML, LaTeX або ASCIIMathML.

Є два способи, як почати використовувати MathJax: (1) за допомогою простого коду можна швидко підключити до вашого сайту скрипт MathJax, який автоматично підвантажуватиметься з віддаленого сервера (список серверів); (2) завантажити скрипт MathJax з віддаленого сервера на свій сервер та підключити до всіх сторінок свого сайту. Другий спосіб – більш складний та довгий – дозволить прискорити завантаження сторінок вашого сайту, і якщо батьківський сервер MathJax з якихось причин стане тимчасово недоступним, це ніяк не вплине на ваш власний сайт. Незважаючи на ці переваги, я вибрав перший спосіб, як більш простий, швидкий і не потребує технічних навичок. Наслідуйте мій приклад, і вже через 5 хвилин ви зможете використовувати всі можливості MathJax на своєму сайті.

Підключити скрипт бібліотеки MathJax з віддаленого сервера можна за допомогою двох варіантів коду, взятого на головному сайті MathJax або на сторінці документації:

Один з цих варіантів коду потрібно скопіювати і вставити в код вашої веб-сторінки, бажано між тегами або відразу після тега . За першим варіантом MathJax підвантажується швидше і менше гальмує сторінку. Натомість другий варіант автоматично відстежує та підвантажує свіжі версії MathJax. Якщо вставити перший код, його потрібно буде періодично оновлювати. Якщо вставити другий код, то сторінки завантажуватимуться повільніше, зате вам не потрібно буде постійно стежити за оновленнями MathJax.

Підключити MathJax найпростіше в Blogger або WordPress: в панелі керування сайтом додайте віджет, призначений для вставки стороннього коду JavaScript, скопіюйте в нього перший або другий варіант завантаженого коду, представленого вище, і розмістіть віджет ближче до початку шаблону (до речі, це зовсім не обов'язково , оскільки скрипт MathJax завантажується асинхронно). Ось і все. Тепер вивчіть синтаксис розмітки MathML, LaTeX та ASCIIMathML, і ви готові вставляти математичні формули на веб-сторінки свого сайту.

Будь-який фрактал будується за певним правилом, яке послідовно застосовується необмежену кількість разів. Щоразу називається ітерацією.

Ітеративний алгоритм побудови губки Менгера досить простий: вихідний куб зі стороною 1 ділиться площинами, що паралельні його граням, на 27 рівних кубів. З нього видаляються один центральний куб і 6 прилеглих до нього на грані кубів. Виходить безліч, що складається з 20 менших кубів, що залишилися. Поступаючи так само з кожним із цих кубів, отримаємо безліч, що складається вже з 400 менших кубів. Продовжуючи цей процес безкінечно, отримаємо губку Менгера.

Завдання 1 (про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення. Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1. Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \ cdot \ Delta x_k \), де \ ( \ Delta x_k \) - Довжина відрізка ; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. малюнок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради однаковості позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Отже, (S \approx S_n \), причому це наближена рівність тим точніше, чим більше n.
За визначенням вважають, що потрібна площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2 (про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення крапки за проміжок часу [а; b].
Рішення. Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої завдання.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n \) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підіб'ємо підсумки. Розв'язання різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

У курсі математичного аналізу доведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b] і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний зміст певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу доведено таку теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніца на честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософа Готфріда Лейбніца (1646-1716), які отримали її незалежно один від одного і практично одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою ) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца в такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Маючи формулу Ньютона - Лейбніца, можна одержати дві властивості певного інтеграла.

Властивість 1. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

2. Постійний множник можна винести за знак інтеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

За допомогою інтеграла можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур складнішого вигляду, наприклад, такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первісних) деяких функцій $$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n +1)) (n +1) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

З цієї статті ви дізнаєтеся, як знайти площу фігури, обмеженою лініями, використовуючи обчислення за допомогою інтегралів. Вперше з постановкою такого завдання ми стикаємося у старших класах, коли тільки-но пройдено вивчення певних інтегралів і настав час приступити до геометричної інтерпретації отриманих знань на практиці.

Отже, що буде потрібно для успішного вирішення задачі з пошуку площі фігури за допомогою інтегралів:

• Вміння грамотно будувати креслення;
• Вміння вирішувати певний інтеграл за допомогою відомої формули Ньютона-Лейбніца;
• Вміння «побачити» вигідніший варіант рішення - тобто. зрозуміти, як у тому чи іншому випадку буде зручніше проводити інтегрування? Вздовж осі ікс (OX) чи осі ігорок (OY)?
• Ну і куди без коректних обчислень? Сюди входить розуміння як вирішувати той інший тип інтегралів і правильні чисельні обчислення.

Алгоритм розв'язання задачі з обчислення площі фігури, обмеженої лініями:

1. Будуємо креслення. Бажано це робити на листку в клітку з великим масштабом. Підписуємо олівцем над кожним графіком назву цієї функції. Підпис графіків робиться виключно задля зручності подальших обчислень. Отримавши графік шуканої постаті, найчастіше буде видно відразу, які межі інтегрування буде використано. Таким чином, ми вирішуємо завдання графічним методом. Однак буває так, що значення меж дробові чи ірраціональні. Тому, можна зробити додаткові розрахунки, переходимо за крок два.

2. Якщо явно не задані межі інтегрування, то знаходимо точки перетину графіків один з одним, і дивимося, чи наше графічне рішення збігається з аналітичним.

3. Далі необхідно проаналізувати креслення. Залежно від цього, як розташовуються графіки функцій, існують різні підходи до знаходження площі фігури. Розглянемо різні приклади перебування площі фігури з допомогою інтегралів.

3.1. Найкласичніший і найпростіший варіант завдання, це коли потрібно знайти площу криволінійної трапеції. Що таке криволінійна трапеція? Це плоска фігура, обмежена віссю ікс (у = 0), прямими х = а, х = b і будь-якої кривої, безперервної на проміжку від a до b. При цьому дана фігура невід'ємна і розташовується не нижче осі абсцис. У цьому випадку площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює певному інтегралу, що обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Якими лініями обмежена фігура? Маємо параболу y = x2 - 3x + 3, яка розташовується над віссю ОХ, вона невід'ємна, т.к. всі точки цієї параболи мають позитивні значення. Далі, задані прямі х = 1 і х = 3, які пролягають паралельно осі ОУ є обмежувальними лініями фігури зліва і справа. Ну і у = 0 вона ж вісь ікс, яка обмежує фігуру знизу. Отримана фігура заштрихована, як видно із малюнка зліва. В даному випадку можна відразу приступати до вирішення задачі. Перед нами простий приклад криволінійної трапеції, яку вирішуємо за допомогою формули Ньютона-Лейбніца.

3.2. У попередньому пункті 3.1 розібрано випадок, коли криволінійна трапеція розташована над віссю ікс. Тепер розглянемо випадок, коли умови завдання такі самі, крім того, що функція пролягає під віссю ікс. До стандартної формули Ньютона-Лейбніца додається мінус. Як розв'язувати таку задачу розглянемо далі.

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмежену лініями y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 .

У цьому прикладі маємо параболу y = x2 + 6x + 2 , яка бере свій початок з-під осі ОХ , прямі х = -4, х = -1, у = 0 . Тут у = 0 обмежує шукану фігуру зверху. Прямі х = -4 і х = -1 це межі, не більше яких обчислюватиметься певний інтеграл. Принцип вирішення задачі на пошук площі фігури практично повністю збігається з прикладом номер 1. Єдина відмінність у тому, що задана функція не позитивна, і все також безперервна на проміжку [-4; -1]. Що означає не позитивна? Як видно з малюнка, фігура, яка полягає в рамках заданих іксів, має виключно «негативні» координати, що нам і потрібно побачити і пам'ятати при вирішенні задачі. Площу фігури шукаємо за формулою Ньютона-Лейбніца, тільки зі знаком мінус на початку.

Статтю не завершено.

Починаємо розглядати власне процес обчислення подвійного інтеграла та знайомитися з його геометричним змістом.

Подвійний інтеграл чисельно дорівнює площі плоскої фігури (області інтегрування). Це найпростіший вид подвійного інтеграла, коли функція двох змінних дорівнює одиниці: .

Спочатку розглянемо завдання у загальному вигляді. Зараз ви здивуєтеся, наскільки все дійсно просто! Обчислимо площу плоскої фігури, обмеженою лініями. Для певності вважаємо, що у відрізку . Площа цієї фігури чисельно дорівнює:

Зобразимо область на кресленні:

Виберемо перший спосіб обходу області:

Таким чином:

І відразу важливий технічний прийом: повторні інтеграли можна вважати окремо. Спочатку внутрішній інтеграл, потім зовнішній інтеграл. Даний спосіб настійно рекомендую початківцям у темі чайникам.

1) Обчислимо внутрішній інтеграл, при цьому інтегрування проводиться за змінною «гравець»:

Невизначений інтеграл тут найпростіший, і далі використовується банальна формула Ньютона-Лейбніца, з тією різницею, що межами інтегрування не числа, а функції . Спочатку підставили в «ігрок» (первоподібну функцію) верхню межу, потім нижню межу

2) Результат, отриманий у першому пункті, необхідно підставити у зовнішній інтеграл:

Більш компактний запис всього рішення виглядає так:

Отримана формула – це точно робоча формула для обчислення площі плоскої фігури за допомогою «звичайного» певного інтеграла! Дивіться урок Обчислення площі за допомогою певного інтеграла, там вона на кожному кроці!

Тобто завдання обчислення площі за допомогою подвійного інтеграла мало чим відрізняєтьсявід завдання знаходження площі за допомогою певного інтегралу! Фактично це те саме!

Відповідно ніяких труднощів виникнути не повинно! Я розгляну небагато прикладів, оскільки ви, по суті, неодноразово стикалися з цим завданням.

Приклад 9

Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Тут і далі я не зупинятимусь на тому, як виконувати обхід області, оскільки в першому параграфі були наведені дуже докладні роз'яснення.

Таким чином:

Як я вже зазначав, початківцям краще обчислювати повторні інтеграли окремо, цього ж методу дотримуватимуся і я:

1) Спочатку за допомогою формули Ньютона-Лейбніца розбираємося з внутрішнім інтегралом:

2) Результат, отриманий першому кроці, підставляємо у зовнішній інтеграл:

Пункт 2 – фактично перебування площі плоскої постаті з допомогою певного інтеграла.

Відповідь:

Ось таке дурне і наївне завдання.

Цікавий приклад для самостійного вирішення:

Приклад 10

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями , ,

Зразок чистового оформлення рішення наприкінці уроку.

У Прикладах 9-10 значно вигідніше використовувати перший спосіб обходу області, допитливі читачі, до речі, можуть змінити порядок обходу та обчислити площі другим способом. Якщо не припуститеся помилки, то, природно, вийдуть ті самі значення площ.

Але в ряді випадків ефективніший другий спосіб обходу області, і на закінчення курсу молодого ботана розглянемо ще пару прикладів на цю тему:

Приклад 11

За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу плоскої фігури , обмеженою лініями ,

Рішення: на нас з нетерпінням чекають дві параболи з бзиком, які лежать на боці. Посміхатися не треба, схожі речі в кратних інтегралах трапляються часто.

Як найпростіше зробити креслення?

Представимо параболу у вигляді двох функцій:
– верхня гілка та – нижня гілка.

Аналогічно, представимо параболу у вигляді верхньої та нижньої гілок.

Далі керує поточкове побудова графіків, в результаті чого виходить ось така химерна фігура:

Площу фігури обчислимо за допомогою подвійного інтегралу за формулою:

Що буде, якщо ми оберемо перший спосіб обходу області? По-перше, цю область доведеться розділити на дві частини. А по-друге, ми спостерігатимемо за цією сумною картиною: . Інтеграли, звичайно, не надскладного рівня, але... існує стара математична приказка: хто з корінням дружний, тому залік не потрібен.

Тому з непорозуміння, яке дано в умові, висловимо зворотні функції:

Зворотні функції в даному прикладі мають ту перевагу, що задають відразу всю параболу цілком без будь-яких там листя, жолудів гілок і коріння.

Згідно з другим способом, обхід області буде наступним:

Таким чином:

Як кажуть, відчуйте різницю.

1) Розправляємось із внутрішнім інтегралом:

Результат підставляємо у зовнішній інтеграл:

Інтегрування по змінній «гравець» не повинно бентежити, була б буква «зю» – чудово проінтегрувалося б і по ній. Хоча хто прочитав другий параграф уроку Як обчислити об'єм тіла обертання, той уже не відчуває жодної незручності з інтегруванням по «ігрок».

Також зверніть увагу на перший крок: підінтегральна функція є парною, а відрізок інтегрування симетричний щодо нуля. Тому відрізок можна споловинити, а результат – подвоїти. Цей прийом докладно закоментований на уроці Ефективні методи обчислення певного інтегралу.

Що додати. Все!

Відповідь:

Для перевірки своєї техніки інтегрування можете спробувати обчислити . Відповідь має вийти точно такою ж.

Приклад 12

За допомогою подвійного інтеграла, обчислити площу плоскої фігури, обмеженою лініями

Це приклад самостійного рішення. Цікаво відзначити, що якщо ви спробуєте використовувати перший спосіб обходу області, то фігуру доведеться розділити не на дві, а на три частини! І, відповідно, вийде три пари повторних інтегралів. Буває й таке.

Майстер клас підійшов до завершення, і настав час переходити на гросмейстерський рівень - Як обчислити подвійний інтеграл? Приклади рішень. Постараюсь у другій статті так не маньячить =)

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2:Рішення: Зобразимо область на кресленні:

Виберемо наступний порядок обходу області:

Таким чином:
Перейдемо до зворотних функцій:


Таким чином:
Відповідь:

Приклад 4:Рішення: Перейдемо до прямих функцій:


Виконаємо креслення:

Змінимо порядок обходу області:

Відповідь: