Як вирішувати 19 завдання еге профіль. Дякую за увагу!!! властивості ділимості чисел та інші відомості

19 завдання у профільному рівні ЄДІ з математики спрямоване виявлення в учнів здатності оперувати числами, саме їх властивостями. Це завдання найскладніше і потребує нестандартного підходу та гарного знання властивостей чисел. Перейдемо до розгляду типового завдання.

Розбір типових варіантів завдань №19 ЄДІ з математики профільного рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

На дошці написано понад 40, але не менше 48 цілих чисел. Середнє арифметичне цих чисел дорівнює –3, середнє арифметичне всіх позитивних їх дорівнює 4, а середнє арифметичне всіх негативних їх одно –8.

а) Скільки чисел написано на дошці?

б) Яких чисел написано більше: позитивних чи негативних?

в) Яка найбільша кількість позитивних чисел може бути серед них?

Алгоритм рішення:

Вводимо змінні k, l m.
Знаходимо суму набору чисел.
Відповідаємо на пункт а).
Визначаємо яких чисел більше (пункт б)).
Визначаємо, скільки позитивних чисел.

Рішення:

1. Нехай серед записаних на дошці позитивних чисел k. Негативних чисел lта нульових m.

2. Сума виписаних чисел дорівнює їх кількості в даному записі на дошці, помноженій на середню арифметичну. Визначаємо суму:

4k −8 l+ 0⋅m = − 3(k + l+m)

3. Зауважимо, що ліворуч у наведеній щойно рівності кожен із доданків ділиться на 4, тому сума кількості кожного типу чисел k + l+ m теж ділиться на 4. За умовою загальна кількість записаних чисел задовольняє нерівності:

40 < k + l+ m< 48

Тоді k+ l+ m = 44, тому що 44 єдине між 40 та 48 натуральне число, яке ділиться на 4.

Отже, написано на дошці лише 44 числа.

4. Визначаємо, чисел якого виду більше: позитивних чи негативних. Для цього наведемо рівність 4k −8l = − 3(k + l+m) до більш спрощеного вигляду: 5 l= 7к + 3м.

5. m≥ 0. Звідси випливає: 5 l≥ 7k, l> k. Виходить, що від'ємних чисел записано більше позитивних. Підставляємо замість k+ l+ m число 44 у рівність

4k −8l = − 3(k + l+ m).

4k − 8 l= −132, k = 2 l − 33

k + l≤ 44, тоді виходить: 3 l− 33 ≤ 44; 3l ≤ 77;l≤ 25; k = 2 l− 33 ≤17. Звідси дійшли висновку, що позитивних чисел трохи більше 17.

Якщо ж позитивних чисел всього 17, то на дошці 17 разів записано число 4, 25 разів – число −8 та 2 рази записано число 0. Такий набір відповідає всім вимогам завдання.

Відповідь: а) 44; б) негативних; в) 17.

Другий варіант 1 (з Ященка, №1)

На дошці написано 35 різних натуральних чисел, кожне з яких або парне або його десятковий запис закінчується на цифру 3. Сума написаних чисел дорівнює 1062.

а) Чи може бути на дошці рівно 27 парних чисел?

б) Чи можуть рівно два числа на дошці закінчуватись на 3?

в) Яка найменша кількість чисел, що закінчуються на 3, може бути на дошці?

Алгоритм рішення:

Наведемо приклад набору чисел, який відповідає умові (Це підтверджує можливість набору чисел).
Перевіряємо ймовірність другої умови.
Шукаємо відповідь третє питання, ввівши змінну n.
Записуємо відповіді.

Рішення:

1. Такий зразковий перелік чисел на дошці відповідає заданим умовам:

3,13,23,33,43,53,63,73,2,4,6,…,50,52,56

Це дає позитивну у відповідь питання а.

2. Нехай на дошці написано рівно два числа, які мають останню цифру 3. Тоді там записано 33 парних числа. Їхня сума:

Це суперечить тому, що сума написаних чисел дорівнює 1062, тобто ствердної відповіді на питання немає.

3. Вважаємо, що на дошці записано n чисел, які закінчуються на 3, та (35 – n) з виписаних парних. Тоді сума чисел, що закінчуються на 3, дорівнює

а сума парних:

2+4+…+2(35 – n)=(35 – n)(36 – n)= n 2 -71 n+1260.

Тоді з умови:

Вирішуємо нерівність, що вийшла:

Виходить що . Звідси, знаючи, що n – натуральне, отримуємо .

3. Найменша кількість чисел, що закінчуються на 3, може бути лише 5. І додано 30 парних чисел, тоді сума всіх чисел непарна. Значить, чисел, що закінчуються на 3, більше. ніж п'ять, оскільки сума за умовою дорівнює парному числу. Спробуємо взяти 6 чисел з останньою цифрою 3.

Наведемо приклад, коли 6 чисел закінчуються на три і 29 парних чисел. Сума їх дорівнює 1062. Виходить такий список:

3, 13, 23, 33, 43, 53, 2, 4, ..., 54, 56, 82.

Відповідь:а) так; б) ні; о 6.

Третій варіант (з Ященка, №4)

Маша та Наташа робили фотографії кілька днів поспіль. Першого дня Маша зробила m фотографій, а Наташа - n фотографій. Кожного наступного дня кожна з дівчаток робила на одну фотографію більше, ніж попереднього дня. Відомо, що Наташа за весь час зробила сумарно на 1173 фото більше, ніж Маша, і що фотографували вони більше одного дня.

а) Чи могли вони фотографувати протягом 17 днів?

б) Чи могли вони фотографувати протягом 18 днів?

в) Яку найбільшу сумарну кількість фотографій могла зробити Наташа за всі дні фотографування, якщо відомо, що в останній день Маша зробила менше 45 фотографій?

Алгоритм рішення:

Відповімо питанням а).
Знайдемо відповідь питання б).
Знайдемо сумарну кількість фотографій, зроблених Наталкою.
Запишемо відповідь.

Рішення:

1. Якщо Маша зробила м фотографій в 1-й день, то за 17 днів вона сфотографувала знімків.

Читалова Світлана Миколаївна
Посада:вчитель математики
Навчальний заклад:МБОУ ЗОШ №23 з поглибленим вивченням окремих предметів
Населений пункт:Нижегородська область, місто Дзержинськ
Найменування матеріалу:презентація
Тема:"Завдання №19. ЄДІ. Математика (базовий рівень)"
Дата публікації: 14.05.2016
Розділ:повна освіта

Завдання №19.

ЄДІ. Математика

(базовий рівень)

Читалова Світлана Миколаївна

вчитель математики,

МБОУ ЗОШ №23

з поглибленим вивченням окремих

предметів,

Характеристика завдання

Завдання №19 (1 бал) –

базовий рівень.

перетворення.

Завдання №19 (1 бал) –

базовий рівень.

Перевіряє вміння виконувати обчислення та

перетворення.

Час виконання завдання 16 хвилин.

У завданні запропоновано завдання на тему

«Дільність натуральних чисел».

Щоб вирішити таке завдання, треба знати

ознаки ділимості натуральних чисел,

властивості подільності чисел та інші відомості.

ділиться на 4.

ділиться на 11.

На 2: Число ділиться на 2 тоді і лише тоді, коли

воно закінчується парною цифрою.

На 3: Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді,

коли сума цифр ділиться на 3.

На 4: Число ділиться на 4 тоді і лише тоді, коли

число, утворене двома останніми цифрами,

ділиться на 4.

На 5: Число ділиться на 5 тоді і тільки тоді,

коли воно закінчується цифрою 0 чи 5.

На 8: Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли число, утворене його трьома

останніми цифрами ділиться на 8.

На 9: Число ділиться на 9 тоді, і тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 9.

На 10: Число ділиться на 10 і тоді, коли воно закінчується цифрою 0.

На 11: Число ділиться на 11 тоді і тільки тоді, коли різницю між сумою

цифр, що стоять на парних місцях, та сумою цифр, що стоять на непарних місцях,

ділиться на 11.

На 25: Число ділиться на 25 тоді і тільки тоді, коли число, утворене його двома

останніми цифрами ділиться на 25.

Ознаки подільності:

чисел

таких, що

а = q + r, де 0 ≤ r ≤ в.

Властивість ділимості: Якщо натуральне число ділиться на кожне з

двох взаємно простих чисел, воно ділиться з їхньої твір.

Визначення. Натуральні числа називають

взаємно простими, якщо їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Визначення. Найбільше натуральне число, на яке діляться без

залишку числа а і в називають найбільшим загальним дільником цих

чисел

Властивість ділимості: Якщо у сумі цілих чисел кожне доданок

ділиться на кілька, то сума ділиться цього число.

Теорема про поділ із залишком: Для будь-якого цілого числа а і

натурального числа існує єдина пара цілих чисел q і r

таких, що

а = q + r, де 0 ≤ r ≤ в.

Визначення. Середнім арифметичним кількох чисел називають

приватне від поділу суми цих чисел до числа доданків.

Теоретичні відомості:

але не поділяється на 9.

Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр

якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3,

але не поділяється на 9.

Завдання №1 (демо-версія 2016р)

на3 і ділиться на 9.

Рішення. Розкладемо число 20 на складові різними способами:

20= 9+9+2; 2) 20= 9+8+3; 3) 20=9+7+4;

20=9+6+5; 5) 20=8+8+4; 6) 20= 8+7+5

Знаходимо суму квадратів у кожному розкладанні та перевіряємо, чи ділиться вона

на3 і ділиться на 9.

1) 81+81+4 =166 не справ на3; 2) 81+64+9 =154 не справ на3;

3) 81+49+16 =146 не справ на3; 4) 81+36+25=142 не справ на3;

5) 64+64+16=144 справ на 3 та 9;

6) 64 + 49 + 25 = 138 справ на 3, але не справ на 9

Розкладання (6) задовольняє умову завдання. Таким чином, умові

Завдання задовольняє будь-яке число, записане цифрами 5,7,8.

Відповідь. 578, 587,758,785,857,875

Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр

але не поділяється на 4.

Наведіть приклад тризначного числа, сума цифр

якого дорівнює 24, а сума квадратів цифр ділиться на 2,

але не поділяється на 4.

Завдання №2

ділиться на 9.

9,9,6 та 9,8,7.

Рішення. Нехай авс - число, що шукається. Оскільки а+в+с=24,

то серед цифр а, в, або дві непарні, або жодної.

Якщо всі цифри а, в, парні, то сума їх квадратів ділиться на 4, а це суперечить

умови завдання, отже, серед цифр а, в, з двох непарних. Розкладемо число 24 на

доданки: 24 = 9 +9 +6, 24 = 9 +8 +7.

Знаходимо суму квадратів у кожному розкладанні і перевіряємо, чи вона ділиться на 3 і не

ділиться на 9.

81 +81 +36 = 198 справ на 2, але не справ на 4

81 + 64 + 49 = 194 справ на 2, але не справ на 4

Розкладання (1), (2) задовольняють умову завдання. Таким чином,

умові задачі задовольняє будь-яке число, записане цифрами

9,9,6 та 9,8,7.

Відповідь. 996, 969, 699, 987, 978, 897, 879, 798, 789

квадратів цифр ділиться 5

Наведіть приклад тризначного числа,

сума цифр якого дорівнює 22, а сума

квадратів цифр ділиться 5

Завдання №3

Відповідь. 589,598,985,958,895,859

праворуч.

Наведіть приклад тризначного натурального числа, більшого

600, яке при розподілі на 3, 4, на 5 дає в залишку 1 і

цифри якого розташовані в порядку зменшення ліворуч

праворуч.

У відповіді вкажіть одно таке число.

Завдання №4

перевіримо при к=10.

праворуч.

Відповідь. 721

Рішення. Нехай А - число, що шукається. Оскільки воно ділиться на 3,4,5, воно ділиться на

3х4х5= 60 і за розподілі дає залишок 1, отже А=60к+1. Оскільки А більше 600, то

перевіримо при к=10.

Якщо к=10, то А=601, цифри у тому числі не розташовані в порядку зменшення ліворуч

праворуч.

Якщо к=11, то А=661 цифри у тому числі не розташовані в порядку зменшення ліворуч

праворуч.

Якщо к=12, то А=721 цифри у тому числі розташовані в порядку зменшення ліворуч

праворуч, отже це число задовольняє умові завдання.

Відповідь. 721

Наведіть приклад тризначного натурального числа, яке при

розподілі на 7 і 5 дає рівні ненульові залишки, а перша зліва

цифра якого є середнім арифметичним двох інших цифр.

Якщо таких чисел кілька, у відповіді вкажіть найменше їх

Завдання №5

< r < 5.

виконано.

Рішення. Нехай А - число, що шукається. Оскільки воно ділиться на 7 і 5, воно ділиться на 7х5=

35 і при розподілі дають рівні ненульові залишки, отже, А= 35к+ r, де 0< r < 5.

Якщо к= 3, то А=106, 107, 108, 109 перша ліворуч цифра цих числах не дорівнює середньому

арифметичному двох інших цифр. Якщо перша цифра 1, то умова не буде

виконано.

Якщо к = 6, то А = 211, 212, 213, 214 перша ліворуч цифра в числі 213 дорівнює середньому

арифметичному двох інших цифр, це число задовольняє заданій умові

та є найменшим. Відповідь. 213

Наведіть приклад тризначного натурального числа, яке при

цифра якого є середнім арифметичним двох інших цифр.

Наведіть приклад тризначного натурального числа, яке при

розподілі на 9 і 10 дає рівні ненульові залишки, а перша зліва

цифра якого є середнім арифметичним двох інших цифр.

Якщо таких чисел кілька, у відповіді вкажіть найбільше їх

Завдання №6

Завдання №7

одне таке число.

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, яке

при розподілі на 6 і 5 дає рівні ненульові залишки, а

перша ліворуч цифра якого є середнім

арифметичним двох інших цифр. У відповіді вкажіть рівно

одне таке число.

Відповідь. 453

Відповідь. 546

чисел кілька, в

Наведіть приклад шестизначного натурального числа, яке

записується лише цифрами 2 та 3 і ділиться на 24. Якщо таких

чисел кілька, в

відповіді вкажіть найменше їх.

Завдання №8

Рішення.

Відповідь. 233232

Рішення.

Нехай А - число, що шукається. Тому що воно ділиться на

24= 3х8, воно ділиться на 3 і 8. Відповідно до ознакою ділимості на 8,

отримуємо, що останні три цифри 232. Ці цифри у сумі дають

Згідно з ознакою подільності на 3, сума перших трьох цифр може

становити 2 (не підходить), 5 (не підходить), 8 (комбінації цифр

3,3,2). Оскільки число має бути найменшим, то 233232

Відповідь. 233232

одне число, що вийшло.

Викресліть у числі 54263027 три цифри так, щоб

число, що вийшло, ділилося на 15. У відповіді вкажіть рівно

одне число, що вийшло.

Завдання №8

Рішення.

Нехай А - число, що шукається. Тому що воно ділиться на

числа дорівнює 5+4+2+6+3+0=20

Відповідь. 54630 чи 42630.

Рішення.

Нехай А - число, що шукається. Тому що воно ділиться на

15= 3х5, воно ділиться на 3 і 5. Відповідно до ознакою ділимості на 5,

отримуємо, що потрібно викреслити дві останні цифри, отримаємо число

542630. З цього числа треба викреслити 1 цифру. Сума цифр цього

числа дорівнює 5+4+2+6+3+0=20

Відповідно до ознаки ділимості на 3, треба викреслити 2 (сума цифр

буде18) або 5(сума цифр буде 15)

Відповідь. 54630 чи 42630.

Наведіть приклад шестизначного натурального числа, яке

записується лише цифрами

Наведіть приклад шестизначного натурального числа, яке

записується лише цифрами

2 та 4 і ділиться на 36. Якщо таких чисел декілька,

у відповіді вкажіть найбільше.

Завдання №9

Відповідь. 442224

Викресліть у числі 84537625 три цифри так, щоб

число, що вийшло, ділилося на 12. У відповіді вкажіть

рівно одне число, що вийшло.

Завдання №10

Відповідь. 84576

стер Коля?

На дошці було написано п'ятизначне число, що ділиться на

55 без залишку. Повз біг Коля, стер одну цифру, а

замість неї намалював *. Вийшло 404*0. Яку цифру

стер Коля?

Завдання №11

Рішення.

40400 = 55х734 +30, значить

10а +30 = 55к

Якщо до = 2, то 10а = 80, а = 8

а ≥ 13,5

(а -не є цифрою)

Відповідь. 8.

Рішення.

Нехай а – цифра, що шукається. Тоді число можна подати у вигляді:

404а0 = 40400 +10а. Оскільки залишок від розподілу 40400 на 55 дорівнює 30,

40400 = 55х734 +30, значить

404а0 = 40400 +10а = 55х734 +30 + 10а, тобто 40400 +10а ділиться націло на

55 у тому лише тому випадку, якщо 10а+30 ділиться націло на 55,т.е.

10а +30 = 55к

Якщо до = 1, то 10а = 25, а = 2,5 (не є цифрою)

Якщо до = 2, то 10а = 80, а = 8

Якщо к≥3, то 10а=55к ─30 буде не менше, ніж 135,

а ≥ 13,5

(а -не є цифрою)

Відповідь. 8.

яких сума цифр дорівнює 3?

Скільки існує трицифрових чисел, у

яких сума цифр дорівнює 3?

Завдання №12

Відповідь. 6.

Рішення. Нехай авс - число, що шукається. Оскільки а+в+с=3,

то простим перебором варіантів (розглядаючи

по черзі випадки а = 1, а = 2, а = 3), отримуємо числа

120,102,111,210,201,300, тобто їх кількість дорівнює 6.

Відповідь. 6.

стер Петя?

На дошці було написано п'ятизначне число, що ділиться

на 41без залишку. Повз біг Петя, стер одну цифру, а

замість неї намалював *. Вийшло 342*6. Яку цифру

стер Петя?

Завдання №13

Відповідь. 7

Завдання №14

цифр дорівнює 4?

Скільки існує трицифрових чисел, у яких сума

цифр дорівнює 4?

Відповідь. 10

Список літератури:

освіта, 2016р

Математика. Підготовка до ЄДІ 2016 року.

Базовий рівень./Д.А. Мальцев, А.А.

Мальцев, Л.І.Мальцева/- М: Народне

освіта, 2016р

2. Демо - версія 2016р (сайт ФІПД)

Сайт «Вирішу ЄДІ» Дмитра Гущина

Алгебра 8клас: підручник для учнів загальноосвітніх

організацій/Ю.Н.Макаричов та ін./- М: Мнемозіна,2015

Математика 5,6 клас: підручники для загальноосвітніх

установ / Н.Я.Віленкін та ін. / - М: Мнемозіна, 2015

Дякую за увагу!!!

Числа та їх властивості Базовий рівень Завдання №19

№1. Знайдіть найменше чотиризначне число, кратне 15, добуток цифр якого більший за 40, але менший за 50 Добуток цифр кратний 5, а значить дорівнює 45 Нехай число має вигляд abcd 40 Слайд 3

№2.Вичеркните в числі 123456 три цифри так, щоб тризначне число, що вийшло, було кратно 35 Викреслюємо цифру 6, цифру 5 залишаємо Т.к. число кратно 35, то кратно 5, закінчується або 0, або 5 Виконаємо підбір 35 · 3 = 105 35 · 5 = 175 35 · 7 = 245 Викреслимо цифри 1 і 3 3 х 1 0 х В 19 4 5 2

№3. Викресліть у числі 123456 три цифри так, щоб тризначне число, що вийшло, було кратно 27 Перевіримо яке з чисел 126 і 135 кратно 27 3 х 1 0 х В 11 5 3 1 Т.к. число кратно 27, то кратно 9, Сума цифр кратна 9 1+2+6=9 1+3+5=9 не кратно 27 135 кратно 27

№4. Знайдіть найменше трицифрове число. Яке при розподілі на 2 дає залишок 1, при розподілі на 3 дає залишок 2, а при розподілі на 5 дає залишок 4 і яке записано трьома різними непарними цифрами Будь-яке непарне число при розподілі на 2 дасть у залишку 1. Суми цифр 1+5+9=15, 5+7+9=21 виключаємо, як кратні 3 1+3+9 =13 13 – 2 =11 1+9+7 = 17 17-2=15 3+5+ 9=17 17-2=15 Група цифр 1,3,9 також виключається 1, 3,5 1,3,7 1, 3,9 1,5,7 1, 5,9 1,9,7 3, 5 ,9 3,5,7 5,7,9 Числа, які при розподілі на 5 дають у залишку 4, закінчуються або на 9 або на 4, але 4 - парне Розглянемо числа 179, 359, 719, 539 Найменше: 179 3 х 1 0 х В 19 7 9 1

№5. Знайдіть найбільше п'ятизначне число, яке записується тільки цифрами 0, 5 і 7 і ділиться на 120. Чимає число закінчується 0. . число кратне 3, отже сума цифр кратна 3 7+5+0+0+0 =12 кратно 3

№6. Знайдіть чотиризначне число, кратне 4 , сума цифр якого дорівнює їхньому твору. a , b , с і d Не може бути трьох одиниць, 1+1+1+ d = d –рівність неможлива Серед цифр a , b , с і d немає нулів інакше добуток дорівнює 0 Серед цифр a , b , с та d Не може бути лише одна одиниця, 1+ b + c + d = b·c·d -рівність неможлива

Розглянемо двоцифрові числа кратні 4: 12; 16; 24 №6Знайдіть чотиризначне число, кратне 4, сума цифр якого дорівнює їх твору Серед цифр a , b , с і d дві одиниці 1+с+1+2=1 ·с·1·2 З 1 рівності с+4=2с , означає с = 4 1 + с +1 +6 = 1 · с · 1 · 6 1 +1 +2 +4 = 1 · 1 · 2 · 4 З 2 рівності з +8 = 6с, с - дробове, чого бути не може 3-я рівність вірна Шукані числа: 4112, 1412, 1124

Наведіть приклад шестизначного натурального числа, яке записується тільки цифрами 1 і 2 і ділиться на 72. У відповіді вкажіть одне таке число. Число кратне 72, значить кратно 9 і кратно 4 і 8 Сума цифр кратна 9, значить у записі повинні бути три двійки та три одиниці, т.к. 1+1+1+2+2+2=9 кратно 9 Число із двох останніх цифр ділиться на 4 , значить це 12 Число із трьох останніх цифр ділиться на 8 , значить це 112 122112 – одне з чисел 3 х 1 0 х В 19 2 2 1 1 2 1

Цифри чотиризначного числа, кратного 5, записали у зворотному порядку та отримали друге чотиризначне число. Потім від першого числа відняли друге і отримали 2457. Наведіть приклад такого числа. Нехай а bcd - dcba = 2457 3 х 1 0 х 19 4 0 8 5 d = 0 або d = 5, т.к. число кратно 5 d = 0 - не підходить, інакше друге число тризначне а bc 5 - 5 cba = 2457 а = 8 8 bc 5 - 5 cb 8 = 2457 с = 0; b =4

Викресліть у числі 53164018 три цифри так, щоб число, що вийшло, ділилося на 15. У відповіді вкажіть рівно одне число, що вийшло. Т.к. число кратно 15, то кратно 5 і 3, отже качається або 5, або 0, і сума цифр кратна 3 Викреслимо останні дві цифри, тоді число закінчується цифрою 0 5+3+1+6++4+0= 19 . Можна викреслити або 1, або 4 3 х 1 0 х 19 3 0 4 0 5 6

На дошці написано 30 різних натуральних чисел, кожне з яких або парне або його десятковий запис закінчується на цифру 7. Сума написаних чисел дорівнює 810.

А) Чи може на дошці бути рівно 24 парних числа?

Числова послідовність задана формулою загального члена: a_(n) = 1/(n^2+n)

A) Знайдіть найменше значення n, при якому a_(n)< 1/2017.

Б) Знайдіть найменше значення n, у якому сума n перших членів цієї послідовності буде більше, ніж 0,99.

B) Чи існують у цій послідовності члени, які утворюють арифметичну прогресію?

А) Нехай добуток восьми різних натуральних чисел дорівнює А, а добуток цих же чисел, збільшених на 1, дорівнює В. Знайдіть найбільше значення B/A.

Б) Нехай добуток восьми натуральних чисел (не обов'язково різних) дорівнює А, а добуток цих же чисел, збільшених на 1, дорівнює В. Чи може значення виразу дорівнювати 210?

В) Нехай добуток восьми натуральних чисел (не обов'язково різних) дорівнює А, а добуток цих же чисел, збільшених на 1, дорівнює В. Чи може значення виразу B/A дорівнювати 63?

З натуральним числом роблять наступну операцію: між кожними двома його сусідніми цифрами записують суму цих цифр (наприклад, з числа 1923 виходить число 110911253).

А) Наведіть приклад числа, з якого виходить 4106137125

Б) Чи може з якогось числа вийти число 27593118?

В) Яке найбільше число, кратне 9, може вийти з тризначного числа, у десятковому записі якого немає дев'яток?

У групі 32 студенти. Кожен з них пише або одну або дві контрольні роботи, за кожну з яких можна отримати від 0 до 20 балів включно. Причому, кожна з двох контрольних робіт окремо дає в середньому 14 балів. Далі, кожен із студентів назвав свій найвищий бал (якщо писав одну роботу, то називав за неї), з цих балів знаходили середнє арифметичне і воно дорівнює S.

< 14.
Б) Чи могло бути таке, що 28 осіб пише дві контрольні та S=11?
В) Яка максимальна кількість студентів могла написати дві контрольні роботи, якщо S = 11?

На дошці написано 100 різних натуральних чисел, сума яких дорівнює 5130

А) Чи може виявитись, що на дошці написано число 240?

Б) Чи може виявитися, що на дошці немає 16?

В) Яка найменша кількість чисел, кратних 16, може бути на дошці?

А) Чи може на дошці бути рівно 24 парних числа?

Б) Чи можуть рівно два числа на дошці закінчуватись на 7?

В) Яка найменша кількість чисел, що закінчуються на 7, може бути на дошці?

Кожен із 32 студентів або писав одну з двох контрольних робіт, або писав обидві контрольні роботи. За кожну роботу можна було одержати цілу кількість балів від 0 до 20 включно. По кожній із двох контрольних робіт окремо середній бал становив 14. Потім кожен студент назвав найвищий зі своїх балів (якщо студент писав одну роботу, то він назвав бал за неї). Середнє арифметичне названих балів дорівнювало S.

А) Наведіть приклад, коли S< 14

Б) Чи могло значення S дорівнювати 17?

В) Яке найменше значення могло набувати S, якщо обидві контрольні роботи писали 12 студентів?

19) На дошці написано 30 чисел. Кожне їх або парне чи десятковий запис числа закінчується на 3. Їх сума дорівнює 793.

А) чи може на дошці бути рівно 23 парних числа;
б) чи може лише одне із чисел закінчуватися на 3;
в) яка найменша кількість з цих чисел може закінчуватися на 3?

На дошці написано кілька різних натуральних чисел, добуток будь-яких двох із яких більше 40 і менше 100.

А) Чи може на дошці бути 5 чисел?

Б) Чи може бути на дошці 6 чисел?

В) Яке найбільше значення може набувати сума чисел на дошці, якщо їх чотири?

Задано числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Чи можна розбити ці числа на три групи так, щоб

A) у кожній групі сума чисел ділилася на 3.
б) у кожному групі сума чисел ділилася на 10.
в) сума чисел у одній групі ділилася на 102, сума чисел у іншій групі ділилася на 203, а сума чисел у третій групі ділилася на 304?

a) Знайти натуральне число n таке, щоб сума 1+2+3+...+n дорівнювала тризначному числу, всі цифри якого однакові.

Б) Сума чотирьох чисел, що становлять арифметичну прогресію, дорівнює 1, а сума кубів цих чисел дорівнює 0,1. Знайти ці цифри.

А) Чи можна числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 розбити на дві групи з однаковим добутком чисел у цих групах?

Б) Чи можна числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 розбити на дві групи з однаковим добутком чисел у цих групах?

В) Яку найменшу кількість чисел потрібно виключити з набору 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, щоб цифри, що залишилися, можна було розбити на дві групи з однаковим добутком чисел у цих групах? Наведіть приклад такого розбиття на групи.

Даний картатий квадрат розміром 6х6.

А) Чи можна цей квадрат розрізати на десять попарно різних картатих багатокутників?
Б) Чи можна цей квадрат розрізати на одинадцять попарно різних багатокутників?
Б) На яке найбільше попарно різних клітинних прямокутників можна розрізати цей квадрат?

У кожній клітині таблиці розміром 3 x 3 записано числа від 1 до 9 (рис.). За один хід дозволяється до двох сусідніх чисел (клітини
мають загальну сторону) додати те саме ціле число.

А) Чи можна таким чином одержати таблицю, у всіх клітинах якої будуть однакові числа?

Б) Чи можна таким чином отримати таблицю, складену з однієї одиниці (у центрі) та восьми нулів?

В) Після кількох ходів у таблиці опинилися вісім нулів і якесь число N, відмінне від нуля. Знайдіть усі можливі N.

А) Кожна точка площини забарвлена в один із двох кольорів. Чи обов'язково знайдуться на площині дві точки одного кольору, віддалені один від одного рівно на 1 м?

Б) Кожна точка прямої забарвлена в один із 10 кольорів. Чи обов'язково на прямій знайдуться дві точки одного кольору, віддалені одна від одної на ціле число метрів?

В) Яку найбільшу кількість вершин куба можна пофарбувати у синій колір так, щоб серед синіх вершин не можна було вибрати три, що утворюють рівносторонній трикутник?

Про натуральне п'ятизначне число N відомо, що воно ділиться на 12 і сума його цифр ділиться на 12.

A) Чи можуть усі п'ять цифр у записі числа N бути різними?
Б) Знайдіть найменше можливе число N;
B) Знайдіть найбільше можливе число N;
Г) Яка найбільша кількість однакових цифр може міститись у записі числа N? Скільки всього таких чисел N (що містять у своєму записі найбільшу кількість однакових цифр)?

Є п'ять паличок із довжинами 2, 3, 4, 5, 6.

А) Чи можна, використовуючи всі палички, складе рівнобедрений трикутник?

Б) Чи можна, використовуючи всі палички, скласти прямокутний трикутник?

В) Яку найменшу площу можна скласти трикутник, використовуючи всі палички? (Розламувати, палички не можна)

Три різні натуральні числа є довжинами сторін деякого тупокутного трикутника.

А) Чи може відношення більшого з цих чисел до меншого з них дорівнювати 3/2?

Б) Чи може відношення більшого з цих чисел до меншого з них дорівнювати 5/4?

В) Яке найменше значення може набувати відношення більшого з цих чисел до меншого з них, якщо відомо, що середнє за величиною число дорівнює 18?

Кінцева послідовність a1,a2,...,a_(n) складається з n більше або дорівнює 3 не обов'язково різних натуральних чисел, причому при всіх натуральних k менше або дорівнює n-2 виконано рівність a_(k+2) = 2a_(k +1)-a_(k)-1.

А) Наведіть приклад такої послідовності за n = 5, в якій a_(5) = 4.

Б) Чи може у такій послідовності деяке натуральне число зустрітися тричі?

В) За якого найбільшого n така послідовність може складатися тільки з тризначних чисел?

Цілі числа x, у та z у вказаному порядку утворюють геометричну прогресію.

A) Чи можуть числа x+3, у^2 та z+5 утворювати в зазначеному порядку арифметичну прогресію?

Б) Чи можуть числа 5x, у та 3z утворювати в зазначеному порядку арифметичну прогресію?

B) Знайдіть усі x, у та z, при яких числа 5x+3, у^2 та 3z+5 утворюватимуть у зазначеному порядку арифметичну прогресію.

На дошці записані два натуральні числа: 672 і 560. За один хід дозволяється будь-яке з цих чисел замінити модулем їх різниці або зменшити вдвічі (якщо число парне).

А) Чи може через кілька ходів на дошці виявитися два однакові числа?

Б) Чи може за кілька ходів на дошці виявитися число 2?

В) Знайдіть найменше натуральне число, яке може бути на дошці в результаті виконання таких ходів.

У шахи можна виграти, програти чи зіграти внічию. Шахіст записує результат кожної зіграної ним партії і після кожної партії підраховує три показники: «перемоги» - відсоток перемог, заокруглений до цілого, «нічиї» - відсоток нічиїх, заокруглений до цілого, і «ураження», рівні різниці 100 та суми показників «перемог» » та «нічиїх». (Наприклад, число 13,2 округляється до 13, число 14,5 округляється до 15, число 16,8 округляється до 17).
а) Чи може у якийсь момент показник «перемог» дорівнювати 17, якщо було зіграно менше 50 партій?
б) Чи може після виграної партії збільшиться показник поразок?
в) Одна із партій була програна. За якої найменшої кількості зіграних партій показник «поразок» може дорівнювати 1?

Нехай q – найменше загальне кратне, а d – найбільший загальний дільник натуральних чисел x та y, що задовольняють рівність 3x=8y–29.

У роті два взводи, у першому взводі солдатів менше, ніж у другому, але більше, ніж 50, а разом солдатів менше, ніж 120. Командир знає, що роту можна побудувати по кілька чоловік у ряд так, що в кожному ряду буде однакове число солдатів, більше 7, і при цьому в жодному ряду не буде солдатів із двох різних взводів.

А) Скільки солдатів у першому взводі і скільки у другому? Наведіть хоча б один приклад.

Б) Чи можна побудувати роту вказаним способом по 11 солдатів у одному ряду?

В) Скільки у роті може бути солдат?

Нехай q - найменша загальна кратна, а d - найбільший загальний дільник натуральних чисел x і y, що задовольняють рівність 3x = 8y-29.

А) Чи може q/d - дорівнювати 170?

Б) Чи може q/d - дорівнювати 2?

В) Знайдіть найменше значення q/d

Визначте, чи мають спільні члени дві послідовності

A) 3; 16; 29; 42;... та 2; 19; 36; 53;...

Б) 5; 16; 27; 38;... та 8; 19; 30; 41;...

B) Визначте, яка найбільша кількість спільних членів може мати дві арифметичні прогресії 1; ...; 1000 та 9; ...; 999, якщо відомо, що кожна з них різниця є цілим числом, відмінним від 1.

А) Чи можна число 2016 подати у вигляді суми семи послідовних натуральних чисел?

A) Чи можна число 2016 подати у вигляді суми шести послідовних натуральних чисел?

B) Подайте число 2016 у вигляді суми найбільшої кількості послідовних парних натуральних чисел.

Багато чисел назвемо хорошим, якщо його можна розбити на два підмножини з однаковою сумою чисел.

А) Чи є множини (200; 201; 202; ...; 299) хорошим?

Б) Чи є безліч (2; 4; 8; ...; 2 ^ (100)) хорошим?

В) Скільки хороших чотириелементних підмножин у множини (1; 2; 4; 5; 7; 9; 11)?

В результаті опитування з'ясувалося, що приблизно 58% опитаних віддають перевагу штучній ялинці натуральній (число 58 отримано за допомогою округлення до цілого числа). З цього ж опитування було, що приблизно 42% респондентів ніколи не відзначали Новий рік не вдома.

А) Чи могло в опитуванні брати участь рівно 40 осіб?
б) Чи могло в опитуванні брати участь рівно 48 осіб?
в) Яка найменша кількість людей могла брати участь у цьому опитуванні?

Ваня грає у гру. На початку гри на дошці написано два різні натуральні числа від 1 до 9999. За один хід гри Ваня повинен вирішити квадратне рівняння x^2-px+q=0, де p і q - взяті в обраному Ванею порядку два числа, написані на початок цього ходу на дошці, і, якщо це рівняння має два різних натуральних кореня, замінити два числа на дошці на це коріння. Якщо ж це рівняння не має двох різних натуральних коренів, Ваня не може зробити хід і гра припиняється.

А) Чи існують такі два числа, починаючи грати з якими Ваня зможе зробити не менше двох ходів?
б) Чи існують такі два числа, починаючи грати з якими Ваня зможе зробити десять ходів?
в) Яке найбільше число ходів може зробити Ваня за цих умов?

На дошці було написано 30 натуральних чисел (необов'язково різних), кожне з яких більше 14, але не перевищує 54. Середнє арифметичне написаних чисел дорівнювало 18. Замість кожного з чисел на дошці написали число, удвічі менше за початкове. Числа, які після цього виявилися меншими за 8, з дошки стерли.

Будемо називати чотиризначне число дуже щасливим, якщо всі цифри в його десятковому записі різні, а сума перших двох із цих цифр дорівнює сумі останніх двох із них. Наприклад, дуже щасливим є число 3140.
а) Чи є десять послідовних чотиризначних чисел, серед яких є два дуже щасливі?
б) Чи може різниця двох дуже щасливих чотиризначних чисел дорівнювати 2015?
в) Знайдіть найменше натуральне число, для якого не існує кратного йому дуже щасливого чотиризначного числа.

Учні якоїсь школи написали тест. Учень за цей тест міг отримати цілу невід'ємну кількість балів. Вважається, що учень здав тест, якщо набрав щонайменше 50 балів. Щоб результати покращилися, кожному учаснику тестування додали по 5 балів, тому кількість тих, хто здав тест, збільшилася.

А) Чи міг після цього знизитися середній бал учасників, які не склали тест?

Б) Чи міг після цього знизитися середній бал учасників, які не склали тест, і при цьому середній бал учасників, які склали тест, також знизитися?

В) Нехай спочатку середній бал учасників, які склали тест, становив 60 балів, які не склали тест - 40 балів, а середній бал усіх учасників становив 50 балів. Після додавання балів середній бал учасників, які здали тест, дорівнював 63 балам, а не здали тест - 43. При якому найменшому числі учасників можлива така ситуація?

Про три різні натуральні числа відомо, що вони є довжинами сторін деякого тупокутного трикутника.

А) Чи могло відношення більшого з цих чисел до меншого з них дорівнювати 13/7?

Б) Чи могло відношення більшого з цих чисел до меншого з них дорівнювати 8/7?

В) Яке найменше значення може набувати відношення більшого з цих чисел до меншого з них, якщо відомо, що середнє за величиною з цих чисел дорівнює 25?

У турнірі з шахів беруть участь хлопчики та дівчатка. За перемогу у шахівниці нараховують 1 очко, за нічию - 0,5 очка, за програш - 0 очок. За правилами турніру кожен учасник грає з кожним іншим двічі.

А) Якою є найбільша кількість очок, яку в сумі могли набрати дівчатка, якщо в турнірі беруть участь п'ять хлопчиків та три дівчинки?

Б) Яка сума набраних усіма учасниками очок, якщо загалом учасників дев'ять?

В) Скільки дівчаток могло брати участь у турнірі, якщо відомо, що їх у 9 разів менше, ніж хлопчиків, і що хлопчики набрали у сумі рівно вчетверо більше очок, ніж дівчатка?

Дана арифметична прогресія (з різницею, яка відрізняється від нуля), складена з натуральних чисел, десятковий запис яких не містить цифри 9.

А) Чи може у такій прогресії бути 10 членів?
б) Доведіть, що її членів менше 100.
в) Доведіть, що кількість членів будь-якої такої прогресії не більше 72.
г) Наведіть приклад такої прогресії із 72 членами.

Червоний олівець коштує 18 рублів, синій – 14 рублів. Потрібно купити олівці, маючи всього 499 рублів і дотримуючись додаткової умови: кількість синіх олівців не повинна відрізнятися від числа червоних олівців більше ніж на шість.

А) Чи можна купити 30 олівців?

Б) Чи можна купити 33 олівці?

В) Яке найбільше олівців можна купити?

Відомо, що a, b, c, і d - попарно різні двоцифрові числа.
а) Чи може виконуватись рівність (a+c)/(b+d)=7/19
б) Чи може дріб (a+c)/(b+d) бути в 11 разів меншим, ніж сума (a/c)+(b/d)
в) Яке найменше значення може приймати дріб(a+c)/(b+d) якщо a>3b та c>6d

Відомо, що a, b, c і d - попарно різні двоцифрові числа.

А) Чи може виконуватись рівність (3a+2c)/(b+d) = 12/19

Б) Чи може дріб (3a+2c)/(b+d) бути в 11 разів меншим, ніж сума 3a/b + 2c/d

В) Яке найменше значення може приймати дріб (3a+2c)/(b+d), якщо a>3b та c>2d?

Натуральні числа a, b, c та d задовольняють умові a>b>c>d.

А) Знайдіть числа a, b, c і d, якщо a+b+c+d=15 та a2−b2+c2−d2=19.

Б) Чи може бути a+b+c+d=23 та a2−b2+c2−d2=23?

В) Нехай a+b+c+d=1200 та a2−b2+c2−d2=1200. Знайдіть кількість можливих значень числа a.

Учні однієї школи писали тест. Результатом кожного учня є ціла невід'ємна кількість балів. Учень вважається таким, що здав тест, якщо набрав не менше 85 балів. Через те, що завдання виявилися надто важкими, було прийнято рішення всім учасникам тесту додати по 7 балів, завдяки чому кількість тих, хто здав тест, збільшилася.
а) Чи могло виявитися так, що після цього середній бал учасників, які не склали тест, знизився?
б) Чи могло виявитися так, що після цього середній бал учасників, які здали тест, знизився, і середній бал учасників, які не склали тест, також знизився?
в) Відомо, що спочатку середній бал учасників тесту становив 85, середній бал учасників, які не склали тест, становив 70. Після додавання балів середній бал учасників, які здали тест, дорівнював 100, а не здали тест - 72. При якому найменшій кількості учасників можлива така ситуація?

Три числа назвемо гарною трійкою, якщо можуть бути довжинами сторін трикутника.
Три числа назвемо чудовою трійкою, якщо вони можуть бути довжинами сторін прямокутного трикутника.
а) Дано 8 різних натуральних чисел. Чи може бути. що серед них не знайдеться жодної гарної трійки?
б) Дано 4 різних натуральних числа. Чи може виявитися, що серед них можна знайти три відмінні трійки?
в) Дано 12 різних чисел (необов'язково натуральних). Яка найбільша кількість відмінних трійок могла бути серед них?

У кількох однакових бочках налито кілька літрів води (необов'язково однакове). За один раз можна перелити будь-яку кількість води з однієї бочки до іншої.
а) Нехай є чотири бочки, у яких 29, 32, 40, 91 літрів. Чи можна не більше ніж за чотири переливання зрівняти кількість води у бочках?
б) Шлях є сім бочок. Чи завжди можна зрівняти кількість води у всіх бочках не більше ніж за п'ять переливань?
в) За яку найменшу кількість переливань можна свідомо зрівняти кількість води у 26 бочках?

На дошці написано 30 натуральних чисел (не обов'язково різних), кожне з яких більше 4, але не перевищує 44. Середнє арифметичне написаних чисел дорівнювало 11. Замість кожного з чисел на дошці написали число, удвічі менше від первісного. Числа, які після цього виявилися меншими за 3, з дошки стерли.
а) Чи могло виявитися так, що середнє арифметичне чисел, що залишилися на дошці, більше 16?
б) Чи могло середнє арифметичне чисел, що залишилися на дошці, виявитися більше 14, але менше 15?
в) Знайдіть найбільше значення середнього арифметичного чисел, які залишилися на дошці.

В одному із завдань на конкурсі бухгалтерів потрібно видати премії співробітникам деякого відділу на загальну суму 800 000 рублів (розмір премії кожного співробітника – ціле число, кратне 1000). Бухгалтеру дають розподіл премій, і він повинен їх видати без здавання та розміну, маючи 25 купюр по 1000 рублів та 110 купюр по 5000 рублів.
а) Чи вдасться виконати завдання, якщо у відділі 40 співробітників і всі мають отримати порівну?
б) Чи вдасться виконати завдання, якщо провідному спеціалісту треба видати 80 000 рублів, а решту поділити порівну на 80 співробітників?
в) При якій найбільшій кількості працівників у відділі завдання вдасться виконати за будь-якого розподілу розмірів премій?

На дошці написано число 2045 і ще кілька (не менше двох) натуральних чисел, що не перевищують 5000. Усі написані на дошці числа є різними. Сума будь-яких двох із написаних чисел ділиться на якесь із інших.
а) Чи може бути написано на дошці рівно 1024 числа?
б) Чи може бути написано на дошці рівно п'ять чисел?
в) Яка найменша кількість чисел може бути написана на дошці?

На дошці написали кілька необов'язково різних двоцифрових натуральних чисел без нулів у десятковому записі. Сума цих чисел дорівнювала 2970. У кожному числі поміняли місцями першу і другу цифри (наприклад, число 16 замінили на 61)
а) Наведіть приклад вихідних чисел, для яких сума чисел, що виходять, рівно в 3 рази менше, ніж сума вихідних чисел.
б) Чи могла сума отриманих чисел бути рівно в 5 разів меншою, ніж сума вихідних чисел?
в) Знайдіть найменше можливе значення суми чисел, що виходять.

Зростаюча кінцева арифметична прогресія складається з різних цілих невід'ємних чисел. Математик обчислив різницю між квадратом суми всіх членів прогресії та сумою їх квадратів. Потім математик додав до цієї прогресії наступний її член і знову обчислив таку саму різницю.
А) Наведіть приклад такої прогресії, якщо вдруге різниця виявилася на 48 більшою, ніж уперше.
Б) Вдруге різниця виявилася на 1440 більше, ніж уперше. Чи могла прогрессія спочатку складатися із 12 членів?
В) Вдруге різниця виявилася на 1440 більше, ніж уперше. Яка найбільша кількість членів могла бути в прогресії спочатку?

По колу в деякому порядку по одному разу написано числа від 9 до 18. Для кожної з десяти пар сусідніх чисел знайшли їх спільний дільник.
а) Чи могло вийти так, що всі найбільші спільні дільники дорівнюють 1? а) На дошці виписано набір -8, -5, -4, -3, -1, 1, 4. Які числа були задумані?
б) Для деяких різних задуманих чисел у наборі, виписаному на дошці, число 0 зустрічається 2 рази.
Яка найменша кількість чисел могла бути задумана?
в) Для деяких задуманих чисел на дошці виписано набір. Чи завжди з цього набору можна однозначно визначити задумані числа?

Задумано кілька (необов'язково різних) натуральних чисел. Ці числа та їх усі можливі суми (по 2, по 3 і т.д.) виписують на дошку в порядку невтрати. Якщо якесь число n, виписане на дошку, повторюється кілька разів, то на дошці залишається одне таке число n, а інші числа, що дорівнюють n, стираються. Наприклад, якщо задумані числа 1, 3, 3, 4, то на дошці буде записано набір 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Наведіть приклад задуманих чисел, котрим на дошці буде записано набір 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Чи існує приклад таких задуманих чисел, для яких на дошці буде записано набір 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Наведіть усі приклади задуманих чисел, для яких на дошці буде записано набір 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Є кам'яні брили: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1000 кг і 60 штук по 1500 кг (розколювати брили не можна).
а) Чи можна відвезти всі ці брили одночасно на 60 вантажівках, вантажопідйомністю 5 тонн кожен, припускаючи, що у вантажівку обрані брили помістяться?
б) Чи можна відвезти всі ці брили одночасно на 38 вантажівках, вантажопідйомністю 5 тонн кожен, припускаючи, що у вантажівку обрані брили помістяться?
в) Яка найменша кількість вантажівок, вантажопідйомністю 5 тонн кожна, знадобиться, щоб вивезти всі ці брили одночасно, припускаючи, що у вантажівку обрані брили помістяться?

Дано n різних натуральних чисел, що становлять арифметичну прогресію (n більше або дорівнює 3).

А) Чи може сума всіх цих чисел дорівнювати 18?

Б) Яке найбільше значення n, якщо сума всіх цих чисел менша за 800?

В) Знайдіть усі можливі значення n, якщо сума всіх даних чисел дорівнює 111?

А) Наведіть приклад задуманих чисел, котрим на дошці буде записано набір 2, 4, 6, 8, 10.

Картки перевертають і перемішують. На їхніх чистих сторонах наново пишуть по одному з чисел:

11, 12, 13, -14, -15, 17, -18, 19.
Після цього числа на кожній картці складають, а одержані вісім сум перемножують.

А) Чи може в результаті вийти 0?

Б) Чи може в результаті вийти 117?

В) Яке найменше ціле невід'ємне число може в результаті вийти?

Задумано кілька цілих чисел. Набір цих чисел та їх усі можливі суми (по 2, по 3 і т. д.) виписують на дошку в порядку невтрати. Наприклад, якщо задумані числа 2, 3, 5, то дошці буде виписаний набір 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

А) На дошці виписано набір -11, -7, -5, -4, -1, 2, 6. Які числа були задумані?
б) Для деяких різних задуманих чисел у наборі, виписаному на дошці, число 0 зустрічається 4 рази. Яка найменша кількість чисел могла бути задумана? а) Скільки чисел написано на дошці?
б) Яких чисел написано більше: позитивних чи негативних?
в) Яка найбільша кількість позитивних чисел може бути серед них?

Завдання №19 ЄДІ з математики дуже незвичайне. Для його вирішення необхідно застосувати знання з теорії чисел. Тим не менш, завдання є дуже вирішальним, проте для школярів з оцінкою добре і нижче я рекомендував би залишити це завдання на останню чергу. Перейдемо до розгляду типового варіанта.

Розбір типових варіантів завдань №19 ЄДІ з математики базового рівня

Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)

Знайдіть тризначне число, сума цифр якого дорівнює 20, а сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. У відповіді вкажіть якесь воно таке число.

Алгоритм виконання:

Ввести умовні позначення.
Записати умови за допомогою умовних позначень.
Перетворити отримані вирази.
Логічно міркуючи перебрати всі можливі варіанти, перевірити їхню відповідність умовам.

Рішення:

Позначимо першу цифру числа x, а другу – y. Тоді третє число з урахуванням суми цифр, що дорівнює 20, буде дорівнює 20 – (x + y). (x + y) обов'язково менше 10, інакше сума, що дорівнює 20, не вийде.

За умовою сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9. Запишемо суму квадратів цифр:

x 2 + y 2 + (20 – (x + y)) 2

Перетворимо отриманий вираз. Перетворимо квадрат різниці з урахуванням формули наведення.

Квадрат різниці двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів мінус подвоєний добуток першого і другого виразів.

(20 - (x + y)) 2 = 400 -40 (x + y) + (x + y) 2

Підставимо вираз у початкове, отримаємо:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2

Квадрат суми двох виразів дорівнює сумі квадратів цих виразів плюс подвоєний добуток першого і другого виразів.

(x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Підставимо:

x 2 + y 2 + (20 - (x + y)) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2

Наведемо подібні доданки (складемо x 2 з x 2 і y 2 з y 2), отримаємо:

x 2 + y 2 + 400 - 40 (x + y) + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20 (x + y) + 2xy

Винесемо множник 2 за дужку:

2x 2 + 2y 2 + 2 · 200 - 2 · 20(x + y) + 2xy = 2(x 2 + y 2 + 200 - 20(x + y) + xy)

Для зручності об'єднаємо 200 та 20(x + y) та винесемо 20 за дужку, отримаємо:

2(x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy)

Множник 2 – парний, тому він ніяк не впливає на подільність на 3 або 9. Можемо його не брати до уваги та розглядати вираз:

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy

Припустимо, що і x, і y поділяються на 3. Тоді x 2 + y 2 + xy ділиться на 3, а 20 (10 - (x + y)) - Не ділиться. Отже, і вся сума x 2 + y 2 + 20 (10 – (x + y)) + xy на 3 не ділиться.

Припустимо, що у 3 ділиться лише одна цифра. Тоді, враховуючи, що (x + y) обов'язково менше 10, інакше сума, що дорівнює 20, не вийде, підберемо можливі пари.

(3;8), (6;5), (6;7), (6;8), (9;2), (9;4), (9;5), (9;7), (9;8).

Методом підстановки перевіримо, чи відповідають ці пари умові.

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 3 2 + 8 2 + 20(10 - (3 + 8)) + 3 · 8 = 9 + 64 - 20 + 24 = 77

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 5 2 + 20(10 - (6 + 5)) + 6 · 5 = 36 + 25 - 20 + 30 = 71

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 7 2 + 20(10 - (6 + 7)) + 6 · 7 = 36 + 49 - 60 + 42 = 67

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 6 2 + 8 2 + 20(10 - (6 + 8)) + 6 · 8 = 36 + 64 - 80 + 48 = 68

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 2 2 + 20(10 - (9 + 2)) + 9 · 2 = 81 + 4 - 20 + 18 = 83

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 9 2 + 4 2 + 20 (10 - (9 + 4)) + 9 · 4 = 81 + 16 - 60 + 36 = 73

Жодна з отриманих сум не задовольняє умову "сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9".

Наступні пари можна не перевіряти, тому що вони дають вже наявні трійки цифр.

Припустимо, що жодна з цифр числа не поділяється на 3.

Можливі пари:

(4;7), (5;7), (5;8), (7;8).

Перевіримо:

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 4 2 + 7 2 + 20(10 - (4 + 7)) + 4 · 7 = 16 + 49 - 20 + 28 = 73

x 2 + y 2 + 20(10 - (x + y)) + xy = 5 2 + 7 2 + 20(10 - (5 + 7)) + 5 · 7 = 25 + 49 - 40 + 35 = 69

Сума 69 відповідає умові «сума квадратів цифр ділиться на 3, але не ділиться на 9». Отже, підходять цифри 5,7,8 у порядку.

Другий варіант завдання

На 6 картках написано цифри 1; 2; 3; 6; 9; 9 (по одній цифрі на кожній картці). У виразі □ + □□ + □□□ замість кожного квадратика поклали картку з набору. Виявилось, що отримана сума поділяється на 10. Знайдіть цю суму. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання:

Згадати ознаку ділимості на 10.

Рішення:

1. Якщо сума ділиться на 10 націло, то остання цифра має бути 0, решта цифр не має значення.

2. У перший квадрат помістимо цифру 1, наступного на останньому місці – цифру 3 (чи 6), а третьому – цифру 6 (чи 3), отримаємо (сума 1+3+6=10):

3. Інші цифри заповнимо довільно, наприклад, так:

і вийде сума

1+23+996 = 1020.

Відповідь: 1020

Третій варіант завдання

На 6 картках написано цифри 1; 2; 2; 3; 5; 7 (по одній цифрі на кожній картці). У виразі □ + □□ + □□□ замість кожного квадратика поклали картку з набору. Виявилось, що отримана сума поділяється на 20. Знайдіть цю суму. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання:

Згадати ознаку ділимості на 10 і сформулювати ознаку ділимості на 20.
Розмістити останні цифри кожного доданка таким чином, щоб у сумі вийшло 10.
Розмістити передостанні цифри кожного доданка таким чином, щоб у сумі вийшло парне число в результаті з урахуванням суми перших цифр.
Розташувати картки, що залишилися, в довільному порядку.

Рішення:

1. Щоб сума ділилася на 20, вона має закінчуватися на 0 і друга цифра з кінця має бути парною (ділитися на 2). Щоб наприкінці суми отримати 0, перші три картки слід вибрати так:

2. Щоб другу цифру отримати парною, можна взяти картки 2 та 7 (до неї додаватиметься ще 1 від першої суми 10):

3. В останнє місце поміщаємо цифру 1, що залишилася, в результаті маємо:

і сума дорівнює:

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (1)

Знайдіть чотиризначне число, кратне 15, добуток цифр якого більший за 0, але менший за 25. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Якщо добуток >0, то, отже, він не дорівнює нулю. Отже, жоден з множників не може дорівнювати 0.
Якщо добуток кратний 15, отже, він кратний 5 і кратний 3.
Якщо добуток кратно 5, результат його має закінчуватися 0 чи 5. У разі беремо 5, т.к. 0 не може бути одним із множників (див.п.1).
Отже, остання цифра числа дорівнює 5. Тоді добуток перших трьох дорівнює 25:5 = 5. Це означає, що потрібно подобати 3 цифри так, щоб їхній твір був меншим за 5.
З усіх отриманих наборів цифр вибираємо такий, щоб сума цих цифр плюс 5 (остання, 4 цифра) була кратною 3.

Рішення:

Оскільки за умовою добуток усіх цифр кратний 15, то він кратний 5 і 3.

Кратність 5 означає, що останньою цифрою числа може бути лише 0 або 5. Але 0 у вигляді останньої цифри означав би, що добуток усіх 4 цифр став би рівним 0; а це суперечить умові. Тоді остання цифра числа, що шукається, дорівнює 5.

Тоді отримаємо: x·y·z·5<25 → x·y·z<5, где x, y, z – соответственно, 1-я, 2-я и 3-я цифры искомого числа.

Менше 5 добуток таких цифр: 1 1 1, 1 1 3, 1 1 2, 1 2 2.

Згідно з ознакою ділимості на 3, вибираємо з цих наборів таку, щоб сума його цифр плюс 5 ділилася на 3:

1+1+1+5=8 – не підходить;

1+1+3+5=10 – не підходить;

1+2+2+5=10 – не підходить

1+1+2+5=9 – підходить.

Тоді умові завдання відповідають числа: 1125 , 1215 , 2115 .

Відповідь: 1125, 1215, 2115

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (2)

Викресліть у числі 85417627 три цифри так, щоб число, що вийшло, ділилося на 18. У відповіді вкажіть яке-небудь одне число, що вийшло.

Алгоритм виконання

Число ділиться на 18, якщо воно кратне 2 та 9.
Кратність 2 означає, що число має бути парним. Тому одразу відкидають останню – непарну – цифру 7.
Кратність 9 означає, що сума його цифр ділиться на 9. Отже, знаходимо суму цифр, що залишилися. Далі визначаємо відповідне для отриманої суми число, кратне 9. Число має бути таким, щоб: а) воно було меншим від суми цифр; б) різниця між цією сумою та знайденим числом дозволяла виділити в числі 2 цифри, сума яких була б дорівнює цій різниці. Викреслюємо ці цифри.

Рішення:

Т.к. за умовою число кратно 18, воно кратно 2 і кратно 9.

Оскільки число кратне 2, воно має закінчуватися парною цифрою. 7 – непарна цифра, тому викреслюємо її. Залишилось: 8541762.

Т.к. отримане число кратно 9, то сума його цифр має ділитися на 9. Знаходимо загальну суму його цифр: 8+5+4+1+7+6+2=33. Найближче число, яке ділиться на 9, – це 27.

33-27 = 6 - це сума двох цифр, які потрібно викреслити. Пари цифр, які при цьому в сумі дають 6 – це 5 і 1 або 4 і 2. Викресливши їх, отримуємо відповідно: 84762 або 85176 .

Крім того, на 9 ділиться 18. Тоді 33–18=15. У цьому випадку викреслити доведеться 8 та 7. Отримуємо: 54162 .

На 9 ділиться ще й 9, проте 33–9=24, а пари цифр, які б дали в сумі 24, природно, не існує.

Відповідь: 84762, 85176, 54162

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (3)

На шести картках написано цифри 3; 6; 7; 7; 8; 9 (по одній цифрі на кожній картці). У виразі

Замість кожного квадратика поклали картку з цього набору. Виявилося, що отримана сума поділяється на 10, але не поділяється на 20.

У відповіді вкажіть якусь одну таку суму.

Алгоритм виконання

У 2-му реченні тексту завдання фактично представлено умова, у якому сума ділиться на 10, але з ділиться на 2.
З п.1 слід, що результуюче число повинне закінчуватися 0, а передостання його цифра має бути непарною.

Рішення:

Для зручності сприйняття розмістимо картки у стовпчик:

Якщо число ділиться на 10, але не ділиться на 20, то воно точно не ділиться на 2 без останнього нуля.

Оскільки число кратне 10, воно має закінчуватися нулем. Тому в останньому розряді (одиниць) необхідно розмістити 3 картки з такими цифрами, щоб їх сума закінчувалася на 0. Підходять тут картки: 1) 6, 7, 7; 2) 3, 8, 9. Їх суми дорівнюють 20. Відповідно, 0 ми пишемо під межею, а 2 переносимо на попередній розряд (десятків):

Щоб число не ділилося на 20, потрібно, щоб перед нулем стояла непарна цифра. Непарна сума тут вийде тоді, коли один із доданків буде непарним, а два інших парними. Одне з цих (інших) доданків – це перенесена 2. Тому з цифр, що залишилися, слід взяти: 1) 3 і 8; 2) 6 та 7. Отримуємо:

На місце сотень ставимо останню (що залишилася) картку з цифрою: 1) 9; 2) 7. Отримуємо, відповідно, числа 1030 і 850 :

Відповідь: 1030,850

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (4)

Знайдіть парне тризначне натуральне число, сума цифр якого на 1 менша від їх твору. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Вводимо літерні позначення для цифр шуканого числа. Виходячи з умови завдання складаємо рівняння.
Висловлюємо одну із цифр через 2 інші.
Підбираємо для цих 2-х (інших) цифр значення так, щоб 3-я (виражена) була б натуральним числом. Обчислюємо 3 цифру.
Формуємо число, що шукається так, щоб воно було парним.

Рішення:

Нехай цифри шуканого числа – x, y, z. Тоді отримуємо:

xyz–x–y–z=1

z=(x+y+1)/(xy–1)

Знаменник у цьому виразі має бути цілим та позитивним. Для простоти (а також для гарантії правильних розрахунків) приймемо, що він повинен дорівнювати 1. Тоді маємо: ху–1=1 → ху=2. Оскільки х і це цифри, їх значення можуть бути рівними лише 1 і 2 (т.к. тільки добуток цих однозначних натур.чисел дає у результаті 2).

Звідси z становить: z=(1+2+1)/(1·2–1)=4/1=4.

Отже, маємо цифри: 1, 2, 4.

Т.к. за умовою підсумкове число має бути парним, то закінчуватися воно може лише 2 або 4. Тоді правильними варіантами чисел будуть такі:

124 , 142 , 214 , 412 .

Відповідь: 124, 142, 214, 412

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (5)

Знайдіть шестизначне число, яке записується лише цифрами 2 і 0 і ділиться на 24. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Якщо число ділиться на 24, то воно ділиться на 8 і на 3.
Відповідно до ознаки ділимості на 8, 3 останні цифри його повинні утворювати число, яке кратно 8.
Щоб число ділилося на 3, необхідно, щоб сума його цифр ділилася на 3. Враховуючи вже сформовану 2 частину числа (див.п.2), доповнюємо його першими трьома цифрами відповідно.

Рішення:

Щоб число, що шукається, було кратно 24, потрібно, щоб воно ділилося на 8 і в той же час на 3.

Число ділиться на 8, якщо останні його 3 цифри утворюють число, кратне 8. З використанням тільки двійок і нулів таке тризначне число можна утворити так: 000, 002, 020, 022, 200, 202, 220, 222. З цих чисел на 8 ділиться лише 000 та 200.

Тепер потрібно доповнити число першими трьома цифрами так, щоб воно ділилося ще й на 3.

У 1-му випадку це буде єдиний варіант: 222000 .

У другому випадку варіантів два: 220200 , 202200 .

Відповідь: 222000, 220200, 202200

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (6)

Знайдіть чотиризначне число, кратне 15, добуток цифр якого більший за 35, але менший за 45. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Якщо число кратне 15, отже, воно кратне 3 та 5.
Застосовуємо ознаку подільності на 5 та умову завдання, згідно з яким добуток цифр числа ≠0. Так отримуємо, що остання цифра числа, що шукається – лише 5.
Ділимо 35 на 5 і 45 на 5. Дізнаємося діапазон значень, які може приймати добуток перших 3-х цифр числа. Дізнаємося, що воно може дорівнювати тільки 8.
Визначаємо послідовності цифр, що дають при перемноженні 8.
Перевіряємо отримані із знайдених цифр числа на кратність трьох.

Рішення:

Кратність шуканого числа 15 дає 2 умови: воно має ділитися на 5 та на 3.

Якщо число кратно 5, воно має закінчуватися цифрою 5 чи 0. Однак 0 у разі використовувати не можна, оскільки у своїй добуток цифр числа виявляється рівним 0. За умовою це негаразд. Отже, остання – 4-та – цифра числа дорівнює 5.

За умовою 35< x·5 < 45, где х – произведение первых 3-х цифр числа. Тогда имеем: 7 < x < 9. Это неравенство верно только при х=8. Следовательно, для первых 3-х цифр должны выполняться равенства:

1 · 1 · 8 = 8, 1 · 2 · 4 = 8.

Звідси одержуємо числа:

1185 ; 1245 .

Перевіряємо їх на кратність 3:

Висновок: обидва знайдені числа кратні 3. Плюс кратні їх комбінації:

1815 ; 8115 ; 1425 ; 2145 ; 2415 ; 4125 ; 4215 .

Відповідь: 1815; 8115; 1425; 2145; 2415; 4125; 4215

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (7)

Знайдіть п'ятизначне число, кратне 25, будь-які дві сусідні цифри якого відрізняються на 2. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Беремо до уваги, що на 25 діляться числа, які доведеться ділити послідовно на 5 двічі. Визначаємо, якою парою цифр вони мають закінчуватися.
Враховуючи, що другою частиною умови є відмінність кожної сусідньої пари цифр виключно на 2 одиниці, вибираємо відповідний варіант (або варіанти) цифр.
Спосіб підбору знаходимо інші цифри і, відповідно, числа. Одне з них запишемо у відповіді.

Рішення:

Якщо число ділиться на 25, воно має закінчуватися на: 00, 25, 50, 75. Т.к. сусідні цифри повинні відрізнятися строго на 2, то використовувати для 4-ї та 5-ї цифр можемо тільки 75. Отримуємо: ***75.

**975 або
**575.

1) *7975 → 97975 або 57975 ;

2) *3575 → 13575 або 53575 , *7575 → 57575 або 97575 .

Відповідь: 97975, 57975, 13575, 53575, 57575, 97575

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (8)

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 600, яке при розподілі на 3, на 4 і на 5 дає в залишку 1 і цифри якого розташовані в порядку спадання зліва направо. У відповіді вкажіть якесь таке число.

Алгоритм виконання

Визначаємо діапазон значень для 1-ї цифри числа (сотень).
Визначаємо, якою може бути остання цифра (одиниці), взявши до уваги: 1) при розподілі на 5 дає у залишку 1; 2) цьому місці може бути парна цифра, оскільки це з умов ділимості на 4.
Спосіб підбору визначаємо набір чисел, які при розподілі на 3 дають у залишку 1.
З цього набору (див.п.3) відкидаємо числа, які при розподілі на 4 дають залишок, відмінний від 1.

Рішення:

Т.к. шукане число >600 і є тризначним, то 1-ї цифрою може лише 6, 7, 8 чи 9. Тоді отримуємо для шуканого числа:

Якщо число при розподілі на 5 повинне давати в залишку 1, отже, воно може закінчуватися лише на 0+1=1 або 5+1=6. Шістку тут відкидаємо, оскільки в цьому випадку число парне та потенційно може ділитися на 4. Тому маємо:

Якщо число при розподілі на 3 дає у залишку 1, отже, сума його цифр має бути кратною 3 плюс 1. Крім того, враховуємо, що цифри повинні розташовуватися в числі у порядку спадання. Підбираємо такі числа:

З цієї послідовності відкидаємо числа, котрим не виконується умова у тому, що число при розподілі на 4 має давати у залишку 1.

Т.к. ознака ділимості на 4 полягає в тому, що останні 2 цифри повинні ділитися на 4, то отримуємо:

для 631: 31 = 28 +3, тобто. у залишку маємо 3; число не підходить

для 721 : 21 = 20 +1, тобто. у залишку – 1; число підходить

для 751: 51 = 48 +3, тобто. у залишку – 3; число не підходить

для 841 : 41 = 40 +1, тобто. у залишку – 1; число підходить

для 871: 71 = 68 +3, тобто. у залишку – 3; число не підходить

для 931: 31 = 28 +3, тобто. у залишку – 3; число не підходить

для 961 : 61 = 60 +1, тобто. у залишку – 1; число підходить

Відповідь: 721, 841, 961

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (9)

Знайдіть тризначне натуральне число, більше 400, але менше 650, яке ділиться на кожну свою цифру і всі цифри якого різні і не рівні 0. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

З умови випливає, що числа можуть починатися лише на 4,5 чи 6.
При аналізі чисел 4 сотки відкидаємо числа: 1) 1-го десятка, т.к. у них міститься 0; 2) 4-го десятка, т.к. у цьому випадку перші дві цифри збігатимуться; 3) числа 5-го десятка, т.к. вони повинні закінчуватись лише на 5 або 0, що неприпустимо. Крім того, для всіх парних десятків можна розглядати лише парні числа.
Числа 5 сотки відкидаємо повністю, т.к. щоб ділитися на кожну власну цифру, вони повинні закінчуватися 5 або 0.
Для чисел 6-ї сотні розглядати можна лише: 1) парні; 2) кратні 3; 3) не закінчуються 0.

Рішення:

Числа 40 і 4 * 0 відкидаємо, т.к. вони містять 0.

Числа 41* годяться лише парні, т.к. це обов'язкові умови для кратності 4. Аналізуємо:

412 – підходить

414 - не підходить, т.к. у ньому збігаються цифри

416 - не підходить, т.к. не ділиться на 6

418 - не підходить, т.к. не ділиться ні на 4, ні на 8

З чисел 42* годяться лише парні, оскільки мають ділитися на 2:

422 та 424 – не підходять, т.к. у них збігаються цифри

426 - не підходить, т.к. не ділиться на 4

428 - не підходить, т.к. не ділиться на 8

Числа 43* годяться лише парні та кратні 3. Тому тут підходить тільки 432 .

Числа 44 * не підходять повністю.

Числа 45 * підходять повністю, т.к. вони повинні закінчуватися лише 5 (тобто бути непарними) або 0.

Числа 46 *, 47 *, 48 *, 49 * не підходять повністю, т.к. кожного з них не виконується 1 чи кілька умов.

Числа 5-ї сотні не годяться повністю. Вони повинні ділитися на 5, а для цього закінчуватися або 5 або 0, що не допускається.

Числа 60* не годяться повністю.

Серед інших можна розглядати лише парні, кратні 3, що не закінчуються 0. Опускаючи подробиці перебору чисел, зауважимо лише, що з них годяться: 612 , 624 , 648 . Решта не виконується одне чи кілька умов.

Відповідь: 412, 432, 612, 624, 648

Варіант дев'ятнадцятого завдання 2019 року (10)

Знайдіть чотиризначне число, кратне 45, усі цифри якого різні та парні. У відповіді вкажіть якесь одне таке число.

Алгоритм виконання

Якщо число кратне 45, то воно ділиться на 5 і на 9.
Розглядати слід лише числа парних сотень.
Закінчуватися числа можуть лише 0, т.к. 5 – непарна цифра.
Сума цифр числа повинна дорівнювати 18. Тільки в цьому випадку можна скласти його зі всіх парних цифр.

Рішення:

Т.к. за умовою цифри мають бути парними, то розглядати можна лише числа 2-ї, 4-ї, 6-ї та 8-ї тисяч. Це означає, що воно може починатися з 2, 4, 6 або 8.

Якщо число кратне 45, воно кратно 5 і кратно 9.

Якщо число кратне 5, воно має закінчуватися 5 чи 0. Але оскільки всі цифри мають бути парними, то підходить тут лише 0.

Тобто отримуємо шаблони чисел: 2**0, 4**0, 6**0, 8**0. Звідси випливає, що для перевірки кратності 9 потрібно, щоб сума перших 3-х цифр дорівнювала 9, або 18, або 27 і т.д. Але підходить тут лише 18. Підстави: 1) щоб одержати у сумі 9 потрібно, щоб одне з доданків було непарним, але це суперечить умові; 2) 27 не підходить тому, що навіть якщо взяти найбільшу 1-у цифру 8, то сума 2-ї та 3-ї цифр дорівнюватиме 27–8=19, що перевищує допустиму межу. Ще більші суми цифр, кратні 9, тим більше не підходять.

Розглядаємо числа за тисячами.

Числа 2**0. Сума середніх цифр дорівнює 18–2=16. Отримати 16 із парних чисел можна лише так: 8+8. Однак цифри не повинні повторюватись. Тому відповідних умов чисел тут немає.

Числа 4**0. Сума середніх цифр: 18-4 = 14. 14 = 8 +6. Тому отримуємо: 4680 або 4860 .

Числа 6**0. Сума середніх цифр: 18-6 = 12. 12=6+6, що ні підходить, т.к. цифри повторюються. 12 = 4 +8. Отримуємо: 6480 або 6840 .

Числа 8**0. Сума середніх цифр: 18-8 = 10. 10=2+8, що ні підходить, т.к. при цьому повторюватиметься 8. 10=4+6. Отримуємо: 8460 або 8640 .

Відповідь: 4680, 4860, 6480, 6840, 8460, 8640