Зобразити геометрично комплексні числа. Графічна форма представлення комплексних чисел

Комплексні числа та
координатна
площина

Геометрична модель множини R дійсних чисел – числова пряма. Будь-якому дійсному числу відповідає єдина точка

на
числовий прямий і, будь-якій точці прямий
відповідає лише одне
дійсне число!

Додавши до числової прямої, що відповідає множині всіх дійсних чисел ще один вимір - пряму, що містить безліч чистих

Додавши до числової прямої, що відповідає множині
всіх дійсних чисел ще один вимір –
пряму, що містить безліч чисто уявних чисел -
отримаємо координатну площину, у якій кожному
комплексному числу a+bi можна поставити у відповідність
точку (a; b) координатної площини.
i=0+1i відповідає точка (0;1)
2+3i відповідає точка (2;3)
-i-4 відповідає точка (-4;-1)
5=5+1i відповідає туга (5;0)

Геометричний сенс операції сполучення

! Операція сполучення є осьова
симетрія щодо осі абсцис.
!! Сполучені один одному
комплексні числа рівновіддалені від
початку координат.
!!! Векторні зображення
пов'язані числа, нахилені до осі
абсцис під однаковим кутом, але
розташовані по різні сторонивід
цієї осі.

Зображення дійсних чисел

Зображення комплексних чисел

Алгебраїчний
спосіб
зображення:
Комплексне число
a+bi зображується
точкою площини
з координатами
(a; b)

Приклади зображення комплексних чисел на координатній площині

(Нас цікавлять
комплексні числа
z = x + yi, у яких
х = -4. Це-рівняння
прямий,
паралельної осі
ординат)
у
Х = - 4
Справжня
частина дорівнює -4
0
х

Зобразіть на координатній площині безліч усіх комплексних чисел, які:

Уявна частина
є парним
однозначним
натуральним
числом
(Нас цікавлять
комплексні числа
z=x+yi, у яких
у = 2,4,6,8.
Геометричний образ
складається з чотирьох
прямих, паралельних
осі абсцис)
у
8
6
4
2
0
х

Комплексні числа

Уявні і комплексні числа. Абсциса та ордината

комплексного числа. Сполучені комплексні числа.

Операції із комплексними числами. Геометричне

подання комплексних чисел. Комплексна площина.

Модуль та аргумент комплексного числа. Тригонометрична

Форма комплексного числа. Операції з комплексними

числами в тригонометричній формі. Форма Муавра.

Початкові відомостіо уявних і комплексних числах наведено у розділі «Уявні та комплексні числа». Необхідність у цих числах нового типу з'явилася під час вирішення квадратних рівнянь для випадкуD< 0 (здесь D– дискримінант квадратного рівняння). Довгий часці числа не знаходили фізичного застосуваннятому їх і назвали «уявними» числами. Однак зараз вони дуже широко застосовують у різних галузях фізики.

та техніки: електротехніці, гідро- та аеродинаміці, теорії пружності та ін.

Комплексні числа записуються у вигляді:a + bi. Тут aі b – дійсні числа , а i – уявна одиниця, т.е. e. i 2 = –1. Число aназивається абсцисою, a b – ординатоюкомплексного числаa + bi.Два комплексні числаa + biі a – bi називаються пов'язанимикомплексними числами.

Основні домовленості:

1. Справжнє числоаможе бути також записано у формікомплексного числа:a + 0 iабо a – 0 i. Наприклад, записи 5 + 0iта 5 – 0 iозначають те саме число 5 .

2. Комплексне число 0 + biназивається чисто уявним числом. Записbiозначає те ж саме, що 0 + bi.

3. Два комплексні числаa + bi іc + diвважаються рівними, якщоa = cі b = d. В іншому випадку комплексні числа не рівні.

Додавання. Сумою комплексних чиселa + biі c + diназивається комплексне число (a + c ) + (b + d ) i.Таким чином, при складанні комплексних чисел окремо складаються їх абсциси та ординати.

Це визначення відповідає правилам дій із звичайними багаточленами.

Віднімання. Різницею двох комплексних чиселa + bi(зменшуване) та c + di(віднімається) називається комплексне число (a – c ) + (b – d ) i.

Таким чином, при відніманні двох комплексних чисел окремо віднімаються їх абсциси та ординати.

множення. Добутком комплексних чиселa + biі c + di називається комплексне число:

(ac – bd ) + (ad + bc ) i.Це визначення випливає із двох вимог:

1) числа a + biі c + diповинні перемножуватися, як алгебраїчнідвочлени,

2) число iмає основну властивість:i 2 = – 1.

Примірник. ( a+ bi )(a – bi) = a 2 + b 2 . Отже, твір

двох сполучених комплексних чисел дорівнює дійсному

позитивного числа.

Розподіл. Розділити комплексне числоa + bi (ділене) на іншеc + di(Дільник) - значить знайти третє числоe + f i(чатне), яке будучи помноженим на дільникc + diдає в результаті діленеa + bi.

Якщо дільник не дорівнює нулю, поділ завжди можливий.

П р і м е р. Знайти (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Розв'язання. Перепишемо це ставлення у вигляді дробу:

Помноживши її чисельник та знаменник на 2 + 3i

І виконавши всі перетворення, отримаємо:

Геометричне уявлення комплексних чисел. Дійсні числа зображуються точками на числовій прямій:

Тут крапка Aозначає число -3, точкаB- Число 2, і O- Нуль. На відміну від цього, комплексні числа зображуються точками на координатній площині. Виберемо при цьому прямокутні (декартові) координати з однаковими масштабами обох осях. Тоді комплексне числоa + bi буде представлено точкою Р з абсцисою а і ординатою b (Див. рис.). Ця система координат називається комплексною площиною .

Модулем комплексного числа називається довжина вектораOP, що зображує комплексне число на координатній ( комплексної) площині. Модуль комплексного числаa + biпозначається | a + bi| або буквою r

Завдання комплексного числа дорівнює завданням двох дійсних чисел а, b - дійсної і уявної частин даного комплексного числа. Але впорядкована пара чисел зображується в декартовій прямокутної системикоординат точкою з координатами Таким чином, ця точка може бути зображенням і для комплексного числа z: між комплексними числами та точками координатної площини встановлюється взаємно однозначна відповідність. При використанні координатної площини для зображення комплексних чисел вісь Ох зазвичай називають дійсною віссю (оскільки дійсна частина числа приймається за абсцис точки), а вісь Оу - уявною віссю (бо уявна частина числа приймається за ординату точки). Комплексне число z, яке зображується точкою (а, b), називається афіксом цієї точки. При цьому дійсні числа зображуються точками, що лежать на дійсній осі, а всі чисто уявні числа (при а = 0) - точками, що лежать на уявній осі. Число нуль зображується точкою О.

На рис. 8 побудовані зображення чисел.

Два комплексно пов'язані числа зображуються точками, симетричними щодо осі Ох (точки на рис. 8).

Часто з комплексним числом пов'язують не тільки точку М, що зображує це число, але і вектор ОМ (див. п. 93), що веде з О М; зображення числа вектором зручне з погляду геометричного тлумачення дії додавання та віднімання комплексних чисел.

На рис. 9, а показано, що вектор, що зображує суму комплексних чисел, виходить як діагональ паралелограма, побудованого на векторах, що зображують доданки.

Це правило складання векторів відоме як правило паралелограма (наприклад, для складання сил чи швидкостей у курсі фізики). Віднімання може бути зведене до складання з протилежним вектором(Рис. 9, б).

Як відомо (п. 8), положення точки на площині можна задавати також її полярними координатами. Тим самим і комплексне число - афікс точки також визначиться завданням З рис. 10 ясно, що є в той же час модулем комплексного числа : полярний радіус точки, що зображує число , дорівнює модулюцього числа.

Полярний кут точки М називають аргументом числа , що зображується цією точкою. Аргумент комплексного числа (як і полярний кут точки) визначено неоднозначно; якщо - одне з його значень, то всі його значення виражаються формулою

Усі значення аргументу разом позначаються символом .

Отже, кожному комплексному числу може бути поставлена у відповідність пара дійсних чисел: модуль та аргумент даного числа, Причому аргумент визначається неоднозначно. Навпаки, заданим модулю та аргументу відповідає однина, що має дані модуль та аргумент. Особливими властивостямимає число нуль: його модуль дорівнює нулю, аргумент не приписується ніякого певного значення.

Для досягнення однозначності у визначенні аргументу комплексного числа можна умовитися одне із значень аргументу називати головним. Його позначають символом. Зазвичай як головне значення аргументу вибирається значення, що задовольняє нерівностей

(В інших випадках нерівності).

Звернемо ще увагу до значення аргументу дійсних і чисто уявних чисел:

Дійсна та уявна частини комплексного числа (як декартові координатиточки) виражаються через його модуль та аргумент ( полярні координатиточки) за формулами (8.3):

і комплексне число може бути записано у наступній тригонометричній формі.

Комплексні числа

Основні поняття

Початкові дані про число відносяться до епохи кам'яного віку – палеомеліту. Це «один», «мало» та «багато». Записувалися вони як зарубок, вузликів тощо. Розвиток трудових процесів та поява власності змусили людину винайти числа та їх назви. Першими з'явилися натуральні числа N, одержувані за рахунку предметів. Потім, поряд із необхідністю рахунку, у людей з'явилася потреба вимірювати довжини, площі, обсяги, час та інші величини, де доводилося враховувати і частини вживаної міри. Так виникли дроби. Формальне обґрунтування понять дробового та негативного числабуло здійснено у 19 столітті. Безліч цілих чисел Z- Це натуральні числа, натуральні зі знаком мінус і нуль. Цілі та дробові числаутворили сукупність раціональних чисел Q,але і вона виявилася недостатньою для вивчення безперервно змінюваних змінних величин. Буття знову показало недосконалість математики: неможливість вирішити рівняння виду х 2 = 3, у зв'язку з чим з'явилися ірраціональні числа I.Об'єднання безлічі раціональних чисел Qі ірраціональних чисел I- безліч дійсних (або речових) чисел R. У результаті числова пряма заповнилася: кожному дійсному числу відповідала у ньому точка. Але на безлічі Rнемає можливості вирішити рівняння виду х 2 = – а 2 . Отже, знову виникла потреба розширення поняття числа. Так було в 1545 року з'явилися комплексні числа. Їхній творець Дж. Кардано називав їх «чисто негативними». Назва «уявні» ввів у 1637 році француз Р. Декарт, у 1777 році Ейлер запропонував використати першу літеру французького числа iдля позначення уявної одиниці. Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки Гауссу.

Протягом 17 – 18 століть тривало обговорення арифметичної природи уяви, їх геометричного тлумачення. Данець Г. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зображати комплексне число крапкою на координатній площині. Пізніше виявилося, що зручніше зображати число не самої точкою, а вектором, що йде в цю точку з початку координат.

Лише до кінця 18 - початку 19 століття комплексні числа зайняли гідне місце в математичний аналіз. Перше їх використання – теоретично диференціальних рівняньта в теорії гідродинаміки.

Визначення 1.Комплексним числомназивається вираз виду , де xі y- дійсні числа, а i- Уявна одиниця, .

Два комплексні числа та рівніі тоді, коли , .

Якщо , то число називають чисто уявним; якщо , то число є дійсним числом, це означає, що безліч R З, де З- Багато комплексних чисел.

Сполученимдо комплексного числа називається комплексне число.

Геометричне зображеннякомплексних чисел.

Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою М(x, y) площині Окси.Парою дійсних чисел позначаються координати радіус-вектора , тобто. між безліччю векторів на площині та безліччю комплексних чисел можна встановити взаємно-однозначну відповідність: .

Визначення 2.Справжньою частиною х.

Позначення: x= Re z(Від латинського Realis).

Визначення 3.Уявною частиноюкомплексного числа називається дійсне число y.

Позначення: y= Im z(Від латинського Imaginarius).

Re zвідкладається на осі ( Ох), Im zвідкладається на осі ( Оy), тоді вектор , що відповідає комплексному числу - це радіус-вектор точки М(x, y), (або М(Re z, Im z)) (рис. 1).

Визначення 4.Площина, точкам якої поставлено у відповідність безліч комплексних чисел, називається комплексною площиною. Ось абсцис називається справжньою віссю, оскільки у ній лежать дійсні числа . Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать суто уявні комплексні числа . Безліч комплексних чисел позначається З.

Визначення 5.Модулемкомплексного числа z = (x, y) називається довжина вектора : , тобто. .

Визначення 6.Аргументомкомплексного числа називається кут між позитивним напрямом осі ( Ох) та вектором : .

Існують такі форми комплексних чисел: алгебраїчна(x+iy), тригонометрична(r(cos+isin) )), показова(re i ).

Будь-яке комплексне число z=x+iy можна зобразити на площині ХОУяк точки А(х,у).

Площина, де зображуються комплексні числа, називається площиною комплексного змінного z (на площині ставимо символ z).

Вісь ОХ – справжня вісь, тобто. у ньому лежать дійсні числа. ОУ – уявна вісь із уявними числами.

x+iy- Алгебраїчна форма запису комплексного числа.

Виведемо тригонометричну форму запису комплексного числа.

Підставляємо отримані значення початкову форму: , тобто.

r(cos+isin) - Тригонометрична форма запису комплексного числа.

Показова форма запису комплексного числа випливає із формули Ейлера:
тоді

z= re i - Показова форма запису комплексного числа.

Події над комплексними числами.

1. додавання. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . віднімання. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1-x2) + i (y1-y2);

3. множення. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . розподіл. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Два комплексні числа, які відрізняються лише знаком уявної одиниці, тобто. z = x + iy (z = x-iy), називаються сполученими.

Твір.

z1=r(cos +isin ); z2=r(cos +isin ).

Той твір z1*z2 комплексних чисел знаходиться: , тобто. модуль добутку дорівнює добутку модулів, а аргумент добутку дорівнює сумі аргументів співмножників.

;
;

Приватний.

Якщо комплексні числа задані у тригонометричній формі.

Якщо комплексні числа задані у показовій формі.

Зведення у ступінь.

1. Комплексне число задано в алгебраїчної формі.

z = x + iy, то z n знаходимо по формулі бінома Ньютона:

- Число поєднань з n елементів по m (кількість способів, скільки можна взяти n елементів з m).

; n! = 1 * 2 * ... * n; 0! = 1;
.

Використовуємо для комплексного числа.

В отриманому виразі потрібно замінити ступеня i їх значеннями:

i 0 =1 Звідси, в загальному випадкуотримуємо: i 4k = 1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

приклад.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i = i

2. тригонометричної формі.

z = r (cos +isin ), то

- формула Муавра.

Тут n може бути як "+" і "-" (цілим).

3. Якщо комплексне число задано в показовою формі:

Вилучення кореня.

Розглянемо рівняння:
.

Його рішенням буде корінь n-ого ступеня з комплексного числа z:
.

Корінь n-ого ступеня з комплексного числа z має рівно n рішень (значень). Корінь із чинного числа n-ого ступеня має лише одне рішення. У комплексних - n рішень.

Якщо комплексне число задано в тригонометричної формі:

z = r (cos +isin ), то корінь n-ого ступеня від z знаходиться за формулою: