Дайте визначення одночлена. Приведення одночлена до стандартного вигляду, приклади, рішення

Визначення 3.3. Одночленом називають вираз, що являє собою добуток чисел, змінних і ступенів натуральним показником.

Наприклад, кожен із виразів ,
,
є одночленом.

Кажуть, що одночлен має стандартний вигляд якщо він містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а кожен добуток однакових змінних у ньому представлений ступенем. Числовий множник одночлена, записного у стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена . ступенем одночлена називають суму показників ступенів усіх його змінних.

Визначення 3.4. Багаточленом називають суму одночленів. Одночлени, з яких складено багаточлен, називаютьчленами багаточлена .

Подібні доданки – одночлени у багаточлені – називають подібними членами багаточлена .

Визначення 3.5. Багаточлен стандартного виду називають багаточлен, у якому всі доданки записані у стандартному вигляді та наведені подібні члени.Ступенем багаточлена стандартного вигляду називають найбільшу зі ступенів одночленів, що входять до нього.

Наприклад, багаточлен стандартного виду четвертого ступеня.

Дії над одночленами та багаточленами

Суму і різницю багаточленів можна перетворити на багаточлен стандартного вигляду. При складанні двох многочленів записуються всі члени і наводяться подібні члени. При відніманні знаки всіх членів багаточлена, що віднімається, змінюються на протилежні.

Наприклад:

Члени багаточлена можна розбивати на групи та укладати у дужки. Оскільки це тотожне перетворення, зворотне розкриття дужок, то встановлюється таке правило укладання в дужки: якщо перед дужками ставиться знак «плюс», то всі члени, що укладаються в дужки, записують зі своїми знаками; якщо перед дужками ставиться знак «мінус», всі члени, укладені в дужки, записують із протилежними знаками.

Наприклад,

Правило множення багаточлену на багаточлен: щоб помножити багаточлен на багаточлен, достатньо кожен член одного багаточлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

Наприклад,

Визначення 3.6. Багаточленом від однієї змінної ступеня називають вираз виду

де
– будь-які числа, які називають коефіцієнтами багаточлена , причому
,- Ціле невід'ємне число.

Якщо
, то коефіцієнт називають старшим коефіцієнтом багаточлена
, одночлен
- Його старшим членом , коефіцієнт – вільним членом .

Якщо замість змінної в багаточлен
підставити дійсне число , то в результаті вийде дійсне число
, яке називають значенням багаточлена
при
.

Визначення 3.7. Число називаютькорінням багаточлена
, якщо
.

Розглянемо поділ багаточлена на багаточлен, де
і - натуральні числа. Поділ можливий, якщо ступінь багаточлена-ділимого
не менше ступенябагаточлена-ділителя
, тобто
.

Розділити багаточлен
на багаточлен
,
, - значить знайти два таких багаточлени
і
, щоб

При цьому багаточлен
ступеня
називають багаточленом-приватним ,
– залишком ,
.

Зауваження 3.2. Якщо дільник
–не нуль-багаточлен, то поділ
на
,
, завжди можна здійснити, а приватне і залишок визначаються однозначно.

Зауваження 3.3. У випадку, коли
при всіх , тобто

кажуть, що багаточлен
націло ділиться(або ділиться)на багаточлен
.

Поділ багаточленів виконується аналогічно поділу багатозначних чисел: спочатку старший член багаточлена-ділимого ділять на старший член багаточлена-ділителя, потім приватне від поділу цих членів, яке буде старшим членом багаточлена-приватного, множать на багаточлен-ділитель і отриманий твір віднімають з багаточлена-ділимого . В результаті одержують багаточлен – перший залишок, який ділять на багаточлен-ділитель аналогічним чином та знаходять другий член багаточлена-приватного. Цей процес продовжують доти, поки вийде нульовий залишок або ступінь багаточлена залишку буде меншим від ступеня багаточлена-ділителя.

При поділі багаточлена на двочлен можна скористатися схемою Горнера.

Схема Горнера

Нехай потрібно розділити багаточлен

на двочлен
. Позначимо приватне від поділу як багаточлен

а залишок – . Значення , коефіцієнти багаточленів
,
та залишок запишемо в наступній формі:

У цій схемі кожен із коефіцієнтів
,
,
, …,виходить з попереднього числанижнього рядка множенням на число та додаванням до отриманого результату відповідного числа верхнього рядка, що стоїть над шуканим коефіцієнтом. Якщо якийсь ступінь у багаточлені відсутня, то відповідний коефіцієнт дорівнює нулю. Визначивши коефіцієнти за наведеною схемою, записуємо приватне

і результат поділу, якщо
,

або ,

якщо
,

Теорема 3.1. Для того щоб нескоротний дріб (

,

)була коренем багаточлена
з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб число було дільником вільного члена , а число - дільником старшого коефіцієнта .

Теорема 3.2. (Теорема Безу ) Залишок від поділу багаточлена
на двочлен
дорівнює значенню многочлена
при
, тобто
.

При розподілі багаточлена
на двочлен
маємо рівність

Воно справедливе, зокрема, при
, тобто
.

Приклад 3.2.Розділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

Приклад 3.3.Розділити на
.

Рішення.Застосуємо схему Горнера:

Отже,

,

Приклад 3.4.Розділити на
.

Рішення.

У результаті отримуємо

Приклад 3.5.Розділити
на
.

Рішення.Проведемо поділ багаточленів стовпчиком:

Тоді отримуємо

.

Іноді буває корисним уявлення многочлена як рівного йому твори двох чи кількох многочленов. Таке тотожне перетворення називають розкладанням багаточлена на множники . Розглянемо основні методи такого розкладання.

Винесення загального множника за дужки. Для того, щоб розкласти багаточлен на множники способом винесення загального множника за дужки, необхідно:

1) знайти загальний множник. Для цього, якщо всі коефіцієнти багаточлена – цілі числа, як коефіцієнт загального множника розглядають найбільший за модулем загальний дільник усіх коефіцієнтів багаточлена, а кожну змінну, що входить у всі члени багаточлена, беруть з найбільшим показником, який вона має в даному багаточлені;

2) знайти приватне від поділу даного багаточленана загальний множник;

3) записати твір загального множника та отриманого приватного.

Угруповання членів. При розкладанні многочлена на множники способом угруповання його члени розбиваються на дві або більше груп з таким розрахунком, щоб кожну з них можна було перетворити на твір, і отримані твори мали б загальний множник. Після цього застосовується спосіб винесення за дужки загального множника новостворених членів.

Застосування формул скороченого множення. У тих випадках, коли багаточлен, що підлягає розкладанню на множники має вигляд правої частини будь-якої формули скороченого множення, його розкладання на множники досягається застосуванням відповідної формули, записаної в іншому порядку.

Нехай

тоді справедливі наступні формули скороченого множення:

Для

:

Якщо непарне (

):

Біном Ньютона:

де
- Число поєднань з по .

Запровадження нових допоміжних членів. Даний спосіб полягає в тому, що багаточлен замінюється іншим багаточленом, тотожно рівним йому, але містить інше число членів, шляхом введення двох протилежних членів або заміни якогось члена тотожно рівною йому сумою подібних одночленів. Заміна проводиться з таким розрахунком, щоб до отриманого багаточлена можна було застосувати спосіб угруповання членів.

Приклад 3.6..

Рішення.Усі члени многочлена містять спільний множник
. Отже.

Відповідь: .

Приклад 3.7.

Рішення.Групуємо окремо члени, що містять коефіцієнт , та члени, що містять . Виносячи за дужки спільні множникигруп, отримуємо:

.

Відповідь:
.

Приклад 3.8.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Використовуючи відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

Відповідь: .

Приклад 3.9.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Використовуючи спосіб угруповання та відповідну формулу скороченого множення, отримуємо:

.

Відповідь: .

Приклад 3.10.Розкласти на множники багаточлен
.

Рішення.Замінимо на
, згрупуємо члени, застосуємо формули скороченого множення:

.

Відповідь:
.

Приклад 3.11.Розкласти на множники багаточлен

Рішення.Оскільки ,
,
, то

Урок на тему: "Стандартний вигляд одночлена. Визначення. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 7 класу
Електронний навчальний посібник "Зрозуміла геометрія" для 7-9 класів
Мультимедійний навчальний посібник "Геометрія за 10 хвилин" для 7-9 класів

Одночлен. Визначення

Одночлен- це математичний вираз, який є твір простого множниката однієї чи кількох змінних.

До одночленів відносяться всі числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником:
42;  3;  0;  6 2;  2 3;  b 3;  ax 4;  4x 3;  5a 2;  12xyz 3 .

Досить часто буває важко визначити, відноситься цей математичний вираз до одночлена чи ні. Наприклад, $\frac(4а^3)(5)$. Це одночлен чи ні? Щоб відповісти це питання треба спростити вираз, тобто. представити як: $\frac(4)(5)*а^3$.
Ми можемо точно сказати, що даний вираз- Одночлен.

Стандартний вид одночлена

При обчисленнях бажано привести одночлен до стандартного вигляду. Це найбільш короткий і зрозумілий запис одночлена.

Порядок приведення одночлена до стандартного вигляду наступний:
1. Перемножити коефіцієнти одночлена (або числові множники) та отриманий результат помістити на перше місце.
2. Вибрати всі ступені з однаковою буквеною основою та перемножити їх.
3. Повторювати пункт 2 всім змінних.

приклади.
I. Привести заданий одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Тепер наведемо подібні доданки$15х^2y^5z^5$.

ІІ. Привести заданий одночлен $5a^2b^3 * frac(2)(7)a^3b^2c$ до стандартного вигляду.

Рішення.
1. Перемножимо коефіцієнти одночлена $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Тепер наведемо такі складові $\frac(10)(7)a^5b^5c$.


Ступінь одночлена

Для одночлена існує поняття його ступеня. Розберемося, що таке.

Визначення.

Ступінь одночленастандартного виду – це сума показників ступенів всіх змінних, які входять до його запис; якщо запису одночлена немає змінних, і він відмінний від нуля, його ступінь вважається дорівнює нулю; число нуль вважається одночленом, ступінь якого визначено.

Визначення ступеня одночлена дозволяє навести приклади. Ступінь одночлена a дорівнює одиниці, тому що a це є a 1 . Ступінь одночлена 5 є нуль, тому що він відмінний від нуля, і його запис не містить змінних. А добуток 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 є одночленом восьмого ступеня, оскільки сума показників ступенів всіх змінних a , x та y дорівнює 2+1+3+2=8 .

До речі, ступінь одночлена, записаного над стандартному вигляді, дорівнює ступеня відповідного одночлена стандартного виду. Для ілюстрації сказаного обчислимо ступінь одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y. Цей одночлен у стандартному вигляді має вигляд -6 x 8 y 4, його ступінь дорівнює 8 +4 = 12 . Таким чином, ступінь вихідного одночлена дорівнює 12 .

Коефіцієнт одночлена

Одночлен у стандартному вигляді, що має у своєму записі хоча б одну змінну, є твір з єдиним числовим множником – числовим коефіцієнтом . Цей коефіцієнт називають коефіцієнтом одночлена. Оформимо наведені міркування як визначення.

Визначення.

Коефіцієнт одночлена- Це числовий множник одночлена, записаного у стандартному вигляді.

Тепер можна навести приклади коефіцієнтів різних одночленів. Число 5 - це коефіцієнт одночлена 5 · a 3 за визначенням, аналогічно одночлен (-2,3) · x · y · z має коефіцієнт -2,3 .

На окрему увагу заслуговують коефіцієнти одночленів, рівні 1 і −1 . Справа тут у тому, що вони зазвичай не присутні у записі у явному вигляді. Вважають, що коефіцієнт одночленів стандартного виду, які не мають у своєму записі числового множника, дорівнює одиниці. Наприклад, одночлени a, xz 3, atx і т.п. мають коефіцієнт 1, оскільки a можна розглядати як 1·a, x·z 3 - як 1·x·z 3 і т.п.

Аналогічно, коефіцієнт одночленів, записи яких у стандартному вигляді не мають числового множника і починаються зі знака мінус, вважають мінус одиницю. Наприклад, одночлени −x , −x 3 ·y·z 3 тощо. мають коефіцієнт −1 , тому що −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3і т.п.

До речі, поняття коефіцієнта одночлена найчастіше відносять і до одночленів стандартного вигляду, що є числами без літерних множників. Коефіцієнтами таких одночленів чисел вважають ці числа. Так, наприклад, коефіцієнт одночлена 7 вважають рівним 7 .

Список литературы.

  • Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – К.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

Ми зазначили, що будь-який одночлен можна привести до стандартного вигляду. У цій статті ми розберемося, що називають приведенням одночлена до стандартного вигляду, які дії дозволяють здійснити цей процес, та розглянемо рішення прикладів із докладними поясненнями.

Навігація на сторінці.

Що означає привести одночлен до стандартного вигляду?

З одночленами зручно працювати, коли вони записані у стандартному вигляді. Однак досить часто одночлени задаються у вигляді, відмінному від стандартного. У цих випадках завжди можна перейти від вихідного одночлена до одночлена стандартного вигляду, виконавши тотожні перетворення. Процес проведення таких перетворень називають приведенням одночлена до стандартного виду.

Узагальним наведені міркування. Привести одночлен до стандартного вигляду- Це означає виконати з ним такі тотожні перетворення, щоб він набув стандартного вигляду.

Як привести одночлен до стандартного вигляду?

Настав час розібратися з тим, як наводити одночлени до стандартного вигляду.

Як відомо з визначення, одночлени нестандартного виду є творами чисел, змінних та їх ступенів, причому, можливо, повторюваних. А одночлен стандартного виду може містити в своєму записі тільки одне число і змінні, що не повторюються, або їх ступеня. Тепер залишилося зрозуміти, як твори першого виду привести до другого?

Для цього потрібно скористатися наступним правилом приведення одночлена до стандартного вигляду, що складається з двох кроків:

  • По-перше, виконується угруповання числових множників, а також однакових змінних та їх ступенів;
  • По-друге, обчислюється добуток чисел і застосовується .

Внаслідок застосування озвученого правила будь-який одночлен буде наведено до стандартного вигляду.

Приклади, рішення

Залишилося навчитися застосовувати правило з попереднього пунктупід час вирішення прикладів.

приклад.

Приведіть одночлен 3 x 2 x 2 до стандартного вигляду.

Рішення.

Згрупуємо числові множники та множники зі змінною x . Після угруповання вихідний одночлен набуде вигляду (3·2)·(x·x 2) . Добуток чисел у перших дужках дорівнює 6 , а правило множення ступенів однаковими підставамидозволяє вираз у других дужках подати як x 1 +2 = x 3 . У результаті отримуємо багаточлен стандартного виду 6 x 3 .

Наведемо короткий запис рішення: 3 · x · 2 · x 2 = (3 · 2) · (x · x 2) = 6 · x 3.

Відповідь:

3 · x · 2 · x 2 = 6 · x 3 .

Отже, для приведення одночлена до стандартного виду необхідно вміти проводити угруповання множників, виконувати множення чисел і працювати зі ступенями.

Для закріплення матеріалу вирішимо ще один приклад.

приклад.

Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його коефіцієнт.

Рішення.

Вихідний одночлен має у своєму записі єдиний числовий множник −1, перенесемо його на початок. Після цього окремо згрупуємо множники зі змінною a, окремо – зі змінно b, а змінну m групувати нема з чим, залишимо її як є, маємо . Після виконання дій зі ступенями в дужках одночлен набуде потрібного нам стандартного вигляду, звідки видно коефіцієнт одночлена, що дорівнює −1. Мінус одиницю можна замінити знаком мінус: .