Ev
İstatistiksel dağılımlar
Termal hareket sırasında parçacıkların konumları, hızlarının büyüklüğü ve yönü rastgele değişir. Devasa sayıda parçacık nedeniyle, hareketlerinin rastgele doğası, sistem parçacıklarının koordinatlara, hız değerlerine vb. göre dağılımında belirli istatistiksel modellerin varlığında ortaya çıkar. Bu tür dağılımlar karşılık gelen dağıtım fonksiyonlarıyla karakterize edilir. Dağılım fonksiyonu (olasılık yoğunluğu), parçacıkların karşılık gelen değişkene (koordinatlar, hızlar vb.) göre dağılımını karakterize eder. Klasik istatistik aşağıdaki ilkelere dayanmaktadır:
Klasik bir sistemin tüm parçacıkları ayırt edilebilir (yani numaralandırılabilir ve her parçacık takip edilebilir);
Parçacığın durumunu karakterize eden tüm dinamik değişkenler sürekli olarak değişir;
Belirli bir durumda sınırsız sayıda parçacık bulunabilir.
Termal denge durumunda, çarpışma sırasında moleküllerin hızı ne kadar değişirse değişsin, gazdaki moleküllerin ortalama kare hızı T = sabitte sabit ve eşit kalır. Bu, gazda Maxwell dağılımı olarak adlandırılan moleküllerin hız değerleri üzerinden belirli bir sabit istatistiksel dağılımının oluşturulmasıyla açıklanmaktadır. Maxwell dağılımı bazı f(u) fonksiyonlarıyla tanımlanır,.
,
moleküler hız dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır
burada N toplam molekül sayısıdır, dN(u) hızları u'dan u + du'ya kadar olan hız aralığına ait olan moleküllerin sayısıdır.
Dolayısıyla Maxwell fonksiyonu f(u), rastgele seçilen bir molekülün hız değerinin, u değerine yakın bir birim hız aralığına ait olma olasılığına eşittir. Veya hızları u değerine yakın bir birim hız aralığına ait olan moleküllerin fraksiyonuna eşittir.
.
f(u) fonksiyonunun açık formu teorik olarak Maxwell tarafından elde edildi: Dağıtım fonksiyonu grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 12. Grafikten, dağılım fonksiyonunun u®0 ve u®¥'de sıfıra yöneldiği ve belirli bir u B hızıyla bir maksimumdan geçtiği anlaşılmaktadır.. En fazla sayıda molekül bu hıza ve ona yakın olanlara sahiptir. Eğri u B'ye göre asimetriktir. En olası hızın değeri, f(u) fonksiyonunun maksimum koşulu kullanılarak bulunabilir.
.
Şek. Şekil 13, uB'nin sıcaklıktaki değişiklikle yer değiştirmesini gösterirken grafiğin altındaki alan sabit ve 1'e eşit kalır; normalleştirme koşulları Maxwell fonksiyonları
Normalleştirme koşulu bu integralin anlamından kaynaklanır - bir molekülün hızının 0 ile ¥ arasındaki hız aralığına düşme olasılığını belirler. Bu güvenilir bir olaydır; olasılığının tanım gereği 1'e eşit olduğu varsayılır.
Ders 5
Gaz moleküllerinin birbirleriyle (1 saniyede ~10 9 çarpışma) ve kabın duvarlarıyla çok sayıda çarpışması sonucunda moleküllerin hıza göre belirli bir istatistiksel dağılımı oluşur. Bu durumda, moleküler hız vektörlerinin tüm yönleri eşit derecede olasıdır ve hız modülleri ve bunların koordinat eksenlerine izdüşümleri belirli yasalara uymaktadır.
Çarpışma sırasında moleküllerin hızları rastgele değişir. Bir dizi çarpışmada moleküllerden birinin diğer moleküllerden enerji alacağı ve enerjisinin belirli bir sıcaklıktaki ortalama enerji değerinden önemli ölçüde daha yüksek olacağı ortaya çıkabilir. Böyle bir molekülün hızı yüksek olacaktır, ancak yine de sınırlı bir değere sahip olacaktır, çünkü mümkün olan maksimum hız ışık hızıdır - 3·10 8 m/s. Sonuç olarak, bir molekülün hızı genellikle 0'dan bazılarına kadar değerlere sahip olabilir. υ maks. Ortalama değerlere göre çok yüksek hızların nadir olduğu gibi çok küçük hızların da nadir olduğu ileri sürülebilir.
Teori ve deneylerin gösterdiği gibi, moleküllerin hıza göre dağılımı rastgele değil, oldukça kesindir. Kaç tane molekülün veya moleküllerin hangi kısmının belirli bir hıza yakın belirli bir aralıkta yer alan hızlara sahip olduğunu belirleyelim.
Belirli bir gaz kütlesinin içermesine izin verin N moleküller bu arada dN Moleküller arasında değişen hızlara sahiptirler. υ ile υ +dυ. Açıkçası bu moleküllerin sayısıdır dN toplam molekül sayısıyla orantılı N ve belirtilen hız aralığının değeri dυ
Nerede A- orantılılık katsayısı.
Şu da açık ki dN hıza bağlıdır υ , çünkü aynı büyüklükteki aralıklarla, ancak farklı mutlak hız değerlerinde, molekül sayısı farklı olacaktır (örnek: 20 - 21 yaşlarında ve 99 - 100 yaşlarında yaşayan insan sayısını karşılaştırın). Bu, katsayı anlamına gelir A formül (1)'deki hız bir fonksiyonu olmalıdır.
Bunu dikkate alarak formda (1)'i yeniden yazıyoruz.
(2)
(2)'den şunu elde ederiz:
(3)
İşlev F(υ ) dağıtım fonksiyonu olarak adlandırılır. Fiziksel anlamı formül (3)'ten gelir.
eğer (4)
Buradan, F(υ ), hızları hıza yakın bir birim hız aralığında yer alan moleküllerin bağıl fraksiyonuna eşittir υ . Daha kesin olarak dağılım fonksiyonu, herhangi bir gaz molekülünün belirli bir hıza sahip olma olasılığı anlamına gelir. birim aralığı yakın hız υ . Bu yüzden onu çağırıyorlar olasılık yoğunluğu.
(2)'yi 0'dan itibaren tüm hız değerleri üzerinden integre ederek elde ederiz
(5)
(5)'ten şu sonuç çıkıyor
(6)
Denklem (6) denir normalleştirme koşulu işlevler. Bir molekülün 0'dan 0'a kadar olan hız değerlerinden birine sahip olma olasılığını belirler. Bir molekülün hızının bir anlamı vardır: Bu olay güvenilirdir ve olasılığı bire eşittir.
İşlev F(υ ) 1859 yılında Maxwell tarafından bulunmuştur. O seçildi Maxwell dağılımı:
(7)
Nerede A– hıza bağlı olmayan katsayı, M– moleküler kütle, T– gaz sıcaklığı. Normalizasyon koşulunu (6) kullanarak katsayıyı belirleyebiliriz A:
Bu integrali alırsak, şunu elde ederiz: A:
Katsayı dikkate alınarak A Maxwell dağılım fonksiyonu şu şekildedir:
(8)
Artırırken υ (8)'deki faktör büyüdükçe daha hızlı değişir υ 2. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu (8) orijinden başlar, belirli bir hız değerinde maksimuma ulaşır, daha sonra azalarak asimptotik olarak sıfıra yaklaşır (Şekil 1).
Şekil 1. Moleküllerin Maxwell dağılımı
hıza göre. T 2 > T 1
Maxwell dağılım eğrisini kullanarak, hızları belirli bir hız aralığında bulunan moleküllerin bağıl sayısını grafiksel olarak bulabilirsiniz. υ ile dυ(Şekil 1, gölgeli şeridin alanı).
Açıkçası, eğrinin altındaki alanın tamamı moleküllerin toplam sayısını verir N. Denklem (2)'den (8)'i hesaba katarak, hızları şu aralıkta olan moleküllerin sayısını buluyoruz: υ ile dυ
(9)
(8)'den, dağıtım fonksiyonunun spesifik formunun gazın türüne (molekülün kütlesi) bağlı olduğu da açıktır. M) ve sıcaklığa bağlıdır ve gazın basıncına ve hacmine bağlı değildir.
Yalıtılmış bir sistem dengeden çıkarılıp kendi haline bırakılırsa, belli bir süre sonra dengeye dönecektir. Bu süreye denir dinlenme zamanı. Farklı sistemler için farklıdır. Gaz denge durumundaysa moleküllerin hıza göre dağılımı zamanla değişmez. Tek tek moleküllerin hızları sürekli değişiyor, ancak moleküllerin sayısı dN hızları şu aralıkta yer alır: υ ile dυ her zaman sabit kalır.
Moleküllerin Maxwell hız dağılımı her zaman sistem denge durumuna ulaştığında kurulur. Gaz moleküllerinin hareketi kaotiktir. Termal hareketin rastgeleliğinin tam tanımı aşağıdaki gibidir: Moleküllerin hızları Maxwell'e göre dağıtılırsa moleküllerin hareketi tamamen kaotiktir.. Buradan sıcaklığın ortalama kinetik enerji tarafından belirlendiği sonucu çıkar. yani kaotik hareketler. Kuvvetli bir rüzgarın hızı ne kadar yüksek olursa olsun onu “sıcak” yapmaz. En güçlü rüzgar bile hem soğuk hem de sıcak olabilir çünkü gazın sıcaklığı rüzgarın yönsel hızına göre değil, moleküllerin kaotik hareket hızına göre belirlenir.
Dağılım fonksiyonunun grafiğinden (Şekil 1), hızları aynı d aralıklarında bulunan moleküllerin sayısının olduğu açıktır. υ , ancak farklı hızlara yakın υ , eğer hız daha fazlaysa υ fonksiyonun maksimumuna karşılık gelen hıza yaklaşır F(υ ). Bu hız υ n'ye en olası (büyük olasılıkla) denir.
(8)'in türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
Çünkü 
,
o zaman son eşitlik şu durumlarda sağlanır:
(10)
Denklem (10) şu durumlarda sağlanır:
VE 
İlk iki kök, fonksiyonun minimum değerlerine karşılık gelir. Daha sonra şu durumdan dağıtım fonksiyonunun maksimumuna karşılık gelen hızı buluruz:
Son denklemden:
(11)
Nerede R– evrensel gaz sabiti, μ – molar kütle.
(8)'den (11)'i hesaba katarak dağıtım fonksiyonunun maksimum değerini elde edebiliriz.
(12)
(11) ve (12)'den şu sonuç çıkıyor: artan T veya azalırken M maksimum eğri F(υ ) sağa kayar ve küçülür, ancak eğrinin altındaki alan sabit kalır (Şekil 1).
Birçok problemi çözmek için Maxwell dağılımını indirgenmiş haliyle kullanmak uygundur. Göreceli hızı tanıtalım:
Nerede υ – verilen hız, υ n- en olası hız. Bunu dikkate alarak denklem (9) şu şekli alır:
(13)
(13) evrensel bir denklemdir. Bu formda dağıtım fonksiyonu gazın türüne veya sıcaklığa bağlı değildir.
Eğri F(υ ) asimetriktir. Grafikten (Şekil 1), moleküllerin çoğunun, hızlardan daha yüksek olduğu açıktır. υ n. Eğrinin asimetrisi, moleküllerin aritmetik ortalama hızının eşit olmadığı anlamına gelir υ n. Aritmetik ortalama hız, tüm moleküllerin hızlarının toplamının sayılarına bölünmesine eşittir:
(2)’ye göre bunu dikkate alalım.
(14)
(14) değerini yerine koymak F(υ ) (8)'den aritmetik ortalama hızı elde ederiz:
(15)
Tüm moleküllerin hızlarının karelerinin toplamının sayılarına oranını hesaplayarak moleküllerin hızının ortalama karesini elde ederiz:
Oyuncu değişikliğinden sonra F(υ ) (8)'den şunu elde ederiz:
Son ifadeden hızın ortalama karekökünü buluyoruz:
(16)
(11), (15) ve (16)'yı karşılaştırarak, ve'nin sıcaklığa eşit derecede bağlı olduğu ve yalnızca sayısal değerler açısından farklı olduğu sonucuna varabiliriz: (Şekil 2).
Şekil 2. Mutlak hız değerleri üzerinden Maxwell dağılımı
Maxwell dağılımı denge durumundaki gazlar için geçerlidir; söz konusu moleküllerin sayısı yeterince büyük olmalıdır. Az sayıda molekül için Maxwell dağılımından önemli sapmalar (dalgalanmalar) gözlemlenebilir.
Moleküler hızların ilk deneysel tespiti, kıç 1920'de. Stern'ün cihazı aynı eksene monte edilmiş farklı yarıçaplara sahip iki silindirden oluşuyordu. Silindirlerden gelen hava derin bir vakuma pompalandı. İnce bir gümüş tabakasıyla kaplanmış bir platin iplik eksen boyunca gerildi. Filamentten elektrik akımı geçtiğinde, filaman yüksek bir sıcaklığa (~1200 o C) kadar ısınıyor ve bu da gümüş atomlarının buharlaşmasına yol açıyor.
İç silindirin duvarında içinden hareketli gümüş atomlarının geçtiği dar, uzunlamasına bir yarık yapıldı. Dış silindirin iç yüzeyinde birikerek, yarığın tam karşısında açıkça görülebilen ince bir şerit oluşturdular.
Silindirler sabit bir ω açısal hızıyla dönmeye başladı. Artık yarıktan geçen atomlar artık doğrudan yarığın karşısına yerleşmedi, ancak belirli bir mesafe kadar yer değiştirdiler, çünkü uçuşları sırasında dış silindirin belirli bir açıyla dönme zamanı vardı. Silindirler sabit bir hızla döndüğünde, atomların dış silindir üzerinde oluşturduğu şeridin konumu belirli bir mesafe kadar kayıyordu. ben.
Parçacıklar tesis sabitken 1 noktasına yerleşir; kurulum döndüğünde parçacıklar 2 noktasına yerleşir.
Elde edilen hız değerleri Maxwell'in teorisini doğruladı. Ancak bu yöntem moleküllerin hız dağılımının doğası hakkında yaklaşık bilgi sağladı.
Maxwell dağılımı deneylerle daha doğru bir şekilde doğrulandı Lammert, Easterman, Eldridge ve Costa. Bu deneyler Maxwell'in teorisini oldukça doğru bir şekilde doğruladı.
Bir ışındaki cıva atomlarının hızının doğrudan ölçümleri 1929'da yapıldı. Lammert. Bu deneyin basitleştirilmiş bir diyagramı Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.
Şekil 3. Lammert deneyinin şeması
1 - hızla dönen diskler, 2 - dar yarıklar, 3 - fırın, 4 - kolimatör, 5 - moleküllerin yörüngesi, 6 - dedektör
Ortak bir eksen üzerine monte edilmiş iki disk (1), birbirlerine göre belirli bir açıyla kaydırılmış radyal yuvalara (2) sahipti φ . Yarıkların karşısında, düşük erime noktalı metalin yüksek sıcaklığa ısıtıldığı fırın 3 vardı. Isıtılmış metal atomları, bu durumda cıva, fırından dışarı uçtu ve kolimatör 4 kullanılarak gerekli yöne yönlendirildi. Kolimatörde iki yarık bulunması, parçacıkların diskler arasında düz bir yol (5) boyunca hareketini sağladı. Daha sonra, disklerdeki yarıklardan geçen atomlar bir dedektör (6) kullanılarak kaydedildi. Açıklanan kurulumun tamamı derin vakuma yerleştirildi. .
Diskler sabit bir ω açısal hızıyla döndüğünde, yalnızca belirli bir hıza sahip olan atomlar yarıklardan serbestçe geçebiliyordu. υ . Her iki yarıktan geçen atomlar için eşitliğin sağlanması gerekir:
nerede Δ T 1 - moleküllerin diskler arasındaki uçuş süresi, Δ T 2 - diskleri belirli bir açıyla döndürme zamanı φ . Daha sonra:
Disklerin açısal dönüş hızını değiştirerek, belirli bir hıza sahip molekülleri ışından izole etmek mümkün oldu. υ ve dedektör tarafından kaydedilen yoğunluktan, bunların ışındaki göreceli içeriğine karar verilir.
Bu şekilde Maxwell'in moleküler hız dağılımı yasasını deneysel olarak doğrulamak mümkün oldu.
Gaz moleküllerinin hareketi istatistiksel fizik yasalarına uyar. Ortalama olarak tüm moleküllerin hızları ve enerjileri aynıdır. Bununla birlikte, herhangi bir zamanda, bireysel moleküllerin enerjisi ve hızı, ortalama değerden önemli ölçüde farklı olabilir.
Kullanarak olasılık teorisi Maxwell, belirli bir sıcaklıkta bir gazda belirli bir değer aralığında hızlara sahip moleküllerin meydana geldiği bağıl frekans için bir formül türetmeyi başardı.
Maxwell'in dağıtım yasası moleküllerin bağıl sayısını belirler dN/N, hızları aralıkta yer alan ( sen, sen + du).
Şuna benziyor:
Nerede N- toplam gaz molekülü sayısı; - hızları belirli bir aralıkta olan moleküllerin sayısı; u hız aralığının alt sınırıdır; D u hız aralığının değeridir; T- gaz sıcaklığı; e= 2,718… - doğal logaritmanın tabanı;
k= 1,38×10 -23 J/K - Boltzmann sabiti; M 0 molekülün kütlesidir.
Bu formülü elde ederken Maxwell aşağıdaki varsayımlara dayanıyordu:
1. Gaz çok sayıda gazdan oluşur Nözdeş moleküller.
2. Gaz sıcaklığı sabittir.
3. Gaz molekülleri termal kaotik harekete maruz kalır.
4. Gaz kuvvet alanlarından etkilenmez.
Not formül (8.29)'daki üstel işaretin altında molekülün kinetik enerjisinin miktara oranı vardır. kT bu enerjinin ortalama (moleküller üzerinde) değerini karakterize eder.
Maxwell dağılımı, belirli bir gazın toplam molekül sayısının dN/N oranının u ila u + du aralığında bir hıza sahip olduğunu gösterir.
Dağıtım fonksiyonlarının grafiği (Şekil 8.5) asimetrik. Maksimum konum, adı verilen en yaygın hızı karakterize eder. en olası hız u m. Hızları aşan sen, düşük hızlardan daha yaygındır. Artan sıcaklıkla birlikte maksimum dağılım daha yüksek hızlara doğru kayar.
Aynı zamanda eğri daha düz hale gelir (molekül sayısı çok fazla olduğundan eğrinin altındaki alan değişemez) N sabit kalır).
Pirinç. 8.5
En olası hızı belirlemek için Maxwell dağılım fonksiyonunu maksimuma kadar incelemeniz gerekir (birinci türevi sıfıra eşitleyin ve u'yu çözün). Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.
Size bağlı olmayan faktörleri göz ardı ettik. Farklılaşmayı gerçekleştirdikten sonra denkleme ulaşırız:
.
İlk faktör (üs) u = ¥'de kaybolur ve üçüncü faktör (u) u'da kaybolur. =
0. Ancak grafikten (Şekil 8.5) u değerlerinin olduğu açıktır. =
0 ve u = ¥ fonksiyonun (8.29) minimumuna karşılık gelir. Bu nedenle değer sen maksimuma karşılık gelen, ikinci parantezin sıfıra eşitliğinden elde edilir: 
. Buradan
. (8.30)
Moleküllerin hız dağılım fonksiyonu için notasyonu tanıtalım (8.29):
. (8.31)
Bazı fiziksel büyüklüklerin ortalama değerinin j( X) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Çarpıştıklarında gaz molekülleri hızlarını değiştirir. Moleküllerin hızı rastgele değişir. Belirli bir molekülün hangi sayısal hıza sahip olacağını önceden tahmin etmek imkansızdır: bu hız rastgeledir.
Moleküllerin hız modülleri üzerindeki dağılımı, dağıtım fonksiyonu kullanılarak tanımlanır. f(v):
burada oran, hızları şu aralıkta olan moleküllerin fraksiyonuna eşittir: v ile v+dv. dv- aralık genişliği (Şekil 2).
Pirinç. 2. Hız aralığı
Görünümü bilmek f(v), molekül sayısını bulabilirsiniz Δ NV bu moleküllerden N, Hızları hız aralığı dahilinde olan v ile v + Δv. Davranış
(14)
Bir molekülün hızının belirli bir hız aralığında bir değere sahip olma olasılığını verir dv.
İşlev f(v) normalleştirme koşulunu karşılamalıdır, yani koşul karşılanmalıdır:
(15)
(17.3) ifadesinin sol tarafı, molekülün 0 ila ∞ aralığında bir hıza sahip olma olasılığını verir. Bir molekülün hızının zorunlu olarak bir anlamı olduğundan, belirtilen olasılık belirli bir olayın olasılığıdır ve dolayısıyla 1'e eşittir.
Dağılım fonksiyonu Maxwell tarafından teorik olarak bulunmuştur. Şuna benziyor:
(16)
Nerede t 0 - moleküler kütle.
İfade (16) denir Maxwell dağılım fonksiyonu.
(16)'dan, moleküler hız dağılımının tipinin gazın doğasına (molekül kütlesi) ve sıcaklığa bağlı olduğu sonucu çıkmaktadır. T. Basınç ve hacim moleküllerin hız dağılımını etkilemez.
Şekil 3. Maxwell dağılım fonksiyonu grafiği
Maxwell dağılım fonksiyonunun şematik bir grafiği Şekil 2'de verilmiştir. 3. Grafiği analiz edelim.
1. Sıfıra yaklaşan hızlarda (v ->0) ve sonsuza kadar (v -> ∞) dağıtım fonksiyonu da sıfıra eğilimlidir. Bu, çok büyük ve çok küçük moleküler hızların olası olmadığı anlamına gelir.
2. Hız vB, Dağıtım fonksiyonunun maksimumuna karşılık gelen değer en muhtemel olacaktır. Bu, moleküllerin çoğunun olasılığa yakın hızlara sahip olduğu anlamına gelir.
En olası hızı hesaplamak için bir formül alabilirsiniz:
(17)
nerede — Boltzmann sabiti; t 0 - moleküler kütle.
3. Normalizasyon koşuluna (15) uygun olarak eğrinin sınırladığı alan f(v) ve x ekseni bire eşittir.
4. Dağıtım eğrisi asimetriktir. Bu, hızları en muhtemel olandan daha yüksek olan moleküllerin fraksiyonunun, en muhtemel olandan daha düşük hızlara sahip olan moleküllerin fraksiyonundan daha büyük olduğu anlamına gelir.
5. Eğrinin şekli gazın sıcaklığına ve doğasına bağlıdır. Şek. Şekil 4'te aynı gazın farklı sıcaklıklardaki dağılım fonksiyonu gösterilmektedir. Isıtıldığında, "hızlı" moleküllerin oranı arttığı ve "yavaş" moleküllerin oranı azaldığı için eğrinin maksimumu azalır ve sağa kayar. Her iki eğrinin altındaki alan sabit ve bire eşit kalır.
Maxwell tarafından ortaya konulan moleküler hız dağılımı kanunu ve bundan doğan sonuçlar yalnızca denge durumundaki bir gaz için geçerlidir. Maxwell yasası istatistikseldir ve yalnızca çok sayıda parçacığa uygulanabilir.
Pirinç. 4. Farklı sıcaklıklarda Maxwell dağılımları
Maxwell dağıtım fonksiyonunu kullanma f(v) moleküllerin durumunu karakterize eden bir dizi ortalama değer bulabilirsiniz.
Aritmetik ortalama hız - tüm moleküllerin hızlarının toplamının molekül sayısına bölümü:
. (18)
Ortalama kare hız, moleküllerin ortalama kinetik enerjisini belirleyen (bkz. formül (10)), tanım gereği şuna eşittir:
<v HF> = 
(19)
Maxwell dağılımı (gaz moleküllerinin dağılımıhıza göre). Denge durumunda, gaz parametreleri (basınç, hacim ve sıcaklık) değişmeden kalır, ancak mikro durumlar - moleküllerin göreceli konumu, hızları - sürekli değişir. Moleküllerin çok sayıda olması nedeniyle herhangi bir anda hızlarının değerlerini belirlemek pratik olarak imkansızdır, ancak moleküllerin hızının sürekli bir rastgele değişken olduğu düşünüldüğünde moleküllerin hıza göre dağılımını belirtmek mümkündür. .
Ayrı bir molekül seçelim. Hareketin rastgeleliği örneğin hızın yansıtılmasına olanak tanır X moleküller normal dağılım yasasını kabul eder. Bu durumda J. C. Maxwell'in gösterdiği gibi olasılık yoğunluğu şu şekilde yazılır:
Nerede T 0 - molekülün kütlesi, T- termodinamik gaz sıcaklığı, k - Boltzmann sabiti.
Benzer ifadeler için de elde edilebilir. F( en ) Ve F( z ).
Formül (2.15)'e dayanarak, bir molekülün hız projeksiyonunun şu aralıkta yer alma olasılığını yazabiliriz: X ile X + D X :
diğer eksenler için benzer
(2.29) ve (2.30) koşullarından her biri bağımsız bir olayı yansıtmaktadır. Bu nedenle, bir molekülün izdüşümleri aynı anda tüm koşulları karşılayan bir hıza sahip olma olasılığı, olasılık çarpım teoremi kullanılarak bulunabilir [bkz. (2.6)]:
(2.28)'i kullanarak (2.31)'den şunu elde ederiz:
(2.32)'den mutlak hız değerlerinin Maxwell olasılık dağılım fonksiyonunu elde edebileceğimizi unutmayın. (Maxwell hız dağılımı):
(2.33)
ve bir molekülün hızının arasında olma olasılığı ile + D :
Fonksiyonun (2.33) grafiği Şekil 2.5'te gösterilmektedir. Hız,Maxwell eğrisinin maksimumuna karşılık gelen şeye denirbüyük olasılıkla V. Maksimum fonksiyon koşulu kullanılarak belirlenebilir:
veya
Bir molekülün ortalama hızı (matematiksel beklenti) genel kurala göre bulunabilir [bkz. (2.20)]. Hızın ortalama değeri belirlendiğinden entegrasyon sınırları 0'dan 'ye alınır (matematiksel ayrıntılar atlanmıştır):
Nerede M = t 0 N A, gazın molar kütlesidir, R = k N A - evrensel gaz sabiti, N A, Avogadro'nun sayısıdır.
Sıcaklık arttıkça Maxwell eğrisinin maksimumu daha yüksek hızlara ve moleküllerin dağılımına doğru kayar. değişiklikler (Şekil 2.6; T 1 < Т 2 ). Maxwell dağılımı, hızları belirli bir aralığında bulunan moleküllerin sayısını hesaplamanıza olanak tanır. İlgili formülü elde ederiz.
Toplam sayıdan bu yana N Bir gazdaki moleküller genellikle yüksektir, bu durumda olasılık d P d sayısının oranı olarak ifade edilebilir N Hızları belirli bir aralıkta olan moleküller D , toplam sayıya N moleküller:
(2.34) ve (2.37)'den şu sonuç çıkar:
Formül (2.38), hızları ve: ila i> 2 aralığında bulunan moleküllerin sayısını belirlememize olanak tanır. Bunu yapmak için (2.38)'i entegre etmeniz gerekir:
veya kavisli bir yamuğun alanını grafiksel olarak hesaplayın 1 ile 2 (Şekil 2.7).
Hız aralığı ise D yeterince küçükse, hızları bu aralığa karşılık gelen moleküllerin sayısı yaklaşık olarak formül (2.38) kullanılarak veya taban ile bir dikdörtgenin alanı olarak grafiksel olarak hesaplanabilir. D .
Belirli bir değere eşit hıza sahip kaç molekül olduğu sorusuna ilk bakışta garip bir cevap gelir: Hız kesinlikle kesin olarak belirtilirse, hız aralığı sıfırdır. (D = 0) ve (2.38)'den sıfır elde ederiz, yani tek bir molekülün hızı önceden belirlenen hıza tam olarak eşit değildir. Bu, olasılık teorisinin hükümlerinden birine karşılık gelir: Hız gibi sürekli bir rastgele değişken için, gazdaki en az bir molekülün sahip olduğu değerini kesinlikle tam olarak "tahmin etmek" imkansızdır.
Moleküllerin hıza göre dağılımı çeşitli deneylerle doğrulanmıştır.
Maxwell dağılımı, moleküllerin sadece hıza göre değil aynı zamanda kinetik enerjiye göre de dağılımı olarak düşünülebilir (çünkü bu kavramlar birbiriyle ilişkilidir).
Boltzmann dağılımı. Moleküller bir dış kuvvet alanında, örneğin Dünya'nın yerçekimi alanındaysa, potansiyel enerjilerinin dağılımını bulmak, yani belirli bir potansiyel enerji değerine sahip parçacıkların konsantrasyonunu belirlemek mümkündür.
Si'deki potansiyel enerjilere göre parçacıkların dağılımıbalıkçılık alanları-Yerçekimi, elektrik vb.-Boltzmann dağılımı denir.
Yerçekimi alanıyla ilgili olarak bu dağılım, konsantrasyona bağlı olarak yazılabilir. N yükseklikten moleküller H Dünya seviyesinin üstünde veya molekülün potansiyel enerjisinden mgh:
İfade (2.40) ideal gaz parçacıkları için geçerlidir. Grafiksel olarak bu üstel bağımlılık Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.8.
Moleküllerin Dünya'nın yerçekimi alanındaki bu dağılımı, moleküler kinetik kavramlar çerçevesinde, moleküllerin iki karşıt faktörden etkilenmesi gerçeğiyle niteliksel olarak açıklanabilir: etkisi altında tüm moleküllerin Dünya'ya çekildiği yerçekimi alanı. ve molekülleri mümkün olan en geniş ölçüde eşit şekilde dağıtma eğiliminde olan moleküler-kaotik hareket.
Sonuç olarak, Maxwell ve Boltzmann dağılımlarındaki üstel terimler arasındaki bazı benzerliklere dikkat çekmekte fayda var:
Birinci dağılımda üslü olarak molekülün kinetik enerjisinin oranı kT, ikincisinde - potansiyel enerjinin oranı kT.