Bu yazıda integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisede, belirli integrallerin çalışmasını yeni tamamladığımızda ve edinilen bilgilerin geometrik yorumuna pratikte başlamanın zamanı geldiğinde karşılaşırız.
Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:
- Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
- İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
- Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anladınız mı? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
- Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer türdeki integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları nasıl çözeceğimizi anlamayı da içerir.
Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:
1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte kareli bir kağıt üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece sorunu grafiksel olarak çözüyoruz. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.
2. Entegrasyonun sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafiksel çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğine bakarız.
3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak bir şeklin alanını bulma konusunda farklı yaklaşımlar vardır. İntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerine bakalım.
3.1.
Sorunun en klasik ve en basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseni (y = 0) ile sınırlanan düz bir şekil, x = a, x = b düz çizgileri ve a'dan b'ye kadar olan aralıkta sürekli olan herhangi bir eğridir. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:Örnek 1
y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? OX ekseninin üzerinde yer alan bir y = x2 - 3x + 3 parabolümüz var, negatif değil çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerlere sahiptir. Daha sonra, op-amp'in eksenine paralel uzanan ve sol ve sağdaki şeklin sınır çizgileri olan x = 1 ve x = 3 düz çizgileri verilmiştir. Evet, y = 0, aynı zamanda x eksenidir ve bu da şekli alttan sınırlar. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde basit bir kavisli yamuk örneği var ve bunu daha sonra Newton-Leibniz formülünü kullanarak çözüyoruz.
3.2.Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Aşağıda böyle bir sorunun nasıl çözüleceğini ele alacağız.
Örnek 2
. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Bu örnekte, OX ekseninin altından kaynaklanan, x = -4, x = -1, y = 0 düz çizgilerinden kaynaklanan bir y = x2 + 6x + 2 parabolümüz var. Burada y = 0 istenen rakamı yukarıdan sınırlar. x = -4 ve x = -1 düz çizgileri, belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aynı zamanda [-4; -1]. Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.
Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde xOy, x ekseni, düz çizgiler x = a, x = b (eğri bir yamuk) ile sınırlanan bir şekil verilir (şekle bakın). Kavisli yamuğun alanının hesaplanması gerekir.
Çözüm. Geometri bize çokgenlerin alanlarını ve bir dairenin bazı kısımlarını (sektör, parça) hesaplamak için tarifler verir. Geometrik değerlendirmeleri kullanarak, aşağıdaki mantıkla gerekli alanın yalnızca yaklaşık değerini bulabiliriz.
[a; segmentini bölelim; b] (kavisli bir yamuğun tabanı) n eşit parçaya bölünür; bu bölme x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 noktaları kullanılarak gerçekleştirilir. Bu noktalardan y eksenine paralel düz çizgiler çizelim. Daha sonra verilen eğrisel yamuk n parçaya, n dar sütuna bölünecektir. Tüm yamuğun alanı sütunların alanlarının toplamına eşittir.
K'inci sütunu ayrı ayrı ele alalım, yani. tabanı bir segment olan kavisli bir yamuk. Bunu, tabanı ve yüksekliği f(x k) ile aynı olan bir dikdörtgenle değiştirelim (şekle bakın). Dikdörtgenin alanı \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \'ye eşittir; burada \(\Delta x_k \) parçanın uzunluğudur; Ortaya çıkan ürünü k'inci sütunun alanının yaklaşık değeri olarak düşünmek doğaldır. 
Şimdi aynısını diğer tüm sütunlar için yaparsak, şu sonuca ulaşacağız: belirli bir eğrisel yamuğun S alanı, n dikdörtgenden oluşan basamaklı bir şeklin S n alanına yaklaşık olarak eşittir (şekle bakın):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Burada, gösterimin tekdüzeliği adına, a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - parçanın uzunluğu, \(\Delta x_1 \) - parçanın uzunluğu, vb.; bu durumda yukarıda anlaştığımız gibi, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Yani, \(S \approx S_n \) ve bu yaklaşık eşitlik, n ne kadar büyük olursa o kadar doğrudur.
Tanım gereği, eğrisel bir yamuğun gerekli alanının dizinin sınırına (S n) eşit olduğuna inanılmaktadır:
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Problem 2 (bir noktayı hareket ettirmeyle ilgili)
Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder. Hızın zamana bağımlılığı v = v(t) formülüyle ifade edilir. Bir noktanın belirli bir zaman periyodundaki hareketini bulun [a; B].
Çözüm. Eğer hareket tekdüze olsaydı sorun çok basit bir şekilde çözülürdü: s = vt, yani. s = v(b-a). Düzensiz hareket için, önceki problemin çözümünün dayandığı aynı fikirleri kullanmanız gerekir.
1) Zaman aralığını [a; b] n eşit parçaya bölünür.
2) Bir zaman periyodu düşünün ve bu zaman periyodu sırasında hızın tk zamanındakiyle aynı olduğunu varsayalım. Dolayısıyla v = v(t k) olduğunu varsayıyoruz.
3) Noktanın belirli bir zaman dilimindeki hareketinin yaklaşık değerini bulalım; bu yaklaşık değeri s k olarak göstereceğiz.
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Yer değiştirme s'nin yaklaşık değerini bulun:
\(s \yaklaşık S_n \) burada
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Gerekli yer değiştirme dizinin sınırına eşittir (S n):
$$ s = \lim_(n \ile \infty) S_n $$
Özetleyelim. Çeşitli problemlerin çözümleri aynı matematiksel modele indirgendi. Bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarındaki pek çok problem, çözüm sürecinde aynı modele yol açmaktadır. Bu, bu matematiksel modelin özel olarak incelenmesi gerektiği anlamına gelir.
Belirli bir integral kavramı[a; B]:
1) [a] parçasını bölün; b] n eşit parçaya bölünür;
2) toplamı oluşturun $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$'ı hesaplayın
Matematiksel analiz sırasında bu sınırın sürekli (veya parçalı sürekli) bir fonksiyon durumunda mevcut olduğu kanıtlanmıştır. Buna y = f(x) fonksiyonunun [a; b] ve aşağıdaki gibi gösterilir:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
A ve b sayılarına entegrasyon sınırları denir (sırasıyla alt ve üst).
Yukarıda tartışılan görevlere dönelim. Problem 1'de verilen alan tanımı artık aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
burada S, yukarıdaki şekilde gösterilen eğrisel yamuğun alanıdır. Belirli integralin geometrik anlamı budur.
Problem 2'de verilen, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesinin s tanımı aşağıdaki şekilde yeniden yazılabilir:
Öncelikle şu soruyu cevaplayalım: Belirli integral ile ters türev arasındaki bağlantı nedir?
Cevap Problem 2'de bulunabilir. Bir yandan, t = a'dan t = b'ye kadar geçen sürede v = v(t) hızıyla düz bir çizgide hareket eden bir noktanın yer değiştirmesi s şu şekilde hesaplanır: formül
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Öte yandan, hareketli bir noktanın koordinatı hızın ters türevidir; buna s(t) diyelim; Bu, s yer değiştirmesinin s = s(b) - s(a) formülüyle ifade edildiği anlamına gelir. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
burada s(t), v(t)'nin ters türevidir.
Aşağıdaki teorem matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.
Teorem. Eğer y = f(x) fonksiyonu [a; b] ise formül geçerlidir
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
burada F(x), f(x)'in terstürevidir.
Yukarıdaki formüle, onu birbirlerinden bağımsız olarak ve neredeyse aynı anda elde eden İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643-1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz'in (1646-1716) onuruna genellikle Newton-Leibniz formülü denir.
Uygulamada, F(b) - F(a) yazmak yerine \(\left. F(x)\right|_a^b \) gösterimini kullanırlar (buna bazen çift yerine koyma da denir) ve buna göre yeniden yazarlar. Newton-Leibniz formülü şu şekilde oluşur:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Belirli bir integrali hesaplarken, önce ters türevi bulun ve ardından ikili ikame yapın.
Newton-Leibniz formülüne dayanarak belirli integralin iki özelliğini elde edebiliriz.
Özellik 1. Fonksiyonların toplamının integrali, integrallerin toplamına eşittir:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Özellik 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
İntegrali kullanarak, yalnızca eğrisel yamukların alanlarını değil, aynı zamanda daha karmaşık tipteki düzlemsel figürlerin, örneğin şekilde gösterilenin alanlarını da hesaplayabilirsiniz. P şekli x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) sürekli fonksiyonlarının grafikleriyle ve [a; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği geçerlidir. Böyle bir şeklin S alanını hesaplamak için şu şekilde ilerleyeceğiz:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Yani, x = a, x = b düz çizgileriyle ve y = f(x), y = g(x) fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin S alanı, parça üzerinde süreklidir ve parçadaki herhangi bir x için öyledir [A; b] \(g(x) \leq f(x) \) eşitsizliği sağlanır, formülle hesaplanır
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
A)
Çözüm.
Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir.
Çizimi yapalım:
Denklem y=0“x” eksenini ayarlar;
- x=-2 Ve x=1- düz, eksene paralel Ah;
- y=x 2 +2 - dalları yukarı doğru yönlendirilmiş, tepe noktası (0;2) noktasında olan bir parabol.
Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun Ah ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözerek eksenle kesişimi bulun Ah .
Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir: 
Ayrıca noktadan noktaya çizgiler de oluşturabilirsiniz.
[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 eksenin üstünde bulunur Öküz, Bu yüzden:
Cevap: S=9 metrekare birim
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı Ah?
b) Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.
Çözüm.
Bir çizim yapalım.
Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.
c) Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.
Çözüm.
İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişim noktalarını bulalım 
ve düz 
Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.
Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0, entegrasyonun üst sınırı b=3 .
|
Verilen çizgileri oluşturuyoruz: 1. Parabol - (1;1) noktasındaki tepe noktası; eksen kesişimi Ah -(0;0) ve (0;2) noktaları. 2. Düz çizgi - 2. ve 4. koordinat açılarının ortaortayı. Ve şimdi Dikkat! Eğer segmentteyse [ a;b] bazı sürekli fonksiyonlar f(x) sürekli bir fonksiyondan büyük veya ona eşit g(x), daha sonra karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: Ve şeklin nerede olduğu önemli değil - eksenin üstünde veya altında, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur. Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır. |
.Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Segmentte 
karşılık gelen formüle göre:
Cevap: S=4,5 metrekare birim
Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?
Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Basitliğe ek olarak, bu evrensel yöntem sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artmasına yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.
Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanan web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.
MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.
MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:
Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.
MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Hepsi bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.
Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.
Bir Menger süngeri oluşturmanın yinelemeli algoritması oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.
Belirli bir integralin geometrik anlamının analizine ayrılan önceki bölümde, eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamak için bir dizi formül aldık:
Yandex.RTB R-A-339285-1
[ a ; aralığında sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon için S (G) = ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] ,
[ a ; aralığında sürekli ve pozitif olmayan bir fonksiyon için S (G) = - ∫ a b f (x) d x y = f (x) B ] .
Bu formüller nispeten basit problemlerin çözümüne uygulanabilir. Gerçekte çoğu zaman daha karmaşık rakamlarla çalışmak zorunda kalacağız. Bu bağlamda, bu bölümü, açık biçimdeki işlevlerle sınırlı olan rakamların alanını hesaplamak için algoritmaların analizine ayıracağız; y = f(x) veya x = g(y) gibi.
Teoremy = f 1 (x) ve y = f 2 (x) fonksiyonlarının [ a ; b ] ve f 1 (x) ≤ f 2 (x), [ a ; B ] . Daha sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) ve y = f 2 (x) çizgileriyle sınırlanan G şeklinin alanını hesaplama formülü S (G) = ∫ gibi görünecektir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Benzer bir formül, y = c, y = d, x = g 1 (y) ve x = g 2 (y) çizgileriyle sınırlanan bir şeklin alanı için geçerli olacaktır: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Kanıt
Formülün geçerli olacağı üç duruma bakalım.
İlk durumda, alanın toplamsallığı özelliği dikkate alındığında, orijinal G şeklinin ve eğrisel yamuk G1'in alanlarının toplamı G2 şeklinin alanına eşittir. Bu şu anlama geliyor
Bu nedenle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Son geçişi belirli integralin üçüncü özelliğini kullanarak yapabiliriz.
İkinci durumda eşitlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Grafik gösterimi şöyle görünecektir:
Her iki fonksiyon da pozitif değilse şunu elde ederiz: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx . Grafik gösterimi şöyle görünecektir:
Şimdi y = f 1 (x) ve y = f 2 (x)'in O x ekseniyle kesiştiği genel durumu ele almaya devam edelim.
Kesişme noktalarını x i, i = 1, 2, olarak gösteririz. . . , n - 1 . Bu noktalar [a; b ] n parçaya x i - 1; x ben, ben = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Buradan,
S (G) = ∑ ben = 1 n S (G ben) = ∑ ben = 1 n ∫ x ben x ben f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Son geçişi belirli integralin beşinci özelliğini kullanarak yapabiliriz.
Genel durumu grafik üzerinde gösterelim.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x formülü kanıtlanmış sayılabilir.
Şimdi y = f (x) ve x = g (y) doğrularıyla sınırlanan şekillerin alanlarının hesaplanmasına ilişkin örnekleri analiz etmeye geçelim.
Örneklerden herhangi birini incelemeye bir grafik oluşturarak başlayacağız. Görüntü, karmaşık şekilleri daha basit şekillerin birleşimi olarak temsil etmemize olanak tanıyacak. Eğer üzerlerinde grafik ve şekil oluşturmak size zorluk çıkarıyorsa, temel temel fonksiyonlar, fonksiyonların grafiklerinin geometrik dönüşümü ve ayrıca fonksiyon çalışırken grafik oluşturma bölümünü inceleyebilirsiniz.
Örnek 1
Şeklin y = - x 2 + 6 x - 5 parabolü ve y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz çizgileriyle sınırlı olan alanını belirlemek gerekir.
Çözüm
Grafikteki çizgileri Kartezyen koordinat sistemine göre çizelim.
Segmentte [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolünün grafiği y = - 1 3 x - 1 2 düz çizgisinin üzerinde yer alır. Bu bağlamda, cevabı elde etmek için daha önce elde edilen formülün yanı sıra Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrali hesaplama yöntemini kullanıyoruz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Cevap: S(G) = 13
Daha karmaşık bir örneğe bakalım.
Örnek 2
Şeklin y = x + 2, y = x, x = 7 çizgileriyle sınırlı olan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Bu durumda x eksenine paralel olan tek bir düz çizgimiz var. Bu x = 7'dir. Bu da entegrasyonun ikinci sınırını kendimiz bulmamızı gerektiriyor.
Bir grafik oluşturalım ve problem ifadesinde verilen çizgileri çizelim.
Grafiği gözümüzün önünde tutarak, entegrasyonun alt sınırının, y = x düz çizgisi ile y = x + 2 yarı parabolünün grafiğinin kesişme noktasının apsisi olacağını kolayca belirleyebiliriz. Apsis'i bulmak için eşitlikleri kullanırız:
y = x + 2 Ö DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ Ö DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ Ö DZ
Kesişme noktasının apsisinin x = 2 olduğu ortaya çıkıyor.
Çizimdeki genel örnekte y = x + 2, y = x doğrularının (2; 2) noktasında kesiştiğine dolayısıyla bu tür detaylı hesaplamaların gereksiz görünebileceğine dikkatinizi çekeriz. Burada bu kadar ayrıntılı bir çözüm sunmamızın nedeni, daha karmaşık durumlarda çözümün o kadar açık olmayabilmesidir. Bu, doğruların kesişim koordinatlarını analitik olarak hesaplamanın her zaman daha iyi olduğu anlamına gelir.
[ 2 ; 7] y = x fonksiyonunun grafiği, y = x + 2 fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer alır. Alanı hesaplamak için formülü uygulayalım:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Cevap: S(G) = 59 6
Örnek 3
y = 1 x ve y = - x 2 + 4 x - 2 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Doğruları grafik üzerinde işaretleyelim.
Entegrasyonun sınırlarını tanımlayalım. Bunu yapmak için 1 x ve - x 2 + 4 x - 2 ifadelerini eşitleyerek doğruların kesişme noktalarının koordinatlarını belirliyoruz. X'in sıfır olmaması koşuluyla, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 eşitliği, tamsayı katsayılı üçüncü derece denklem - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0'a eşdeğer olur. Bu tür denklemlerin çözümüne yönelik algoritmaya ilişkin hafızanızı tazelemek için “Kübik denklemlerin çözülmesi” bölümüne bakabiliriz.
Bu denklemin kökü x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0'dır.
- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadesini binom x - 1'e bölerek şunu elde ederiz: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Kalan kökleri x 2 - 3 x - 1 = 0 denkleminden bulabiliriz:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
x ∈ 1 aralığını bulduk; 3 + 13 2, burada G rakamı mavi çizginin üstünde ve kırmızı çizginin altındadır. Bu, şeklin alanını belirlememize yardımcı olur:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Cevap: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Örnek 4
Şeklin y = x 3, y = - log 2 x + 1 eğrileri ve apsis ekseni ile sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Grafikteki tüm doğruları çizelim. y = - log 2 x + 1 fonksiyonunun grafiğini, x eksenine göre simetrik olarak konumlandırıp bir birim yukarı hareket ettirirsek, y = log 2 x grafiğinden elde edebiliriz. X ekseninin denklemi y = 0'dır.
Doğruların kesişme noktalarını işaretleyelim.
Şekilden görüldüğü gibi y = x 3 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (0; 0) noktasında kesişmektedir. Bunun nedeni x = 0'ın, x 3 = 0 denkleminin tek gerçek kökü olmasıdır.
Denklemin tek kökü x = 2'dir - log 2 x + 1 = 0, dolayısıyla y = - log 2 x + 1 ve y = 0 fonksiyonlarının grafikleri (2; 0) noktasında kesişir.
x = 1 denkleminin tek kökü x 3 = - log 2 x + 1'dir. Bu bakımdan y = x 3 ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonlarının grafikleri (1; 1) noktasında kesişmektedir. Son ifade açık olmayabilir, ancak x 3 = - log 2 x + 1 denkleminin birden fazla kökü olamaz, çünkü y = x 3 fonksiyonu tam olarak artan bir fonksiyondur ve y = - log 2 x + 1 fonksiyonu ise kesin olarak azalıyor.
Diğer çözüm birkaç seçeneği içerir.
Seçenek #1
G şeklini, x ekseninin üzerinde yer alan iki eğrisel yamuğun toplamı olarak hayal edebiliriz; bunlardan ilki, x ∈ 0 parçası üzerinde orta çizginin altında yer alır; 1 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı çizginin altındadır; 2. Bu, alanın S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x'e eşit olacağı anlamına gelir.
Seçenek No.2
Şekil G, iki şeklin farkı olarak temsil edilebilir; bunlardan ilki, x ekseninin üzerinde ve x ∈ 0 parçası üzerindeki mavi çizginin altında yer alır; 2 ve ikincisi x ∈ 1 segmentindeki kırmızı ve mavi çizgiler arasında; 2. Bu, alanı şu şekilde bulmamızı sağlar:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Bu durumda, alanı bulmak için S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formundaki bir formülü kullanmanız gerekecektir. Aslında şekli sınırlayan çizgiler y argümanının fonksiyonları olarak temsil edilebilir.
y = x 3 ve - log 2 x + 1 denklemlerini x'e göre çözelim:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Gerekli alanı elde ediyoruz:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Cevap: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Örnek 5
Şeklin y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplamak gerekir.
Çözüm
Kırmızı bir çizgiyle y = x fonksiyonu tarafından tanımlanan çizgiyi çiziyoruz. y = - 1 2 x + 4 çizgisini mavi, y = 2 3 x - 3 çizgisini siyah çizeceğiz.
Kesişme noktalarını işaretleyelim.
y = x ve y = - 1 2 x + 4 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım:
x = - 1 2 x + 4 Ö DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrol edin: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 değil Denklemin çözümü x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 denklemin çözümüdür ⇒ (4; 2) kesişme noktası i y = x ve y = - 1 2 x + 4
y = x ve y = 2 3 x - 3 fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktasını bulalım:
x = 2 3 x - 3 Ö DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrol edin: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 denklemin çözümüdür ⇒ (9 ; 3) nokta a s y = x ve y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Denklemin çözümü yok
y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3 doğrularının kesişme noktasını bulalım:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) kesişme noktası y = - 1 2 x + 4 ve y = 2 3 x - 3
Yöntem No.1
İstenilen şeklin alanını tek tek şekillerin alanlarının toplamı olarak hayal edelim.
O zaman şeklin alanı:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Yöntem No.2
Orijinal şeklin alanı diğer iki rakamın toplamı olarak gösterilebilir.
Daha sonra çizginin denklemini x'e göre çözeriz ve ancak bundan sonra şeklin alanını hesaplamak için formülü uygularız.
y = x ⇒ x = y 2 kırmızı çizgi y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 siyah çizgi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ben n ben a l ben n e
Yani alan:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Gördüğünüz gibi değerler aynı.
Cevap: S(G) = 11 3
SonuçlarBir şeklin verilen çizgilerle sınırlı alanını bulmak için düzlem üzerinde çizgiler çizmemiz, kesişme noktalarını bulmamız ve alanı bulmak için formülü uygulamamız gerekir. Bu bölümde en yaygın görev çeşitlerini inceledik.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.