2. Olasılık teorisinin temelleri
Beklenti
Sayısal değerleri olan bir rastgele değişken düşünün. Bir sayıyı bu işlevle - "ortalama değeri" veya dedikleri gibi "ortalama değer", "merkezi eğilim endeksi" ile ilişkilendirmek genellikle yararlıdır. Bazıları daha sonra açıklığa kavuşturulacak olan birçok nedenden ötürü, matematiksel beklenti genellikle “ortalama değer” olarak kullanılır.
Tanım 3. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X aranan numara
onlar. rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, karşılık gelen temel olayların olasılıklarına eşit ağırlıklara sahip bir rastgele değişkenin değerlerinin ağırlıklı toplamıdır.
Örnek 6. Zarın üst yüzünde çıkan sayının matematiksel beklentisini hesaplayalım. Doğrudan Tanım 3'ten şu sonuç çıkar:
Açıklama 2. Rastgele değişken olsun X değerleri alır x 1, x 2,…, xM. O halde eşitlik doğrudur
(5)
onlar. bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, rastgele değişkenin değerlerinin, rastgele değişkenin belirli değerleri alma olasılıklarına eşit ağırlıklarla ağırlıklı toplamıdır.
Toplamanın doğrudan temel olaylar üzerinden yapıldığı (4)'ten farklı olarak, rastgele bir olay birçok temel olaydan oluşabilir.
Bazen ilişki (5) matematiksel beklentinin tanımı olarak alınır. Bununla birlikte, aşağıda gösterildiği gibi Tanım 3'ü kullanarak, gerçek olayların olasılıksal modellerini oluşturmak için gerekli olan matematiksel beklentinin özelliklerini oluşturmak, ilişkiyi (5) kullanmaktan daha kolaydır.
İlişkiyi (5) kanıtlamak için, rastgele değişkenin aynı değerlerine sahip terimleri (4) gruplandırıyoruz:
Sabit faktör toplamın işaretinden çıkarılabildiğine göre, o zaman
Bir olayın olasılığını belirleyerek
Son iki ilişkiyi kullanarak gerekli olanı elde ederiz:
Olasılıksal-istatistik teorisindeki matematiksel beklenti kavramı, mekanikteki ağırlık merkezi kavramına karşılık gelir. Bunu noktalara koyalım x 1, x 2,…, xM kütle numarası ekseninde P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) sırasıyla. O halde eşitlik (5), bu maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin matematiksel beklentiyle örtüştüğünü gösterir ve bu da Tanım 3'ün doğallığını gösterir.
Açıklama 3.İzin vermek X– rastgele değişken, M(X)– matematiksel beklentisi, A– belirli bir sayı. Daha sonra
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3) M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 .
Bunu kanıtlamak için önce sabit olan bir rastgele değişkeni ele alalım; fonksiyon temel olayların uzayını tek bir noktaya eşler A. Sabit faktör toplamın işaretinin ötesine alınabileceğinden, o zaman
Bir toplamın her bir üyesi iki terime bölünürse, toplamın tamamı iki toplama bölünür; bunlardan birincisi ilk terimlerden, ikincisi ikinciden oluşur. Bu nedenle iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi X+Y Aynı temel olaylar uzayında tanımlanan matematiksel beklentilerin toplamına eşittir M(X) Ve M(Ü) bu rastgele değişkenler:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Ve bu nedenle M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Yukarıda gösterildiği gibi, M(M(X)) = M(X). Buradan, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
O zamandan beri (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - A)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - A) + (M(X) – A) 2 , O M[(X - a) 2 ] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - A)} + M[(M(X) – A) 2 ]. Son eşitliği basitleştirelim. İfade 3'ün ispatının başlangıcında gösterildiği gibi, bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisidir ve dolayısıyla M[(M(X) – A) 2 ] = (M(X) – A) 2 . Sabit faktör toplamın işaretinin ötesine alınabileceğinden, o zaman M{2(X - M(X))(M(X) - A)} = 2(M(X) - A)M(X - M(X)). Son eşitliğin sağ tarafı 0'dır çünkü yukarıda gösterildiği gibi M(X-M(X))=0. Buradan, M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 Kanıtlanması gereken şey buydu.
Yukarıdakilerden şu sonuç çıkıyor M[(X- A) 2 ] minimum seviyeye ulaşır A, eşit M[(X- M(X)) 2 ], en a = M(X), eşitlik 3)'teki ikinci terim her zaman negatif değildir ve yalnızca belirtilen değer için 0'a eşit olduğundan A.
Açıklama 4. Rastgele değişken olsun X değerleri alır x 1, x 2,…, xM ve f sayısal argümanın bir fonksiyonudur. Daha sonra
Bunu kanıtlamak için matematiksel beklentiyi tanımlayan eşitliğin (4) sağ tarafında aynı değerlere sahip terimleri gruplayalım:
Sabit faktörün toplamın işaretinden çıkarılabileceği gerçeğini ve rastgele bir olayın olasılığının tanımını (2) kullanarak şunu elde ederiz:
Q.E.D.
Açıklama 5.İzin vermek X Ve sen– temel olayların aynı uzayında tanımlanan rastgele değişkenler, A Ve B- bazı sayılar. Daha sonra M(balta+ ile)= sabah(X)+ BM(e).
Matematiksel beklentinin tanımını ve toplama sembolünün özelliklerini kullanarak bir eşitlik zinciri elde ederiz:
Gereken kanıtlandı.
Yukarıda matematiksel beklentinin başka bir referans noktasına ve başka bir ölçü birimine (geçiş) geçişe nasıl bağlı olduğu gösterilmektedir. e=balta+B) ve rastgele değişkenlerin fonksiyonlarına. Elde edilen sonuçlar, teknik ve ekonomik analizde, bir işletmenin mali ve ekonomik faaliyetlerinin değerlendirilmesinde, dış ekonomik hesaplamalarda bir para biriminden diğerine geçiş sırasında, düzenleyici ve teknik belgelerde vb. sürekli olarak kullanılır. Söz konusu sonuçlar, çeşitli parametreler ölçek ve kaydırma için aynı hesaplama formüllerinin kullanılması.
| Öncesi |
Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri: matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma. Özellikleri ve örnekleri.
Dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu) tamamen rastgele bir değişkenin davranışını tanımlar. Ancak bir takım problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için, incelenen değerin bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Ayrık rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerini ele alalım.
Tanım 7.1.Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x pp s.(7.1)
Bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzsa, o zaman ortaya çıkan seri kesinlikle yakınsayacaktır.
Not 1. Matematiksel beklenti bazen denir ağırlıklı ortalamaçünkü çok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir.
Not 2. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar.
Not 3. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan(devamlı. Daha sonra aynı durumun sürekli rastgele değişkenler için de geçerli olduğunu göreceğiz.
Örnek 1. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 2'si arızalı olmak üzere 10 parçadan oluşan bir partiden seçilen üç standart parçanın sayısı. Şunun için bir dağıtım serisi oluşturalım: X. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor: X 1, 2, 3 değerlerini alabilir.
Örnek 2. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini belirleyin X- armanın ilk ortaya çıkmasından önce atılan yazı-tura sayısı. Bu miktar sonsuz sayıda değer alabilir (olası değerler kümesi doğal sayılar kümesidir). Dağıtım serisi şu şekildedir:
| X | … | N | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)N | … |
+ (hesaplama yaparken, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülü iki kez kullanıldı: , buradan ).
Matematiksel beklentinin özellikleri.
1) Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir:
M(İLE) = İLE.(7.2)
Kanıt. Eğer dikkate alırsak İLE yalnızca bir değer alan ayrık bir rastgele değişken olarak İLE olasılıkla R= 1 ise M(İLE) = İLE?1 = İLE.
2) Matematiksel beklentinin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:
M(Müşteri Deneyimi) = SANTİMETRE(X). (7.3)
Kanıt. Rastgele değişken ise X dağıtım serisiyle verilir
Daha sonra M(Müşteri Deneyimi) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = İLE(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = SANTİMETRE(X).
Tanım 7.2.İki rastgele değişken denir bağımsız Birinin dağıtım yasası diğerinin hangi değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlı.
Tanım 7.3. hadi arayalım bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı X Ve e rastgele değişken XY olası değerleri tüm olası değerlerin çarpımına eşit olan X tüm olası değerler için e ve karşılık gelen olasılıklar, faktörlerin olasılıklarının çarpımına eşittir.
3) İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:
M(XY) = M(X)M(e). (7.4)
Kanıt. Hesaplamaları basitleştirmek için kendimizi şu durumla sınırlandırıyoruz: X Ve e yalnızca iki olası değeri alın:
Buradan, M(XY) = X 1 sen 1 ?P 1 G 1 + X 2 sen 1 ?P 2 G 1 + X 1 sen 2 ?P 1 G 2 + X 2 sen 2 ?P 2 G 2 = sen 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + sen 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (sen 1 G 1 + sen 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(e).
Not 1. Bu özellik, faktörlerin daha fazla sayıda olası değeri için benzer şekilde kanıtlanabilir.
Not 2.Özellik 3, matematiksel tümevarımla kanıtlanmış herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkenin çarpımı için doğrudur.
Tanım 7.4. Hadi tanımlayalım rastgele değişkenlerin toplamı X Ve e rastgele değişken olarak X+Y olası değerleri her olası değerin toplamına eşit olan X mümkün olan her değerle e; bu tür toplamların olasılıkları, terimlerin olasılıklarının çarpımına eşittir (bağımlı rastgele değişkenler için - bir terimin olasılığının, ikincinin koşullu olasılığına göre çarpımı).
4) İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:
M (X+Y) = M (X) + M (e). (7.5)
Kanıt.
Özellik 3'ün kanıtında verilen dağılım serisiyle tanımlanan rastgele değişkenleri tekrar ele alalım. Sonra olası değerler X+Yöyle X 1 + en 1 , X 1 + en 2 , X 2 + en 1 , X 2 + en 2. Olasılıklarını sırasıyla şu şekilde gösterelim: R 11 , R 12 , R 21 ve R 22. bulacağız M(X+e) = (X 1 + sen 1)P 11 + (X 1 + sen 2)P 12 + (X 2 + sen 1)P 21 + (X 2 + sen 2)P 22 =
= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + sen 1 (P 11 + P 21) + sen 2 (P 12 + P 22).
Hadi bunu kanıtlayalım R 11 + R 22 = R 1. Gerçekten de olay X+Y değerleri alacak X 1 + en 1 veya X 1 + en 2 ve olasılığı R 11 + R 22 olayla örtüşüyor X = X 1 (olasılığı R 1). Benzer şekilde kanıtlanmıştır P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Araç,
M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + sen 1 G 1 + sen 2 G 2 = M (X) + M (e).
Yorum. Özellik 4'ten, herhangi bir sayıda rastgele değişkenin toplamının, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.
Örnek. Beş zar atıldığında elde edilen puanların toplamının matematiksel beklentisini bulun.
Bir zar atıldığında atılan puan sayısının matematiksel beklentisini bulalım:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Aynı sayı, herhangi bir zarda atılan puan sayısının matematiksel beklentisine eşittir. Bu nedenle, özellik 4'e göre M(X)=
Dağılım.
Bir rastgele değişkenin davranışı hakkında fikir sahibi olmak için sadece matematiksel beklentisini bilmek yeterli değildir. İki rastgele değişkeni düşünün: X Ve e, formun dağıtım serisiyle belirtilir
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| e | ||
| P | 0,5 | 0,5 |
bulacağız M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(e) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Gördüğünüz gibi her iki niceliğin matematiksel beklentileri eşittir, ancak eğer HM(X) rastgele bir değişkenin davranışını iyi tanımlar, mümkün olan en olası değeridir (ve geri kalan değerler 50'den pek farklı değildir), o zaman değerler eönemli ölçüde kaldırıldı M(e). Bu nedenle matematiksel beklentiyle birlikte rastgele değişkenin değerlerinin ondan ne kadar saptığının bilinmesi istenir. Bu göstergeyi karakterize etmek için dağılım kullanılır.
Tanım 7.5.Dispersiyon (saçılma) Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:
D(X) = M (X-M(X))². (7.6)
Rastgele değişkenin varyansını bulalım X(seçilenler arasındaki standart parçaların sayısı) bu dersin 1. örneğinde. Her olası değerin matematiksel beklentiden sapmasının karesini hesaplayalım:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Buradan,
Not 1. Dağılımın belirlenmesinde, ortalamanın kendisinden sapma değil, karesi değerlendirilir. Bu, farklı işaretlerdeki sapmaların birbirini iptal etmemesi için yapılır.
Not 2. Dağılımın tanımından bu miktarın yalnızca negatif olmayan değerler aldığı sonucu çıkar.
Not 3. Varyansı hesaplamak için hesaplamalara daha uygun olan ve geçerliliği aşağıdaki teoremle kanıtlanmış bir formül vardır:
Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Kanıt.
Neyi kullanarak M(X) sabit bir değerdir ve matematiksel beklentinin özelliklerini, formül (7.6)'yı şu forma dönüştürürüz:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), kanıtlanması gereken şey buydu.
Örnek. Rastgele değişkenlerin varyanslarını hesaplayalım X Ve e bu bölümün başında tartışılmıştır. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(e) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Yani ikinci rastgele değişkenin varyansı, birincinin varyansından birkaç bin kat daha büyüktür. Böylece, bu miktarların dağılım yasalarını bilmeden bile, bilinen dağılım değerlerine dayanarak şunu söyleyebiliriz: X matematiksel beklentisinden çok az sapma gösterirken, e bu sapma oldukça önemlidir.
Dispersiyonun özellikleri.
1) Sabit bir değerin varyansı İLE sıfıra eşit:
D (C) = 0. (7.8)
Kanıt. D(C) = M((SANTİMETRE(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:
D(Müşteri Deneyimi) = C² D(X). (7.9)
Kanıt. D(Müşteri Deneyimi) = M((CX-M(Müşteri Deneyimi))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:
D(X+Y) = D(X) + D(e). (7.10)
Kanıt. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + e²) - ( M(X) + M(e))² = M(X²) + 2 M(X)M(e) +
+ M(e²) - M²( X) - 2M(X)M(e) - M²( e) = (M(X²) - M²( X)) + (M(e²) - M²( e)) = D(X) + D(e).
Sonuç 1. Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir.
Sonuç 2. Bir sabit ile bir rastgele değişkenin toplamının varyansı, rastgele değişkenin varyansına eşittir.
4) İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:
D(X-Y) = D(X) + D(e). (7.11)
Kanıt. D(X-Y) = D(X) + D(-e) = D(X) + (-1)² D(e) = D(X) + D(X).
Varyans, bir rastgele değişkenin ortalamadan sapmasının karesinin ortalama değerini verir; Sapmanın kendisini değerlendirmek için standart sapma adı verilen bir değer kullanılır.
Tanım 7.6.Standart sapmaσ rastgele değişken X varyansın karekökü denir:
Örnek. Önceki örnekte standart sapmalar X Ve e sırasıyla eşittir
Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında, her şeyden önce, rastgele değişkenin sayısal eksen üzerindeki konumunu karakterize edenleri not etmek gerekir; rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin gruplandırıldığı ortalama, yaklaşık değeri belirtir.
Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".
Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.
Olasılıklarla birlikte olası değerlere sahip ayrık bir rastgele değişkeni ele alalım. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalaması” olarak adlandırılan yöntemin kullanılması doğal olup, ortalama alınırken her bir değer, bu değerin olasılığıyla orantılı bir “ağırlık” ile dikkate alınmalıdır. Böylece, şu şekilde göstereceğimiz rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız:
veya buna göre,
. (5.6.1)
Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık.
Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Yukarıdaki formülasyonda matematiksel beklenti tanımının, kesin konuşmak gerekirse, yalnızca ayrık rastgele değişkenler için geçerli olduğuna dikkat edin; Aşağıda bu kavramı sürekli büyüklükler durumuna genelleştireceğiz.
Matematiksel beklenti kavramını daha açık hale getirmek için ayrık bir rastgele değişkenin dağılımının mekanik yorumuna dönelim. Apsis ekseninde sırasıyla kütlelerin yoğunlaştığı apsisli noktalar olsun ve . O halde, açıkça, formül (5.6.1) ile tanımlanan matematiksel beklenti, belirli bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisinden başka bir şey değildir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, çok sayıda deneyde rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir.
Aslında, bir dağılım serisiyle karakterize edilen ayrık bir rastgele değişkeni düşünün:
Nerede 
.
Her birinde miktarın belirli bir değer aldığı bağımsız deneyler yapılsın. Değerin bir kez göründüğünü, değerin bir kez göründüğünü ve değerin bir kez göründüğünü varsayalım. Açıkça,
Matematiksel beklentinin aksine, şunu ifade ettiğimiz miktarın gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım:
Ancak bir olayın sıklığından (veya istatistiksel olasılığından) başka bir şey yoktur; bu frekans belirlenebilir. Daha sonra
,
onlar. bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin frekanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Deney sayısı arttıkça frekanslar karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılık bakımından yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, deney sayısı arttıkça matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır).
Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur. Bu yasanın kesin bir kanıtını Bölüm 13'te vereceğiz.
Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.
Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.
Matematiksel beklentiye ilişkin formül (5.6.1), ayrı bir rastgele değişken durumuna karşılık gelir. Sürekli bir miktar için matematiksel beklenti doğal olarak toplam olarak değil integral olarak ifade edilir:
, (5.6.2)
miktarın dağılım yoğunluğu nerede .
Formül (5.6.2), formül (5.6.1)'den, içindeki bireysel değerlerin sürekli değişen bir x parametresiyle, karşılık gelen olasılıkların - olasılık elemanıyla ve son toplamın - integralle değiştirilmesi durumunda elde edilir. Gelecekte, süreksiz nicelikler için türetilen formülleri sürekli nicelikler durumuna genişletmek için bu yöntemi sıklıkla kullanacağız.
Mekanik yorumda, sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı anlamı korur - kütlenin apsis boyunca yoğunlukla sürekli olarak dağıtılması durumunda ağırlık merkezinin apsisi. Bu yorum genellikle basit mekanik değerlendirmelerden integrali (5.6.2) hesaplamadan matematiksel beklentiyi bulmayı sağlar.
Yukarıda miktarın matematiksel beklentisi için bir gösterim sunduk. Bazı durumlarda, bir miktarın formüllerde belirli bir sayı olarak yer aldığı durumlarda, onu tek harfle belirtmek daha uygundur. Bu durumlarda, bir değerin matematiksel beklentisini şu şekilde göstereceğiz:
Formüllerin belirli bir şekilde kaydedilmesinin uygunluğuna bağlı olarak, gelecekte matematiksel beklentilere yönelik gösterimler paralel olarak kullanılacaktır. Gerekirse “matematiksel beklenti” kelimesini m.o. harfleriyle kısaltmayı da kabul edelim.
Bir konumun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür.
Örneğin, bir dağılım serisine sahip süreksiz bir rastgele değişkeni düşünün:
Bunu doğrulamak kolaydır; dağıtım serisi mantıklı; ancak bu durumda toplam farklılık gösterir ve bu nedenle değere ilişkin matematiksel bir beklenti yoktur. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentiye sahiptir.
Yukarıda, süreksiz ve sürekli bir rastgele değişken için sırasıyla matematiksel beklentiyi ifade eden (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerini verdik.
Bir miktar karışık türdeki miktarlara aitse, matematiksel beklentisi aşağıdaki formdaki bir formülle ifade edilir:
, (5.6.3)
burada toplam, dağılım fonksiyonunun süreksiz olduğu tüm noktalara uzanır ve integral, dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu tüm alanlara uzanır.
Pratikte bir konumun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele bir değişkenin modu ve medyanı kullanılır.
Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Modu harfle belirtmeyi kabul edelim. Şek. 5.6.1 ve 5.6.2 sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.
Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisi) birden fazla maksimumu varsa dağılıma “multimodal” denir (Şekil 5.6.3 ve 5.6.4).
Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar da vardır (Şekil 5.6.5 ve 5.6.6). Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir. Bir antimodal dağılım örneği, Örnek 5, n° 5.1'de elde edilen dağılımdır.
Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.
Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir.
Bir rastgele değişkenin medyanı, onun değeridir.
onlar. Rastgele değişkenin 'den küçük veya büyük olması eşit derecede muhtemeldir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 5.6.7).
Olasılık teorisi, yalnızca yüksek öğretim kurumlarının öğrencileri tarafından incelenen özel bir matematik dalıdır. Hesaplamaları ve formülleri sever misiniz? Ayrık bir rastgele değişkenin normal dağılımı, topluluk entropisi, matematiksel beklenti ve dağılımı hakkında bilgi sahibi olma ihtimalinden korkmuyor musunuz? O zaman bu konu sizin için çok ilginç olacak. Bu bilim dalının en önemli temel kavramlarından birkaçını tanıyalım.
Temelleri hatırlayalım
Olasılık teorisinin en basit kavramlarını hatırlasanız bile yazının ilk paragraflarını ihmal etmeyin. Mesele şu ki, temelleri net bir şekilde anlamadan aşağıda tartışılan formüllerle çalışamayacaksınız.
Yani bazı rastgele olaylar meydana gelir, bazı deneyler olur. Yaptığımız eylemlerin sonucunda çeşitli sonuçlar elde edebiliriz; bunlardan bazıları daha sık, bazıları ise daha az sıklıkla meydana gelir. Bir olayın olasılığı, bir türden gerçekten elde edilen sonuçların sayısının, olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Yalnızca bu kavramın klasik tanımını bilerek, sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisini ve dağılımını incelemeye başlayabilirsiniz.
Aritmetik ortalama
Okula döndüğünüzde matematik dersleri sırasında aritmetik ortalamayla çalışmaya başladınız. Bu kavram olasılık teorisinde yaygın olarak kullanılmaktadır ve bu nedenle göz ardı edilemez. Şu anda bizim için asıl önemli olan, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve dağılımına ilişkin formüllerde bununla karşılaşacak olmamızdır.
Bir dizi sayımız var ve aritmetik ortalamayı bulmak istiyoruz. Bizden istenen tek şey, mevcut olan her şeyi toplamak ve dizideki öğe sayısına bölmektir. 1'den 9'a kadar sayımız olsun. Elementlerin toplamı 45 olacak, bu değeri 9'a böleceğiz. Cevap: - 5.
Dağılım
Bilimsel açıdan dağılım, elde edilen karakteristik değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının ortalama karesidir. Tek büyük Latin harfi D ile gösterilir. Hesaplamak için ne gereklidir? Dizinin her elemanı için mevcut sayı ile aritmetik ortalama arasındaki farkı hesaplayıp karesini alıyoruz. Düşündüğümüz olaya ilişkin sonuçların olabileceği kadar değer olacaktır. Daha sonra, alınan her şeyi özetliyoruz ve dizideki öğe sayısına bölüyoruz. Beş olası sonucumuz varsa, o zaman beşe bölün.
Dispersiyonun problem çözerken kullanılabilmesi için hatırlanması gereken özellikleri de vardır. Örneğin, bir rastgele değişken X kat arttığında, varyans X kare kat artar (yani X*X). Hiçbir zaman sıfırdan küçük değildir ve değerlerin eşit miktarlarda yukarı veya aşağı kaydırılmasına bağlı değildir. Ayrıca bağımsız denemelerde toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.
Şimdi kesinlikle ayrık bir rastgele değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti örneklerini dikkate almamız gerekiyor.
Diyelim ki 21 deney yaptık ve 7 farklı sonuç elde ettik. Her birini sırasıyla 1, 2, 2, 3, 4, 4 ve 5 kez gözlemledik. Varyans neye eşit olacak?
Öncelikle aritmetik ortalamayı hesaplayalım: elemanların toplamı elbette 21'dir. Bunu 7'ye bölerek 3 elde ederiz. Şimdi orijinal dizideki her sayıdan 3 çıkarın, her değerin karesini alın ve sonuçları toplayın. Sonuç 12. Şimdi tek yapmamız gereken sayıyı element sayısına bölmek ve öyle görünüyor ki hepsi bu. Ama bir sorun var! Bunu tartışalım.
Deney sayısına bağımlılık
Varyansı hesaplarken paydanın iki sayıdan birini içerebileceği ortaya çıktı: N veya N-1. Burada N, gerçekleştirilen deneylerin sayısı veya dizideki öğelerin sayısıdır (ki bu aslında aynı şeydir). Bu neye bağlıdır?
Test sayısı yüzlerce olarak ölçülürse paydaya N koymalıyız. Birim cinsinden ise N-1. Bilim adamları sınırı oldukça sembolik olarak çizmeye karar verdiler: bugün 30 sayısını geçiyor. 30'dan az deney yaptıysak, miktarı N-1'e, daha fazlaysa N'ye böleceğiz.
Görev
Varyans problemini ve matematiksel beklentiyi çözme örneğimize dönelim. N veya N-1'e bölünmesi gereken bir ara sayı olan 12'ye sahibiz. 21 deney yaptığımız için (30'dan az) ikinci seçeneği seçeceğiz. Yani cevap şu: varyans 12/2 = 2.
Beklenti
Bu yazıda dikkate almamız gereken ikinci kavrama geçelim. Matematiksel beklenti, tüm olası sonuçların karşılık gelen olasılıklarla çarpılmasının sonucudur. Elde edilen değerin ve varyansın hesaplanması sonucunun, içinde kaç sonuç dikkate alınırsa alınsın, tüm problem için yalnızca bir kez elde edildiğini anlamak önemlidir.
Matematiksel beklentinin formülü oldukça basittir: Sonucu alırız, olasılığıyla çarparız, aynısını ikinci, üçüncü sonuç için ekleriz vb. Bu kavramla ilgili her şeyin hesaplanması zor değildir. Örneğin beklenen değerlerin toplamı, toplamın beklenen değerine eşittir. Aynı durum iş için de geçerlidir. Olasılık teorisindeki her nicelik bu kadar basit işlemleri gerçekleştirmenize izin vermez. Problemi ele alalım ve incelediğimiz iki kavramın anlamını aynı anda hesaplayalım. Üstelik teori dikkatimizi dağıtmıştı - şimdi pratik yapma zamanı.
Başka bir örnek
50 deneme yaptık ve farklı yüzdelerde görünen 10 tür sonuç (0'dan 9'a kadar sayılar) elde ettik. Bunlar sırasıyla: %2, %10, %4, %14, %2, %18, %6, %16, %10, %18. Olasılıkları elde etmek için yüzde değerlerini 100'e bölmeniz gerektiğini hatırlayın. Böylece 0,02 elde ederiz; 0.1 vb. Rastgele bir değişkenin varyansı ve matematiksel beklenti problemini çözmeye yönelik bir örnek sunalım.
Aritmetik ortalamayı ilkokuldan hatırladığımız formülü kullanarak hesaplıyoruz: 50/10 = 5.
Şimdi saymayı kolaylaştırmak için olasılıkları “parçalar halinde” sonuç sayısına dönüştürelim. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ve 9 elde ederiz. Elde edilen her değerden aritmetik ortalamayı çıkarırız ve ardından elde edilen sonuçların her birinin karesini alırız. Örnek olarak ilk öğeyi kullanarak bunu nasıl yapacağınızı görün: 1 - 5 = (-4). Sonraki: (-4) * (-4) = 16. Diğer değerler için bu işlemleri kendiniz yapın. Her şeyi doğru yaptıysanız, hepsini topladıktan sonra 90 elde edeceksiniz.
90'ı N'ye bölerek varyansı ve beklenen değeri hesaplamaya devam edelim. Neden N-1 yerine N'yi seçiyoruz? Doğru, çünkü yapılan deney sayısı 30'u geçiyor. Yani: 90/10 = 9. Varyansı bulduk. Farklı bir numara alırsanız umutsuzluğa kapılmayın. Büyük ihtimalle hesaplamalarda basit bir hata yaptınız. Yazdıklarınızı bir kez daha kontrol edin; muhtemelen her şey yerine oturacaktır.
Son olarak matematiksel beklenti formülünü hatırlayın. Tüm hesaplamaları vermeyeceğiz, yalnızca gerekli tüm prosedürleri tamamladıktan sonra kontrol edebileceğiniz bir cevap yazacağız. Beklenen değer 5,48 olacaktır. İlk elemanları örnek olarak kullanarak yalnızca işlemlerin nasıl gerçekleştirileceğini hatırlayalım: 0*0,02 + 1*0,1... vb. Gördüğünüz gibi, sonuç değerini olasılığıyla çarpıyoruz.
Sapma
Dağılım ve matematiksel beklentiyle yakından ilişkili bir diğer kavram ise standart sapmadır. Latin harfleri sd veya Yunanca küçük harf “sigma” ile gösterilir. Bu kavram, değerlerin merkezi özellikten ortalama ne kadar saptığını gösterir. Değerini bulmak için varyansın karekökünü hesaplamanız gerekir.
Normal bir dağılım grafiği çiziyorsanız ve sapmanın karesini doğrudan üzerinde görmek istiyorsanız, bu birkaç aşamada yapılabilir. Görüntünün yarısını modun soluna veya sağına alın (merkezi değer), elde edilen rakamların alanları eşit olacak şekilde yatay eksene dik bir çizin. Dağılımın ortası ile yatay eksen üzerindeki sonuç projeksiyonu arasındaki bölümün boyutu standart sapmayı temsil edecektir.
Yazılım
Formüllerin açıklamalarından ve sunulan örneklerden de görülebileceği gibi, varyansın ve matematiksel beklentinin hesaplanması aritmetik açıdan en basit prosedür değildir. Zaman kaybetmemek için yükseköğretim kurumlarında kullanılan programı kullanmak mantıklıdır - buna "R" denir. İstatistik ve olasılık teorisinden birçok kavrama ilişkin değerleri hesaplamanıza olanak sağlayan işlevlere sahiptir.
Örneğin, değerlerin bir vektörünü belirtirsiniz. Bu şu şekilde yapılır: vektör<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Sonuç olarak
Dağılım ve matematiksel beklenti olmadan gelecekte herhangi bir şeyi hesaplamak zordur. Üniversitelerdeki derslerin ana derslerinde, konuyu incelemenin ilk aylarında zaten tartışılıyorlar. Tam olarak bu basit kavramların anlaşılmaması ve hesaplanamaması nedeniyle birçok öğrenci programda hemen geri kalmaya başlıyor ve daha sonra oturumun sonunda kötü notlar alıyor ve bu da onları burslardan mahrum bırakıyor.
En az bir hafta, günde yarım saat, bu makalede sunulanlara benzer problemleri çözerek pratik yapın. Daha sonra, olasılık teorisindeki herhangi bir testte, gereksiz ipuçları ve hileler olmadan örneklerle baş edebileceksiniz.
Bilindiği gibi dağıtım kanunu tamamıyla bir rastgele değişkeni karakterize etmektedir. Ancak çoğu zaman dağıtım kanunu bilinmez ve kişinin kendisini daha az bilgiyle sınırlaması gerekir. Bazen rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıları kullanmak daha da karlı olabilir; bu tür numaralara denir Rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri.Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.
Aşağıda gösterileceği gibi matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir. Birçok problemi çözmek için matematiksel beklentiyi bilmek yeterlidir. Örneğin, ilk atıcının attığı sayının matematiksel beklentisinin ikinci atıcıdan daha büyük olduğu biliniyorsa, bu durumda ilk atıcı ortalama olarak ikinciden daha fazla puan alır ve dolayısıyla daha iyi atış yapar. ikincisinden daha. Matematiksel beklenti, bir rastgele değişken hakkında dağılım yasasından çok daha az bilgi sağlasa da, matematiksel beklentiye ilişkin bilgi, yukarıdaki gibi ve daha birçok problemi çözmek için yeterlidir.
§ 2. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi
Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, tüm olası değerlerinin ve olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Rastgele değişken olsun X yalnızca değer alabilir X 1 , X 2 , ..., X N , olasılıkları sırasıyla eşit olan R 1 , R 2 , . . ., R N . Daha sonra matematiksel beklenti M(X) rastgele değişken X eşitlikle belirlenir
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X N P N .
Ayrık bir rastgele değişken ise X sayılabilir bir dizi olası değeri alır, ardından
M(X)=
Üstelik eşitliğin sağ tarafındaki serinin mutlak yakınsaması durumunda matematiksel beklenti mevcuttur.
Yorum. Tanımdan, ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin rastgele olmayan (sabit) bir miktar olduğu anlaşılmaktadır. Bu ifadeyi daha sonra birçok kez kullanacağımız için hatırlamanızı öneririz. Sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin de sabit bir değer olduğu daha sonra gösterilecektir.
Örnek 1. Rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X, dağıtım yasasını bilerek:
Çözüm. Gerekli matematiksel beklenti, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Örnek 2. Bir olayın meydana gelme sayısının matematiksel beklentisini bulun A bir denemede olayın olasılığı A eşit R.
Çözüm. Rastgele değişken X - olayın gerçekleşme sayısı A bir testte - yalnızca iki değer alabilir: X 1 = 1 (etkinlik A meydana geldi) olasılıkla R Ve X 2 = 0 (etkinlik A gerçekleşmedi) büyük olasılıkla Q= 1 -R. Gerekli matematiksel beklenti
M(X)= 1* P+ 0* Q= P
Bu yüzden, Bir olayın bir denemede meydana gelme sayısına ilişkin matematiksel beklenti, bu olayın olasılığına eşittir. Bu sonuç aşağıda kullanılacaktır.
§ 3. Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamı
Üretilsin N rastgele değişkenin kullanıldığı testler X kabul edildi T 1 çarpı değer X 1 , T 2 çarpı değer X 2 ,...,M k çarpı değer X k , Ve T 1 + T 2 + …+t İle = s. Daha sonra alınan tüm değerlerin toplamı X, eşit
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X İle T İle .
Aritmetik ortalamayı bulalım 
bulunan toplamı toplam test sayısına böldüğümüz rastgele bir değişken tarafından kabul edilen tüm değerler:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X İle T İle)/P,
=
X 1
(M 1 /
N)
+
X 2
(M 2 /
N)
+ ... +
X İle
(T İle /N).
(*)
tutumunu fark ederek M 1 / N- bağıl frekans K 1 değerler X 1 , M 2 / N - bağıl frekans K 2 değerler X 2 vb. ilişkisini (*) şu şekilde yazarız:
=X 1
K 1
+
X 2 K 2
+ ..
. + X İle K k .
(**)
Test sayısının oldukça fazla olduğunu varsayalım. Bu durumda bağıl sıklık, olayın meydana gelme olasılığına yaklaşık olarak eşittir (bu, Bölüm IX, § 6'da kanıtlanacaktır):
K 1
P 1 ,
K 2
P 2 ,
…,
K k
P k .
(**) ile ilgili göreceli frekansları karşılık gelen olasılıklarla değiştirerek şunu elde ederiz:
X 1 P 1
+
X 2 R 2
+ … +
X İle R İle .
Bu yaklaşık eşitliğin sağ tarafı M(X). Bu yüzden,
M(X).
Elde edilen sonucun olasılıksal anlamı şu şekildedir: matematiksel beklenti yaklaşık olarak eşittir(ne kadar doğru olursa, test sayısı da o kadar fazla olur) rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması.
Açıklama 1. Matematiksel beklentinin olası en küçük değerden büyük ve en büyük değerden küçük olduğunu anlamak kolaydır. Yani sayı doğrusunda olası değerler matematiksel beklentinin solunda ve sağında yer alır. Bu anlamda matematiksel beklenti, dağılımın konumunu karakterize eder ve bu nedenle sıklıkla denir. dağıtım merkezi.
Bu terim mekanikten alınmıştır: eğer kütleler R 1 , P 2 , ..., R N apsis noktalarında bulunur X 1 ,
X 2 ,
...,
X N, Ve 
sonra ağırlık merkezinin apsisi
X C =
.
Bunu göz önünde bulundurarak
=
M
(X)
Ve 
aldık M(X)=x İle .
Dolayısıyla, matematiksel beklenti, apsisleri rastgele değişkenin olası değerlerine eşit olan ve kütleleri olasılıklarına eşit olan bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisidir.
Açıklama 2. “Matematiksel beklenti” teriminin kökeni, uygulama kapsamının kumarla sınırlı olduğu olasılık teorisinin ortaya çıktığı ilk dönem (XVI - XVII yüzyıllar) ile ilişkilidir. Oyuncu, beklenen kazancın ortalama değeriyle, başka bir deyişle kazanmanın matematiksel beklentisiyle ilgileniyordu.