Giriş seviyesi

Olasılık teorisi. Problem Çözme (2019)

Olasılık nedir?

Bu terimle ilk karşılaştığımda ne olduğunu anlamazdım. Bu nedenle net bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Olasılık, istediğimiz olayın gerçekleşme ihtimalidir.

Mesela bir arkadaşınızın evine gitmeye karar verdiniz, girişini, hatta oturduğu katı hatırlıyorsunuz. Ama dairenin numarasını ve yerini unuttum. Ve şimdi merdivende duruyorsunuz ve önünüzde seçim yapabileceğiniz kapılar var.

İlk kapı zilini çaldığınızda arkadaşınızın kapıyı sizin yerinize açma şansı (olasılığı) nedir? Sadece daireler var ve sadece birinin arkasında bir arkadaş yaşıyor. Eşit şansla herhangi bir kapıyı seçebiliriz.

Peki bu şans nedir?

Kapı, sağ kapı. İlk kapı zilini çalarak tahmin etme olasılığı: . Yani üçte birinden birini doğru tahmin edeceksiniz.

Bir kez aradıktan sonra kapıyı ne sıklıkla tahmin edeceğimizi bilmek istiyoruz. Tüm seçeneklere bakalım:

1. aradın 1. kapı
2. aradın 2. kapı
3. aradın 3. kapı

Şimdi bir arkadaşın olabileceği tüm seçeneklere bakalım:

A. İçin 1. kapı
B. İçin 2. kapı
V. İçin 3. kapı

Tüm seçenekleri tablo biçiminde karşılaştıralım. Seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla çakıştığında bir onay işareti seçenekleri, çakışmadığında ise bir çarpı işareti gösterir.

Herşeyi nasıl görüyorsun Belki seçenekler arkadaşınızın konumu ve hangi kapıyı çalacağınızın seçimi.

A hepsinin olumlu sonuçları . Yani kapı zilini bir kez çalarak bir kez tahmin edeceksiniz, yani. .

Bu olasılıktır; olumlu bir sonucun (seçiminiz arkadaşınızın konumuyla örtüştüğünde) olası olayların sayısına oranıdır.

Tanım formüldür. Olasılık genellikle p ile gösterilir, dolayısıyla:

Böyle bir formül yazmak pek uygun değil, bu yüzden olumlu sonuçların sayısını ve toplam sonuçların sayısını alacağız.

Bunu yapmak için olasılık yüzde olarak yazılabilir; elde edilen sonucu şu şekilde çarpmanız gerekir:

“Sonuçlar” kelimesi muhtemelen dikkatinizi çekmiştir. Matematikçiler çeşitli eylemlere (bizim durumumuzda böyle bir eylem kapı zilidir) deney adını verdikleri için, bu tür deneylerin sonucuna genellikle sonuç denir.

Evet, olumlu ve olumsuz sonuçlar var.

Örneğimize geri dönelim. Diyelim ki kapılardan birini çaldık ama kapıyı bir yabancı açtı. Doğru tahmin etmedik. Geriye kalan kapılardan birini çalarsak arkadaşımızın bize açma olasılığı nedir?

Eğer öyle düşündüysen bu bir hatadır. Hadi çözelim.

Geriye iki kapımız kaldı. Yani olası adımlarımız var:

1) Ara 1. kapı
2) Ara 2. kapı

Arkadaş tüm bunlara rağmen kesinlikle birinin arkasında (sonuçta bizim aradığımızın arkasında değildi):

a) Arkadaş için 1. kapı
b) Arkadaş için 2. kapı

Tabloyu tekrar çizelim:

Gördüğünüz gibi, yalnızca uygun olan seçenekler var. Yani olasılık eşittir.

Neden?

Düşündüğümüz durum şu bağımlı olaylara örnek Birinci olay birinci kapı zili, ikinci olay ise ikinci kapı zilidir.

Ve aşağıdaki eylemleri etkiledikleri için bağımlı olarak adlandırılırlar. Sonuçta, eğer ilk çalıştan sonra kapı zili bir arkadaşınız tarafından açılsaydı, onun diğer ikisinden birinin arkasında olma olasılığı ne olurdu? Sağ, .

Ancak bağımlı olaylar varsa, o zaman aynı zamanda olması gerekir. bağımsız? Doğru, bunlar oluyor.

Bir ders kitabı örneği yazı tura atmaktır.

1. Bir kez yazı tura atın. Örneğin tura gelme olasılığı nedir? Bu doğru - çünkü tüm seçenekler var (ya tura ya da yazı, madalyonun kenarına düşme olasılığını ihmal edeceğiz), ancak bu yalnızca bize uyuyor.
2. Ama kafalar karıştı. Tamam, tekrar atalım. Şimdi tura gelme olasılığı nedir? Hiçbir şey değişmedi, her şey aynı. Kaç seçenek? İki. Kaç kişiden memnunuz? Bir.

Ve art arda en az bin kez tura gelmesine izin verin. Aynı anda tura gelme olasılığı aynı olacaktır. Her zaman seçenekler ve uygun olanlar vardır.

Bağımlı olayları bağımsız olaylardan ayırmak kolaydır:

1. Deney bir kez yapılırsa (bir kez yazı tura atarlar, bir kez kapı zilini çalarlar vb.), o zaman olaylar her zaman bağımsızdır.
2. Bir deney birkaç kez yapılırsa (bir kez para atılır, kapı zili birkaç kez çalınır), o zaman ilk olay her zaman bağımsızdır. Ve eğer olumlu olanların sayısı veya tüm sonuçların sayısı değişirse, o zaman olaylar bağımlıdır, değilse de bağımsızdır.

Olasılığı belirlemeye biraz çalışalım.

Örnek 1.

Para iki kez atılıyor. Art arda iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olası seçenekleri ele alalım:

1. Kartal-kartal
2. Yazı-tura
3. Kuyruk-Kafalar
4. Kuyruk-kuyruk

Gördüğünüz gibi sadece seçenekler var. Bunlardan sadece biz memnunuz. Yani olasılık:

Koşul sizden yalnızca olasılığı bulmanızı isterse, yanıtın ondalık kesir biçiminde verilmesi gerekir. Cevabın yüzde olarak verilmesi gerektiği belirtilmiş olsaydı, o zaman çarpardık.

Cevap:

Örnek 2.

Bir kutu çikolatada tüm çikolatalar aynı ambalajda paketlenir. Ancak tatlılardan - fındıklı, konyaklı, kirazlı, karamelli ve nugalı.

Bir şeker alıp fındıklı bir şeker alma olasılığı nedir? Cevabınızı yüzde olarak verin.

Çözüm:

Kaç olası sonuç var? .

Yani, bir şeker alırsanız, kutuda bulunan şekerlerden biri olacaktır.

Kaç tane olumlu sonuç var?

Çünkü kutuda sadece fındıklı çikolatalar yer alıyor.

Cevap:

Örnek 3.

Bir kutu balonun içinde. bunlardan beyaz ve siyahtır.

1. Beyaz bir topun çekilme olasılığı nedir?
2. Kutuya daha fazla siyah top ekledik. Şimdi beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

a) Kutuda yalnızca toplar vardır. Bunlardan beyaz.

Olasılık:

b) Artık kutuda daha fazla top var. Ve bir o kadar da beyaz kaldı - .

Cevap:

Toplam olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ()'ye eşittir.

Diyelim ki bir kutuda kırmızı ve yeşil toplar var. Kırmızı topun çekilme olasılığı nedir? Yeşil top mu? Kırmızı mı yeşil top mu?

Kırmızı top çekme olasılığı

Yeşil top:

Kırmızı veya yeşil top:

Gördüğünüz gibi tüm olası olayların toplamı ()'ye eşittir. Bu noktayı anlamak birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

Örnek 4.

Kutuda işaretleyiciler var: yeşil, kırmızı, mavi, sarı, siyah.

Kırmızı bir kalem çizmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Sayıyı sayalım olumlu sonuçlar.

Kırmızı bir işaret DEĞİLDİR, bu yeşil, mavi, sarı veya siyah anlamına gelir.

Tüm olayların olasılığı. Ve olumsuz olduğunu düşündüğümüz olayların olasılığı (kırmızı işaretleyiciyi çıkardığımızda) .

Bu nedenle, kırmızı DEĞİL bir keçeli kalemi çıkarma olasılığı.

Cevap:

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, eksi olayın meydana gelme olasılığına eşittir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Bağımsız olayların ne olduğunu zaten biliyorsunuz.

İki (veya daha fazla) bağımsız olayın art arda meydana gelme olasılığını bulmanız gerekiyorsa ne olur?

Diyelim ki parayı bir kez atarsak iki kez tura gelme olasılığının ne olduğunu bilmek istiyoruz?

Zaten düşündük - .

Bir kez yazı tura atarsak ne olur? Bir kartalı iki kez üst üste görme olasılığı nedir?

Toplam olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Sizi bilmem ama ben bu listeyi derlerken birkaç kez hata yaptım. Vay! Ve yalnızca (ilk) seçenek bize uygundur.

5 atış için olası sonuçların bir listesini kendiniz yapabilirsiniz. Ama matematikçiler sizin kadar çalışkan değiller.

Bu nedenle, belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığının her seferinde bir olayın olasılığı kadar azaldığını önce fark ettiler ve sonra kanıtladılar.

Başka bir deyişle,

Aynı talihsiz madalyonun örneğine bakalım.

Bir meydan okumada kafa alma olasılığı? . Şimdi parayı bir kez çeviriyoruz.

Art arda tura gelme olasılığı nedir?

Bu kural yalnızca aynı olayın art arda birkaç kez meydana gelme olasılığını bulmamız istendiğinde işe yaramaz.

Ardışık atışlar için KUYRUK-KAFA-KUYRUK sırasını bulmak isteseydik aynısını yapardık.

Yazı gelme olasılığı - dir.

KUYRUK-KAFA-KUYRUK-KUYRUK dizisini alma olasılığı:

Bir tablo yaparak kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Uyumsuz olayların olasılıklarını ekleme kuralı.

Öyleyse dur! Yeni tanım.

Hadi çözelim. Eskimiş paramızı alıp bir kez atalım.
Olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Yani uyumsuz olaylar belirli, belirli bir olaylar dizisidir. - bunlar uyumsuz olaylardır.

İki (veya daha fazla) uyumsuz olayın olasılığının ne olduğunu belirlemek istiyorsak, bu olayların olasılıklarını toplarız.

Yazı ve turaların iki bağımsız olay olduğunu anlamalısınız.

Bir dizinin (veya başka herhangi bir dizinin) meydana gelme olasılığını belirlemek istiyorsak, olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.
İlk atışta tura, ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olasılığı nedir?

Ancak eğer birkaç diziden birini alma olasılığının ne olduğunu bilmek istersek, örneğin tura tam olarak bir kez geldiğinde, yani; seçenekleri ve sonra bu dizilerin olasılıklarını toplamamız gerekir.

Toplam seçenekler bize uygundur.

Her dizinin oluşma olasılığını toplayarak aynı sonucu elde edebiliriz:

Bu nedenle, belirli, tutarsız olay dizilerinin olasılığını belirlemek istediğimizde olasılıkları ekliyoruz.

Ne zaman çarpacağınız ve ne zaman ekleyeceğiniz konusunda kafa karışıklığından kaçınmanıza yardımcı olacak harika bir kural vardır:

Bir kez yazı tura attığımız ve bir kez tura gelme olasılığını bilmek istediğimiz örneğe geri dönelim.
Ne olmalı?

Düşmeli:
(tura VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı).
Şu şekilde ortaya çıkıyor:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 5.

Kutunun içinde kalemler var. kırmızı, yeşil, turuncu ve sarı ve siyah. Kırmızı veya yeşil kalem çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

Ne olmalı? (Kırmızı VEYA yeşil) çekmeliyiz.

Artık açık: Bu olayların olasılıklarını toplayalım:

Cevap:

Örnek 6.

Bir zar iki kez atıldığında toplamının 8 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm.

Nasıl puan alabiliriz?

(ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve).

Bir (herhangi) yüz alma olasılığı.

Olasılığı hesaplıyoruz:

Cevap:

Eğitim.

Sanırım artık olasılıkları ne zaman hesaplamanız gerektiğini, ne zaman eklemeniz gerektiğini ve ne zaman çarpmanız gerektiğini anladınız. Değil mi? Biraz pratik yapalım.

Görevler:

Maça, kupa, 13 sinek ve 13 karo içeren kartların bulunduğu bir kart destesini alalım. Her renkten As'a kadar.

1. Sineklerin art arda çekilmesi olasılığı nedir (çıkarılan ilk kartı desteye geri koyarız ve karıştırırız)?
2. Siyah kart (maça veya sinek) çekme olasılığı nedir?
3. Bir resmin (vale, kız, papaz veya as) çekilme olasılığı nedir?
4. Arka arkaya iki resim çekme olasılığı nedir (desteden çekilen ilk kartı çıkarırız)?
5. İki kart alarak bir kombinasyon (vale, kız veya papaz) ve bir as toplama olasılığı nedir? Kartların çekilme sırası önemli değildir.

Cevaplar:

1. Her değerdeki bir kart destesinde şu anlama gelir:
2. Olaylar bağımlıdır, çünkü ilk kart çekildikten sonra destedeki kartların sayısı ("resimlerin" sayısı gibi) azaldı. Başlangıçta destede toplam vale, kız, papaz ve as vardır; bu, ilk kartla bir "resim" çekme olasılığı anlamına gelir:

   İlk kartı desteden çıkardığımıza göre, destede resimler de dahil olmak üzere zaten kart kalmış demektir. İkinci kartla resim çizme olasılığı:

   Desteden bir “resim” VE bir “resim” aldığımız durumla ilgilendiğimiz için olasılıkları çarpmamız gerekiyor:

   Cevap:

3. İlk kart çekildikten sonra destedeki kart sayısı azalacaktır. Dolayısıyla bize iki seçenek uygundur:
   1) İlk kart As, ikincisi Vale, Kız veya Papazdır
   2) İlk kartla bir vale, kız veya papaz, ikinci kartla ise bir as çıkarırız. (as ve (vale veya kız veya papaz)) veya ((vale veya kız veya papaz) ve as). Destedeki kart sayısını azaltmayı unutmayın!

Tüm sorunları kendiniz çözebildiyseniz, o zaman harikasınız! Artık Birleşik Devlet Sınavında olasılık teorisi problemlerini deli gibi çözeceksiniz!

OLASILIK TEORİSİ. ORTA SEVİYE

Bir örneğe bakalım. Diyelim ki bir zar attık. Bu ne tür bir kemik biliyor musun? Buna, yüzlerinde sayılar bulunan küp diyorlar. Kaç tane yüz, şu kadar çok sayı: kaçtan kaça kadar? İle.

Yani zar atıyoruz ve gelmesini istiyoruz. Ve anlıyoruz.

Olasılık teorisinde ne olduğunu söylüyorlar hayırlı olay(müreffeh ile karıştırılmamalıdır).

Eğer öyle olsaydı, olay da olumlu olurdu. Toplamda yalnızca iki olumlu olay gerçekleşebilir.

Kaç tanesi olumsuz? Olası olayların tamamı mevcut olduğundan, bu, olumsuz olanların olaylar olduğu anlamına gelir (bu, if veya fallout'tur).

Tanım:

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır. Yani olasılık, olası tüm olayların ne kadarının olumlu olduğunu gösterir.

Olasılığı bir Latin harfiyle belirtirler (görünüşe göre İngilizce olasılık - olasılık kelimesinden).

Olasılığı yüzde olarak ölçmek gelenekseldir (konuya bakın). Bunu yapmak için olasılık değerinin çarpılması gerekir. Zar örneğinde olasılık.

Ve yüzde olarak: .

Örnekler (kendiniz karar verin):

1. Bir madeni para atıldığında tura gelme olasılığı nedir? Yazıların gelme olasılığı nedir?
2. Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır? Peki hangisi tuhaf?
3. Basit, mavi ve kırmızı kalemlerden oluşan bir kutuda. Rastgele bir kalem çiziyoruz. Basit bir tane alma olasılığı nedir?

Çözümler:

1. Kaç seçenek var? Yazı ve tura - sadece iki. Bunlardan kaçı olumlu? Yalnızca biri kartaldır. Yani olasılık

   Kuyruklar için de durum aynıdır: .

2. Toplam seçenekler: (küpün kaç tarafı var, şu kadar farklı seçenek). Olumlu olanlar: (bunların hepsi çift sayılardır :).
   Olasılık. Elbette tek sayılarda da durum aynı.
3. Toplam: . Uygun: . Olasılık: .

Toplam olasılık

Kutudaki tüm kalemler yeşildir. Kırmızı kalem çizme olasılığı nedir? Şans yok: olasılık (sonuçta olumlu olaylar -).

Böyle bir olaya imkansız denir.

Yeşil kalem çizme olasılığı nedir? Toplam olay sayısıyla tam olarak aynı sayıda olumlu olay vardır (tüm olaylar olumludur). Yani olasılık veya'ya eşittir.

Böyle bir olaya güvenilir denir.

Bir kutuda yeşil ve kırmızı kalemler varsa, yeşil veya kırmızı kalemlerin çizilme olasılığı nedir? Tekrar. Şunu not edelim: Yeşili çekme olasılığı eşittir, kırmızı da eşittir.

Özetle bu olasılıklar tamamen eşittir. Yani, Tüm olası olayların olasılıklarının toplamı veya'ya eşittir.

Örnek:

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil çizilmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olasılıkların toplandığını hatırlıyoruz. Ve yeşile dönme olasılığı eşittir. Bu, yeşil çizilmeme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Bu hileyi unutmayın: Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, eksi olayın meydana gelme olasılığına eşittir.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir kez yazı tura atıyorsunuz ve her iki seferde de tura gelmesini istiyorsunuz. Bunun olasılığı nedir?

Tüm olası seçenekleri gözden geçirelim ve kaç tane olduğunu belirleyelim:

Yazı-tura, yazı-tura, yazı-yazı, yazı-yazı. Başkaları ne?

Toplam seçenekler. Bunlardan bize yakışan sadece biri: Kartal-Kartal. Toplamda olasılık eşittir.

İyi. Şimdi bir kez yazı tura atalım. Matematiği kendiniz yapın. İşe yaradı mı? (cevap).

Sonraki her atışın eklenmesiyle olasılığın yarı yarıya azaldığını fark etmiş olabilirsiniz. Genel kural denir çarpma kuralı:

Bağımsız olayların olasılıkları değişir.

Bağımsız olaylar nelerdir? Her şey mantıklı: bunlar birbirine bağlı olmayanlar. Örneğin, birkaç kez para attığımızda, her defasında yeni bir atış yapılır ve bunun sonucu önceki atışların tümüne bağlı değildir. Aynı anda iki farklı parayı da kolaylıkla atabiliyoruz.

Daha fazla örnek:

1. Zarlar iki kez atılır. Her iki seferde de gelme olasılığı nedir?
2. Para bir kez atılıyor. İlk seferde tura, sonra iki kez yazı gelme olasılığı nedir?
3. Oyuncu iki zar atar. Üzerlerindeki sayıların toplamının eşit olma olasılığı nedir?

Cevaplar:

1. Olaylar bağımsızdır, yani çarpma kuralı çalışır: .
2. Tura olasılığı eşittir. Yazı gelme olasılığı aynıdır. Çarp:
3. 12 yalnızca iki -ki yuvarlanırsa elde edilebilir: .

Uyumsuz olaylar ve ekleme kuralı

Birbirini tam olasılık noktasına kadar tamamlayan olaylara uyumsuz denir. Adından da anlaşılacağı gibi aynı anda gerçekleşemezler. Örneğin, bir parayı havaya attığımızda yazı ya da tura gelebilir.

Örnek.

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil veya kırmızı çizme olasılığı nedir?

Çözüm .

Yeşil kalem çekme olasılığı eşittir. Kırmızı - .

Genel olarak olumlu olaylar: yeşil + kırmızı. Bu, yeşil veya kırmızı çekme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Aynı olasılık şu biçimde temsil edilebilir: .

Bu ekleme kuralıdır: uyumsuz olayların olasılıkları artar.

Karışık tip problemler

Örnek.

Para iki kez atılıyor. Zar atışlarının sonuçlarının farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm .

Bu, ilk sonucun tura olması durumunda ikincisinin yazı olması gerektiği ve bunun tersinin de geçerli olduğu anlamına gelir. İki çift bağımsız olay olduğu ve bu çiftlerin birbiriyle uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Nerede çarpılacağı ve nereye ekleneceği konusunda kafanız nasıl karışmaz?

Bu tür durumlar için basit bir kural vardır. “VE” veya “VEYA” bağlaçlarını kullanarak ne olacağını anlatmaya çalışın. Örneğin bu durumda:

(Yazı ve yazı) veya (yazı ve yazı) gelmeli.

“Ve” bağlacının olduğu yerde çarpma, “veya” bağlacının olduğu yerde ise toplama yapılır:

Kendiniz deneyin:

1. Bir madeni para iki kez havaya atıldığında her ikisinde de aynı yüze gelme olasılığı kaçtır?
2. Zarlar iki kez atılır. Toplam puan alma olasılığı nedir?

Çözümler:

1. (Başlar düştü ve kuyruklar düştü) veya (kuyruklar düştü ve kuyruklar düştü): .
2. Seçenekler nelerdir? Ve. Daha sonra:
   Bırakılan (ve) veya (ve) veya (ve): .

Başka bir örnek:

Bir kez yazı tura atın. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Ah, seçeneklerin üzerinden geçmek istemiyorum... Yazı-tura-yazı, Kartal-tura-yazı,... Ama gerek yok! Toplam olasılığı hatırlayalım. Hatırlıyor musun? Kartal olma olasılığı nedir? asla düşmeyecek? Çok basit: Kafalar her zaman uçuyor, bu yüzden.

OLASILIK TEORİSİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır.

Bağımsız etkinlikler

Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır.

Toplam olasılık

Tüm olası olayların olasılığı ()'ye eşittir.

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, eksi olayın meydana gelme olasılığına eşittir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir

Uyumsuz olaylar

Uyumsuz olaylar, bir deneyin sonucunda aynı anda meydana gelmesi mümkün olmayan olaylardır. Bir dizi uyumsuz olay, tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Uyumsuz olayların olasılıkları artar.

Ne olması gerektiğini anlattıktan sonra, “VE” veya “VEYA” bağlaçlarını kullanarak “VE” yerine çarpma işareti, “VEYA” yerine ise toplama işareti koyarız.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın - 299 ovmak.
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - 999 ovmak.

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

İkinci durumda sana vereceğiz simülatör "Her konu için, tüm karmaşıklık seviyelerinde çözümleri ve cevapları olan 6000 problem." Herhangi bir konudaki problemlerin çözümüne el atmanız kesinlikle yeterli olacaktır.

Aslında bu bir simülatörden çok daha fazlasıdır; tam bir eğitim programıdır. Gerektiğinde ÜCRETSİZ olarak da kullanabilirsiniz.

Tüm metinlere ve programlara erişim, sitenin TÜM varlığı boyunca sağlanmaktadır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

İnsan faaliyetinin diğer alanlarında veya doğada olduğu gibi ekonomide de sürekli olarak doğru bir şekilde tahmin edilemeyen olaylarla uğraşmak zorundayız. Bu nedenle, bir ürünün satış hacmi, önemli ölçüde değişebilen talebe ve dikkate alınması neredeyse imkansız olan bir dizi başka faktöre bağlıdır. Bu nedenle, üretimi organize ederken ve satışları gerçekleştirirken, bu tür faaliyetlerin sonucunu ya kendi önceki deneyiminize ya da diğer insanların benzer deneyimlerine ya da büyük ölçüde deneysel verilere dayanan sezgilere dayanarak tahmin etmeniz gerekir.

Söz konusu olayı bir şekilde değerlendirebilmek için bu olayın kaydedildiği koşulları dikkate almak veya özel olarak düzenlemek gerekir.

Söz konusu olayı tanımlamak için belirli koşulların veya eylemlerin uygulanmasına denir. deneyim veya deney.

Olayın adı rastgele, eğer deneyimin bir sonucu olarak ortaya çıkabilir veya çıkmayabilir.

Olayın adı güvenilir zorunlu olarak belirli bir deneyimin sonucu olarak ortaya çıkıyorsa ve imkansız, eğer bu deneyimde ortaya çıkamıyorsa.

Örneğin 30 Kasım'da Moskova'ya kar yağması tesadüfi bir olaydır. Günlük gün doğumu güvenilir bir olay olarak kabul edilebilir. Ekvatorda kar yağışı imkansız bir olay sayılabilir.

Olasılık teorisindeki ana görevlerden biri, bir olayın meydana gelme olasılığının niceliksel bir ölçüsünü belirleme görevidir.

Olayların cebiri

Olaylar aynı deneyimde bir arada gözlemlenemiyorsa uyumsuz olarak adlandırılır. Dolayısıyla satılık bir mağazada aynı anda iki ve üç arabanın bulunması birbiriyle uyumsuz iki olaydır.

Miktar olaylar, bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır

Olayların toplamına bir örnek, mağazada iki üründen en az birinin bulunmasıdır.

iş olaylar tüm bu olayların aynı anda meydana gelmesinden oluşan bir olaydır

Bir mağazada iki ürünün aynı anda ortaya çıkmasından oluşan olay, aşağıdaki olayların ürünüdür: - bir ürünün ortaya çıkması, - başka bir ürünün ortaya çıkması.

Olaylar, eğer deneyimde en az bir tanesinin gerçekleşeceği kesinse, tam bir olaylar grubu oluşturur.

Örnek. Limanda gemilerin kabulü için iki iskele bulunmaktadır. Üç olay dikkate alınabilir: - Rıhtımlarda gemi bulunmaması, - Rıhtımlardan birinde bir geminin bulunması, - İki rıhtımda iki geminin bulunması. Bu üç olay tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Zıt Tam bir grup oluşturan iki benzersiz olası olaya denir.

Zıt olaylardan biri ile gösterilirse, karşıt olay genellikle ile gösterilir.

Olay olasılığının klasik ve istatistiksel tanımları

Testlerin (deneylerin) eşit derecede olası sonuçlarının her birine temel sonuç denir. Genellikle harflerle belirtilirler. Örneğin bir zar atılıyor. Kenarlardaki noktaların sayısına bağlı olarak toplam altı temel sonuç olabilir.

Temel sonuçlardan daha karmaşık bir olay yaratabilirsiniz. Dolayısıyla çift sayıda puan olayı üç sonuçla belirlenir: 2, 4, 6.

Söz konusu olayın meydana gelme olasılığının niceliksel ölçüsü olasılıktır.

Bir olayın olasılığının en yaygın kullanılan tanımları şunlardır: klasik Ve istatistiksel.

Olasılığın klasik tanımı, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir.

Sonuç denir uygun Belirli bir olaya, eğer bu olayın gerçekleşmesi bu olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa.

Yukarıdaki örnekte, söz konusu olayın - yuvarlanan tarafta çift sayıda nokta - üç olumlu sonucu vardır. Bu durumda genel
olası sonuçların sayısı. Bu, bir olayın olasılığının klasik tanımının burada kullanılabileceği anlamına gelir.

Klasik tanım olumlu sonuçların sayısının olası sonuçların toplam sayısına oranına eşittir

olayın olasılığı nerede, olaya uygun sonuçların sayısı, olası sonuçların toplam sayısı.

Ele alınan örnekte

Olasılığın istatistiksel tanımı, deneylerde bir olayın göreceli olarak ortaya çıkma sıklığı kavramıyla ilişkilidir.

Bir olayın göreceli görülme sıklığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

bir olayın bir dizi deneyde (denemelerde) meydana gelme sayısıdır.

İstatistiksel tanım. Bir olayın olasılığı, deney sayısındaki sınırsız artışla bağıl frekansın sabitlendiği (ayarlandığı) sayıdır.

Pratik problemlerde, bir olayın olasılığı yeterince fazla sayıda denemenin bağıl sıklığı olarak alınır.

Bir olayın olasılığının bu tanımlarından eşitsizliğin her zaman karşılandığı açıktır.

Formül (1.1)'e dayalı bir olayın olasılığını belirlemek için, olumlu sonuçların sayısını ve olası sonuçların toplam sayısını bulmak için kullanılan kombinatorik formüller sıklıkla kullanılır.

Başlangıçta sadece zar oyununa ilişkin bilgi ve ampirik gözlemlerin bir derlemesi olan olasılık teorisi, kapsamlı bir bilim haline geldi. Ona matematiksel bir çerçeve kazandıran ilk kişiler Fermat ve Pascal'dı.

Sonsuzluk hakkında düşünmekten olasılık teorisine

Olasılık teorisinin temel formüllerinin çoğunu borçlu olduğu iki kişi, Blaise Pascal ve Thomas Bayes, son derece dindar insanlar olarak biliniyor; ikincisi bir Presbiteryen papazıydı. Görünüşe göre, bu iki bilim adamının, favorilerine iyi şanslar bahşeden belirli bir Şans hakkındaki görüşün yanlışlığını kanıtlama arzusu, bu alanda araştırmalara ivme kazandırdı. Sonuçta, aslında kazançları ve kayıpları ile herhangi bir kumar oyunu sadece matematiksel ilkelerin bir senfonisidir.

Hem kumarbaz hem de bilime kayıtsız olmayan Chevalier de Mere'nin tutkusu sayesinde Pascal, olasılığı hesaplamanın bir yolunu bulmak zorunda kaldı. De Mere şu soruyla ilgilendi: "12 puan alma olasılığının %50'yi aşması için iki zarı çiftler halinde kaç kez atmanız gerekir?" Beyefendinin büyük ilgisini çeken ikinci soru: "Bitmemiş oyunda bahis katılımcılar arasında nasıl paylaştırılır?" Elbette Pascal, olasılık teorisinin gelişiminin farkında olmadan başlatıcısı haline gelen de Mere'nin her iki sorusunu da başarıyla yanıtladı. De Mere'nin kişiliğinin edebiyatta değil, bu alanda bilinmesi ilginçtir.

Daha önce hiçbir matematikçi olayların olasılıklarını hesaplamaya çalışmamıştı çünkü bunun yalnızca tahmine dayalı bir çözüm olduğuna inanılıyordu. Blaise Pascal bir olayın olasılığının ilk tanımını yapmış ve bunun matematiksel olarak gerekçelendirilebilecek spesifik bir rakam olduğunu göstermiştir. Olasılık teorisi istatistiğin temeli haline geldi ve modern bilimde yaygın olarak kullanıldı.

Rastgelelik nedir

Sonsuz sayıda tekrarlanabilen bir test düşünürsek, rastgele bir olay tanımlayabiliriz. Bu, deneyin olası sonuçlarından biridir.

Deneyim, belirli eylemlerin sabit koşullar altında uygulanmasıdır.

Deneyin sonuçlarıyla çalışabilmek için olaylar genellikle A, B, C, D, E harfleriyle gösterilir.

Rastgele bir olayın olasılığı

Olasılığın matematiksel kısmına başlamak için tüm bileşenlerini tanımlamak gerekir.

Bir olayın olasılığı, bir deneyimin sonucu olarak bazı olayların (A veya B) meydana gelme olasılığının sayısal ölçüsüdür. Olasılık P(A) veya P(B) olarak gösterilir.

Olasılık teorisinde şunları ayırt ederler:

• güvenilir P(Ω) = 1 deneyiminin bir sonucu olarak olayın meydana gelmesi garanti edilir;
• imkansız olay asla gerçekleşemez P(Ø) = 0;
• rastgele bir olay güvenilir ile imkansız arasındadır, yani meydana gelme olasılığı mümkündür ancak garanti edilmez (rastgele bir olayın olasılığı her zaman 0≤Р(А)≤ 1 aralığındadır).

Olaylar arasındaki ilişkiler

A veya B bileşenlerinden en az biri veya A ve B'nin her ikisi de yerine getirildiğinde olay sayıldığında, A+B olaylarının hem biri hem de toplamı dikkate alınır.

Birbirleriyle ilişkili olarak olaylar şunlar olabilir:

• Aynı derecede mümkün.
• Uyumlu.
• Uyumsuz.
• Zıt (birbirini dışlayan).
• Bağımlı.

Eğer iki olay eşit olasılıkla gerçekleşebiliyorsa, o zaman bunlar eşit derecede mümkün.

A olayının meydana gelmesi, B olayının meydana gelme olasılığını sıfıra indirmiyorsa, o zaman uyumlu.

A ve B olayları aynı deneyimde hiçbir zaman aynı anda meydana gelmiyorsa bunlara denir. uyumsuz. Yazı tura atmak buna iyi bir örnektir: Yazıların ortaya çıkması, otomatik olarak yazıların görünmemesi anlamına gelir.

Bu tür uyumsuz olayların toplamının olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının toplamından oluşur:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini imkansız hale getiriyorsa bunlara zıt denir. Daha sonra bunlardan biri A, diğeri - Ā olarak adlandırılır (“A değil” olarak okunur). A olayının gerçekleşmesi Ā olayının gerçekleşmediği anlamına gelir. Bu iki olay, olasılık toplamı 1'e eşit olan tam bir grup oluşturur.

Bağımlı olaylar birbirini etkiler, birbirlerinin olasılığını azaltır veya artırır.

Olaylar arasındaki ilişkiler. Örnekler

Örnekleri kullanarak olasılık teorisinin ilkelerini ve olay kombinasyonlarını anlamak çok daha kolaydır.

Yapılacak deney, topların bir kutudan çıkarılmasından ibarettir ve her deneyin sonucu temel bir sonuçtur.

Bir olay, bir deneyin olası sonuçlarından biridir - kırmızı bir top, mavi bir top, altı numaralı bir top vb.

1 numaralı test. Oyunda 3'ü mavi ve üzerinde tek sayılar, diğer 3'ü kırmızı ve çift sayılar olmak üzere 6 top vardır.

2 numaralı test. Birden altıya kadar sayıların yazılı olduğu 6 mavi top vardır.

Bu örneğe dayanarak kombinasyonları adlandırabiliriz:

• Güvenilir olay.İspanyolca 2 numaralı "mavi topu al" olayı güvenilirdir, çünkü gerçekleşme olasılığı 1'e eşittir, çünkü tüm toplar mavidir ve kaçırma söz konusu olamaz. Oysa “1 numaradan topu alma” olayı rastgeledir.
• İmkansız olay.İspanyolca Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara olan “mor topun alınması” olayı, gerçekleşme olasılığı 0 olduğundan imkansızdır.
• Eşit derecede olası olaylar.İspanyolca 1 numarada “2 numarayla topu al” ve “3 numarayla topu al” etkinlikleri eşit derecede mümkündür ve “çift numarayla topu al” ve “2 numarayla topu al” etkinlikleri eşit derecede mümkündür. ” farklı olasılıklara sahip.
• Uyumlu Etkinlikler. Bir zarı atarken arka arkaya iki kez altı almak uyumlu bir olaydır.
• Uyumsuz olaylar. Aynı İspanyolcada 1 numara, "kırmızı top al" ve "tek sayılı top al" etkinlikleri aynı deneyimde birleştirilemez.
• Karşıt olaylar. Bunun en çarpıcı örneği, tura çekmenin yazı çekmemekle eşdeğer olduğu ve olasılıklarının toplamının her zaman 1 (tam grup) olduğu yazı tura atmadır.
• Bağımlı Olaylar. Yani, İspanyolca 1 numara, kırmızı topu arka arkaya iki kez çekme hedefini belirleyebilirsiniz. İlk seferde alınıp alınmaması ikinci seferde alınma olasılığını etkiler.

İlk olayın ikinci olayın olasılığını (%40 ve %60) önemli ölçüde etkilediği görülmektedir.

Olay olasılığı formülü

Falcılıktan kesin verilere geçiş, konunun matematiksel düzleme çevrilmesiyle gerçekleşir. Yani, "yüksek olasılık" veya "minimum olasılık" gibi rastgele bir olaya ilişkin yargılar, belirli sayısal verilere çevrilebilir. Bu tür materyallerin değerlendirilmesine, karşılaştırılması ve daha karmaşık hesaplamalara dahil edilmesine zaten izin verilmektedir.

Hesaplama açısından bakıldığında, bir olayın olasılığının belirlenmesi, temel olumlu sonuçların sayısının belirli bir olaya ilişkin deneyimin tüm olası sonuçlarının sayısına oranıdır. Olasılık P(A) ile gösterilir; burada P, Fransızca'dan "olasılık" olarak çevrilen "olasılık" kelimesini temsil eder.

Yani bir olayın olasılığının formülü şu şekildedir:

m, A olayı için olumlu sonuçların sayısı iken, n, bu deneyim için mümkün olan tüm sonuçların toplamıdır. Bu durumda bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Bir olayın olasılığının hesaplanması. Örnek

İspanyolcayı ele alalım. Daha önce açıklanan toplarla 1 numara: 1/3/5 numaralı 3 mavi top ve 2/4/6 numaralı 3 kırmızı top.

Bu teste dayanarak birkaç farklı problem göz önünde bulundurulabilir:

• A - kırmızı top düşüyor. 3 kırmızı top var ve toplamda 6 seçenek var. Bu, bir olayın olasılığının P(A) = 3/6 = 0,5'e eşit olduğu en basit örnektir.
• B - çift sayının yuvarlanması. 3 çift sayı (2,4,6) vardır ve olası sayısal seçeneklerin toplam sayısı 6'dır. Bu olayın olasılığı P(B)=3/6=0,5'tir.
• C - 2'den büyük bir sayının ortaya çıkması. Toplam 6 olası sonuçtan bu tür 4 seçenek (3,4,5,6) vardır. C olayının olasılığı P(C)=4'e eşittir. /6=0,67.

Hesaplamalardan da anlaşılacağı üzere C olayının olası olumlu sonuç sayısı A ve B olayına göre daha fazla olduğu için olasılığı daha yüksektir.

Uyumsuz olaylar

Bu tür olaylar aynı deneyimde aynı anda ortaya çıkamaz. İspanyolca olduğu gibi 1 numara, aynı anda hem mavi hem de kırmızı top almak imkansızdır. Yani mavi veya kırmızı bir top alabilirsiniz. Aynı şekilde bir zarda aynı anda hem çift hem de tek sayı bulunamaz.

İki olayın olasılığı, toplamlarının veya çarpımlarının olasılığı olarak kabul edilir. Bu tür olayların toplamı A+B, A veya B olayının meydana gelmesinden oluşan bir olay olarak kabul edilir ve bunların çarpımı AB, her ikisinin de meydana gelmesidir. Örneğin, tek atışta iki zarın yüzünde aynı anda iki altının görünmesi.

Birkaç olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana geldiğini varsayan bir olaydır. Birçok olayın üretimi, hepsinin ortaklaşa gerçekleşmesidir.

Olasılık teorisinde, kural olarak, "ve" bağlacının kullanımı bir toplamı, "veya" bağlacının kullanımı ise çarpmayı ifade eder. Örnekli formüller olasılık teorisindeki toplama ve çarpma mantığını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uyumsuz olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılığı dikkate alınırsa, olayların toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Örneğin: İspanyolca'da olma olasılığını hesaplayalım. 1 numarada mavi ve kırmızı toplarla 1 ile 4 arasında bir sayı çıkacak. Tek işlemde değil, temel bileşenlerin olasılıklarının toplamına göre hesaplayacağız. Yani böyle bir deneyde yalnızca 6 top veya tüm olası sonuçlardan 6'sı vardır. Koşulu sağlayan sayılar 2 ve 3'tür. 2 sayısının gelme olasılığı 1/6, 3 sayısının gelme olasılığı da 1/6'dır. 1 ile 4 arasında bir sayı gelme olasılığı:

Tam bir grubun uyumsuz olaylarının toplamının olasılığı 1'dir.

Yani küple yapılan bir deneyde tüm sayıların ortaya çıkma olasılıklarını toplarsak sonuç bir olacaktır.

Bu aynı zamanda zıt olaylar için de geçerlidir; örneğin, bir tarafın A olayı, diğer tarafın ise karşıt olay olan Ā olduğu madeni para deneyinde, bilindiği gibi,

P(A) + P(Ā) = 1

Uyumsuz olayların meydana gelme olasılığı

Olasılık çarpımı, bir gözlemde iki veya daha fazla uyumsuz olayın meydana gelmesi dikkate alındığında kullanılır. A ve B olaylarının aynı anda ortaya çıkma olasılığı, bunların olasılıklarının çarpımına eşittir veya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Örneğin, İspanyolca'da olma olasılığı 1 numara, iki deneme sonucunda iki kez mavi bir top görünecektir;

Yani, iki top çıkarma girişimi sonucunda yalnızca mavi topların çıkarılmasıyla bir olayın meydana gelme olasılığı %25'tir. Bu problem üzerinde pratik deneyler yapmak ve durumun gerçekten böyle olup olmadığını görmek çok kolaydır.

Ortak etkinlikler

Birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesiyle çakışabiliyorsa olaylar ortak olarak kabul edilir. Ortak olmalarına rağmen bağımsız olayların olasılığı dikkate alınır. Örneğin iki zar atmak, her ikisinde de 6 rakamı göründüğünde sonuç verebilir. Olaylar aynı anda çakışıp ortaya çıkmasına rağmen birbirlerinden bağımsızdırlar - yalnızca altı tanesi düşebilir, ikinci zarın hiçbir özelliği yoktur. üzerindeki etkisi.

Ortak olayların olasılığı, toplamlarının olasılığı olarak kabul edilir.

Ortak olayların toplamının olasılığı. Örnek

Birbirlerine göre ortak olan A ve B olaylarının toplamının olasılığı, olayın olasılıklarının toplamından meydana gelme olasılıklarının (yani ortak meydana gelme olasılıklarının) çıkarılmasına eşittir:

R eklemi (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Hedefi tek atışla vurma olasılığının 0,4 olduğunu varsayalım. O zaman A olayı ilk denemede, B ise ikinci denemede hedefi vuruyor. Bu olaylar ortaktır, çünkü hedefi hem birinci hem de ikinci atışla vurmanız mümkündür. Ancak olaylar bağımlı değildir. Hedefin iki atışla (en az bir atışla) vurulması olayının olasılığı nedir? Formüle göre:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sorunun cevabı şu: “İki atışta hedefi vurma ihtimali %64.”

Bir olayın olasılığına ilişkin bu formül, bir olayın ortak meydana gelme olasılığının P(AB) = 0 olduğu uyumsuz olaylara da uygulanabilir. Bu, uyumsuz olayların toplamının olasılığının özel bir durum olarak değerlendirilebileceği anlamına gelir. Önerilen formülün

Açıklık sağlamak için olasılık geometrisi

İlginç bir şekilde, ortak olayların toplamının olasılığı birbiriyle kesişen iki A ve B alanı olarak temsil edilebilir. Resimden görülebileceği gibi, birleşimlerinin alanı, toplam alan eksi kesişme alanlarının alanına eşittir. Bu geometrik açıklama, mantıksız gibi görünen formülü daha anlaşılır kılmaktadır. Olasılık teorisinde geometrik çözümlerin nadir olmadığını unutmayın.

Çok sayıda (ikiden fazla) ortak olayın toplamının olasılığını belirlemek oldukça zahmetlidir. Hesaplamak için bu durumlar için sağlanan formülleri kullanmanız gerekir.

Bağımlı Olaylar

Olaylardan birinin (A) meydana gelmesi diğerinin (B) meydana gelme olasılığını etkiliyorsa bağımlı olaylar olarak adlandırılır. Ayrıca A olayının hem gerçekleşmesinin hem de gerçekleşmemesinin etkisi dikkate alınır. Olaylar tanım gereği bağımlı olarak adlandırılsa da olaylardan yalnızca biri bağımlıdır (B). Sıradan olasılık, P(B) veya bağımsız olayların olasılığı olarak gösterildi. Bağımlı olaylar durumunda, yeni bir kavram tanıtılmıştır - koşullu olasılık P A (B), bu, bağlı olduğu A olayının (hipotez) ortaya çıkmasına bağlı olarak bağımlı bir B olayının olasılığıdır.

Ancak A olayı da rastgeledir, dolayısıyla yapılan hesaplamalarda dikkate alınması gereken ve dikkate alınabilecek bir olasılığa da sahiptir. Aşağıdaki örnek bağımlı olaylarla ve bir hipotezle nasıl çalışılacağını gösterecektir.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplamaya bir örnek

Bağımlı olayların hesaplanmasına iyi bir örnek, standart bir kart destesi olabilir.

Örnek olarak 36 kartlık bir desteyi kullanarak, bağımlı olaylara bakalım. İlk çekilen kartın aşağıdaki olması durumunda desteden çekilen ikinci kartın karo olma olasılığını belirlememiz gerekir:

1. Bubnovaya.
2. Farklı bir renk.

Açıkçası, ikinci B olayının olasılığı ilk A'ya bağlıdır. Yani, eğer ilk seçenek doğruysa, yani destede 1 kart (35) ve 1 karo (8) eksik varsa, B olayının olasılığı:

RA(B) =8/35=0,23

İkinci seçenek doğruysa, destede 35 kart var ve karoların tamamı (9) hala tutuluyorsa, aşağıdaki B olayının olasılığı:

RA(B) =9/35=0,26.

A olayının ilk kartın elmas olması koşuluna bağlanması durumunda B olayının olasılığının azaldığı ve bunun tersinin de geçerli olduğu görülebilir.

Bağımlı olayların çarpılması

Önceki bölümün rehberliğinde, ilk olayı (A) bir gerçek olarak kabul ediyoruz, ancak özünde bu rastgele bir niteliktedir. Bu olayın, yani bir kart destesinden elmas çekmenin olasılığı şuna eşittir:

P(A) = 9/36=1/4

Teori kendi başına mevcut olmadığından ve pratik amaçlara hizmet etmesi amaçlandığından, en sık ihtiyaç duyulan şeyin bağımlı olaylar üretme olasılığı olduğunu belirtmekte fayda var.

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpımı teoremine göre, A ve B'nin ortaklaşa bağımlı olaylarının meydana gelme olasılığı, bir A olayının olasılığı ile B olayının koşullu olasılığı (A'ya bağlı) çarpımına eşittir:

P(AB) = P(A) *P A(B)

O halde deste örneğinde karo renginde iki kart çekme olasılığı şöyledir:

9/36*8/35=0,0571 veya %5,7

Ve önce elmasları değil, sonra elmasları çıkarma olasılığı şuna eşittir:

27/36*9/35=0,19 veya %19

Karo dışındaki bir renkteki ilk kartın çekilmesi koşuluyla B olayının gerçekleşme olasılığının daha yüksek olduğu görülebilir. Bu sonuç oldukça mantıklı ve anlaşılır.

Bir olayın toplam olasılığı

Koşullu olasılıklı bir problem çok yönlü hale geldiğinde geleneksel yöntemlerle hesaplanamaz. İkiden fazla hipotez olduğunda, yani A1,A2,…,A n, .. sağlanan olayların tam bir grubunu oluşturur:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A ben ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k Bir k =Ω.

Dolayısıyla, A1, A2,..., A n rastgele olaylarından oluşan tam bir grupla B olayının toplam olasılığının formülü şuna eşittir:

Geleceğe bakmak

Rastgele bir olayın olasılığı bilimin birçok alanında son derece gereklidir: ekonometri, istatistik, fizik vb. Bazı süreçler doğası gereği olasılıksal olduğundan deterministik olarak tanımlanamadığından, özel çalışma yöntemleri gereklidir. Olay olasılığı teorisi herhangi bir teknolojik alanda bir hata veya arıza olasılığını belirlemenin bir yolu olarak kullanılabilir.

Olasılığı tanıyarak, geleceğe formüller prizmasından bakarak bir şekilde teorik bir adım attığımızı söyleyebiliriz.

Blogumda, Marvel Trading Card Game ve Playboy: the Mansion gibi projelerde çalışan oyun tasarımcısı Jan Schreiber'in "Oyun Dengesi Prensipleri" dersinin bir sonraki dersinin çevirisi var.

Şu ana kadar konuştuğumuz hemen hemen her şey deterministikti ve geçen hafta açıklayabildiğim kadar ayrıntıya girerek geçişli mekaniğe daha yakından baktık. Ancak şu ana kadar birçok oyunun başka bir yönüne, yani deterministik olmayan yönlerine, diğer bir deyişle rastgeleliğe dikkat etmedik.

Rastgeleliğin doğasını anlamak oyun tasarımcıları için çok önemlidir. Belirli bir oyunda kullanıcının deneyimini etkileyen sistemler yaratıyoruz, dolayısıyla bu sistemlerin nasıl çalıştığını bilmemiz gerekiyor. Bir sistemde rastgelelik varsa, ihtiyacımız olan sonuçları elde etmek için bu rastgeleliğin doğasını anlamamız ve onu nasıl değiştireceğimizi bilmemiz gerekir.

Zar

Basit bir şeyle başlayalım; zar atmak. Çoğu insan zarı düşündüğünde aklına d6 olarak bilinen altı kenarlı bir zar gelir. Ancak çoğu oyuncu başka birçok zar görmüştür: dört yüzlü (d4), sekizgen (d8), on iki yüzlü (d12), yirmi yüzlü (d20). Eğer gerçek bir inek iseniz, bir yerlerde 30 kenarlı veya 100 kenarlı zarlarınız olabilir.

Terminolojiye aşina değilseniz d, zar anlamına gelir ve ondan sonraki sayı, sahip olduğu kenar sayısıdır. Sayı d'den önce görünüyorsa, atılacak zar sayısını gösterir. Örneğin Monopoly oyununda 2d6 atarsınız.

Yani bu durumda “zar” ifadesi bir semboldür. Plastik rakamlara benzemeyen ancak aynı işlevi yerine getiren, 1'den n'ye kadar rastgele bir sayı üreten çok sayıda başka rastgele sayı üreteci vardır. Sıradan bir madeni para aynı zamanda dihedral zar d2 olarak da temsil edilebilir.

Yedi kenarlı iki zar tasarımı gördüm: Biri zara benziyordu, diğeri ise daha çok yedi kenarlı tahta kaleme benziyordu. Titotum olarak da bilinen tetrahedral dreidel, tetrahedral kemiğe benzer. Puanların 1'den 6'ya kadar değişebildiği Chutes & Ladders'daki dönen ok tahtası, altı kenarlı bir zara karşılık gelir.

Bir bilgisayarın rasgele sayı üreteci, bilgisayarda 19 kenarlı bir zar olmasa bile, tasarımcının belirtmesi durumunda 1'den 19'a kadar herhangi bir sayı oluşturabilir (genel olarak, sayıların bir karede gelme olasılığı hakkında daha fazla konuşacağım). gelecek hafta bilgisayar). Bu öğelerin tümü farklı görünse de gerçekte eşdeğerdir: çeşitli olası sonuçların her biri için eşit şansınız vardır.

Zarların bilmemiz gereken bazı ilginç özellikleri vardır. İlk olarak, her iki yüze de gelme olasılığı aynıdır (normal şekilli bir zar attığınızı varsayıyorum). Bir atışın ortalama değerini bilmek istiyorsanız (olasılıkla ilgilenenler için buna beklenen değer denir), tüm kenarlardaki değerleri toplayın ve bu sayıyı kenar sayısına bölün.

Standart altı yüzlü bir zarın tüm kenarlarının değerlerinin toplamı 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21'dir. 21'i kenar sayısına bölün ve atışın ortalama değerini bulun: 21 / 6 = 3,5. Bu özel bir durumdur çünkü tüm sonuçların eşit olasılıklı olduğunu varsayıyoruz.

Peki ya özel zarlarınız varsa? Örneğin, yanlarında özel çıkartmalar bulunan altı kenarlı bir zar oyunu gördüm: 1, 1, 1, 2, 2, 3, yani üç kenarlı tuhaf bir zar gibi davranıyor ve muhtemelen 1 atması daha muhtemel. 2. ve 2 atma olasılığı 3'ten daha yüksektir. Bu zar için ortalama atış nedir? Yani, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, 6'ya bölünür - 5/3 veya yaklaşık olarak 1,66 olur. Yani özel bir zarınız varsa ve oyuncular üç zar atar ve ardından sonuçları toplarsa, onların atışlarının toplamının yaklaşık 5 olacağını bilirsiniz ve oyunu bu varsayıma göre dengeleyebilirsiniz.

Zar ve Bağımsızlık

Daha önce de söylediğim gibi, her iki tarafın da eşit derecede başarısız olacağı varsayımından yola çıkıyoruz. Kaç zar attığınız önemli değil. Her zar atışının bağımsız olması, önceki atışların sonraki atışların sonuçlarını etkilemediği anlamına gelir. Yeterli sayıda deneme yapıldığında, sayıların bir düzenini (örneğin çoğunlukla daha yüksek veya daha düşük değerlerin atılması) veya başka özellikleri fark edeceksiniz, ancak bu, zarların "sıcak" veya "soğuk" olduğu anlamına gelmez. Bunu daha sonra konuşacağız.

Altı kenarlı standart bir zar atarsanız ve 6 rakamı art arda iki kez gelirse, bir sonraki atışın 6 ile sonuçlanma olasılığı tam olarak 1/6'dır çünkü zar "ısınmıştır". . Aynı zamanda olasılık azalmaz: 6 sayısının zaten arka arkaya iki kez ortaya çıktığını düşünmek yanlıştır, bu da şimdi başka bir tarafın gelmesi gerektiği anlamına gelir.

Elbette, eğer bir zarı yirmi kez atarsanız ve her seferinde 6 gelirse, yirmi birinci kez 6 atma şansınız oldukça yüksektir: belki de yanlış zarı atmışsınızdır. Ancak zar adilse, diğer atışların sonuçlarına bakılmaksızın her iki tarafın da gelme olasılığı aynıdır. Ayrıca zarı her seferinde değiştirdiğimizi de düşünebilirsiniz: 6 rakamı art arda iki kez atılırsa, "sıcak" zarı oyundan çıkarın ve yenisiyle değiştirin. Eğer herhangi biriniz bunu zaten biliyorsa özür dilerim, ancak devam etmeden önce bunu açıklığa kavuşturmam gerekiyordu.

Zarların az ya da çok rastgele yuvarlanması nasıl yapılır?

Farklı zarlarda farklı sonuçların nasıl elde edileceğinden bahsedelim. Zarı yalnızca bir kez veya birkaç kez atsanız da, zarın daha fazla tarafı olduğunda oyun daha rastgele hissedilecektir. Ne kadar sık ​​zar atarsanız ve ne kadar çok zar atarsanız sonuçlar ortalamaya o kadar yaklaşır.

Örneğin, 1d6 + 4 durumunda (yani altı yüzlü standart bir zarı bir kez atarsanız ve sonuca 4 eklerseniz), ortalama 5 ile 10 arasında bir sayı olacaktır. 5d2 atarsanız ortalama aynı zamanda 5 ile 10 arasında bir sayı olacaktır. 5d2 atmanın sonuçları çoğunlukla 7 ve 8 sayıları, daha az sıklıkla ise diğer değerler olacaktır. Aynı seri, hatta aynı ortalama değer (her iki durumda da 7,5), ancak rastgeleliğin doğası farklıdır.

Bir dakika bekle. Zarların "ısınmadığını" veya "soğumadığını" söylememiş miydim? Şimdi şunu söylüyorum: Çok fazla zar atarsanız, atışların sonuçları ortalamaya yaklaşacaktır. Neden?

Açıklayayım. Bir zar atarsanız her iki tarafın da gelme olasılığı aynıdır. Bu, zamanla çok fazla zar atarsanız, her iki tarafın da yaklaşık olarak aynı sayıda ortaya çıkacağı anlamına gelir. Ne kadar çok zar atarsanız, toplam sonuç ortalamaya o kadar yaklaşır.

Bunun nedeni, çekilen sayının henüz çekilmemiş başka bir sayıyı çekilmeye "zorlaması" değildir. Ancak, sonunda 6 sayısını (veya 20 veya başka bir sayıyı) küçük bir seri halinde atmak, on bin kez daha zar atarsanız sonucu çok fazla etkilemeyecektir ve çoğunlukla ortalama sayı çıkacaktır. Şimdi birkaç büyük sayı elde edeceksiniz ve daha sonra birkaç küçük sayı elde edeceksiniz ve zamanla bunlar ortalamaya yaklaşacak.

Bunun nedeni önceki atışların zarları etkilemesi değil (cidden, zarlar plastikten yapılmış, "Oh, 2 atmayalı uzun zaman oldu" diye düşünecek beyinleri yok), ama genellikle olanın bu olması. çok fazla zar attığınızda olur

Böylece, bir zarın rastgele bir atışına ilişkin hesaplamalar yapmak, en azından atışın ortalama değerini hesaplamak oldukça kolaydır. Ayrıca bir şeyin "ne kadar rastgele" olduğunu hesaplamanın ve 1d6+4 atmanın sonuçlarının 5d2'den "daha rastgele" olacağını söylemenin yolları da vardır. 5d2 için rulolar daha eşit şekilde dağıtılacaktır. Bunu yapmak için standart sapmayı hesaplamanız gerekir: değer ne kadar büyük olursa, sonuçlar o kadar rastgele olur. Bugün bu kadar çok hesaplama yapmak istemiyorum; bu konuyu daha sonra anlatacağım.

Sizden hatırlamanızı isteyeceğim tek şey, genel bir kural olarak, ne kadar az zar atarsanız, rastlantısallığın o kadar büyük olacağıdır. Ve bir zarın ne kadar çok tarafı varsa, olası değer seçenekleri de o kadar fazla olduğundan rastgelelik o kadar artar.

Saymayı Kullanarak Olasılık Nasıl Hesaplanır?

Merak ediyor olabilirsiniz: Belirli bir sonucu alma olasılığını tam olarak nasıl hesaplayabiliriz? Aslında bu birçok oyun için oldukça önemlidir: Başlangıçta zar atarsanız, büyük olasılıkla bir tür optimal sonuç elde edilir. Cevabım şu: iki değeri hesaplamamız gerekiyor. Birincisi, zar atıldığında elde edilen sonuçların toplam sayısı, ikincisi ise olumlu sonuçların sayısı. İkinci değeri birinciye bölmek size istenen olasılığı verecektir. Yüzdeyi bulmak için sonucu 100 ile çarpın.

Örnekler

İşte çok basit bir örnek. 4 veya daha yüksek sayının altı yüzlü zarı bir kez atmasını ve atmasını istiyorsunuz. Maksimum sonuç sayısı 6'dır (1, 2, 3, 4, 5, 6). Bunlardan 3 sonuç (4, 5, 6) olumludur. Bu, olasılığı hesaplamak için 3'ü 6'ya bölerek 0,5 veya %50 elde ettiğimiz anlamına gelir.

İşte biraz daha karmaşık bir örnek. 2d6 atarken çift sayı istiyorsunuz. Maksimum sonuç sayısı 36'dır (her zar için 6 seçenek vardır, bir zar diğerini etkilemez, dolayısıyla 6'yı 6 ile çarpın ve 36 elde edin). Bu tür soruların zorluğu iki kez saymanın kolay olmasıdır. Örneğin, 2d6 atıldığında 3 gibi iki olası sonuç vardır: 1+2 ve 2+1. Aynı görünüyorlar, ancak fark, ilk zarda hangi sayının, ikinci zarda hangi sayının görüntülendiğidir.

Ayrıca zarların farklı renklerde olduğunu da hayal edebilirsiniz: örneğin bu durumda zarlardan biri kırmızı, diğeri mavidir. Daha sonra çift sayıyı yuvarlamak için seçeneklerin sayısını sayın:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Olumlu bir sonuç için 36 seçenekten 18'inin olduğu ortaya çıktı - önceki durumda olduğu gibi, olasılık% 0,5 veya% 50'dir. Belki beklenmedik ama oldukça doğru.

Monte Carlo Simülasyonu

Peki ya bu hesaplama için çok fazla zarınız varsa? Örneğin, 8d6 atarken toplam 15 veya daha fazla sayı elde etme olasılığının ne olduğunu bilmek istiyorsunuz. Sekiz zar için çok sayıda farklı sonuç vardır ve bunları manuel olarak saymak çok uzun zaman alır; farklı zar atışlarını gruplamak için iyi bir çözüm bulsak bile.

Bu durumda en kolay yol manuel olarak saymak değil, bilgisayar kullanmaktır. Bilgisayarda olasılığı hesaplamanın iki yolu vardır. İlk yöntem size doğru bir cevap verebilir, ancak biraz programlama veya komut dosyası oluşturmayı gerektirir. Bilgisayar her olasılığa bakacak, toplam yineleme sayısını ve istenen sonuçla eşleşen yineleme sayısını değerlendirip sayacak ve ardından yanıtları sağlayacaktır. Kodunuz şöyle görünebilir:

Programlamayı anlamıyorsanız ve kesin bir cevap yerine yaklaşık bir cevaba ihtiyacınız varsa, bu durumu Excel'de simüle edebilirsiniz, burada 8d6'yı birkaç bin kez yuvarlayıp cevabı alabilirsiniz. Excel'de 1d6'yı döndürmek için formülü kullanın =KAT(RAND()*6)+1.

Cevabını bilemediğiniz ve defalarca denediğiniz durumun bir adı var: Monte Carlo simülasyonu. Bu, olasılığı hesaplamanın çok zor olduğu durumlarda kullanılabilecek harika bir çözümdür. Harika olan şey şu ki, bu durumda matematiğin nasıl çalıştığını anlamamıza gerek yok ve cevabın "oldukça iyi" olacağını biliyoruz çünkü zaten bildiğimiz gibi, ne kadar çok atış yapılırsa sonuç o kadar yakın olur. ortalama.

Bağımsız denemeler nasıl birleştirilir?

Birden fazla tekrarlanan ancak bağımsız denemeler hakkında soru sorarsanız, bir atışın sonucu diğer atışların sonuçlarını etkilemez. Bu durumun daha basit bir açıklaması daha var.

Bağımlı ve bağımsız bir şey nasıl ayırt edilir? Temel olarak, bir zarın her atışını (veya atış serisini) ayrı bir olay olarak izole edebiliyorsanız, o zaman bu bağımsızdır. Örneğin, 8d6 atıyoruz ve toplamda 15 sayı istiyoruz. Bu etkinlik birkaç bağımsız zar atışına bölünemez. Sonucu elde etmek için tüm değerlerin toplamını hesaplarsınız, böylece bir zarda çıkan sonuç diğer zarlarda da çıkması gereken sonuçları etkiler.

İşte bağımsız atışlara bir örnek: Bir zar oyunu oynuyorsunuz ve altı yüzlü zarları birden çok kez atıyorsunuz. Oyunda kalabilmek için ilk atışta 2 veya daha yüksek bir sayı olması gerekir. İkinci atış için - 3 veya daha yüksek. Üçüncüsü 4 veya daha yüksek, dördüncüsü 5 veya daha yüksek ve beşincisi 6'yı gerektirir. Beş atış da başarılı olursa kazanırsınız. Bu durumda tüm atışlar bağımsızdır. Evet, bir atış başarısız olursa bu tüm oyunun sonucunu etkileyecektir ancak bir atış diğerini etkilemez. Örneğin, ikinci zar atışınız çok başarılıysa, bu sonraki atışlarınızın da aynı derecede iyi olacağı anlamına gelmez. Bu nedenle her zar atışının olasılığını ayrı ayrı ele alabiliriz.

Bağımsız olasılıklarınız varsa ve tüm olayların meydana gelme olasılığını bilmek istiyorsanız, her bir olasılığı tek tek belirleyip bunları birbiriyle çarparsınız. Başka bir yol: Birkaç koşulu tanımlamak için "ve" bağlacını kullanırsanız (örneğin, bazı rastgele olayların ve başka bir bağımsız rastgele olayın meydana gelme olasılığı nedir?) - bireysel olasılıkları sayın ve bunları çarpın.

Ne düşünürseniz düşünün, asla bağımsız olasılıkları toplamayın. Bu yaygın bir hatadır. Bunun neden yanlış olduğunu anlamak için, bir yazı tura attığınızı ve art arda iki kez tura gelme olasılığının ne olduğunu bilmek istediğiniz bir durumu hayal edin. Her iki tarafın da düşme olasılığı %50'dir. Bu iki olasılığı toplarsanız, %100 tura gelme şansınız olur, ancak bunun doğru olmadığını biliyoruz çünkü art arda iki kez yazı gelebilir. Bunun yerine iki olasılığı çarparsanız, %50 * %50 = %25 elde edersiniz; bu, art arda iki kez tura gelme olasılığını hesaplamak için doğru cevaptır.

Örnek

Önce 2'den büyük, sonra 3'ten büyük bir sayı atmanız gereken ve 6'ya kadar böyle devam etmeniz gereken altı yüzlü zar oyununa dönelim. Belirli bir beş atışlık seride tüm sonuçların olumlu olma şansı nedir? ?

Yukarıda belirtildiği gibi bunlar bağımsız denemelerdir, bu nedenle her bir atış için olasılığı hesaplıyoruz ve ardından bunları çarpıyoruz. İlk atışta olumlu sonuç çıkma olasılığı 5/6'dır. İkinci - 4/6. Üçüncü - 3/6. Dördüncü - 2/6, beşinci - 1/6. Tüm sonuçları birbiriyle çarpıyoruz ve yaklaşık% 1,5 elde ediyoruz. Bu oyunda kazançlar oldukça nadirdir, dolayısıyla bu unsuru oyununuza eklerseniz oldukça büyük bir ikramiyeye ihtiyacınız olacaktır.

Olumsuzluk

İşte başka bir yararlı ipucu: Bazen bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak zordur, ancak bir olayın gerçekleşmeme olasılığını belirlemek daha kolaydır. Örneğin, diyelim ki başka bir oyunumuz var: 6d6 atarsınız ve en az bir kez 6 atarsanız kazanırsınız. Kazanma olasılığı nedir?

Bu durumda dikkate alınması gereken birçok seçenek vardır. Bir sayının 6 atılması mümkündür, yani zarlardan biri 6 sayısını, diğerleri 1'den 5'e kadar sayıları gösterecektir, o zaman zarlardan hangisinin 6'yı göstereceği için 6 seçenek vardır. İki zarda, üç zarda, hatta daha fazlasında 6 sayısını elde edebilirsiniz ve her seferinde ayrı bir hesaplama yapmanız gerekecektir, bu nedenle burada kafanızın karışması kolaydır.

Ama soruna diğer taraftan bakalım. Zarlardan hiçbiri 6 gelmezse kaybedersiniz. Bu durumda 6 bağımsız denememiz olur. Her zarın 6'dan farklı bir sayı gelme olasılığı 5/6'dır. Bunları çarptığınızda yaklaşık %33 elde edersiniz. Yani kaybetme ihtimali üçte birdir. Bu nedenle kazanma olasılığı% 67'dir (veya iki ila üç).

Bu örnekten şu açıktır: Bir olayın gerçekleşmeme olasılığını hesaplarsanız sonucu %100'den çıkarmanız gerekir. Kazanma olasılığı %67 ise kaybetme olasılığı %100 eksi %67 veya %33'tür ve bunun tersi de geçerlidir. Bir olasılığı hesaplamak zor ama tersini hesaplamak kolaysa, tersini hesaplayın ve ardından bu sayıyı %100'den çıkarın.

Tek bir bağımsız testin koşullarını birleştiriyoruz

Az önce bağımsız denemelere asla olasılık eklememeniz gerektiğini söyledim. Olasılıkları özetlemenin mümkün olduğu durumlar var mı? Evet, özel bir durumda.

Tek bir denemede ilgisiz birkaç olumlu sonucun olasılığını hesaplamak istiyorsanız, her olumlu sonucun olasılığını toplayın. Örneğin 1d6'da 4, 5 veya 6 sayısının gelme olasılığı, 4 sayısının gelme olasılığı, 5 sayısının olasılığı ve 6 sayısının olasılığının toplamına eşittir. Bu durum şu şekilde temsil edilebilir: şu şekildedir: Olasılıkla ilgili bir soruda "veya" bağlacını kullanırsanız (örneğin, rastgele bir olayın şu veya bu sonucunun olasılığı nedir?) - bireysel olasılıkları hesaplayın ve bunları toplayın.

Lütfen unutmayın: Bir oyunun tüm olası sonuçlarını hesapladığınızda, bunların gerçekleşme olasılıklarının toplamı %100 olmalıdır, aksi takdirde hesaplamanız yanlış yapılmış olacaktır. Bu, hesaplamalarınızı tekrar kontrol etmenin iyi bir yoludur. Örneğin pokerdeki tüm kombinasyonların olasılığını analiz ettiniz. Tüm sonuçlarınızı toplarsanız, tam olarak %100 (veya en azından %100'e oldukça yakın) elde etmelisiniz: hesap makinesi kullanırsanız küçük bir yuvarlama hatası olabilir, ancak tam sayıları elle toplarsanız her şey elde edilir. eklenmelidir). Toplam yakınsamıyorsa, bu, büyük olasılıkla bazı kombinasyonları dikkate almadığınız veya bazı kombinasyonların olasılıklarını yanlış hesapladığınız ve hesaplamaların iki kez kontrol edilmesi gerektiği anlamına gelir.

Eşit olmayan olasılıklar

Şimdiye kadar zarın her iki tarafının da aynı sıklıkta atıldığını varsaydık çünkü zarlar bu şekilde çalışıyor gibi görünüyor. Ancak bazen farklı sonuçların mümkün olduğu ve bunların ortaya çıkma olasılıklarının farklı olduğu bir durumla karşılaşabilirsiniz.

Örneğin, Nükleer Savaş kart oyununun genişletmelerinden birinde, roket fırlatma sonucunun bağlı olduğu oklu bir oyun alanı var. Çoğunlukla daha güçlü veya daha zayıf normal hasar verir, ancak bazen hasar iki veya üç katına çıkar veya roket fırlatma rampasında patlayarak size zarar verir veya başka bir olay meydana gelir. Chutes & Ladders veya A Game of Life'daki ok tahtasının aksine, oyun tahtasının Nükleer Savaş'taki sonuçları eşitsizdir. Oyun alanının bazı bölümleri daha büyüktür ve ok bunların üzerinde daha sık durur, diğer bölümler ise çok küçüktür ve ok nadiren bunların üzerinde durur.

Yani, ilk bakışta zar şuna benzer: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - bundan daha önce bahsetmiştik, ağırlıklı 1d3 gibi bir şey. Bu nedenle, tüm bu bölümleri eşit parçalara bölmemiz, böleni her şeyin katı olduğu en küçük ölçü birimini bulmamız ve ardından durumu, zar setinin karşı karşıya olduğu d522 (veya başka bir) biçiminde temsil etmemiz gerekir. aynı durumu temsil edecek, ancak daha fazla sonuçla. Bu, sorunu çözmenin bir yoludur ve teknik olarak mümkündür, ancak daha basit bir seçenek de vardır.

Standart altı kenarlı zarlarımıza geri dönelim. Normal bir zarın ortalama atışını hesaplamak için tüm yüzlerdeki değerleri toplayıp yüz sayısına bölmeniz gerektiğini söylemiştik ama hesaplama tam olarak nasıl çalışıyor? Bunu ifade etmenin başka bir yolu daha var. Altı yüzlü bir zarın her iki yüzünün de gelme olasılığı tam olarak 1/6'dır. Şimdi her bir kenarın sonucunu o sonucun olasılığıyla (bu durumda her kenar için 1/6) çarpıyoruz ve ardından elde edilen değerleri topluyoruz. Böylece, (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) toplamı yukarıdaki hesaplamayla aynı sonucu (3.5) elde ederiz. Aslında her seferinde şu şekilde sayıyoruz: Her sonucu, o sonucun olasılığıyla çarpıyoruz.

Aynı hesaplamayı Nükleer Savaş'ta oyun sahasındaki ok için de yapabilir miyiz? Elbette yapabiliriz. Ve bulunan tüm sonuçları toplarsak ortalama değeri elde ederiz. Tek yapmamız gereken, oyun alanındaki ok için her sonucun olasılığını hesaplamak ve sonuç değeriyle çarpmak.

Başka bir örnek

Ortalamayı hesaplamanın bu yöntemi, sonuçların eşit derecede muhtemel olduğu ancak farklı avantajlara sahip olduğu durumlarda da uygundur - örneğin, bir zar atarsanız ve bazı taraflarda diğerlerinden daha fazla kazanırsanız. Örneğin bir kumarhane oyununu ele alalım: bahis koyarsınız ve 2d6 atarsınız. Üç düşük değerli sayı (2, 3, 4) veya dört yüksek değerli sayı (9, 10, 11, 12) atılırsa, bahsinize eşit bir miktar kazanırsınız. En düşük ve en yüksek değere sahip sayılar özeldir: 2 veya 12 atarsanız bahsinizin iki katını kazanırsınız. Eğer başka bir sayı atılırsa (5, 6, 7, 8), bahsinizi kaybedersiniz. Bu oldukça basit bir oyundur. Ama kazanma olasılığı nedir?

Kaç kez kazanabileceğinizi sayarak başlayalım. 2d6 atıldığında maksimum sonuç sayısı 36'dır. Olumlu sonuçların sayısı nedir?

• 2'nin atılacağı 1 seçenek ve 12'nin atılacağı 1 seçenek vardır.
• 3'ün atacağı 2 seçenek ve 11'in atacağı 2 seçenek vardır.
• 4'ün atacağı 3 seçenek ve 10'un atacağı 3 seçenek vardır.
• 9 atmanın 4 seçeneği vardır.

Tüm seçenekleri özetleyerek 36 üzerinden 16 olumlu sonuç elde ediyoruz. Böylece normal koşullar altında olası 36 olasılıktan 16'sını kazanacaksınız - kazanma olasılığı %50'den biraz daha az.

Ancak bu on altı durumdan ikisinde iki kat daha fazla kazanacaksınız; bu, iki kez kazanmak gibidir. Bu oyunu 36 kez oynarsanız, her seferinde 1$ bahis oynarsanız ve tüm olası sonuçlar bir kez ortaya çıkarsa, toplam 18$ kazanırsınız (aslında 16 kez kazanırsınız, ancak bunlardan ikisi iki galibiyet olarak sayılır). 36 kez oynarsanız ve 18$ kazanırsanız bu, oranların eşit olduğu anlamına gelmez mi?

Acele etmeyin. Kaç kez kaybedebileceğinizi sayarsanız, 18 değil 20 kazanırsınız. 36 kez oynarsanız, her seferinde 1$ bahis oynarsanız, tüm kazanan tahminleri tutturursanız toplam 18$ kazanırsınız. Ancak 20 olumsuz sonucun tamamını alırsanız toplam 20$ kaybedersiniz. Sonuç olarak biraz geride kalırsınız: Her 36 maçta ortalama net 2$ kaybedersiniz (aynı zamanda günde ortalama 1/18 dolar kaybettiğinizi de söyleyebilirsiniz). Artık bu durumda hata yapmanın ve olasılığı yanlış hesaplamanın ne kadar kolay olduğunu görüyorsunuz.

Yeniden düzenleme

Şu ana kadar zar atarken sayıların sırasının önemli olmadığını varsaydık. 2 + 4'ü yuvarlamak, 4 + 2'yi yuvarlamakla aynıdır. Çoğu durumda, olumlu sonuçların sayısını manuel olarak sayarız, ancak bazen bu yöntem pratik değildir ve matematiksel bir formül kullanmak daha iyidir.

Bu duruma bir örnek Farkle zar oyunundandır. Her yeni turda 6d6 atarsınız. Şanslıysanız ve mümkün olan tüm sonuçları 1-2-3-4-5-6 (doğrudan) alırsanız, büyük bir bonus alacaksınız. Bunun gerçekleşme olasılığı nedir? Bu durumda bu kombinasyonu elde etmek için birçok seçenek vardır.

Çözüm şu şekildedir: Zarlardan birinde (ve yalnızca birinde) 1 rakamı bulunmalıdır. Bir zarda 1 rakamı kaç farklı şekilde görünebilir? 6 zar olduğu için 6 seçenek var ve bunlardan herhangi biri 1 numaraya düşebilir. Buna göre bir zar alıp bir kenara koyun. Şimdi kalan zarlardan birinin 2 sayısını atması gerekiyor. Bunun için 5 seçenek var. Bir zar daha alın ve bir kenara koyun. Daha sonra kalan zarlardan 4'ü 3 sayısını, kalan zarlardan 3'ü 4 sayısını ve kalan zarlardan 2'si 5 sayısını getirebilir. Sonuç olarak, elinizde bir zar kalır ve bu zar da 5 sayısını atar. 6 numara (ikinci durumda, zarda yalnızca bir kemik vardır ve başka seçenek yoktur).

Bir düzlüğe ulaşmaya yönelik olumlu sonuçların sayısını hesaplamak için tüm farklı bağımsız olasılıkları çarpıyoruz: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - bu kombinasyonun ortaya çıkması için oldukça fazla sayıda olasılık var gibi görünüyor .

Düz gelme olasılığını hesaplamak için 720'yi 6d6 atmanın tüm olası sonuçlarının sayısına bölmemiz gerekir. Tüm olası sonuçların sayısı nedir? Her zarın 6 kenarı olabilir, bu nedenle 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656'yı (bir öncekinden çok daha büyük bir sayı) çarpıyoruz. 720'yi 46656'ya bölersek yaklaşık %1,5 olasılık elde ederiz. Eğer bu oyunu tasarlıyorsanız bunu bilmeniz sizin için faydalı olacaktır, buna göre bir puanlama sistemi oluşturabilirsiniz. Şimdi Farkle'de düz bir sonuç alırsanız neden bu kadar büyük bir bonus aldığınızı anlıyoruz: bu oldukça nadir bir durumdur.

Sonuç başka bir nedenden dolayı da ilginçtir. Örnek, kısa bir süre içinde olasılığa karşılık gelen bir sonucun ne kadar nadir meydana geldiğini göstermektedir. Elbette, eğer birkaç bin zar atıyor olsaydık, zarın farklı yüzleri sıklıkla ortaya çıkardı. Ancak yalnızca altı zar attığımızda, neredeyse hiçbir zaman tüm yüzlerin ortaya çıkması gerçekleşmez. Henüz gerçekleşmemiş bir çizginin şimdi ortaya çıkmasını beklemenin aptalca olduğu ortaya çıkıyor çünkü "uzun süredir 6 sayısını atmadık." Dinle, rastgele sayı üretecin bozuk.

Bu bizi tüm sonuçların kısa bir süre içinde aynı sıklıkta meydana geldiği yönündeki yaygın yanılgıya yönlendiriyor. Zarı birkaç kez atarsak her iki tarafın düşme sıklığı aynı olmayacaktır.

Daha önce bir tür rastgele sayı üreteci içeren bir çevrimiçi oyun üzerinde çalıştıysanız, büyük ihtimalle bir oyuncunun teknik desteğe yazdığı ve rastgele sayı üretecinin rastgele sayılar göstermediğinden şikayet ettiği bir durumla karşılaşmışsınızdır. Bu sonuca vardı çünkü art arda 4 canavar öldürdü ve 4 tamamen aynı ödülü aldı ve bu ödüller zamanın yalnızca %10'unda ortaya çıkmalı, dolayısıyla bunun neredeyse hiç gerçekleşmemesi gerektiği açık.

Matematiksel bir hesaplama yapıyorsunuz. Olasılık 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 yani 10 binde 1 sonuç oldukça nadir bir durumdur. Oyuncunun size anlatmaya çalıştığı şey bu. Bu durumda bir sorun var mı?

Her şey koşullara bağlı. Şu anda sunucunuzda kaç oyuncu var? Diyelim ki oldukça popüler bir oyununuz var ve her gün 100 bin kişi oynuyor. Kaç oyuncu art arda dört canavarı öldürebilir? Belki hepsi günde birkaç kez, ancak yarısının açık artırmalarda çeşitli eşyaları değiştirdiğini, RP sunucularında sohbet ettiğini veya diğer oyun içi etkinlikleri gerçekleştirdiğini varsayalım - yani yalnızca yarısı canavar avlıyor. Birisinin aynı ödülü alma olasılığı nedir? Bu durumda bunun günde en az birkaç kez olmasını bekleyebilirsiniz.

Bu arada, her birkaç haftada bir birisinin piyangoyu kazanmasının nedeni de budur, bu kişi hiçbir zaman siz ya da tanıdığınız biri olmasa bile. Yeterli sayıda kişi düzenli olarak oynarsa, bir yerlerde en az bir şanslı oyuncunun bulunma ihtimali yüksektir. Ancak piyangoyu kendiniz oynarsanız, kazanma olasılığınız düşüktür, bunun yerine Infinity Ward'da çalışmaya davet edilirsiniz.

Kartlar ve bağımlılık

Zar atmak gibi bağımsız olayları tartıştık ve artık birçok oyundaki rastgeleliği analiz etmek için birçok güçlü araç biliyoruz. Desteden kart çekmeye gelince olasılığı hesaplamak biraz daha karmaşıktır çünkü çektiğimiz her kart destede kalanları etkiler.

Standart 52 kartlık bir desteniz varsa, ondan 10 kalp çıkarırsınız ve bir sonraki kartın aynı türden olma olasılığını bilmek istersiniz - olasılık orijinalinden değişmiştir çünkü zaten aynı türden bir kartı çıkarmışsınızdır. güverteden kalpler. Çıkardığınız her kart, destede bir sonraki kartın görünme olasılığını değiştirir. Bu durumda önceki olay bir sonrakini etkiler, dolayısıyla buna olasılığa bağımlı adını veririz.

"Kartlar" dediğimde, bir dizi nesneye sahip olduğunuz ve nesnelerden birini değiştirmeden kaldırdığınız herhangi bir oyun mekaniğinden bahsettiğimi lütfen unutmayın. Bu durumda bir "kart destesi", içinden bir çip aldığınız bir torba fişe veya renkli topların alındığı bir kavanoza benzer (Renkli topların alındığı bir kavanozla oynanan oyunları hiç görmedim, ancak öğretmenler Olasılık teorisinin ne-sebep konusunda bu örneğin tercih edilmesi).

Bağımlılık Özellikleri

Konu kartlara gelince, kartları çektiğinizi, onlara baktığınızı ve desteden çıkardığınızı varsaydığımı açıklığa kavuşturmak isterim. Bu eylemlerin her biri önemli bir özelliktir. Diyelim ki 1'den 6'ya kadar sayıların olduğu altı karttan oluşan bir destem olsaydı, onları karıştırırdım ve bir kart çekerdim, sonra altı kartın hepsini tekrar karıştırırdım; bu, altı yüzlü bir zar atmaya benzerdi, çünkü bir sonuç sonrakiler için hiçbir etkisi yoktur. Ve eğer kartları çıkarırsam ve yerine koymazsam, 1. kartı çıkararak, bir dahaki sefere 6 numaralı kartı çıkarma ihtimalimi artırırım. Bu olasılık, sonunda kartı çıkarana kadar artmaya devam eder. bu kartı kullanın veya desteyi karıştırın.

Kartlara bakıyor olmamız da önemli. Desteden bir kart çıkarırsam ve ona bakmazsam, hiçbir ek bilgiye sahip olmayacağım ve olasılık aslında değişmeyecek. Bu, mantığa aykırı gelebilir. Bir kartı çevirmek sihirli bir şekilde oranları nasıl değiştirebilir? Ancak bu mümkündür çünkü bilinmeyen öğelerin olasılığını yalnızca bildiklerinizden hesaplayabilirsiniz.

Örneğin, standart bir kart destesini karıştırırsanız ve 51 kart açarsanız ve bunların hiçbiri sinek kraliçesi değilse, kalan kartın sinek kraliçesi olduğundan %100 emin olabilirsiniz. Standart bir kart destesini karıştırırsanız ve onlara bakmadan 51 kart çıkarırsanız, kalan kartın sinek kraliçesi olma olasılığı hala 1/52'dir. Her kartı açtığınızda daha fazla bilgi alırsınız.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplamak, bağımsız olaylarla aynı ilkeleri izler, ancak biraz daha karmaşıktır çünkü olasılıklar siz kartları açtıkça değişir. Yani aynı değeri çarpmak yerine birçok farklı değeri çarpmanız gerekiyor. Bunun gerçekte anlamı, yaptığımız tüm hesaplamaları tek bir kombinasyonda birleştirmemiz gerektiğidir.

Örnek

52 kartlık standart bir desteyi karıştırıp iki kart çekersiniz. Bir çift çekme olasılığınız nedir? Bu olasılığı hesaplamanın birkaç yolu vardır, ancak belki de en basiti şudur: Bir kart çektiğinizde çift çekememe olasılığı nedir? Bu olasılık sıfırdır, dolayısıyla ikinci kartla eşleştiği sürece hangi ilk kartı çektiğinizin bir önemi yoktur. İlk önce hangi kartı çektiğimiz önemli değil, hala bir çift çekme şansımız var. Bu nedenle ilk kart çekildikten sonra çift çekme olasılığı %100'dür.

İkinci kartın birinciyle eşleşme olasılığı nedir? Destede 51 kart kaldı ve bunlardan 3'ü ilk kartla eşleşiyor (aslında 52 karttan 4'ü olurdu, ancak ilk kartı çekerken eşleşen kartlardan birini zaten çıkarmışsınız), yani olasılık 1/ 17. Bir dahaki sefere Texas Hold'em oynadığınızda, masanın karşısındaki adam şöyle diyor: "Harika, başka bir çift mi? Bugün kendimi şanslı hissediyorum” dediğinde blöf yapıyor olma ihtimalinin yüksek olduğunu bileceksin.

Destede 54 kart olacak şekilde iki joker eklersek ve bir çift çekme olasılığını bilmek istersek ne olur? İlk kart bir joker olabilir ve o zaman destede eşleşen tek kart olur, üç değil. Bu durumda olasılık nasıl bulunur? Olasılıkları bölüp her olasılığı çarpacağız.

İlk kartımız bir joker ya da başka bir kart olabilir. Joker çekme olasılığı 2/54, başka bir kart çekme olasılığı 52/54'tür. İlk kartın joker olması durumunda (2/54), ikinci kartın birinciyle eşleşme olasılığı 1/53'tür. Değerleri çarpıyoruz (bunları çarpabiliriz çünkü bunlar ayrı olaylardır ve her iki olayın da gerçekleşmesini isteriz) ve 1/1431 - yüzde onda birinden az - elde ederiz.

Önce başka bir kart çekerseniz (52/54), ikinci kartın eşleşme olasılığı 3/53'tür. Değerleri çarpıyoruz ve 78/1431 (%5,5'ten biraz fazla) elde ediyoruz. Bu iki sonuçla ne yapacağız? Kesişmiyorlar ve her birinin olasılığını bilmek istediğimiz için değerleri topluyoruz. 79/1431 şeklinde nihai bir sonuç elde ediyoruz (hala yaklaşık %5,5).

Cevabın doğruluğundan emin olmak istiyorsak, tüm diğer olası sonuçların olasılığını hesaplayabiliriz: bir joker çekip ikinci kartı eşleştirmemek veya başka bir kart çekip ikinci kartı eşleştirmemek. Bu olasılıkları ve kazanma olasılığını topladığımızda tam olarak %100 elde ederiz. Burada matematiği vermeyeceğim, ancak matematiği tekrar kontrol etmeyi deneyebilirsiniz.

Monty Hall Paradoksu

Bu bizi çoğu insanın kafasını karıştıran oldukça ünlü bir paradoksa getiriyor: Monty Hall Paradoksu. Paradoks, adını Let's Make a Deal adlı TV programının sunucusundan alıyor. Bu TV şovunu hiç izlememiş olanlar için bu, Fiyat Doğru'nun tam tersiydi.

Fiyat Doğru'da sunucu (eskiden sunucu Bob Barker'dı; şimdi kim, Drew Carey? Boşver) arkadaşın. Para ya da harika ödüller kazanmanızı istiyor. Sponsorların satın aldığı eşyaların gerçekte ne kadar değerli olduğunu tahmin edebildiğiniz sürece size kazanmanız için her fırsatı vermeye çalışır.

Monty Hall farklı davrandı. Bob Barker'ın şeytani ikizi gibiydi. Amacı seni ulusal televizyonda aptal gibi göstermekti. Eğer şovda olsaydınız, o sizin rakibinizdi, ona karşı oynardınız ve ihtimaller onun lehineydi. Belki çok sert davranıyorum ama saçma bir kostüm giydiğinizde katılma ihtimalinizin daha yüksek olduğu şova bakınca, tam da buna geldim.

Gösterinin en ünlü memelerinden biri şuydu: Önünüzde üç kapı var, 1 numaralı kapı, 2 numaralı kapı ve 3 numaralı kapı. Ücretsiz olarak bir kapı seçebilirsiniz. Birinin arkasında muhteşem bir ödül var - örneğin yeni bir araba. Diğer iki kapının arkasında hiçbir değeri olmayan hiçbir ödül yoktur. Seni aşağılamaları gerekiyor, bu yüzden arkalarında sadece bir hiç değil, aynı zamanda aptalca bir şey var, örneğin bir keçi ya da büyük bir diş macunu tüpü - yeni bir araba dışında herhangi bir şey.

Kapılardan birini seçersiniz, Monty kazanıp kazanmadığınızı size bildirmek için kapıyı açmak üzeredir... ama bekleyin. Bunu öğrenmeden önce, seçmediğiniz kapılardan birine bir göz atalım. Monty ödülün hangi kapının arkasında olduğunu biliyor ve arkasında ödül olmayan kapıyı her zaman açabilir. “3 numaralı kapıyı mı seçiyorsun? O halde arkasında ödül olmadığını göstermek için 1 numaralı kapıyı açalım." Ve şimdi, cömertliğinden dolayı, seçilen 3 numaralı kapıyı, 2 numaralı kapının arkasındaki kapıyla değiştirme fırsatını sunuyor.

Bu noktada olasılık sorusu ortaya çıkıyor: Bu fırsat kazanma olasılığınızı artırıyor mu, azaltıyor mu, yoksa değişmeden mi kalıyor? Sizce nasıl?

Doğru cevap: Başka bir kapı seçebilme yeteneği kazanma olasılığını 1/3'ten 2/3'e yükseltir. Bu mantıksız. Bu paradoksla daha önce karşılaşmadıysanız büyük ihtimalle şunu düşünüyorsunuz: Durun, nasıl oluyor da bir kapıyı açarak sihirli bir şekilde olasılığı değiştirebiliyoruz? Daha önce haritalarda gördüğümüz gibi, daha fazla bilgi aldığımızda olan şey tam olarak budur. Açıkçası ilk kez seçim yaptığınızda kazanma olasılığı 1/3'tür. Bir kapının açılması ilk tercihin kazanma olasılığını hiçbir şekilde değiştirmez: olasılık hala 1/3'tür. Ama diğer kapının doğru olma ihtimali artık 2/3.

Bu örneğe farklı bir açıdan bakalım. Bir kapı seçiyorsun. Kazanma olasılığı 1/3'tür. Diğer iki kapıyı değiştirmenizi öneririm, Monty Hall da öyle yapıyor. Elbette, kapılardan birini açarak bunun arkasında bir ödül olmadığını ortaya koyuyor, ancak bunu her zaman yapabilir, dolayısıyla bu aslında hiçbir şeyi değiştirmez. Elbette farklı bir kapı seçmek isteyeceksiniz.

Soruyu tam olarak anlamadıysanız ve daha ikna edici bir açıklamaya ihtiyacınız varsa, bu paradoksu daha ayrıntılı olarak keşfetmenize olanak sağlayacak harika küçük bir Flash uygulamasına gitmek için bu bağlantıya tıklayın. Yaklaşık 10 kapıyla başlayıp yavaş yavaş üç kapılı bir oyuna kadar ilerleyebilirsiniz. Ayrıca 3'ten 50'ye kadar istediğiniz sayıda kapıyla oynayabileceğiniz veya birkaç bin simülasyon çalıştırabileceğiniz ve oynarsanız kaç kez kazanacağınızı görebileceğiniz bir simülatör de var.

Üç kapıdan birini seçin; kazanma olasılığı 1/3'tür. Artık iki stratejiniz var: Yanlış kapıyı açtıktan sonra seçiminizi değiştirin ya da değiştirmeyin. Seçiminizi değiştirmezseniz, seçim yalnızca ilk aşamada gerçekleştiğinden ve hemen tahmin etmeniz gerektiğinden olasılık 1/3 kalacaktır. Eğer değişirseniz, önce yanlış kapıyı seçerseniz kazanabilirsiniz (sonra başka bir yanlış kapıyı açarlar, doğru olan kalır - kararınızı değiştirerek onu alırsınız). Başlangıçta yanlış kapıyı seçme olasılığı 2/3'tür; yani kararınızı değiştirerek kazanma olasılığınızı ikiye katladığınız ortaya çıktı.

Yüksek matematik öğretmeni ve oyun dengesi uzmanı Maxim Soldatov'un bir açıklaması - elbette Schreiber buna sahip değildi, ancak o olmadan bu büyülü dönüşümü anlamak oldukça zor

Ve yine Monty Hall paradoksu hakkında

Gösteriye gelince: Monty Hall'un rakipleri matematikte iyi olmasa da o bu konuda iyiydi. İşte oyunu biraz değiştirmek için yaptığı şey. Eğer arkasında ödül olan ve gerçekleşme ihtimali 1/3 olan bir kapıyı seçerseniz, o size her zaman başka bir kapı seçme seçeneğini sunacaktır. Bir araba seçip onu bir keçiyle değiştireceksiniz ve oldukça aptal görüneceksiniz - Hall biraz kötü bir adam olduğu için tam olarak istediğiniz şey bu.

Ancak arkasında ödül olmayan bir kapı seçerseniz, zamanın yarısında yalnızca başka bir kapı seçmenizi isteyecek veya size yeni keçinizi gösterecek ve sahneyi terk edeceksiniz. Monty Hall'un size farklı bir kapı seçme şansını sunup sunmayacağına karar verebileceği bu yeni oyunu analiz edelim.

Diyelim ki bu algoritmayı takip ediyor: Ödüllü bir kapı seçerseniz, size her zaman başka bir kapı seçme fırsatı sunar, aksi takdirde size başka bir kapı seçmenizi teklif etme veya bir keçi verme olasılığı eşit derecede yüksektir. Kazanma olasılığınız nedir?

Üç seçenekten birinde hemen ödülün arkasında bulunduğu kapıyı seçiyorsunuz ve sunum yapan kişi sizi başka bir kapıyı seçmeye davet ediyor.

Üç seçenekten geri kalan iki seçenekten (başlangıçta ödülü olmayan bir kapıyı seçersiniz), vakaların yarısında sunum yapan kişi size kararınızı değiştirmenizi teklif eder ve vakaların diğer yarısında - hayır.

2/3'ün yarısı 1/3'tür, yani üç durumda birinde keçi alırsınız, üçte birinde yanlış kapıyı seçersiniz ve ev sahibi sizden başka birini seçmenizi ister ve birinde Her üç durumda da doğru kapıyı seçeceksin, ama o yine başka bir kapı önerecek.

Sunum yapan kişi başka bir kapı seçmeyi teklif ederse, bize bir keçi verdiğinde ve biz ayrıldığımızda üçte birinin gerçekleşmediğini zaten biliyoruz. Bu yararlı bir bilgidir: kazanma şansımızın değiştiği anlamına gelir. Seçme fırsatına sahip olduğumuz üç durumdan ikisi: bir durumda bu, doğru tahmin ettiğimiz, diğerinde ise yanlış tahmin ettiğimiz anlamına gelir; yani bize seçim yapma fırsatı sunulursa, o zaman kazanma olasılığımız 1/2'dir ve matematiksel açıdan bakıldığında, tercihinizde kalmanız veya başka bir kapıyı seçmeniz önemli değildir.

Poker gibi bu da matematiksel değil psikolojik bir oyundur. Monty neden sana bir seçenek sundu? Başka bir kapıyı seçmenin “doğru” karar olduğunu bilmeyen ve inatla seçimine tutunacak (sonuçta, bir araba seçip sonra kaybettiğinizde durum psikolojik olarak daha zor) bir ahmak olduğunuzu mu düşünüyor? )?

Yoksa sizin akıllı olduğunuzu düşünüp başka bir kapıyı seçeceğinize karar verip, doğru tahmin ettiğinizi bildiği için mi size bu şansı sunuyor ve bağımlısı oluyor? Ya da belki alışılmadık derecede nazik davranıyor ve sizi, bir süredir araba vermediği için faydalı olacak bir şey yapmaya zorluyor ve yapımcılar seyircinin sıkıldığını ve yakında büyük bir ödül vermenin daha iyi olacağını söylüyor. reytingler düşer mi?

Bu şekilde Monty ara sıra bir seçenek sunmayı ve yine de genel kazanma olasılığını 1/3'te tutmayı başarıyor. Tamamen kaybetme ihtimalinizin 1/3 olduğunu unutmayın. Hemen doğru tahmin etme şansınız 1/3'tür ve bu tahminlerin %50'sinde kazanırsınız (1/3 x 1/2 = 1/6).

İlk başta yanlış tahmin edip sonra başka bir kapı seçme şansına sahip olma ihtimaliniz 1/3 ve bu seferlerin yarısını (yine 1/6) kazanacaksınız. İki bağımsız kazanma olasılığını topladığınızda 1/3 olasılık elde edersiniz, yani seçiminize bağlı kalmanız veya başka bir kapıyı seçmeniz fark etmez; oyun boyunca genel kazanma olasılığınız 1/3'tür.

Olasılık, kapıyı tahmin ettiğinizde ve sunum yapan kişinin başka bir kapı seçmeyi teklif etmeden size sadece arkasında ne olduğunu gösterdiği durumdan daha fazla olmaz. Teklifin amacı olasılığı değiştirmek değil, karar verme sürecini televizyonda izlemeyi daha eğlenceli hale getirmek.

Bu arada, pokerin bu kadar ilginç olmasının nedenlerinden biri de budur: çoğu formatta, bahislerin yapıldığı turlar arasında (örneğin, Texas Hold'em'deki flop, turn ve river), kartlar yavaş yavaş açılır, ve eğer oyunun başında bir kazanma şansınız varsa, her bahis turundan sonra, daha fazla kart açıldığında bu olasılık değişir.

erkek ve kız paradoksu

Bu bizi, kural olarak herkesin kafasını karıştıran başka bir iyi bilinen paradoksa getiriyor: erkek ve kız paradoksu. Bugün hakkında yazdığım ve doğrudan oyunlarla ilgili olmayan tek şey (gerçi sanırım sizi sadece uygun oyun mekaniği yaratmaya teşvik etmem gerekiyor). Bu daha çok bir bulmaca ama ilginç bir bulmaca ve bunu çözmek için yukarıda bahsettiğimiz koşullu olasılığı anlamanız gerekiyor.

Sorun: İki çocuğu olan bir arkadaşım var, en az biri kız. İkinci çocuğun da kız olma olasılığı nedir? Diyelim ki herhangi bir ailede kız ve erkek çocuk sahibi olma şansı 50/50 ve bu her çocuk için geçerli.

Aslında bazı erkeklerin spermlerinde X kromozomu veya Y kromozomu bulunan daha fazla sperm bulunur, dolayısıyla olasılıklar biraz değişir. Bir çocuğun kız olduğunu biliyorsanız, ikinci bir kız çocuğuna sahip olma olasılığı biraz daha yüksektir ve hermafroditizm gibi başka durumlar da vardır. Ancak bu sorunu çözmek için bunu dikkate almayacağız ve bir çocuğun doğumunun bağımsız bir olay olduğunu ve bir erkek ve bir kız çocuğunun doğumunun eşit olasılıklı olduğunu varsayacağız.

1/2 oranından bahsettiğimiz için, sezgisel olarak cevabın büyük olasılıkla 1/2 veya 1/4 veya paydada ikinin katı olan başka bir sayı olmasını bekleriz. Ama cevap 1/3. Neden?

Buradaki zorluk, elimizdeki bilgilerin olasılıkların sayısını azaltmasıdır. Ebeveynlerin Susam Sokağı hayranı olduğunu ve çocuklarına cinsiyetlerine bakılmaksızın A ve B adını verdiklerini varsayalım. Normal koşullar altında eşit olasılıklı dört olasılık vardır: A ve B iki erkek, A ve B iki kız, A bir erkek ve B bir kız, A bir kız ve B bir erkek. En az bir çocuğun kız olduğunu bildiğimiz için A ve B'nin iki erkek olma olasılığını eleyebiliriz. Bu bize hala eşit derecede olası olan üç olasılık bırakıyor. Tüm olasılıklar eşit olasılıklıysa ve bunlardan üç tane varsa, her birinin olasılığı 1/3'tür. Bu üç seçenekten sadece birinde her iki çocuk da kız olduğundan cevap 1/3'tür.

Ve yine bir erkek ve bir kızın paradoksu hakkında

Sorunun çözümü daha da mantıksız hale geliyor. Arkadaşımın iki çocuğu olduğunu ve bunlardan birinin Salı günü doğan bir kız olduğunu hayal edin. Normal şartlarda haftanın yedi gününün her birinde eşit olasılıkla bir çocuk doğabileceğini varsayalım. İkinci çocuğun da kız olma olasılığı nedir?

Cevabın hala 1/3 olacağını düşünebilirsiniz: Salı gününün ne önemi var? Ancak bu durumda bile sezgilerimiz bizi yanıltıyor. Cevap 13/27'dir ve bu hem sezgisel olmayan hem de çok garip bir durumdur. Bu durumda sorun nedir?

Aslında Salı günü olasılığı değiştiriyor çünkü hangi çocuğun Salı günü doğduğunu veya belki her ikisinin de Salı günü doğduğunu bilmiyoruz. Bu durumda aynı mantığı kullanıyoruz: En az bir çocuğun Salı günü doğan bir kız olması durumunda tüm olası kombinasyonları sayıyoruz. Önceki örnekte olduğu gibi çocukların A ve B olarak adlandırıldığını varsayalım. Kombinasyonlar şu şekilde görünür:

• A Salı günü doğmuş bir kız, B ise bir erkek (bu durumda 7 olasılık vardır, bir erkeğin doğabileceği haftanın her günü için bir tane).
• B Salı günü doğmuş bir kız, A bir erkek (ayrıca 7 olasılık).
• A - Salı günü doğan bir kız, B - haftanın başka bir gününde doğan bir kız (6 olasılık).
• B Salı günü doğmuş bir kızdır, A Salı günü doğmamış bir kızdır (ayrıca 6 olasılık).
• A ve B Salı günü doğmuş iki kız (1 ihtimal, iki kere saymamak için buna dikkat etmek lazım).

Salı günü bir kız çocuğunun doğma olasılığının en az olduğu gün ve çocuk doğumlarının 27 farklı eşit olası kombinasyonunu toplayıp elde ediyoruz. Bunlardan iki kız çocuğu doğduğunda 13 olasılık vardır. Aynı zamanda tamamen mantıksız görünüyor - sanki bu görev sadece baş ağrısına neden olmak için icat edilmiş gibi görünüyor. Hala kafanız karıştıysa oyun teorisyeni Jesper Juhl'un web sitesinde bu konuyla ilgili güzel bir açıklama var.

Şu anda bir oyun üzerinde çalışıyorsanız

Tasarladığınız oyunda bir rastgelelik varsa, bunu analiz etmenin tam zamanı. Analiz etmek istediğiniz bazı öğeleri seçin. Öncelikle kendinize belirli bir unsurun olasılığının ne olmasını beklediğinizi, oyun bağlamında bunun ne olması gerektiğini sorun.

Örneğin, bir RPG yapıyorsanız ve oyuncunun savaşta bir canavarı yenme olasılığının ne olması gerektiğini merak ediyorsanız, kendinize hangi kazanma yüzdesinin size uygun olduğunu sorun. Tipik olarak konsol RPG'lerinde oyuncular kaybettiklerinde çok üzülürler, bu yüzden nadiren kaybetmeleri en iyisidir - %10 veya daha az. Eğer bir RPG tasarımcısıysanız, muhtemelen benden daha iyi bilirsiniz, ancak olasılığın ne olması gerektiğine dair temel bir fikre sahip olmanız gerekir.

Daha sonra kendinize olasılıklarınızın bağımlı mı (kartlarda olduğu gibi) yoksa bağımsız mı (zarlarda olduğu gibi) olduğunu sorun. Tüm olası sonuçları ve bunların olasılıklarını analiz edin. Tüm olasılıkların toplamının %100 olduğundan emin olun. Ve elbette elde ettiğiniz sonuçları beklentilerinizle karşılaştırın. Zarları istediğiniz gibi atabiliyor musunuz veya kartları çekebiliyor musunuz, yoksa değerlerin ayarlanması gerektiği açık mı? Ve elbette herhangi bir eksiklik bulursanız, değerleri ne kadar değiştireceğinizi belirlemek için aynı hesaplamaları kullanabilirsiniz.

Ev ödevi

Bu haftaki ödeviniz olasılık becerilerinizi geliştirmenize yardımcı olacaktır. Burada olasılık kullanarak analiz edeceğiniz iki zar oyunu ve bir kart oyununun yanı sıra Monte Carlo yöntemini test edecek bir zamanlar geliştirdiğim garip bir oyun mekaniği var.

Oyun #1 - Ejderha Kemikleri

Bu, meslektaşlarımla birlikte bir zamanlar bulduğumuz bir zar oyunudur (Jeb Heavens ve Jesse King sayesinde) - özellikle olasılıklarıyla insanların aklını başından alıyor. Bu, Dragon Dice adı verilen basit bir kumarhane oyunudur ve oyuncu ile kasa arasındaki bir kumar zar yarışmasıdır.

Size normal bir 1d6 zarı verilir. Oyunun amacı kasanınkinden daha yüksek bir sayı atmaktır. Tom'a standart olmayan bir 1d6 verildi - sizinkiyle aynı, ancak yüzlerinden birinde birim yerine bir ejderha görüntüsü var (bu nedenle kumarhanede bir ejderha küpü var - 2-3-4-5-6) ). Eğer eve bir ejderha gelirse otomatik olarak kazanır ve siz kaybedersiniz. Her ikisi de aynı sayıyı alırsa, beraberlik olur ve zarları tekrar atarsınız. En yüksek sayıyı atan kazanır.

Tabii ki her şey tamamen oyuncunun lehine sonuçlanmıyor çünkü kumarhanenin ejderha avantajı şeklinde bir avantajı var. Peki bu gerçekten doğru mu? Hesaplamanız gereken şey bu. Ama önce sezginizi kontrol edin.

Diyelim ki oranlar 2'ye 1. Yani kazanırsanız bahsinizi korursunuz ve bahsinizin iki katını alırsınız. Örneğin, 1 dolar bahis oynarsanız ve kazanırsanız, o doları elinizde tutarsınız ve üstüne 2 dolar daha alırsınız, yani toplam 3 dolar. Kaybederseniz, yalnızca bahsinizi kaybedersiniz. Oynar mısın? Sezgisel olarak olasılığın 2'ye 1'den büyük olduğunu mu hissediyorsunuz, yoksa hala daha az olduğunu mu düşünüyorsunuz? Başka bir deyişle, ortalama 3 maçta birden fazla mı, daha az mı yoksa bir kez mi kazanmayı bekliyorsunuz?

Sezginizi çözdükten sonra matematiği kullanın. Her iki zar için de yalnızca 36 olası konum vardır, dolayısıyla hepsini sorunsuz bir şekilde sayabilirsiniz. Eğer 2'ye 1 teklifinden emin değilseniz şunu düşünün: Diyelim ki oyunu 36 kez oynadınız (her seferinde 1$ bahis oynadınız). Her galibiyet için 2 dolar alırsınız, her yenilgi için 1 dolar kazanırsınız ve beraberlik hiçbir şeyi değiştirmez. Olası tüm kazançlarınızı ve kayıplarınızı hesaplayın ve bir miktar dolar kazanıp kazanmayacağınıza karar verin. Daha sonra kendinize sezgilerinizin ne kadar doğru olduğunu sorun. Ve sonra ne kadar kötü bir adam olduğumu anla.

Ve evet, eğer bu soruyu zaten düşündüyseniz, zar oyunlarının gerçek mekaniğini yanlış anlatarak kasıtlı olarak kafanızı karıştırıyorum, ancak eminim ki biraz düşünerek bu engeli aşabilirsiniz. Bu sorunu kendiniz çözmeye çalışın.

Oyun No. 2 - Şans için atın

Bu, "Şans İçin At" adı verilen bir şans zar oyunudur ("Kuş Kafesi" olarak da adlandırılır çünkü bazen zarlar atılmaz, Bingo'daki kafesi anımsatan büyük bir tel kafese yerleştirilir). Oyun basittir ve temelde şuna indirgenir: örneğin 1'den 6'ya kadar bir sayıya 1 $ bahis yapın. Sonra 3d6 atarsınız. Numaranızı getiren her zar için 1$ kazanırsınız (ve orijinal bahsiniz korunur). Eğer numaranız zarların hiçbirinde çıkmazsa, kumarhane dolarınızı alır ve siz hiçbir şey alamazsınız. Yani 1'e bahis oynarsanız ve üç kez tarafta 1 alırsanız, 3$ kazanırsınız.

Sezgisel olarak bu oyunun eşit şansa sahip olduğu görülüyor. Her zarın bireysel kazanma şansı 6'da 1'dir, dolayısıyla üç atışın toplamı üzerinden kazanma şansınız 6'da 3'tür. Ancak elbette, üç ayrı zar eklediğinizi ve yalnızca üç atış yapmanıza izin verildiğini unutmayın. aynı zarın ayrı kazanan kombinasyonlarından bahsediyorsak ekleyin. Çoğaltmanız gereken bir şey.

Tüm olası sonuçları hesapladığınızda (muhtemelen Excel'de bunu yapmak elle yapmaktan daha kolaydır, çünkü bunlardan 216 tane vardır), oyun ilk bakışta hala tuhaf, hatta hatta görünüyor. Aslında kumarhanenin kazanma şansı hâlâ daha yüksek - ne kadar daha fazla? Spesifik olarak, her oyun turunda ortalama ne kadar para kaybetmeyi bekliyorsunuz?

Tek yapmanız gereken, 216 sonucun tümünün kazanç ve kayıplarını toplayıp 216'ya bölmek, ki bu oldukça basit olmalı. Ancak gördüğünüz gibi burada birkaç tuzak var ve bu yüzden şunu söylüyorum: Bu oyunun kazanma şansının eşit olduğunu düşünüyorsanız, tamamen yanılıyorsunuz.

Oyun #3 - 5 Card Stud Poker

Önceki oyunlara ısındıysanız, bu kart oyununu örnek olarak kullanarak koşullu olasılık hakkında bildiklerimizi kontrol edelim. 52 kartlık desteyle bir poker oyunu hayal edelim. Ayrıca her oyuncunun yalnızca 5 kart aldığı 5 kartlı stud'u da düşünelim. Bir kartı atamazsınız, yeni bir kart çekemezsiniz, ortak deste yoktur; yalnızca 5 kart alırsınız.

Bir yandan floş royal 10-J-Q-K-A'dır, toplamda dört tane vardır, yani floş royal elde etmenin dört olası yolu vardır. Böyle bir kombinasyon elde etme olasılığınızı hesaplayın.

Sizi bir konuda uyarmalıyım: Bu beş kartı istediğiniz sırayla çekebileceğinizi unutmayın. Yani önce bir as ya da onluk çekebilirsiniz, fark etmez. Yani matematiği yaparken, kartların sırayla dağıtıldığını varsayarak, royal floş elde etmenin aslında dörtten fazla yolu olduğunu unutmayın.

Oyun No. 4 - IMF Piyango

Dördüncü problem bugün bahsettiğimiz yöntemlerle o kadar kolay çözülemez ancak durumu programlama veya Excel kullanarak kolayca simüle edebilirsiniz. Bu problemin örneğini kullanarak Monte Carlo yöntemini çözebilirsiniz.

Daha önce üzerinde çalıştığım Chron X oyunundan bahsetmiştim ve orada çok ilginç bir kart vardı: IMF piyangosu. İşte nasıl çalıştı: oyunda kullandınız. Tur bittikten sonra, kartlar yeniden dağıtıldı ve kartın oyun dışı kalması ve rastgele bir oyuncunun, jetonu o kartta bulunan her kaynak türünden 5 birim alması ihtimali %10'du. Kart tek bir çip olmadan oyuna girildi, ancak bir sonraki turun başında oyunda kaldığı her defasında bir çip aldı.

Yani eğer onu oyuna koyarsanız turun bitmesi, kartın oyundan çıkması ve kimsenin bir şey alamama ihtimali %10'du. Bu gerçekleşmezse (%90 şans), bir sonraki turda oyunu terk etme ve birisinin 5 birim kaynak alma şansı %10'dur (%90'ın %10'u olduğu için aslında %9). Kart bir tur sonra oyundan ayrılırsa (%81'in %10'u mevcut, yani olasılık %8,1), birisi 10 birim alacak, başka bir turda - 15, başka bir - 20 vb. Soru: Bu kart nihayet oyundan çıktığında alacağınız kaynak sayısının genel beklenen değeri nedir?

Normalde bu sorunu her sonucun olasılığını hesaplayıp tüm sonuçların sayısıyla çarparak çözmeye çalışırdık. 0 alma şansınız %10'dur (0,1 * 0 = 0). %9, 5 birim kaynak alacaksınız (%9 * 5 = 0,45 kaynak). Alacağınız miktarın %8,1'i 10'dur (%8,1*10=0,81 kaynak - genel beklenen değer). Ve benzeri. Ve sonra her şeyi özetlerdik.

Ve şimdi sorun sizin için açık: Kartın oyundan çıkmama şansı her zaman vardır, sonsuz sayıda tur boyunca sonsuza kadar oyunda kalabilir, dolayısıyla her olasılığı hesaplamanın bir yolu yoktur. Bugün incelediğimiz yöntemler sonsuz özyinelemeyi hesaplamamıza izin vermiyor, bu yüzden onu yapay olarak oluşturmak zorunda kalacağız.

Eğer programlamada yeterince iyiyseniz bu haritayı simüle edecek bir program yazın. Değişkeni sıfır başlangıç ​​konumuna getiren, rastgele bir sayı gösteren ve değişkenin döngüden çıkma şansı %10 olan bir zaman döngünüz olmalıdır. Aksi takdirde değişkene 5 eklenir ve döngü tekrarlanır. Sonunda döngüden çıktığında, toplam deneme çalıştırması sayısını 1 ve toplam kaynak sayısını (değişkenin nerede bittiğine bağlı olarak) artırın. Daha sonra değişkeni sıfırlayın ve yeniden başlayın.

Programı birkaç bin kez çalıştırın. Sonunda, toplam kaynak sayısını toplam çalıştırma sayısına bölün; bu, beklenen Monte Carlo değeriniz olacaktır. Aldığınız sayıların yaklaşık olarak aynı olduğundan emin olmak için programı birkaç kez çalıştırın. Dağılım hala büyükse, eşleşmeler elde edene kadar dış döngüdeki tekrar sayısını artırın. Elde ettiğiniz sayıların yaklaşık olarak doğru olacağından emin olabilirsiniz.

Programlamada yeniyseniz (olsanız bile), Excel becerilerinizi test etmek için hızlı bir alıştırma burada. Eğer bir oyun tasarımcısıysanız bu beceriler asla gereksiz olmayacaktır.

Artık if ve Rand fonksiyonları işinize çok yarayacak. Rand değerlere ihtiyaç duymaz, sadece 0 ile 1 arasında rastgele bir ondalık sayı üretir. Daha önce bahsettiğim gibi, zar atmayı simüle etmek için genellikle bunu tabanla ve artılar ve eksilerle birleştiririz. Ancak bu durumda kartın oyundan çıkması için %10'luk bir şans bırakıyoruz, böylece rand değerinin 0,1'den küçük olup olmadığını kontrol edebiliriz ve artık bu konuda endişelenmeyiz.

If'in üç anlamı vardır. Sırayla: doğru veya yanlış olan bir koşul, ardından koşul doğruysa döndürülen bir değer ve koşul yanlışsa döndürülen bir değer. Dolayısıyla, aşağıdaki işlev zamanın %5'ini, diğer %90'ını ise 0'ı döndürecektir: =EĞER(RAND()<0.1,5,0) .

Bu komutu ayarlamanın birçok yolu vardır, ancak bu formülü ilk turu temsil eden hücre için kullanırdım, diyelim ki A1 hücresi: =EĞER(RAND()<0.1,0,-1) .

Burada "bu kart oyundan çıkmadı ve henüz herhangi bir kaynaktan vazgeçmedi" anlamında negatif bir değişken kullanıyorum. Yani eğer ilk tur biterse ve kart oyundan çıkarsa, A1 0'dır; aksi takdirde -1'dir.

İkinci turu temsil eden bir sonraki hücre için: =EĞER(A1>-1, A1, EĞER(RAND())<0.1,5,-1)) . Yani ilk tur bittiyse ve kart oyunu hemen terk ettiyse, A1 0'dır (kaynak sayısı) ve bu hücre basitçe bu değeri kopyalayacaktır. Aksi takdirde, A1 -1'dir (kart henüz oyundan çıkmamıştır) ve bu hücre rastgele hareket etmeye devam eder: zamanın %10'unda 5 birim kaynak döndürecektir, geri kalan zamanda değeri hala şuna eşit olacaktır: -1. Bu formülü ek hücrelere uygularsak, ek turlar elde ederiz ve hangi hücreyle karşılaşırsanız karşılaşın, size nihai sonucu verir (veya oynadığınız tüm turlardan sonra kart oyundan hiç çıkmamışsa -1).

Bu kartın bulunduğu tek turu temsil eden hücre sırasını alın ve birkaç yüz (veya bin) satırı kopyalayıp yapıştırın. Excel için sonsuz bir test yapamayabiliriz (bir tabloda sınırlı sayıda hücre vardır), ancak en azından çoğu durumu kapsayabiliriz. Daha sonra tüm turların sonuçlarının ortalamasını yerleştireceğiniz bir hücre seçin - Excel bunun için yararlı bir şekilde ortalama() işlevi sağlar.

Windows'ta tüm rastgele sayıları yeniden hesaplamak için en azından F9 tuşuna basabilirsiniz. Daha önce olduğu gibi bunu birkaç kez yapın ve aynı değerleri alıp almadığınıza bakın. Yayılım çok büyükse çalıştırma sayısını iki katına çıkarın ve tekrar deneyin.

Çözülmemiş sorunlar

Olasılık teorisi diplomanız varsa ve yukarıdaki problemler size çok kolay geliyorsa, işte yıllardır kafamı kurcaladığım iki problem ama ne yazık ki matematikte bunları çözecek kadar iyi değilim.

Çözülmemiş Sorun #1: IMF Piyango

Çözülemeyen ilk sorun önceki ev ödevidir. Monte Carlo yöntemini (C++ veya Excel kullanarak) kolayca uygulayabilirim ve “oyuncu ne kadar kaynak alacak” sorusunun cevabından emin olabilirim, ancak matematiksel olarak kesin olarak kanıtlanabilir bir cevabı nasıl vereceğimi tam olarak bilmiyorum (bu sonsuz bir seri).

Çözülmemiş problem #2: Şekil dizileri

Bu sorun (aynı zamanda bu blogda çözülen görevlerin çok ötesine geçiyor) bana on yıldan fazla bir süre önce bir oyuncu arkadaşım tarafından verildi. Vegas'ta blackjack oynarken ilginç bir şey fark etti: 8 desteli bir ayakkabıdan kartları çıkardığında arka arkaya on rakam gördü (şekil veya resimli kart 10'dur, Joker, Papaz veya Kız, yani içinde 16 tane vardır) standart 52 desteli kartta toplam veya 416 kart yuvasında 128).

Bu ayakkabının on veya daha fazla rakamdan oluşan en az bir diziyi içerme olasılığı nedir? Rastgele bir sırayla adil bir şekilde karıştırıldıklarını varsayalım. Veya dilerseniz on veya daha fazla rakamdan oluşan bir dizinin hiçbir yerde oluşmama olasılığı nedir?

Görevi basitleştirebiliriz. İşte 416 parçadan oluşan bir dizi. Her parça 0 veya 1'dir. Dizi boyunca rastgele dağılmış 128 bir ve 288 sıfır vardır. 128 taneyi 288 sıfırla rastgele serpiştirmenin kaç yolu vardır ve bu yollarda en az on veya daha fazla birden oluşan bir grup kaç kez meydana gelir?

Bu sorunu çözmeye her giriştiğimde, bana kolay ve açık göründü, ancak ayrıntılara daldığım anda birdenbire dağıldı ve tamamen imkansız görünüyordu.

Bu yüzden cevabı söylemek için acele etmeyin: oturun, dikkatlice düşünün, koşulları inceleyin, gerçek sayıları hesaplamaya çalışın, çünkü bu sorun hakkında konuştuğum tüm insanlar (bu alanda çalışan birkaç yüksek lisans öğrencisi dahil) tepki gösterdi. aynı: "Bu çok açık... ah, hayır, durun, hiç de belli değil." Tüm seçenekleri hesaplamak için bir yöntemim olmadığında durum budur. Sorunu elbette bir bilgisayar algoritması aracılığıyla kaba kuvvetle çözebilirim, ancak matematiksel çözümü bilmek çok daha ilginç olurdu.

Kısa teori

Olayları, meydana gelme olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırmak için, olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçüm uygulanır. Rastgele bir olayın olasılığı bir olayın meydana gelme objektif olasılığının ölçüsünü ifade eden bir sayıdır.

Bir olayın gerçekleşmesini beklemek için nesnel nedenlerin ne kadar önemli olduğunu belirleyen nicelikler, olayın olasılığı ile karakterize edilir. Olasılığın, bilen kişiden bağımsız olarak var olan ve bir olayın oluşmasına katkıda bulunan tüm koşullar dizisi tarafından koşullandırılan nesnel bir nicelik olduğu vurgulanmalıdır.

Olasılık kavramı için yaptığımız açıklamalar, kavramı sayısallaştırmadığından matematiksel bir tanım değildir. Belirli problemlerin (klasik, aksiyomatik, istatistiksel vb.) çözümünde yaygın olarak kullanılan, rastgele bir olayın olasılığının çeşitli tanımları vardır.

Olay olasılığının klasik tanımı Bu kavramı, artık tanıma tabi olmayan ve sezgisel olarak açık olduğu varsayılan, eşit derecede olası olaylara ilişkin daha temel bir kavrama indirgemektedir. Örneğin, eğer bir zar homojen bir küpse, bu küpün yüzlerinden herhangi birinin kaybı eşit derecede olası olaylar olacaktır.

Güvenilir bir olayın, toplamı olayı veren eşit olası durumlara bölünmesine izin verin. Yani, parçalandığı durumlar, olay için elverişli olarak adlandırılır, çünkü bunlardan birinin ortaya çıkması, olayın gerçekleşmesini sağlar.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilecektir.

Bir olayın olasılığı, kendisi için uygun olan durumların sayısının, benzersiz şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumların toplam sayısından sayısına oranına eşittir;

Bu olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurarak, benzersiz şekilde mümkün, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir dizi bulmak, bunların toplam sayısını n, yani uygun durumların sayısını m hesaplamak gerekir. Belirli bir olayı belirleyin ve ardından yukarıdaki formülü kullanarak hesaplamayı gerçekleştirin.

Bir olayın olasılığı, olaya uygun deney sonuçlarının sayısının toplam deney sonuçları sayısına oranına eşit olur. klasik olasılık rastgele olay.

Tanımdan aşağıdaki olasılık özellikleri çıkar:

Özellik 1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

Özellik 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Özellik 3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Özellik 4. Tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Özellik 5. Ters olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde belirlenir.

Ters bir olayın meydana gelmesini destekleyen durumların sayısı. Dolayısıyla zıt olayın meydana gelme olasılığı, birlik ile A olayının meydana gelme olasılığı arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütmeye dayanarak belirlenebilmesidir.

Bir takım koşullar sağlandığında güvenilir bir olay mutlaka gerçekleşecek, ancak imkansız bir olay kesinlikle olmayacaktır. Bir takım koşullar yaratıldığında meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylardan, bazılarının gerçekleşmesine haklı sebeplerle, bazılarının ise daha az sebeplere bağlı olarak meydana gelmesine güvenilebilir. Örneğin, bir torbada siyah toplardan daha fazla beyaz top varsa, o zaman torbadan rastgele çekildiğinde beyaz bir topun ortaya çıkmasını ummak için siyah bir topun ortaya çıkmasından daha fazla neden vardır.

Sorun çözümü örneği

Örnek 1

Bir kutuda 8 beyaz, 4 siyah ve 7 kırmızı top bulunmaktadır. Rastgele 3 top çekiliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulun: - en az 1 kırmızı top çekilir, - aynı renkte en az 2 top vardır, - en az 1 kırmızı ve 1 beyaz top vardır.

Sorun çözümü

Toplam test sonucu sayısını 19 (8+4+7) elementin 3'lü kombinasyon sayısı olarak buluyoruz:

Olayın olasılığını bulalım– en az 1 kırmızı top çekilir (1,2 veya 3 kırmızı top)

Gerekli olasılık:

Hadi olay– aynı renkte en az 2 top var (2 veya 3 beyaz top, 2 veya 3 siyah top ve 2 veya 3 kırmızı top)

Etkinlik için olumlu sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Hadi olay– en az bir kırmızı ve 1 beyaz top var

(1 kırmızı, 1 beyaz, 1 siyah veya 1 kırmızı, 2 beyaz veya 2 kırmızı, 1 beyaz)

Etkinlik için olumlu sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Cevap: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Örnek 2

İki zar atılıyor. Puanların toplamının en az 5 olma olasılığını bulun.

Çözüm

Etkinliğin en az 5 puan almasına izin verin

Olasılığın klasik tanımını kullanalım:

Olası test sonuçlarının toplam sayısı

İlgilenilen olayı destekleyen denemelerin sayısı

İlk zarın düşen tarafında bir puan, iki puan..., altı puan görünebilir. benzer şekilde ikinci zar atıldığında altı sonuç mümkündür. İlk zarın atılmasının sonuçlarından her biri, ikinci zarın sonuçlarının her biriyle birleştirilebilir. Bu nedenle, olası temel test sonuçlarının toplam sayısı, tekrarlı yerleştirme sayısına eşittir (6. ciltten 2 öğenin yerleştirilmesiyle seçim):

Ters olayın olasılığını bulalım - puanların toplamı 5'ten azdır

Aşağıdaki düşen puan kombinasyonları etkinliğin lehine olacaktır:

№

1. kemik

2. kemik

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Olasılığın geometrik tanımı sunulmuş ve iyi bilinen toplantı probleminin çözümü verilmiştir.