İstatistikler birçok sorunun çözümünde yardımımıza gelir; örneğin: deterministik bir model oluşturmanın mümkün olmadığı durumlarda, çok fazla faktör olduğunda veya mevcut verileri dikkate alarak oluşturulan modelin olasılığını değerlendirmemiz gerektiğinde. İstatistiklere yönelik tutum belirsizdir. Üç tür yalan olduğuna dair bir görüş var: yalanlar, lanet yalanlar ve istatistikler. Öte yandan, birçok istatistik "kullanıcısı", nasıl çalıştığını tam olarak anlamadan buna çok fazla inanıyor: örneğin, normalliğini kontrol etmeden herhangi bir veriye test uygulamak. Bu tür bir ihmal, ciddi hatalara yol açabilir ve test "hayranlarını" istatistikten nefret edenlere dönüştürebilir. Akımları i'nin üzerine koymaya çalışalım ve belirli olayları tanımlamak için hangi rastgele değişken modellerinin kullanılması gerektiğini ve bunlar arasında ne tür bir genetik bağlantı bulunduğunu bulmaya çalışalım.

Her şeyden önce, bu materyal olasılık teorisi ve istatistik okuyan öğrencilerin ilgisini çekecektir, ancak "olgun" uzmanlar onu referans olarak kullanabilirler. Aşağıdaki çalışmalardan birinde, borsa ticaret stratejileri göstergelerinin önemini değerlendirmek için bir test oluşturmak amacıyla istatistik kullanmanın bir örneğini göstereceğim.

Çalışma şunları dikkate alacaktır:

Makalenin sonunda derinlemesine düşünmeniz için bir soru olacak. Bu konudaki düşüncelerimi bir sonraki yazımda sunacağım.

Yukarıdaki sürekli dağılımlardan bazıları özel durumlardır.

Ayrık dağılımlar

Bir olayın olası sonuçlarının her birinin ortaya çıkma olasılığının ayrık bir dağılımı açıklanmaktadır. Herhangi bir dağılımda olduğu gibi (sürekli dahil), beklenti ve dağılım kavramları ayrık olaylar için tanımlanır. Ancak ayrık bir rastgele olaya ilişkin matematiksel beklentinin, genel durumda tek bir rastgele olayın sonucu olarak gerçekleşemeyecek, daha ziyade olayların sonuçlarının aritmetik ortalamasının alınacağı bir değer olduğu anlaşılmalıdır. sayıları arttıkça yönelecektir.

Ayrık rastgele olayların modellenmesinde kombinatorik önemli bir rol oynar, çünkü bir olayın sonucunun olasılığı, gerekli sonucu veren kombinasyon sayısının toplam kombinasyon sayısına oranı olarak tanımlanabilir. Örnek: Bir sepette 3 beyaz ve 7 siyah top vardır. Sepetten 1 top seçtiğimizde bunu 10 farklı şekilde (toplam kombinasyon sayısı) yapabiliriz, ancak beyaz topun seçileceği yalnızca 3 seçenek (gerekli sonucu veren 3 kombinasyon). Dolayısıyla beyaz topun seçilme olasılığı: ().

İadeli ve iadesiz numuneler arasında da ayrım yapılmalıdır. Örneğin iki beyaz topun seçilme olasılığını açıklamak için ilk topun sepete geri dönüp dönmeyeceğinin belirlenmesi önemlidir. Değilse, geri dönüşü olmayan bir örnekle () uğraşıyoruz ve olasılık şu şekilde olacaktır: - ilk örnekten bir beyaz top seçme olasılığı ile sepette kalanlardan tekrar bir beyaz top seçme olasılığı çarpılır . İlk top sepete dönerse bu, return() işleviyle bir getirme işlemidir. Bu durumda iki beyaz topun seçilme olasılığı .

Örneği bir sepetle şu şekilde resmileştirirsek: bir olayın sonucunun sırasıyla olasılıklarla birlikte 0 veya 1 değerinden birini almasına izin verin ve o zaman önerilen sonuçların her birini elde etmenin olasılık dağılımına Bernoulli dağılımı adı verilecektir. :

Yerleşik geleneğe göre 1 değerine sahip sonuca “başarı”, 0 değerine sahip sonuca ise “başarısızlık” adı verilmektedir. Açıkçası “başarılı ya da başarısız” sonucunun elde edilmesi olasılık dahilinde gerçekleşir.

Bernoulli dağılımının beklentisi ve varyansı:

Sonuçları başarı olasılığına (topların sepete geri gönderilmesi örneği) göre dağıtılan denemelerdeki başarı sayısı, binom dağılımıyla tanımlanır:

Başka bir deyişle binom dağılımının, başarı olasılığı ile dağıtılabilen bağımsız rastgele değişkenlerin toplamını tanımladığını söyleyebiliriz.
Beklenti ve varyans:

Eğer miktarlar sırasıyla ve parametreleriyle binom dağılıma sahipse, bunların toplamı da parametrelerle binom dağılıma sahip olacaktır.

Sepetten topları çektiğimiz ve beyaz bir top çekilinceye kadar geri getirdiğimiz bir durumu hayal edelim. Bu tür işlemlerin sayısı geometrik bir dağılımla tanımlanır. Başka bir deyişle: geometrik dağılım, her denemedeki başarı olasılığı ile ilk başarıya kadar olan deneme sayısını ifade eder. Başarının gerçekleştiği deneme sayısı belirtilirse geometrik dağılım aşağıdaki formülle açıklanacaktır:

Pascal dağılımı, dağılımın bir genellemesidir: bağımsız denemelerdeki başarısızlık sayısının dağılımını tanımlar; bunun sonucu, toplam başarı gerçekleşmeden önce başarı olasılığına dağıtılır. Ne zaman miktar için bir dağılım elde ederiz.

Negatif binom dağılımının beklentisi ve varyansı:

Şu ana kadar geri dönüşlü örnek örnekleri ele aldık, yani sonucun olasılığı denemeden denemeye değişmedi.

Şimdi durumu geri dönüşü olmayan bir şekilde düşünün ve önceden bilinen sayıda başarı ve başarısızlığa sahip bir popülasyondan başarılı seçim sayısının olasılığını tanımlayın (sepette önceden bilinen sayıda beyaz ve siyah top, destedeki kozlar, destedeki kozlar, oyundaki kusurlu parçalar vb.).

Koleksiyonun tamamı nesneler içersin, bazıları “1”, bazıları “0” olarak işaretlenmiştir. Etiketi “1” olan bir nesnenin seçimini başarılı, etiketi “0” olan bir nesnenin seçimini başarısızlık olarak değerlendireceğiz. N sayıda test gerçekleştireceğiz ve seçilen nesneler artık başka testlere katılmayacak. Başarı olasılığı hipergeometrik dağılıma uyacaktır:

Beklenti ve varyans:

Poisson dağılımı

Poisson dağılımı, "konu" alanında yukarıda tartışılan dağılımlardan önemli ölçüde farklıdır: artık dikkate alınan şu veya bu test sonucunun ortaya çıkma olasılığı değil, olayların yoğunluğu, yani ortalama olay sayısıdır. birim zaman başına.

Poisson dağılımı, olayların ortalama yoğunluğunda zaman içinde bağımsız olayların meydana gelme olasılığını açıklar:

Bağımsız olayların oluşumları arasındaki zaman aralıklarını tanımlayan Poisson dağılımı, güvenilirlik teorisinin matematiksel temelini oluşturur.

Rastgele değişkenler x ve y ()'nin dağılımları ile çarpımının olasılık yoğunluğu aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

Aşağıdaki dağılımlardan bazıları Pearson dağılımının özel durumlarıdır ve bu da denklemin çözümüdür:

Bu bölümde ele alınacak dağılımların birbirleriyle yakın ilişkileri vardır. Bu bağlantılar, bazı dağılımların diğer dağılımların özel durumları olması veya başka dağılımlara sahip rastgele değişkenlerin dönüşümlerini tanımlamasıyla ifade edilir.

Aşağıdaki diyagram, bu yazıda ele alınacak bazı sürekli dağılımlar arasındaki ilişkileri göstermektedir. Diyagramda, içi dolu oklar rastgele değişkenlerin dönüşümünü gösterir (okun başlangıcı başlangıç ​​dağılımını, okun sonu sonuçtaki dağılımı gösterir) ve noktalı oklar genelleme ilişkisini gösterir (okun başlangıcı okun ucunun işaret ettiği dağılımın özel bir durumudur). Pearson dağılımının özel durumları için karşılık gelen Pearson dağılımı türü noktalı okların üzerinde gösterilmiştir.

Normal dağılım (Gauss dağılımı)

Normal bir dağılımın parametrelerle olasılık yoğunluğu Gauss fonksiyonu ile tanımlanır:

Eğer ve ise, böyle bir dağılıma standart denir.

Normal dağılımın beklentisi ve varyansı:

Normal dağılım tip VI dağılımdır.

Bağımsız normal niceliklerin kareleri toplamı vardır ve bağımsız Gauss niceliklerinin oranı üzerinden dağıtılır.

Normal dağılım sonsuza kadar bölünebilir: normal olarak dağıtılan miktarların ve parametrelerin toplamı ve buna göre, burada ve parametreleriyle de normal bir dağılıma sahiptir.

Normal dağılım kuyusu, doğal olayları, termodinamik nitelikteki gürültüyü ve ölçüm hatalarını tanımlayan miktarları modeller.

Ayrıca merkezi limit teoremine göre aynı mertebeden çok sayıda bağımsız terimin toplamı, terimlerin dağılımlarına bakılmaksızın normal dağılıma yakınsar. Bu özelliğinden dolayı istatistiksel analizde normal dağılım popülerdir; birçok istatistiksel test normal dağılıma sahip veriler için tasarlanmıştır.

Z testi normal dağılımın sonsuz bölünebilirliğine dayanmaktadır. Bu test, normal dağılım gösteren değerlerin bir örneğinin beklenen değerinin belirli bir değere eşit olup olmadığını kontrol etmek için kullanılır. Varyans değeri şu şekilde olmalıdır: bilinen. Varyans değeri bilinmiyorsa ve analiz edilen örnek temel alınarak hesaplanıyorsa, .

Genel popülasyondan standart sapma ile n bağımsız normal dağılmış değerden oluşan bir örneğimiz olduğunu varsayalım, şunu varsayalım. O zaman değer standart bir normal dağılıma sahip olacaktır. Elde edilen z değerini standart dağılımın yüzdelik dilimleriyle karşılaştırarak hipotezi gerekli önem düzeyiyle kabul edebilir veya reddedebilirsiniz.

Gauss dağılımının yaygın kullanımı nedeniyle, istatistiğe pek aşina olmayan birçok araştırmacı, körü körüne Gauss verileriyle uğraştıklarına inanarak verilerin normalliğini kontrol etmeyi veya dağılım yoğunluk grafiğini "gözle" değerlendirmeyi unutuyor. Buna göre normal dağılıma göre tasarlanmış testleri güvenle kullanabilir ve tamamen yanlış sonuçlar alabilirsiniz. İstatistiklerin en korkunç yalan türü olduğu söylentisinin geldiği yer muhtemelen burasıdır.

Bir örnek düşünelim: Belirli bir değerdeki bir dizi direncin direncini ölçmemiz gerekiyor. Direnç fiziksel bir yapıya sahiptir; direnç sapmalarının nominal değerden dağılımının normal olacağını varsaymak mantıklıdır. Direnç değerine yakın bir mod ile ölçülen değerler için çan şeklinde bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ölçüyor ve elde ediyoruz. Bu normal bir dağılım mı? Cevabınız evet ise, dağılımın dağılımını önceden biliyorsak, z testini kullanarak arızalı dirençleri arayacağız. Pek çok kişinin bunu yapacağını düşünüyorum.

Ancak direnç ölçüm teknolojisine daha yakından bakalım: Direnç, uygulanan voltajın akım akışına oranı olarak tanımlanır. Akımı ve voltajı, normal dağılımlı hatalara sahip aletlerle ölçtük. Yani ölçülen akım ve gerilim değerleri normal dağılmış rastgele değişkenlerölçülen büyüklüklerin gerçek değerlerine karşılık gelen matematiksel beklentilerle. Bu, elde edilen direnç değerlerinin Gaussian'a göre değil, 'ye göre dağıtıldığı anlamına gelir.

Dağılım, her biri standart normal yasaya göre dağıtılan rastgele değişkenlerin karelerinin toplamını tanımlar:

Serbestlik derecesi sayısı nerede, .

Beklenti ve dağılım dağılımı:

Bu özel bir durum (ve dolayısıyla Tip III dağılım) ve bir genellemedir. Dağıtılan miktarların dağıtılana oranı.

Pearson uyum iyiliği testi dağılıma dayanmaktadır. Bu kriteri kullanarak, belirli bir teorik dağılıma ait rastgele değişken örneğinin güvenilirliğini kontrol edebilirsiniz.

Bazı rastgele değişkenlerin bir örneğine sahip olduğumuzu varsayalım. Bu örneğe dayanarak () aralıklarına düşen değerlerin olasılıklarını hesaplıyoruz. Ayrıca dağılımın analitik ifadesi hakkında, seçilen aralıklara düşme olasılıklarının şu şekilde olması gerektiğine dair bir varsayım olsun. Daha sonra miktarlar normal yasaya göre dağıtılacaktır.

Standart normal dağılıma indirgeyelim: ,
nerede ve .

Ortaya çıkan değerler (0, 1) parametreleriyle normal bir dağılıma sahiptir ve bu nedenle karelerinin toplamı bir serbestlik derecesine göre dağıtılır. Serbestlik derecesindeki azalma, aralıklara düşen değerlerin olasılıklarının toplamı üzerinde ek bir kısıtlama ile ilişkilidir: 1'e eşit olmalıdır.

Değeri dağılımın yüzdelik dilimleriyle karşılaştırarak, verilerin teorik dağılımına ilişkin hipotezi gerekli önem düzeyiyle kabul edebilir veya reddedebilirsiniz.

Öğrenci dağılımı bir t-testi gerçekleştirmek için kullanılır: dağıtılmış rastgele değişkenlerden oluşan bir numunenin beklenen değerinin belirli bir değere eşitliği veya aynı varyansa sahip iki numunenin beklenen değerinin eşitliği (eşitlik) için bir test farkların kontrol edilmesi gerekir). Öğrenci dağılımı, dağıtılmış bir rastgele değişkenin, üzerinde dağıtılan bir değişkene oranını tanımlar.

ve sırasıyla serbestlik derecesine sahip bağımsız rastgele değişkenler olsun. Bu durumda miktar, serbestlik derecesine sahip bir Fisher dağılımına sahip olacak ve miktar, serbestlik derecesine sahip bir Fisher dağılımına sahip olacaktır.
Fisher dağılımı gerçek negatif olmayan argümanlar için tanımlanır ve bir olasılık yoğunluğuna sahiptir:


Fisher dağılımının beklentisi ve varyansı:

Regresyon parametrelerinin öneminin değerlendirilmesi, değişken varyans testi ve örnek varyansların eşitliği testi gibi bir dizi istatistiksel test Fisher dağılımına dayanmaktadır (f-testi, kesin Fisher testi).

F-testi: sırasıyla iki bağımsız örnek ve dağıtılmış veri hacmi olsun. Örneklem varyanslarının eşitliği ile ilgili bir hipotez ortaya koyalım ve bunu istatistiksel olarak test edelim.

Değerini hesaplayalım. Serbestlik derecesine sahip bir Fisher dağılımına sahip olacaktır.

Değeri karşılık gelen Fisher dağılımının yüzdelik dilimleriyle karşılaştırarak, örnek varyansların eşitliği hipotezini gerekli önem düzeyiyle kabul edebilir veya reddedebiliriz.

Üstel (üstel) dağılım ve Laplace dağılımı (çift üstel, çift üstel)

Üstel dağılım, ortalama yoğunlukta meydana gelen bağımsız olaylar arasındaki zaman aralıklarını tanımlar. Böyle bir olayın belirli bir süre boyunca meydana gelme sayısı ayrık olarak tanımlanır. Üstel dağılım, güvenilirlik teorisinin matematiksel temelini oluşturur.

Güvenilirlik teorisine ek olarak, üstel dağılım sosyal olayların tanımlanmasında, ekonomide, kuyruk teorisinde, ulaştırma lojistiğinde - olayların akışını modellemenin gerekli olduğu her yerde kullanılır.

Üstel dağılım özel bir durumdur (n=2 için) ve bu nedenle . Üstel olarak dağıtılan bir miktar, 2 serbestlik derecesine sahip bir ki-kare miktarı olduğundan, normal olarak dağıtılan iki bağımsız miktarın karelerinin toplamı olarak yorumlanabilir.

Ayrıca üstel dağılım adil bir durumdur

DERS 8

Ayrık rastgele değişkenlerin olasılık dağılımları.Binom dağılımı. Poisson dağılımı. Geometrik dağılım. Oluşturma işlevi.

6. OLASILIK DAĞILIMLARI
AYRI RASTGELE DEĞİŞKENLER

Binom dağılımı

Üretilsin N her birinde olay olan bağımsız denemeler A Görünebilir veya görünmeyebilir. Olasılık P bir olayın meydana gelmesi A tüm testlerde sabittir ve testten teste değişmez. Olayın meydana gelme sayısını X rastgele değişkeni olarak düşünün A bu testlerde. Bir olayın gerçekleşme olasılığını bulma formülü A
düz k her defasında N Bilindiği gibi testler anlatılıyor Bernoulli'nin formülü

Bernoulli formülüyle tanımlanan olasılık dağılımına denir binom .

Bu yasaya "binom" denir çünkü sağ taraf, Newton binomunun açılımında genel bir terim olarak kabul edilebilir.

Binom yasasını tablo şeklinde yazalım

Bu dağılımın sayısal özelliklerini bulalım.

.

Newton'un ikilisi olan eşitliği yazalım.

.

ve p'ye göre farklılaştırın. Sonuç olarak elde ederiz

.

Sol ve sağ tarafları çarpın P:

.

Bunu göz önünde bulundurarak p+q=1, elimizde

(6.2)

Bu yüzden, n bağımsız denemede olayların meydana gelme sayısına ilişkin matematiksel beklenti, n deneme sayısı ile her denemede bir olayın meydana gelme olasılığı p'nin çarpımına eşittir..

Formülü kullanarak varyansı hesaplayalım

Bunun için bulacağız

.

Öncelikle Newton'un binom formülünün iki kez türevini alalım. P:

ve eşitliğin her iki tarafını da şu şekilde çarpın: P 2:

Buradan,

Yani, binom dağılımının varyansı

. (6.3)

Bu sonuçlar salt niteliksel akıl yürütmeyle de elde edilebilir. A olayının tüm denemelerdeki toplam X olayı sayısı, olayın bireysel denemelerdeki gerçekleşme sayısının toplamıdır. Bu nedenle, eğer X 1 olayın ilk denemede meydana gelme sayısı ise, X 2 – ikincide vb. ise, o zaman A olayının tüm denemelerde toplam meydana gelme sayısı X = X 1 +X 2'ye eşittir. +…+X N. Matematiksel beklentinin özelliğine göre:

Eşitliğin sağ tarafındaki terimlerin her biri, bir denemedeki olay sayısının, olayın olasılığına eşit olan matematiksel beklentisidir. Böylece,

Dispersiyon özelliğine göre:

Çünkü , ve yalnızca iki değer alabilen, yani 1 2 olasılıklı bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi P ve 0 2 olasılıkla Q, O . Böylece, Sonuç olarak şunu elde ederiz:

Başlangıç ​​ve merkezi momentler kavramını kullanarak asimetri ve basıklık için formüller elde edebiliriz:

. (6.4)

Binom dağılımının çokgeni aşağıdaki forma sahiptir (bkz. Şekil 6.1). Olasılık P N(k) ilk olarak artanlarla artar k en yüksek değerine ulaşır ve daha sonra düşmeye başlar. Binom dağılımı şu durum dışında çarpıktır P=0,5. Çok sayıda testle bunu unutmayın N Binom dağılımı normale çok yakındır. (Bu önerinin mantığı Moivre-Laplace yerel teoremi ile ilgilidir.)

Bir olayın meydana gelme sayısına m 0 denir büyük ihtimalle, eğer bir olayın bu test serisinde belirli sayıda meydana gelme olasılığı en yüksekse (dağıtım poligonunda maksimum). Binom dağılımı için

. (6.5)

Yorum. Bu eşitsizlik, binom olasılıkları için tekrarlanan formül kullanılarak kanıtlanabilir:

(6.6)

Örnek 6.1. Bu işletmede premium ürünlerin payı% 31'dir. Rastgele seçilen 75 üründen oluşan bir partideki matematiksel beklenti ve varyansın yanı sıra en olası premium ürün sayısı nedir?

Çözüm. O zamandan beri P=0,31, Q=0,69, N=75 ise

M[ X] = n.p.= 75×0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75×0,31×0,69 = 16,04.

En olası sayıyı bulmak için M 0, çifte eşitsizlik oluşturalım

Şunu takip ediyor M 0 = 23.

Poisson dağılımı

Daha önce belirtildiği gibi, binom dağılımı şu durumlarda normale yaklaşır: N®¥. Ancak artışla birlikte bu gerçekleşmez. N miktarlardan biri P veya Q sıfıra eğilimlidir. Bu durumda asimptotik Poisson formülü geçerlidir; en N®¥, P®0

, (6.7)

nerede ben= n.p.. Bu formül belirler Poisson dağıtım yasası Bu, yalnızca binom dağılımının özel bir durumu olarak değil, bağımsız bir anlama sahiptir. Binom dağılımının aksine burada rastgele değişken k sonsuz sayıda değer alabilir: k=0,1,2,…

Poisson yasası, l parametresi ile karakterize edilen, olayların birbirlerinden bağımsız olarak sabit bir ortalama yoğunlukta meydana gelmesi koşuluyla, eşit zaman dilimleri boyunca meydana gelen k olaylarının sayısını açıklar. Poisson dağılım poligonu Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.2. Büyük l yarışları için şunu unutmayın
Poisson dağılımı normale yaklaşıyor. Bu nedenle, kural olarak l'nin birlik mertebesinde olduğu ve deneme sayısının olduğu durumlarda Poisson dağılımı kullanılır. N büyük olmalı ve olayın meydana gelme olasılığı P her testte küçüktür. Bu bağlamda Poisson yasasına sıklıkla aynı zamanda denir. nadir olayların dağılım yasası.

Poisson dağılımının ortaya çıktığı durumlara örnek olarak aşağıdaki dağılımlar gösterilebilir: 1) birim hacim başına belirli mikropların sayısı; 2) birim zamanda ısıtılmış katottan yayılan elektronların sayısı; 3) belirli bir süre boyunca radyoaktif bir kaynak tarafından yayılan a-partiküllerinin sayısı; 4) günün belirli bir saatinde telefon santraline gelen çağrıların sayısı vb.

Poisson yasasını tablo şeklinde yazalım

Tüm olasılıkların toplamının bire eşit olup olmadığını kontrol edelim:

Bu dağılımın sayısal özelliklerini bulalım. DSV için matematiksel beklentinin tanımı gereği, elimizde

Son toplamda toplamanın şununla başladığını unutmayın: k=1, çünkü karşılık gelen toplamın ilk terimi k=0, sıfıra eşit.

Varyansı bulmak için öncelikle rastgele karenin matematiksel beklentisini buluyoruz:

Böylece Poisson yasasına göre dağıtılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı çakışır ve bu dağılımın parametresine eşittir.

. (6.8)

Bu Poisson dağılımının ayırt edici özelliğidir. Dolayısıyla, deneysel verilere dayanarak belirli bir değerin matematiksel beklentisinin ve varyansının birbirine yakın olduğu tespit edilirse, bu rastgele değişkenin Poisson yasasına göre dağıldığını varsaymak için bir neden vardır.

Başlangıç ​​ve merkezi momentler kavramını kullanarak Poisson dağılımı için çarpıklık katsayısı ve basıklığın eşit olduğunu gösterebiliriz:

. (6.9)

l parametresi her zaman pozitif olduğundan Poisson dağılımı her zaman pozitif çarpıklığa ve basıklığa sahiptir.

Şimdi Poisson formülünün en basit olay akışının matematiksel modeli olarak değerlendirilebileceğini gösterelim.

Olayların akışı rastgele zamanlarda meydana gelen olaylar dizisine denir. Akış denir en basit eğer özelliklere sahipse durağanlık, sonradan etki yok Ve sıradanlık.

Akış yoğunluğu l, birim zamanda meydana gelen ortalama olay sayısıdır.

Akış yoğunluğu sabiti l biliniyorsa, oluşma olasılığı k zaman içindeki en basit akıştaki olaylar T Poisson formülü ile belirlenir:

. (6.10)

Bu formül en basit akışın tüm özelliklerini yansıtır. Ayrıca, herhangi bir en basit akış Poisson formülüyle tanımlanır, bu nedenle en basit akışlara sıklıkla denir. Poisson.

Durağanlık özelliği k herhangi bir zaman dilimindeki olaylar yalnızca sayıya bağlıdır k ve süre olarak T süre ve sayımının başlangıcına bağlı değildir. Başka bir deyişle, eğer akış durağanlık özelliğine sahipse, o zaman gerçekleşme olasılığı k belirli bir zaman dilimindeki olaylar T yalnızca bağlı olan bir işlev var k ve itibaren T.

En basit akış durumunda, Poisson formülünden (6.10) olasılık şu şekilde çıkar: k sırasındaki olaylar T belirli bir yoğunlukta yalnızca iki argümanın bir fonksiyonudur: k Ve T Durağanlık özelliğini karakterize eden.

Son etki özelliği yok bu gerçekleşme olasılığıdır k Herhangi bir zaman dilimindeki olaylar, söz konusu dönemin başlangıcından önceki zaman noktalarında olayların ortaya çıkıp çıkmamasına bağlıdır. Başka bir deyişle akışın geçmişi, yakın gelecekte meydana gelen olayların olasılıklarını etkilemez.

En basit akış durumunda, Poisson formülü (6.10), sonradan etkilerin bulunmaması özelliğini karakterize eden, söz konusu zaman periyodunun başlangıcından önce olayların meydana gelmesi hakkındaki bilgileri kullanmaz.

Sıradanlık özelliği kısa bir süre içinde iki veya daha fazla olayın meydana gelmesinin neredeyse imkansız olmasıdır. Başka bir deyişle, kısa sürede birden fazla olayın meydana gelme olasılığı, tek bir olayın meydana gelme olasılığına kıyasla ihmal edilebilir düzeydedir.

Poisson formülünün (6.10) sıradanlık özelliğini yansıttığını gösterelim. Koyarak k=0 ve k=1, sırasıyla hiçbir olayın meydana gelmeme olasılığını ve bir olayın meydana gelme olasılığını buluyoruz:

Bu nedenle birden fazla olayın meydana gelme olasılığı

Fonksiyonun Maclaurin serisindeki açılımını kullanarak, temel dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

.

Karşılaştırma puan(1) ve puan(k>1), küçük değerler için şu sonuca varıyoruz: T Sıradanlık özelliğini karakterize eden tek bir olayın meydana gelme olasılığına kıyasla birden fazla olayın meydana gelme olasılığı ihmal edilebilir düzeydedir.

Örnek 6.2. Rutherford ve Geiger'in gözlemlerinde radyoaktif bir maddenin 7,5 saniyelik bir süre boyunca saniye ortalama 3,87 a parçacığı yaydı. 1 olasılığını bulun saniye bu madde en az bir parçacık yayacaktır.

Çözüm. Daha önce de belirttiğimiz gibi, radyoaktif bir kaynak tarafından belirli bir süre boyunca yayılan a-partiküllerinin sayısının dağılımı Poisson formülü ile tanımlanmaktadır; olayların en basit akışını oluşturur. 1 için a parçacıklarının emisyon yoğunluğundan beri saniye eşittir

,

daha sonra Poisson formülü (6.10) şu şekli alır:

Böylece, olasılık T=1 saniye madde en az bir parçacık yayar eşit olacaktır

Geometrik dağılım

İlk vuruşa kadar belirli bir hedefe atış yapılmasına izin verin ve olasılık P Her atışta hedefi vurmak aynıdır ve önceki atışların sonuçlarına bağlı değildir. Başka bir deyişle, söz konusu deneyde Bernoulli şeması uygulanmaktadır. X rastgele değişkeni olarak, ateşlenen atışların sayısını dikkate alacağız. Açıkçası, X rastgele değişkeninin olası değerleri doğal sayılardır: X 1 =1, X 2 =2, ... o zaman ihtiyaç duyulma olasılığı k atışlar eşit olacak

. (6.11)

Bu formülde varsayarsak k=1,2, ... ilk terimle geometrik bir ilerleme elde ederiz P ve bir çarpan Q:

Bu nedenle formül (6.11) ile tanımlanan dağılıma denir. geometrik .

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı formülünü kullanarak şunu doğrulamak kolaydır:

.

Geometrik dağılımın sayısal özelliklerini bulalım.

DSV için matematiksel beklentinin tanımı gereği, elimizde

.

Formülü kullanarak varyansı hesaplayalım

.

Bunun için bulacağız

.

Buradan,

.

Dolayısıyla geometrik dağılımın matematiksel beklentisi ve varyansı şuna eşittir:

. (6.12)

6.4.* Oluşturma işlevi

DSV ile ilgili problemleri çözerken sıklıkla kombinatorik yöntemler kullanılır. Kombinatoryal analizin en gelişmiş teorik yöntemlerinden biri, uygulamalardaki en güçlü yöntemlerden biri olan fonksiyon üretme yöntemidir. Onu kısaca tanıyalım.

Rastgele değişken x yalnızca negatif olmayan tamsayı değerleri alıyorsa;

,

O oluşturma işlevi bir rastgele değişken x'in olasılık dağılımına fonksiyon denir

, (6.13)

Nerede z– gerçek veya karmaşık değişken. Dikkat birden fazla üreten fonksiyon arasında j x ( X)ve birçok dağıtım(P(x= k)} birebir yazışma var.

Rastgele değişken x olsun binom dağılımı

.

Daha sonra Newton'un binom formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

,

onlar. binom dağılımı üreten fonksiyon benziyor

. (6.14)

Ek. Poisson üreten fonksiyon

benziyor

. (6.15)

Geometrik dağılımın üretme fonksiyonu

benziyor

. (6.16)

Üreten fonksiyonları kullanarak DSV'nin ana sayısal özelliklerini bulmak uygundur. Örneğin, birinci ve ikinci başlangıç ​​momentleri üretici fonksiyonla aşağıdaki eşitliklerle ilişkilidir:

, (6.17)

. (6.18)

Fonksiyon üretme yöntemi genellikle uygundur çünkü bazı durumlarda DSV'nin dağıtım fonksiyonunu belirlemek çok zorken, üretme fonksiyonunu bulmak bazen kolaydır. Örneğin, Bernoulli'nin sıralı bağımsız test tasarımını düşünün, ancak üzerinde bir değişiklik yapın. Bir olayın olasılığının gerçekleşmesine izin verin A denemeden denemeye değişir. Bu, Bernoulli formülünün böyle bir şema için uygulanamayacağı anlamına gelir. Bu durumda dağıtım fonksiyonunu bulma görevi önemli zorluklar ortaya çıkarmaktadır. Bununla birlikte, bu şema için üretme fonksiyonunu bulmak kolaydır ve bu nedenle karşılık gelen sayısal özellikleri bulmak kolaydır.

Üreteç fonksiyonlarının yaygın kullanımı, rastgele değişkenlerin toplamlarının incelenmesinin, karşılık gelen üretme fonksiyonlarının çarpımlarının incelenmesiyle değiştirilebileceği gerçeğine dayanmaktadır. Yani eğer x 1, x 2,…, x N bağımsızlar o zaman

İzin vermek pk=Pk(A) – “başarı” olasılığı k Bernoulli devresindeki -inci test (sırasıyla, q k=1–pk– “başarısızlık” olasılığı k Test). Daha sonra formül (6.19)'a uygun olarak üretme fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

. (6.20)

Bu üretme fonksiyonunu kullanarak şunu yazabiliriz:

.

Burada dikkate alınan p k +q k=1. Şimdi (6.1) formülünü kullanarak ikinci başlangıç ​​momentini buluyoruz. Bunu yapmak için önce hesaplama yapalım

Ve .

Özel bir durumda P 1 =P 2 =…=pn=P(yani binom dağılımı durumunda) elde edilen formüllerden şu sonuç çıkar: Mx= n.p., Dx= npq.

Onlar. ayrık rastgele X'in değerinin bir geom'u vardır. distribütör parametreli R ve payda Q 1,2,3 değerlerini alıyorsa… k, ... olasılıklarla

P(X) = pq k-1 , nerede Q=1-R.

Dağıtıma geom denir çünkü. doğruluk sayfa 1, sayfa 2, ... geometrik bir ilerleme oluşturur; bunun ilk üyesi R ve payda Q.

Test sayısı sınırlı değilse, ör. bir rastgele değişken 1, 2, ..., ∞ değerlerini alabiliyorsa beklenen değer ve varyans geometriktir. dağılımlar Mх = 1/p, Dх = q/p 2 formülleri kullanılarak bulunabilir.

Örnek. Silah ilk vuruş yapılana kadar hedefe ateş eder. Her atışta hedefi vurma olasılığı p = 0,6'dır. S.v. X, ilk vuruştan önceki olası atış sayısıdır.

A) Bir dağılım serisi derleyin, dağılım fonksiyonunu bulun, grafiğini oluşturun ve tüm sayısal özellikleri bulun. b) Atıcının üçten fazla atış yapma niyetinde olmadığı durum için matematiksel beklentiyi ve varyansı bulun.

A) Rastgele değişken 1, 2, 3, 4,..., ∞ değerlerini alabilir
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Dağıtım aralığı:

Kontrol: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (geometrik ilerlemenin toplamı)

Dağıtım fonksiyonu r.v.'nin olasılığıdır. X, x'in belirli sayısal değerinden daha düşük bir değer alacaktır. Dağılım fonksiyonu değerleri olasılıkların toplanmasıyla bulunur.

Eğer x ≤ 1 ise F(x) = 0

Eğer 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
2 ise< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
3 ise< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Eğer k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

B) Rastgele değişken 1, 2, 3 değerlerini alabilir.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Dağıtım aralığı:

Kontrol: Σp ben = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Dağıtım işlevi.

Eğer x ≤ 1 ise F(x) = 0
Eğer 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
2 ise< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Eğer x > 3 ise F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
σ(Х) ≈ 0,752

Çarpıklık ve basıklık

Asimetri bir rastgele değişkenin dağılımının asimetrisini karakterize eden örnekleme dağılımının bir özelliğidir. Pratikte simetrik dağılımlar nadirdir ve asimetrinin derecesini belirlemek ve değerlendirmek için asimetri kavramı ortaya atılmıştır. Negatif bir asimetri katsayısı durumunda, solda daha hafif bir “iniş” gözlenir, aksi takdirde sağda. İlk durumda, asimetriye sol taraf, ikinci durumda ise sağ taraf denir.

Asimetri katsayısı ayrık rastgele değişken şu formül kullanılarak hesaplanır:
(X) = olarak (X 1-A X) 3 p 1 + (X 2 - M X) 3 p 2 + ... + ( X n-M X) 3 pn

Katsayı. asimetri sürekli ince. formülle hesaplanır:

Aşırı dağılım eğrisinin dikliğinin bir ölçüsüdür. Ayrık bir rastgele değişkenin basıklık katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Örn(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

Sürekli bir rastgele değişkenin basıklık katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Örnek.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, bir sonraki değişkenin olası tüm değerlerinin bir listesidir. Kabul edebileceği X ve karşılık gelen olasılıklar. Tüm inançların toplamı 1'e eşit olmalıdır. Kontrol edin: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Beklenti: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Dağılım bir sonraki hızın değerlerinin kare sapmasının matematiksel beklentisidir. Mat.ozh.'den X: D(X) = (-2 + 0,1) 2 0,1 + (- 1 + 0,1) 2 0,2 ​​+ (0 + 0,1) 2 0,5 + (1 + 0,1) 2 0,1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   veya D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0 ,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. Çar. metrekare kapalı varyansın kareköküdür: σ = √1,09 ≈ 1,044
4. Katsayı. asimetri As(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Katsayı. aşırı e X(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0 ,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. Dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin bazı sayısal değerlerden daha düşük bir değer alma olasılığıdır. X: F(X) = P(X< X). Dağılım fonksiyonu azalmayan bir fonksiyondur. 0 ile 1 aralığında değerler alır.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Sürekli rastgele değişkenler. Normal dağılım.

Sürekli rastgele bir değişken belirli bir sayısal değer almaz, ancak sayısal bir aralıktaki herhangi bir değeri alır. Sürekli durumda dağıtım yasasının tanımı ayrık duruma göre çok daha karmaşıktır.

Sürekli belirli bir aralıktan herhangi bir değeri alabilen rastgele değişken olarak adlandırılır; örneğin, taşıma için bekleme süresi, herhangi bir aydaki hava sıcaklığı, bir parçanın gerçek boyutunun nominal boyuttan sapması vb. Ayarlandığı aralık bir yönde veya her iki yönde sonsuz olabilir.

Kesikli ve sürekli durumlar için olasılık hesaplama problemlerindeki temel fark aşağıdaki gibidir. Ayrı bir durumda gibi etkinlikler için x = c(rastgele değişken belli bir değer alır) olasılık aranır R(İle). Sürekli durumda bu türden olasılıklar sıfıra eşittir bu nedenle, “rastgele bir değişkenin belirli bir bölümden değerler alması” türündeki olayların olasılıkları ilgi çekicidir, yani. A≤ X≤ B. Veya bunun gibi etkinlikler için X≤ İle olasılık arıyorum R(X≤ İle). F( dağılım fonksiyonunun bir grafiğini elde ettik. X≤ İle).

Yani rastgele değişkenlerin çeşitliliği çok fazladır. Kabul ettikleri değerlerin sayısı sonlu, sayılabilir ya da sayılamayan olabilir; değerler ayrı ayrı düzenlenebilir veya aralıklar tamamen doldurulabilir. Doğası gereği çok farklı olan rastgele değişkenlerin değerlerinin olasılıklarını belirtmek ve üstelik bunları aynı şekilde belirtmek için, kavramı rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu.

Bir rastgele değişken olsun ve X- keyfi bir gerçek sayı. değerinden daha düşük bir değer alma olasılığı X, isminde olasılık dağılım fonksiyonu rastgele değişken: F(x)= P(<х}.

Söylenenleri özetleyelim: rastgele değişken değerleri duruma bağlı olan ve olasılık dağılım fonksiyonunun tanımlandığı bir miktardır.

Sürekli rastgele değişkenler için (rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesi sayılamaz olduğunda), dağıtım yasası bir fonksiyon kullanılarak belirtilir. Çoğu zaman bu dağıtım fonksiyonu :F( X) = P(X<X) .

Fonksiyon F( X) aşağıdakilere sahiptir özellikler:

1. 0 ≤ F( X) ≤ 1 ;

2.F( X) azalmaz;

3.F( X) sürekli sol;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.