Bu ders entegrasyonla ilgili bir dizi videonun ilkidir. Burada bir fonksiyonun terstürevinin ne olduğunu analiz edeceğiz ve aynı zamanda bu terstürevleri hesaplamanın temel yöntemlerini de inceleyeceğiz.
Aslında burada karmaşık bir şey yok: aslında her şey zaten aşina olmanız gereken türev kavramına dayanıyor :)
Hemen şunu belirteyim ki bu bizim hayatımızdaki ilk derstir. yeni konu, bugün hiç olmayacak karmaşık hesaplamalar ve formüller, ancak bugün inceleyeceğimiz şey, hesaplama yaparken çok daha karmaşık hesaplamaların ve yapıların temelini oluşturacaktır. karmaşık integraller ve kareler.
Ayrıca özellikle integral ve integralleri çalışmaya başladığımızda, öğrencinin en azından türev kavramlarına aşina olduğunu ve en azından bunları hesaplama konusunda temel becerilere sahip olduğunu dolaylı olarak varsayıyoruz. Bu net bir şekilde anlaşılmadan entegrasyon konusunda kesinlikle yapılacak hiçbir şey yoktur.
Ancak en yaygın ve sinsi sorunlardan biri de burada yatıyor. Gerçek şu ki, birçok öğrenci ilk antiderivatiflerini hesaplamaya başladığında bunları türevlerle karıştırıyor. Sonuç olarak sınavlarda ve bağımsız çalışma aptalca ve saldırgan hatalar yapılıyor.
Bu nedenle şimdi antiderivatifin net bir tanımını vermeyeceğim. Karşılığında, basit bir örnek kullanarak nasıl hesaplandığını görmenizi öneririm.
Antiderivatif nedir ve nasıl hesaplanır?
Bu formülü biliyoruz:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Bu türev basitçe hesaplanır:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Ortaya çıkan ifadeye dikkatlice bakalım ve $((x)^(2))$ ifadesini ifade edelim:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Ancak türevin tanımına göre bunu şu şekilde yazabiliriz:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
Şimdi dikkat: az önce yazdığımız şey bir antiderivatifin tanımıydı. Ancak doğru yazmak için aşağıdakileri yazmanız gerekir:
Aşağıdaki ifadeyi de aynı şekilde yazalım:
Bu kuralı genelleştirirsek aşağıdaki formülü elde edebiliriz:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)\]
Artık net bir tanım formüle edebiliriz.
Bir fonksiyonun antitürevi, türevi orijinal fonksiyona eşit olan bir fonksiyondur.
Antiderivatif fonksiyonla ilgili sorular
Oldukça basit ve anlaşılır bir tanım gibi görünüyor. Ancak dikkatli öğrencinin bunu duyması üzerine hemen birkaç sorusu olacaktır:
- Tamam diyelim, bu formül doğru. Ancak bu durumda $n=1$ durumunda sorun yaşıyoruz: Paydada “sıfır” görünüyor ve “sıfıra” bölemiyoruz.
- Formül yalnızca derecelerle sınırlıdır. Örneğin sinüs, kosinüs ve diğer trigonometrinin yanı sıra sabitlerin ters türevinin nasıl hesaplanacağı.
- Varoluşsal soru: Bir antiderivatif bulmak her zaman mümkün müdür? Cevabınız evet ise, o zaman toplamın, farkın, çarpımın vs. ters türevi ne olacak?
Açık son soru Hemen cevap vereceğim. Ne yazık ki, türevden farklı olarak antiderivatif her zaman dikkate alınmaz. Böyle bir şey yok evrensel formül herhangi bir başlangıç yapısından bu benzer yapıya eşit bir fonksiyon elde edeceğiz. Kuvvetler ve sabitlere gelince, şimdi bunun hakkında konuşacağız.
Güç işlevleriyle ilgili sorunları çözme
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1))))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Gördüğümüz gibi, bu formül$((x)^(-1))$ için çalışmıyor. Şu soru ortaya çıkıyor: O zaman ne işe yarıyor? $((x)^(-1))$$'ı sayamaz mıyız? Elbette yapabiliriz. Önce şunu hatırlayalım:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Şimdi düşünelim: Hangi fonksiyonun türevi $\frac(1)(x)$'a eşittir? Açıkçası, bu konuyu en azından biraz çalışmış olan herhangi bir öğrenci, bu ifadenin doğal logaritmanın türevine eşit olduğunu hatırlayacaktır:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Bu nedenle aşağıdakileri güvenle yazabiliriz:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Bu formülü de tıpkı bir kuvvet fonksiyonunun türevi gibi bilmeniz gerekir.
Şu ana kadar bildiklerimiz:
- Bir güç fonksiyonu için - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))(n+1)$
- Bir sabit için - $=const\to \cdot x$
- Güç fonksiyonunun özel bir durumu şöyledir: $\frac(1)(x)\to \ln x$
Ve en basit fonksiyonları çarpmaya ve bölmeye başlarsak, bir çarpımın veya bölümün terstürevini nasıl hesaplayabiliriz? Maalesef bir çarpımın veya bölümün türeviyle yapılan analojiler burada işe yaramıyor. Herhangi standart formül mevcut değil. Bazı durumlarda zor özel formüller vardır - gelecekteki video derslerinde bunlarla tanışacağız.
Ancak şunu unutmayın: genel formül, bir bölümün ve bir çarpımın türevini hesaplamak için benzer bir formül mevcut değildir.
Gerçek sorunları çözmek
Görev No.1
Hadi her birimiz güç fonksiyonları Ayrı ayrı hesaplayalım:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
İfademize dönersek genel yapıyı yazıyoruz:
Sorun No. 2
Daha önce de söylediğim gibi, çalışmaların prototipleri ve özel “doğrudan” değerlendirmeye alınmaz. Ancak burada şunları yapabilirsiniz aşağıdaki gibi:
Kesri iki kesrin toplamına kadar ayırdık.
Hadi matematik yapalım:
İyi haber şu ki, antitürevleri hesaplamak için kullanılan formülleri bildiğinizde, zaten daha fazlasını hesaplayabilirsiniz. karmaşık tasarımlar. Ancak gelin daha ileri gidelim ve bilgimizi biraz daha genişletelim. Gerçek şu ki, ilk bakışta $((x)^(n))$ ile hiçbir ilgisi olmayan birçok yapı ve ifade, bir kuvvet olarak temsil edilebilir. rasyonel gösterge yani:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n))))\]
\[\frac(1)(((x)^(n))))=((x)^(-n))\]
Tüm bu teknikler birleştirilebilir ve birleştirilmelidir. Güç ifadeleri Olabilmek
- çarpın (derece ekleyin);
- bölme (dereceler çıkarılır);
- bir sabitle çarpın;
- vesaire.
Rasyonel üslü kuvvet ifadelerini çözme
Örnek No.1
Her kökü ayrı ayrı hesaplayalım:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1))))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Toplamda tüm yapımız şu şekilde yazılabilir:
Örnek No.2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \sağ))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Bu nedenle şunu elde ederiz:
\[\frac(1)(((x)^(3))))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Toplamda her şeyi tek bir ifadede toplayarak şunu yazabiliriz:
Örnek No.3
Başlangıç olarak $\sqrt(x)$'ı zaten hesapladığımızı not edelim:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1))))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Tekrar yazalım:
Umarım az önce incelediklerimizin sadece en önemlisi olduğunu söylersem kimseyi şaşırtmam. basit hesaplamalar ilkel, en temel yapılar. Şimdi biraz daha bakalım karmaşık örnekler burada tablo halindeki antitürevlere ek olarak şunu da hatırlamanız gerekir: okul müfredatı yani kısaltılmış çarpma formülleri.
Daha karmaşık örnekleri çözme
Görev No.1
Farkın karesinin formülünü hatırlayalım:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Fonksiyonumuzu yeniden yazalım:
Şimdi böyle bir fonksiyonun prototipini bulmamız gerekiyor:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Her şeyi ortak bir yapıda bir araya getirelim:
Sorun No. 2
Bu durumda fark küpünü genişletmemiz gerekir. Hatırlayalım:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Bu gerçeği dikkate alarak şöyle yazabiliriz:
Fonksiyonumuzu biraz değiştirelim:
Her zaman olduğu gibi her dönem için ayrı ayrı sayıyoruz:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2))))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1))))(-1)\]
\[((x)^(-1))\to \ln x\]
Ortaya çıkan yapıyı yazalım:
Sorun No. 3
En üstte toplamın karesi var, hadi genişletelim:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2))))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Son çözümü yazalım:
Şimdi dikkat! Çok önemli şey, bağlı olduğu aslan payı hatalar ve yanlış anlamalar. Gerçek şu ki, şimdiye kadar türevleri kullanarak antiderivatifleri sayarken ve dönüşümler getirirken, bir sabitin türevinin neye eşit olduğunu düşünmedik. Ancak bir sabitin türevi “sıfır”a eşittir. Bu, aşağıdaki seçenekleri yazabileceğiniz anlamına gelir:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Bunu anlamak çok önemlidir: Eğer bir fonksiyonun türevi her zaman aynıysa, o zaman aynı fonksiyonun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır. Herhangi bir sabit sayıyı antiderivatiflerimize ekleyebilir ve yenilerini elde edebiliriz.
Az önce çözdüğümüz problemlerin açıklamasında “Yazın” yazması tesadüf değil. genel görünüm ilkeller." Onlar. Zaten bunlardan bir tanesinin değil, bir yığının var olduğu varsayılıyor. Ancak aslında yalnızca sondaki sabit $C$ açısından farklılık gösterirler. Bu nedenle görevlerimizde tamamlamadıklarımızı düzelteceğiz.
Yapılarımızı bir kez daha yeniden yazıyoruz:
Bu gibi durumlarda, $C$'nin bir sabit olduğunu eklemelisiniz - $C=const$.
İkinci fonksiyonumuzda aşağıdaki yapıyı elde ediyoruz:
Ve sonuncusu:
Ve şimdi sorunun orijinal durumunda gerçekten bizden bekleneni elde ettik.
Belirli bir noktanın ters türevlerini bulma problemlerini çözme
Artık sabitleri ve antitürev yazmanın özelliklerini bildiğimize göre, bunu yapmak oldukça mantıklıdır. sonraki tür Tüm antiderivatifler kümesinden geçecek tek bir türevi bulmanın gerekli olduğu problemler verilen nokta. Bu görev nedir?
Gerçek şu ki, belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatifleri yalnızca belirli bir sayı kadar dikey olarak kaydırılmaları bakımından farklılık gösterir. Bu da şu anlama geliyor: Hangi nokta olursa olsun koordinat düzlemi biz almadık, bir antiderivatif kesinlikle geçecek ve üstelik sadece bir tane.
Yani şimdi çözeceğimiz problemler şu şekilde formüle edilmiştir: orijinal fonksiyonun formülünü bilerek sadece antiderivatifi bulmakla kalmayıp, aynı zamanda koordinatları problemde verilecek olan verilen noktadan geçeni tam olarak seçin. ifade.
Örnek No.1
Öncelikle her terimi sayalım:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Şimdi bu ifadeleri yapımıza yerleştiriyoruz:
Bu fonksiyon $M\left(-1;4 \right)$ noktasından geçmelidir. Bir noktadan geçmesi ne anlama geliyor? Bu, eğer her yere $x$ yerine $-1$ koyarsak ve $F\left(x \right)$ yerine $-4$ koyarsak, o zaman doğru değeri elde etmemiz gerektiği anlamına gelir. sayısal eşitlik. Hadi şunu yapalım:
$C$ için bir denklemimiz olduğunu görüyoruz, hadi çözmeye çalışalım:
Aradığımız çözümü yazalım:
Örnek No.2
Öncelikle kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak farkın karesini ortaya çıkarmak gerekir:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Orijinal yapı şu şekilde yazılacaktır:
Şimdi $C$'yi bulalım: $M$ noktasının koordinatlarını yerine koyalım:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
$C$'ı ifade ediyoruz:
Son ifadeyi göstermeye devam ediyor:
Trigonometrik problemleri çözme
Gibi son akor Az önce tartıştıklarımıza ek olarak iki konuyu daha ele almayı öneriyorum. karmaşık görevler trigonometri içeren. Bunlarda da aynı şekilde, tüm fonksiyonlar için antiderivatifler bulmanız ve ardından bu kümeden koordinat düzleminde $M$ noktasından geçen tek fonksiyonu seçmeniz gerekecektir.
İleriye baktığımızda, şimdi antiderivatiflerini bulmak için kullanacağımız tekniğin şuna dikkat çekmek isterim: trigonometrik fonksiyonlar aslında kendi kendini test etmek için evrensel bir tekniktir.
Görev No.1
Aşağıdaki formülü hatırlayalım:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Buna dayanarak şunları yazabiliriz:
$M$ noktasının koordinatlarını ifademizde yerine koyalım:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )(\text(4))+C\]
Bu gerçeği dikkate alarak ifadeyi yeniden yazalım:
Sorun No. 2
Bu biraz daha zor olacak. Şimdi nedenini göreceksiniz.
Bu formülü hatırlayalım:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
"Eksi" den kurtulmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
İşte tasarımımız
$M$ noktasının koordinatlarını yerine koyalım:
Toplamda son yapıyı yazıyoruz:
Bugün sana anlatmak istediğim tek şey buydu. Antiderivatifler teriminin kendisini, bunların nasıl sayılacağını inceledik. temel işlevler koordinat düzleminde belirli bir noktadan geçen bir ters türevin nasıl bulunacağının yanı sıra.
Umarım bu ders bunu anlamanıza en azından biraz yardımcı olacaktır. karmaşık konu. Her durumda, belirsiz ve belirsiz integraller antitürevler üzerine inşa edilmiştir, bu nedenle bunları hesaplamak kesinlikle gereklidir. Benim için hepsi bu. Tekrar görüşürüz!
İntegral kavramının ortaya çıkışı, bir fonksiyonun türevinden antitürevini bulmanın yanı sıra iş miktarını, alanı belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu. karmaşık figürler, doğrusal olmayan formüllerle açıklanan eğrilerle özetlenen parametrelerle kat edilen mesafe.
ve bu iş, kuvvet ve mesafenin çarpımına eşittir. Tüm hareketler gerçekleşirse sabit hız veya aynı kuvvetin uygulanmasıyla mesafe aşılırsa, o zaman her şey açıktır, sadece bunları çarpmanız gerekir. Bir sabitin integrali nedir? y=kx+c formundadır.
Ancak güç, çalışma boyunca ve bir tür doğal bağımlılıkla değişebilir. Hızın sabit olmaması durumunda kat edilen mesafenin hesaplanmasında da aynı durum ortaya çıkar.
Dolayısıyla integrale neden ihtiyaç duyulduğu açıktır. Bunu, bir fonksiyonun değerlerinin, bağımsız değişkenin sonsuz küçük bir artışıyla çarpımlarının toplamı olarak tanımlamak, tamamen açıklar. ana anlam bu kavram, üstte fonksiyonun çizgisiyle ve kenarlarda tanımın sınırlarıyla sınırlanan bir şeklin alanıdır.
Fransız matematikçi Jean Gaston Darboux, 19. yüzyılın ikinci yarısında integralin ne olduğunu çok net bir şekilde açıkladı. O kadar net ifade etti ki genel olarak bir okul çocuğunun bile bu konuyu anlaması zor olmayacaktı. genç sınıfları lise.
Diyelim ki herhangi bir fonksiyonun var karmaşık şekil. Argümanın değerlerinin çizildiği koordinat ekseni küçük aralıklara bölünmüştür, ideal olarak bunlar sonsuz küçüktür, ancak sonsuzluk kavramı oldukça soyut olduğundan, basitçe hayal etmek yeterlidir. küçük segmentler değeri genellikle belirtilir Yunan mektubuΔ (delta).
Fonksiyonun küçük tuğlalara "doğranmış" olduğu ortaya çıktı.
Her argüman değeri, ilgili fonksiyon değerlerinin çizildiği ordinat eksenindeki bir noktaya karşılık gelir. Ancak seçilen alanın iki sınırı olduğundan büyük ve küçük olmak üzere iki fonksiyon değeri de olacaktır.
Δ artışına göre daha büyük değerlerin çarpımlarının toplamına denir büyük miktar Darboux ve S olarak gösterilir. Buna göre sınırlı bir alandaki daha küçük değerlerin Δ ile çarpılması hep birlikte küçük bir Darboux toplamı s oluşturur. Sitenin kendisi benziyor dikdörtgen yamuk, çünkü fonksiyon çizgisinin sonsuz küçük bir artışla eğriliği ihmal edilebilir. Alanı bulmanın en kolay yolu şu şekildedir geometrik şekil- bu, daha büyük ve daha küçük fonksiyon değerlerinin çarpımlarını Δ artışıyla eklemek ve ikiye bölmek, yani bunu aritmetik ortalama olarak tanımlamaktır.
Darboux integrali budur:
s=Σf(x) Δ - küçük miktar;
S= Σf(x+Δ)Δ büyük bir miktardır.
Peki integral nedir? Fonksiyon çizgisi ve tanımın sınırları ile sınırlanan alan şuna eşit olacaktır:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Yani, büyük ve küçük Darboux toplamlarının aritmetik ortalaması, farklılaşma sırasında sıfırlanan sabit bir değerdir.
Bu kavramın geometrik ifadesine dayanarak şunu söyleyebiliriz: fiziksel anlam integral. Hız fonksiyonuyla özetlenen ve x ekseni boyunca zaman aralığıyla sınırlanan mesafe, kat edilen mesafenin uzunluğu olacaktır.
t1 ila t2 aralığında L = ∫f(x)dx,
f(x) hızın bir fonksiyonudur, yani zamanla değiştiği formüldür;
L - yol uzunluğu;
t1 - yolculuğun başlangıç zamanı;
t2 yolculuğun bitiş zamanıdır.
İş miktarını belirlemek için tam olarak aynı prensip kullanılır; sadece apsis boyunca mesafe çizilir ve her belirli noktaya uygulanan kuvvet miktarı ordinat boyunca çizilir.
Bir noktanın düz bir çizgi boyunca hareketini düşünelim. Zaman almasına izin ver T hareketin başlangıcından itibaren nokta belli bir mesafe kat etmiştir s(t). Daha sonra anlık hız v(t) fonksiyonun türevine eşit s(t), yani v(t) = s"(t).
Pratikte ortaya çıkıyor ters problem: belirli bir nokta hareketi hızında v(t) gittiği yolu bul s(t) yani böyle bir işlev bulun s(t), türevi şuna eşit olan v(t). İşlev s(t),Öyle ki s"(t) = v(t), fonksiyonun ters türevi olarak adlandırılır v(t).
Örneğin, eğer v(t) = аt, Nerede A– verilen numara, ardından fonksiyon
s(t) = (аt2) / 2v(t),Çünkü
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).
İşlev F(x) fonksiyonun ters türevi denir f(x) bir süreliğine, eğer hepsi içinse X bu boşluktan F"(x) = f(x).
Örneğin, fonksiyon F(x) = günah x fonksiyonun ters türevidir f(x) = çünkü x,Çünkü (sin x)" = çünkü x; işlev F(x) = x 4/4 fonksiyonun ters türevidir f(x) = x 3, Çünkü (x 4/4)" = x 3.
Sorunu ele alalım.
Görev.
x 3/3, x 3/3 + 1, x 3/3 – 4 fonksiyonlarının aynı f(x) = x 2 fonksiyonunun ters türevleri olduğunu kanıtlayın.
Çözüm.
1) F 1 (x) = x 3/3 olsun, o zaman F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x) olsun.
2) F 2 (x) = x 3/3 + 1, F" 2 (x) = (x 3/3 + 1)" = (x 3/3)" + (1)" = x 2 = f( X).
3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).
Genel olarak, C'nin bir sabit olduğu herhangi bir x 3/3 + C fonksiyonu, x 2 fonksiyonunun bir ters türevidir. Bu, sabitin türevinin sıfır olmasından kaynaklanmaktadır. Bu örnek şunu gösteriyor: verilen fonksiyon antiderivatifi belirsiz bir şekilde belirlenir.
F 1 (x) ve F 2 (x) aynı f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun.
O halde F 1 "(x) = f(x) ve F" 2 (x) = f(x).
Farklarının türevi g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) sıfıra eşittir, çünkü g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f(x) = 0.
Belirli bir aralıkta g"(x) = 0 ise y = g(x) fonksiyonunun grafiğine bu aralığın her noktasındaki teğeti Ox eksenine paraleldir. Dolayısıyla y = fonksiyonunun grafiği g(x) Ox eksenine paralel düz bir çizgidir, yani g(x) = C, burada C bir miktar sabittir g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) bundan F 1 (x) = F 2 (x) + S sonucu çıkar.
Dolayısıyla, eğer F(x) fonksiyonu f(x) fonksiyonunun belirli bir aralıktaki ters türevi ise, o zaman tüm ters türev fonksiyonları f(x) F(x) + C biçiminde yazılır; burada C isteğe bağlı bir sabittir. .
Belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin grafiklerini ele alalım. Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri ise, o zaman bu fonksiyonun herhangi bir ters türevi, F(x)'e bir sabitin eklenmesiyle elde edilir: F(x) + C. y = F( fonksiyonlarının grafikleri x) + C, Oy ekseni boyunca kaydırılarak y = F(x) grafiğinden elde edilir. C'yi seçerek antiderivatifin grafiğinin belirli bir noktadan geçmesini sağlayabilirsiniz.
Antiderivatif bulma kurallarına dikkat edelim.
Belirli bir fonksiyonun türevini bulma işlemine ne ad verildiğini hatırlayın. farklılaşma. Verilen bir fonksiyonun terstürevini bulma işlemine ters işlem denir. entegrasyon(itibaren Latince kelime "eski haline getirmek").
Antitürev tablosu bazı işlevler için bir türev tablosu kullanılarak derlenebilir. Mesela bunu bilmek (çünkü x)" = -sin x, aldık (-cos x)" = sin x, buradan tüm antiderivatif fonksiyonların olduğu sonucu çıkar günah xşeklinde yazılır -çünkü x + C, Nerede İLE- devamlı.
Antiderivatiflerin bazı anlamlarına bakalım.
1) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.
2) İşlev: 1/x, x > 0. Terstürev: x + C'de.
3) İşlev: x p, p ≠ -1. Terstürev: (x p+1) / (p+1) + C.
4) İşlev: eski. Terstürev: e x + C.
5) İşlev: günah x. Terstürev: -çünkü x + C.
6) İşlev: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Terstürev: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) İşlev: 1/(kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) ln (kx + b)+ C.
8) İşlev: e kx + b, k ≠ 0. Terstürev: (1/k) e kx + b + C.
9) İşlev: günah (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (-1/k) çünkü (kx + b).
10)
İşlev: cos (kx + b), k ≠ 0. Terstürev: (1/k) sin (kx + b). 
Entegrasyon kuralları kullanılarak elde edilebilir farklılaşma kuralları. Bazı kurallara bakalım.
İzin vermek F(x) Ve G(x)– sırasıyla fonksiyonların antiderivatifleri f(x) Ve g(x) belli bir aralıkta. Daha sonra:
1) işlev F(x) ± G(x) fonksiyonun ters türevidir f(x) ± g(x);
2) işlev AF(x) fonksiyonun ters türevidir af(x).
web sitesi, materyalin tamamı veya bir kısmı kopyalanırken orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Alanın hesaplanması alan teorisinin temelini oluşturur. Şekil görüldüğünde konumuyla ilgili soru ortaya çıkıyor. düzensiz şekil veya bir integral üzerinden hesaplamaya başvurmak gerekir.
Bu makale alanın hesaplanmasından bahsediyor kavisli yamuk geometrik anlamda. Bu, integral ile eğrisel bir yamuğun alanı arasındaki ilişkiyi tanımlamayı mümkün kılar. Eğer bir f(x) fonksiyonu veriliyorsa ve bu fonksiyon [ a ; b ] , ifadenin önündeki işaret değişmez.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1
y = f(x), y = 0, x = a ve x = b formundaki çizgilerle sınırlanan ve G olarak gösterilen şekle denir. kavisli yamuk. S(G) ismini alır.
Aşağıdaki şekle bakalım.
Kavisli bir yamuğu hesaplamak için [a; b ] x i - 1 parça sayısı için ; x ben, ben = 1, 2, . . . , n, a = x 0'da tanımlanan noktalarla< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и üst parçalar Darboux'un gelen P ve giden Q olduğu kabul edilir çokgen şekiller G. için Aşağıdaki şekli düşünün.
Buradan P ⊂ G ⊂ Q elde ederiz ve n bölümleme noktalarının sayısındaki artışla S - s formunda bir eşitsizlik elde ederiz.< ε , где ε является малым pozitif sayı, s ve S, [a; B ] . Aksi takdirde lim λ → 0 S - s = 0 olarak yazılacaktır. Bu, kavrama atıfta bulunurken anlamına gelir belirli integral Darboux, lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x olduğunu elde ederiz.
Son eşitlikten, ∫ a b f (x) d x formunun belirli bir integralinin, belirli bir eğrisel yamuğun alanı olduğunu elde ederiz. sürekli fonksiyon y = f(x) formundadır. işte bu geometrik anlamı belirli integral.
∫ a b f (x) d x'i hesaplarken, y = f (x), y = 0, x = a ve x = b çizgileriyle sınırlanan istenen şeklin alanını elde ederiz.
Yorum: y = f(x) fonksiyonu [ a ; b ], o zaman eğrisel bir yamuğun alanının S (G) = - ∫ a b f (x) d x formülüne göre hesaplandığını görüyoruz.
Örnek 1
Şeklin, y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3 formundaki verilen çizgilerle sınırlanan alanını hesaplayın.
Çözüm
Çözmek için öncelikle O x ile çakışan y = 0 çizgisinin bulunduğu, x = - 2 ve x = 3 formundaki doğruların olduğu bir düzlem üzerinde bir şekil oluşturmak gerekir, eksene paralel o y, burada y = 2 e x 3 eğrisi şu şekilde oluşturulur: geometrik dönüşümler y = e x fonksiyonunun grafiği. Bir grafik oluşturalım.
Bu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanın gerekli olduğunu gösterir. İntegralin geometrik anlamını hatırlayarak, istenen alanın çözülmesi gereken belirli bir integralle ifade edileceğini görüyoruz. Bu, S (G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x formülünü uygulamanın gerekli olduğu anlamına gelir. Bu belirsiz integral Newton-Leibniz formülüne göre hesaplanır
S (G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3
Cevap: S (G) = 6 e - e - 2 3
Yorum: Kavisli bir yamuğun alanını bulmak için bir şekil oluşturmak her zaman mümkün değildir. Daha sonra çözüm şu şekilde gerçekleştirilir. [ a ; aralığında negatif veya pozitif olmayan bilinen bir f(x) fonksiyonu verildiğinde; b ] , S G = ∫ a b f (x) d x veya S G = - ∫ a b f (x) d x biçiminde bir formül kullanılır.
Örnek 2
y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4 formundaki çizgilerin sınırladığı alanı hesaplayın.
Çözüm
Bu şekli oluşturmak için y = 0'ın O x ile çakıştığını ve x = - 2 ile x = 4'ün O y'ye paralel olduğunu buluyoruz. y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 fonksiyonunun grafiği, (- 1 ; 3) noktasının koordinatları köşesi olan ve dalları işaret eden bir paraboldür yukarı doğru. Parabolün Ox ile kesişme noktalarını bulmak için şunları hesaplamanız gerekir:
1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4
Bu, parabolün oh'yu (4; 0) ve (2; 0) noktalarında kestiği anlamına gelir. Buradan G olarak gösterilen şeklin aşağıdaki şekilde gösterilen şekli alacağını anlıyoruz.
Bu şekil eğrisel bir yamuk değildir, çünkü y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) formundaki bir fonksiyon [ - 2 ; 4]. G şekli, iki eğrisel yamuk G = G 1 ∪ G 2'nin birleşimi olarak temsil edilebilir, alan katkısı özelliğine dayanarak, S (G) = S (G 1) + S (G 2) elde ederiz. Aşağıdaki grafiği düşünün.
Segment [-2; 4 ] parabolün negatif olmayan bir alanı olarak kabul edilir, bundan sonra alanın S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x şeklinde olacağını elde ederiz. Segment [-2; 2 ], y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) formundaki bir fonksiyon için pozitif değildir; bu, belirli integralin geometrik anlamına dayanarak S (G 1) = - ∫ sonucunu elde ettiğimiz anlamına gelir. - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) dx . Newton-Leibniz formülünü kullanarak hesaplamalar yapmak gerekir. O zaman belirli integral şu şekli alacaktır:
S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9
S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 ilkesine göre alanı bulmanın doğru olmadığını belirtmekte fayda var. 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4
Ortaya çıkan sayı negatif olduğundan S (G 2) - S (G 1) farkını temsil eder.
Cevap: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9
Rakamlar y = c, y = d, x = 0 ve x = g (y) formundaki çizgilerle sınırlıysa ve fonksiyon x = g (y)'ye eşitse ve sürekliyse ve sabit bir işarete sahipse aralıkta [ c; d ], o zaman bunlara eğrisel tarpezyumlar denir. Aşağıdaki şekilde düşünün.
∫ c d g (y) d y, değerinin, [ c ; D] .
Örnek 3
Ordinat ekseni ve x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4 çizgileriyle sınırlanan şekli hesaplayın.
Çözüm
x = 4 ln y y + 3 grafiğini çizmek kolay değildir. Bu nedenle çizim yapmadan çözmek gerekir. Fonksiyonun herkes için tanımlandığını hatırlayın pozitif değerler y. [ 1 ; aralığında mevcut olan fonksiyon değerlerini ele alalım; 4]. Temel fonksiyonların özelliklerinden şunu biliyoruz: logaritmik fonksiyon tanımın tüm alanı boyunca artar. O halde [ 1 ; 4 ] negatif değildir. Bu, ln y ≥ 0 anlamına gelir. Aynı segmentte tanımlanan mevcut ln y y ifadesi negatif değildir. x = 4 ln y y + 3 fonksiyonunun [ 1 ; 4]. Bu aralıktaki rakamın pozitif olduğunu görüyoruz. Daha sonra alanı S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y formülü kullanılarak hesaplanmalıdır.
Bir hesaplama yapılması gerekiyor belirsiz integral. Bunu yapmak için bulmanız gerekir fonksiyonun antiderivatifi x = 4 ln y y + 3 ve Newton-Leibniz formülünü uygulayın. bunu anladık
∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9
Aşağıdaki çizimi düşünün.
Cevap: S (G) = 8 ln 2 2 + 9
Sonuçlar
Bu makalede belirli bir integralin geometrik anlamını belirledik ve eğrisel bir yamuğun alanıyla ilişkisini inceledik. Bu, kavisli bir yamuğun integralini hesaplayarak karmaşık şekillerin alanını hesaplama fırsatına sahip olduğumuz anlamına gelir. Alanların ve şekillerin bulunması bölümünde sınırlı çizgiler y = f(x), x = g(y), bu örnekler detaylı olarak tartışılmaktadır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.