Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve modeller. Diferansiyel hesap yöntemi

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI

FEDERAL EĞİTİM AJANSI

Yüksek mesleki eğitimin devlet eğitim kurumu

RUSYA DEVLET TİCARET VE EKONOMİ ÜNİVERSİTESİ

TULA ŞUBESİ

(TF GOU VPO RGTEU)

Konuyla ilgili matematikte özet:

"Ekonomik ve matematiksel modeller"

Tamamlanmış:

2. sınıf öğrencileri

"Finans ve Kredi"

gün departmanı

Maksimova Kristina

Vitka Natalya

Kontrol:

Teknik Bilimler Doktoru,

Profesör S.V. Yudin________________

giriiş

1.Ekonomik ve matematiksel modelleme

1.1 Temel kavramlar ve model türleri. Sınıflandırmaları

1.2 Ekonomik ve matematiksel yöntemler

Ekonomik ve matematiksel modellerin geliştirilmesi ve uygulanması

2.1 Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları

2.2 Stokastik modellerin ekonomide uygulanması

Çözüm

Kaynakça

giriiş

Alaka düzeyi.Bilimsel araştırmalarda modelleme eski zamanlarda kullanılmaya başlandı ve yavaş yavaş bilimsel bilginin yeni alanlarını ele geçirdi: teknik tasarım, inşaat ve mimarlık, astronomi, fizik, kimya, biyoloji ve son olarak sosyal bilimler. 20. yüzyılın modelleme yöntemi, modern bilimin hemen hemen tüm dallarında büyük başarı ve tanınırlık getirdi. Ancak modelleme metodolojisi uzun süredir bireysel bilimler tarafından bağımsız olarak geliştirilmektedir. Birleşik bir kavram sistemi, birleşik bir terminoloji yoktu. Modellemenin evrensel bir bilimsel bilgi yöntemi olarak rolü ancak yavaş yavaş anlaşılmaya başlandı.

"Model" terimi, insan faaliyetinin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır ve birçok anlamsal anlama sahiptir. Sadece bilgi edinme aracı olan bu tür “modelleri” ele alalım.

Model, araştırma sürecinde orijinal nesnenin yerini alan, böylece doğrudan incelenmesi orijinal nesne hakkında yeni bilgiler sağlayan maddi veya zihinsel olarak hayal edilen bir nesnedir.

Modelleme, model oluşturma, çalışma ve uygulama sürecini ifade eder. Soyutlama, analoji, hipotez vb. kategorilerle yakından ilişkilidir. Modelleme süreci zorunlu olarak soyutlamaların inşasını, analoji yoluyla çıkarımları ve bilimsel hipotezlerin inşasını içerir.

Ekonomik ve matematiksel modelleme, ekonomi alanındaki herhangi bir araştırmanın ayrılmaz bir parçasıdır. Matematiksel analizin, yöneylem araştırmasının, olasılık teorisinin ve matematiksel istatistiklerin hızlı gelişimi, çeşitli ekonomik modellerin oluşumuna katkıda bulunmuştur.

Ekonomik sistemlerin matematiksel modellemesinin amacı, kural olarak modern bilgisayar teknolojisini kullanarak ekonomi alanında ortaya çıkan sorunları en etkili şekilde çözmek için matematiksel yöntemleri kullanmaktır.

Bu alanda modelleme yöntemlerinin kullanılmasının etkinliğinden neden bahsedebiliriz? İlk olarak, çeşitli seviyelerdeki ekonomik nesneler (basit bir işletme seviyesinden başlayıp makro seviyeye kadar - ulusal ekonomi ve hatta dünya ekonomisi) sistem yaklaşımı perspektifinden ele alınabilir. İkincisi, ekonomik sistemlerin davranışının bu gibi özellikleri:

-değişkenlik (dinamizm);

-tutarsız davranış;

-performansın bozulma eğilimi;

-çevresel maruz kalma

Araştırmaları için yöntem seçimini önceden belirler.

Matematiğin ekonomiye nüfuz etmesi önemli zorlukların aşılmasını gerektirir. Birkaç yüzyıl boyunca temel olarak fizik ve teknolojinin ihtiyaçlarıyla bağlantılı olarak gelişen matematik, bunun kısmen sorumlusuydu. Ancak asıl nedenler hala ekonomik süreçlerin doğasında, ekonomi biliminin özelliklerinde yatmaktadır.

Ekonominin karmaşıklığı bazen onu modellemenin ve matematik kullanarak çalışmanın imkansızlığının bir gerekçesi olarak görülüyordu. Ancak bu bakış açısı temelde yanlıştır. Her türden ve her karmaşıklıktaki bir nesneyi modelleyebilirsiniz. Ve modelleme açısından en çok ilgi çeken şey kesinlikle karmaşık nesnelerdir; Modellemenin diğer araştırma yöntemleriyle elde edilemeyecek sonuçları sağlayabileceği yer burasıdır.

Bu çalışmanın amacı- Ekonomik ve matematiksel modeller kavramını ortaya çıkarmak ve bunların sınıflandırılmasını ve dayandıkları yöntemleri incelemek ve bunların ekonomideki uygulamalarını değerlendirmek.

Bu çalışmanın amaçları:ekonomik ve matematiksel modeller hakkındaki bilgilerin sistemleştirilmesi, biriktirilmesi ve pekiştirilmesi.

1.Ekonomik ve matematiksel modelleme

1.1 Temel kavramlar ve model türleri. Sınıflandırmaları

Bir nesneyi araştırma sürecinde, bu nesneyle doğrudan ilgilenmek çoğu zaman pratik değildir, hatta imkansızdır. Bu çalışmada önemli olan yönlerden, buna benzer başka bir nesne ile değiştirilmesi daha uygun olabilir. Genel olarak modeligerçekliğin daha derinlemesine incelenmesi için yaratılan gerçek bir nesnenin (süreçlerin) geleneksel bir görüntüsü olarak tanımlanabilir. Modellerin geliştirilmesine ve kullanımına dayalı bir araştırma yöntemine denir. modelleme. Modelleme ihtiyacı, gerçek bir nesnenin (süreçlerin) doğrudan incelenmesinin karmaşıklığından ve bazen imkansızlığından kaynaklanmaktadır. Gerçek nesnelerin (süreçlerin) prototiplerini oluşturmak ve incelemek çok daha erişilebilirdir; modeller. Bir şey hakkındaki teorik bilginin kural olarak farklı modellerin birleşimi olduğunu söyleyebiliriz. Bu modeller gerçek bir nesnenin (süreçlerin) temel özelliklerini yansıtır, ancak gerçekte gerçeklik çok daha anlamlı ve daha zengindir.

Modeli- bu, bir çalışma nesnesini görüntüleyen veya yeniden üreten, çalışmasının bu nesne hakkında yeni bilgiler sağlayacak şekilde yerini alabilen, zihinsel olarak temsil edilen veya maddi olarak gerçekleştirilmiş bir sistemdir.

Bugüne kadar, modellerin genel kabul görmüş birleşik bir sınıflandırması yoktur. Ancak çeşitli modellerden sözel, grafik, fiziksel, ekonomik-matematiksel ve diğer bazı model türleri ayırt edilebilir.

Ekonomik ve matematiksel modeller- bunlar, açıklaması matematiksel araçların kullanıldığı ekonomik nesnelerin veya süreçlerin modelleridir. Yaratılış amaçları çeşitlidir: ekonomik teorinin belirli önkoşullarını ve hükümlerini analiz etmek, ekonomik kalıpların mantıksal olarak gerekçelendirilmesi, ampirik verilerin işlenmesi ve sisteme getirilmesi için oluşturulmuştur. Pratik açıdan ekonomik ve matematiksel modeller, toplumdaki ekonomik faaliyetlerin çeşitli yönlerini tahmin etmek, planlamak, yönetmek ve iyileştirmek için bir araç olarak kullanılır.

Ekonomik ve matematiksel modeller, bir denklem sistemi kullanarak gerçek bir nesnenin veya sürecin en temel özelliklerini yansıtır. Ekonomik ve matematiksel modellerin birleşik bir sınıflandırması yoktur, ancak bunların en önemli grupları sınıflandırma özelliğine bağlı olarak belirlenebilir.

Amaca göremodeller ikiye ayrılır:

· Teorik-analitik (ekonomik süreçlerin genel özellikleri ve kalıplarının incelenmesinde kullanılır);

· Uygulamalı (ekonomik analiz, tahmin, yönetim sorunları gibi belirli ekonomik sorunların çözümünde kullanılır).

Zaman faktörünü dikkate alarakmodeller ikiye ayrılır:

· Dinamik (gelişmekte olan bir ekonomik sistemi tanımlayın);

· İstatistiksel (bir ekonomik sistem istatistiklerde zamanın belirli bir noktasına göre tanımlanır; dinamik bir sistemin zamanın bir noktasındaki anlık görüntüsü, kesiti, parçası gibidir).

İncelenen dönemin süresine göremodeller ayırt edilir:

· Kısa vadeli tahmin veya planlama (bir yıla kadar);

· Orta vadeli tahmin veya planlama (5 yıla kadar);

· Uzun vadeli tahmin veya planlama (5 yıldan fazla).

Yaratılış ve kullanım amacına göremodeller ayırt edilir:

· Bilanço;

· Ekonometrik;

· Optimizasyon;

· Ağ;

· Kuyruk sistemleri;

· Taklit (uzman).

İÇİNDE bilançoModeller, kaynakların kullanılabilirliği ile kullanımlarının eşleştirilmesi gerekliliğini yansıtır.

Optimizasyonmodeller, çeşitli olası (alternatif) seçenekler arasından üretim, dağıtım veya tüketim için en iyi seçeneği bulmanızı sağlar. Hedefe ulaşmak için sınırlı kaynaklar mümkün olan en iyi şekilde kullanılacaktır.

AğModeller en çok proje yönetiminde kullanılmaktadır. Ağ modeli bir dizi işi (operasyonları) ve olayları ve bunların zaman içindeki ilişkilerini görüntüler. Tipik olarak ağ modeli, işi projenin tamamlanma süresi minimum düzeyde olacak şekilde gerçekleştirmek üzere tasarlanmıştır. Bu durumda görev kritik yolu bulmaktır. Bununla birlikte, zaman kriterine değil, örneğin iş maliyetini en aza indirmeye odaklanan ağ modelleri de vardır.

Modeller kuyruk sistemleriKuyruklarda harcanan süreyi ve hizmet kanallarının aksama sürelerini en aza indirmek için yaratılmıştır.

TaklitModel, makine kararlarının yanı sıra kararların bir insan (uzman) tarafından verildiği blokları içerir. Karar alma sürecine doğrudan insan katılımı yerine bir bilgi tabanı harekete geçebilir. Bu durumda kişisel bilgisayar, özel yazılım, veri tabanı ve bilgi tabanı bir uzman sistem oluşturur. Uzmansistem, belirli bir alanda uzman olan bir kişinin eylemlerini simüle ederek bir veya birkaç sorunu çözmek için tasarlanmıştır.

Belirsizlik faktörünün dikkate alınmasımodeller ikiye ayrılır:

· Deterministik (benzersiz olarak tanımlanmış sonuçlarla);

· Stokastik (olasılıksal; farklı, olasılıksal sonuçlarla).

Matematiksel aparat türüne göremodeller ayırt edilir:

· Doğrusal programlama (en uygun plan, kısıtlama sisteminin değişkenlerindeki değişiklik aralığının en uç noktasında elde edilir);

· Doğrusal olmayan programlama (amaç fonksiyonunun birkaç optimal değeri olabilir);

· Korelasyon-regresyon;

· Matris;

· Ağ;

· Oyun teorileri;

· Kuyruk teorileri vb.

Ekonomik ve matematiksel araştırmaların gelişmesiyle birlikte kullanılan modellerin sınıflandırılması sorunu daha karmaşık hale geliyor. Yeni model türlerinin ve sınıflandırmalarının yeni özelliklerinin ortaya çıkmasıyla birlikte, farklı türdeki modellerin daha karmaşık model yapılarına entegre edilmesi süreci devam etmektedir.

matematiksel stokastik modelleme

1.2 Ekonomik ve matematiksel yöntemler

Herhangi bir modelleme gibi, ekonomik-matematiksel modelleme de analoji ilkesine dayanmaktadır; bir nesneyi, ona benzer, ancak daha basit ve daha erişilebilir bir nesne olan modelinin inşası ve dikkate alınması yoluyla inceleme olasılığı.

Ekonomik ve matematiksel modellemenin pratik görevleri, öncelikle ekonomik nesnelerin analizi, ikincisi ekonomik tahmin, ekonomik süreçlerin gelişimini ve bireysel göstergelerin davranışını öngörmek ve üçüncüsü, yönetimin her düzeyinde yönetim kararlarının geliştirilmesidir.

Ekonomik-matematiksel modellemenin özü, sosyo-ekonomik sistem ve süreçleri, ekonomik-matematiksel modelleme sürecinin bir ürünü olarak anlaşılması gereken ekonomik-matematiksel modeller ve bir araç olarak ekonomik-matematiksel yöntemler şeklinde tanımlamaktır.

Ekonomik ve matematiksel yöntemlerin sınıflandırılması konularını ele alalım. Bu yöntemler ekonomi, matematik ve sibernetiğin bir karışımı olan ekonomik ve matematiksel disiplinlerin bir kompleksini temsil eder. Dolayısıyla ekonomik ve matematiksel yöntemlerin sınıflandırılması, onları oluşturan bilimsel disiplinlerin sınıflandırılmasına indirgenmektedir.

Belli bir konvansiyonla bu yöntemlerin sınıflandırılması aşağıdaki gibi sunulabilir.

· Ekonomik sibernetik: ekonominin sistem analizi, ekonomik bilgi teorisi ve kontrol sistemleri teorisi.

· Matematiksel istatistik: bu disiplinin ekonomik uygulamaları - örnekleme yöntemi, varyans analizi, korelasyon analizi, regresyon analizi, çok değişkenli istatistiksel analiz, indeks teorisi vb.

· Aynı konuları niceliksel açıdan inceleyen matematiksel ekonomi ve ekonometri: ekonomik büyüme teorisi, üretim fonksiyonları teorisi, girdi dengeleri, ulusal hesaplar, talep ve tüketim analizi, bölgesel ve mekansal analiz, küresel modelleme.

· Ekonomide yöneylem araştırması da dahil olmak üzere optimal kararlar alma yöntemleri. Bu, aşağıdaki disiplinleri ve yöntemleri içeren en hacimli bölümdür: optimal (matematiksel) programlama, ağ planlama ve yönetim yöntemleri, envanter yönetimi teorisi ve yöntemleri, kuyruk teorisi, oyun teorisi, teori ve karar verme yöntemleri.

Optimal programlama ise doğrusal ve doğrusal olmayan programlamayı, dinamik programlamayı, ayrık (tamsayılı) programlamayı, stokastik programlamayı vb. içerir.

· Hem merkezi planlı ekonomiye hem de piyasa (rekabetçi) ekonomisine ayrı ayrı özgü yöntem ve disiplinler. Birincisi, ekonominin işleyişinin optimal fiyatlandırılması teorisini, optimal planlamayı, optimal fiyatlandırma teorisini, malzeme ve teknik tedarik modellerini vb. içerir. İkincisi, serbest rekabet modellerini, rekabet modellerini geliştirmemize izin veren yöntemleri içerir. Kapitalist döngü, tekel modelleri, firma teorisi modelleri vb. Merkezi planlı bir ekonomi için geliştirilen yöntemlerin birçoğu, piyasa ekonomisinde ekonomik ve matematiksel modellemede de faydalı olabilir.

· Ekonomik olayların deneysel çalışma yöntemleri. Bunlar genellikle ekonomik deneylerin matematiksel analiz ve planlama yöntemlerini, makine taklidi yöntemlerini (simülasyon modelleme) ve iş oyunlarını içerir. Bu aynı zamanda doğrudan ölçülemeyen olguları değerlendirmek için geliştirilen uzman değerlendirme yöntemlerini de içerir.

Ekonomik-matematiksel yöntemler matematiğin çeşitli dallarını, matematiksel istatistikleri ve matematiksel mantığı kullanır. Hesaplamalı matematik, algoritma teorisi ve diğer disiplinler ekonomik ve matematiksel problemlerin çözümünde önemli bir rol oynamaktadır. Matematiksel aparatların kullanılması, genişletilmiş üretim süreçlerinin analizi, sermaye yatırımlarının optimal büyüme oranının belirlenmesi, üretimin optimal yerleşimi, uzmanlaşması ve yoğunlaşması, optimal üretim yöntemlerinin seçilmesi sorunları, üretime başlamanın optimal sırasını belirleme problemlerinin çözümünde somut sonuçlar getirmiştir. üretim, ağ planlama yöntemlerini kullanarak üretim hazırlama sorunları ve diğerleri.

Standart problemleri çözmek, amacın netliği, hesaplamaları önceden yapmak için prosedür ve kurallar geliştirme yeteneği ile karakterize edilir.

Ekonomik ve matematiksel modelleme yöntemlerini kullanmak için aşağıdaki önkoşullar vardır; bunların en önemlileri, ekonomik teori, ekonomik süreçler ve olaylar hakkında yüksek düzeyde bilgi, bunların niteliksel analiz metodolojisi ve yüksek düzeyde matematik eğitimidir. ve ekonomik ve matematiksel yöntemlere hakimiyet.

Model geliştirmeye başlamadan önce, durumu dikkatli bir şekilde analiz etmek, hedefleri ve ilişkileri, çözülmesi gereken sorunları ve bunları çözmek için ilk verileri belirlemek, bir gösterim sistemini sürdürmek ve ancak bundan sonra durumu matematiksel ilişkiler biçiminde tanımlamak gerekir. .

2. Ekonomik ve matematiksel modellerin geliştirilmesi ve uygulanması

2.1 Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları

Ekonomik ve matematiksel modelleme süreci, ekonomik ve sosyal sistem ve süreçlerin ekonomik ve matematiksel modeller biçiminde tanımlanmasıdır. Bu tür modelleme, hem modelleme nesnesi hem de kullanılan aparat ve modelleme araçlarıyla ilişkili bir dizi önemli özelliğe sahiptir. Bu nedenle, aşağıdaki altı aşamayı vurgulayarak ekonomik ve matematiksel modelleme aşamalarının sırasını ve içeriğini daha ayrıntılı olarak analiz etmeniz önerilir:

.Ekonomik problemin beyanı ve niteliksel analizi;

2.Matematiksel bir modelin oluşturulması;

.Modelin matematiksel analizi;

.Arka plan bilgilerinin hazırlanması;

.Sayısal çözüm;

.

Her aşamaya daha ayrıntılı olarak bakalım.

1.Ekonomik sorunun beyanı ve niteliksel analizi. Burada asıl önemli olan sorunun özünü, yapılan varsayımları ve cevaplanması gereken soruları açıkça formüle etmektir. Bu aşama, modellenen nesnenin en önemli özelliklerinin ve özelliklerinin belirlenmesini ve küçük olanlardan soyutlama yapılmasını; bir nesnenin yapısını ve onun öğelerini birbirine bağlayan temel bağımlılıkları incelemek; Nesnenin davranışını ve gelişimini açıklayan hipotezler formüle etmek (en azından ön hazırlık).

2.Matematiksel bir model oluşturmak. Bu, ekonomik bir problemi resmileştirme, onu belirli matematiksel bağımlılıklar ve ilişkiler (fonksiyonlar, denklemler, eşitsizlikler vb.) şeklinde ifade etme aşamasıdır. Genellikle, bir matematiksel modelin ana tasarımı (tipi) ilk önce belirlenir ve daha sonra bu tasarımın ayrıntıları (belirli bir değişken ve parametre listesi, bağlantı şekli) belirlenir. Böylece modelin inşası birkaç aşamaya bölünmüştür.

Bir modelin ne kadar çok olguyu hesaba katarsa ​​o kadar iyi "çalışacağına" ve daha iyi sonuçlar vereceğine inanmak yanlıştır. Rasgelelik faktörleri ve belirsizlik vb. dikkate alınarak kullanılan matematiksel bağımlılık biçimleri (doğrusal ve doğrusal olmayan) gibi modelin karmaşıklığının özellikleri hakkında da aynı şey söylenebilir.

Modelin aşırı karmaşıklığı ve hantallığı araştırma sürecini zorlaştırmaktadır. Yalnızca bilgi ve matematiksel desteğin gerçek yeteneklerini değil, aynı zamanda modelleme maliyetlerini ortaya çıkan etkiyle karşılaştırmak da dikkate alınmalıdır.

Matematiksel modellerin önemli özelliklerinden biri de farklı nitelikteki problemlerin çözümünde kullanılma potansiyelidir. Dolayısıyla yeni bir ekonomik sorunla karşı karşıya kalsak bile model “icat etmeye” çabalamaya gerek yok; Öncelikle bu sorunu çözmek için zaten bilinen modelleri uygulamaya çalışmanız gerekir.

.Modelin matematiksel analizi.Bu aşamanın amacı modelin genel özelliklerini netleştirmektir. Burada tamamen matematiksel araştırma yöntemleri kullanılmaktadır. En önemli nokta formüle edilen modelde çözümlerin varlığının ispatıdır. Matematik probleminin bir çözümü olmadığını kanıtlamak mümkünse, modelin orijinal versiyonu üzerinde daha sonra çalışma ihtiyacı ortadan kalkar ve ya ekonomik problemin formülasyonu ya da matematiksel formalizasyon yöntemleri ayarlanmalıdır. Modelin analitik çalışması sırasında örneğin çözümün benzersiz olup olmadığı, çözüme hangi değişkenlerin (bilinmeyen) dahil edilebileceği, aralarındaki ilişkilerin ne olacağı, hangi sınırlar dahilinde ve neye bağlı olacağı gibi sorular açıklığa kavuşturulur. Değiştikleri başlangıç ​​koşulları, değişimlerindeki eğilimler nelerdir, vb. d. Bir modelin ampirik (sayısal) bir modelle karşılaştırıldığında analitik olarak incelenmesi, elde edilen sonuçların modelin dış ve iç parametrelerinin çeşitli spesifik değerleri için geçerli kalması avantajına sahiptir.

4.İlk bilgilerin hazırlanması.Modelleme, bilgi sistemine katı talepler getirir. Aynı zamanda, bilgi edinmenin gerçek olasılıkları, pratik kullanıma yönelik modellerin seçimini sınırlamaktadır. Bu durumda, yalnızca bilginin (belirli bir zaman çerçevesi içinde) hazırlanmasının temel olasılığı değil, aynı zamanda ilgili bilgi dizilerinin hazırlanmasının maliyetleri de dikkate alınır.

Bu maliyetler ek bilgilerin kullanılmasının etkisini aşmamalıdır.

Bilgi hazırlama sürecinde olasılık teorisi yöntemleri, teorik ve matematiksel istatistikler yaygın olarak kullanılmaktadır. Sistem ekonomik ve matematiksel modellemede, bazı modellerde kullanılan ilk bilgiler, diğer modellerin işleyişinin sonucudur.

5.Sayısal çözüm.Bu aşama, problemin sayısal çözümü için algoritmaların geliştirilmesini, bilgisayar programlarının derlenmesini ve doğrudan hesaplamaları içerir. Bu aşamadaki zorluklar, öncelikle ekonomik sorunların büyük boyutundan ve önemli miktarda bilginin işlenmesi ihtiyacından kaynaklanmaktadır.

Sayısal yöntemlerle yürütülen araştırmalar, analitik araştırmanın sonuçlarını önemli ölçüde tamamlayabilir ve birçok model için bu, mümkün olan tek modeldir. Sayısal yöntemlerle çözülebilen ekonomik problemler sınıfı, analitik araştırmaya açık olan problemler sınıfından çok daha geniştir.

6.Sayısal sonuçların analizi ve uygulanması.Döngünün bu son aşamasında, modelleme sonuçlarının doğruluğu ve eksiksizliği ve ikincisinin pratik uygulanabilirlik derecesi hakkında soru ortaya çıkar.

Matematiksel doğrulama yöntemleri, hatalı model yapılarını tespit edebilir ve dolayısıyla potansiyel olarak doğru modellerin sınıfını daraltabilir. Model yoluyla elde edilen teorik sonuçların ve sayısal sonuçların gayri resmi analizi, bunların mevcut bilgi ve gerçeklik gerçekleriyle karşılaştırılması, aynı zamanda ekonomik problemin formülasyonunda, oluşturulan matematiksel modelde ve onun bilgi ve matematiksel desteğindeki eksikliklerin tespit edilmesini de mümkün kılar.

2.2 Stokastik modellerin ekonomide uygulanması

Bankacılık yönetiminin etkinliğinin temeli, kaynak potansiyelini oluşturan ve bir kredi kurumunun dinamik gelişimi için beklentileri belirleyen tüm unsurlar bağlamında işleyişin optimalliği, dengesi ve sürdürülebilirliği üzerinde sistematik kontroldür. Yöntemleri ve araçları, değişen ekonomik koşulları dikkate alacak şekilde modernizasyon gerektirir. Aynı zamanda, yeni bankacılık teknolojilerinin uygulanmasına yönelik mekanizmanın iyileştirilmesi ihtiyacı, bilimsel araştırmanın yapılabilirliğini de belirlemektedir.

Mevcut yöntemlerde kullanılan ticari bankaların entegre finansal istikrar katsayıları (IFS), çoğunlukla durumlarının dengesini karakterize eder, ancak bunların gelişme eğiliminin tam bir tanımını vermelerine izin vermez. Sonucun (CFU) önceden tam olarak dikkate alınamayan birçok rastgele nedene (endojen ve eksojen) bağlı olduğu dikkate alınmalıdır.

Bu bakımdan, bankaların durağan durumuna ilişkin bir çalışmanın olası sonuçlarını, aynı olasılık dağılımına sahip rastgele değişkenler olarak değerlendirmek, çalışmaların aynı metodoloji ve aynı yaklaşımla gerçekleştirilmesi nedeniyle haklıdır. Ayrıca bunlar karşılıklı olarak bağımsızdır, yani. her bir katsayının sonucu diğerlerinin değerlerine bağlı değildir.

Bir denemede rastgele değişkenin tek bir olası değer aldığını hesaba katarsak, olayların şu sonuca varırız: X1 , X2 , …, XNtam bir grup oluşturduğuna göre olasılıklarının toplamı 1'e eşit olacaktır: P1 +p2 +…+pN=1 .

Ayrık rassal değişken X- “A” bankasının finansal istikrar katsayısı, e- banka “B”, Z- belirli bir süre için “C” bankası. Bankaların gelişiminin sürdürülebilirliği konusunda çıkarımda bulunmaya zemin hazırlayacak bir sonuç elde etmek amacıyla değerlendirme 12 yıllık geriye dönük dönem esas alınarak yapılmıştır (Tablo 1).

tablo 1

Yılın seri numarası Banka “A” Banka “B” Banka “C”11,3141,2011,09820,8150,9050,81131,0430,9940,83941,2111,0051,01351,1101,0901,00961,0981,1541,01771,1121,1151,02981,3111,3 281.06591, 2451 ,1911,145101,5701,2041,296111,3001,1261,084121,1431,1511,028Min0,8150,9050,811Max1,5701,3281,296Step0,07550,04230,0485

Belirli bir bankanın her numunesi için değerler aşağıdakilere bölünmüştür: Naralıklar, minimum ve maksimum değerler tanımlanır. Optimum grup sayısını belirleme prosedürü Sturgess formülünün uygulanmasına dayanmaktadır:

N=1+3,322 * günlük N;

N=1+3,322 * ln12=9,525≈10,

Nerede N- grup sayısı;

N- nüfus sayısı.

h=(KFUmaksimum- KFUdk.) / 10.

Tablo 2

Ayrık rasgele değişkenler X, Y, Z'nin (finansal istikrar katsayıları) değer aralıklarının sınırları ve bu değerlerin belirlenen sınırlar dahilinde ortaya çıkma sıklığı

Aralık numarası Aralık sınırları Oluşma sıklığı (N )XYZXYZ10,815-0,8910,905-0,9470,811-0,86011220,891-0,9660,947-0,9900,860-0,90800030,966-1,0420,990-1,0320,908-0,95702041,042-1,1171,032-1,0740,957-1,00540051,117-1,1931,074-1,1171,005-1,05412561,193-1,2681,117-1,1591,054-1,10223371,268-1,3441,159-1,2011,102-1,15131181,344-1,4191,201-1,2431,151-1,19902091,419-1,4951,243-1,2861,199-1,248000101,495-1,5701,286-1,3281,248-1,296111

Bulunan aralık adımı temel alınarak, bulunan adımın minimum değere eklenmesiyle aralıkların sınırları hesaplandı. Ortaya çıkan değer, ilk aralığın sınırıdır (sol sınır LG'dir). İkinci değeri bulmak için (PG'nin sağ sınırı), adım yine bulunan ilk sınıra vb. eklenir. Son aralık sınırı maksimum değerle çakışır:

LG1 =KFUdk.;

PG1 =KFUdk.+h;

LG2 =PG1;

PG2 = LG2 +h;

PG10 =KFUmaksimum.

Finansal istikrar katsayılarının (ayrık rastgele değişkenler X, Y, Z) ortaya çıkma sıklığına ilişkin veriler aralıklarla gruplandırılır ve değerlerinin belirlenen sınırlar içinde kalma olasılığı belirlenir. Bu durumda sınırın sol değeri aralığa dahil edilir ancak sağ değeri dahil edilmez (Tablo 3).

Tablo 3

Ayrık rastgele değişkenlerin dağılımı X, Y, Z

GöstergeGösterge değerleriBanka “A”X0,8530,9291,0041,0791,1551,2311,3061,3821,4571,532P(X)0,083000,3330,0830,1670,250000,083Banka "B"Y0,9260,9691,0111,0531,0961,1381,1801,2221,2651,307P(Y)0,08300,16700,1670,2500,0830,16700,083Banka "C"Z0,8350,8840,9330,9811,0301,0781,1271,1751,2241,272P(Z)0,1670000,4170,2500,083000,083

Değerlerin ortaya çıkma sıklığına göre Nolasılıkları bulundu (popülasyondaki birim sayısına bağlı olarak meydana gelme sıklığı 12'ye bölündü) ve aralıkların orta noktaları ayrık rastgele değişkenlerin değerleri olarak kullanıldı. Dağıtım yasaları:

PBen= nBen /12;

XBen= (LGBen+PGBen)/2.

Dağıtıma dayanarak, her bankanın sürdürülemez kalkınma olasılığı değerlendirilebilir:

P(X<1) = P(X=0,853) = 0,083

P(Y<1) = P(Y=0,926) = 0,083

P(Z<1) = P(Z=0,835) = 0,167.

Yani 0,083 olasılıkla “A” bankası 0,853 finansal istikrar katsayı değerine ulaşabilir. Yani giderlerinin gelirini aşma ihtimali %8,3'tür. "B" Bankası için oranın birin altına düşme olasılığı da 0,083'tü, ancak organizasyonun dinamik gelişimi dikkate alındığında bu düşüş yine de önemsiz olacak - 0,926'ya. Son olarak, C Bankası'nın faaliyetlerinin, diğer koşullar eşit olmak üzere, 0,835'lik bir finansal istikrar değeri ile karakterize edilme ihtimali yüksek (%16,7) bulunmaktadır.

Aynı zamanda dağıtım tablolarından bankaların sürdürülebilir kalkınma olasılığı da görülebilir; katsayı seçeneklerinin 1'den büyük bir değere sahip olduğu olasılıkların toplamı:

P(X>1) = 1 - P(X<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Y>1) = 1 - P(Y<1) = 1 - 0,083 = 0,917

P(Z>1) = 1 - P(Z)<1) = 1 - 0,167 = 0,833.

En az sürdürülebilir kalkınmanın “C” bankasında beklendiği görülmektedir.

Genel olarak dağılım kanunu bir rastgele değişkeni belirtir, ancak daha sıklıkla rastgele değişkeni toplamda tanımlayan sayıların kullanılması daha uygundur. Bunlara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir ve matematiksel beklentiyi içerirler. Matematiksel beklenti yaklaşık olarak rastgele değişkenin ortalama değerine eşittir ve ne kadar çok test yapılırsa ortalama değere o kadar yaklaşır.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası tüm değerlerin çarpımlarının ve olasılığının toplamıdır:

M(X) = x1 P1 +x2 P2 +…+xNPN

Rastgele değişkenlerin matematiksel beklenti değerlerinin hesaplanmasının sonuçları Tablo 4'te sunulmaktadır.

Tablo 4

Ayrık rastgele değişkenler X, Y, Z'nin sayısal özellikleri

BankaBeklentiDağılımıOrtalama kare sapma“A”M(X) = 1,187D(X) =0,027 σ (x) = 0,164"V"M(Y) = 1,124D(Y) = 0,010 σ (y) = 0,101 "С" M(Z) = 1,037D(Z) = 0,012 σ (z) = 0,112

Elde edilen matematiksel beklentiler, finansal istikrar katsayısının gelecekte beklenen olası değerlerinin ortalama değerlerini tahmin etmemizi sağlar.

Yani hesaplamalara göre “A” bankasının sürdürülebilir kalkınmasına ilişkin matematiksel beklentinin 1.187 olduğunu söyleyebiliriz. “B” ve “C” bankalarının matematiksel beklentisi sırasıyla 1.124 ve 1.037 olup, çalışmalarının beklenen karlılığını yansıtmaktadır.

Bununla birlikte, yalnızca rastgele değişkenin - CFU'nun beklenen olası değerlerinin "merkezini" gösteren matematiksel beklentiyi bilerek, olası seviyelerini veya bunların elde edilen matematiksel beklenti etrafındaki dağılım derecesini yargılamak hala imkansızdır.

Başka bir deyişle matematiksel beklenti doğası gereği bankanın gelişiminin sürdürülebilirliğini tam olarak karakterize etmemektedir. Bu nedenle diğer sayısal özelliklerin (dağılım ve standart sapma) hesaplanması gerekli hale gelir. Bu, finansal istikrar katsayısının olası değerlerinin dağılım derecesini değerlendirmemizi sağlar. Matematiksel beklentiler ve standart sapmalar, kredi kuruluşlarının finansal istikrar katsayılarının olası değerlerinin hangi aralıkta yer alacağını tahmin etmemizi sağlar.

A bankası için matematiksel istikrar beklentisinin karakteristik değeri nispeten yüksek olan standart sapmanın 0,164 olması, bankanın istikrarının bu miktarda artabileceğini veya azalabileceğini göstermektedir. İstikrarda olumsuz bir değişiklik olması durumunda (karsız faaliyetin 0,083'e eşit olduğu elde edilen olasılık göz önüne alındığında bu hala olası değildir), bankanın finansal istikrar katsayısı pozitif kalacaktır - 1,023 (bkz. Tablo 3)

1,124 matematiksel beklentisi olan “B” Bankasının faaliyeti, daha küçük bir katsayı değerleri aralığı ile karakterize edilmektedir. Böylece, olumsuz koşullar altında bile bankanın tahmin edilen değerden standart sapması 0,101 olması nedeniyle bankanın istikrarlı kalması, pozitif karlılık bölgesinde kalmasına olanak sağlayacaktır. Dolayısıyla bu bankanın gelişiminin sürdürülebilir olduğu sonucuna varabiliriz.

Aksine, "C" Bankası, güvenilirliğinin düşük bir matematiksel beklentisiyle (1,037), sabit koşullar altında, 0,112'ye eşit kabul edilemez bir sapma ile karşılaşacaktır. Olumsuz bir durumda ve aynı zamanda kârsız faaliyetlerin yüksek olasılığını (%16,7) hesaba katarsak, bu kredi kurumu büyük olasılıkla finansal istikrarını 0,925'e düşürecektir.

Bankaların gelişiminin sürdürülebilirliği hakkında sonuçlar çıkardıktan sonra, test sonucunda finansal istikrar katsayısının olası değerlerden hangisini alacağını önceden güvenle tahmin etmenin imkansız olduğunu belirtmek önemlidir; dikkate alınamayacak birçok nedene bağlıdır. Bu konumdan her bir rastgele değişken hakkında çok mütevazı bilgilere sahibiz. Bu bağlamda, davranış kalıplarını ve yeterince fazla sayıda rastgele değişkenin toplamını oluşturmak pek mümkün değildir.

Bununla birlikte, nispeten geniş bazı koşullar altında, yeterince fazla sayıda rastgele değişkenin genel davranışının neredeyse rastgele karakterini yitirdiği ve doğal hale geldiği ortaya çıktı.

Bankaların gelişiminin sürdürülebilirliğini değerlendirirken, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının mutlak değerde pozitif bir sayıyı aşmama olasılığını tahmin etmek kalır. ε. P.L.'nin eşitsizliği ilgilendiğimiz tahmini vermemizi sağlar. Chebysheva. Bir X rastgele değişkeninin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı ε daha az olmayan :

veya ters olasılık durumunda:

Stabilite kaybıyla ilişkili riski hesaba katarak, ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentiden aşağı doğru sapma olasılığını değerlendireceğiz ve merkezi değerden hem aşağı hem de yukarı doğru sapmaların eşit derecede olası olduğunu dikkate alarak eşitsizliği yeniden yazacağız. :

Daha sonra, göreve bağlı olarak, finansal istikrar katsayısının gelecekteki değerinin önerilen matematiksel beklentiden 1'den düşük olmayacağı olasılığını tahmin etmek gerekir (“A” bankası için değer ε "B" bankası için - 0,124, "C" bankası için - 0,037) 0,187'ye eşit alalım ve bu olasılığı hesaplayalım:

kavanoz":

Banka "C":

P.L.'nin eşitsizliğine göre. Gelişiminde en istikrarlı olan Chebyshev, "B" Bankasıdır, çünkü rastgele bir değişkenin beklenen değerlerinin matematiksel beklentisinden sapma olasılığı düşüktür (0,325), ancak diğer bankalara göre nispeten daha azdır. A Bankası, kalkınmanın karşılaştırmalı sürdürülebilirliği açısından ikinci sırada yer alıyor ve bu sapmanın katsayısı, ilk duruma göre (0,386) biraz daha yüksek. Üçüncü bankada finansal istikrar katsayısı değerinin matematiksel beklentinin 0,037'den fazla soluna sapma olasılığı neredeyse kesin bir olaydır. Üstelik olasılığın 1'den fazla olamayacağını dikkate alırsak, L.P.'nin ispatına göre değerleri aşıyor. Chebyshev 1 olarak alınmalıdır. Başka bir deyişle, bankanın gelişiminin finansal istikrar katsayısının 1'den küçük olduğu istikrarsız bir bölgeye doğru hareket edebilmesi güvenilir bir olaydır.

Böylece, ticari bankaların finansal gelişimini karakterize ederek aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz: “A” bankasının ayrı bir rastgele değişkeninin (finansal istikrar katsayısının ortalama beklenen değeri) matematiksel beklentisi 1.187'ye eşittir. Bu ayrık değerin standart sapması 0,164'tür ve bu, katsayı değerlerinin ortalama sayıdan küçük yayılmasını objektif olarak karakterize eder. Bununla birlikte, bu serinin istikrarsızlık derecesi, finansal istikrar katsayısının 1'den 0,386'ya eşit negatif sapma olasılığının oldukça yüksek olmasıyla doğrulanmaktadır.

İkinci bankanın faaliyetlerinin analizi, CFU'nun matematiksel beklentisinin 0,101 standart sapması ile 1,124'e eşit olduğunu gösterdi. Bu nedenle, bir kredi kuruluşunun faaliyetleri, finansal istikrar katsayısının değerlerinde küçük bir yayılma ile karakterize edilir; bankanın kârsız bölgeye geçme ihtimalinin (0,325) nispeten düşük olması da bunu doğruluyor.

“C” bankasının istikrarı, matematiksel beklentinin düşük bir değeri (1,037) ve ayrıca değerlerin küçük bir dağılımı (standart sapma 0,112) ile karakterize edilir. LP eşitsizliği Chebyshev, finansal istikrar katsayısının negatif bir değer elde etme olasılığının 1'e eşit olduğunu kanıtlıyor, yani. Diğer her şey eşit olduğunda, gelişiminin olumlu dinamikleri beklentisi çok mantıksız görünecektir. Böylece, ayrık rastgele değişkenlerin (ticari bankaların finansal istikrar katsayılarının değerleri) mevcut dağılımının belirlenmesine dayanan ve bunların elde edilen matematiksel beklentiden eşit derecede muhtemel pozitif veya negatif sapmalarının değerlendirilmesiyle onaylanan önerilen model, onun belirlenmesini sağlar. mevcut ve gelecekteki seviye.

Çözüm

İktisat biliminde matematiğin kullanılması, ekonomik ve matematiksel model yöntemleri açısından hem iktisat biliminin hem de uygulamalı matematiğin gelişmesine ivme kazandırdı. Atasözü şöyle der: "İki kez ölç - bir kez kes." Modellerin kullanılması zaman, çaba ve maddi kaynaklar gerektirir. Ek olarak, modellere dayalı hesaplamalar, her kararın sonuçlarını önceden değerlendirmemize, kabul edilemez seçenekleri atmamıza ve en başarılı olanları önermemize olanak tanıdığından, istemli kararlara karşıdır. Ekonomik ve matematiksel modelleme analoji ilkesine dayanmaktadır; bir nesneyi, ona benzer, ancak daha basit ve daha erişilebilir bir nesne olan modelinin inşası ve dikkate alınması yoluyla inceleme olasılığı.

Ekonomik ve matematiksel modellemenin pratik görevleri öncelikle ekonomik nesnelerin analizidir; ikincisi, ekonomik tahmin, ekonomik süreçlerin gelişiminin ve bireysel göstergelerin davranışının tahmin edilmesi; üçüncüsü, yönetimin her düzeyinde yönetim kararlarının geliştirilmesi.

Çalışmada ekonomik ve matematiksel modellerin aşağıdaki kriterlere göre ayrılabileceği tespit edildi:

· kullanım amacı;

· zaman faktörünü dikkate alarak;

· incelenen dönemin süresi;

· oluşturma ve kullanma amaçları;

· belirsizlik faktörünü dikkate alarak;

· matematiksel aparatın türü;

Ekonomik süreçlerin ve olayların ekonomik ve matematiksel modeller biçiminde tanımlanması, yönetimin her düzeyinde kullanılan ekonomik ve matematiksel yöntemlerden birinin kullanılmasına dayanmaktadır.

· ekonomik bir problemin formülasyonu ve niteliksel analizi;

· matematiksel bir model oluşturmak;

· modelin matematiksel analizi;

· arka plan bilgilerinin hazırlanması;

· sayısal çözüm;

· Sayısal sonuçların analizi ve uygulamaları.

Çalışmada İktisadi Bilimler Adayı, Maliye ve Kredi Bölümü Doçenti S.V. tarafından bir makale sunuldu. Boyko, dış çevrenin etkisine maruz kalan yerli kredi kuruluşlarının, faaliyetlerinin temel göstergelerinin büyüme hızını istikrara kavuşturmayı amaçlayan rasyonel kriz karşıtı önlemlerin uygulanmasını içeren yönetim araçları bulma göreviyle karşı karşıya olduğunu belirtti. Bu bağlamda, finansal istikrarın çeşitli yöntem ve modeller kullanılarak yeterince belirlenmesinin önemi artmaktadır; bunların çeşitlerinden biri, yalnızca istikrardaki büyüme veya düşüşe ilişkin beklenen faktörlerin belirlenmesine değil, aynı zamanda korumak için bir dizi önleyici tedbir formüle edin.

Herhangi bir ekonomik nesnenin ve sürecin matematiksel modellemesinin potansiyel olasılığı, elbette, belirli bir düzeyde ekonomik ve matematiksel bilgi, mevcut belirli bilgi ve bilgisayar teknolojisi ile başarılı fizibilitesi anlamına gelmez. Her ne kadar ekonomik problemlerin matematiksel olarak formüle edilebilirliğinin mutlak sınırlarını belirtmek imkansız olsa da, matematiksel modellemenin yeterince etkili olmadığı durumlar kadar, her zaman formüle edilmemiş problemler olacaktır.

Kaynakça

1)Krass M.S. Ekonomik uzmanlıklar için matematik: Ders kitabı. -4. baskı, rev. - M.: Delo, 2003.

)Ivanilov Yu.P., Lotov A.V. Ekonomide matematiksel modeller. - M.: Nauka, 2007.

)Ashmanov S.A. Matematiksel ekonomiye giriş. - M.: Nauka, 1984.

)Gataulin A.M., Gavrilov G.V., Sorokina T.M. ve diğerleri ekonomik süreçlerin matematiksel modellenmesi. - M .: Agropromizdat, 1990.

)Ed. Fedoseeva V.V. Ekonomik-matematiksel yöntemler ve uygulamalı modeller: Üniversiteler için ders kitabı. - M.: BİRLİK, 2001.

)Savitskaya G.V. Ekonomik analiz: Ders kitabı. - 10. baskı, rev. - M .: Yeni bilgi, 2004.

)Gmurman V.E. Olasılık Teorisi ve Matematiksel İstatistik. M.: Yüksekokul, 2002

)Operasyon araştırması. Amaçlar, ilkeler, metodoloji: ders kitabı. üniversiteler için el kitabı / E.S. Wentzel. - 4. baskı, basmakalıp. - M.: Bustard, 2006. - 206, s. : hasta.

)Ekonomide matematik: ders kitabı / S.V. - M.: RGTEU yayınevi, 2009.-228 s.

)Kochetygov A.A. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik: Ders Kitabı. Kılavuz / Araç. Durum Üniv. Tula, 1998. 200 s.

)Boyko S.V., Kredi kurumlarının finansal istikrarının değerlendirilmesinde olasılıksal modeller /S.V. Boyko // Finans ve kredi. - 2011. N 39. -

Ekonomik ve matematiksel yöntemler şu anda yaygın olarak kullanılmaktadır ve ticari kuruluşların faaliyetlerinin yanı sıra bölümlerinin analizinin geliştirilmesinde önemli bir yöndür. Bu, çalışmayı tamamlamak için gereken süreyi azaltarak, faktörleri derinlemesine karakterize ederek ve karmaşık hesaplamaları daha basit hesaplamalarla değiştirerek başarılabilir. Buna ek olarak süreç, geleneksel yöntemlerle veya manuel olarak tamamlanması imkansız olan çok boyutlu sorunları ortaya çıkarır ve çözer.

Matematiksel ekonomi şunları gerektirir:

1) işletmelerin ekonomik faaliyetlerinin incelenmesine ve kuruluşun yönetiminin çeşitli alanlarındaki birbiriyle ilişkili tüm alanların dikkate alınmasına yönelik sistematik yaklaşımlar;

2) atanan görev ve süreçlerin özelliklerini niceliksel olarak yansıtan bir kompleks geliştirmek;

3) işletmenin ekonomik faaliyetleri hakkında bilgi sağlama sisteminin iyileştirilmesi;

4) yöntemlerin uygulanması için gerekli verilerin işlenmesinden, saklanmasından ve iletilmesinden sorumlu otomatik sistemlerin varlığı;

5) ekonomistlerden, operatörlerden vb. oluşacak özel eğitimli personelin organizasyonu.

Ortaya çıkan problem buna göre formüle edilebilir ve ekonomik ve matematiksel yöntemler kullanılarak çözülebilir. İstatistikler de yaygındır. Yöntemleri, analiz edilen göstergeler rastgele bir sırayla değiştiğinde kullanılır. bir tahminin gerekli olduğu yardım.

Matematiğin ekonomide kullanılması, incelenen faktörlerin genişletilmesi ve alınan kararların gerekçelerinin kullanılması nedeniyle bir işletmenin faaliyetlerini analiz etme verimliliğinin artmasından kaynaklanmaktadır. Kaynakların kullanımına yönelik en iyi seçenekler de seçilir ve üretim verimliliğini ve işgücü çıktısını artırmak için rezervler belirlenir.

Ekonomik ve matematiksel yöntemler 4 gruba ayrılabilir:

1) tam optimizasyon;

2) yakın olanlar;

3) tam optimizasyon olmayanlar;

4) yakın olanlar.

Bir işletmenin faaliyetlerini analiz etmek için bu yöntemlerin kullanılması, incelenen nesnenin net bir şekilde anlaşılmasına, dış bağlantılarının ve iç yapısının niceliksel olarak tanımlanmasına ve karakterize edilmesine yardımcı olur. Modellemede öncelikle ekonomik ve matematiksel yöntemler kullanılır. Ortaya çıkan örnek bir modeldir. Kontrol konusu, onu özellikleri, ilişkileri, nesnenin yapısal ve işlevsel parametrelerini vb. görüntüleyerek oluşturur.

Ne yazık ki ekonomik ve matematiksel modellemede, incelenen nesnenin karmaşık bir yapıya sahip olduğu bir durum ortaya çıkabilir. Sonuç olarak, incelenen sistemin tüm özelliklerini kapsayan bir örnek oluşturmak zordur. Bir örnek, bir bütün olarak ekonomik varlığın ekonomisidir.

Sistem analiziyle ilgili bir dizi temel kavramı ele alalım ve
sosyo-ekonomik sistemleri modellemek, böylece onların yardımıyla daha fazla
gibi anahtar bir kavramın özünü tam olarak ortaya koyuyor.
ekonomik ve matematiksel yöntemler. Ekonomik ve matematiksel yöntemler terimi
kompleksin genel adı olarak anlaşılmaktadır
ekonomik ve matematiksel bilimsel disiplinlerin bir araya getirilmesi
sosyo-ekonomik sistemleri ve süreçleri incelemek.

Sosyo-ekonomik sistem derken karmaşık bir sistemi kastediyoruz.
Üretim süreçlerini kapsayan olasılıksal dinamik bir sistem,
malzeme ve diğer malların değişimi, dağıtımı ve tüketimi. O
Sibernetik sistemler yani kontrollü sistemler sınıfına aittir.
Öncelikle bu tür sistem ve yöntemlerle ilişkili kavramları ele alalım.
onların araştırması.

Sibernetiğin temel kavramı “sistem” kavramıdır. Bir
bu kavramın bir tanımı yok; aşağıdaki formülasyon mümkündür: sistem
arasındaki ilişkilerle birlikte birbirine bağlı öğelerden oluşan bir kompleks olarak adlandırılır.
Elementler ve onların nitelikleri arasında. İncelenen öğeler kümesi şunlar olabilir:
Aşağıdaki dört işaret tanımlanırsa bir sistem olarak kabul edilebilir:

Sistemin bütünlüğü, yani sistemin özelliklerinin temel indirgenemezliği
kendisini oluşturan elemanların özelliklerinin toplamına;

Belirli bir öğe kümesini incelemek için bir hedef ve kriterin varlığı,

Verilen sistemin dışında daha büyük bir sistemin varlığı,
"çevre" denir;

Belirli bir sistemdeki birbirine bağlı parçaları tanımlama imkanı
(alt sistemler).

Sistemleri incelemenin ana yöntemi modelleme yöntemidir, yani.
amaçlayan teorik analiz ve pratik eylem yöntemi
modellerin geliştirilmesi ve kullanılması. Bu durumda modelden anlayacağız
gerçek bir nesnenin (sürecin) maddi veya ideal biçimdeki görüntüsü
(yani herhangi bir dilde sembolik araçlarla tanımlanır), yansıtan
modellenen nesnenin (sürecin) temel özellikleri ve değiştirilmesi
araştırma ve yönetim sırasında. Modelleme yöntemi aşağıdakilere dayanmaktadır:
benzetme ilkesi, yani gerçek bir nesneyi inceleme olasılığı
doğrudan, ancak benzer ve daha erişilebilir
nesne, onun modeli. Bundan sonra sadece hakkında konuşacağız
ekonomik ve matematiksel modelleme, yani sembolik olarak açıklama hakkında
sosyo-ekonomik sistemlerin matematiksel araçları.

Ekonomik ve matematiksel modellemenin pratik görevleri şunlardır:

Ekonomik nesnelerin ve süreçlerin analizi;

Ekonomik tahmin, ekonomik gelişmenin tahmin edilmesi
süreçler;

Her düzeyde yönetim kararlarının geliştirilmesi

Ekonomik hiyerarşi.

Ancak her durumda verinin geçerli olmadığı unutulmamalıdır.
Ekonomik ve matematiksel modelleme sonucunda elde edilen
doğrudan hazır yönetim çözümleri olarak kullanılır. Onlar
daha ziyade “danışmanlık” anlamına gelebilir. Benimseme
Yönetim kararları bireye kalır. Böylece,
Ekonomik ve matematiksel modelleme bunlardan sadece bir tanesidir.
insan-makine sistemlerindeki bileşenler (hatta çok önemli olanlar)
Ekonomik sistemlerin planlanması ve yönetimi.

Ekonomik ve matematiksel modellemenin yanı sıra en önemli kavram
Herhangi bir modelleme, model yeterliliği kavramıdır;
modelin modellenen nesne veya süreçle uyumu. Yeterlilik
modeller bir dereceye kadar koşullu bir kavramdır, çünkü tam uyum
gerçek bir nesne için bir model olamaz ki bu da tipiktir.
ekonomik ve matematiksel modelleme. Modelleme yaparken
sadece yeterlilik değil, aynı zamanda bu özelliklerdeki uygunluk
çalışmanın önemli olduğu düşünülmektedir. Yeterlilik kontrolü
ekonomik ve matematiksel modeller çok ciddi bir sorundur,
özellikle ekonomik büyüklükleri ölçmenin zorluğu nedeniyle karmaşık olduğu için.
Ancak böyle bir doğrulama olmadan simülasyonun uygulanması
yönetim kararlarının sadece çok az faydası olmakla kalmayıp aynı zamanda
önemli zarara neden olur.

Sosyo-ekonomik sistemler, kural olarak, sözde
karmaşık sistemler. Ekonomideki karmaşık sistemlerin bir takım özellikleri vardır.
bunları modellerken dikkate alınması gereken, aksi takdirde imkansızdır
Oluşturulan ekonomik modelin yeterliliği hakkında konuşun. En önemlisi
bu özellikler:

Bir özelliğin en canlı biçimde tezahürü olarak ortaya çıkışı
sistemin bütünlüğü, yani. Ekonomik sistemde bu tür özelliklerin varlığı,
sistemi oluşturan unsurların hiçbirinde bulunmayan, alınan
ayrı ayrı. sistemin dışında. Ortaya çıkış, ortaya çıkışın sonucudur
sinerjistik bağlantılar olarak adlandırılan sistemin unsurları arasında
genel etkide toplamdan daha büyük bir değere artış sağlamak
bağımsız hareket eden sistem elemanlarının etkileri. Bu yüzden
sosyo-ekonomik sistemlerin araştırılması ve modellenmesi gerekmektedir.
Genel olarak;

Ekonomik olayların ve süreçlerin muazzam doğası. Desenler
ekonomik süreçler az sayıda temel alınarak tespit edilmiyor
gözlemler. Bu nedenle ekonomide modelleme temel alınmalıdır.
kitlesel gözlemler;

Değişimlerden oluşan ekonomik süreçlerin dinamizmi
çevrenin etkisi altındaki ekonomik sistemlerin parametreleri ve yapısı (dış
faktörler);

Ekonomik olayların gelişiminde rastlantısallık ve belirsizlik.
Bu nedenle ekonomik olgular ve süreçler esasen olasılıksaldır.
karakterdir ve bunları incelemek uygulama gerektirir
Olasılık teorisine dayalı ekonomik ve matematiksel modeller ve
matematiksel istatistikler;

Ekonomik sistemlerde meydana gelen olayların izole edilememesi
ve çevreden gelen süreçleri gözlemlemek ve incelemek için
saf formu;

Ortaya çıkan yeni faktörlere aktif tepki, yetenek
sosyo-ekonomik sistemlerin aktif olması, her zaman öngörülebilir olmaması
sistemin bu faktörlere, yöntemlere ve yöntemlere karşı tutumuna bağlı olarak eylemler
etkileme yöntemleri.

Sosyo-ekonomik sistemlerin seçilmiş özellikleri. doğal olarak,
modelleme sürecini karmaşıklaştırsa da bu özelliklerin
çeşitli yönleri değerlendirirken aklınızda bulundurun
model tipinin seçimi ile başlayan ekonomik ve matematiksel modelleme ve
modelleme sonuçlarının pratik kullanımına ilişkin konularla sona ermektedir.

1.2. Ekonomik ve matematiksel modellemenin aşamaları

Ekonomik ve matematiksel de dahil olmak üzere modelleme süreci şunları içerir:
üç yapısal unsur içerir: çalışmanın amacı; ders
(araştırmacı); Bilen arasındaki ilişkiye aracılık eden model
özne ve bilinebilir nesne. Genel süreç diyagramını ele alalım
modelleme dört aşamadan oluşmaktadır.

Yöntemi kullanarak araştırmak istediğimiz bir nesne olsun
modelleme. İlk aşamada inşa ediyoruz (veya buluyoruz)
gerçek dünya) başka bir nesne - orijinal orijinal nesnenin bir modeli. Sahne
Bir model oluşturmak, ilgili belirli bilgilerin varlığını gerektirir.
orijinal nesne. Modelin bilişsel yetenekleri şu şekilde belirlenir:
modelin orijinalin yalnızca bazı temel özelliklerini yansıttığı
bu nedenle herhangi bir model, kesinlikle sınırlı bir şekilde orijinalin yerini alır.
algı. Bundan, bir nesne için inşa edilebileceği sonucu çıkar
incelenen nesnenin belirli yönlerini yansıtan çeşitli modeller
veya onu değişen derecelerde ayrıntıyla karakterize etmek.

Modelleme sürecinin ikinci aşamasında model şu şekilde hareket eder:
bağımsız bir araştırma nesnesi. Örneğin bunun biçimlerinden biri
araştırma, model deneylerinin yürütülmesinden oluşur;
modelin çalışma koşulları kasıtlı olarak değiştirilir ve
“davranışına” ilişkin veriler sistematik hale getirilmiştir. Bunun nihai sonucu
Aşama, temel konularla ilgili olarak model hakkındaki bilgi bütünüdür.
orijinal nesnenin bu modele yansıtılan yanları.

Üçüncü aşama bilginin modelden orijinale aktarılmasıdır.
bunun sonucunda orijinal nesne ve ne zaman olduğu hakkında birçok bilgi ediniriz.
Bu durumda model dilden orijinal dile geçiyoruz. Yeterince
herhangi bir sonucun modelden orijinale aktarılmasının temeli mümkündür
yalnızca bu sonuç benzerlik özelliklerine karşılık geliyorsa
orijinal ve model (başka bir deyişle yeterlilik işaretleri).

Dördüncü aşamada, alınan verilerin pratik bir doğrulaması gerçekleştirilir.
bir bilgi modeli kullanmak ve bunların her ikisini de genelleme oluşturmak için kullanmak
gerçek bir nesnenin teorisi ve onun amaçlı dönüşümü için
ya da yönetiyorum. Sonuç olarak konuya tekrar dönüyoruz.
orijinal nesne.

Modelleme döngüsel bir süreçtir, yani ilkinden sonra
dört aşamalı bir döngüyü ikinci, üçüncü vb. takip edebilir. Bu durumda
İncelenen nesne hakkındaki bilgi genişletilir ve geliştirilir ve başlangıçta
Oluşturulan model yavaş yavaş geliştirilmektedir. Böylece,
modelleme metodolojisinin büyük potansiyeli var
öz gelişim.

Şimdi doğrudan ekonomik-matematiksel sürece geçelim.
modelleme, yani ekonomik ve sosyal sistemlerin tanımları ve
ekonomik ve matematiksel modeller şeklinde süreçler. Bu çeşitlilik
modellemenin her ikisiyle de ilişkili bir dizi önemli özelliği vardır.
modellemenin amacı ve kullanılan aparat ve araçlarla birlikte
modelleme. Bu nedenle daha detaylı analiz edilmesi tavsiye edilir.
İktisat ve matematik aşamalarının sırası ve içeriği
modelleme, aşağıdaki altı aşamayı vurgulamaktadır: ekonomik
problemler, niteliksel analizi; matematiksel bir model oluşturmak;
modelin matematiksel analizi; arka plan bilgilerinin hazırlanması; sayısal
çözüm; Sayısal sonuçların analizi ve uygulamaları. Her birini ele alalım
aşamalarını daha ayrıntılı olarak ele alıyoruz.

1. Ekonomik sorunun beyanı ve niteliksel analizi. Bu konuda
Aşama: Kabul edilebilmesi için problemin özünün formüle edilmesi gerekmektedir.
öncüller ve varsayımlar. En önemli özellikleri ve özellikleri vurgulamak gerekir.
modellenmiş nesne, yapısını inceleyin ve

En azından önceden formüle etmek için öğelerinin ilişkisi
Bir nesnenin davranışını ve gelişimini açıklayan hipotezler.

2. Matematiksel bir modelin oluşturulması. Bu, ekonomik ilişkilerin resmileşme aşamasıdır.
problem, yani onu belirli matematiksel formda ifade etmek
bağımlılıklar (fonksiyonlar, denklemler, eşitsizlikler vb.). Model oluşturma
sırasıyla birkaç aşamaya bölünmüştür. İlk önce belirlenir
ekonomik ve matematiksel model türü, uygulama olanakları araştırılmaktadır
Bu görevde belirli bir değişken ve parametre listesi belirtilir
ve bağlantı şekli. Bazı karmaşık nesneler için,
birkaç farklı görünüşlü model; Ayrıca her model yalnızca
nesnenin bazı tarafları, diğer tarafları ise toplu olarak dikkate alınır ve
yaklaşık olarak. İyilikle ilgili bir model kurma arzusu
biraz gerektirebilecek matematik problemlerinin incelendiği sınıf
ana özellikleri bozmadan modelin ilk öncüllerinin basitleştirilmesi
modellenmiş nesne Ancak şu durumlarda da mümkündür:
Problemin formalleştirilmesi daha önce bilinmeyen bir matematiksel hesaplamaya yol açar.
yapı.

3. Modelin matematiksel analizi. Bu aşamada tamamen matematiksel
Araştırma teknikleri modelin genel özelliklerini ve çözümlerini ortaya koymaktadır. İÇİNDE
Özellikle önemli bir nokta çözümün varlığının kanıtlanmasıdır.
formüle edilmiş görev. Analitik araştırma şunu ortaya koyuyor:
Çözüm benzersiz mi, çözüme hangi değişkenler dahil edilebilir?
hangi sınırlar içinde değişiyorlar, değişimlerindeki eğilimler neler, vb.
Ancak karmaşık ekonomik nesnelerin modellerini oluşturmak çok zordur.
analitik araştırma; bu gibi durumlarda sayısala geçin
Araştırma Yöntemleri.

4. Arka plan bilgilerinin hazırlanması. Ekonomik sorunlarda böyle
kural olarak modellemenin en emek yoğun aşamasıdır, çünkü
pasif veri toplamaya gelir. Matematik modelleme
bilgi sistemine katı talepler getirir; aynı zamanda gerekli
yalnızca temel hazırlık olasılığını dikkate almakla kalmaz,
gerekli kaliteye ilişkin bilgilerin yanı sıra hazırlama maliyetlerine ilişkin bilgiler
bilgi dizileri. Bilgi hazırlama sürecinde kullanıyoruz
Olasılık teorisi yöntemleri, teorik ve matematiksel istatistik
Örnek anketler düzenlemek, veri güvenilirliğini değerlendirmek ve
vesaire. Sistem ekonomik ve matematiksel modelleme ile sonuçlar
bazı modellerin işleyişi diğerleri için ilk bilgi niteliğindedir.

5. Sayısal çözüm. Bu aşama algoritmaların geliştirilmesini içerir
problemin sayısal çözümü, bilgisayar programlarının hazırlanması ve doğrudan
hesaplamaların yapılması;

Bu durumda boyutun büyük olmasından dolayı önemli zorluklar yaşanmaktadır.
ekonomik görevler. Hesaplamalar genellikle ekonomik ve matematiksel temellere dayanır.
modeller doğası gereği çok değişkenlidir. Çok sayıda model
deneyler, modelin çeşitli koşullar altındaki davranışını incelemek mümkündür
modern bilgisayarların yüksek hızı sayesinde gerçekleştirilir. Sayısal
Çözüm, analitik çalışmanın sonuçlarını önemli ölçüde tamamlıyor ve
birçok model için bu tek seçenektir.

6. Sayısal sonuçların analizi ve uygulanması. Bu aşamada daha önce
Sonuçta, sonuçların doğruluğu ve eksiksizliği ile ilgili en önemli soru çözüldü
modelleme ve bunların hem pratik faaliyetlerde hem de
modeli geliştirmek için. Bu nedenle her şeyden önce olması gereken
Seçilen özellikler için modelin yeterliliği kontrol edildi
temel olarak (başka bir deyişle üretilmelidir)
modelin doğrulanması ve validasyonu). Sayısal sonuçların uygulanması
İktisatta modelleme pratik sorunları çözmeyi amaçlamaktadır.
(ekonomik nesnelerin analizi, kalkınmanın ekonomik tahmini
ekonomik ve sosyal süreçler, yönetim kararlarının gelişimi
ekonomik hiyerarşinin her düzeyinde).

Ekonomik ve matematiksel modellemenin listelenen aşamaları
yakın ilişki, özellikle karşılıklı bağlantılar meydana gelebilir
aşamalar. Böylece, bir model oluşturma aşamasında, bu ortam ortaya çıkabilir
Sorun ya çelişkilidir ya da çok karmaşık matematiksel işlemlere yol açmaktadır.
modeller; bu durumda sorunun ilk ifadesi şu olmalıdır:
ayarlandı. Çoğu zaman öncekine dönme ihtiyacı
Modelleme aşamaları ilk bilgilerin hazırlanması aşamasında ortaya çıkar.
Gerekli bilgiler eksikse veya hazırlama maliyeti varsa
çok büyükse, sorunu ve çözümünü tanımlama aşamalarına geri dönmemiz gerekir.
Araştırmacının erişebileceği bilgilere uyum sağlamak için resmileştirme.

Modelleme sürecinin döngüsel yapısından yukarıda bahsedilmişti.
Belirli aşamalarda düzeltilemeyen dezavantajlar
sonraki döngülerde simülasyonlar ortadan kaldırılır. Ancak sonuçlar
Her döngünün tamamen bağımsız bir anlamı vardır. Başlamış olmak
basit bir model oluşturarak araştırma yaparak faydalı olabilirsiniz
sonuçlar alın ve ardından daha karmaşık ve daha gelişmiş oluşturmaya geçin
yeni koşulları ve daha doğru matematiksel hesaplamaları içeren model
bağımlılıklar.

1.3. Ekonomik ve matematiksel yöntem ve modellerin sınıflandırılması

Ekonomik ve matematiksel modellemenin özü tanımlamaktır.
sosyo-ekonomik sistemler ve süreçler
ekonomik ve matematiksel modeller. Bölüm 1.1'de anlamı kısaca tartışılmaktadır
“modelleme yöntemi” ve “model” kavramları. Buna dayanarak
Ekonomik ve matematiksel yöntemler bir araç olarak anlaşılmalı ve
ekonomik ve matematiksel modeller – sürecin bir ürünü olarak
ekonomik ve matematiksel modelleme.

Ekonomik ve matematiksel yöntemlerin sınıflandırılması konularını ele alalım. Bunlar
Yukarıda belirtildiği gibi yöntemler karmaşıktır.
İktisadın bir alaşımı olan iktisat ve matematik disiplinleri,
matematik ve sibernetik. Bu nedenle ekonomik ve matematiksel sınıflandırma
yöntemler, kendi bünyelerinde yer alan bilimsel disiplinlerin sınıflandırılmasına gelir.
birleştirmek. Her ne kadar bu disiplinlerin genel kabul görmüş sınıflandırması henüz
kompozisyonda belli bir yakınlaşma derecesi ile geliştirildi
Ekonomik ve matematiksel yöntemler aşağıdaki bölümlere ayrılabilir:

Ekonomik sibernetik: ekonominin sistem analizi, teori
ekonomik bilgi ve kontrol sistemleri teorisi;

Matematiksel istatistik: bu disiplinin ekonomik uygulamaları
- örnekleme yöntemi, varyans analizi, korelasyon analizi,
regresyon analizi, çok değişkenli istatistiksel analiz, faktöriyel
analiz, indeks teorisi vb.;

Matematiksel ekonomi ve aynı soruları niceliksel olarak incelemek
ekonometrinin yönleri: ekonomik büyüme teorisi, teori
üretim fonksiyonları, girdi dengeleri, ulusal hesaplar,
talep ve tüketim analizi, bölgesel ve mekansal analiz,
küresel modelleme vb.;

Yöneylem araştırması da dahil olmak üzere en uygun kararları alma yöntemleri
ekonomide. Bu, aşağıdakiler de dahil olmak üzere en hacimli bölümdür
disiplinler ve yöntemler: optimal (matematiksel) programlama,
dal ve sınır yöntemleri, ağ planlama yöntemleri ve
yönetim, program hedefli planlama ve yönetim yöntemleri, teori
ve envanter yönetimi yöntemleri, kuyruk teorisi, oyun teorisi.
Karar verme teorisi ve yöntemleri. zamanlama teorisi. En iyiye
(matematiksel) programlama doğrusal olarak dahil edilir
programlama, doğrusal olmayan programlama, dinamik
programlama, ayrık (tam sayı) programlama,
kesirli doğrusal programlama, parametrik programlama,
ayrılabilir programlama, stokastik programlama,
geometrik programlama;

Merkezi olarak ayrı ayrı spesifik yöntemler ve disiplinler
planlı ekonomi ve için. Pazar (rekabetçi) ekonomisi. İLE
Birincisi ekonominin optimal işleyişi teorisidir.
optimal planlama, optimal fiyatlandırma teorisi, modeller
lojistik vb. İkincisi, izin veren yöntemleri içerir.
serbest rekabet modelleri, kapitalist modeller geliştirmek
döngü, tekel modelleri, gösterge niteliğinde planlama modelleri, modeller
firma teorileri vb. için geliştirilen yöntemlerin çoğu
Merkezi planlı ekonomi, aynı zamanda yararlı olabilir.
piyasa ekonomisinde ekonomik ve matematiksel modelleme;

Ekonomik olayların deneysel çalışma yöntemleri. Onlara
kural olarak matematiksel analiz ve planlama yöntemlerini içerir
ekonomik deneyler, makine simülasyon yöntemleri (simülasyon
modelleme), iş oyunları. Bu aynı zamanda yöntemleri de içerir
gerçekleştirilemeyen olguları değerlendirmek için tasarlanmış uzman değerlendirmeleri
doğrudan ölçüm. Şimdi sınıflandırma konularına geçelim
ekonomik ve matematiksel modeller, diğer bir deyişle matematiksel
sosyo-ekonomik sistem ve süreç modelleri. Birleşik sistem
Şu anda bu tür modellerin sınıflandırması da mevcut değildir.
ancak sınıflandırmalarının genellikle ondan fazla ana özelliği vardır.
veya sınıflandırma başlıkları. Bu başlıklardan bazılarına göz atalım.

Genel amaçlarına göre ekonomik ve matematiksel modeller ikiye ayrılır:
Genel özelliklerin incelenmesinde kullanılan teorik ve analitik ve
Ekonomik süreçlerin modelleri ve uygulananlar
analiz, tahmin ve belirli ekonomik sorunların çözümü
yönetmek. Çeşitli uygulamalı ekonomik ve matematiksel modeller
Bu eğitimde tam olarak tartışılan şey budur.

Modelleme nesnelerinin toplanma derecesine göre modeller ikiye ayrılır:
makroekonomik ve mikroekonomik. Aralarında net bir fark olmasa da
Bunlardan ilki yansıtan modelleri içeren ayrımlardır.
Ekonominin bir bütün olarak işleyişi,
Mikroekonomik modeller genellikle bu tür bağlantılarla ilişkilendirilir
işletmeler ve firmalar olarak ekonomi.

Belirli bir amaç için, yani yaratılma ve kullanılma amacı için,
Kullanılabilirliğe uygunluk gerekliliğini ifade eden denge modellerini vurgulayın
kaynaklar ve bunların kullanımı; gelişmenin olduğu trend modelleri
modellenen ekonomik sistemin görünümü trend (uzun vadeli) aracılığıyla yansıtılmaktadır.
trend) ana göstergelerinden; optimizasyon modelleri,
Belirli bir sayıdan en iyi seçeneği seçmek için tasarlanmıştır
üretim, dağıtım veya tüketim seçenekleri; taklit
makine simülasyonu sürecinde kullanılması amaçlanan modeller
incelenen sistemler veya süreçler vb.

Ekonomik-matematiksel modelde kullanılan bilgi türüne göre
modeller analitik olarak bölünmüştür, önsel bilgilere dayanmaktadır ve
tanımlanabilir, sonradan gelen bilgi üzerine inşa edilmiştir.

Zaman faktörü dikkate alınarak modeller statik olanlara ayrılır;
tüm bağımlılıklar zamanın bir noktasına ilişkindir ve dinamiktir,
Gelişmekte olan ekonomik sistemlerin tanımlanması.

Belirsizlik faktörü dikkate alınarak modeller aşağıdakilere ayrılmıştır:
çıktı sonuçlarının net olması durumunda deterministik
kontrol eylemleri ve stokastik ile belirlenir
(olasılıksal), eğer girişte belirli bir model belirtilirken
çıkışındaki bir dizi değer farklı sonuçlar üretebilir
rastgele bir faktörün etkisine bağlıdır.

Ekonomik ve matematiksel modeller aşağıdakilere göre de sınıflandırılabilir:
modele dahil edilen matematiksel nesnelerin başkaları tarafından karakterizasyonu
kelimeler. modelde kullanılan matematiksel aparatın türüne göre. İle
Bu özellik matris modellerine, doğrusal ve doğrusal modellere ayrılabilir.
Doğrusal olmayan programlama, korelasyon-regresyon modelleri, modeller
kuyruk teorileri, ağ planlama modelleri ve
kontrol, oyun teorisi modelleri vb.

Son olarak, incelenen sosyo-ekonomik sistemlere yönelik yaklaşım türüne göre
Tanımlayıcı ve normatif modeller vardır. Açıklayıcı ile
(Betimleyici) yaklaşım, tanımlamak ve tanımlamak için tasarlanmış modeller üretir.
fiilen gözlemlenen olayların açıklamaları veya bu olayların tahmin edilmesi;
Tanımlayıcı modellere örnek olarak daha önce bahsedilenleri verebiliriz.
denge ve trend modelleri. Normatif bir yaklaşımla kişi ilgilenmiyor
Ekonomik sistemin nasıl yapılandırıldığı ve geliştiği ve nasıl
yapılandırılmalı ve belirli anlamda nasıl hareket etmelidir?
Kriterler. Özellikle, tüm optimizasyon modelleri şu türdendir:
normatif; Başka bir örnek normatif seviye modelleri olabilir
hayat.

Örnek olarak ekonomik-matematiksel modeli ele alalım.
endüstriler arası denge (EMM IOB). Yukarıdakileri dikkate alarak
sınıflandırma başlıkları uygulanır, makroekonomik,
analitik, tanımlayıcı, deterministik, bilanço, matris
modeli; Aynı zamanda hem statik hem de dinamik EMM MOB bulunmaktadır.

Modern iktisat teorisi, gerekli bir araç olarak matematiksel modelleri ve yöntemleri içerir. Matematiğin ekonomide kullanılması birbiriyle ilişkili karmaşık problemlerin çözülmesine olanak tanır.

İlk olarak, ekonomik değişkenler ve nesneler arasındaki en önemli, temel bağlantıları belirlemek ve resmi olarak tanımlamak. Bu hüküm temeldir, çünkü belirli bir karmaşıklık derecesine bağlı olarak herhangi bir olgunun veya sürecin incelenmesi yüksek derecede soyutlama gerektirir.

İkinci olarak, tümdengelim yöntemleri kullanılarak formüle edilen ilk verilerden ve ilişkilerden, üzerinde çalışılan nesne için, yapılan önkoşullarla aynı ölçüde yeterli olan sonuçların elde edilmesi mümkündür.

Üçüncüsü, matematik ve istatistik yöntemleri, tümevarım yoluyla bir nesne hakkında yeni bilgi edinmeyi, örneğin mevcut gözlemlerle en tutarlı olan değişkenlerinin bağımlılıklarının şeklini ve parametrelerini değerlendirmeyi mümkün kılar.

Dördüncüsü, matematiksel terminolojinin kullanılması, ekonomi teorisinin hükümlerinin doğru ve kompakt bir şekilde sunulmasına, kavram ve sonuçlarının formüle edilmesine olanak tanır.

Modern koşullarda makroekonomik planlamanın gelişimi, resmileşme düzeyindeki artışla ilişkilidir. Bu sürecin temeli, oyun teorisi, matematiksel programlama, matematiksel istatistik ve diğer bilimsel disiplinler gibi uygulamalı matematik alanındaki ilerlemelerle atılmıştır. Ünlü Sovyet bilim adamları V.S. eski SSCB ekonomisinin matematiksel modellenmesine büyük katkı sağladı. Nemçinov, V.V. Novozhilov, L.V. Kantorovich, N.P. Fedorenko. S. S. Shatalin ve diğerleri Ekonomik ve matematiksel yönün gelişimi, esas olarak, çok düzeyli model sistemlerine uygun olarak sözde “sosyalist ekonominin optimal işleyiş sistemini” (SOFE) resmi olarak tanımlama girişimleriyle ilişkilendirildi. ulusal ekonomik planlama, sanayi ve işletmelerin optimizasyon modelleri oluşturuldu.

Ekonomik ve matematiksel yöntemler aşağıdaki yönlere sahiptir:

Ekonomik ve istatistiksel yöntemler Ekonomik ve matematiksel istatistik yöntemlerini içerir. Ekonomik istatistikler, bir bütün olarak ulusal ekonominin ve bireysel sektörlerinin periyodik raporlama temelinde istatistiksel olarak incelenmesiyle ilgilidir. Ekonomik araştırmalar için kullanılan matematiksel istatistik araçları, korelasyon ve regresyonun dağılım ve faktör analizidir.

Ekonomik süreçlerin modellenmesi modellenen nesne hakkında yeni bilgiler elde etmek için ekonomik ve matematiksel modeller ve algoritmalar oluşturmak, bunlar üzerinde hesaplamalar yapmaktan oluşur. Ekonomik ve matematiksel modellemenin yardımıyla, ekonomik nesneleri ve süreçleri analiz etme, bunların olası gelişim yollarını tahmin etme (çeşitli senaryoları canlandırma) ve uzmanlar tarafından karar vermeye yönelik bilgi hazırlama sorunları çözülebilir.

Ekonomik süreçleri modellerken aşağıdaki yöntemler yaygın olarak kullanılmaktadır: üretim fonksiyonları, ekonomik büyüme modelleri, endüstriler arası denge, simülasyon modelleme yöntemleri vb.

Yöneylem araştırması- amaca yönelik eylemleri analiz etmek ve kararların niceliksel olarak gerekçelendirilmesine yönelik yöntemlerin geliştirilmesine ilişkin bilimsel bir yön. Tipik yöneylem araştırması problemleri şunları içerir: kuyruk problemleri, envanter yönetimi, ekipman onarımı ve değişimi, planlama, dağıtım problemleri vb. Bunları çözmek için matematiksel programlama yöntemleri (doğrusal, ayrık, dinamik ve stokastik), kuyruk teorisi yöntemleri ve oyun teorisi kullanılır. kullanılan envanter yönetimi teorileri, planlama teorileri vb. ile program-hedef yöntemleri ve ağ planlama ve yönetim yöntemleri.

Ekonomik sibernetik- genel sibernetik teorisine dayanan ekonomik sistemlerin araştırılması ve geliştirilmesiyle ilgilenen bilimsel bir yön. Ana yönleri: ekonomik sistemler teorisi, ekonomik bilgi teorisi, ekonomide yönetim sistemleri teorisi. Ulusal ekonominin yönetimini bir bilgi süreci olarak ele alan ekonomik sibernetik, otomatik kontrol sistemlerinin geliştirilmesinin bilimsel temelini oluşturmaktadır.

Ekonomik-matematiksel yöntemler, gözlemlenen ekonomik süreçlerin ve olayların modeller aracılığıyla tanımlanmasına dayanır.

Matematiksel model ekonomik bir nesnenin - bir dizi denklem, eşitsizlik, mantıksal ilişkiler, grafikler, incelenen nesnenin öğelerinin ilişki gruplarını model öğelerin benzer ilişkilerine birleştirerek homomorfik haritalaması. Model, ekonomik bir nesnenin, ikincisinin incelenmesini basitleştirmek için oluşturulmuş geleneksel bir görüntüsüdür. Bir model üzerinde çalışmanın ikili bir anlamı olduğu varsayılmaktadır: Bir yandan nesne hakkında yeni bilgi sağlar, diğer yandan da kişinin çeşitli durumlara göre en iyi çözümü belirlemesine olanak tanır.

İktisatta kullanılan matematiksel modeller, modellenen nesnenin özelliklerine, modellemenin amacına ve kullanılan araçlara ilişkin bir takım özelliklere göre sınıflara ayrılabilir. Bunlar makro ve mikroekonomik modeller, teorik ve uygulamalı, denge ve optimizasyon, tanımlayıcı, matris, statik ve dinamik, deterministik ve stokastik, simülasyon vb.'dir.

Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve modeller

Öğrenciler için metodolojik talimatlar ve kontrol görevleri

tam zamanlı ve yarı zamanlı eğitim.

Stavropol 2007

Bu kılavuz ekonomik uzmanlık öğrencileri için tasarlanmıştır. Kurs müfredatı 75 saat olarak tasarlanmıştır ve uzaktan eğitime yönelik bir test içerir.

Kılavuz, müfredatla ilgili konulardaki sorunların çözümlerini içerir, gerekli metodolojik talimatları sağlar ve test için ödevler sağlar. Bu kılavuz, tam zamanlı ve yarı zamanlı öğrenciler tarafından bağımsız çalışma ve sınava hazırlık amacıyla kullanılabilir.

giriiş

Günümüzde ekonomide karar verme süreçleri oldukça geniş bir yelpazedeki ekonomik ve matematiksel yöntem ve modellere dayanmaktadır. Endüstrilerin ve işletmelerin yönetimini, kaynakların tahsisini, piyasa koşullarının incelenmesini, tahminleri, planlamayı vb. etkileyen tek bir ciddi karar, belirli bir süreç veya onun parçalarının ön matematiksel çalışması olmadan gerçekleştirilmez.

Bu bağlamda, “Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve modeller” disiplininin incelenmesi, hem öğrencilerde modern matematiğin ekonomideki rolüne ilişkin bir anlayış geliştirmeyi hem de modelleri ve optimizasyonu incelemek için en önemli ekonomik ve matematiksel yöntemleri incelemeyi amaçlamaktadır. sorunlar.

Bu disiplinin amaçları, SEP'in matematiksel yöntemlerini incelemek, SEP'in matematiksel modellemesinin temel yöntemlerinin optimizasyon problemlerini çözmede uygulanmasını ve bilgisayar teknolojilerini kullanarak emek yoğun uygulamalı ekonomik ve matematik problemlerini çözme becerilerini geliştirmektir.

Bu disiplini çalışmanın amacı, ilgili temel modellere dayalı olarak SES'i incelemek için matematiksel yöntemlerin bilinçli kullanımı için bir ekonomi uzmanı hazırlamaktır.

Disiplini incelemek, derslerin, pratik derslerin ve öğrencilerin bağımsız çalışmalarının bir kombinasyonunu içerir. Dersler disiplinin içeriğini sunar ve temel matematiksel kavram ve yöntemleri analiz eder. Uygulamalı dersler, öğrencilerin standart ekonomik problemleri çözme becerilerini geliştirmeye odaklanmıştır. Uygulamalı ekonomik yönelimini güçlendirerek öğrencilerin temel matematik eğitimi düzeyini arttırma ilkesinden yola çıkan yazar, bağımsız ilgi alanına giren ve yokluğunda bunları çözmek için algoritmaya nispeten verimli bir şekilde hakim olmayı mümkün kılan ekonomik açıdan en önemli sorunları önerir. bir ders kitabının.

“Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve modeller” disiplinini inceledikten sonra öğrenci:

Çevre kontrol sistemlerinin sistem analizi ve yönetimi yöntemleri hakkında bilgi sahibi olmak;

SES modellerini oluşturmak için kullanılan temel kavramları, tanımları ve temel matematiksel yöntemleri bilir;

SES'in temel matematiksel modelleri için hesaplamalar yapabilme ve parametre tahminleri yapabilme;

Devlet eğitim standardına uygun temel matematik bilgisine dayanarak uygulamalı ekonomik ve matematik problemlerini çözebilme.

Genel kurallar

Öğrencilerin “Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve modeller” disiplinindeki problem çözme becerilerini daha eksiksiz ve güvenli bir şekilde geliştirmeleri için bu yönergeler sunulmaktadır. Yazar, bu disiplini çalışmanın genel hedef belirleme ilkelerinin yanı sıra, ekonomide matematiksel modeller oluşturmanın ve araştırmanın önemini anlamak için öğrencilerin temel matematik eğitimi düzeyini artırma ilkesi tarafından yönlendirildi.

Verilen yönergeler bağımsız ve kontrol çalışması yaparken, sınava girerken röportaj yaparken kullanılabilir.

Sınavı tamamlarken yazışma öğrencileri aşağıdaki talimatları izlemelidir:

Kapakta öğrencinin soyadı ve adının baş harfleri, uzmanlık alanının tam kodu, grubu, kayıt tarihi, değerlendiren öğretmenin soyadı ve adının baş harfleri yer alır;

Tüm sorunların çözümü ve bunlara ilişkin açıklamalar yeterince ayrıntılı olmalıdır; hesaplamalar ve çizimler - eksiksiz ve doğru.

Test çalışma numarası, eğitim kodunun son rakamına karşılık gelir.

Test, oturumun başlamasından en geç 10 gün önce dekanlığa teslim edilir. Sınava girerken öğrenci tamamlanan ödevlere ilişkin açıklamalar yapmalıdır.

1. İktisatta operasyonların araştırılması: Ders Kitabı. ödenek / ed. N.Ş. Kremer./ – M.: BİRLİK, 2000. - 407 s.

2. İktisatçılar için yüksek matematik çalıştayı: Proc. üniversiteler için el kitabı / Kremer N.Ş. ve benzeri.; tarafından düzenlendi prof. N.Sh.Kremera - M.: BİRLİK - DANA, 2005. - 423 s.

3. Akulich I.L. Örneklerde ve problemlerde matematiksel programlama: Proc. ödenek M.: Yüksekokul, 1986. - 319 s.

4. Morozov V.V., Sukharev A.T., Fedorov V.V. Örneklerde ve problemlerde işlemlerin araştırılması: Proc. ödenek. M.: Yüksekokul, 1986. – 287 s.

5. Ventzel E.S. Operasyon araştırması. Amaçlar, ilkeler, metodoloji. Ders Kitabı üniversite öğrencileri için el kitabı. – M.: Yüksekokul, 2001. – 208 s.

6. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Ekonomide matematiksel yöntemler: Ders kitabı 2. baskı. – M.: Moskova Devlet Üniversitesi'nin adını almıştır. M.V. Lomonosov, “Delo ve Hizmet” Yayınevi, 1999. – 368 s.

7. Monakhov A.V. Ekonomik analizin matematiksel yöntemleri. – St. Petersburg: Peter, 2002. – 176 s.

8. Ekonomik ve matematiksel yöntemler ve uygulanan modeller: Ders Kitabı. üniversiteler için el kitabı / V.V. Fedoseev, A.N. Garmash, D.M. Dayitbegov ve diğerleri, ed. V.V. Fedoseeva. – M.: BİRLİK, 1999. -391 s.

Terimler Sözlüğü.

toplanabilirlik- nesnenin tamamına karşılık gelen bir miktarın değerinin, nesnenin parçalara herhangi bir bölümü için parçalarına karşılık gelen miktarların değerlerinin toplamına eşit olması gerçeğinden oluşan bir miktar özelliği. Bir sistemin bir özelliği, sistemi oluşturan tüm alt sistemler ve öğeler için aynı özelliklerin toplamına eşitse eklemeli özelliktir.

Modelin yeterliliği- modellenen nesneye veya sürece uygunluğu. Modelleme yaparken genel olarak yeterliliği değil, modelin çalışma için gerekli olduğu düşünülen özellikleri açısından yeterliliği kastediyoruz.

Yaklaşım- karmaşık bir fonksiyonun daha basit olanları kullanarak yaklaşık bir ifadesi; bu genellikle sorunun çözümünü büyük ölçüde basitleştirir.

Varyant tahminleri- teknolojinin nasıl gelişeceğine, hangi ekonomik önlemlerin alınacağına vb. ilişkin farklı varsayımlar altında olası ekonomik kalkınmaya yönelik çeşitli seçeneklerin karşılaştırılmasına dayanan tahminler.

Vektör optimizasyonu - Optimallik kriterinin bir vektör olduğu matematiksel programlama problemlerinin çözülmesi; bunun bileşenleri, belirli bir sisteme dahil edilen alt sistemler için çeşitli indirgenemez optimallik kriterleridir, örneğin sosyo-ekonomik planlamada farklı sosyal gruplara yönelik kriterler.

Simülasyon modelinin doğrulanması- davranışının deneycinin varsayımlarına uygunluğunu kontrol etmek.

Olasılıksal model - Deterministik modelden farklı olarak rastgele öğeler içeren bir model. Bu nedenle, bir modelin girişinde belirli bir değerler kümesi belirtilirken, çıktısı, rastgele bir faktörün etkisine bağlı olarak farklı sonuçlar üretebilir.

Kaynakların değiştirilebilirliği- Optimuma ulaşmak için farklı kaynakları kullanma yeteneği. Seçim problemini belirleyen de tam olarak budur: ikame edilebilirliğin olmadığı yerde seçim de olmaz ve o zaman temel optimalite kavramı anlamını yitirir.

Genetik prognoz(“arama”) - tahmin edilen nesnenin belirli başlangıç ​​koşulları altında belirli bir zamanda hangi durumlara ulaşacağını gösteren bir tahmin.

Küresel modelleme veya küresel kalkınma modellemesi, dünyayı kapsayan en büyük sosyal, ekonomik ve çevresel süreçlerin modellerini geliştirmeye adanmış bir araştırma alanıdır.

Gradyan yöntemleri matematiksel programlama problemlerini çözme - bir fonksiyonun ekstremumunu (maksimum veya minimum), bu fonksiyonun gradyanını kullanarak ona sırayla hareket ederek aramaya dayalı yöntemler.

Optimal problemleri çözmek için ayrıştırma yöntemleri- genel bir optimal çözüm elde etmek için karmaşık bir problemin rasyonel bir şekilde bölünmesine ve bireysel alt görevlerin çözümüne ve ardından sık sık çözümlerin koordinasyonuna dayanır.

Tanımlayıcı model- Bir nesnenin arzu edilen durumunu (örneğin optimal) bulmak için tasarlanmış normatif modellerin aksine, gözlemlenen gerçekleri tanımlamak ve açıklamak veya nesnelerin davranışını tahmin etmek için tasarlanmış bir model.

Deterministik model- belirli bir giriş değerleri kümesi için sistemin çıkışında tek bir sonucun elde edilebildiği bir modelin, işlemin vb. analitik temsili. Böyle bir model hem olasılıksal bir sistemi (ki bu durumda onun bir miktar basitleştirilmesidir) hem de deterministik bir sistemi yansıtabilir.

Deterministik sistem- çıktıları (eylem sonuçları, nihai durumlar vb.) kendisine uygulanan kontrol etkileri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenen böyle bir sistem.

Dinamik sistem- zamanla değişen herhangi bir sistem (statik bir sistemin aksine). Matematiksel olarak bu genellikle zamanla değişen değişkenler (koordinatlar) aracılığıyla ifade edilir. Değişim süreci bir yörünge (yani her biri zamanın bir fonksiyonu olan koordinat kümeleri) ile karakterize edilir.

Girdi dengesinin dinamik modelleri - Dinamik ekonomik modellerin özel bir durumu, endüstriler arası denge ilkesine dayalı olup, buna endüstri ilişkilerinde zaman içinde meydana gelen değişiklikleri karakterize eden denklemlerin ek olarak dahil edildiği bir modeldir.

Sorunları çözmek için yinelemeli (yinelemeli) yöntemler- hesaplama sürecinin bazı deneme (keyfi) uygun çözümlerle başlaması ve daha sonra bu çözümün tutarlı bir şekilde iyileştirilmesini sağlayan bir algoritmanın uygulanmasından oluşur.

Yineleme -İstenilen sonuca kademeli olarak yaklaşmak için hesaplama problemlerini çözerken bir matematiksel işlemin (değiştirilmiş verilerle) tekrar tekrar uygulanması. Bilgisayardaki yinelemeli hesaplamalar, ekonomik (özellikle optimizasyon ve denge) problemlerin çözümü için tipiktir. Ne kadar az yeniden hesaplama gerekiyorsa, algoritma o kadar hızlı yakınsar.

Doğrudan Maliyet Oranları(teknolojik katsayılar) endüstriler arası dengede - başka bir endüstrinin bir birim üretim çıktısı için bir endüstrinin ürünlerinin (üretim aracı olarak) doğrudan maliyetlerinin ortalama değeri. Ayni (kWh vb.) veya değer (rub.) olarak ifade edilebilirler.

Optimallik kriteri - Olası çözümlerin (alternatifler) karşılaştırmalı olarak değerlendirilmesi ve en iyisinin seçilmesi (örneğin, maksimum kar, minimum işçilik maliyetleri, bir hedefe ulaşmak için en kısa süre vb.) için bir iş kararının ekonomik etkisinin ölçüsünü ifade eden bir gösterge. )

Toplam malzeme maliyet oranları girdi-çıktı dengesinde - ilgili üretim zincirinin tamamı boyunca nihai j ürününün üretimi için i'inci ürünün ortalama maliyetleri. Dolayısıyla her bir endüstrinin belirli bir ürün için doğrudan maliyetleri ve dolaylı maliyetlerden oluşurlar.

Doğrudan Maliyet Oranları(teknolojik katsayılar) endüstriler arası dengede, başka bir endüstrinin bir üretim biriminin çıktısı için bir endüstrinin ürünlerinin (üretim aracı olarak) doğrudan maliyetlerinin ortalama değerleridir. Ayni (kWh vb.) veya değer (rub.) olarak ifade edilebilirler.

Matematiksel programlama(optimal programlama), çeşitli matematiksel yöntemleri ve disiplinleri birleştiren bir matematik alanıdır: doğrusal programlama, doğrusal olmayan programlama, dinamik programlama, dışbükey programlama vb. Matematiksel programlamanın genel sorunu, optimal (maksimum veya minimum) değerini bulmaktır. amaç fonksiyonu ve değişkenlerin değerleri belirli bir kabul edilebilir değer aralığına ait olmalıdır.

Matris modelleri- tablolar (matrisler) şeklinde oluşturulmuş modeller. Üretim maliyetleri ve sonuçları arasındaki ilişkiyi, maliyet standartlarını ve ekonominin üretim ve ekonomik yapısını yansıtırlar. Endüstriler arası dengede, işletmenin matris planında vb. kullanılırlar.

Makine taklidi- elektronik bilgisayarlar kullanarak bir nesneyi incelemenin deneysel yöntemi. Simülasyon süreci şu şekildedir: önce incelenen nesnenin matematiksel bir modeli (simülasyon modeli) oluşturulur, daha sonra bu model bir bilgisayar programına dönüştürülür.

Endüstrilerarası denge (IB) - ekonominin bir çerçeve modeli, ulusal ekonomideki çeşitli doğal ve maliyet bağlantılarını gösteren bir tablo. MOB'un analizi, sektörel bağlamda toplam sosyal ürünün oluşumu ve kullanım sürecinin kapsamlı bir tanımını sağlar.

Nesnel olarak belirlenmiş (optimal) tahminler - doğrusal programlamanın temel kavramlarından biridir. Bunlar, çözülmekte olan optimizasyon probleminin koşullarından kaynaklanan ürünlerin, kaynakların ve işin değerlendirilmesidir. Bunlar aynı zamanda ikili tahminler, çözümleme çarpanları, Lagrange çarpanları ve diğer çeşitli terimler olarak da adlandırılır.

Model sınırlamaları- Bu modeli kullanan hesaplamaların geçerli olduğu koşulların kaydı. Genellikle bir denklemler ve eşitsizlikler sistemini temsil ederler ve birlikte kabul edilebilir çözümlerin (kabul edilebilir küme) bölgesini belirlerler. Doğrusal ve doğrusal olmayan kısıtlamalar yaygındır (grafikte birincisi düz çizgilerle, ikincisi ise eğri çizgilerle gösterilmiştir).

kesinlik bir sistemde - belirli kararların alınması durumunda sistemin olası durumları hakkında doğru bilgilerin olduğu bir durum.

Optimum planlama- bir plan veya program için birçok olası (alternatif) seçenek arasından bir optimal seçeneği, yani belirli bir optimallik kriteri ve belirli kısıtlamalar açısından en iyisini seçmenize olanak tanıyan bir dizi yöntem.

Optimum programlama - Matematiksel programlama yöntemlerinin ekonomide uygulanması.

Optimum kontrol- optimal süreçlerin matematiksel teorisinin temel kavramı (aynı isim altında matematik dalına aittir: optimal kontrol); Belirli bir kriter, süreç akışı açısından en iyiyi veya başka bir deyişle sistemin en iyi davranışını, optimal yörünge boyunca hedefe doğru gelişimini sağlayacak kontrol parametrelerinin seçimi anlamına gelir.

Optimizasyon sorunu - Amacı mevcut kaynakların (bazı kriterler açısından) en iyi dağılımını bulmak olan ekonomik ve matematiksel bir problem. Matematiksel programlama yöntemlerini kullanan bir optimizasyon modeli kullanılarak çözüldü.

Optimizasyon- 1) bir fonksiyonun ekstremumunu bulma süreci, yani çeşitli olası seçenekler arasından en iyi seçeneğin seçilmesi; 2) sistemi en iyi (optimal) duruma getirme süreci. Kuyruk teorisinde kuyruk, hizmet sistemini meşgul bulan, ayrılmayan, ancak serbest bırakılmasını bekleyen (daha sonra şu veya bu sırayla hizmet verilen) bir dizi talep veya uygulamadır. Bir kuyruğa, bekleyen (boşta olan) kanallar veya hizmet tesislerinin bir koleksiyonu da denilebilir.

Pasif (koşulsuz) istatistiksel tahmin- geçmiş döneme ait istatistiksel verilerin incelenmesine ve belirlenen kalıpların geleceğe aktarılmasına dayalı kalkınma tahmini. Aynı zamanda sistemi etkileyen dış faktörler değişmeden kabul edilmekte ve gelişiminin yalnızca kendi iç eğilimlerine dayandığına inanılmaktadır.

Ekonomide limit ve artan değerler. Sınırlayıcı değer bir durumu (toplam veya ortalama değer olarak) değil, bir süreci, bir değişimi karakterize eder. Ekonomideki süreçlerin çoğu (örneğin, üretim artışı veya verimliliğindeki değişiklikler) bir dizi argümanın (faktörlerin) fonksiyonu olduğundan, buradaki sınırlayıcı değerler genellikle faktörlerin her biri için sürecin kısmi türevleri olarak hareket eder.

Tahmin- ulusal ekonominin gelişimindeki eğilimleri belirlemeyi ve araştırmayı amaçlayan niteliksel ve niceliksel nitelikte bir bilimsel araştırma sistemi; en uygun başarmanın yolları hedefler bu gelişme.

Talep Tahmini- ilgili üretim planlarını daha iyi gerekçelendirmek amacıyla mal ve hizmetlere yönelik gelecekteki (olası) talebin araştırılması. Tahminler kısa vadeli (piyasa odaklı), orta vadeli ve uzun vadeli olarak ayrılmıştır.

Üretim fonksiyonu- maliyetlerin (kaynakların) değişken değerlerini ürün değerleriyle (çıktı) birleştiren ekonomik ve matematiksel bir denklem. Matematiksel olarak, üretim fonksiyonları (PF'ler), üretim sonucunun incelenen bir faktöre doğrusal bağımlılığı kadar basit bir formdan, incelenen nesnenin durumlarını ilişkilendiren yinelenen ilişkileri içeren çok karmaşık denklem sistemlerine kadar çeşitli biçimlerde sunulabilir. farklı zaman dilimlerinde. PF'nin çarpımsal biçimleri yaygındır.

Denge - tüm kaynaklar için arz ve talebin eşitliği ile karakterize edilen bir ekonomik sistemin durumu.

Regresyon- rastgele bir değişkenin ortalama değerinin başka bir değere veya birkaç değere bağımlılığı . Bu değerlerin dağılımına koşullu dağılım denir en verildi X. Belirli koşullar altında çoklu regresyon, nedensel faktörlerin etkisinin incelenmesine olanak sağlar.

Özyineleme- genel anlamda, bir fonksiyonun belirli bir algoritma kullanılarak hesaplanması. Bu tür algoritmaların örnekleri, bir dizinin belirli bir üyesinin (genellikle sayısal bir) hesaplamasını önceki birkaç üyenin hesaplanmasından türeten yinelenen formüllerdir.

İstatistiksel Modelleme- Olasılıksal sistemlerin komuta süreçlerini, bu sistemlerdeki iç etkileşimlerin bilinmediği koşullarda incelemenin bir yolu.

Stokastik simülasyon- simüle edilen sistemin olasılıksal doğasını yansıtan, modeldeki rastgele bozuklukları şu veya bu şekilde içermesi açısından deterministikten farklı olan bir tür makine simülasyonu.

Çözüm kararlılığı- genellikle, bir problemin çözümünün kararlılığından bahsederken, herhangi bir özellikteki küçük değişikliklerin, örneğin başlangıç ​​​​koşulları, kısıtlamalar veya objektif işlevsellik, çözümde niteliksel bir değişikliğe yol açmadığı anlamına gelir.

Amaç fonksiyonu ekstrem problemlerde - minimumu veya maksimumu bulunması gereken bir fonksiyon. Bu, optimal programlamada anahtar bir kavramdır. Amaç fonksiyonunun ekstremumunu bulduktan ve dolayısıyla ona yol açan kontrollü değişkenlerin değerlerini belirledikten sonra problemin en uygun çözümünü buluyoruz.

Terazi- Herhangi bir miktarın değerlendirilmesi veya ölçülmesi için benimsenen sayılardan veya diğer unsurlardan oluşan bir sistem. Ölçekler, sistem öğeleri arasındaki bağlantıları ve ilişkileri değerlendirmek ve tanımlamak için kullanılır. Sistemlerin işleyiş kalitesi için kriter görevi gören miktarların, özellikle de ekonomik ve matematik problemlerinin çözümünde optimallik kriterlerinin değerlendirilmesinde kullanımları özellikle yaygındır.

Pratik ders.

Ders. Ekonomik analizde doğrusal cebir yöntemleri.

Hedef. Doğrusal cebirin temel çerçevesine dayalı modelleme elemanlarıyla ekonomik problemlerin çözümü.

1. Referans materyali.

Matris kavramı genellikle pratik faaliyetlerde kullanılır; örneğin, yılın her çeyreğinde çeşitli ürün türlerinin çıktısına ilişkin veriler veya çeşitli ürün türlerinin üretimi için çeşitli kaynak türlerinin maliyet oranları, vesaire. Matris formunda yazmak uygundur.

Görev 1. Bazı endüstrilerde m fabrika n çeşit ürün üretiyor. Matris, ilk çeyrekte her tesisteki üretim hacimlerini belirler; matris buna göre ikinci çeyrekte; (a ij, in ij) – i tesisinde sırasıyla 1. ve 2. çeyreklerde j tipi ürünlerin hacimleri:

; .

a) üretim hacimleri;

b) ürün ve tesis türlerine göre birinci çeyreğe kıyasla ikinci çeyrekte üretim hacimlerinde artış;

c) λ doların ruble karşısındaki döviz kuru ise, üretilen ürünlerin altı aylık değer ifadesi (dolar cinsinden).

Çözüm:

a) Yarı yılın üretim hacimleri matrislerin toplamına göre belirlenir; C=A+B=, burada c ij, i'inci tesis tarafından altı ay boyunca üretilen j-th tipi ürünlerin hacmidir.

b) İkinci çeyrekte birinciye göre artış, matrislerdeki farkla belirlenir;

D=V-A= . Negatif unsurlar bu tesisteki üretim hacminin azaldığını, pozitif unsurların arttığını, sıfır unsurların ise değişmediğini göstermektedir.

c) λC= λ(A+B) çarpımı, her fabrika ve her işletme için çeyrek başına üretim hacimlerinin maliyetini dolar cinsinden ifade eder.

Görev 2. Bir işletme m çeşit kaynak kullanarak n çeşit ürün üretmektedir. J-th tipindeki bir birim ürünün üretimi için i-th ürününün kaynağının maliyet oranları, maliyet matrisi tarafından belirlenir. İşletmenin matriste kayıtlı her ürün türünden belirli bir süre boyunca üretmesini sağlayın.

S'yi belirleyin - belirli bir süre için tüm ürünlerin üretimi için her türdeki kaynakların toplam maliyetinin matrisi;

, . Çözüm. Toplam kaynak maliyetleri matrisi S, matrislerin çarpımı olarak tanımlanır; S=AX.

yani belirli bir süre içinde 930 birim tüketilecektir. 1. tip kaynak, 960 birim. 2. tip kaynak, 450 adet. 3. tip kaynak, 630 adet. 4. tip kaynak.

Görev 3. Tesis, hemen ek ayar gerektirebilecek (vakaların %40'ında) veya hemen kullanılabilen (vakaların %60'ında) motorlar üretiyor. İstatistiksel çalışmaların gösterdiği gibi, başlangıçta ayar gerektiren motorlar, vakaların %65'inde bir ay sonra ek ayar gerektirecek ve vakaların %35'inde bir ay sonra iyi çalışacaklardır. İlk ayar gerektirmeyen aynı motorlar, vakaların %20'sinde bir ay sonra bunu gerektirecek ve vakaların %80'inde iyi çalışmaya devam edecektir. Piyasaya sürüldükten 2 ay sonra iyi çalışacak veya ayar gerektirecek motorların yüzdesi nedir? 3 ayda mı?

Çözüm.

Piyasaya sürüldükten sonraki anda iyi motorların payı 0,6, ayar gerektirenlerin payı ise 0,4'tür. Bir ay içinde iyilerin payı 0,6 olacak. 0,8+0,4. 0,35=0,62. Ayarlama gerektiren oran: 0,6. 0,2+0,4. 0,65=0,38. t anında durum satırına X t girin; X t =(x 1 t; x 2 t), burada x 1 t iyi motorların payıdır, x 2 t ise t zamanında ayar gerektiren motorların payıdır.

Geçiş Matrisi , şu anda durumda olan motorların oranı (1- "iyi", 2- "ayarlanması gerekiyor") ve bir ay sonra - durumda.

Açıkçası, geçiş matrisi için her satırın elemanlarının toplamı 1'e eşittir, tüm elemanlar negatif değildir.

Açıkçası =(0,6 0,4), .

Daha sonra bir ay içinde ,

2 ay sonra ; 3 ay içinde .

Matrisleri bulalım;

Eğer bir geçiş matrisi ise, o zaman herhangi bir doğal t için de bir geçiş matrisi olduğuna dikkat edin. Şimdi

,

Açıkça, .

Görev 3.Şirket, geçen yıl toplam karı 12 milyon konvansiyonel birime ulaşan iki şubeden oluşuyor. birimler Bu yıl ilk şubenin kârının %70, ikinci şubenin kârının ise %40 artırılması planlanıyor. Sonuç olarak toplam kârın 1,5 kat artması gerekiyor. Her bir bölümün kâr miktarı nedir: a) geçen yıl; b) bu ​​yıl?

Çözüm.

Birinci ve ikinci şubelerin geçen yılki karı olsun. o zaman problem koşulu bir sistem olarak yazılabilir: Sistemi çözdükten sonra Investigator'ı elde ederiz: a) İlk bölümün geçen yılki karı 4 milyon konvansiyonel birimdir. birimler ve ikincisi – 8 milyon geleneksel birim. birimler; b) Birinci bölümün bu yılki karı 1,7. 4=6,8 milyon konvansiyonel birim birimler, ikinci 1.4. 8=11,2 milyon konvansiyonel birim birimler

2.1. Üç fabrika dört çeşit ürün üretiyor. Şunlar gereklidir: a) A 1, A 2, A 3 aylık çıktı matrisleri verilmişse, çeyreklik ürün çıktı matrisini bulun; b) her ay B 1 ve B 2 için üretimin büyüme matrislerini bulun ve sonuçları analiz edin:

; ; .

2.2. Şirket üç çeşit mobilya üretip dört bölgede satıyor. Matris i. tipteki bir mobilya biriminin j. bölgedeki satış fiyatını belirler. Aylık mobilya satışları matrisle veriliyorsa, işletmenin her bölgedeki gelirini belirleyin.

2.3 . Görev 2'nin koşullarına göre şunları belirleyin: 1) maliyet oranları matris tarafından belirtilmişse, aylık ürünlerin üretimi için 3 türdeki kaynakların toplam maliyeti ve iki tür ürünün her birinin çıktı hacmi;

2) her kaynağın birim maliyeti verilmişse, harcanan tüm kaynakların maliyeti .

2.4 . Tamirhane, %70'i küçük onarımlar, %20'si orta onarımlar, %10'u karmaşık onarımlar gerektiren telefonlar alıyor. Küçük onarım geçiren cihazların %10'unun bir yıl sonra küçük onarım gerektirdiği, %60'ının orta düzeyde onarım gerektirdiği, %30'unun ise karmaşık onarım gerektirdiği istatistiksel olarak tespit edilmiştir. Ortalama onarım geçiren cihazların %20'sinde bir yıl sonra küçük onarım, %50'sinde orta düzeyde onarım, %30'unda ise karmaşık onarım gerekir. Komple onarıma tabi tutulan cihazların bir yıl sonra %60'ı küçük onarım, %40'ı ise orta düzeyde onarım gerektirir. Yılın başında onarılan ve şu ya da bu şekilde onarım gerektirecek cihazların payını bulun: 1 yıl sonra; 2 yıl; 3 yıl.

Pratik ders.

Ders. SEP modellerinin oluşturulması için matematiksel analiz yöntemleri.

Hedef. Ekonomik problemlerin matematiksel analiz yöntemlerini kullanarak modelleme elemanlarıyla çözülmesi.

1. Referans materyali.

Fonksiyonlar ekonomik teori ve pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Ekonomide kullanılan fonksiyonların aralığı çok geniştir: en basit doğrusal olanlardan, incelenen nesnelerin farklı zaman dilimlerindeki durumlarını birbirine bağlayan tekrarlayan ilişkiler kullanılarak belirli bir algoritmaya göre elde edilen fonksiyonlara kadar.

Ekonomide en sık kullanılan işlevler şunlardır:

1. Fayda işlevi (tercih işlevi) – sonucun bağımlılığı, bazı eylemlerin bu eylemin düzeyi (yoğunluğu) üzerindeki etkisi.

2. Üretim fonksiyonu - üretim faaliyeti sonucunun onu belirleyen faktörlere bağımlılığı.

3. Çıktı işlevi – üretim hacminin kaynakların kullanılabilirliğine veya tüketimine bağımlılığı.

4. Maliyet fonksiyonu – üretim maliyetlerinin üretim hacmine bağımlılığı.

5. Talep, tüketim ve arz işlevleri - bireysel mal veya hizmetlere yönelik talep, tüketim veya arz hacminin çeşitli faktörlere (örneğin, fiyat, gelir vb.) bağımlılığı.

Ekonomik olay ve süreçlerin çeşitli faktörlerin etkisiyle belirlendiği göz önüne alındığında, çeşitli değişkenlerin fonksiyonları bunları incelemek için yaygın olarak kullanılır. Bu işlevler arasında, bağımlı değişkeni faktör değişkenlerinin bir ürünü olarak temsil etmeyi mümkün kılan ve en az bir faktörün etkisi olmadığında onu sıfıra çeviren çarpımsal işlevler ayırt edilir.

Çeşitli değişken faktörlerin bağımlı değişken üzerindeki etkisini izole etmeyi mümkün kılan ayrılabilir işlevler de kullanılır ve özellikle aynı bağımlı değişkeni, birkaç faktörün hem toplam, hem de ayrı etkisi altında ve eşzamanlı olarak temsil eden toplamsal işlevler. etkilemek.

Türevin geometrik ve mekanik anlamının yanı sıra ekonomik anlamı da bulunmaktadır. Birincisi, üretim hacminin zamana göre türevi o anki emek verimliliğidir. İkinci olarak, türevin ekonomik anlamını karakterize eden başka bir kavram daha vardır. Üretim maliyetleri ise sençıktı miktarının bir fonksiyonu olarak kabul edilir X , - Üretimdeki artış, - Üretim maliyetlerindeki artış ve - Birim üretim başına üretim maliyetindeki ortalama artış, daha sonra türev eşitliği ifade eder marjinal maliyet üretim ve bir birim ek ürün üretmenin ek maliyetlerini yaklaşık olarak karakterize eder.

Marjinal maliyetler üretim seviyesine (çıktı miktarına) bağlıdır X ve sabit üretim maliyetleriyle değil, yalnızca değişken maliyetlerle (hammadde, yakıt vb. için) belirlenir. Benzer şekilde marjinal gelir, marjinal gelir, marjinal ürün, marjinal fayda ve diğer marjinal değerler belirlenebilir.

Sınır değerler bir durumu değil, bir süreci, yani ekonomik bir nesnedeki değişikliği karakterize eder. Dolayısıyla türev, bazı ekonomik nesnelerin (süreçlerin) zaman içinde veya incelenen başka bir faktöre göre değişim oranı olarak hareket eder. Ekonomik hesaplamaların birçok nesnesinin bölünemezliği ve ekonomik göstergelerin zaman içindeki süreksizliği (ayrıklığı) nedeniyle (örneğin, yıllık, üç aylık, aylık, vb.) Ekonominin her zaman sınır değerlerin kullanılmasına izin vermediği dikkate alınmalıdır. vesaire.). Aynı zamanda, bazı durumlarda göstergelerin ayrıklığını göz ardı etmek ve değerleri etkili bir şekilde sınırlamak mümkündür.

Ekonomik süreçleri incelemek ve uygulamalı problemleri çözmek için bir fonksiyonun esnekliği kavramı sıklıkla kullanılır.

Bir fonksiyonun esnekliği, bir fonksiyonun göreceli artış oranının sınırıdır sen değişkenin göreceli artışına Xşurada:

. (1)

Bir fonksiyonun esnekliği, fonksiyonun yaklaşık olarak yüzde kaç oranında değişeceğini gösterir sen = F ( X ) bağımsız değişken değiştiğinde X%1 oranında. Bu, bir değişkenin diğerindeki değişikliğe verdiği tepkinin ölçüsüdür.

Fonksiyonun esneklik özelliklerine dikkat edelim.

1. Bir fonksiyonun esnekliği bağımsız değişkenin çarpımına eşittir X fonksiyonun değişim hızına ilişkin , yani .

2. İki fonksiyonun çarpımının (bölüm) esnekliği, bu fonksiyonların esnekliklerinin toplamına (farkına) eşittir: , .

Talep ve tüketim analizinde fonksiyonların esnekliğinden yararlanılmaktadır. Örneğin talebin esnekliği sen fiyatla ilgili X– formül (1) ile belirlenen ve fiyat (veya gelir) %1 değiştiğinde talebin (tüketim hacminin) yüzde kaçının değişeceğini yaklaşık olarak gösteren katsayı.

Talebin esnekliği (mutlak değerde) ise, o zaman talep esnek, eğer nötr ise, eğer - fiyat (veya gelir) açısından esnek değilse kabul edilir.

Pratik faaliyetlerde sıklıkla matematiksel analiz yöntemleriyle rasyonel olarak çözülebilecek problemlerle karşılaşılır. Bunlar, kâr değeri bilinen üretim hacmini bulma, geliri bilinen malların tüketim düzeyini belirleme, üretim kârlılığının zaman içindeki noktasını belirleme, bilinen başlangıç ​​yatırımlarıyla katkı boyutunu belirleme vb. sorunlardır.

Görev 1. Bir parça parça üretimi için maliyetler y (ruble cinsinden), partinin hacmi olan formül ile belirlenir. Teknolojik sürecin ilk çeşidi için. İkinci seçenek için, (rub.) (det.) ve (rub.) (det.) olduğu bilinmektedir. İki teknolojik süreç seçeneğini değerlendirin ve her iki seçeneğin üretim maliyetini (detaylar) adresinde bulun.

Çözüm .

İkinci seçenek için parametreleri ve denklem sisteminden belirliyoruz:

nereden ve ör. .

İki doğrunun kesişme noktası (x 0 ,y 0) denklem sisteminden bulunur:

nereden, .Açıkçası, partinin hacmi nedeniyle, teknolojik sürecin ikinci seçeneği, ilk seçenekle daha karlı. İlk seçenek için üretim maliyeti (rub.) ve ikincisi için - .

Görev 2. Sabit maliyetler 125 bin ruble. ayda ve değişken maliyetler - 700 ruble. Her üretim birimi için. Birim fiyatı 1200 ruble. Kârın aşağıdakilere eşit olduğu üretim hacmini bulun: a) sıfır (başabaş noktası); b) 105 bin ruble. her ay.

Çözüm:

a) Üretim birimlerinin üretim maliyetleri: (bin ruble) olacaktır. Bu ürünlerin satışından elde edilen toplam gelir (gelir) kardır (bin ruble). ,'nin (birim)'e eşit olduğu başabaş noktası.

b) Kâr (bin ruble), yani. (birimlerde).

Görev 3. Tekrarlanan işlemler için yürütme süresi (min.), bu işlemlerin sayısına bağımlılıkla ilişkilidir. için ve için olduğu biliniyorsa, 50 işlem için işin kaç dakika sürdüğünü hesaplayın.

Çözüm. Bunu dikkate alarak ve parametrelerini bulalım. Sistemi alıyoruz: bulacağımız çözüm , .

Öyleyse ne zaman , (dak.)

Görev 4. Bir işçi ekibi tarafından üretilen çıktının hacmi aşağıdaki denklemle açıklanabilir: (birimler), , nerede T– saat cinsinden çalışma süresi. İşgücü verimliliğini, işin başlamasından bir saat sonra ve bitiminden bir saat önce değişimin hızını ve oranını hesaplayın.

Çözüm.İşgücü verimliliği türev olarak ifade edilir (birim/saat) ve üretkenlikteki değişimin hızı ve oranı sırasıyla türev ve logaritmik türevdir. : (birim/saat 2),

(birim/saat).

Belirli zaman anlarında ve buna göre elimizde: z(t)=112,5 (birim/saat), z'(t)=-20(birim/saat 2), T z (7)=-0,24 ( birim/ saat).

Yani işin sonunda emek verimliliği önemli ölçüde azalır; Ayrıca z'(t) ve T z(t) işaretinin artıdan eksiye değişmesi, iş gününün ilk saatlerindeki emek verimliliğindeki artışın, yerini son saatlerde azalmasına bıraktığını göstermektedir.

Görev 5. Arz ve talebin fonksiyonları ampirik olarak kurulmuştur; Q Ve S – Birim zaman başına sırasıyla satın alınan ve satışa sunulan malların miktarı, P- ürünün fiyatı.

Aşağıdakileri bulun: a) denge fiyatı, yani talebin arza eşit olduğu fiyat;

b) bu ​​fiyat için arz ve talebin esnekliği;

c) Fiyat denge fiyatından %5 oranında arttığında gelirde meydana gelen değişiklik.

Çözüm. a) Denge fiyatı şu koşuldan bulunur: Q = S, Daha sonra , Neresi P = 2, yani denge fiyatı 2 para birimidir.

b) Formül (1)'i kullanarak arz ve talebin esnekliğini bulalım.

; . Denge fiyatı için P =2 sahibiz ; . Mutlak değerde elde edilen esneklik değerleri 1'den küçük olduğundan bu ürünün denge (piyasa) fiyatında hem talebi hem de arzı fiyata göre esnek değildir. Bu, fiyattaki bir değişikliğin arz ve talepte keskin bir değişikliğe yol açmayacağı anlamına gelir. Yani fiyat artışıyla P%1 oranında talep %0,3 oranında azalacak ve arz %0,8 oranında artacaktır.

c) Fiyat arttığında P Denge talebinin %5'i oranında 5 oranında azalacaktır. 0,3=%1,5 dolayısıyla gelir %3,5 artacaktır.

Görev 6.Üretim maliyetleri arasındaki ilişki sen ve ürün hacmi X fonksiyonla ifade edilir (den. birimleri). 10 birimlik bir üretim hacmi için ortalama ve marjinal maliyetleri belirleyin.

Çözüm. Ortalama maliyet fonksiyonu şu ilişki ile ifade edilir: ; en X = 10ortalama maliyetler (birim üretim başına) eşittir (den. birimleri). Marjinal maliyet fonksiyonu türev ile ifade edilir ; en X = 10 marjinal maliyet (parasal birim) olacaktır. Yani, bir birim çıktı üretmenin ortalama maliyeti 45 parasal birim ise, o zaman marjinal maliyet, yani; Belirli bir üretim seviyesinde (çıkış hacmi 10 birim) ek bir üretim biriminin üretimi için ek maliyetler 35 para birimidir.

Görev 7. Toplam maliyetlerin esnekliği 1'e eşitse, bir işletmenin marjinal ve ortalama toplam maliyetlerinin ne olacağını öğrenin?

Çözüm. İşletmenin toplam maliyeti olsun sen fonksiyonu ile ifade edilir, burada X– üretilen ürünlerin hacmi. Daha sonra ortalama maliyet sen 1 üretim birimi başına. İki fonksiyonun bölümünün esnekliği esnekliklerindeki farka eşittir, yani. .

Bu nedenle koşula göre, . Bu, üretim hacmindeki bir değişiklikle, üretim birimi başına ortalama maliyetin değişmediği anlamına gelir;

Bir işletmenin marjinal maliyeti türev tarafından belirlenir. Yani, marjinal maliyetler ortalama maliyetlere eşittir (sonuç ifadesi yalnızca doğrusal maliyet fonksiyonları için geçerlidir).

2. Bağımsız çalışma için ödevler.

2.1. İki ulaşım yöntemiyle ulaşım maliyetleri aşağıdaki denklemlerle ifade edilir: ve , burada mesafeler yüzlerce kilometredir ve taşıma maliyetleridir. İkinci ulaşım şekli hangi mesafeden daha ekonomiktir?

2.2. İşgücü verimliliğindeki değişiklikle üretim hacmindeki değişimin düz bir çizgide gerçekleştiğini bilerek, =3 =185 ve =5 =305 ise denklemini oluşturun. =20 noktasındaki üretim hacmini belirleyin.

2.3 . Şirket 150 bin ruble değerinde bir araba satın aldı. Yıllık amortisman oranı %9’dur. Arabanın maliyetinin zamana bağımlılığının doğrusal olduğunu varsayarak arabanın 4,5 yıldaki maliyetini bulunuz.

2.4. Belirli bir mal türünün tüketim düzeyinin aile gelir düzeyine bağımlılığı şu formülle ifade edilir: . 158 para birimilik bir aile gelir düzeyinde mal tüketim düzeyini bulun. =50 =0 olduğunda; =74 =0,8; =326 =2,3.

2.5. Banka her yıl yıllık %5 (bileşik faiz) ödemektedir. Belirleyin: a) ilk depozito 10 bin ruble ise, 3 yıl sonra depozito miktarı; b) 4 yıl sonra depozito (faiz parasıyla birlikte) 10.000 ruble olacak olan ilk depozito miktarı.

Not. Depozito tutarı T yıllar formülle belirlenir , Nerede P - yıllık faiz oranı, Q 0 – ilk depozito.

2.6. Üretim maliyetleri (bin ruble), ay sayısı olan denklemle ifade edilir. Ürün satışlarından elde edilen gelir denklemle ifade edilir. Üretim hangi aydan itibaren karlı olacak?

2.7. Birim üretim maliyeti arasındaki ilişki sen(bin ruble) ve ürün çıktısı X(milyar ruble) fonksiyonla ifade edilir. 60 milyar rubleye eşit bir üretim çıktısının maliyet esnekliğini bulun.

Pratik ders.

Ders. Ekonomik süreçlerin limit analizi.

Hedef. Optimizasyon problemlerinde sınır değerleri bulmak için matematiksel yöntemlerin kullanımını düşünün.

1.Referans materyali.

Maliyet fonksiyonu C(x)Üretim için gerekli maliyetleri belirler X Bu ürünün birimleri. Kâr nerede D ( X ) - üretimden elde edilen gelir Xürün birimleri.

Ortalama maliyetler A ( X ) üretimde XÜrün birimleri .Marjinal maliyettir.

Optimum değerÜretici için sürüm değerdir X kar elde edilen ürün birimleri P ( X ) en büyüğü olduğu ortaya çıkıyor.

Görev 1. Maliyet fonksiyonu şu şekildedir: . İlk aşamada şirket, üretimi ortalama maliyetleri en aza indirecek şekilde organize ediyor A ( X ) . Daha sonra ürünün fiyatı 4 konvansiyonel birim olarak belirlenmektedir. bir birim için. Firma üretimi kaç birim artırmalıdır?

Çözüm. Ortalama maliyetler minimum değeri al X=10. Marjinal maliyetler. İstikrarlı bir fiyata, optimum değer P ( X ) çıktı, kar maksimizasyonu koşuluyla verilir: , yani. 4= M ( X ) , Neresi . Bu nedenle üretimin 10 birim artırılması gerekiyor.

Görev 2.Üretici için en uygun çıktı değerini belirleyin X 0 P =14 Eğer maliyet fonksiyonunun türü biliniyorsa .

Çözüm. Elde ettiğimiz kar formülünü kullanarak, .

Hacimce kârın türevini bulun: , Daha sonra x tercih = 2.

Görev 3. Tüm malların birim başına sabit bir fiyatla satılması koşuluyla, bir imalat şirketinin alabileceği maksimum karı bulun R=10,5 ve maliyet fonksiyonu şu şekildedir .

Çözüm. Kârın değerini bulun.

Hacim bazında kârın türevi şu şekildedir: . Daha sonra , . .

2. Bağımsız çalışmaya yönelik ödevler .

2.1 Üretici için en uygun çıktı değerini belirleyin X 0 Tüm malların birim başına sabit bir fiyattan satılması şartıyla P=8 ve maliyet fonksiyonunun formu biliniyor .

2.2 Tüm malların birim başına sabit bir fiyattan satılması koşuluyla, bir imalat şirketinin alabileceği maksimum karı bulun P=40 ve maliyet fonksiyonunun formu biliniyor .

2.3 Tekel tarafından üretildiğinde X birim başına mal birimi . Tekel için en uygun çıktı değerini belirleyin X 0 (üretilen tüm malların satıldığı varsayılır), eğer maliyetler şu şekildeyse .

2.4 Maliyet fonksiyonu şu şekildedir: . Bir birim üretimin satışından elde edilen gelir 50'dir. Üreticinin alabileceği maksimum kar değerini bulunuz.

2.5 Üretimin ilk aşamasında firma ortalama maliyetleri en aza indirir ve maliyet fonksiyonu şu şekildedir: . Daha sonra birim malın fiyatı eşit olarak belirlenir. R=37. Firma üretimi kaç birim artırmalıdır? Ortalama maliyetler ne kadar değişecek?

Test ödevleri.

Görev 1.

Talep D(p) ve arz S(p)'nin fiyata bağımlılığı verilmiştir.

Bul: 1) denge fiyatı ve denge fiyatındaki gelir;

2) gelirin maksimum olduğu fiyat ve bunun kendisi

maksimum gelir.

Bir bağımlılık grafiği oluşturun.

Görev 2.

Her biri aynı fayda fonksiyonuna sahip üç katılımcının olduğu bir piyasa düşünün . 1., 2. ve 3. katılımcıların başlangıç ​​özelliği vektörlerle belirtilsin ve piyasadaki fiyatlar p=1, p=2, p=3 olsun.

Kontrol edin: 1) konumun dengede olup olmadığı;

2) Walras'ın aşırı talep yasası yerine getirildi mi:

Görev 3.

Leontief modeli A matrisi tarafından verilsin.

Y tüketim vektörünü sağlayan üretim hacmini bulun.

Seçenek No.	1 görev	2 görev	3 görev
1		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
2		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
3		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
4		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
5		(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
6		(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
7		(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
8		(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
9		(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
10		(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
11		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
12		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
13		(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
14		(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
15		(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
16		(4,2,3), (4,3,4),
17		(3,2,3), (4,3,4),
18		(3,2,3), (2,4,6),
19