Y คือ 2 รากที่สามของ x อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง ลูกบาศก์รูต คุณสมบัติของลูกบาศก์รูต"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยการศึกษาและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 9
คอมเพล็กซ์การศึกษา 1C: "ปัญหาพีชคณิตพร้อมพารามิเตอร์ เกรด 9–11" สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.0"

คำจำกัดความของฟังก์ชันกำลัง - รูทคิวบ์

พวกเราเรียนกันต่อไป ฟังก์ชั่นพลังงาน- วันนี้เราจะมาพูดถึงฟังก์ชัน "รากลูกบาศก์ของ x"
รากที่สามคืออะไร?
จำนวน y เรียกว่ารากลูกบาศก์ของ x (รากของระดับที่สาม) หากความเสมอภาค $y^3=x$ ยังคงอยู่
เขียนแทนด้วย $\sqrt(x)$ โดยที่ x เป็นจำนวนราก 3 เป็นเลขชี้กำลัง
$\sqrt(27)=3$; $3^3=$27.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
ดังที่เราเห็น รากที่สามสามารถแยกออกจากจำนวนลบได้เช่นกัน ปรากฎว่ารากของเรามีอยู่สำหรับตัวเลขทุกตัว
รากที่สามของจำนวนลบคือ จำนวนลบ- เมื่อยกกำลังเป็นคี่ เครื่องหมายจะยังคงอยู่

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$
ให้ $\sqrt((-x))=a$ และ $\sqrt(x)=b$ ลองยกนิพจน์ทั้งสองยกกำลังสามกัน. $–x=a^3$ และ $x=b^3$. จากนั้น $a^3=-b^3$ หรือ $a=-b$ ในสัญกรณ์รากเราได้รับเอกลักษณ์ที่ต้องการ

คุณสมบัติของรากลูกบาศก์

ก) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

ลองพิสูจน์คุณสมบัติที่สองกัน $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
เราพบว่าตัวเลข $\sqrt(\frac(a)(b))$ กำลังสามเท่ากับ $\frac(a)(b)$ แล้วเท่ากับ $\sqrt(\frac(a)(b))$ ซึ่งและจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

เพื่อนๆ เรามาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันดีกว่า
1) ตั้งค่าโดเมน ตัวเลขจริง.
2) ฟังก์ชันนี้เป็นเลขคี่ เนื่องจาก $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$ ขั้นต่อไป ให้พิจารณาฟังก์ชันของเราสำหรับ $x≥0$ จากนั้นจึงแสดงกราฟที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด
3) ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเมื่อ $x≥0$ สำหรับฟังก์ชันของเรา ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้น
4) ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกจำกัดจากด้านบน ในความเป็นจริงจากที่ใดก็ได้ จำนวนมากเราสามารถคำนวณรากที่สามได้ และเราสามารถขึ้นไปถึงอนันต์เพื่อค้นหาทุกสิ่งได้ ค่าขนาดใหญ่การโต้แย้ง.
5) สำหรับ $x≥0$ ค่าที่น้อยที่สุดคือ 0 คุณสมบัตินี้ชัดเจน
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันตามจุดที่ x≥0 กันดีกว่า

ลองสร้างกราฟของฟังก์ชันในส่วนนิยามทั้งหมดกัน จำไว้ว่าฟังก์ชันของเราเป็นเลขคี่

คุณสมบัติฟังก์ชั่น:
1) D(y)=(-∞;+∞)
2) ฟังก์ชั่นแปลก ๆ
3) เพิ่มขึ้น (-∞;+∞)
4) ไม่จำกัด
5) ไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

7) E(y)= (-∞;+∞)
8) นูนลง (-∞;0), นูนขึ้น (0;+∞)

ตัวอย่างการแก้ฟังก์ชันยกกำลัง

ตัวอย่าง
1. แก้สมการ $\sqrt(x)=x$
สารละลาย. มาสร้างกราฟสองอันในอันเดียวกัน ประสานงานเครื่องบิน$y=\sqrt(x)$ และ $y=x$

อย่างที่คุณเห็น กราฟของเราตัดกันที่จุดสามจุด
คำตอบ: (-1;-1), (0;0), (1;1)

2. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=\sqrt((x-2))-3$.
สารละลาย. กราฟของเราได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=\sqrt(x)$, การถ่ายโอนแบบขนานสองหน่วยทางด้านขวาและสามหน่วยลง

3. เขียนกราฟฟังก์ชันแล้วอ่าน $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$
สารละลาย. ลองสร้างกราฟฟังก์ชันสองกราฟบนระนาบพิกัดเดียวกัน โดยคำนึงถึงเงื่อนไขของเรา สำหรับ $x≥-1$ เราสร้างกราฟของรากที่สาม สำหรับ $x≤-1$ เราสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น
1) D(y)=(-∞;+∞)
2) ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่
3) ลดลง (-∞;-1), เพิ่มขึ้น (-1;+∞)
4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง
5) คุ้มค่าที่สุดเลขที่ ค่าต่ำสุดเท่ากับลบหนึ่ง
6) ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด
7) จ(y)= (-1;+∞)

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. แก้สมการ $\sqrt(x)=2-x$
2. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=\sqrt((x+1))+1$
3. พล็อตกราฟของฟังก์ชันแล้วอ่าน $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$

เป้าหมายหลัก:

1) เพื่อสร้างแนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของการศึกษาทั่วไปของการพึ่งพาปริมาณจริงโดยใช้ตัวอย่างของปริมาณ เชื่อมต่อกันด้วยความสัมพันธ์ย=

2) เพื่อพัฒนาความสามารถในการสร้างกราฟ y= และคุณสมบัติของกราฟนั้น

3) ทำซ้ำและรวมเทคนิคการคำนวณด้วยวาจาและการเขียนการยกกำลังสองการแยกรากที่สอง

อุปกรณ์, วัสดุสาธิต: เอกสารประกอบคำบรรยาย

1. อัลกอริทึม:

2. ตัวอย่างการทำงานให้เสร็จสิ้นในกลุ่ม:

3. ตัวอย่างการทดสอบตนเองของงานอิสระ:

4. การ์ดสำหรับระยะสะท้อน:

1) ฉันเข้าใจวิธีการสร้างกราฟของฟังก์ชัน y=

2) ฉันสามารถแสดงรายการคุณสมบัติโดยใช้กราฟได้

3) ฉันไม่ได้ทำผิดพลาดในงานอิสระ

4) ฉันทำผิดพลาดในงานอิสระของฉัน (เขียนรายการข้อผิดพลาดเหล่านี้และระบุเหตุผล)

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. การตัดสินใจด้วยตนเองในกิจกรรมการศึกษา

จุดประสงค์ของเวที:

1) รวมนักเรียนในกิจกรรมการศึกษา

2) กำหนดเนื้อหาของบทเรียน: เรายังคงทำงานกับจำนวนจริงต่อไป

องค์กร กระบวนการศึกษาในขั้นตอนที่ 1:

– เราเรียนอะไรในบทเรียนที่แล้ว? (เราศึกษาเซตของจำนวนจริง การดำเนินการกับพวกมัน สร้างอัลกอริธึมเพื่ออธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชัน ฟังก์ชันซ้ำที่ศึกษาในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7)

– วันนี้เราจะมาต่อเรื่องเซตของจำนวนจริงซึ่งเป็นฟังก์ชันกันต่อ

2. อัพเดตความรู้และบันทึกปัญหาในการทำกิจกรรม

จุดประสงค์ของเวที:

1) อัปเดตเนื้อหาการศึกษาที่จำเป็นและเพียงพอต่อการรับรู้เนื้อหาใหม่: ฟังก์ชั่น, ตัวแปรอิสระ, ตัวแปรตาม, กราฟ

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,

2) อัปเดตการดำเนินการทางจิตที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการรับรู้เนื้อหาใหม่: การเปรียบเทียบการวิเคราะห์ลักษณะทั่วไป

3) บันทึกแนวคิดและอัลกอริธึมที่ทำซ้ำทั้งหมดในรูปแบบของไดอะแกรมและสัญลักษณ์

4) บันทึกความยากลำบากส่วนบุคคลในกิจกรรมซึ่งแสดงให้เห็นในระดับที่สำคัญส่วนบุคคลถึงความไม่เพียงพอของความรู้ที่มีอยู่

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 2:

1. จำไว้ว่าคุณสามารถตั้งค่าการขึ้นต่อกันระหว่างปริมาณได้อย่างไร (การใช้ข้อความ สูตร ตาราง กราฟ)

2. ฟังก์ชั่นเรียกว่าอะไร? (ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองปริมาณ โดยแต่ละค่าของตัวแปรหนึ่งสอดคล้องกับค่าเดียวของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง y = f(x))

เอ็กซ์ชื่ออะไร? (ตัวแปรอิสระ - อาร์กิวเมนต์)

ชื่ออะไรคะ? (ตัวแปรตาม)

3. เราเรียนฟังก์ชั่นตอนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 หรือไม่? (y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,)

งานส่วนบุคคล:

กราฟของฟังก์ชัน y = kx + m, y =x 2, y = คืออะไร?

3. ระบุสาเหตุของปัญหาและกำหนดเป้าหมายในการทำกิจกรรม

จุดประสงค์ของเวที:

1) จัดระเบียบปฏิสัมพันธ์การสื่อสารในระหว่างนั้น คุณสมบัติที่โดดเด่นงานที่ทำให้เกิดความยุ่งยากในกิจกรรมการเรียนรู้

2) เห็นด้วยกับวัตถุประสงค์และหัวข้อของบทเรียน

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 3:

- มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับงานนี้? (การพึ่งพาอาศัยสูตร y = ซึ่งเรายังไม่พบ)

– จุดประสงค์ของบทเรียนคืออะไร? (ทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชัน y = คุณสมบัติและกราฟ ใช้ฟังก์ชันในตารางเพื่อกำหนดประเภทของการพึ่งพา สร้างสูตรและกราฟ)

– คุณสามารถกำหนดหัวข้อของบทเรียนได้หรือไม่? (ฟังก์ชัน y= คุณสมบัติและกราฟ)

– เขียนหัวข้อลงในสมุดบันทึกของคุณ

4. ก่อสร้างโครงการเพื่อหลุดพ้นจากความยากลำบาก

จุดประสงค์ของเวที:

1) จัดระเบียบปฏิสัมพันธ์การสื่อสารเพื่อสร้างวิธีการดำเนินการใหม่ที่กำจัดสาเหตุของปัญหาที่ระบุ

2) แก้ไข วิธีใหม่การกระทำในรูปแบบสัญลักษณ์ วาจา และการใช้มาตรฐาน

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 4:

การทำงานในขั้นตอนนี้สามารถจัดเป็นกลุ่มโดยขอให้กลุ่มสร้างกราฟ y = แล้ววิเคราะห์ผลลัพธ์ สามารถขอให้กลุ่มอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชันที่กำหนดโดยใช้อัลกอริทึมได้

5. การรวมหลักในคำพูดภายนอก

วัตถุประสงค์ของเวที: เพื่อบันทึกเนื้อหาการศึกษาที่ศึกษาเป็นคำพูดภายนอก

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 5:

สร้างกราฟของ y= - และอธิบายคุณสมบัติของกราฟ

คุณสมบัติ y= - .

1.โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน

2. ช่วงค่าของฟังก์ชัน

3. y = 0, y> 0, y<0.

y =0 ถ้า x = 0

ย<0, если х(0;+)

4.เพิ่มลดฟังก์ชัน

ฟังก์ชันลดลงเมื่อ x

มาสร้างกราฟของ y= กัน

เรามาเลือกส่วนของมันในส่วนนั้นกัน โปรดทราบว่าเรามี = 1 สำหรับ x = 1 และ y สูงสุด =3 ที่ x = 9

คำตอบ: ในนามของเรา. = 1, y สูงสุด =3

6. ทำงานอิสระพร้อมทดสอบตัวเองตามมาตรฐาน

วัตถุประสงค์ของขั้นตอน: เพื่อทดสอบความสามารถของคุณในการใช้เนื้อหาทางการศึกษาใหม่ในเงื่อนไขมาตรฐาน โดยอิงจากการเปรียบเทียบโซลูชันของคุณกับมาตรฐานสำหรับการทดสอบตัวเอง

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 6:

นักเรียนทำงานให้เสร็จสิ้นโดยอิสระ ทำการทดสอบตัวเองตามมาตรฐาน วิเคราะห์ และแก้ไขข้อผิดพลาด

มาสร้างกราฟของ y= กัน

ใช้กราฟค้นหาค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในส่วนนั้น

7. การรวมไว้ในระบบความรู้และการทำซ้ำ

วัตถุประสงค์ของเวที: เพื่อฝึกทักษะการใช้เนื้อหาใหม่ร่วมกับการศึกษาก่อนหน้านี้: 2) ทำซ้ำเนื้อหาการศึกษาที่จำเป็นสำหรับบทเรียนต่อไปนี้

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 7:

แก้สมการแบบกราฟิก: = x – 6

นักเรียนคนหนึ่งอยู่ที่กระดานดำ ส่วนที่เหลืออยู่ในสมุดบันทึก

8. ภาพสะท้อนของกิจกรรม

จุดประสงค์ของเวที:

1) บันทึกเนื้อหาใหม่ที่เรียนรู้ในบทเรียน

2) ประเมินกิจกรรมของคุณเองในบทเรียน

3) ขอบคุณเพื่อนร่วมชั้นที่ช่วยให้ได้ผลลัพธ์ของบทเรียน

4) บันทึกความยากลำบากที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขเพื่อเป็นแนวทางสำหรับกิจกรรมการศึกษาในอนาคต

5) พูดคุยและจดการบ้านของคุณ

การจัดกระบวนการศึกษาในระยะที่ 8:

- พวกคุณวันนี้เป้าหมายของเราคืออะไร? (ศึกษาฟังก์ชัน y= คุณสมบัติและกราฟ)

– ความรู้อะไรช่วยให้เราบรรลุเป้าหมาย? (สามารถมองหารูปแบบ, สามารถอ่านกราฟได้)

– วิเคราะห์กิจกรรมของคุณในชั้นเรียน (การ์ดที่มีการสะท้อน)

การบ้าน

ย่อหน้าที่ 13 (ก่อนตัวอย่างที่ 2) № 13.3, 13.4

แก้สมการแบบกราฟิก:

สร้างกราฟของฟังก์ชันและอธิบายคุณสมบัติของฟังก์ชัน

ซึ่งมีค่าเท่ากับ $ก.$กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือคำตอบของสมการ $x^3\; =\; ก$(โดยปกติแล้วจะหมายถึงวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริง)

รากแท้

แบบฟอร์มสาธิต

รากของจำนวนเชิงซ้อนสามารถกำหนดได้ดังนี้:

$x^(1/3)\; =\; \backslash exp\; (\backslash tfrac13\; \backslash ln(x))$

ถ้าคุณจินตนาการ $x$ยังไง

$x\; =\; r\backslash exp(i\backslash ทีต้า)$

ดังนั้นสูตรของเลขลูกบาศก์คือ:

$\backslash sqrt(x)\; =\; \backslash sqrt(r)\backslash exp\; (\backslash tfrac13\; i\backslash theta)$

ในเชิงเรขาคณิตหมายความว่า ในพิกัดเชิงขั้ว เราจะหารากที่สามของรัศมีแล้วหารมุมเชิงขั้วด้วยสามเพื่อหารากที่สาม แล้วถ้า $x$ซับซ้อนแล้ว $\backslash sqrt(-8)$จะหมายถึงไม่ $-2$แต่จะมี $1\; +\; i\backslash sqrt(3)$

ที่ความหนาแน่นของสสารคงที่ มิติของวัตถุสองวัตถุที่คล้ายกันจะสัมพันธ์กันในฐานะรากที่สามของมวลของพวกมัน ดังนั้น หากแตงโมลูกหนึ่งมีน้ำหนักมากกว่าอีกลูกสองเท่า เส้นผ่านศูนย์กลางของมัน (รวมถึงเส้นรอบวง) ก็จะใหญ่กว่าแตงโมลูกแรกมากกว่าหนึ่งในสี่ (26%) เพียงเล็กน้อยเท่านั้น และเมื่อมองด้วยตาแล้วดูเหมือนว่าความแตกต่างของน้ำหนักไม่มีนัยสำคัญมากนัก ดังนั้นหากไม่มีเกล็ด (ขายด้วยตา) การซื้อผลไม้ที่มีขนาดใหญ่กว่ามักจะได้กำไรมากกว่า

วิธีการคำนวณ

คอลัมน์

ก่อนที่จะเริ่ม คุณต้องแบ่งตัวเลขออกเป็นสามส่วน (ส่วนจำนวนเต็ม - จากขวาไปซ้าย ส่วนเศษส่วน - จากซ้ายไปขวา) เมื่อคุณถึงจุดทศนิยม คุณต้องเพิ่มจุดทศนิยมที่ส่วนท้ายของผลลัพธ์

อัลกอริทึมมีดังนี้:

1. ค้นหาตัวเลขที่มีลูกบาศก์เล็กกว่าตัวเลขกลุ่มแรก แต่เมื่อเพิ่มขึ้น 1 ก็จะมีขนาดใหญ่ขึ้น เขียนหมายเลขที่คุณพบทางด้านขวาของหมายเลขที่กำหนด เขียนหมายเลข 3 ไว้ด้านล่าง
2. เขียนกำลังสามของตัวเลขที่พบใต้ตัวเลขกลุ่มแรกแล้วลบออก เขียนผลลัพธ์หลังการลบไว้ใต้เครื่องหมายลบ. จากนั้นให้นำตัวเลขกลุ่มถัดไปออก
3. ต่อไป เราจะแทนที่คำตอบระดับกลางที่พบด้วยตัวอักษร $ก$- คำนวณโดยใช้สูตร $$จำนวนดังกล่าว $x$ว่าผลลัพธ์จะน้อยกว่าเลขล่าง แต่เมื่อเพิ่มขึ้น 1 ก็จะยิ่งใหญ่ขึ้น เขียนสิ่งที่คุณพบ $x$ทางด้านขวาของคำตอบ หากได้ความแม่นยำที่ต้องการแล้ว ให้หยุดการคำนวณ
4. เขียนผลลัพธ์การคำนวณไว้ใต้ตัวเลขด้านล่างโดยใช้สูตร $300\backslash คูณ\; a^2\backslash คูณ\; x+30\backslash คูณ\; a\backslash คูณ\; x^2+x^3$และทำการลบ ไปที่ขั้นตอนที่ 3

ดูเพิ่มเติม

เขียนบทวิจารณ์เกี่ยวกับบทความ "Cubic root"

วรรณกรรม

• กร จี., กร ต. 1.3-3. การแสดงผลรวม ผลิตภัณฑ์ และผลหาร พลังและราก // คู่มือคณิตศาสตร์. - ฉบับที่ 4 - อ.: เนากา, 2521. - หน้า 32-33.

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะของรากที่สาม

เมื่อถึงเก้าโมงเช้าเมื่อกองทหารเคลื่อนทัพไปทั่วมอสโกแล้วไม่มีใครมาถามคำสั่งของเคานต์อีก ทุกคนที่ไปได้ก็ไปกันตามใจชอบ พวกที่เหลือตัดสินใจด้วยตัวเองว่าต้องทำอะไร
เคานต์สั่งให้นำม้าเข้ามาที่ Sokolniki และนั่งขมวดคิ้วเป็นสีเหลืองและเงียบด้วยมือที่กอดอกแล้วเขาก็นั่งอยู่ในห้องทำงานของเขา
ในช่วงเวลาสงบและไม่มีพายุ ดูเหมือนว่าผู้บริหารทุกคนจะเคลื่อนย้ายประชากรทั้งหมดภายใต้การควบคุมของเขาเท่านั้น และด้วยความตระหนักรู้ถึงความจำเป็นของเขา ผู้บริหารทุกคนจึงรู้สึกถึงรางวัลหลักสำหรับการทำงานและความพยายามของเขา เห็นได้ชัดว่าตราบใดที่ทะเลประวัติศาสตร์ยังสงบ ผู้ปกครองและผู้บริหารซึ่งมีเรือที่เปราะบางของเขาวางเสาไว้กับเรือของประชาชนและตัวเขาเองที่กำลังเคลื่อนไหว จะต้องดูเหมือนว่าด้วยความพยายามของเขา เรือที่เขาจอดต่ออยู่นั้น การย้าย แต่ทันทีที่พายุเกิดขึ้น ทะเลก็ปั่นป่วนและตัวเรือเองก็เคลื่อนตัวไป ความเข้าใจผิดนั้นเป็นไปไม่ได้ เรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วมหาศาลและเป็นอิสระ เสาไม่ถึงเรือที่กำลังเคลื่อนที่ และจู่ๆ ผู้ปกครองก็เปลี่ยนจากตำแหน่งผู้ปกครองซึ่งเป็นแหล่งความแข็งแกร่ง กลายเป็นคนไม่มีนัยสำคัญ ไร้ประโยชน์ และอ่อนแอ
รัสโทชินรู้สึกเช่นนี้ และมันทำให้เขาหงุดหงิด ผบ.ตร.ที่ฝูงชนหยุดพร้อมผู้ช่วยที่มาแจ้งว่าม้าพร้อมเข้านับแล้ว ทั้งสองคนหน้าซีดและหัวหน้าตำรวจรายงานการปฏิบัติงานตามที่ได้รับมอบหมายกล่าวว่าในลานบ้านของเคานต์มีคนจำนวนมากที่ต้องการพบเขา
Rastopchin โดยไม่ตอบสักคำลุกขึ้นยืนแล้วรีบเดินเข้าไปในห้องนั่งเล่นที่หรูหราและสว่างไสวของเขาเดินขึ้นไปที่ประตูระเบียงคว้าที่จับแล้วปล่อยทิ้งไว้แล้วย้ายไปที่หน้าต่างซึ่งมองเห็นฝูงชนทั้งหมดได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เพื่อนตัวสูงยืนอยู่แถวหน้าและมีใบหน้าเคร่งครัดโบกมือพูดอะไรบางอย่าง ช่างตีเหล็กที่เปื้อนเลือดยืนอยู่ข้างๆเขาด้วยท่าทางเศร้าหมอง สามารถได้ยินเสียงครวญครางผ่านหน้าต่างที่ปิดอยู่
- ลูกเรือพร้อมหรือยัง? - Rastopchin กล่าวขณะเคลื่อนตัวออกไปจากหน้าต่าง
“พร้อมแล้ว ฯพณฯ ของคุณ” ผู้ช่วยกล่าว
รัสโทชินเดินไปที่ประตูระเบียงอีกครั้ง
- พวกเขาต้องการอะไร? – เขาถาม ผบ.ตร.
- ฯพณฯ พวกเขาบอกว่าพวกเขาจะต่อต้านฝรั่งเศสตามคำสั่งของคุณ พวกเขาตะโกนบางอย่างเกี่ยวกับการทรยศ แต่ฝูงชนที่มีความรุนแรง ฯพณฯ ฉันจากไปด้วยกำลัง ฯพณฯ ผมกล้าเสนอแนะ...
“ถ้าคุณกรุณา ไปเถอะ ฉันรู้ว่าต้องทำอะไรโดยไม่มีคุณ” รอสตอปชินตะโกนด้วยความโกรธ เขายืนอยู่ที่ประตูระเบียงมองออกไปที่ฝูงชน “นี่คือสิ่งที่พวกเขาทำกับรัสเซีย! นี่คือสิ่งที่พวกเขาทำกับฉัน!” - คิดว่า Rostopchin รู้สึกโกรธที่ไม่สามารถควบคุมได้เพิ่มขึ้นในจิตวิญญาณของเขาต่อคนที่อาจเป็นสาเหตุของทุกสิ่งที่เกิดขึ้น มักจะเกิดขึ้นกับคนอารมณ์ร้อน ความโกรธเข้าครอบงำเขาแล้ว แต่เขากำลังมองหาเรื่องอื่นสำหรับมัน “La voila la populace, la lie du peuple” เขาคิดขณะมองไปที่ฝูงชน “la plebe qu'ils ont soulevee par leur sottise. Il leur faut une allowancee, [“เขาอยู่นี่แล้ว ผู้คน ขยะเหล่านี้ของ ประชากร plebeians ที่พวกเขาเลี้ยงดูด้วยความโง่เขลา! พวกเขาต้องการเหยื่อ"] - เข้ามาในใจของเขาเมื่อมองดูเพื่อนร่างสูงโบกมือ และด้วยเหตุผลเดียวกันก็นึกได้ว่าตัวเขาเองต้องการสิ่งนี้ เหยื่อวัตถุนี้เพื่อความโกรธของเขา
- ลูกเรือพร้อมหรือยัง? – เขาถามอีกครั้ง
- พร้อมแล้ว ฯพณฯ คุณสั่งอะไรเกี่ยวกับ Vereshchagin? “เขารออยู่ที่ระเบียง” ผู้ช่วยคนสนิทตอบ
- อ! - Rostopchin ร้องออกมาราวกับถูกความทรงจำที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น
และรีบเปิดประตูเขาก็ก้าวออกไปที่ระเบียงพร้อมกับก้าวย่างเด็ดขาด บทสนทนาหยุดกะทันหัน หมวกและหมวกแก๊ปถูกถอดออก และทุกสายตาก็หันไปมองการนับคนที่ออกมา
- สวัสดีพวก! - เคานต์พูดอย่างรวดเร็วและดัง - ขอบคุณที่มา ฉันจะออกมาหาคุณตอนนี้ แต่ก่อนอื่นเราต้องจัดการกับคนร้ายก่อน เราต้องลงโทษคนร้ายที่ฆ่ามอสโกว รอฉันด้วย! “แล้วเคานต์ก็กลับเข้าไปในห้องของเขาอย่างรวดเร็ว กระแทกประตูอย่างแน่นหนา
เสียงพึมพำแห่งความสุขวิ่งผ่านฝูงชน “นั่นหมายความว่าเขาจะควบคุมคนร้ายทั้งหมด! แล้วคุณพูดภาษาฝรั่งเศส... เขาจะให้คุณระยะทางทั้งหมด!” - ผู้คนพูดราวกับประณามกันเพราะขาดศรัทธา

มีการระบุคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันกำลัง รวมถึงสูตรและคุณสมบัติของรากด้วย นำเสนอการขยายอนุกรมอนุพันธ์ อินทิกรัล อนุกรมกำลัง และเลขเชิงซ้อนของฟังก์ชันกำลัง

คำนิยาม

คำนิยาม
ฟังก์ชันยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลัง pคือฟังก์ชัน f (x) = xpซึ่งค่าที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน x ที่จุด p
นอกจากนี้ฉ (0) = 0 พิ = 0สำหรับพี > 0 .

สำหรับค่าธรรมชาติของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังคือผลคูณของตัวเลข n เท่ากับ x:
.
มันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าที่ถูกต้องทั้งหมด

สำหรับค่าตรรกยะบวกของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังคือผลคูณของ n รากของดีกรี m ของตัวเลข x:
.
สำหรับคี่ m มันถูกกำหนดให้กับ x จริงทั้งหมด

สำหรับเลขคู่ m ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบ
.
สำหรับค่าลบ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร:

ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดไว้ตรงจุด
,
สำหรับค่าที่ไม่ลงตัวของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร:
โดยที่ a เป็นจำนวนบวกตามอำเภอใจไม่เท่ากับหนึ่ง:
เมื่อใด จะมีการกำหนดไว้สำหรับ

เมื่อ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับความต่อเนื่อง

- ฟังก์ชันกำลังมีความต่อเนื่องในขอบเขตคำจำกัดความ

คุณสมบัติและสูตรของฟังก์ชันยกกำลังสำหรับ x ≥ 0

ที่นี่เราจะพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ x
(1.1) ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สำหรับค่าบางค่าของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันกำลังก็ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x ด้วย
ในกรณีนี้ คุณสมบัติสามารถรับได้จากคุณสมบัติของ โดยใช้เลขคู่หรือคี่ กรณีเหล่านี้จะมีการพูดคุยและแสดงรายละเอียดในหน้า ""
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.2) กำหนดและต่อเนื่องบนชุด
ในกรณีนี้ คุณสมบัติสามารถรับได้จากคุณสมบัติของ โดยใช้เลขคู่หรือคี่ กรณีเหล่านี้จะมีการพูดคุยและแสดงรายละเอียดในหน้า ""
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.3) ที่ ,
ที่ ;
(1.4) ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ฟังก์ชันยกกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

มีความหมายมากมาย

เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดด้วย ,

คำนิยาม
ลดลงอย่างเคร่งครัดเมื่อ ;หลักฐานคุณสมบัติแสดงอยู่ในหน้า “ฟังก์ชันกำลัง (หลักฐานความต่อเนื่องและคุณสมบัติ)”
.
ราก - ความหมาย สูตร คุณสมบัติ 2, 3, 4, ... รากของตัวเลข x ของดีกรี n

คือจำนวนที่เมื่อยกกำลัง n ให้ x:
.
ที่นี่ n=

- จำนวนธรรมชาติที่มากกว่าหนึ่งคุณยังสามารถพูดได้ว่ารากของตัวเลข x ของดีกรี n คือราก (เช่น คำตอบ) ของสมการ

โปรดทราบว่าฟังก์ชันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับฟังก์ชันรากที่สองของ x

เป็นรากของดีกรี 2:

รากที่สามของ x เป็นรากของดีกรี 3:แม้แต่ปริญญา 0 สำหรับพลังคู่ n =
.
2 ม
.

รากถูกกำหนดไว้สำหรับ x ≥

- สูตรที่มักใช้ใช้ได้กับทั้งค่าบวกและค่าลบ x:

สำหรับรากที่สอง:
;
.

ลำดับการดำเนินการมีความสำคัญที่นี่ นั่นคือ ขั้นแรกให้ดำเนินการกำลังสอง ส่งผลให้ได้จำนวนที่ไม่เป็นลบ จากนั้นจึงนำรากออกมา (รากที่สองสามารถนำมาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบได้ ). หากเราเปลี่ยนลำดับ: ดังนั้นสำหรับค่าลบ x รากก็จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้ และด้วยค่านี้ นิพจน์ทั้งหมดก็จะไม่ได้ถูกกำหนดไว้

ระดับแปลก
.
สำหรับเลขยกกำลังคี่ รากถูกกำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมด: 0 สมบัติและสูตรของราก
;
;
, ;
.

สูตรเหล่านี้ยังสามารถนำไปใช้กับค่าลบของตัวแปรได้

คุณเพียงแค่ต้องแน่ใจว่าการแสดงออกถึงรากถึงค่าของเลขยกกำลังคู่นั้นไม่เป็นลบ

ค่านิยมส่วนตัว
รากของ 0 คือ 0:
รูต 1 เท่ากับ 1:
รากที่สองของ 0 คือ 0:

รากที่สองของ 1 คือ 1:

ตัวอย่าง. รากของราก
.
ลองดูตัวอย่างรากที่สองของราก:
.
มาแปลงรากที่สองด้านในโดยใช้สูตรด้านบน:
.
ทีนี้มาเปลี่ยนรูตดั้งเดิม:
.

ดังนั้น,

y = x p สำหรับค่าต่าง ๆ ของเลขชี้กำลัง p

นี่คือกราฟของฟังก์ชันสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ x

กราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x จะได้รับในหน้า “ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ”

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง p คือฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง 1/p

ถ้าอย่างนั้น.
;

อนุพันธ์ของฟังก์ชันยกกำลัง

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:

การหาสูตร > > > 1 ;
.

อินทิกรัลของฟังก์ชันกำลัง

ป ≠ - 1 < x < 1 การขยายซีรีย์พาวเวอร์

ที่ -

การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:
นิพจน์ที่ใช้จำนวนเชิงซ้อน พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z:.
ฉ
(z) = z เสื้อ
ให้เราแสดงตัวแปรที่ซับซ้อน z ในรูปของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ (r = |z|):
z = r e ฉัน φ .
เราแทนจำนวนเชิงซ้อน t ในรูปแบบของส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:

เสื้อ = p + ผมq .
,

เรามี: 0 ต่อไป เราจะพิจารณาว่าอาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะ:
.

พิจารณากรณีที่ q =
.
นั่นคือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง t = p

แล้ว ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม แล้ว kp จะเป็นจำนวนเต็ม จากนั้น เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นระยะ:นั่นคือ ฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มสำหรับ z ที่กำหนด จะมีค่าเพียงค่าเดียว ดังนั้นจึงไม่มีความคลุมเครือ ถ้า p เป็นจำนวนอตรรกยะ ผลคูณ kp สำหรับ k ใดๆ จะไม่สร้างจำนวนเต็ม เนื่องจาก k วิ่งผ่านชุดค่าอนันต์เค = 0, 1, 2, 3, ...

ดังนั้นฟังก์ชัน z p จะมีค่ามากมายนับไม่ถ้วน เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น
2π (หนึ่งรอบ) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชันถ้า p เป็นตรรกยะ ก็สามารถแสดงได้เป็น:
.
, ที่ไหน ม- จำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม แล้ว
.
ค่า n แรก โดยที่ k = k 0 = 0, 1, 2, ...n-1ให้ค่า kp ที่แตกต่างกัน:
.
อย่างไรก็ตาม ค่าที่ตามมาจะให้ค่าที่แตกต่างจากค่าก่อนหน้าด้วยจำนวนเต็ม เช่น เมื่อ k = k 0+นมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเมื่อ k เพิ่มขึ้นอีก เราจะได้ค่า z p เช่นเดียวกับ k = k ม.

ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะจึงมีหลายค่าและมีค่า n ค่า (สาขา) เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น 0+น(หนึ่งรอบ) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชัน หลังจากการปฏิวัติดังกล่าว เราก็กลับไปยังสาขาแรกที่การนับถอยหลังเริ่มต้นขึ้น

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รากของดีกรี n มีค่า n ค่า เพื่อเป็นตัวอย่าง ให้พิจารณารากที่ n ของจำนวนบวกจำนวนจริง z = x ในกรณีนี้ φ, .
.
0 = 0 , z = r = |z| = x 2 ,
.
ดังนั้น สำหรับรากที่สอง n = สำหรับแม้แต่ k(- 1 ) k = 1 - สำหรับ k คี่.
(- 1 ) k = - 1

นั่นคือรากที่สองมีสองความหมาย: + และ -
วรรณกรรมที่ใช้:

ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552

พวกเรายังคงศึกษาฟังก์ชันกำลังต่อไป หัวข้อบทเรียนวันนี้คือฟังก์ชัน - รากที่สามของ x รากที่สามคืออะไร? จำนวน y เรียกว่ารากที่สามของ x (รากของระดับที่สาม) หากเป็นไปตามความเท่าเทียมกันแสดงว่า: โดยที่ x คือจำนวนราก 3 คือเลขชี้กำลัง

ดังที่เราเห็น รากที่สามสามารถแยกออกจากจำนวนลบได้เช่นกัน ปรากฎว่ารากของเรามีอยู่สำหรับตัวเลขทุกตัว รากที่สามของจำนวนลบเท่ากับจำนวนลบ เมื่อยกกำลังเป็นคี่ เครื่องหมายจะยังคงอยู่ มาตรวจสอบความเท่าเทียมกันกันดีกว่า: Let ให้เรายกนิพจน์ทั้งสองยกกำลังสาม จากนั้น หรือ ในสัญกรณ์ราก เราได้รับเอกลักษณ์ที่ต้องการ

ลองสร้างกราฟของฟังก์ชันในส่วนนิยามทั้งหมดกัน จำไว้ว่าฟังก์ชันของเราเป็นเลขคี่ คุณสมบัติของฟังก์ชัน: 1) D(y)=(-;+) 2) ฟังก์ชันคี่ 3) เพิ่มขึ้น (-;+) 4) ไม่จำกัด 5) ไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด 6) ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด 7) จ(ย)= (-;+) 8) นูนลงด้วย (-;0), นูนขึ้นด้วย (0;+)

ตัวอย่าง. วาดกราฟของฟังก์ชันแล้วอ่าน สารละลาย. ลองสร้างกราฟฟังก์ชันสองกราฟบนระนาบพิกัดเดียวกัน โดยคำนึงถึงเงื่อนไขของเรา สำหรับ x-1 เราสร้างกราฟของรากที่สาม และสำหรับ x-1 เราสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น 1) D(y)=(-;+) 2) ฟังก์ชันไม่เป็นคู่หรือคี่ 3) ลดลง (-;-1) เพิ่มขึ้น (-1;+) 4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง 5) ไม่มีคุณค่าใดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ค่าที่น้อยที่สุดคือลบหนึ่ง 6) ฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด 7) จ(ย)= (-1;+)