ชุดจุดนูนบนระนาบ
หลายจุดบนเครื่องบินหรือใน พื้นที่สามมิติเรียกว่า นูนหากจุดสองจุดใดๆ ของเซตนี้สามารถเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงที่อยู่ในเซตนี้ทั้งหมด
ทฤษฎีบท 1- จุดตัด จำนวนจำกัดของเซตนูนก็คือเซตนูน
ผลที่ตามมาจุดตัดของเซตนูนจำนวนจำกัดคือเซตนูน
จุดมุม.
จุดเขตแดน ชุดนูนเรียกว่า เชิงมุมหากเป็นไปได้ที่จะวาดส่วนผ่านจุดนั้นซึ่งจุดทั้งหมดไม่อยู่ในชุดที่กำหนด
เซตที่มีรูปร่างต่างกันสามารถมีอันจำกัดหรือได้ จำนวนอนันต์จุดมุม
รูปหลายเหลี่ยมนูน
รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนหากอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของเส้นตรงแต่ละเส้นที่ลากผ่านสองเส้นนั้น ยอดเขาใกล้เคียง.
ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุม นูน n-gonเท่ากับ 180˚ *(n-2)
6) การแก้ปัญหาระบบ ม อสมการเชิงเส้นด้วยสองตัวแปร
กำหนดระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นด้วยตัวแปรสองตัว
สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันบางส่วนหรือทั้งหมดอาจเป็น ≥
ลองพิจารณาอสมการแรกในระบบพิกัด X1OX2 มาสร้างเส้นตรงกันเถอะ
ซึ่งเป็นเส้นเขตแดน
เส้นตรงนี้แบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง 1 และ 2 (รูปที่ 19.4)
ฮาล์ฟเพลน 1 มีจุดกำเนิด ส่วนฮาล์ฟเพลน 2 ไม่มีจุดกำเนิด
ในการพิจารณาว่าระนาบครึ่งระนาบนั้นตั้งอยู่บนด้านใดของเส้นเขตแดน คุณจะต้องเลือกจุดใดก็ได้บนระนาบ (ควรเป็นจุดเริ่มต้น) และแทนที่พิกัดของจุดนี้ให้เป็นอสมการ หากความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง ระนาบครึ่งจะหันไปทางจุดนี้ หากไม่เป็นจริง ให้หันไปในทิศทางตรงกันข้ามกับจุดนั้น
ทิศทางของระนาบครึ่งระนาบจะแสดงในรูปพร้อมลูกศร
คำจำกัดความ 15. วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบคือ ระนาบครึ่งระนาบที่มีเส้นเขตแดนและตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่ง
คำจำกัดความ 16. จุดตัดของระนาบครึ่งซึ่งแต่ละระนาบถูกกำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกันของระบบ เรียกว่าโดเมนโซลูชันของระบบ (SO)
คำจำกัดความ 17. ขอบเขตการแก้ปัญหาของระบบที่ตรงตามเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ (xj ≥ 0, j =) เรียกว่าขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นลบหรือยอมรับได้ (ADS)
หากระบบความไม่เท่าเทียมกันสอดคล้องกัน OR และ ODR อาจเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม พื้นที่รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต หรือจุดเดียว
หากระบบอสมการไม่สอดคล้องกัน OR และ ODR จะเป็นเซตว่าง
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา OR และ ODE ของระบบความไม่เท่าเทียมกันและกำหนดพิกัดของจุดมุมของ ODE
สารละลาย. ลองหา OR ของอสมการแรก: x1 + 3x2 ≥ 3 มาสร้างเส้นเขต x1 + 3x2 – 3 = 0 (รูปที่ 19.5) ลองแทนที่พิกัดของจุด (0,0) ลงในอสมการ: 1∙0 + 3∙0 > 3; เนื่องจากพิกัดของจุด (0,0) ไม่เป็นไปตามพิกัด ดังนั้นคำตอบของอสมการ (19.1) จึงเป็นระนาบครึ่งระนาบที่ไม่มีจุด (0,0)
ขอให้เราค้นหาวิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันของระบบที่เหลืออยู่ในทำนองเดียวกัน เราพบว่า OR และ ODE ของระบบอสมการคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเอบีซีดี
เราจะพบ จุดมุมรูปทรงหลายเหลี่ยม เรากำหนดให้จุด A เป็นจุดตัดของเส้นตรง
เมื่อแก้ระบบ เราได้ A(3/7, 6/7)
เราพบว่าจุด B เป็นจุดตัดของเส้นตรง
จากระบบเราได้รับ B(5/3, 10/3) ในทำนองเดียวกัน เราค้นหาพิกัดของจุด C และ D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10)
ตัวอย่างที่ 2 ค้นหา OR และ ODE ของระบบอสมการ
สารละลาย. ลองสร้างเส้นตรงแล้วหาคำตอบของอสมการ (19.5)-(19.7) OR และ ODR เป็นพื้นที่หลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ACFM และ ABDEKM ตามลำดับ (รูปที่ 19.6)
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหา OR และ ODE ของระบบอสมการ
สารละลาย. มาหาคำตอบของอสมการกัน (19.8)-(19.10) (รูปที่ 19.7) OR หมายถึง ABC ของพื้นที่หลายหน้าแบบไม่จำกัด ODR - จุด B
ตัวอย่างที่ 4 ค้นหา OP และ ODP ของระบบอสมการ
สารละลาย. ด้วยการสร้างเส้นตรง เราจะพบวิธีแก้ความไม่เท่าเทียมกันของระบบ OR และ ODR เข้ากันไม่ได้ (รูปที่ 19.8)
แบบฝึกหัด
ค้นหา OR และ ODE ของระบบความไม่เท่าเทียมกัน
ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a แล้ว .
การพิสูจน์. จาก xn ® a ตามนั้น ในเวลาเดียวกัน:
, เช่น. , เช่น. - ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ทฤษฎีบท. ถ้า xn ® a ลำดับ (xn) จะถูกผูกไว้
ควรสังเกตว่าข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงเช่น ขอบเขตของลำดับไม่ได้หมายความถึงการลู่เข้าของมัน
ตัวอย่างเช่นลำดับ 
ไม่มีขีดจำกัด
การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลัง
การขยายฟังก์ชั่นใน ซีรีย์พาวเวอร์มี คุ้มค่ามากที่จะแก้ปัญหา งานต่างๆการวิจัยฟังก์ชัน การสร้างความแตกต่าง การบูรณาการ การแก้ปัญหา สมการเชิงอนุพันธ์, การคำนวณลิมิต , การคำนวณค่าโดยประมาณของฟังก์ชัน
คำจำกัดความ 1.เรียกว่าเส้นขาด ลำดับสุดท้ายส่วนต่างๆ เช่น ปลายด้านหนึ่งของส่วนแรกทำหน้าที่เป็นจุดสิ้นสุดของส่วนที่สอง ส่วนปลายอีกด้านของส่วนที่สองทำหน้าที่เป็นจุดสิ้นสุดของส่วนที่สาม เป็นต้น
ส่วนที่ประกอบขึ้น เส้นขาดเรียกว่าลิงก์ ส่วนที่อยู่ติดกันไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ถ้าปลายเส้นขาดตรงกันก็เรียกว่า ปิด- เส้นหลายเส้นสามารถตัดกัน สัมผัสตัวเอง และพักอยู่บนตัวมันเองได้ หากเส้นขาดไม่มีคุณสมบัติดังกล่าวก็จะถูกเรียก เรียบง่าย.
คำจำกัดความ 2เส้นหักปิดธรรมดาพร้อมกับส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยนั้นเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม
เส้นขาดนั้นเรียกว่าขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม ส่วนเชื่อมต่อของเส้นขาดนั้นเรียกว่า ฝ่ายรูปหลายเหลี่ยม ปลายของลิงก์คือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม ด้านสองด้านที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมประกอบเป็นมุม จำนวนมุมในรูปหลายเหลี่ยมเท่ากับจำนวนด้าน รูปหลายเหลี่ยมทุกอันมีมุมน้อยกว่า 180° เรียกว่าด้านข้างและมุมของรูปหลายเหลี่ยม องค์ประกอบรูปหลายเหลี่ยม
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม n-gon ใดๆ สามารถมีเส้นทแยงมุม n-2 ได้
คำจำกัดความ 3รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้ามันอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละบรรทัดที่มีด้านของมัน รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมไม่นูน
คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน
คุณสมบัติ 1.รูปหลายเหลี่ยมนูนมีทุกมุมน้อยกว่า 180°
พิสูจน์: หามุม A ใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูน P และด้าน a ที่มาจากจุดยอด A ให้ l เป็นเส้นตรงที่มีด้าน a เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยม P นูนออกมา มันจึงอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้น l ดังนั้น มุม A อยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรง l ดังนั้น มุม A จึงน้อยกว่ามุมที่กางออก นั่นคือ ÐA< 180°.
คุณสมบัติ 2.ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดสองจุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะมีอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมนั้น
พิสูจน์: หาจุด M และ N สองจุดใดๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนูน P โดยรูปหลายเหลี่ยม P คือจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบหลายอัน ส่วน MN อยู่ในระนาบครึ่งระนาบแต่ละอัน ดังนั้นจึงมีอยู่ในรูปหลายเหลี่ยม R ด้วย
คุณสมบัติ 3.ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ (n – 2) ∙180°
พิสูจน์: นำจุดที่ต้องการ O ไปไว้ในรูปหลายเหลี่ยมนูน P แล้วเชื่อมต่อกับจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม N เกิดขึ้น ผลรวมของมุมแต่ละมุมคือ 180° มุมที่จุดยอด O รวมกันได้ 360° = 2∙180° ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือ n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°
แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คำจำกัดความ 1.จัตุรัส, ฝั่งตรงข้ามซึ่งขนานกันเป็นคู่เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละอันมีจุดยอดสี่จุด ด้านสี่ด้าน และมุมสี่มุม มีทั้งสองฝ่าย ปลายทั่วไปเรียกว่า ที่อยู่ติดกัน- สี่เหลี่ยมด้านขนานแต่ละอันมีสองเส้นทแยงมุม - ส่วนเชื่อมต่อกัน จุดยอดตรงข้ามสี่เหลี่ยมด้านขนาน. ผลรวมของมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ 360°
คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คุณสมบัติ 1.สี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านตรงข้ามเท่ากันและ มุมตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่
พิสูจน์: ลองวาดเส้นทแยงมุม AC กัน เครื่องปรับอากาศ – ทั่วไป;
РВАС = РАСD (ขวางภายในอยู่ที่ AB II BC และตัด AC);
РВСА = РСАD (ขวางภายในอยู่ที่ AD II BC และตัด AC);
Þ DABC = DADC (ขึ้นอยู่กับ 2 ลักษณะ)
AB = ซีดี; ก่อนคริสต์ศักราช = AD; РВ = РD
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС
คุณสมบัติ 2.ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมที่อยู่ติดกับด้านหนึ่งจะรวมกันได้ 180°
การพิสูจน์:
РВ + РА =180° (ด้านเดียวภายในด้วย BC II AD และเส้นตัด AB)
ÐB + ÐС =180° (ด้านเดียวภายในโดยมี AB II CD และเส้นตัด BC)
ÐD + ÐC =180° (ด้านเดียวภายในโดยมี BC II AD และซีแคนต์ซีดี)
ÐA + ÐD =180° (ด้านเดียวภายในโดยมี AB II CD และเส้นตัด AD)
คุณสมบัติ 3.เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด
พิสูจน์: ให้เราวาดเส้นทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด O
AB = CD (ตามรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแรก)
ÐABO = ÐODC (แนวขวางภายในอยู่ที่ AB II CD และเส้นตัด BD);
РБАО = РОСD (ขวางภายในอยู่ที่ AB II CD และตัด AC);
Þ DABO = DODC (ขึ้นอยู่กับ 2 ลักษณะ)
บีโอ = OD; เอโอ = โอซี
สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ลงชื่อ 1.หากด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ไว้: ABCD – รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน; โฆษณาที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช
ในบทเรียนนี้เราจะเริ่มต้น หัวข้อใหม่และแนะนำแนวคิดใหม่สำหรับเรา: “รูปหลายเหลี่ยม” เราจะดูแนวคิดพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม: ด้าน มุมยอด ความนูน และความไม่นูน แล้วเราจะพิสูจน์ ข้อเท็จจริงที่สำคัญที่สุดเช่นทฤษฎีบทผลรวม มุมภายในรูปหลายเหลี่ยม ทฤษฎีบทผลรวม มุมภายนอกรูปหลายเหลี่ยม ด้วยเหตุนี้เราจะเข้าใกล้การศึกษากรณีพิเศษของรูปหลายเหลี่ยมซึ่งจะพิจารณาในบทเรียนต่อไป
หัวข้อ: รูปสี่เหลี่ยม
บทเรียน: รูปหลายเหลี่ยม
ในหลักสูตรเรขาคณิต เราศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตและได้ตรวจสอบสิ่งที่ง่ายที่สุดแล้ว: สามเหลี่ยมและวงกลม ในเวลาเดียวกัน เรายังกล่าวถึงกรณีพิเศษเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ เช่น ด้านขวา หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมปกติ ตอนนี้ได้เวลาพูดคุยเกี่ยวกับเรื่องทั่วไปมากขึ้นและ ตัวเลขที่ซับซ้อน - รูปหลายเหลี่ยม.
โดยมีกรณีพิเศษ รูปหลายเหลี่ยมเราคุ้นเคยอยู่แล้ว - นี่คือสามเหลี่ยม (ดูรูปที่ 1)
ข้าว. 1. สามเหลี่ยม
ชื่อนี้เน้นย้ำอยู่แล้วว่านี่คือรูปที่มีสามมุม ดังนั้นใน รูปหลายเหลี่ยมอาจมีหลายอย่างเช่น มากกว่าสาม ตัวอย่างเช่น ลองวาดรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2) เช่น รูปที่มีห้ามุม
ข้าว. 2. เพนตากอน. รูปหลายเหลี่ยมนูน
คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยม- ตัวเลขที่ประกอบด้วยหลายจุด (มากกว่าสอง) และจำนวนส่วนที่เชื่อมโยงตามลำดับ จุดเหล่านี้เรียกว่า ยอดเขารูปหลายเหลี่ยมและเซกเมนต์ต่างๆ ฝ่าย- ในกรณีนี้ ไม่มีด้านที่อยู่ติดกันสองด้านอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และไม่มีด้านสองด้านที่ไม่อยู่ติดกันตัดกัน
คำนิยาม.รูปหลายเหลี่ยมปกติ- นี้ รูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน
ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมแบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก พื้นที่ภายในเรียกอีกอย่างว่า รูปหลายเหลี่ยม.
กล่าวอีกนัยหนึ่ง เช่น เมื่อพวกเขาพูดถึงรูปห้าเหลี่ยม พวกเขาหมายถึงทั้งบริเวณภายในและเส้นขอบของมัน และขอบเขตภายในจะรวมถึงจุดทั้งหมดที่อยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย เช่น จุดยังหมายถึงรูปห้าเหลี่ยม (ดูรูปที่ 2)
รูปหลายเหลี่ยมบางครั้งเรียกว่า n-gons เพื่อเน้นย้ำถึงกรณีทั่วไปของการมีอยู่ของมุมที่ไม่ทราบจำนวน (n ชิ้น)
คำนิยาม. เส้นรอบวงรูปหลายเหลี่ยม- ผลรวมของความยาวของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม
ตอนนี้เราต้องทำความคุ้นเคยกับประเภทของรูปหลายเหลี่ยม พวกเขาแบ่งออกเป็น นูนและ ไม่นูน- ตัวอย่างเช่น รูปหลายเหลี่ยมที่แสดงในรูปที่ 1 2 นูนออกมา และในรูป 3 ไม่นูน
ข้าว. 3. รูปหลายเหลี่ยมไม่นูน
คำจำกัดความ 1. รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้าเมื่อลากเส้นตรงผ่านด้านใดด้านหนึ่งให้ทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมอยู่เพียงด้านเดียวของเส้นตรงนี้ ไม่นูนเป็นคนอื่น รูปหลายเหลี่ยม.
มันง่ายที่จะจินตนาการว่าเมื่อขยายด้านใดด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมในรูป 2 ทั้งหมดจะอยู่ด้านหนึ่งของเส้นตรงนี้ กล่าวคือ มันนูน แต่เมื่อลากเส้นตรงผ่านรูปสี่เหลี่ยมในรูป 3 เราเห็นแล้วว่าแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ มันไม่นูน
แต่มีอีกคำจำกัดความหนึ่งของความนูนของรูปหลายเหลี่ยม
คำจำกัดความ 2 รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้าเมื่อเลือกจุดภายในสองจุดใดๆ และเชื่อมต่อมันเข้ากับเซกเมนต์ จุดทั้งหมดของเซ็กเมนต์ก็เป็นจุดภายในของรูปหลายเหลี่ยมด้วย
การสาธิตการใช้คำจำกัดความนี้สามารถเห็นได้ในตัวอย่างการสร้างส่วนต่างๆ ในรูปที่ 2 และ 3.
คำนิยาม. เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนใดๆ ที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกัน
เพื่ออธิบายคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมมีสองประการ ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับมุมของพวกเขา: ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนและ ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน- มาดูพวกเขากันดีกว่า
ทฤษฎีบท. ผลบวกของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)
จำนวนมุม (ด้าน) อยู่ที่ไหน
หลักฐานที่ 1 ให้เราพรรณนาในรูป 4 นูน n-gon
ข้าว. 4. นูน n-gon
จากจุดยอดเราวาดเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด พวกเขาแบ่ง n-gon ออกเป็นสามเหลี่ยม เพราะว่า แต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยมจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม ยกเว้นด้านที่อยู่ติดกับจุดยอด จากรูปจะเห็นได้ง่ายว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับผลรวมของมุมภายในของ n-gon ทุกประการ เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับ ดังนั้น ผลรวมของมุมภายในของ n-gon จึงเป็น:
Q.E.D.
หลักฐานที่ 2 การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีกอย่างหนึ่งเป็นไปได้ ลองวาด n-gon ที่คล้ายกันในรูปนี้ 5 และเชื่อมต่อจุดภายในกับจุดยอดทั้งหมด
ข้าว. 5.
เราได้พาร์ติชั่นของ n-gon เป็นรูปสามเหลี่ยม n รูป (เท่ากับด้านที่มีรูปสามเหลี่ยมมากเท่าๆ กัน) ผลรวมของมุมทั้งหมดเท่ากับผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมและผลรวมของมุมที่ จุดภายในและนี่คือมุม เรามี:
Q.E.D.
พิสูจน์แล้ว
ตามทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว เห็นได้ชัดว่าผลรวมของมุมของ n-gon ขึ้นอยู่กับจำนวนด้าน (บน n) ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม และผลรวมของมุมคือ ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและผลรวมของมุมเท่ากับ ฯลฯ
ทฤษฎีบท. ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน (n-gon)
โดยที่จำนวนมุม (ด้าน) ของมันอยู่ที่ใด และ , … คือมุมภายนอก
การพิสูจน์. ให้เราพรรณนารูป n-gon ที่นูนออกมาในรูปนี้ 6 และกำหนดมุมภายในและภายนอก
ข้าว. 6. นูน n-gon ด้วยมุมภายนอกที่กำหนด
เพราะ มุมด้านนอกเชื่อมต่อกับมุมด้านในให้ติดกันแล้ว 
และในทำนองเดียวกันสำหรับมุมภายนอกที่เหลือ แล้ว:
ในระหว่างการแปลง เราใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วเกี่ยวกับผลรวมของมุมภายในของ n-gon
พิสูจน์แล้ว
จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีดังนี้ ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจผลรวมของมุมภายนอกของ n-gon ที่นูนเท่ากับ 
ตามจำนวนมุม (ด้านข้าง) ยังไงก็ตาม ตรงกันข้ามกับผลรวมของมุมภายใน
อ้างอิง
- อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี. และอื่นๆ เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ม.: การศึกษา, 2549.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: การศึกษา, 2554.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. เรขาคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - อ.: เวนทานา-กราฟ, 2552.
- Profmeter.com.ua ()
- Narod.ru ()
- Xvatit.com ()
การบ้าน
รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ล้อมรอบเราทุกที่ รูปหลายเหลี่ยมนูนอาจเป็นรูปธรรมชาติ เช่น รวงผึ้ง หรือรูปหลายเหลี่ยมเทียม (ที่มนุษย์สร้างขึ้น) ตัวเลขเหล่านี้ใช้ในการผลิต ประเภทต่างๆการเคลือบ การทาสี สถาปัตยกรรม การตกแต่ง ฯลฯ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติว่าจุดทั้งหมดจะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันคู่หนึ่ง รูปทรงเรขาคณิต- มีคำจำกัดความอื่น ๆ รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงใดๆ ที่มีด้านใดด้านหนึ่ง
ในความรู้ เรขาคณิตเบื้องต้นจะถูกพิจารณาเป็นพิเศษเสมอ รูปหลายเหลี่ยมง่ายๆ- เพื่อให้เข้าใจคุณสมบัติทั้งหมดดังกล่าว จำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของมันก่อน อันดับแรก คุณควรเข้าใจว่าเส้นใดๆ ที่จุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าปิด นอกจากนี้รูปร่างที่เกิดขึ้นจากมันสามารถมีการกำหนดค่าได้หลากหลาย รูปหลายเหลี่ยมคือเส้นขาดแบบปิดธรรมดาซึ่งลิงก์ข้างเคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมโยงและจุดยอดของมันคือด้านข้างและจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามลำดับ เส้นโพลีไลน์ธรรมดาไม่ควรมีจุดตัดกันเอง
จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าจุดติดกันหากเป็นจุดยอดของด้านใดด้านหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตที่ได้ หมายเลขที่ nยอดเขาและด้วยเหตุนี้ ปริมาณที่ nข้างเรียกว่าเอ็นกอน เส้นขาดนั้นเรียกว่าขอบเขตหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ระนาบรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนคือส่วนจำกัดของระนาบใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยระนาบนั้น ด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือส่วนของเส้นขาดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่ง พวกมันจะไม่อยู่ติดกันหากมาจากจุดยอดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม
คำจำกัดความอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ในเรขาคณิตเบื้องต้น มีคำจำกัดความอีกหลายคำที่มีความหมายเทียบเท่ากัน ซึ่งระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน นอกจากนี้สูตรทั้งหมดนี้ใน ในระดับเดียวกันเป็นเรื่องจริง รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่านูนถ้า:
ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดภายในนั้นจะอยู่ภายในนั้นทั้งหมด
เส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ภายในนั้น
มุมภายในใดๆ จะต้องไม่เกิน 180°
รูปหลายเหลี่ยมจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วนเสมอ อันหนึ่งมีจำนวนจำกัด (สามารถล้อมเป็นวงกลมได้) และอีกอันไม่จำกัด อันแรกเรียกว่าขอบเขตภายใน และอันที่สองคือขอบเขตภายนอกของรูปทรงเรขาคณิตนี้ รูปหลายเหลี่ยมนี้คือจุดตัด (หรืออีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบร่วม) ของระนาบครึ่งระนาบหลายอัน ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละส่วนที่สิ้นสุดที่จุดที่เป็นของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นของมันโดยสมบูรณ์
ความหลากหลายของรูปหลายเหลี่ยมนูน
คำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายประเภท นอกจากนี้แต่ละคนยังมีเกณฑ์ที่แน่นอน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายในเท่ากับ 180° จึงเรียกว่านูนแบบอ่อน รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่าสามเหลี่ยม สี่ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ห้า - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ n-gons นูนแต่ละอันมีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดที่สำคัญที่สุดต่อไปนี้: n ต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3 แต่ละค่า ของรูปสามเหลี่ยมนูนออกมา รูปทรงเรขาคณิต ประเภทนี้ซึ่งจุดยอดทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกัน เรียกว่า จารึกไว้ในวงกลม รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่า circumscribed ถ้าทุกด้านใกล้กับวงกลมสัมผัสกัน กล่าวกันว่ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อสามารถนำรูปหลายเหลี่ยมมารวมกันได้โดยการซ้อนทับกัน รูปหลายเหลี่ยมระนาบคือระนาบรูปหลายเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของระนาบ) ที่ถูกจำกัดด้วยรูปทรงเรขาคณิตนี้
รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ
รูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มี มุมเท่ากันและฝ่ายต่างๆ ข้างในมีจุด 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน เรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าอะโพเธม และส่วนที่เชื่อมต่อจุด 0 กับด้านข้างเรียกว่ารัศมี
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมปกติเรียกว่าด้านเท่ากันหมด สำหรับตัวเลขดังกล่าว มีกฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับ 180° * (n-2)/ n
โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้
พื้นที่ใดๆ รูปหลายเหลี่ยมปกติกำหนดโดยสูตร:
โดยที่ p เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และ h เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากใน
คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน
รูปหลายเหลี่ยมนูนมี คุณสมบัติบางอย่าง- ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดใด ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องอยู่ในนั้น การพิสูจน์:
สมมติว่า P คือรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด ใช้เวลา 2 จุดใดก็ได้เช่น A, B ซึ่งเป็นของร.ป คำจำกัดความที่มีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดเหล่านี้จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นซึ่งมีด้าน P อยู่ด้วย ดังนั้น AB ก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกันและอยู่ใน P รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปได้เสมอด้วยเส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ ถูกดึงออกมาจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง
มุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน
มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านข้าง มุมภายในจะอยู่ในพื้นที่ภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด มุมที่เกิดจากด้านข้างมาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งเรียกว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ด้วยมุมภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดเรียกว่าภายนอก แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่อยู่ภายในจะเท่ากับ:
โดยที่ x คือขนาดของมุมภายนอก นี้ สูตรง่ายๆใช้กับรูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้
ใน กรณีทั่วไปสำหรับมุมภายนอกก็มี กฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับความแตกต่างระหว่าง 180° กับขนาดของมุมภายใน สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ -180° ถึง 180° ดังนั้น เมื่อมุมภายในเป็น 120° มุมภายนอกจะเป็น 60°
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร:
โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของ n-gon
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นคำนวณได้ง่ายมาก พิจารณารูปทรงเรขาคณิตใดๆ ดังกล่าว ในการหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูน คุณต้องเชื่อมต่อจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดยอดอื่นๆ จากการกระทำนี้ จะได้รูปสามเหลี่ยม (n-2) เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180° เสมอ เนื่องจากจำนวนในรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คือ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของรูปนั้นจึงเท่ากับ 180° x (n-2)
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งก็คือมุมภายนอกสองมุมภายในและมุมภายนอกที่อยู่ติดกัน สำหรับรูปทรงเรขาคณิตนูนที่กำหนดจะเท่ากับ 180° เสมอ จากข้อมูลนี้ เราสามารถหาผลรวมของมุมทั้งหมดได้:
ผลรวมของมุมภายในคือ 180° * (n-2) จากนี้ ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของรูปที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยสูตร:
180° * n-180°-(n-2)= 360°
ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะเป็น 360° เสมอ (โดยไม่คำนึงถึงจำนวนด้าน)
มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูน โดยทั่วไปจะแสดงด้วยความแตกต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน
คุณสมบัติอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน
นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้แล้ว ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อจัดการกับมันอีกด้วย ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ จึงสามารถแบ่งออกเป็น n-gons นูนหลายๆ รูปได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องดำเนินการต่อแต่ละด้านแล้วตัดรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามเส้นตรงเหล่านี้ นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นส่วนนูนหลายๆ ส่วนเพื่อให้จุดยอดของแต่ละส่วนตรงกับจุดยอดทั้งหมด จากรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว คุณสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ง่ายๆ โดยการลากเส้นทแยงมุมทั้งหมดจากจุดยอดจุดเดียว ดังนั้นในที่สุดรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่งได้ในที่สุด ซึ่งกลายเป็นว่ามีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว
เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ส่วนของเส้นขาดที่เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมมักแสดงด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: ab, bc, cd, de, ea เหล่านี้คือด้านของรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอด a, b, c, d, e ผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้เรียกว่าเส้นรอบรูป
วงกลมของรูปหลายเหลี่ยม
รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถจารึกหรือจำกัดขอบเขตได้ วงกลมที่สัมผัสทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าถูกจารึกไว้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า circumscribed จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปหลายเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับ:
โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ และ p คือกึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด
วงกลมที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า วงกลมล้อมรอบมัน ในกรณีนี้ รูปทรงเรขาคณิตนูนนี้เรียกว่าจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวคือจุดตัดของสิ่งที่เรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของทุกด้าน
เส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน
เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกัน แต่ละอันอยู่ภายในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon นั้นถูกกำหนดโดยสูตร:
ยังไม่มีข้อความ = n (n - 3)/ 2.
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่เล่น บทบาทที่สำคัญในเรขาคณิตเบื้องต้น จำนวนรูปสามเหลี่ยม (K) ที่สามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนแต่ละรูปได้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดเสมอ
การแบ่งพาร์ติชันรูปหลายเหลี่ยมนูน
ในบางกรณีต้องแก้ ปัญหาทางเรขาคณิตจำเป็นต้องแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปโดยมีเส้นทแยงมุมที่ไม่ต่อเนื่องกัน ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหาสูตรบางอย่าง
คำจำกัดความของปัญหา: ให้เราเรียกส่วนที่ถูกต้องของ n-gon ที่นูนออกมาให้กลายเป็นสามเหลี่ยมหลายรูปที่มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่านั้น
วิธีแก้: สมมุติว่า P1, P2, P3..., Pn คือจุดยอดของ n-gon นี้ หมายเลข Xn คือจำนวนพาร์ติชัน ให้เราพิจารณาเส้นทแยงมุมผลลัพธ์ของรูปทรงเรขาคณิต Pi Pn อย่างรอบคอบ ในข้อใดข้อหนึ่ง พาร์ติชันที่ถูกต้องР1 Pn เป็นของสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง Р1 Pi Pn ซึ่งมี 1 ให้ i = 2 เป็นกลุ่มหนึ่งของพาร์ติชันปกติ โดยจะมี P2 Pn ในแนวทแยงเสมอ จำนวนพาร์ติชั่นที่รวมอยู่ในนั้นตรงกับจำนวนพาร์ติชั่นของ (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเท่ากับ Xn-1 ถ้า i = 3 แล้วพาร์ติชันอีกกลุ่มนี้จะมีเส้นทแยงมุม P3 P1 และ P3 Pn เสมอ ในกรณีนี้ จำนวนพาร์ติชันปกติที่อยู่ในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-2)-gon P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเท่ากับ Xn-2 ให้ i = 4 จากนั้นในบรรดาสามเหลี่ยมนั้น ฉากกั้นที่ถูกต้องจะมีสามเหลี่ยม P1 P4 Pn อย่างแน่นอน ซึ่งจะอยู่ติดกับรูปสี่เหลี่ยม P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn จำนวนพาร์ติชันปกติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ X4 และจำนวนพาร์ติชันของ (n-3)-gon คือ Xn-3 จากทั้งหมดข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนพาร์ติชันปกติทั้งหมดที่มีอยู่ในกลุ่มนี้เท่ากับ Xn-3 X4 กลุ่มอื่นๆ ที่มี i = 4, 5, 6, 7... จะมี Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... พาร์ติชันปกติ ให้ i = n-2 จากนั้นจำนวนพาร์ติชั่นที่ถูกต้องในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชั่นในกลุ่มที่ i=2 (หรืออีกนัยหนึ่งคือเท่ากับ Xn-1) เนื่องจาก X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... ดังนั้น จำนวนพาร์ติชันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับ: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1 X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 เมื่อตรวจสอบกรณีใดกรณีหนึ่ง อาจสันนิษฐานได้ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gons นูนเท่ากับผลคูณของพาร์ติชันทั้งหมดของรูปนี้ลงใน (n-3) ข้อพิสูจน์สมมติฐานนี้: ลองจินตนาการว่า P1n = Xn * (n-3) แล้ว n-gon ใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็น (n-2)-สามเหลี่ยมได้ ยิ่งกว่านั้น (n-3)-รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถเกิดขึ้นได้จากพวกมัน นอกจากนี้แต่ละรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็จะมีเส้นทแยงมุมด้วย เนื่องจากรูปเรขาคณิตนูนนี้สามารถวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นได้ ซึ่งหมายความว่าสามารถวาดเส้นทแยงมุมเพิ่มเติม (n-3) ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (n-3) ใดก็ได้ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ติชันปกติใด ๆ เป็นไปได้ที่จะวาด (n-3) - เส้นทแยงมุมที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหานี้ บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเบื้องต้น จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi) i = 1,2,3... n เป็นลำดับพิกัดของจุดยอดที่อยู่ติดกันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดในตัวมันเอง ในกรณีนี้พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)) โดยที่ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1) แนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยม คำจำกัดความ 1 รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตในระนาบที่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ เชื่อมต่อกันเป็นคู่ โดยส่วนที่อยู่ติดกันไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ในกรณีนี้ เซ็กเมนต์จะถูกเรียก ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและจุดจบของพวกเขา- จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม. คำจำกัดความ 2 $n$-gon คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $n$ คำจำกัดความ 3 ถ้ารูปหลายเหลี่ยมอยู่บนด้านเดียวกันของเส้นใดๆ ที่ลากผ่านด้านข้างเสมอ รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะถูกเรียก นูน(รูปที่ 1) รูปที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมนูน คำจำกัดความที่ 4 หากรูปหลายเหลี่ยมวางอยู่บนด้านตรงข้ามของเส้นตรงอย่างน้อยหนึ่งเส้นที่ลากผ่านด้านข้าง รูปหลายเหลี่ยมนั้นจะเรียกว่าไม่นูน (รูปที่ 2) รูปที่ 2 รูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน ให้เราแนะนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดดังนี้ \[(n-2)\cdot (180)^0\] การพิสูจน์. ให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยมนูน $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ มาเชื่อมต่อจุดยอด $A_1$ กับจุดยอดอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยมนี้กัน (รูปที่ 3) รูปที่ 3. ด้วยการเชื่อมต่อนี้ เราจะได้สามเหลี่ยม $n-2$ เมื่อรวมมุมของพวกมัน เราจะได้ผลรวมของมุมของ -gon ที่กำหนด เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ $(180)^0,$ เราจึงได้ว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร \[(n-2)\cdot (180)^0\] ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว การใช้คำจำกัดความของ $2$ ทำให้ง่ายต่อการแนะนำคำจำกัดความของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน คำจำกัดความที่ 5 รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด $4$ (รูปที่ 4) รูปที่ 4 สี่เหลี่ยม สำหรับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แนวคิดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบนูนและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ไม่นูนจะมีความหมายคล้ายกัน ตัวอย่างคลาสสิกของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5) รูปที่ 5 รูปสี่เหลี่ยมนูน ทฤษฎีบท 2 ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ $(360)^0$ การพิสูจน์. ตามทฤษฎีบท $1$ เรารู้ว่าผลรวมของมุมของเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร \[(n-2)\cdot (180)^0\] ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านนูนจึงเท่ากับ \[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\] ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้วจำนวนพาร์ติชันปกติที่ตัดกันภายในเส้นทแยงมุมหนึ่งอัน
พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน
ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม
ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม
แนวคิดเรื่องรูปสี่เหลี่ยม
