รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้และคุณสมบัติของมัน ทฤษฎีโดยละเอียด

ทฤษฎีบท 1 ผลรวม มุมตรงข้ามรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับ 180°.

ให้เขียนรูปสี่เหลี่ยม ABCD ไว้ในวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลาง O (รูปที่ 412) จำเป็นต้องพิสูจน์ว่า ∠A + ∠C = 180° และ ∠B + ∠D = 180°

∠A ตามที่เขียนไว้ในวงกลม O วัดได้ 1 / 2 \(\breve(BCD)\)

∠C ตามที่เขียนไว้ในวงกลมเดียวกัน วัดได้ 1 / 2 \(\breve(BAD)\)

ดังนั้น ผลรวมของมุม A และ C จึงวัดด้วยผลรวมครึ่งหนึ่งของส่วนโค้ง BCD และ BAD โดยสรุป ส่วนโค้งเหล่านี้ประกอบเป็นวงกลม กล่าวคือ มี 360°

ดังนั้น ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°

ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันว่า ∠B + ∠D = 180° อย่างไรก็ตาม สามารถอนุมานได้ด้วยวิธีอื่น เรารู้ว่าจำนวนเงินนั้น มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ 360° ผลรวมของมุม A และ C เท่ากับ 180° ซึ่งหมายความว่าผลรวมของอีกสองมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังคงเป็น 180° เช่นกัน

ทฤษฎีบท 2 (ตรงกันข้าม) ถ้าในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ผลรวมของมุมตรงข้ามสองมุมเท่ากัน 180° จากนั้นจึงสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยมดังกล่าวได้

ให้ผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยม ABCD เท่ากับ 180° กล่าวคือ

∠A + ∠C = 180° และ ∠B + ∠D = 180° (รูปที่ 412)

ขอให้เราพิสูจน์ว่าวงกลมสามารถอธิบายได้รอบรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าว

การพิสูจน์- คุณสามารถวาดวงกลมผ่านจุดยอด 3 จุดใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ได้ เช่น ผ่านจุด A, B และ C แล้วจุด D จะอยู่ที่ไหน

จุด D สามารถครอบครองได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น สามถัดไปตำแหน่ง : อยู่ในวงกลม, อยู่นอกวงกลม, อยู่ในเส้นรอบวงของวงกลม.

สมมติว่าจุดยอดอยู่ภายในวงกลมและอยู่ในตำแหน่ง D’ (รูปที่ 413) จากนั้นในรูปสี่เหลี่ยม ABCD’ เราจะได้:

∠B + ∠D’ = 2 ง.

เมื่อต่อด้าน AD’ ไปยังจุดตัดที่มีวงกลมที่จุด E และจุดเชื่อมต่อ E และ C เราจะได้ ABCE รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบวงกลม ซึ่งตามทฤษฎีบทโดยตรง

∠B + ∠E = 2 ง.

จากความเท่าเทียมกันทั้งสองนี้มีดังนี้:

∠D’ = 2 ง- ∠B;

∠E = 2 ง- ∠B;

แต่สิ่งนี้ไม่สามารถเป็นได้ เนื่องจาก ∠D' ซึ่งมีสัมพัทธ์ภายนอกกับสามเหลี่ยม CD'E จะต้องมากกว่ามุม E ดังนั้น จุด D ไม่สามารถอยู่ภายในวงกลมได้

นอกจากนี้ยังพิสูจน์ได้ว่าจุดยอด D ไม่สามารถเข้าตำแหน่ง D" นอกวงกลมได้ (รูปที่ 414)

ยังคงต้องรับรู้ว่าจุดยอด D จะต้องอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม กล่าวคือ ตรงกับจุด E ซึ่งหมายความว่าสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปสี่เหลี่ยม ABCD ได้

ผลที่ตามมา.

1. วงกลมสามารถอธิบายได้รอบๆ สี่เหลี่ยมใดๆ

2. รอบๆ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามารถอธิบายวงกลมได้

ในทั้งสองกรณี ผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180°

ทฤษฎีบท 3 ผลบวกในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่อธิบายไว้ ฝั่งตรงข้ามมีความเท่าเทียมกัน ให้อธิบาย ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเกี่ยวกับวงกลม (รูปที่ 415) นั่นคือด้าน AB, BC, CD และ DA สัมผัสกันกับวงกลมนี้

ต้องพิสูจน์ว่า AB + CD = AD + BC ให้เราแสดงจุดแทนเจนต์ด้วยตัวอักษร M, N, K, P. จากคุณสมบัติของแทนเจนต์ที่วาดเป็นวงกลมจากจุดหนึ่ง เรามี:

ขอให้เราบวกความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราได้รับ:

AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM

เช่น AB + CD = AD + BC ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์

วัสดุอื่นๆ

รูปสี่เหลี่ยมถูกจารึกไว้ในวงกลม (ปัญหา) เรายังคงพิจารณางานที่รวมอยู่ในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ต่อไป ในบทความนี้ เราจะแก้ปัญหาต่างๆ โดยใช้คุณสมบัติของมุมที่ถูกจารึกไว้ ทฤษฎีนี้ได้ถูกสรุปไว้อย่างละเอียดแล้ว ในบทความนี้ การแก้ปัญหาโดยพื้นฐานแล้วอยู่ที่การใช้คุณสมบัติของมุมที่ถูกจารึกไว้ทันที นั่นคืองานเหล่านี้เป็นงานในการดำเนินการเกือบหนึ่งครั้ง ที่นี่คุณต้องคิดสักหน่อย แนวทางการตัดสินใจไม่ชัดเจนในทันทีเสมอไป

นำไปใช้: ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม คุณสมบัติของมุมที่เขียนไว้ คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เขียนไว้ในวงกลม เพิ่มเติมเกี่ยวกับหลัง

*ทรัพย์สินนี้ได้ถูกนำเสนอแล้ว แต่มีการตีความที่แตกต่างออกไป ดังนั้น:

คุณสมบัติ:

รูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอดทั้งหมดอยู่บนวงกลมเดียวกัน

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถเขียนลงในวงกลมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากับ 180 องศา

นั่นคือ ถ้าเราเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ผลรวมของมุมตรงข้ามจะเท่ากับ 180 องศา

พิจารณางาน:

27870. เป็นวงกลมมีศูนย์กลาง โอ เอ.ซี.และ บีดี- เส้นผ่านศูนย์กลาง มุมกลาง อโอดีเท่ากับ 110 0 ค้นหามุมที่จารึกไว้ เอซีบี- ให้คำตอบเป็นองศา

สามเหลี่ยม บีระบบปฏิบัติการหน้าจั่วเพราะว่า ระบบปฏิบัติการ=OB(นี่คือรัศมี) เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา พิจารณา ∠BOC และ ∠AOD:

เพราะฉะนั้น

มุมที่ฐาน สามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากันนั่นคือ

อีกวิธีหนึ่ง:

มุม AOB คือมุมศูนย์กลางของมุม ACB ที่ถูกจารึกไว้โดยสมบัติของมุมที่จารึกไว้ในวงกลม

ผลรวม มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180 0 ซึ่งหมายถึง

ดังนั้น

คำตอบ: 35

27871. มุม A ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD ที่จารึกไว้ในวงกลมมีค่าเท่ากับ 58 0 จงหามุม C ของรูปสี่เหลี่ยมนี้ ให้คำตอบเป็นองศา

ที่นี่ก็เพียงพอแล้วที่จะเรียกคืนคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนดังกล่าว เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมตรงข้ามเท่ากับ 180 องศา ซึ่งหมายความว่ามุม C จะเท่ากับ

วิธีที่สอง:

มาสร้าง OB และ OD กันดีกว่า

โดยสมบัติของมุมที่จารึกไว้ ขนาดขององศาของส่วนโค้ง BCD จะเท่ากับ

2∙58 0 = 116 0

ดังนั้นขนาดองศาของส่วนโค้ง BAD จะเท่ากับ

360 0 – 116 0 = 244 0

ตามคุณสมบัติของมุมที่ถูกจารึกไว้ มุม C จะมีขนาดเล็กกว่าสองเท่านั่นคือ 122 0

คำตอบ: 122

27872. ด้านของรูปสี่เหลี่ยม เอบีซีดี เอบี, บี.ซี., ซีดีและ ค.ศยึดส่วนโค้งของวงกลมที่ล้อมรอบซึ่งค่าระดับคือ 95 0, 49 0, 71 0, 145 0 ตามลำดับ หามุม บีรูปสี่เหลี่ยมนี้ ให้คำตอบเป็นองศา

มาสร้างรัศมี AO, OD, OC:

ค่าระดับของ arc AD เท่ากับ 145 0 ค่าระดับของ arc CD เท่ากับ 71 0 ซึ่งหมายความว่าค่าระดับของ arc ADC เท่ากับ 145 0 + 71 0 = 216 0

ตามสมบัติของมุมที่เขียนไว้ มุม B จะมีขนาดเล็กกว่าสองเท่า มุมกลางสอดคล้องกับส่วนโค้ง ADC นั่นคือ

คำตอบ: 108

27874. สี่เหลี่ยม เอบีซีดีจารึกไว้ในวงกลม มุม เอบีซีเท่ากับ 105 0, มุม แคนาดาเท่ากับ 35 0 . หามุม เอบีดี- ให้คำตอบเป็นองศา

งานนี้อาจมีความท้าทาย ไม่สามารถเห็นความคืบหน้าของการตัดสินใจได้อย่างชัดเจนในทันที ให้เรานึกถึงสิ่งที่ทราบเกี่ยวกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ถูกจารึกไว้: ผลรวมของมุมตรงข้ามของมันเท่ากับ 180 องศา มาหากัน.

บน ในขณะนี้เราพบมุมที่สามารถกำหนดได้ทันทีโดย ทรัพย์สินที่รู้จัก- ถ้าหาค่าอะไรได้ก็ทำไปก็จะมีประโยชน์ เราปฏิบัติตามหลักการ “เราค้นหาสิ่งที่สามารถพบได้ตามค่าที่กำหนด”

มุมที่จารึกไว้ ABD และ ACD นั้นมีพื้นฐานมาจากส่วนโค้งเดียวกัน ซึ่งหมายความว่ามุมทั้งสองเท่ากัน

คำตอบ: 70

27875. สี่เหลี่ยม เอบีซีดีจารึกไว้ในวงกลม มุม เอบีดีเท่ากับ 75 0, มุม แคนาดาเท่ากับ 35 0 . หามุม เอบีซี- ให้คำตอบเป็นองศา

เป็นที่ทราบกันว่ามุมที่จารึกไว้ซึ่งมีส่วนโค้งเดียวกันและมุมที่อยู่ด้านเดียวกันนั้นเท่ากัน เพราะฉะนั้น

ในสามเหลี่ยม ACD มีมุมที่ทราบอยู่สองมุม เราสามารถหามุมที่สามได้:

ฉันอยากจะทราบว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำ คุณสมบัติที่ระบุและคุณจะแก้ไขปัญหาได้โดยไม่มีปัญหา แน่นอนว่า คุณสามารถสร้างวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ถูกต้องทั้งหมดได้ ตัวอย่างเช่น ในปัญหา 27876 สำหรับ การตัดสินใจที่เป็นอิสระมีการให้วิธีแก้ปัญหาแบบ "ยาว" หรืออย่างที่พวกเขาพูดกันว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ลงตัว ไม่เป็นไรถ้าคุณแก้ปัญหาด้วยวิธีเดียวกัน

สิ่งสำคัญคือคุณต้องจดจำและใช้ทฤษฎีและแก้ไขงานในท้ายที่สุด

ในส่วนนี้เราจะพิจารณางานต่อไป ฉันขอเชิญคุณเข้าสู่บล็อก!

นั่นคือทั้งหมดที่ ขอให้โชคดี!

ขอแสดงความนับถือ Alexander Krutitskikh

คณะกรรมาธิการถามผู้อำนวยการโรงเรียนในชนบทที่เรียบง่าย:
- ลูก ๆ ของคุณทุกคนพูดด้วยเหตุผลอะไร: เมื่อพวกเขามาเมื่อพวกเขาไป?
“ใครจะรู้ บางทีพวกเขาอาจคุ้นเคยกับมันมาก!”

ป.ล. ฉันจะขอบคุณถ้าคุณบอกฉันเกี่ยวกับเว็บไซต์บนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกจารึกไว้ในวงกลมหากจุดยอดทั้งหมดอยู่บนวงกลมวงกลมดังกล่าวมีขอบเขตเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

เช่นเดียวกับที่ไม่สามารถอธิบายรูปสี่เหลี่ยมทุกรูปรอบวงกลมได้ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทุกรูปไม่สามารถเขียนลงในวงกลมได้

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนที่จารึกไว้ในวงกลมมีคุณสมบัติที่มุมตรงข้ามรวมกันได้ 180° ดังนั้น หากกำหนดรูปสี่เหลี่ยม ABCD โดยที่มุม A อยู่ตรงข้ามกับมุม C และมุม B อยู่ตรงข้ามกับมุม D แล้ว ∠A + ∠C = 180° และ ∠B + ∠D = 180°

โดยทั่วไป หากมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคู่หนึ่งรวมกันได้ 180° อีกคู่ก็จะรวมกันได้เท่ากัน สืบเนื่องมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า รูปสี่เหลี่ยมนูนผลรวมของมุมจะเป็น 360° เสมอ ความจริงข้อนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่า รูปหลายเหลี่ยมนูนผลรวมของมุมถูกกำหนดโดยสูตร 180° * (n – 2) โดยที่ n คือจำนวนมุม (หรือด้าน)

คุณสามารถพิสูจน์คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ได้ ดังต่อไปนี้- ให้เขียนรูปสี่เหลี่ยม ABCD ไว้ในวงกลม O เราต้องพิสูจน์ว่า ∠B + ∠D = 180°

มุม B ถูกจารึกไว้ในวงกลม อย่างที่ทราบกันดีว่ามุมดังกล่าว เท่ากับครึ่งหนึ่งส่วนโค้งที่มันวางอยู่ ใน ในกรณีนี้มุม B รองรับโดย arc ADC ซึ่งหมายถึง ∠B = ½◡ADC (เนื่องจากส่วนโค้งเท่ากับมุมระหว่างรัศมีที่ก่อตัว เราจึงสามารถเขียนได้ว่า ∠B = ½∠AOC ซึ่งเป็นบริเวณด้านในซึ่งมีจุด D)

อีกด้านหนึ่ง มุม D ของรูปสี่เหลี่ยมวางอยู่บนส่วนโค้ง ABC ซึ่งก็คือ ∠D = ½◡ABC

เนื่องจากด้านของมุม B และ D ตัดกันวงกลมที่จุดเดียวกัน (A และ C) พวกมันจึงแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่านั้น - ◡ADC และ ◡ABC เพราะ วงกลมเต็มรวมกันได้ 360° จากนั้น ◡ADC + ◡ABC = 360°

จึงได้ความเท่าเทียมกันดังนี้

∠B = ½◡ADC
∠D = ∠◡เอบีซี
◡ADC + ◡ABC = 360°

ลองแสดงผลรวมของมุม:

∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC

เอา 1/2 ออกจากวงเล็บ:

∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)

แทนที่ผลรวมของส่วนโค้งด้วยค่าตัวเลข:

∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°

เราพบว่าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้คือ 180° นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ความจริงที่ว่ารูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้นั้นมีคุณสมบัตินี้ (ผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180°) ไม่ได้หมายความว่ารูปสี่เหลี่ยมใดๆ ที่ผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180° จะสามารถจารึกไว้ในวงกลมได้ แม้ว่าในความเป็นจริงสิ่งนี้จะเป็นเรื่องจริงก็ตาม ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่า การทดสอบรูปสี่เหลี่ยมที่จารึกไว้และมีสูตรดังนี้ ถ้าผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนคือ 180° ก็จะสามารถอธิบายวงกลมรอบรูปนั้นได้ (หรือเขียนไว้ในวงกลม)

คุณสามารถพิสูจน์การทดสอบสำหรับรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ได้ด้วยวิธีที่ขัดแย้งกัน ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีมุมตรงข้ามกัน B และ D รวมกันได้ 180° ในกรณีนี้ มุม D ไม่ได้อยู่บนวงกลม จากนั้นให้จุด E บนเส้นที่มีส่วน CD โดยให้อยู่บนวงกลม ผลลัพธ์ที่ได้คือ ABCE รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบบวงกลม รูปสี่เหลี่ยมนี้มีมุม B และ E ตรงข้ามกัน ซึ่งหมายความว่าพวกมันรวมกันได้ 180° สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้

ปรากฎว่า ∠B + ∠D = 180° และ ∠B + ∠E = 180° อย่างไรก็ตาม มุม D ของ ABCD รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเทียบกับสามเหลี่ยม AED นั้นเป็นมุมภายนอก และดังนั้นจึงมากกว่ามุม E ของสามเหลี่ยมนี้ ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้ง ซึ่งหมายความว่าหากผลรวมของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมกันได้ 180° ก็จะสามารถเขียนมุมนั้นไว้ในวงกลมได้เสมอ

หัวข้อ: “วงกลมอธิบายไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมปกติ» จะกล่าวถึงรายละเอียดบางส่วนภายใน หลักสูตรของโรงเรียน- อย่างไรก็ตามเรื่องนี้งานที่เกี่ยวข้องกับ ส่วนนี้ planimetry ทำให้เกิดปัญหาบางอย่างสำหรับนักเรียนมัธยมปลายหลายคน ขณะเดียวกันก็เข้าใจหลักการแก้ปัญหาด้วย ปัญหาการสอบ Unified Stateโดยมีวงกลมล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม ผู้สำเร็จการศึกษาที่มีการฝึกอบรมระดับใดก็ได้

เตรียมตัวสอบ Unified State อย่างไร?

เพื่อ งานสอบ Unified Stateในหัวข้อ "วงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติ" ไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาใด ๆ สำหรับนักเรียนศึกษาร่วมกับพอร์ทัลการศึกษา "Shkolkovo" กับเราคุณสามารถทำซ้ำได้ วัสดุทางทฤษฎีในหัวข้อที่ทำให้คุณลำบาก ทฤษฎีบทและสูตรที่เมื่อก่อนดูค่อนข้างซับซ้อนถูกนำเสนอด้วยวิธีที่เข้าถึงได้และเข้าใจได้

หากต้องการทบทวนคำจำกัดความและแนวคิดพื้นฐานเกี่ยวกับมุมและจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยม รวมถึงทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับความยาวของส่วนต่างๆ ผู้สำเร็จการศึกษาเพียงแค่ต้องไปที่ส่วน "ความช่วยเหลือทางทฤษฎี" ที่นี่เราได้โพสต์เนื้อหาที่รวบรวมโดยเจ้าหน้าที่ที่มีประสบการณ์ของเราโดยเฉพาะสำหรับนักเรียนที่มี ระดับที่แตกต่างกันการตระเตรียม.

เพื่อรวบรวมข้อมูลที่ได้เรียนรู้ นักเรียนมัธยมปลายสามารถฝึกทำแบบฝึกหัดได้ บน พอร์ทัลการศึกษา"Shkolkovo" ในส่วน "แคตตาล็อก" นำเสนอฐานข้อมูลขนาดใหญ่ของงานที่มีความซับซ้อนต่างกันออกไปสูงสุด การเตรียมการที่มีประสิทธิภาพสู่การสอบ Unified State แต่ละงานบนไซต์ประกอบด้วยอัลกอริธึมการแก้ปัญหาและคำตอบที่ถูกต้อง ฐานข้อมูลการออกกำลังกายของ Shkolkovo ได้รับการอัปเดตและเสริมเป็นประจำ

นักเรียนจากมอสโกและประเทศอื่นๆ ฝึกฝนการทำงานให้เสร็จสิ้นบนเว็บไซต์ของเรา เมืองรัสเซียสามารถทำได้ทางออนไลน์ หากจำเป็น คุณสามารถบันทึกการออกกำลังกายใดๆ ไว้ในส่วน "รายการโปรด" ในอนาคตเป็นไปได้ที่จะกลับมาที่งานนี้และหารือเกี่ยวกับอัลกอริทึมในการแก้ปัญหาด้วย ครูโรงเรียนหรือครูสอนพิเศษ

หลักสูตรวิดีโอ "Get an A" มีหัวข้อทั้งหมดที่คุณต้องการ สำเร็จลุล่วงการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ 60-65 คะแนน ครบทุกปัญหา 1-13 การตรวจสอบโปรไฟล์ Unified Stateในวิชาคณิตศาสตร์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทั้งหมด ทฤษฎีที่จำเป็น. วิธีที่รวดเร็วแนวทางแก้ไข ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ครั้งละ 2.5 ชม. แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี, วัสดุอ้างอิง, วิเคราะห์งาน Unified State Examination ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่- ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายด้วยภาพ แนวคิดที่ซับซ้อน- พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหา งานที่ซับซ้อน 2 ส่วนของการสอบ Unified State