ในอัตราส่วน
สามารถกำหนดภารกิจในการค้นหาตัวเลขทั้งสามตัวจากอีกสองตัวที่กำหนดได้ ถ้าให้ a และ N ไว้ จะหาได้โดยการยกกำลัง ถ้า N และ a ถูกกำหนดโดยการหารากของดีกรี x (หรือยกกำลัง) ทีนี้ ลองพิจารณากรณีที่ เมื่อให้ a และ N เราต้องค้นหา x
ให้จำนวน N เป็นบวก: จำนวน a เป็นบวกและไม่เท่ากับหนึ่ง:
คำนิยาม. ลอการิทึมของเลข N ถึงฐาน a คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a เพื่อให้ได้เลข N ลอการิทึมเขียนแทนด้วย
ดังนั้น ในความเท่าเทียมกัน (26.1) เลขชี้กำลังจึงถูกพบเป็นลอการิทึมของ N ถึงฐาน a กระทู้
มี ความหมายเดียวกัน- ความเท่าเทียมกัน (26.1) บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์หลักของทฤษฎีลอการิทึม ในความเป็นจริงมันเป็นการแสดงออกถึงคำจำกัดความของแนวคิดเรื่องลอการิทึม โดย คำจำกัดความนี้ฐานของลอการิทึม a จะเป็นค่าบวกเสมอและแตกต่างจากความสามัคคี เลขลอการิทึม N เป็นบวก จำนวนลบและศูนย์ไม่มีลอการิทึม สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขใดๆ ที่มีฐานที่กำหนดมีลอการิทึมที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน ความเท่าเทียมกันจึงบังเกิด โปรดทราบว่าเงื่อนไขสำคัญที่นี่คือ มิฉะนั้นข้อสรุปจะไม่ได้รับการพิสูจน์เนื่องจากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x และ y
ตัวอย่างที่ 1 ค้นหา
สารละลาย. การจะได้เลขต้องยกฐาน 2 ยกกำลัง ดังนั้น
คุณสามารถจดบันทึกเมื่อแก้ไขตัวอย่างดังกล่าวในรูปแบบต่อไปนี้:
ตัวอย่างที่ 2. ค้นหา
สารละลาย. เรามี
ในตัวอย่างที่ 1 และ 2 เราพบลอการิทึมที่ต้องการได้อย่างง่ายดายโดยแทนเลขลอการิทึมเป็นกำลังของฐานด้วย ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล- ใน กรณีทั่วไปตัวอย่างเช่น ฯลฯ นี้ไม่สามารถทำได้ เนื่องจากลอการิทึมมี ความหมายที่ไม่ลงตัว- ให้เราใส่ใจกับประเด็นหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับคำชี้แจงนี้ ในย่อหน้าที่ 12 เราได้ให้แนวคิดเกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิจารณาสิ่งใดๆ ระดับที่แท้จริงที่ให้ไว้ จำนวนบวก- นี่เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการแนะนำลอการิทึม ซึ่งโดยทั่วไปแล้วอาจเป็นจำนวนอตรรกยะได้
ลองดูคุณสมบัติบางอย่างของลอการิทึม
คุณสมบัติ 1 ถ้าตัวเลขและฐานเท่ากัน แสดงว่าลอการิทึม เท่ากับหนึ่งและในทางกลับกัน ถ้าลอการิทึมเท่ากับ 1 จำนวนและฐานก็จะเท่ากัน
การพิสูจน์. อนุญาต ตามคำจำกัดความของลอการิทึมที่เรามีและที่ไหน
ในทางกลับกัน ให้ จากนั้น ตามคำนิยาม
คุณสมบัติ 2 ลอการิทึมของหนึ่งถึงฐานใดๆ เท่ากับศูนย์
การพิสูจน์. ตามคำจำกัดความของลอการิทึม ( ระดับศูนย์ฐานบวกใดๆ ก็ตามจะเท่ากับหนึ่ง ดู (10.1) จากที่นี่
Q.E.D.
ข้อความสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า แล้ว N = 1 อันที่จริง เรามี
ก่อนที่จะกำหนดคุณสมบัติถัดไปของลอการิทึม ให้เราตกลงที่จะบอกว่าตัวเลข a และ b สองตัวอยู่บนด้านเดียวกันของเลขตัวที่สาม c ถ้าทั้งสองมีค่ามากกว่า c หรือน้อยกว่า c หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งมากกว่า c และอีกจำนวนหนึ่งน้อยกว่า c เราก็จะบอกว่าพวกมันเข้ากันได้ ด้านที่แตกต่างกันจากหมู่บ้าน
คุณสมบัติ 3 ถ้าตัวเลขและฐานอยู่ด้านเดียวกัน ลอการิทึมจะเป็นค่าบวก หากตัวเลขและฐานอยู่ตรงข้ามกัน ลอการิทึมจะเป็นลบ
การพิสูจน์คุณสมบัติ 3 ขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าระดับก มากกว่าหนึ่งถ้าฐานมีค่ามากกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นบวก หรือฐานน้อยกว่าหนึ่งและเลขชี้กำลังเป็นลบ กำลังจะน้อยกว่า 1 ถ้าฐานมากกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นลบ หรือฐานน้อยกว่า 1 และเลขชี้กำลังเป็นบวก
มีสี่กรณีที่ต้องพิจารณา:
เราจะจำกัดตัวเองให้วิเคราะห์สิ่งแรก ผู้อ่านจะพิจารณาส่วนที่เหลือด้วยตัวเอง
ปล่อยให้ในความเท่าเทียมกัน เลขชี้กำลังไม่สามารถเป็นทั้งลบหรือได้ เท่ากับศูนย์ดังนั้นจึงเป็นบวก กล่าวคือ ตามที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาว่าลอการิทึมใดด้านล่างนี้เป็นค่าบวกและค่าใดเป็นค่าลบ:
วิธีแก้ปัญหา ก) เนื่องจากเลข 15 และฐาน 12 อยู่ด้านเดียวกันของเลขหนึ่ง
b) เนื่องจาก 1,000 และ 2 อยู่ที่ด้านหนึ่งของยูนิต ในกรณีนี้ ฐานจะมากกว่าเลขลอการิทึมไม่สำคัญ
c) เนื่องจาก 3.1 และ 0.8 อยู่ฝั่งตรงข้ามของความสามัคคี
ช) ; ทำไม
ง) ; ทำไม
คุณสมบัติ 4-6 ต่อไปนี้มักเรียกว่ากฎของลอการิทึม: ช่วยให้ทราบลอการิทึมของตัวเลขบางตัวเพื่อค้นหาลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ผลหารผลหารระดับของแต่ละรายการ
คุณสมบัติ 4 (กฎลอการิทึมผลคูณ) ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของจำนวนบวกหลายจำนวนโดย พื้นฐานนี้ เท่ากับผลรวมลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ให้เป็นฐานเดียวกัน
การพิสูจน์. ให้ตัวเลขที่ให้มาเป็นบวก
สำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เราจะเขียนค่าความเท่าเทียมกัน (26.1) ซึ่งกำหนดลอการิทึม:
จากนี้เราจะพบกับ
การเปรียบเทียบเลขชี้กำลังของตัวแรกและ สำนวนสุดท้ายเราได้รับความเท่าเทียมกันที่ต้องการ:
โปรดทราบว่าเงื่อนไขเป็นสิ่งจำเป็น ลอการิทึมของผลคูณของจำนวนลบสองตัวนั้นสมเหตุสมผล แต่ในกรณีนี้เราเข้าใจแล้ว
โดยทั่วไปหากผลคูณของปัจจัยหลายประการเป็นบวก ลอการิทึมของมันจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมของค่าสัมบูรณ์ของปัจจัยเหล่านี้
คุณสมบัติ 5 (กฎสำหรับการรับลอการิทึมของผลหาร) ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกเท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของเงินปันผลและตัวหารที่นำมาจากฐานเดียวกัน การพิสูจน์. เราก็หามาเรื่อยๆ
Q.E.D.
คุณสมบัติ 6 (กฎลอการิทึมกำลัง) ลอการิทึมของกำลังของจำนวนบวกบางจำนวน เท่ากับลอการิทึมจำนวนนี้คูณด้วยเลขชี้กำลัง
การพิสูจน์. ให้เราเขียนเอกลักษณ์หลัก (26.1) อีกครั้งสำหรับตัวเลข:
Q.E.D.
ผลที่ตามมา ลอการิทึมของรากของจำนวนบวกเท่ากับลอการิทึมของรากหารด้วยเลขชี้กำลังของราก:
ความถูกต้องของข้อพิสูจน์นี้สามารถพิสูจน์ได้ด้วยการจินตนาการถึงวิธีการและการใช้คุณสมบัติ 6
ตัวอย่างที่ 4 นำลอการิทึมมาเป็นฐาน:
ก) (สันนิษฐานว่าค่าทั้งหมด b, c, d, e เป็นบวก)
b) (สันนิษฐานว่า )
วิธีแก้ไข ก) การเดินทางสะดวก การแสดงออกนี้ยกกำลังเศษส่วน:
จากความเท่าเทียมกัน (26.5)-(26.7) เราสามารถเขียนได้:
เราสังเกตเห็นว่าการดำเนินการกับลอการิทึมของตัวเลขง่ายกว่าการดำเนินการกับตัวเลขเอง: เมื่อคูณตัวเลข ลอการิทึมของพวกมันจะถูกบวก เมื่อหาร พวกมันจะถูกลบ ฯลฯ
นั่นคือเหตุผลที่ใช้ลอการิทึมในการฝึกคำนวณ (ดูย่อหน้าที่ 29)
การกระทำผกผันของลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ กล่าวคือ ศักยภาพคือการกระทำที่ใช้ค้นหาตัวเลขจากลอการิทึมที่กำหนดของตัวเลข โดยพื้นฐานแล้ว ศักยภาพไม่ใช่การกระทำพิเศษใดๆ มันขึ้นอยู่กับการยกระดับฐานอำนาจ ( เท่ากับลอการิทึมตัวเลข) คำว่า "ศักยภาพ" ถือได้ว่ามีความหมายเหมือนกันกับคำว่า "การยกกำลัง"
เมื่อเพิ่มศักยภาพ เราต้องใช้กฎที่ผกผันกับกฎของลอการิทึม: แทนที่ผลรวมของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร ฯลฯ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีปัจจัยอยู่ข้างหน้า ของเครื่องหมายของลอการิทึม จากนั้นในระหว่างการโพเทนเชียลจะต้องถ่ายโอนไปยังองศาเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม
ตัวอย่างที่ 5 ค้นหา N หากทราบสิ่งนั้น
สารละลาย. ในการเชื่อมต่อกับกฎศักยภาพที่ระบุไว้ เราจะถ่ายโอนปัจจัย 2/3 และ 1/3 ที่ยืนอยู่หน้าเครื่องหมายลอการิทึมทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ไปเป็นเลขชี้กำลังภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมเหล่านี้ เราได้รับ
ตอนนี้เราแทนที่ผลต่างของลอการิทึมด้วยลอการิทึมของผลหาร:
เพื่อให้ได้เศษส่วนสุดท้ายของห่วงโซ่ความเท่าเทียมกันนี้ เราได้ปล่อยเศษส่วนก่อนหน้าออกจากความไม่ลงตัวในตัวส่วน (ข้อ 25)
คุณสมบัติ 7. ถ้าฐานมีมากกว่าหนึ่งแล้ว จำนวนที่มากขึ้นมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า) ถ้าฐานน้อยกว่าหนึ่ง จำนวนที่มากกว่าก็จะมีลอการิทึมที่น้อยกว่า (และจำนวนที่น้อยกว่าก็จะมีลอการิทึมที่ใหญ่กว่า)
คุณสมบัตินี้ยังถูกกำหนดให้เป็นกฎสำหรับการหาลอการิทึมของอสมการ ซึ่งทั้งสองด้านเป็นบวก:
เมื่อนำลอการิทึมของอสมการไปเป็นฐานที่มากกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกคงไว้ และเมื่อลอการิทึมเป็นฐานที่น้อยกว่าหนึ่ง สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม (ดูย่อหน้าที่ 80 ด้วย)
การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติ 5 และ 3 พิจารณากรณีเมื่อ ถ้า แล้ว และ เมื่อรับลอการิทึม เราได้
(a และ N/M อยู่บนด้านเดียวกันของความสามัคคี) จากที่นี่
กรณีต่อไปนี้ผู้อ่านจะคิดออกเอง
จุดเน้นของบทความนี้คือ ลอการิทึม- ที่นี่เราจะให้คำจำกัดความของลอการิทึมแสดง ได้รับการยอมรับการกำหนดเราจะยกตัวอย่างลอการิทึม และพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติและทศนิยม หลังจากนี้ เราจะพิจารณาเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
การนำทางหน้า
ความหมายของลอการิทึม
แนวคิดของลอการิทึมเกิดขึ้นเมื่อแก้ปัญหาใน ในแง่หนึ่งผกผัน เมื่อคุณต้องการหาเลขชี้กำลังด้วย คุณค่าที่ทราบระดับการศึกษาและพื้นฐานที่ทราบ
แต่พอคำนำก็ถึงเวลาตอบคำถาม “ลอการิทึม” คืออะไร? ให้เราให้คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง
คำนิยาม.
ลอการิทึมของ b ถึงฐาน aโดยที่ a>0, a≠1 และ b>0 เป็นเลขชี้กำลังที่คุณต้องเพิ่มจำนวน a เพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็น b
ในขั้นตอนนี้ เราสังเกตว่าคำว่า "ลอการิทึม" ในภาษาพูดควรทำให้เกิดคำถามตามมาสองข้อทันที: "จำนวนเท่าใด" และ "บนพื้นฐานใด" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีลอการิทึม มีแต่ลอการิทึมของตัวเลขจนถึงฐานบางฐานเท่านั้น
เข้าไปได้เลยทันที สัญกรณ์ลอการิทึม: ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน a มักจะแสดงเป็น log a b ลอการิทึมของตัวเลข b ถึงฐาน e และลอการิทึมของฐาน 10 มีการกำหนดพิเศษของตัวเอง lnb และ logb ตามลำดับ นั่นคือ พวกมันเขียนไม่ใช่ log e b แต่เป็น lnb และไม่ใช่ log 10 b แต่เป็น lgb
ตอนนี้เราสามารถให้: .
และบันทึกต่างๆ ไม่สมเหตุสมผลเพราะในตอนแรกมีเครื่องหมายลอการิทึมอยู่ จำนวนลบตัวที่สองเป็นจำนวนลบในฐาน และตัวที่สามเป็นจำนวนลบใต้เครื่องหมายลอการิทึมและมีหน่วยอยู่ในฐาน
ตอนนี้เรามาพูดถึง กฎสำหรับการอ่านลอการิทึม- Log a b อ่านว่า "ลอการิทึมของ b ถึงฐาน a" ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 3 คือลอการิทึมของสามถึงฐาน 2 และเป็นลอการิทึมของสองจุดสองในสามของฐาน 2 รากที่สองจากห้า ลอการิทึมฐาน e เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติและสัญกรณ์ lnb อ่านว่า "ลอการิทึมธรรมชาติของ b" ตัวอย่างเช่น ln7 คือลอการิทึมธรรมชาติของ 7 และเราจะอ่านมันเป็นลอการิทึมธรรมชาติของ pi ลอการิทึมฐาน 10 มีชื่อพิเศษเช่นกัน - ลอการิทึมทศนิยมและ lgb อ่านว่า "ลอการิทึมฐานสิบของ b" ตัวอย่างเช่น lg1 คือลอการิทึมฐานสิบของหนึ่ง และ lg2.75 คือลอการิทึมฐานสิบของสองจุดเจ็ดห้าในร้อย
ควรพิจารณาแยกกันตามเงื่อนไข a>0, a≠1 และ b>0 ซึ่งให้คำจำกัดความของลอการิทึมไว้ ให้เราอธิบายว่าข้อจำกัดเหล่านี้มาจากไหน ความเท่าเทียมกันของรูปแบบที่เรียกว่า ซึ่งตามมาจากคำจำกัดความของลอการิทึมที่ระบุข้างต้นโดยตรง จะช่วยเราทำสิ่งนี้ได้
เริ่มจาก a≠1 กันก่อน เนื่องจากหนึ่งยกกำลังใด ๆ มีค่าเท่ากับหนึ่ง ความเท่าเทียมกันจึงเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อ b=1 แต่บันทึก 1 1 สามารถเป็นค่าใดก็ได้ จำนวนจริง- เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือนี้ จึงถือว่า a≠1
ให้เราพิสูจน์ความได้เปรียบของเงื่อนไข a>0 ด้วย a=0 ตามนิยามของลอการิทึม เราจะมีความเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นไปได้เฉพาะกับ b=0 เท่านั้น แต่บันทึก 0 0 อาจเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากศูนย์ถึงกำลังใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็นศูนย์ เงื่อนไข a≠0 ช่วยให้เราสามารถหลีกเลี่ยงความคลุมเครือนี้ได้ และเมื่อก<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
สุดท้าย เงื่อนไข b>0 ตามมาจากความไม่เท่าเทียมกัน a>0 เนื่องจาก และค่าของกำลังที่มีฐานบวก a จะเป็นค่าบวกเสมอ
เพื่อสรุปประเด็นนี้ สมมติว่าคำจำกัดความที่ระบุของลอการิทึมทำให้คุณสามารถระบุค่าของลอการิทึมได้ทันที เมื่อตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายลอการิทึมเป็นกำลังที่แน่นอนของฐาน จริงๆ แล้ว คำจำกัดความของลอการิทึมช่วยให้เราระบุได้ว่าถ้า b=a p แล้วลอการิทึมของจำนวน b ถึงฐาน a จะเท่ากับ p นั่นคือ บันทึกความเท่าเทียมกัน a a p =p เป็นจริง ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า 2 3 =8 จากนั้นให้บันทึก 2 8=3 เราจะพูดถึงเรื่องนี้เพิ่มเติมในบทความ
วันนี้เราจะมาพูดถึง สูตรลอการิทึมและให้ตัวบ่งชี้ ตัวอย่างการแก้ปัญหา.
พวกเขาเองบ่งบอกถึงรูปแบบการแก้ปัญหาตามคุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม ก่อนที่จะใช้สูตรลอการิทึมเพื่อแก้โจทย์ ให้เราเตือนคุณถึงคุณสมบัติทั้งหมดก่อน:
ตอนนี้เราจะแสดงตามสูตร (คุณสมบัติ) เหล่านี้ ตัวอย่างการแก้ลอการิทึม.
ตัวอย่างการแก้ลอการิทึมตามสูตร
ลอการิทึมจำนวนบวก b ถึงฐาน a (เขียนแทนด้วยบันทึก a b) คือเลขชี้กำลังที่ต้องยก a ขึ้นเพื่อให้ได้ b โดยมี b > 0, a > 0 และ 1
ตามคำจำกัดความ ให้บันทึก a b = x ซึ่งเทียบเท่ากับ a x = b ดังนั้น ให้บันทึก a a x = x
ลอการิทึมตัวอย่าง:
บันทึก 2 8 = 3 เพราะ 2 3 = 8
บันทึก 7 49 = 2 เพราะ 7 2 = 49
บันทึก 5 1/5 = -1 เพราะ 5 -1 = 1/5
ลอการิทึมทศนิยม- นี่คือลอการิทึมสามัญซึ่งมีฐานคือ 10 ซึ่งแสดงว่าเป็น lg
บันทึก 10 100 = 2 เพราะ 10 2 = 100
ลอการิทึมธรรมชาติ- ยังเป็นลอการิทึมลอการิทึมปกติ แต่มีฐาน e (e = 2.71828... - จำนวนอตรรกยะ- แสดงว่า ln.
ขอแนะนำให้จดจำสูตรหรือคุณสมบัติของลอการิทึมเพราะเราจะต้องใช้มันในภายหลังเมื่อแก้ลอการิทึม สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน เรามาทำงานแต่ละสูตรอีกครั้งพร้อมตัวอย่าง
- เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
บันทึก a b = b8 2ล็อก 8 3 = (8 2ล็อก 8 3) 2 = 3 2 = 9
- ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
บันทึก a (bc) = บันทึก a b + บันทึก a cบันทึก 3 8.1 + บันทึก 3 10 = บันทึก 3 (8.1*10) = บันทึก 3 81 = 4
- ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
log a (b/c) = บันทึก a b - บันทึก a c9 บันทึก 5 50 /9 บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 50- บันทึก 5 2 = 9 บันทึก 5 25 = 9 2 = 81
- คุณสมบัติของกำลังของเลขลอการิทึมและฐานของลอการิทึม
เลขชี้กำลังของจำนวนลอการิทึม log a b m = mlog a b
เลขชี้กำลังฐาน บันทึกลอการิทึม a n b =1/n*บันทึก a b
บันทึก a n b m = m/n*บันทึก a b
ถ้า m = n เราจะได้ log a n b n = log a b
บันทึก 4 9 = บันทึก 2 2 3 2 = บันทึก 2 3
- การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่
บันทึก a b = บันทึก c b/บันทึก c aถ้า c = b เราจะได้บันทึก b b = 1
จากนั้นให้ล็อก a b = 1/log b a
บันทึก 0.8 3*บันทึก 3 1.25 = บันทึก 0.8 3*บันทึก 0.8 1.25/บันทึก 0.8 3 = บันทึก 0.8 1.25 = บันทึก 4/5 5/4 = -1
อย่างที่คุณเห็น สูตรลอการิทึมไม่ได้ซับซ้อนอย่างที่คิด ตอนนี้ เมื่อดูตัวอย่างการแก้ลอการิทึมแล้ว เราก็มาดูสมการลอการิทึมกันดีกว่า เราจะดูตัวอย่างการแก้สมการลอการิทึมโดยละเอียดในบทความ: "" อย่าพลาด!
หากคุณยังคงมีคำถามเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา โปรดเขียนคำถามเหล่านั้นในความคิดเห็นในบทความ
หมายเหตุ: เราตัดสินใจเลือกชั้นเรียนการศึกษาอื่นและศึกษาต่อต่างประเทศเป็นตัวเลือก
เมื่อสังคมพัฒนาและการผลิตมีความซับซ้อนมากขึ้น คณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้นด้วย การเคลื่อนไหวจากง่ายไปสู่ซับซ้อน จากการบัญชีแบบธรรมดาโดยวิธีการบวกและการลบด้วย ซ้ำหลายครั้งมาถึงแนวคิดเรื่องการคูณและการหาร การลดการดำเนินการคูณซ้ำๆ กลายเป็นแนวคิดเรื่องการยกกำลัง ตารางแรกของการพึ่งพาตัวเลขบนฐานและจำนวนการยกกำลังถูกรวบรวมในศตวรรษที่ 8 โดย Varasena นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย จากนั้นคุณสามารถนับเวลาที่เกิดลอการิทึมได้
ภาพสเก็ตช์ประวัติศาสตร์
การฟื้นตัวของยุโรปในศตวรรษที่ 16 ยังช่วยกระตุ้นการพัฒนากลศาสตร์อีกด้วย ต ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากเกี่ยวข้องกับการคูณและการหาร ตัวเลขหลายหลัก- โต๊ะโบราณก็บริการดีมาก พวกเขาทำให้สามารถแทนที่การดำเนินการที่ซับซ้อนด้วยการดำเนินการที่ง่ายกว่า - การบวกและการลบ ก้าวที่ยิ่งใหญ่ผลงานของนักคณิตศาสตร์ Michael Stiefel ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1544 เป็นผู้นำซึ่งเขาได้ตระหนักถึงแนวคิดของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้ตารางได้ไม่เพียงแต่สำหรับองศาในรูปแบบเท่านั้น หมายเลขเฉพาะแต่ยังสำหรับคนมีเหตุผลตามอำเภอใจด้วย
ในปี ค.ศ. 1614 ชาวสก็อตแลนด์ จอห์น เนเปียร์ ได้พัฒนาแนวคิดเหล่านี้เป็นครั้งแรก คำศัพท์ใหม่"ลอการิทึมของตัวเลข" ใหม่ ตารางที่ซับซ้อนสำหรับคำนวณลอการิทึมของไซน์และโคไซน์ รวมถึงแทนเจนต์ สิ่งนี้ทำให้การทำงานของนักดาราศาสตร์ลดลงอย่างมาก
ตารางใหม่เริ่มปรากฏขึ้น ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ใช้อย่างประสบความสำเร็จมาตลอด สามศตวรรษ- เวลาผ่านไปนานมากก่อนที่การดำเนินการใหม่ในพีชคณิตจะได้รูปแบบที่เสร็จสมบูรณ์ มีการกำหนดลอการิทึมและศึกษาคุณสมบัติของลอการิทึม
เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เท่านั้นที่มีการถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ มนุษยชาติจึงละทิ้งโต๊ะโบราณที่ทำงานอย่างประสบความสำเร็จตลอดศตวรรษที่ 13
วันนี้เราเรียกลอการิทึมของ b ว่าเป็นฐานของ x ซึ่งเป็นกำลังของ a ที่ทำให้ b เขียนเป็นสูตร: x = log a(b)
ตัวอย่างเช่น บันทึก 3(9) จะเท่ากับ 2 ซึ่งจะชัดเจนหากคุณปฏิบัติตามคำจำกัดความ ถ้าเรายก 3 ยกกำลัง 2 เราจะได้ 9
ดังนั้น คำจำกัดความที่จัดทำขึ้นจึงกำหนดข้อจำกัดเพียงข้อเดียว คือ ตัวเลข a และ b ต้องเป็นจำนวนจริง
ประเภทของลอการิทึม
คำจำกัดความแบบคลาสสิกเรียกว่าลอการิทึมจริง และจริงๆ แล้วคือคำตอบของสมการ a x = b ตัวเลือก a = 1 ถือเป็นเส้นเขตแดนและไม่เป็นที่สนใจ ข้อควรสนใจ: 1 กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับ 1
มูลค่าที่แท้จริงของลอการิทึมกำหนดเฉพาะเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มากกว่า 0 และฐานต้องไม่เท่ากับ 1
สถานที่พิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เล่นลอการิทึม ซึ่งจะตั้งชื่อตามขนาดของฐาน:
กฎและข้อจำกัด
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมคือกฎ: ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมลอการิทึม บันทึก abp = บันทึก ก(b) + บันทึก ก(p)
รูปแบบหนึ่งของข้อความนี้จะมี: log c(b/p) = log c(b) - log c(p) ฟังก์ชันผลหารจะเท่ากับผลต่างของฟังก์ชัน
จากกฎสองข้อก่อนหน้านี้ จะสังเกตได้ง่ายว่า: log a(b p) = p * log a(b)
คุณสมบัติอื่น ๆ ได้แก่ :
ความคิดเห็น ไม่จำเป็นต้องทำผิดพลาดทั่วไป - ลอการิทึมของผลรวมไม่เท่ากับผลรวมของลอการิทึม
เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่การค้นหาลอการิทึมเป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลานาน นักคณิตศาสตร์ก็ใช้ สูตรที่รู้จักกันดีทฤษฎีลอการิทึมของการขยายตัวพหุนาม:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n) โดยที่ n - จำนวนธรรมชาติมากกว่า 1 ซึ่งเป็นตัวกำหนดความแม่นยำของการคำนวณ
ลอการิทึมที่มีฐานอื่นคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์
เนื่องจากวิธีนี้ใช้แรงงานเข้มข้นมากและ เมื่อตัดสินใจ ปัญหาในทางปฏิบัติ ยากต่อการนำไปใช้ เราใช้ตารางลอการิทึมที่คอมไพล์ไว้ล่วงหน้า ซึ่งทำให้งานทั้งหมดเร็วขึ้นอย่างเห็นได้ชัด
ในบางกรณีมีการใช้กราฟลอการิทึมที่ออกแบบมาเป็นพิเศษซึ่งให้ความแม่นยำน้อยกว่า แต่ช่วยเร่งการค้นหาได้อย่างมาก ค่าที่ต้องการ- เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = log a(x) ซึ่งสร้างขึ้นบนหลายจุด ทำให้คุณสามารถใช้ไม้บรรทัดธรรมดาเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นได้ วิศวกร เวลานานเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จึงใช้สิ่งที่เรียกว่ากระดาษกราฟ
ในศตวรรษที่ 17 เงื่อนไขการคำนวณแอนะล็อกเสริมครั้งแรกปรากฏขึ้นซึ่ง ศตวรรษที่ 19ได้รับการดูเสร็จแล้ว อุปกรณ์ที่ประสบความสำเร็จสูงสุดเรียกว่ากฎสไลด์ แม้จะมีความเรียบง่ายของอุปกรณ์ แต่รูปลักษณ์ภายนอกของมันช่วยเร่งกระบวนการคำนวณทางวิศวกรรมทั้งหมดได้อย่างมีนัยสำคัญ และนี่เป็นเรื่องยากที่จะประเมินค่าสูงไป ปัจจุบันมีเพียงไม่กี่คนที่คุ้นเคยกับอุปกรณ์นี้
การถือกำเนิดขึ้นของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทำให้การใช้อุปกรณ์อื่นๆ ไร้จุดหมาย
สมการและอสมการ
เพื่อแก้ปัญหา สมการที่แตกต่างกันและอสมการโดยใช้ลอการิทึมใช้สูตรต่อไปนี้:
- การย้ายจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่ง: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- อันเป็นผลมาจากตัวเลือกก่อนหน้า: log a(b) = 1 / log b(a)
เพื่อแก้ความไม่เท่าเทียมกัน จะมีประโยชน์ที่จะรู้:
- ค่าลอการิทึมจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่งเท่านั้น หากมีการละเมิดเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อ ค่าลอการิทึมจะเป็นลบ
- หากใช้ฟังก์ชันลอการิทึมกับด้านขวาและด้านซ้ายของอสมการ และฐานของลอการิทึมมากกว่า 1 แสดงว่าสัญญาณของอสมการยังคงอยู่ ไม่อย่างนั้นมันจะเปลี่ยนไป
ปัญหาตัวอย่าง
ลองพิจารณาหลายตัวเลือกสำหรับการใช้ลอการิทึมและคุณสมบัติต่างๆ ตัวอย่างที่มีการแก้สมการ:
พิจารณาตัวเลือกในการวางลอการิทึมลงในกำลัง:
- ปัญหาที่ 3 คำนวณ 25^log 5(3) วิธีแก้ไข: ในเงื่อนไขของปัญหา รายการจะคล้ายกับรายการต่อไปนี้ (5^2)^log5(3) หรือ 5^(2 * log 5(3)) ลองเขียนให้แตกต่างออกไป: 5^log 5(3*2) หรือกำลังสองของตัวเลขเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นกำลังสองของฟังก์ชันได้ (5^log 5(3))^2 การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม นิพจน์นี้จะเท่ากับ 3^2 คำตอบ: จากการคำนวณเราได้ 9
การประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติ
เนื่องจากเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ จึงดูเหมือนห่างไกลจากความเป็นจริง ชีวิตจริงที่ลอการิทึมได้มาอย่างกะทันหัน คุ้มค่ามากเพื่ออธิบายวัตถุ โลกแห่งความเป็นจริง- เป็นการยากที่จะหาวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้ สิ่งนี้ไม่เพียงนำไปใช้กับความรู้ทางธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาขาความรู้ด้านมนุษยธรรมด้วย
การพึ่งพาลอการิทึม
นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการขึ้นต่อกันของตัวเลข:
กลศาสตร์และฟิสิกส์
ในอดีตกลศาสตร์และฟิสิกส์มีการพัฒนาโดยใช้มาโดยตลอด วิธีการทางคณิตศาสตร์การวิจัยและในขณะเดียวกันก็ทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจในการพัฒนาคณิตศาสตร์รวมถึงลอการิทึม ทฤษฎีกฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ ขอยกตัวอย่างคำอธิบายเพียงสองตัวอย่าง กฎทางกายภาพโดยใช้ลอการิทึม
แก้ไขปัญหาการคำนวณเช่นนี้ ขนาดที่ซับซ้อนวิธีกำหนดความเร็วของจรวดโดยใช้สูตร Tsiolkovsky ซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีการสำรวจอวกาศ:
V = I * ln (M1/M2) โดยที่
- วี – ความเร็วสุดท้ายอากาศยาน.
- ฉัน – แรงกระตุ้นเฉพาะของเครื่องยนต์
- M 1 – มวลเริ่มต้นของจรวด
- M 2 – มวลสุดท้าย
อื่น ตัวอย่างที่สำคัญ - ใช้ในสูตรของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนอย่าง Max Planck ซึ่งทำหน้าที่ประเมินสถานะสมดุลในอุณหพลศาสตร์
S = k * ln (Ω) โดยที่
- S – คุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์
- k – ค่าคงที่ของ Boltzmann
- Ω คือน้ำหนักทางสถิติของสถานะต่างๆ
เคมี
ไม่ชัดเจนคือการใช้สูตรในวิชาเคมีที่มีอัตราส่วนของลอการิทึม ขอยกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่าง:
- สมการเนิร์นสต์ คือสภาวะของศักย์รีดอกซ์ของตัวกลางที่สัมพันธ์กับแอคติวิตีของสารและค่าคงที่สมดุล
- การคำนวณค่าคงที่เช่นดัชนีการสลายอัตโนมัติและความเป็นกรดของสารละลายก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีฟังก์ชันของเรา
จิตวิทยาและชีววิทยา
และยังไม่ชัดเจนว่าจิตวิทยาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างไร ปรากฎว่าฟังก์ชั่นนี้อธิบายความแข็งแกร่งของความรู้สึกได้ดี ความสัมพันธ์ผกผันค่าความเข้มของการกระตุ้นให้เป็นค่าความเข้มที่ต่ำกว่า
หลังจากตัวอย่างข้างต้น จึงไม่น่าแปลกใจอีกต่อไปที่หัวข้อลอการิทึมมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาชีววิทยา ปริมาตรทั้งหมดสามารถเขียนเกี่ยวกับรูปแบบทางชีววิทยาที่สอดคล้องกับเกลียวลอการิทึม
พื้นที่อื่นๆ
ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของโลกจะเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความเกี่ยวข้องกับหน้าที่นี้ และมันจะควบคุมกฎทั้งหมด โดยเฉพาะเมื่อกฎแห่งธรรมชาติเกี่ยวข้องกัน ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต- คุ้มค่าที่จะหันมาใช้เว็บไซต์ MatProfi และมีตัวอย่างมากมายในกิจกรรมต่อไปนี้:
รายการสามารถไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเชี่ยวชาญหลักการพื้นฐานของฟังก์ชันนี้แล้ว คุณสามารถดำดิ่งสู่โลกแห่งปัญญาอันไม่มีที่สิ้นสุด
ลอการิทึมของตัวเลข เอ็น ขึ้นอยู่กับ ก เรียกว่าเลขชี้กำลัง เอ็กซ์ ที่คุณต้องสร้าง ก เพื่อรับหมายเลข เอ็น
โดยมีเงื่อนไขว่า
,
,
จากคำจำกัดความของลอการิทึมจะได้ดังนี้
, เช่น.
- ความเท่าเทียมกันนี้คืออัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน
ลอการิทึมที่มีฐาน 10 เรียกว่าลอการิทึมฐานสิบ แทน
เขียน
.
ลอการิทึมถึงฐาน จ
เรียกว่าเป็นธรรมชาติและถูกกำหนดไว้
.
คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึม
ลอการิทึมของ 1 เท่ากับศูนย์สำหรับฐานใดๆ
ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลรวมของลอการิทึมของปัจจัย
3) ลอการิทึมของผลหารเท่ากับผลต่างของลอการิทึม
ปัจจัย
เรียกว่าโมดูลัสของการเปลี่ยนผ่านจากลอการิทึมเป็นฐาน ก
เป็นลอการิทึมที่ฐาน ข
.
การใช้คุณสมบัติ 2-5 มักจะเป็นไปได้ที่จะลดลอการิทึมของนิพจน์ที่ซับซ้อนให้เหลือผลลัพธ์ของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายกับลอการิทึม
ตัวอย่างเช่น,
การแปลงลอการิทึมดังกล่าวเรียกว่าลอการิทึม การแปลงผกผันกับลอการิทึมเรียกว่าศักยภาพ
บทที่ 2 องค์ประกอบของคณิตศาสตร์ชั้นสูง
1. ข้อจำกัด
ขีดจำกัดของฟังก์ชัน
เป็นจำนวนจำกัด A ถ้า เช่น xx
0
สำหรับแต่ละที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
มีจำนวนดังกล่าว
ทันทีที่
, ที่
.
ฟังก์ชันที่มีขีดจำกัดจะแตกต่างจากฟังก์ชันนี้ด้วยจำนวนที่น้อยมาก:
ที่ไหน- b.m.v. เช่น
.
ตัวอย่าง. พิจารณาฟังก์ชัน
.
เมื่อมุ่งมั่น
, การทำงาน ย
มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:
1.1. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัด
ขีดจำกัด ค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นี้
.
ขีดจำกัดจำนวนเงิน (ส่วนต่าง) จำนวนจำกัดฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลคูณของฟังก์ชันจำนวนจำกัด เท่ากับสินค้าขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้
ขีดจำกัดของผลหารของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของขีดจำกัดของฟังก์ชันเหล่านี้ ถ้าขีดจำกัดของตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
ขีดจำกัดอันมหัศจรรย์
,
, ที่ไหน
1.2. ตัวอย่างการคำนวณขีดจำกัด
อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกขีดจำกัดจะคำนวณได้ง่ายนัก บ่อยครั้งที่การคำนวณขีดจำกัดลงมาเพื่อเผยให้เห็นความไม่แน่นอนของประเภท: หรือ .
.
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
ให้เรามีหน้าที่
ต่อเนื่องในส่วนนี้
.
การโต้แย้ง เพิ่มขึ้นบ้าง
- จากนั้นฟังก์ชันจะได้รับการเพิ่มขึ้น
.
ค่าอาร์กิวเมนต์ สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
.
ค่าอาร์กิวเมนต์
สอดคล้องกับค่าฟังก์ชัน
เพราะฉะนั้น, .
ให้เราหาลิมิตของอัตราส่วนนี้กันที่
- หากมีขีดจำกัดนี้จะเรียกว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
คำจำกัดความ 3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด
โดยการโต้แย้ง เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์โดยพลการ
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
สามารถกำหนดได้ดังนี้:
; ; ; .
คำจำกัดความที่ 4 เรียกว่าการดำเนินการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ความแตกต่าง
2.1. ความหมายทางกลของอนุพันธ์
ลองพิจารณาการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุ
ปล่อยให้ ณ จุดใดจุดหนึ่ง จุดเคลื่อนที่
อยู่ในระยะไกล จากตำแหน่งเริ่มต้น
.
หลังจากนั้นช่วงระยะเวลาหนึ่ง
เธอขยับไปไกล
- ทัศนคติ =- ความเร็วเฉลี่ยของจุดวัสดุ
- ให้เราหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้โดยคำนึงถึงสิ่งนั้น
.
ดังนั้นคำจำกัดความ ความเร็วทันทีการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุลงมาเพื่อค้นหาอนุพันธ์ของเส้นทางเทียบกับเวลา
2.2. ความหมายทางเรขาคณิตอนุพันธ์
ขอให้เรามีฟังก์ชันที่กำหนดไว้แบบกราฟิก
.
ข้าว. 1. ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์
ถ้า
แล้วชี้
,จะเคลื่อนที่ไปตามโค้งเข้าใกล้จุดนั้น
.
เพราะฉะนั้น
, เช่น. มูลค่าของอนุพันธ์สำหรับมูลค่าที่กำหนดของการโต้แย้ง เป็นตัวเลขเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมที่เกิดจากแทนเจนต์ ณ จุดที่กำหนดโดยมีทิศทางบวกของแกน
.
2.3. ตารางสูตรหาอนุพันธ์พื้นฐาน
ฟังก์ชั่นพลังงาน
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
2.4. กฎของความแตกต่าง
อนุพันธ์ของ
อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชัน
อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน
2.5. อนุพันธ์ของ ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน.
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
จึงสามารถแสดงออกมาเป็นรูปร่างได้
และ
โดยที่ตัวแปร ก็เป็นข้อโต้แย้งระดับกลางแล้ว
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด เทียบกับอาร์กิวเมนต์ตัวกลางและอนุพันธ์ของอาร์กิวเมนต์ตัวกลางเทียบกับ x
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
3. ฟังก์ชันดิฟเฟอเรนเชียล
ให้มีอยู่
, หาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลาหนึ่ง
และปล่อยให้ ที่
ฟังก์ชันนี้มีอนุพันธ์
,
แล้วเราก็สามารถเขียนได้
(1),
ที่ไหน - ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด
ตั้งแต่เมื่อไหร่
คูณเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมด (1) ด้วย
เรามี:
ที่ไหน
- บีเอ็มวี ลำดับที่สูงขึ้น
ขนาด
เรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
และถูกกำหนดไว้
.
3.1. ค่าเรขาคณิตของส่วนต่าง
ปล่อยให้ฟังก์ชันได้รับ
.
รูปที่ 2. ความหมายทางเรขาคณิตของดิฟเฟอเรนเชียล
.
แน่นอนว่าดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชัน
เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพิกัดของแทนเจนต์ที่จุดที่กำหนด
3.2. อนุพันธ์และส่วนต่างของคำสั่งต่างๆ
ถ้ามี
, แล้ว
เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
อนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับ 1 เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 2 และเขียนเป็นลายลักษณ์อักษร
.
อนุพันธ์ลำดับที่ n ของฟังก์ชัน
เรียกว่าอนุพันธ์ลำดับที่ (n-1) และเขียนว่า:
.
ดิฟเฟอเรนเชียลของดิฟเฟอเรนเชียลของฟังก์ชันเรียกว่าดิฟเฟอเรนเชียลอันดับสองหรือดิฟเฟอเรนเชียลลำดับที่สอง
.
.
3.3 การแก้ปัญหาทางชีววิทยาโดยใช้ความแตกต่าง
ภารกิจที่ 1 การศึกษาพบว่าการเจริญเติบโตของอาณานิคมของจุลินทรีย์เป็นไปตามกฎหมาย
, ที่ไหน เอ็น
– จำนวนจุลินทรีย์ (เป็นพัน) ที
– เวลา (วัน)
b) ประชากรในอาณานิคมจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงในช่วงเวลานี้?
คำตอบ. ขนาดของอาณานิคมจะเพิ่มขึ้น
ภารกิจที่ 2 น้ำในทะเลสาบได้รับการทดสอบเป็นระยะเพื่อติดตามปริมาณแบคทีเรียที่ทำให้เกิดโรค ผ่าน ที วันหลังการทดสอบ ความเข้มข้นของแบคทีเรียจะถูกกำหนดโดยอัตราส่วน
.
ทะเลสาบจะมีความเข้มข้นของแบคทีเรียขั้นต่ำเมื่อใดและจะสามารถว่ายน้ำได้หรือไม่?
วิธีแก้ไข: ฟังก์ชันถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นศูนย์
,
ลองพิจารณาว่าสูงสุดหรือต่ำสุดจะอยู่ใน 6 วัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ลองใช้อนุพันธ์อันดับสองกัน
คำตอบ: หลังจากผ่านไป 6 วัน แบคทีเรียจะมีความเข้มข้นน้อยที่สุด