ประเภทของการสั่นสะเทือน: การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก การสั่นของฮาร์มอนิก – ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้

นอกจากการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุนของวัตถุในกลศาสตร์แล้ว การเคลื่อนที่แบบแกว่งยังเป็นที่สนใจอย่างมากอีกด้วย การสั่นสะเทือนทางกล คือการเคลื่อนไหวของวัตถุที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน (หรือโดยประมาณ) ในช่วงเวลาเท่ากัน กฎการเคลื่อนที่ของการสั่นของร่างกายถูกกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันช่วงเวลาที่แน่นอน x = ฉ (ที- การแสดงกราฟของฟังก์ชันนี้ทำให้เห็นภาพของกระบวนการออสซิลเลชันเมื่อเวลาผ่านไป

ตัวอย่างของระบบออสซิลเลเตอร์อย่างง่ายคือโหลดบนสปริงหรือลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ (รูปที่ 2.1.1)

การสั่นสะเทือนทางกล เช่น กระบวนการสั่นที่มีลักษณะทางกายภาพอื่นๆ อาจเป็นได้ ฟรีและ ถูกบังคับ. การสั่นสะเทือนฟรี มีความมุ่งมั่นภายใต้อิทธิพล กองกำลังภายในระบบหลังจากระบบหลุดออกจากสมดุลแล้ว การแกว่งของตุ้มน้ำหนักบนสปริงหรือการแกว่งของลูกตุ้มเป็นการแกว่งแบบอิสระ การสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นภายใต้อิทธิพล ภายนอกจะมีการเรียกพลังที่เปลี่ยนแปลงเป็นระยะ ถูกบังคับ .

กระบวนการออสซิลลาทอรีประเภทที่ง่ายที่สุดนั้นเรียบง่าย การสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ซึ่งอธิบายได้ด้วยสมการ

x = xเอ็มคอส(ω ที + φ 0).

ที่นี่ x- การกระจัดของร่างกายจากตำแหน่งสมดุล xม. - ความกว้างของการแกว่งเช่น การกระจัดสูงสุดจากตำแหน่งสมดุล ω - ความถี่แบบวงกลมหรือแบบวงกลม ลังเล, ที- เวลา. ปริมาณใต้เครื่องหมายโคไซน์ φ = ω ที+ φ 0 เรียกว่า เฟสกระบวนการฮาร์มอนิก ที่ ที= 0 φ = φ 0 ดังนั้นจึงเรียกว่า φ 0 ระยะเริ่มต้น- ช่วงเวลาขั้นต่ำที่เรียกว่าการเคลื่อนไหวของร่างกายซ้ำ ระยะเวลาของการสั่น ต- เรียกว่าปริมาณทางกายภาพที่ผกผันกับคาบการสั่น ความถี่การสั่นสะเทือน:

ความถี่การสั่น ฉแสดงจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นใน 1 วินาที หน่วยความถี่ - เฮิรตซ์(เฮิร์ตซ์) ความถี่การสั่น ฉเกี่ยวข้องกับความถี่ไซคลิก ω และคาบการสั่น ตอัตราส่วน:

ในรูป 2.1.2 แสดงตำแหน่งของร่างกายในช่วงเวลาที่เท่ากันระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก ภาพดังกล่าวสามารถรับได้จากการทดลองโดยการให้แสงสว่างแก่วัตถุที่สั่นด้วยแสงวาบเป็นระยะสั้น ๆ ( แสงแฟลช- ลูกศรแสดงถึงเวกเตอร์ความเร็วของร่างกายในเวลาที่ต่างกัน

ข้าว. 2.1.3 แสดงการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นบนกราฟของกระบวนการฮาร์มอนิก หากแอมพลิจูดของการออสซิลเลชันเปลี่ยนแปลงไป xม. หรือคาบ ต(หรือความถี่ ฉ) หรือเฟสเริ่มต้น φ 0

เมื่อวัตถุแกว่งไปตามแนวเส้นตรง (แกน วัว) เวกเตอร์ความเร็วจะพุ่งไปตามเส้นตรงนี้เสมอ ความเร็ว υ = υ xการเคลื่อนไหวของร่างกายถูกกำหนดโดยการแสดงออก

ในทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนการหาขีดจำกัดของอัตราส่วนที่ Δ ที→ 0 เรียกว่าการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน x (ที) ตามเวลา ทีและแสดงเป็นหรือเป็น เอ็กซ์"(ที) หรือสุดท้าย เช่น . สำหรับกฎการเคลื่อนที่ของฮาร์มอนิก การคำนวณอนุพันธ์จะนำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้:

การปรากฏตัวของคำ + π / 2 ในอาร์กิวเมนต์โคไซน์หมายถึงการเปลี่ยนแปลงในระยะเริ่มต้น ค่าความเร็วสัมบูรณ์สูงสุด υ = ω x m เกิดขึ้นในช่วงเวลาที่ร่างกายผ่านตำแหน่งสมดุล ( x= 0) ความเร่งถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน ก = กxร่างกายระหว่างการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิก:

ดังนั้นความเร่ง กเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน υ ( ที) ตามเวลา ทีหรืออนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน x (ที- การคำนวณให้:

เครื่องหมายลบในนิพจน์นี้หมายถึงความเร่ง ก (ที) จะมีเครื่องหมายตรงกันข้ามกับเครื่องหมายการกระจัดเสมอ x (ที) ดังนั้นตามกฎข้อที่สองของนิวตัน แรงที่ทำให้ร่างกายทำการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกจะมุ่งสู่ตำแหน่งสมดุลเสมอ ( x = 0).

(ละติน แอมพลิจูด- ขนาด) คือการเบี่ยงเบนที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของวัตถุที่สั่นจากตำแหน่งสมดุล

สำหรับลูกตุ้ม นี่คือระยะทางสูงสุดที่ลูกบอลเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งสมดุล (รูปด้านล่าง) สำหรับการแกว่งที่มีแอมพลิจูดน้อย อาจใช้ระยะห่างดังกล่าวเป็นความยาวของส่วนโค้ง 01 หรือ 02 และความยาวของส่วนเหล่านี้

แอมพลิจูดของการแกว่งจะวัดเป็นหน่วยความยาว เช่น เมตร เซนติเมตร ฯลฯ บนกราฟการแกว่ง แอมพลิจูดถูกกำหนดให้เป็นค่าสูงสุด (โมดูโล) ของเส้นโค้งไซนูซอยด์ (ดูรูปด้านล่าง)

ระยะเวลาการสั่น

ระยะเวลาการสั่น- นี่คือช่วงเวลาที่สั้นที่สุดซึ่งระบบที่สั่นจะกลับสู่สถานะเดิมอีกครั้งซึ่งอยู่ในช่วงเวลาเริ่มต้นซึ่งเลือกโดยพลการ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คาบการสั่น ( ต) คือเวลาที่เกิดการสั่นที่สมบูรณ์ครั้งหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในรูปด้านล่าง นี่คือเวลาที่ลูกตุ้มบ๊อบเคลื่อนที่จากจุดขวาสุดผ่านจุดสมดุล เกี่ยวกับไปยังจุดซ้ายสุดแล้วกลับผ่านจุดนั้น เกี่ยวกับไปทางขวาสุดอีกครั้ง

ตลอดระยะเวลาการแกว่งเต็ม ร่างกายจึงเคลื่อนที่ในเส้นทางที่เท่ากับสี่แอมพลิจูด ระยะเวลาของการแกว่งจะวัดเป็นหน่วยเวลา เช่น วินาที นาที ฯลฯ ระยะเวลาของการแกว่งสามารถกำหนดได้จากกราฟของการแกว่งที่รู้จักกันดี (ดูรูปด้านล่าง)

แนวคิดของ "ระยะเวลาการสั่น" พูดอย่างเคร่งครัดจะมีผลก็ต่อเมื่อค่าของปริมาณการสั่นถูกทำซ้ำอย่างแน่นอนหลังจากช่วงระยะเวลาหนึ่งนั่นคือ สำหรับการสั่นแบบฮาร์มอนิก อย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้ยังใช้กับกรณีที่มีปริมาณซ้ำโดยประมาณด้วย เช่น สำหรับ การสั่นแบบหน่วง.

ความถี่การสั่น

ความถี่การสั่น- คือจำนวนการสั่นที่เกิดขึ้นต่อหน่วยเวลา เช่น ใน 1 วินาที

มีชื่อหน่วยความถี่ SI เฮิรตซ์(เฮิรตซ์) เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน G. Hertz (1857-1894) หากความถี่การสั่น ( โวลต์) เท่ากับ 1 เฮิรตซ์ซึ่งหมายความว่าทุกวินาทีจะมีการสั่นหนึ่งครั้ง ความถี่และคาบของการสั่นสัมพันธ์กันตามความสัมพันธ์:

ในทฤษฎีการแกว่งพวกเขาก็ใช้แนวคิดนี้เช่นกัน วัฏจักร, หรือ ความถี่วงกลม ω - มันสัมพันธ์กับความถี่ปกติ โวลต์และช่วงการสั่น ตอัตราส่วน:

.

ความถี่วงจรคือจำนวนการสั่นที่ทำต่อ 2πวินาที

การแกว่งของฮาร์มอนิกเป็นปรากฏการณ์ของการเปลี่ยนแปลงเป็นระยะของปริมาณใด ๆ ซึ่งการพึ่งพาอาร์กิวเมนต์มีลักษณะเป็นฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์ ตัวอย่างเช่น ปริมาณจะผันผวนอย่างกลมกลืนและเปลี่ยนแปลงตามเวลาดังนี้

โดยที่ x คือค่าของปริมาณที่เปลี่ยนแปลง t คือเวลา พารามิเตอร์ที่เหลือจะเป็นค่าคงที่: A คือแอมพลิจูดของการออสซิลเลชัน ω คือความถี่ไซคลิกของการออสซิลเลชัน คือเฟสเต็มของการออสซิลเลชัน คือเฟสเริ่มต้นของการออสซิลเลชัน

การสั่นฮาร์มอนิกทั่วไปในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

(คำตอบที่ไม่ไม่สำคัญใดๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์นี้คือการแกว่งของฮาร์มอนิกที่มีความถี่เป็นรอบ)

ประเภทของการสั่นสะเทือน

การสั่นสะเทือนอิสระเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายในของระบบหลังจากที่ระบบถูกถอดออกจากตำแหน่งสมดุลแล้ว เพื่อให้การแกว่งอิสระเป็นแบบฮาร์มอนิก จำเป็นที่ระบบออสซิลลาทอรีจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และไม่มีการกระจายพลังงานไปในตัว (อย่างหลังจะทำให้เกิดการลดทอน)

แรงสั่นสะเทือนที่ถูกบังคับเกิดขึ้นภายใต้อิทธิพลของแรงภายนอกเป็นระยะ เพื่อให้เป็นฮาร์มอนิกก็เพียงพอแล้วที่ระบบออสซิลโลสโคปจะเป็นเส้นตรง (อธิบายโดยสมการการเคลื่อนที่เชิงเส้น) และแรงภายนอกเองก็เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลาเนื่องจากการแกว่งของฮาร์มอนิก (นั่นคือ การพึ่งพาเวลาของแรงนี้เป็นไซนูซอยด์) .

สมการฮาร์มอนิก

สมการ (1)

ให้การพึ่งพาค่าที่ผันผวน S ตรงเวลา t; นี่คือสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระในรูปแบบที่ชัดเจน อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วสมการการสั่นสะเทือนจะเข้าใจว่าเป็นตัวแทนของสมการนี้ในรูปแบบที่แตกต่างกัน เพื่อความแน่นอน ขอให้เราใช้สมการ (1) ในรูปแบบ

มาแยกความแตกต่างสองครั้งตามเวลา:

จะเห็นได้ว่ามีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ซึ่งเรียกว่าสมการของการแกว่งฮาร์มอนิกอิสระ (ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล) สมการ (1) เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ (2) เนื่องจากสมการ (2) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เงื่อนไขเริ่มต้นสองเงื่อนไขจึงมีความจำเป็นเพื่อให้ได้คำตอบที่สมบูรณ์ (นั่นคือ การหาค่าคงที่ A และ   ที่รวมอยู่ในสมการ (1) เช่น ตำแหน่งและความเร็วของระบบออสซิลลาทอรีที่ t = 0

ลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์คือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นระบบกลไกที่ประกอบด้วยจุดวัสดุที่ตั้งอยู่บนเกลียวที่ไม่สามารถยืดออกได้แบบไร้น้ำหนัก หรือบนแท่งไร้น้ำหนักในสนามแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ คาบของการสั่นตามธรรมชาติเล็กน้อยของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ความยาว l ซึ่งแขวนลอยอย่างไม่มีการเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วงสม่ำเสมอโดยมีความเร่งการตกอย่างอิสระ g เท่ากับ

และไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูดและมวลของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มทางกายภาพคือออสซิลเลเตอร์ ซึ่งเป็นวัตถุแข็งที่แกว่งไปมาในสนามที่มีแรงใดๆ สัมพันธ์กับจุดที่ไม่ใช่จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุนี้ หรือแกนคงที่ตั้งฉากกับทิศทางการกระทำของแรง และไม่ ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายนี้

นี่คือการแกว่งเป็นคาบซึ่งพิกัด ความเร็ว ความเร่งที่แสดงลักษณะการเคลื่อนที่จะเปลี่ยนไปตามกฎของไซน์หรือโคไซน์ สมการของการสั่นของฮาร์มอนิกกำหนดการขึ้นอยู่กับพิกัดของร่างกายตรงเวลา

กราฟโคไซน์ในช่วงเริ่มต้นมีค่าสูงสุด และกราฟไซน์มีค่าเป็นศูนย์ในช่วงเริ่มต้น หากเราเริ่มศึกษาการสั่นจากตำแหน่งสมดุล การสั่นจะเกิดไซนัสอยด์ซ้ำ หากเราเริ่มพิจารณาการสั่นจากตำแหน่งส่วนเบี่ยงเบนสูงสุด การสั่นจะถูกอธิบายด้วยโคไซน์ หรือการสั่นดังกล่าวสามารถอธิบายได้ด้วยสูตรไซน์ที่มีเฟสเริ่มต้น

ลูกตุ้มคณิตศาสตร์

การสั่นของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์
ลูกตุ้มคณิตศาสตร์ – จุดวัสดุที่แขวนอยู่บนเส้นด้ายที่ยืดออกไม่ได้ไร้น้ำหนัก (แบบจำลองทางกายภาพ)
เราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มภายใต้เงื่อนไขว่ามุมโก่งมีขนาดเล็ก ดังนั้น ถ้าเราวัดมุมเป็นเรเดียน ข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: .
แรงโน้มถ่วงและความตึงของเส้นด้ายส่งผลต่อร่างกาย ผลลัพธ์ของแรงเหล่านี้มีสององค์ประกอบ: วงสัมผัสซึ่งเปลี่ยนความเร่งในขนาด และปกติซึ่งเปลี่ยนความเร่งในทิศทาง (ความเร่งสู่ศูนย์กลาง ร่างกายเคลื่อนที่เป็นส่วนโค้ง)
เพราะ มุมมีขนาดเล็ก ดังนั้นองค์ประกอบวงสัมผัสจะเท่ากับการฉายแรงโน้มถ่วงบนแทนเจนต์กับวิถี: . มุมเป็นเรเดียนเท่ากับอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งต่อรัศมี (ความยาวของเกลียว) และความยาวส่วนโค้งจะเท่ากับการกระจัดโดยประมาณ (): .
x µs ส ให้เราเปรียบเทียบสมการผลลัพธ์กับสมการการเคลื่อนที่แบบสั่น
จะเห็นได้ว่าหรือเป็นความถี่ไซคลิกระหว่างการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์	คาบการสั่น หรือ (สูตรกาลิเลโอ)
สูตรของกาลิเลโอ
ข้อสรุปที่สำคัญที่สุด: ระยะเวลาการแกว่งของลูกตุ้มทางคณิตศาสตร์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของร่างกาย! การคำนวณที่คล้ายกันสามารถทำได้โดยใช้กฎการอนุรักษ์พลังงาน
ให้เราคำนึงว่าพลังงานศักย์ของร่างกายในสนามโน้มถ่วงเท่ากับ และพลังงานกลทั้งหมดเท่ากับพลังงานศักย์สูงสุดหรือพลังงานจลน์: ลองเขียนกฎการอนุรักษ์พลังงานแล้วหาอนุพันธ์ของด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ: . เพราะ อนุพันธ์ของค่าคงที่เท่ากับศูนย์ จากนั้น
อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์: และ

ดังนั้น: และดังนั้น สมการก๊าซในอุดมคติของสถานะ
(สมการเมนเดเลเยฟ–ชาเปรอง) สมการสถานะคือสมการที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ของระบบฟิสิคัลและกำหนดสถานะของระบบโดยไม่ซ้ำกัน ในปี ค.ศ. 1834 นักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสบี. แคลเปรอน ซึ่งทำงานมาเป็นเวลานานในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กได้สมการของสถานะของก๊าซในอุดมคติสำหรับมวลของก๊าซคงที่ ในปี พ.ศ. 2417ดี.ไอ. เมนเดเลเยฟ
ได้สมการสำหรับจำนวนโมเลกุลตามอำเภอใจ ใน MCT และอุณหพลศาสตร์ของก๊าซในอุดมคติ พารามิเตอร์มหภาคคือ: p, V, T, m เรารู้ว่า - เพราะฉะนั้น,. เมื่อพิจารณาแล้วว่า
เราได้รับ:. ผลคูณของปริมาณคงที่จึงเป็นปริมาณคงที่ ดังนั้น:
- ค่าคงที่ของแก๊สสากล (สากลเพราะมีค่าเท่ากันสำหรับก๊าซทุกชนิด) ดังนั้นเราจึงมี:
สมการสถานะ (สมการ Mendeleev–Clapeyron)
รูปแบบอื่นๆ ของการเขียนสมการสถานะของก๊าซในอุดมคติ 1. สมการของสาร 1 โมล ถ้า n=1 โมล ดังนั้น ซึ่งแสดงถึงปริมาตรของหนึ่งโมล V m เราจะได้:
สำหรับสภาวะปกติเราได้รับ:
3. 2. การเขียนสมการผ่านความหนาแน่น: - ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับอุณหภูมิและความดัน! มักจำเป็นต้องตรวจสอบสถานการณ์เมื่อสถานะของก๊าซเปลี่ยนแปลงในขณะที่ปริมาณยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (m=const) และในกรณีที่ไม่มีปฏิกิริยาเคมี (M=const) หมายความว่าปริมาณของสาร n=const แล้ว:
รายการนี้หมายความว่า สำหรับมวลที่กำหนดของก๊าซที่กำหนดความเท่าเทียมกันเป็นจริง:
สำหรับมวลคงที่ของก๊าซในอุดมคติ อัตราส่วนของผลิตภัณฑ์ของความดันและปริมาตรต่ออุณหภูมิสัมบูรณ์ในสถานะที่กำหนดจะเป็นค่าคงที่:
กฎหมายเกี่ยวกับแก๊ส
1. กฎของอาโวกาโดร ก๊าซต่างๆ ที่มีปริมาตรเท่ากันภายใต้สภาวะภายนอกเดียวกันจะมีจำนวนโมเลกุล (อะตอม) เท่ากัน เงื่อนไข: V 1 =V 2 =...=V n; พี 1 =พี 2 =…=พี n ;
ต 1 =T 2 =…=T น การพิสูจน์:
2. ดังนั้นภายใต้สภาวะเดียวกัน (ความดัน ปริมาตร อุณหภูมิ) จำนวนโมเลกุลจึงไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะของก๊าซและจะเท่ากัน กฎของดาลตัน ความดันของส่วนผสมของก๊าซเท่ากับผลรวมของความดันบางส่วน (ส่วนตัว) ของก๊าซแต่ละชนิด พิสูจน์: p=p 1 +p 2 +…+p n
3. การพิสูจน์: กฎของปาสคาล

ความดันที่กระทำต่อของเหลวหรือก๊าซจะถูกส่งไปทุกทิศทางโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

สมการสถานะของก๊าซในอุดมคติ กฎหมายเกี่ยวกับแก๊สจำนวนองศาความเป็นอิสระ : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (ฉัน

= 5) โมเลกุลแบบไตรอะตอมมิก (รูปที่ 1, c) และโมเลกุลแบบไม่เชิงเส้นแบบโพลีอะตอมมิกมีระดับอิสระหกระดับ: การแปลสามแบบและการหมุนสามครั้ง เป็นเรื่องปกติที่จะสรุปได้ว่าไม่มีความเชื่อมโยงที่เข้มงวดระหว่างอะตอม ดังนั้นสำหรับโมเลกุลจริงจึงจำเป็นต้องคำนึงถึงระดับความอิสระของการเคลื่อนที่แบบสั่นสะเทือนด้วย<ε 0 >สำหรับระดับความเป็นอิสระจำนวนเท่าใดก็ได้ของโมเลกุลที่กำหนด ระดับความอิสระสามระดับจะเป็นค่าแปลเสมอ ระดับความเป็นอิสระในการแปลไม่มีข้อได้เปรียบเหนือระดับอื่น ๆ ซึ่งหมายความว่าแต่ละระดับมีพลังงานเท่ากันโดยเฉลี่ยเท่ากับ 1/3 ของค่า (พลังงานของการเคลื่อนที่เชิงแปลของโมเลกุล): กฎของโบลต์ซมันน์ว่าด้วยการกระจายพลังงานสม่ำเสมอเหนือระดับความเป็นอิสระของโมเลกุล: สำหรับระบบทางสถิติที่อยู่ในสภาวะสมดุลทางอุณหพลศาสตร์ ระดับความอิสระในการแปลและการหมุนแต่ละระดับมีพลังงานจลน์เฉลี่ยเท่ากับ kT/2 และระดับความอิสระของการสั่นแต่ละระดับมีพลังงานเฉลี่ยเท่ากับ kT ระดับการสั่นสะเทือนมีพลังงานเป็นสองเท่าเพราะว่า มันคำนึงถึงทั้งพลังงานจลน์ (เช่นในกรณีของการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน) และศักย์ไฟฟ้าและค่าเฉลี่ยของศักย์และพลังงานจลน์ก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าพลังงานเฉลี่ยของโมเลกุล ที่ไหน : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (- ผลรวมของจำนวนการแปล จำนวนการหมุน และจำนวนสองเท่าของระดับความอิสระของการสั่นของโมเลกุล: : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (=: นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (โพสต์ + : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (หมุน +2 : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (การสั่นสะเทือน ในทฤษฎีคลาสสิกจะพิจารณาโมเลกุลที่มีพันธะแข็งระหว่างอะตอม สำหรับพวกเขา : นี่คือจำนวนตัวแปรอิสระ (พิกัด) ที่กำหนดตำแหน่งของระบบในอวกาศโดยสมบูรณ์ ในปัญหาบางอย่าง โมเลกุลของก๊าซเชิงเดี่ยว (รูปที่ 1, a) ถือเป็นจุดวัสดุ ซึ่งให้อิสระในการเคลื่อนที่ของการแปลสามระดับ ในกรณีนี้จะไม่คำนึงถึงพลังงานของการเคลื่อนที่แบบหมุนด้วย ในกลศาสตร์ โมเลกุลของก๊าซไดอะตอมมิกในการประมาณครั้งแรกถือเป็นชุดของจุดวัสดุสองจุดที่เชื่อมต่อกันอย่างเหนียวแน่นด้วยพันธะที่ไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้ (รูปที่ 1, b) นอกเหนือจากอิสระในการเคลื่อนที่แบบแปลนแล้ว 3 องศาแล้ว ระบบนี้ยังมีอิสระในการเคลื่อนที่แบบหมุนอีก 2 องศาอีกด้วย การหมุนรอบแกนที่สามที่ผ่านอะตอมทั้งสองนั้นไม่มีความหมาย ซึ่งหมายความว่าก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความอิสระห้าระดับ (ตรงกับจำนวนองศาอิสระของโมเลกุล เนื่องจากในก๊าซอุดมคติพลังงานศักย์ร่วมกันของปฏิสัมพันธ์ระหว่างโมเลกุลเป็นศูนย์ (โมเลกุลไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน) พลังงานภายในของก๊าซหนึ่งโมลจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ N A ของโมเลกุล: (1 ) พลังงานภายในสำหรับมวลก๊าซโดยพลการ m โดยที่ M คือมวลโมเลกุล ν - ปริมาณของสาร

การเปลี่ยนแปลงในปริมาณใดๆ อธิบายไว้โดยใช้กฎของไซน์หรือโคไซน์ จากนั้นการแกว่งดังกล่าวเรียกว่าฮาร์มอนิก ลองพิจารณาวงจรที่ประกอบด้วยตัวเก็บประจุ (ซึ่งถูกชาร์จก่อนที่จะรวมไว้ในวงจร) และตัวเหนี่ยวนำ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สมการการสั่นสะเทือนฮาร์มอนิกสามารถเขียนได้ดังนี้:

$q=q_0cos((\โอเมก้า )_0t+(\อัลฟา )_0)$ (1)

โดยที่ $t$ คือเวลา; ค่าธรรมเนียม $q$, $q_0$-- ค่าเบี่ยงเบนสูงสุดของค่าธรรมเนียมจากค่าเฉลี่ย (ศูนย์) ระหว่างการเปลี่ยนแปลง $(\omega )_0t+(\alpha )_0$- เฟสการแกว่ง; $(\alpha )_0$- เฟสเริ่มต้น; $(\omega )_0$ - ความถี่แบบวน ในระหว่างงวด ระยะจะเปลี่ยน $2\pi $

สมการของแบบฟอร์ม:

สมการของการออสซิลเลชันฮาร์มอนิกในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลสำหรับวงจรออสซิลเลเตอร์ที่ไม่มีความต้านทานแบบแอกทีฟ

การแกว่งตามคาบประเภทใดก็ตามสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็นผลรวมของการแกว่งฮาร์มอนิก หรือที่เรียกว่าอนุกรมฮาร์มอนิก

สำหรับคาบการสั่นของวงจรที่ประกอบด้วยคอยล์และตัวเก็บประจุ เราได้สูตรของทอมสัน:

หากเราแยกนิพจน์ (1) ตามเวลา เราจะได้สูตรสำหรับฟังก์ชัน $I(t)$:

แรงดันไฟฟ้าตกคร่อมตัวเก็บประจุสามารถพบได้ดังนี้:

จากสูตร (5) และ (6) จะได้ว่าความแรงของกระแสไฟฟ้าอยู่ข้างหน้าแรงดันไฟฟ้าบนตัวเก็บประจุเป็น $\frac(\pi )(2).$

การแกว่งของฮาร์มอนิกสามารถแสดงได้ทั้งในรูปแบบของสมการ ฟังก์ชัน และแผนภาพเวกเตอร์

สมการ (1) แสดงถึงการแกว่งที่ไม่มีการหน่วงอิสระ

สมการการสั่นแบบหน่วง

การเปลี่ยนแปลงประจุ ($q$) บนแผ่นตัวเก็บประจุในวงจรโดยคำนึงถึงความต้านทาน (รูปที่ 2) จะถูกอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ของรูปแบบ:

รูปที่ 2.

ถ้าความต้านทานที่เป็นส่วนหนึ่งของวงจร $R\

โดยที่ $\omega =\sqrt(\frac(1)(LC)-\frac(R^2)(4L^2))$ คือความถี่การแกว่งแบบวน $\beta =\frac(R)(2L)-$ค่าสัมประสิทธิ์การหน่วง แอมพลิจูดของการสั่นแบบหน่วงจะแสดงเป็น:

หากที่ $t=0$ ประจุบนตัวเก็บประจุเท่ากับ $q=q_0$ และไม่มีกระแสไฟฟ้าในวงจร ดังนั้นสำหรับ $A_0$ เราสามารถเขียนได้:

ระยะของการแกว่ง ณ ช่วงเวลาเริ่มต้น ($(\alpha )_0$) เท่ากับ:

เมื่อ $R >2\sqrt(\frac(L)(C))$ การเปลี่ยนแปลงประจุไม่ใช่การแกว่ง การคายประจุของตัวเก็บประจุเรียกว่า aคาบ

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:มูลค่าการเรียกเก็บเงินสูงสุดคือ $q_0=10\ C$ มันแปรผันอย่างกลมกลืนด้วยคาบ $T= 5 s$ กำหนดกระแสสูงสุดที่เป็นไปได้

สารละลาย:

เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาที่เราใช้:

ในการค้นหาความแรงในปัจจุบัน จะต้องแยกนิพจน์ (1.1) ตามเวลา:

โดยที่ค่าสูงสุด (ค่าแอมพลิจูด) ของความแรงของกระแสคือนิพจน์:

จากเงื่อนไขของปัญหา เราทราบค่าแอมพลิจูดของประจุ ($q_0=10\ C$) คุณควรหาความถี่ธรรมชาติของการแกว่ง ลองแสดงมันเป็น:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(1.4\right).\]

ในกรณีนี้จะหาค่าที่ต้องการได้โดยใช้สมการ (1.3) และ (1.2) ดังนี้

เนื่องจากปริมาณทั้งหมดในเงื่อนไขของปัญหาจะแสดงอยู่ในระบบ SI เราจึงจะดำเนินการคำนวณ:

คำตอบ:$I_0=12.56\ อ.$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:คาบของการแกว่งในวงจรที่มีตัวเหนี่ยวนำ $L=1$H และตัวเก็บประจุเป็นเท่าใด หากความแรงของกระแสในวงจรเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย: $I\left(t\right)=-0.1sin20\ pi t\ \left(A \right)?$ ความจุของตัวเก็บประจุเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

จากสมการความผันผวนของกระแสซึ่งกำหนดไว้ในเงื่อนไขของปัญหา:

เราจะเห็นว่า $(\omega )_0=20\pi $ ดังนั้น เราสามารถคำนวณคาบการสั่นได้โดยใช้สูตร:

\ \

ตามสูตรของทอมสันสำหรับวงจรที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ เรามี:

มาคำนวณความจุกัน:

คำตอบ:$T=0.1$ ค, $C=2.5\cdot (10)^(-4)F.$