สมการของเบอร์นูลลีเป็นหนึ่งในที่มีชื่อเสียงที่สุด สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เชิงเส้นของลำดับที่หนึ่ง- มันเขียนอยู่ในรูป

ที่ไหน ก(x) และ ข(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้า ม= 0 จากนั้นสมการของเบอร์นูลลีจะกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ในกรณีที่เมื่อ ม= 1 สมการจะกลายเป็นสมการที่แยกออกจากกัน โดยทั่วไปเมื่อใด ม≠ 0.1 สมการของเบอร์นูลลีถูกรีดิวซ์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโดยใช้การทดแทน

สมการเชิงอนุพันธ์ใหม่สำหรับฟังก์ชัน z(x) มีรูปแบบ

และสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีที่อธิบายไว้ในหน้าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง

วิธีเบอร์นูลี

สมการที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้โดยวิธีเบอร์นูลลี ในการทำเช่นนี้ เรามองหาคำตอบของสมการดั้งเดิมในรูปแบบของผลคูณของสองฟังก์ชัน: โดยที่ คุณ, วี- ฟังก์ชั่นจาก x- สร้างความแตกต่าง: แทนที่สมการดั้งเดิม (1): (2) เช่น โวลต์ลองใช้วิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์กับสมการ: (3) สมการ (3) เป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกันได้ หลังจากที่เราพบวิธีแก้ปัญหาเฉพาะแล้ว วี = วี(x)ให้แทนที่มันลงใน (2) เนื่องจากเป็นไปตามสมการ (3) นิพจน์ในวงเล็บจึงกลายเป็นศูนย์ เราได้รับ: นี่ก็เป็นสมการที่แยกออกจากกันได้เช่นกัน เราหาคำตอบทั่วไปของมันได้ และด้วยคำตอบของสมการดั้งเดิม y = รังสียูวี.

64. สมการในส่วนต่างผลรวม ปัจจัยบูรณาการ วิธีการแก้ปัญหา

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งของแบบฟอร์ม

เรียกว่า สมการในผลต่างรวมถ้าด้านซ้ายแสดงถึงผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง เช่น

ทฤษฎีบท.เพื่อให้สมการ (1) เป็นสมการในผลต่างรวม จำเป็นและเพียงพอที่ในขอบเขตการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่เชื่อมโยงอย่างง่าย ๆ เงื่อนไขจะเป็นที่พอใจ

อินทิกรัลทั่วไปของสมการ (1) มีรูปแบบหรือ

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการเชิงอนุพันธ์

สารละลาย. ลองตรวจสอบว่าสมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวม:

นั่นแหละ เงื่อนไข (2) เป็นที่พอใจ ดังนั้นสมการนี้จึงเป็นสมการในผลต่างรวมและ

ดังนั้น โดยที่ ยังคงเป็นฟังก์ชันที่ไม่ได้กำหนดไว้

บูรณาการเราได้รับ . อนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่พบจะต้องเท่ากับ ซึ่งให้ จากที่ไหน ดังนั้น ดังนั้น,.

อินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิม

เมื่อทำการอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์บางสมการ สามารถจัดกลุ่มคำศัพท์ในลักษณะที่ทำให้ได้ค่าผสมที่อินทิเกรตได้อย่างง่ายดาย

65. สมการเชิงเส้นเชิงอนุพันธ์สามัญของลำดับที่สูงกว่า: เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกัน ตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลเชิงเส้น คุณสมบัติของมัน (พร้อมหลักฐาน)

ตัวดำเนินการส่วนต่างเชิงเส้นและคุณสมบัติของมันเซตของฟังก์ชันที่มีช่วงเวลา ( ก , ข ) ไม่น้อย n อนุพันธ์ ก่อให้เกิดปริภูมิเชิงเส้น พิจารณาผู้ปฏิบัติงาน ล n (ย ) ซึ่งแสดงฟังก์ชัน ย (x ) มีอนุพันธ์ กลายเป็นฟังก์ชันที่มี เค - n อนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับ 1
และสมการของเบอร์นูลลี

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งคือสมการที่เป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ดูเหมือนว่า

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

โดยที่ p(x) และ q(x) ได้รับฟังก์ชัน x ซึ่งต่อเนื่องกันในบริเวณที่จำเป็นต้องรวมสมการ (1) เข้าด้วยกัน

ถ้า q(x)\equiv0 สมการ (1) จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น- เป็นสมการที่แยกออกจากกันและมีคำตอบทั่วไป

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์ได้ วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าการหาคำตอบของสมการ (1) อยู่ในรูปแบบ

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)โดยที่ C(x) คือฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จักของ x

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ y"+2xy=2xe^(-x^2).

สารละลาย.ให้เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ พิจารณาสมการเอกพันธ์ y"+2xy=0 ซึ่งสอดคล้องกับสมการเอกพันธ์นี้ นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก คำตอบทั่วไปมีรูปแบบ y=Ce^(-x^2)

เรามองหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ในรูปแบบ y=C(x)e^(-x^2) โดยที่ C(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ x แทนที่เราจะได้ C"(x)=2x โดยที่ C(x)=x^2+C ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะเป็นดังนี้ y=(x^2+C)อี^(-x^2)โดยที่ C คือค่าคงที่ของการอินทิเกรต

ความคิดเห็นอาจกลายเป็นว่าสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเส้นตรงใน x เป็นฟังก์ชันของ y รูปแบบปกติของสมการดังกล่าวคือ

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y)

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

สารละลาย.สมการนี้เป็นเส้นตรงหากเราพิจารณา x เป็นฟังก์ชันของ y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y)

เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ก่อนอื่นเราแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

ซึ่งเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกันได้ สารละลายทั่วไปจะมีรูปแบบ x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

เรามองหาคำตอบทั่วไปของสมการในรูปแบบ โดยที่ C(y) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ y ทดแทนเราได้

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yหรือ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

จากนี้ไปอินทิเกรตทีละส่วนเราก็ได้

\begin(ชิด)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ บาป(y)),\end(ชิด)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C

แทนสมการนี้ลงใน x=C(y)e^(\บาป(y))เราได้คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม และด้วยเหตุนี้สมการนี้:

x=Ce^(\บาป(y))-2(1+\บาป(y))

สมการดั้งเดิมสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ดังนี้ เราเชื่อ

y=u(x)วี(x),

โดยที่ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ x ซึ่งหนึ่งในนั้น เช่น v(x) สามารถเลือกได้โดยพลการ

แทนที่ y=u(x)v(x) เข้าไป หลังจากการแปลงที่เราได้รับ

วู"+(พีวี+วี")u=q(x).

เมื่อหา v(x) จากเงื่อนไข v"+pv=0 เราจะหาได้จาก วู"+(พีวี+วี")u=q(x)ฟังก์ชัน u(x) และด้วยเหตุนี้ จึงได้คำตอบ y=uv ของสมการ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)- เนื่องจาก v(x) เราสามารถหาคำตอบของสมการได้บ่อยๆ v"+pv=0,~v\not\equiv0.

ตัวอย่างที่ 3แก้ไขปัญหา Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

สารละลาย.เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปของสมการในรูปแบบ y=u(x)v(x) ; เรามี y"=u"v+uv" เมื่อแทนนิพจน์สำหรับ y และ y" ลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)หรือ x(x-1)วู"+u=x^2(2x-1)

เราหาฟังก์ชัน v=v(x) จากเงื่อนไข x(x-1)v"+v=0 หาคำตอบเฉพาะใดๆ ของสมการสุดท้าย เช่น v=\frac(x)(x-1) และ เมื่อแทนที่มัน เราจะได้สมการ u"=2x-1 ซึ่งเราจะหาฟังก์ชัน u(x)=x^2-x+C ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)จะ

y=ยูวี=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),หรือ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2

เมื่อใช้เงื่อนไขเริ่มต้น y|_(x=2)=4 เราจะได้สมการสำหรับการค้นหา C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2จากที่ C=0 ; ดังนั้นวิธีแก้ไขปัญหาคอชีที่ระบุจะเป็นฟังก์ชัน y=x^2

ตัวอย่างที่ 4เป็นที่ทราบกันดีว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างกระแส i และแรงเคลื่อนไฟฟ้า E ในวงจรที่มีความต้านทาน R และการเหนี่ยวนำตัวเอง L E=Ri+L\frac(di)(dt)โดยที่ R และ L เป็นค่าคงที่ หากเราพิจารณา E เป็นฟังก์ชันของเวลา t เราจะได้สมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นสำหรับความแรงของกระแส i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L)

จงหาความแรงปัจจุบัน i(t) สำหรับกรณีเมื่อใด E=E_0=\ข้อความ(const)และ ผม(0)=I_0 .

สารละลาย.เรามี \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0- ผลเฉลยทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ ผม(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t)- โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (13) ที่เราได้รับจาก C=I_0-\frac(E_0)(R)ดังนั้นคำตอบที่ต้องการจะเป็น

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t)

นี่แสดงให้เห็นว่าที่ t\to+\infty ความแรงของกระแส i(t) มีแนวโน้มที่จะมีค่าคงที่ \frac(E_0)(R)

ตัวอย่างที่ 5จะได้ตระกูล C_\alpha ของเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการเชิงเส้นตรงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน y"+p(x)y=q(x)

แสดงว่าแทนเจนต์ที่จุดสอดคล้องกับเส้นโค้ง C_\alpha ที่กำหนดโดยสมการเชิงเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 13)

สารละลาย.พิจารณาแทนเจนต์ของเส้นโค้งใดๆ C_\alpha ที่จุด M(x,y) สมการของแทนเจนต์ที่จุด M(x,y) มีรูปแบบ

\eta-q(x)(\xi-x)=yโดยที่ \xi,\eta คือพิกัดปัจจุบันของจุดสัมผัสกัน

ตามคำนิยาม ที่จุดที่สอดคล้องกัน x เป็นค่าคงที่ และ y เป็นตัวแปร เมื่อนำแทนเจนต์สองตัวใดๆ ไปที่เส้น C_\alpha ที่จุดที่สอดคล้องกัน เราจะได้พิกัดของจุด S ของจุดตัดกัน

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x))

นี่แสดงให้เห็นว่าแทนเจนต์ทั้งหมดกับเส้นโค้ง C_\alpha ที่จุดที่สอดคล้องกัน (x คงที่) ตัดกันที่จุดเดียวกัน

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right)

เมื่อกำจัดอาร์กิวเมนต์ x ในระบบเราจะได้สมการของตำแหน่งของจุด S\โคลอน f(\xi,\eta)=0.

ตัวอย่างที่ 6หาคำตอบของสมการ y"-y=\cos(x)-\บาป(x)เป็นไปตามเงื่อนไข: y ถูกจำกัดไว้ที่ y\to+\infty

สารละลาย.วิธีแก้ทั่วไปของสมการนี้คือ y=Ce^x+\sin(x) ผลเฉลยใดๆ ของสมการที่ได้จากผลเฉลยทั่วไปสำหรับ C\ne0 จะไม่มีขอบเขต เนื่องจากสำหรับ x\to+\infty ฟังก์ชัน \sin(x) มีขอบเขต และ e^x\to+\infty ตามมาว่าสมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y=\sin(x) ซึ่งมีขอบเขตที่ x\to+\infty ซึ่งได้มาจากคำตอบทั่วไปที่ C=0

สมการของเบอร์นูลลี

สมการเชิงอนุพันธ์ของเบอร์นูลลีดูเหมือนว่า

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^nโดยที่ n\ne0;1 (สำหรับ n=0 และ n=1 สมการนี้เป็นเส้นตรง)

การใช้การแทนที่ตัวแปร z=\frac(1)(y^(n-1))สมการของเบอร์นูลลีถูกรีดิวซ์เป็นสมการเชิงเส้นและอินทิเกรตเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการของเบอร์นูลลี y"-xy=-xy^3

สารละลาย.หารทั้งสองข้างของสมการด้วย y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตัวแปร \frac(1)(y^2)=z\ลูกศรขวา-\frac(2y")(y^3)=z", ที่ไหน \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2)- หลังจากการทดแทน สมการสุดท้ายจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น

-\frac(z")(2)-xz=-xหรือ z"+2xz=2x คำตอบทั่วไปคือ z=1+Ce^(-x^2)

จากตรงนี้เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้

\frac(1)(y^2)=1+ซี^(-x^2)หรือ y^2(1+ซี^(-x^2))=1

ความคิดเห็นสมการของเบอร์นูลลีสามารถอินทิเกรตได้โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ เช่น สมการเชิงเส้น และใช้การแทนที่ y(x)=u(x)v(x)

ตัวอย่างที่ 8แก้สมการของแบร์นูลลี xy"+y=y^2\ln(x).

สารละลาย.ให้เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามใจชอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน xy"+y=0 มีรูปแบบ y=\frac(C)(x) เรามองหาผลเฉลยทั่วไปของสมการในรูปแบบ y=\frac(C(x)) (x) ที่ไหน C(x) - ฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก เรามีการแทนที่สมการดั้งเดิม

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2)

ในการค้นหาฟังก์ชัน C(x) เราจะได้สมการที่มีตัวแปรที่แบ่งแยกได้ ซึ่งจากการแยกตัวแปรและอินทิเกรต เราจะพบว่า

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\ลูกศรขวา~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x))

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

สมการไม่เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งบางสมการสามารถลดลงเป็นสมการเชิงเส้นหรือสมการเบอร์นูลลีได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่ค้นพบได้สำเร็จ

ตัวอย่างที่ 9แก้สมการ y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

สารละลาย.ให้เราเขียนสมการนี้ในรูปแบบ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2\cos^2\frac(y)(2)เราได้รับ \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ชื่อตัวดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)+x=0.

การทดแทน \ชื่อผู้ดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)=z\ลูกศรขวา\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ลดสมการนี้เป็นเชิงเส้น \frac(dz)(dx)+z=-xวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ z=1-x+Ce^(-x)

แทนที่ z ด้วยนิพจน์ในรูปของ y เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้ \ชื่อตัวดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ในบางสมการ ฟังก์ชัน y(x) ที่ต้องการอาจอยู่ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ในกรณีเหล่านี้ บางครั้งเป็นไปได้ที่จะลดสมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยการหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 10แก้สมการ x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

สารละลาย.เราได้หาอนุพันธ์ทั้งสองด้านของสมการนี้ด้วยความเคารพ x

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (เอ็กซ์)หรือ \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x)

เมื่อสร้างความแตกต่างอีกครั้งด้วยความเคารพต่อ x เราจะได้สมการเอกพันธ์เชิงเส้นตรงเทียบกับ y(x)\โคลอน

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)หรือ x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0

เราพบการแยกตัวแปรและอินทิเกรต y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x)- วิธีแก้ปัญหานี้เป็นไปตามสมการดั้งเดิมตามที่สามารถตรวจสอบได้ง่าย

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งคือสมการที่เป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับฟังก์ชันที่ไม่รู้จักและอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น ดูเหมือนว่า

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

โดยที่ p(x) และ q(x) ได้รับฟังก์ชัน x ซึ่งต่อเนื่องกันในบริเวณที่จำเป็นต้องรวมสมการ (1)

ถ้า q(x)\equiv0 สมการ (1) จะถูกเรียก เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น- เป็นสมการที่แยกออกจากกันและมีคำตอบทั่วไป

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

สามารถหาคำตอบทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์ได้ วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าการหาคำตอบของสมการ (1) อยู่ในรูปแบบ

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)โดยที่ C(x) คือฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จักของ x

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ y"+2xy=2xe^(-x^2)

สารละลาย.ลองใช้วิธีแปรผันคงที่กัน พิจารณาสมการเอกพันธ์ y"+2xy=0 ซึ่งสอดคล้องกับสมการเอกพันธ์นี้ นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก คำตอบทั่วไปมีรูปแบบ y=Ce^(-x^2)

เรามองหาคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ในรูปแบบ y=C(x)e^(-x^2) โดยที่ C(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ x แทนที่เราจะได้ C"(x)=2x โดยที่ C(x)=x^2+C ดังนั้น ผลเฉลยทั่วไปของสมการแบบไม่เอกพันธ์จะเป็น y=(x^2+C)e^(-x^ 2) โดยที่ C - ค่าคงที่ของการรวม

ความคิดเห็นอาจกลายเป็นว่าสมการเชิงอนุพันธ์เป็นเส้นตรงใน x เป็นฟังก์ชันของ y รูปแบบปกติของสมการดังกล่าวคือ

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y)

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

สารละลาย.สมการนี้เป็นเส้นตรงหากเราพิจารณา x เป็นฟังก์ชันของ y:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y)

เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ก่อนอื่นเราแก้สมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

ซึ่งเป็นสมการที่มีตัวแปรแยกกันได้ สารละลายทั่วไปจะมีรูปแบบ x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

เรามองหาคำตอบทั่วไปของสมการในรูปแบบ x=C(y)e^(\sin(y)) โดยที่ C(y) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ y ทดแทนเราได้

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yหรือ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

จากนี้ไปอินทิเกรตทีละส่วนเราก็ได้

\begin(ชิด)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ บาป(y)),\end(ชิด)

ดังนั้น,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C

แทนสมการนี้เป็น x=C(y)e^(\sin(y)) เราจะได้คำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม และด้วยเหตุนี้จึงได้สมการนี้:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

สมการดั้งเดิมสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ดังนี้ เราเชื่อ

Y=ยู(x)วี(x),

โดยที่ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของ x ซึ่งหนึ่งในนั้น เช่น v(x) สามารถเลือกได้โดยพลการ

แทนที่ y=u(x)v(x) เข้าไป หลังจากการแปลงที่เราได้รับ

วู"+(พีวี+วี")u=q(x).

เมื่อพิจารณา v(x) จากเงื่อนไข v"+pv=0 เราจะหาจาก vu"+(pv+v")u=q(x) ฟังก์ชัน u(x) และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นคำตอบ y=uv ของ สมการ \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)- เนื่องจาก v(x) เราสามารถหาคำตอบของสมการได้บ่อยๆ v"+pv=0,~v\not\equiv0.

ตัวอย่างที่ 3แก้ไขปัญหา Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

สารละลาย.เรากำลังมองหาคำตอบทั่วไปของสมการในรูปแบบ y=u(x)v(x) ; เรามี y"=u"v+uv" เมื่อแทนนิพจน์สำหรับ y และ y" ลงในสมการดั้งเดิม เราจะได้

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)หรือ x(x-1)วู"+u=x^2(2x-1)

เราหาฟังก์ชัน v=v(x) จากเงื่อนไข x(x-1)v"+v=0 หาคำตอบเฉพาะใดๆ ของสมการสุดท้าย เช่น v=\frac(x)(x-1) และ เมื่อแทนที่มัน เราจะได้สมการ u"=2x-1 ซึ่งเราจะหาฟังก์ชัน u(x)=x^2-x+C ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปของสมการ x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)จะ

Y=ยูวี=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1)หรือ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2

เมื่อใช้เงื่อนไขเริ่มต้น y|_(x=2)=4 เราจะได้สมการสำหรับการค้นหา C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2จากที่ C=0 ; ดังนั้นวิธีแก้ไขปัญหาคอชีที่ระบุจะเป็นฟังก์ชัน y=x^2

ตัวอย่างที่ 4เป็นที่ทราบกันดีว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างกระแส i และแรงเคลื่อนไฟฟ้า E ในวงจรที่มีความต้านทาน R และการเหนี่ยวนำตัวเอง L E=Ri+L\frac(di)(dt)โดยที่ R และ L เป็นค่าคงที่ หากเราพิจารณา E เป็นฟังก์ชันของเวลา t เราจะได้สมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นสำหรับความแรงของกระแส i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L)

จงหาความแรงปัจจุบัน i(t) สำหรับกรณีเมื่อใด E=E_0=\ข้อความ(const)และ ผม(0)=I_0 .

สารละลาย.เรามี \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0- ผลเฉลยทั่วไปของสมการนี้มีรูปแบบ ผม(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t)- โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น (13) ที่เราได้รับจาก C=I_0-\frac(E_0)(R)ดังนั้นคำตอบที่ต้องการจะเป็น

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t)

นี่แสดงให้เห็นว่าที่ t\to+\infty ความแรงของกระแส i(t) มีแนวโน้มที่จะมีค่าคงที่ \frac(E_0)(R)

ตัวอย่างที่ 5จะได้ตระกูล C_\alpha ของเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการเชิงเส้นตรงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน y"+p(x)y=q(x)

แสดงว่าแทนเจนต์ที่จุดสอดคล้องกับเส้นโค้ง C_\alpha ที่กำหนดโดยสมการเชิงเส้นตัดกันที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 13)

สารละลาย.พิจารณาแทนเจนต์ของเส้นโค้งใดๆ C_\alpha ที่จุด M(x,y) สมการของแทนเจนต์ที่จุด M(x,y) มีรูปแบบ

\eta-q(x)(\xi-x)=yโดยที่ \xi,\eta คือพิกัดปัจจุบันของจุดสัมผัสกัน

ตามคำนิยาม ที่จุดที่สอดคล้องกัน x เป็นค่าคงที่ และ y เป็นตัวแปร นำแทนเจนต์สองตัวใดๆ ไปที่เส้น C_\alpha ที่จุดที่สอดคล้องกัน เราจะได้พิกัดของจุด S ของจุดตัดกัน

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x))

นี่แสดงให้เห็นว่าแทนเจนต์ทั้งหมดกับเส้นโค้ง C_\alpha ที่จุดที่สอดคล้องกัน ( x ได้รับการแก้ไขแล้ว) ตัดกันที่จุดเดียวกัน

S\!\left(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\right)

เมื่อกำจัดอาร์กิวเมนต์ x ในระบบเราจะได้สมการของตำแหน่งของจุด S\โคลอน f(\xi,\eta)=0.

ตัวอย่างที่ 6หาคำตอบของสมการ y"-y=\cos(x)-\บาป(x)เป็นไปตามเงื่อนไข: y ถูกจำกัดไว้ที่ y\to+\infty

สารละลาย.คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ y=Ce^x+\sin(x) ผลเฉลยใดๆ ของสมการที่ได้จากผลเฉลยทั่วไปสำหรับ C\ne0 จะไม่มีขอบเขต เนื่องจากสำหรับ x\to+\infty ฟังก์ชัน \sin(x) มีขอบเขต และ e^x\to+\infty ตามมาว่าสมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ y=\sin(x) ซึ่งมีขอบเขตที่ x\to+\infty ซึ่งได้มาจากคำตอบทั่วไปที่ C=0

สมการของเบอร์นูลลี

สมการเชิงอนุพันธ์ของเบอร์นูลลีดูเหมือนว่า

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^nโดยที่ n\ne0;1 (สำหรับ n=0 และ n=1 สมการนี้เป็นเส้นตรง)

การใช้การแทนที่ตัวแปร z=\frac(1)(y^(n-1))สมการของเบอร์นูลลีถูกรีดิวซ์เป็นสมการเชิงเส้นและอินทิเกรตเป็นสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ 7แก้สมการของเบอร์นูลลี y"-xy=-xy^3

สารละลาย.หารทั้งสองข้างของสมการด้วย y^3:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตัวแปร \frac(1)(y^2)=z\ลูกศรขวา-\frac(2y")(y^3)=z", ที่ไหน \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2)- หลังจากการทดแทน สมการสุดท้ายจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น

-\frac(z")(2)-xz=-xหรือ z"+2xz=2x คำตอบทั่วไปคือ z=1+Ce^(-x^2)

จากตรงนี้เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้

\frac(1)(y^2)=1+ซี^(-x^2)หรือ y^2(1+ซี^(-x^2))=1

ความคิดเห็นสมการของเบอร์นูลลีสามารถอินทิเกรตได้โดยวิธีการแปรผันของค่าคงที่ เช่น สมการเชิงเส้น และใช้การแทนที่ y(x)=u(x)v(x)

ตัวอย่างที่ 8แก้สมการของแบร์นูลลี xy"+y=y^2\ln(x).

สารละลาย.ให้เราใช้วิธีการแปรผันของค่าคงที่ตามใจชอบ ผลเฉลยทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน xy"+y=0 มีรูปแบบ y=\frac(C)(x) เรามองหาผลเฉลยทั่วไปของสมการในรูปแบบ y=\frac(C(x)) (x) ที่ไหน C(x) - ฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก เรามีการแทนที่สมการดั้งเดิม

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2)

ในการค้นหาฟังก์ชัน C(x) เราจะได้สมการที่มีตัวแปรที่แบ่งแยกได้ ซึ่งจากการแยกตัวแปรและอินทิเกรต เราจะพบว่า

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\ลูกศรขวา~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x))

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการดั้งเดิม y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

สมการไม่เชิงเส้นลำดับที่หนึ่งบางสมการสามารถลดลงเป็นสมการเชิงเส้นหรือสมการเบอร์นูลลีได้โดยใช้การเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่ค้นพบได้สำเร็จ

ตัวอย่างที่ 9แก้สมการ y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

สารละลาย.ให้เราเขียนสมการนี้ในรูปแบบ y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0.

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 2\cos^2\frac(y)(2)เราได้รับ \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ชื่อตัวดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)+x=0.

การทดแทน \ชื่อผู้ดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)=z\ลูกศรขวา\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ลดสมการนี้เป็นเชิงเส้น \frac(dz)(dx)+z=-xวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ z=1-x+Ce^(-x)

แทนที่ z ด้วยนิพจน์ในรูปของ y เราจะได้อินทิกรัลทั่วไปของสมการนี้ \ชื่อตัวดำเนินการ(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ในบางสมการ ฟังก์ชัน y(x) ที่ต้องการอาจอยู่ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล ในกรณีเหล่านี้ บางครั้งเป็นไปได้ที่จะลดสมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยการหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 10แก้สมการ x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

สารละลาย.เราได้หาอนุพันธ์ทั้งสองด้านของสมการนี้ด้วยความเคารพ x

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (เอ็กซ์)หรือแหล่งข้อมูล

ลักษณะของสมการของเบอร์นูลลี

คำจำกัดความ 1

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีรูปแบบมาตรฐาน $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^(n)$ โดยที่ $P\left(x\right )$ และ $Q\left(x\right)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ $n$ เป็นจำนวนหนึ่ง เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ของจาค็อบ เบอร์นูลลี

ในกรณีนี้ จะมีการบังคับใช้ข้อจำกัดกับหมายเลข $n$:

• $n\ne 0$ เนื่องจากที่ $n = 0$ สมการเชิงอนุพันธ์ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน และไม่จำเป็นต้องใช้วิธีแก้พิเศษอื่นๆ ในกรณีนี้
• $n\ne 1$ เนื่องจากถ้าเรามีสมการหนึ่งเป็น $n$ สมการเชิงอนุพันธ์จะเป็นสมการเอกพันธ์เชิงเส้น ซึ่งเป็นวิธีการแก้ที่ทราบกันดีอยู่แล้ว

นอกจากนี้ ยังไม่มีการพิจารณาคำตอบเล็กๆ น้อยๆ ของสมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลี $y=0$ เป็นพิเศษ

สมการเชิงอนุพันธ์ของนักคณิตศาสตร์ เจค็อบ เบอร์นูลลี ไม่ควรสับสนกับกฎของเบอร์นูลลี ซึ่งตั้งชื่อตามลุงของหลานชายของเขา หรือที่รู้จักในชื่อแดเนียล เบอร์นูลลี

หมายเหตุ 1

Daniel Bernoulli เป็นนักฟิสิกส์ รูปแบบที่โด่งดังที่สุดที่เขาพบคือการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความเร็วของการไหลของของไหลและความดัน กฎของเบอร์นูลลียังใช้กับการไหลของก๊าซแบบราบเรียบด้วย โดยทั่วไปจะใช้ในระบบชลศาสตร์และพลศาสตร์ของไหล

การแก้สมการเบอร์นูลลีโดยการลดให้เป็นเส้นตรงที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

วิธีการหลักในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลีคือผ่านการแปลงมันจะลดลงเป็นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้น การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้มีดังนี้:

1. เราคูณสมการด้วยตัวเลข $y^(-n) $ แล้วได้ $y^(-n) \cdot y"+P\left(x\right)\cdot y^(1-n) =Q\left (x\ ขวา)$.
2. เราใช้การแทนที่ $z=y^(1-n) $ และแยกแยะความเท่าเทียมกันนี้เป็นฟังก์ชันกำลังเชิงซ้อน เราได้ $z"=\left(1-n\right)\cdot y^(-n) \cdot y"$ โดยที่ $\frac(z")(1-n) =y^(-n) \ cdot y"$.
3. เราแทนค่า $y^(1-n) $ และ $y^(-n) \cdot y"$ ลงในสมการเชิงอนุพันธ์นี้แล้วได้ $\frac(z")(1-n) +P\left (x\right )\cdot z=Q\left(x\right)$ หรือ $z"+\left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot z=\left(1 -n\right )\cdot Q\left(x\right)$.

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จะเป็นเส้นตรงที่ไม่เท่ากันเมื่อเทียบกับฟังก์ชัน $z$ ซึ่งเราแก้ได้ดังนี้:

1. เราคำนวณอินทิกรัล $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $ เขียนวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ $v\left(x\ right)=e ^(-I_(1) ) $ เราทำการแปลงให้ง่ายขึ้นและเลือกตัวเลือกที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ง่ายที่สุดสำหรับ $v\left(x\right)$
2. เราคำนวณอินทิกรัล $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $, หลังจากนั้นเราเขียนนิพจน์ในรูปแบบ $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$
3. เราเขียนคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นตรงแบบไม่เอกพันธ์ในรูปแบบ $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$
4. เรากลับไปที่ฟังก์ชัน $y$ โดยแทนที่ $z$ ด้วย $y^(1-n)$ และหากจำเป็น ให้ดำเนินการแปลงให้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง:

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ $\frac(dy)(dx) +\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ เขียนวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น $y=1$ สำหรับ $x=1$

ในกรณีนี้ เรามีสมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลีแสดงในรูปแบบมาตรฐาน

ในกรณีนี้ $n=2$, $P\left(x\right)=\frac(1)(x) $, $Q\left(x\right)=4-x^(2) $

เรานำเสนอในรูปแบบเกี่ยวกับการแทนที่ $z$:

$z"+\left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^(2) \right )$ หรือ $z"-\frac(1)(x) \cdot z=-\left(4-x^(2) \right)$

สมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้จะเป็นเส้นตรงที่ไม่เท่ากันเมื่อเทียบกับฟังก์ชัน $z$ ซึ่งเราแก้โดยใช้วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้น

เราคำนวณอินทิกรัล $I_(1) =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $

เรามี $I_(1) =\int \left(1-2\right)\cdot \frac(1)(x) \cdot dx =-\ln \left|x\right|$

เราเขียนวิธีแก้ปัญหาเฉพาะในรูปแบบ $v\left(x\right)=e^(-I_(1) ) $ และดำเนินการแปลงให้ง่ายขึ้น: $v\left(x\right)=e^(\ln \left |x\ ขวา|)$; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$.

สำหรับ $v\left(x\right)$ เราเลือกตัวเลือกที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ง่ายที่สุด: $v\left(x\right)=x$

เราคำนวณอินทิกรัล $I_(2) =\int \frac(\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right))(v\left(x\right)) \cdot dx $

เราเขียนนิพจน์ในรูปแบบ $u\left(x,C\right)=I_(2) +C$ นั่นคือ $u\left(x,C\right)=\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$

ในที่สุดเราก็เขียนคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นสำหรับฟังก์ชัน $z$ ในรูปแบบ $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$ นั่นก็คือ $z=\frac(x^ (3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$

ตอนนี้เรากลับมาที่ฟังก์ชัน $y$ โดยแทนที่ $z$ ด้วย $y^(1-n)$:

$y^(1-2) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ หรือ $\frac(1) (y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$

นี่คือคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลี ซึ่งเขียนในรูปแบบโดยปริยาย

ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยเฉพาะ เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น $y=1$ สำหรับ $x=1$:

ดังนั้น ผลเฉลยบางส่วนจะมีรูปแบบ: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac (x )(2) $.

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของเบอร์นูลลีโดยวิธีการแทนที่

วิธีแก้สมการเบอร์นูลลีวิธีที่สองที่เป็นไปได้คือวิธีการแทนที่

ตัวอย่าง:

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ $y"+\frac(y)(x) =y^(2) \cdot \left(4-x^(2) \right)$ ด้วยวิธีการแทนที่

เราใช้การทดแทน $y=u\cdot v$

หลังจากสร้างความแตกต่างแล้ว เราได้รับ:

เราหาฟังก์ชัน $v\left(x\right)$ จากสมการ $v"+\frac(v)(x) =0$; โดยย้ายเทอมที่สองไปทางด้านขวา

เราได้รับ:

$\frac(dv)(dx) =-\frac(v)(x) $;

แยกตัวแปร $\frac(dv)(v) =-\frac(dx)(x) $;

อินทิเกรต $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$ โดยที่ $v=\frac(1)(x) $

ฟังก์ชัน $u\left(x\right)$ หาได้จากสมการ $u"\cdot \frac(1)(x) =u^(2) \cdot \frac(1)(x^(2) ) \cdot \ left(4-x^(2) \right)$ ซึ่งคำนึงถึง $v=\frac(1)(x) $ และ $v"+\frac(v)(x) =0$

หลังจากการแปลงอย่างง่าย เราจะได้: $u"=u^(2) \cdot \frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)$

เราแยกตัวแปร: $\frac(du)(u^(2) ) =\frac(1)(x) \cdot \left(4-x^(2) \right)\cdot dx$

มาอินทิเกรตกัน: $-\frac(1)(u) =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac(x^(2) )(2) +C$ หรือ $\frac(1)( ยู ) =\frac(x^(2) )(2) -4\cdot \ln \left|x\right|+C$

กลับมาที่ตัวแปรเก่ากันดีกว่า เราคำนึงว่า $y=u\cdot v$ หรือ $y=u\cdot \frac(1)(x) $ ดังนั้น $u=x\cdot y$

เราได้คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์นี้: $\frac(1)(y) =\frac(x^(3) )(2) -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C \cดอท x $