ตามกฎแล้วสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดจะได้รับการแก้ไขโดยใช้สูตร ฉันขอเตือนคุณว่าสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ:
บาป = ก
คอกซ์ = ก
tgx = ก
CTGX = ก
x คือมุมที่จะพบ
a คือตัวเลขใดๆ
และนี่คือสูตรที่คุณสามารถเขียนคำตอบของสมการที่ง่ายที่สุดได้ทันที
สำหรับไซน์:
สำหรับโคไซน์:
x = ± ส่วนโค้ง a + 2π n, n ∈ Z
สำหรับแทนเจนต์:
x = อาร์คแทน a + π n, n ∈ Z
สำหรับโคแทนเจนต์:
x = ส่วนโค้ง a + π n, n ∈ Z
จริงๆ แล้ว นี่คือส่วนทางทฤษฎีในการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด ยิ่งกว่านั้นทุกอย่าง!) ไม่มีอะไรเลย อย่างไรก็ตาม จำนวนข้อผิดพลาดในหัวข้อนี้อยู่นอกแผนภูมิ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากตัวอย่างเบี่ยงเบนไปจากเทมเพลตเล็กน้อย ทำไม
ใช่ เพราะมีคนจำนวนมากเขียนจดหมายเหล่านี้ โดยไม่เข้าใจความหมายเลย!เขาเขียนด้วยความระมัดระวัง เกรงว่าจะเกิดอะไรขึ้น...) เรื่องนี้ต้องได้รับการแก้ไข ตรีโกณมิติสำหรับคนหรือคนสำหรับตรีโกณมิติกันแน่!?)
ลองคิดดูสิ?
มุมหนึ่งจะเท่ากับ อาร์คคอส ที่สอง: -อาร์คคอส เอ.
และมันจะได้ผลแบบนี้ตลอดไปสำหรับอย่างใดอย่างหนึ่ง ก.
หากคุณไม่เชื่อฉัน ให้เลื่อนเมาส์เหนือรูปภาพหรือแตะรูปภาพบนแท็บเล็ตของคุณ) ฉันเปลี่ยนตัวเลข ก ถึงบางสิ่งที่เป็นลบ ยังไงซะ เราก็ได้มุมหนึ่ง อาร์คคอส ที่สอง: -อาร์คคอส เอ.
ดังนั้น คำตอบสามารถเขียนเป็นชุดรากได้ 2 ชุดเสมอ:
x 1 = ส่วนโค้ง a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - อาร์คคอส a + 2π n, n ∈ Z
มารวมสองซีรีย์นี้เป็นหนึ่งเดียว:
x= ± ส่วนโค้ง a + 2π n, n ∈ Z
และนั่นคือทั้งหมด เราได้รับสูตรทั่วไปสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดด้วยโคไซน์
หากคุณเข้าใจว่านี่ไม่ใช่ภูมิปัญญาเหนือวิทยาศาสตร์ แต่เป็น แค่คำตอบสั้นๆ สองชุดคุณจะสามารถจัดการงาน "C" ได้ ด้วยความไม่เท่าเทียมกัน โดยการเลือกรากจากช่วงเวลาที่กำหนด... คำตอบที่มีเครื่องหมายบวก/ลบจะไม่ทำงาน แต่ถ้าคุณปฏิบัติต่อคำตอบในลักษณะธุรกิจและแยกคำตอบออกเป็นสองคำตอบแยกกัน ทุกอย่างจะได้รับการแก้ไข) จริงๆ แล้ว นั่นคือเหตุผลที่เรากำลังพิจารณาคำตอบนั้น อะไรอย่างไรและที่ไหน
ในสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
บาป = ก
เรายังได้รากสองชุดด้วย เสมอ. และทั้ง 2 เรื่องนี้ก็สามารถบันทึกได้เช่นกัน ในหนึ่งบรรทัด เฉพาะบรรทัดนี้เท่านั้นที่จะซับซ้อนกว่า:
x = (-1) n อาร์คซิน a + π n, n ∈ Z
แต่สาระสำคัญยังคงเหมือนเดิม นักคณิตศาสตร์เพียงแต่ออกแบบสูตรเพื่อสร้างหนึ่งชุดแทนที่จะเป็นชุดข้อมูลรากสองชุด นั่นคือทั้งหมด!
เรามาตรวจสอบนักคณิตศาสตร์กัน? และคุณไม่มีทางรู้...)
ในบทเรียนที่แล้ว มีการพูดคุยถึงวิธีแก้ปัญหา (โดยไม่มีสูตร) ของสมการตรีโกณมิติกับไซน์โดยละเอียด:
คำตอบทำให้เกิดรากสองชุด:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
ถ้าเราแก้สมการเดียวกันโดยใช้สูตร เราจะได้คำตอบ:
x = (-1) n อาร์คซิน 0.5 + π n, n ∈ Z
จริงๆแล้วนี่เป็นคำตอบที่ยังตอบไม่จบนะครับ) นักศึกษาต้องรู้เรื่องนี้ อาร์คซิน 0.5 = π /6คำตอบที่สมบูรณ์จะเป็น:
x = (-1)น พาย /6+ π n, n ∈ Z
สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามที่น่าสนใจ ตอบทาง x1; x2 (นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง!) และผ่านความเหงา เอ็กซ์ (และนี่คือคำตอบที่ถูกต้อง!) - เป็นสิ่งเดียวกันหรือไม่? เราจะหาคำตอบตอนนี้)
เราแทนคำตอบด้วย x1 ค่านิยม n =0; 1; 2; ฯลฯ เรานับว่าเราได้รับชุดของราก:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 และอื่น ๆ
ด้วยการทดแทนเดียวกันในการตอบสนองด้วย x2 เราได้รับ:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 และอื่น ๆ
ทีนี้ลองแทนค่าต่างๆ กัน n (0; 1; 2; 3; 4...) ให้เป็นสูตรทั่วไปของซิงเกิล เอ็กซ์ - นั่นคือเราเพิ่มลบหนึ่งเป็นศูนย์จากนั้นยกกำลังหนึ่งที่สอง ฯลฯ แน่นอน เราแทน 0 ในเทอมที่สอง; 1; 2 3; 4 ฯลฯ และเรานับ เราได้รับซีรีส์:
x= พาย/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 และอื่น ๆ
นั่นคือทั้งหมดที่คุณเห็น) สูตรทั่วไปให้เรา ผลลัพธ์ที่เหมือนกันทุกประการเช่นเดียวกับทั้งสองคำตอบแยกกัน ทุกอย่างในคราวเดียวตามลำดับ นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ถูกหลอก)
สามารถตรวจสอบสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติด้วยแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้ แต่เราจะไม่ทำ) พวกมันเรียบง่ายอยู่แล้ว
ฉันเขียนการทดแทนทั้งหมดนี้และตรวจสอบโดยเฉพาะ สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสิ่งง่ายๆ อย่างหนึ่ง: มีสูตรสำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเบื้องต้น เป็นเพียงการสรุปคำตอบสั้นๆเพื่อความกระชับนี้ เราต้องใส่บวก/ลบเข้าไปในสารละลายโคไซน์ และ (-1) n เข้าไปในสารละลายไซน์
ส่วนแทรกเหล่านี้จะไม่รบกวนงานใดๆ ที่คุณเพียงแค่ต้องเขียนคำตอบของสมการเบื้องต้น แต่ถ้าคุณต้องการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันหรือต้องทำอะไรบางอย่างด้วยคำตอบ: เลือกรูทในช่วงเวลา ตรวจสอบ ODZ ฯลฯ การแทรกเหล่านี้อาจทำให้บุคคลไม่สบายใจได้อย่างง่ายดาย
แล้วฉันควรทำอย่างไร? ใช่ เขียนคำตอบเป็นสองชุด หรือแก้สมการ/อสมการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ แล้วสิ่งแทรกเหล่านี้จะหายไปและชีวิตก็จะง่ายขึ้น)
เราสามารถสรุปได้
ในการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด มีสูตรคำตอบสำเร็จรูปมาให้ สี่ชิ้น. เหมาะสำหรับการเขียนคำตอบลงในสมการทันที ตัวอย่างเช่น คุณต้องแก้สมการ:
บาปx = 0.3
อย่างง่ายดาย: x = (-1) n อาร์คซิน 0.3 + π n, n ∈ Z
คอกซ์ = 0.2
ไม่มีปัญหา: x = ± ส่วนโค้ง 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
อย่างง่ายดาย: x = อาร์คแทน 1,2 + π n, n ∈ Z
ซีทีจีเอ็กซ์ = 3.7
เหลือหนึ่ง: x= ส่วนโค้งg3,7 + π n, n ∈ Z
คอส x = 1.8
หากคุณเปล่งประกายด้วยความรู้ให้เขียนคำตอบทันที:
x= ± ส่วนโค้ง 1.8 + 2π n, n ∈ Z
ก็สุกใสแล้ว นี่... นั่น... จากแอ่งน้ำ) คำตอบที่ถูกต้อง: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ไม่เข้าใจว่าทำไม? อ่านว่าอาร์คโคไซน์คืออะไร นอกจากนี้หากทางด้านขวาของสมการดั้งเดิมมีค่าตารางของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์ - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 ฯลฯ - คำตอบทะลุซุ้มจะยังไม่เสร็จ ส่วนโค้งจะต้องแปลงเป็นเรเดียน
และถ้าคุณเจอความไม่เท่าเทียมกันเช่น
แล้วคำตอบคือ:
x πn, n ∈ Z
มีเรื่องไร้สาระที่หายาก ใช่...) ที่นี่คุณต้องแก้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ สิ่งที่เราจะทำในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง
สำหรับผู้ที่อ่านบรรทัดเหล่านี้อย่างกล้าหาญ ฉันอดไม่ได้ที่จะชื่นชมความพยายามอันมหาศาลของคุณ โบนัสสำหรับคุณ)
โบนัส:
เมื่อเขียนสูตรในสถานการณ์การต่อสู้ที่น่าตกใจ แม้แต่เด็กเนิร์ดที่ช่ำชองก็มักจะสับสนว่าอยู่ที่ไหน πn, และที่ไหน 2π น. นี่เป็นเคล็ดลับง่ายๆ สำหรับคุณ ใน ทุกคนสูตรที่คุ้มค่า πn. ยกเว้นสูตรเดียวที่มีอาร์คโคไซน์ มันยืนอยู่ตรงนั้น 2πn. สองเพียร์ คำสำคัญ - สอง.ในสูตรเดียวกันนี้ก็มี สองลงชื่อที่จุดเริ่มต้น บวกและลบ และที่นั่นและที่นั่น- สอง.
ดังนั้นถ้าคุณเขียน สองลงชื่อก่อนอาร์คโคไซน์ เพื่อให้จำได้ง่ายขึ้นว่าจะเกิดอะไรขึ้นในตอนท้าย สองเพียร์ และมันก็เกิดขึ้นในทางกลับกันด้วย คนนั้นจะพลาดป้าย ± , จบแล้ว, เขียนถูกต้อง สองเปียนแล้วเขาจะรู้สึกตัว มีบางอย่างอยู่ข้างหน้า สองเข้าสู่ระบบ! บุคคลนั้นจะกลับไปสู่จุดเริ่มต้นและแก้ไขข้อผิดพลาด! แบบนี้.)
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
เมื่อแก้ได้หลายอย่าง ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้นก่อนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีการกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่เป้าหมายอย่างชัดเจน ปัญหาดังกล่าวได้แก่ สมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง อสมการเชิงเส้นและกำลังสอง สมการเศษส่วนและสมการที่ลดขนาดเป็นกำลังสอง หลักการแก้ปัญหาแต่ละอย่างให้ประสบความสำเร็จมีดังนี้: คุณต้องกำหนดประเภทของปัญหาที่คุณกำลังแก้ไข จำลำดับการกระทำที่จำเป็นที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต้องการ เช่น ตอบและทำตามขั้นตอนเหล่านี้
เห็นได้ชัดว่าความสำเร็จหรือความล้มเหลวในการแก้ปัญหาเฉพาะนั้นขึ้นอยู่กับวิธีการกำหนดประเภทของสมการที่กำลังแก้อย่างถูกต้องและวิธีการสร้างลำดับของทุกขั้นตอนของการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องเพียงใด แน่นอน ในกรณีนี้ จำเป็นต้องมีทักษะในการดำเนินการแปลงและการคำนวณที่เหมือนกัน
สถานการณ์จะแตกต่างออกไปด้วย สมการตรีโกณมิติไม่ใช่เรื่องยากเลยที่จะระบุความจริงที่ว่าสมการนี้เป็นวิชาตรีโกณมิติ ความยากลำบากเกิดขึ้นเมื่อกำหนดลำดับการกระทำที่จะนำไปสู่คำตอบที่ถูกต้อง
บางครั้งเป็นการยากที่จะกำหนดประเภทของมันตามลักษณะของสมการ และหากไม่ทราบประเภทของสมการ ก็แทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะเลือกสมการที่ถูกต้องจากสูตรตรีโกณมิติหลายสิบสูตร
ในการแก้สมการตรีโกณมิติ คุณต้องลอง:
1. นำฟังก์ชันทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการมาสู่ "มุมเดียวกัน"
2. นำสมการมาสู่ "ฟังก์ชันเหมือนกัน"
3. แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการ ฯลฯ
ลองพิจารณาดู วิธีพื้นฐานในการแก้สมการตรีโกณมิติ
I. การลดสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในแง่ขององค์ประกอบที่ทราบ
ขั้นตอนที่ 2ค้นหาอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร:
คอส x = ก; x = ±อาร์คคอส a + 2πn, n ЄZ
บาป x = ก; x = (-1) n อาร์คซิน a + πn, n Є Z
สีแทน x = ก; x = อาร์คแทน a + πn, n Є Z
ซีทีจี x = ก; x = ส่วนโค้ง a + πn, n Є Z
ขั้นตอนที่ 3ค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก
ตัวอย่าง.
2 คอส(3x – π/4) = -√2
สารละลาย.
1) คอส(3x – π/4) = -√2/2
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
คำตอบ: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z
ครั้งที่สอง การแทนที่ตัวแปร
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1ลดสมการให้อยู่ในรูปพีชคณิตโดยเทียบกับหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ขั้นตอนที่ 2แสดงฟังก์ชันผลลัพธ์ด้วยตัวแปร t (หากจำเป็น ให้กำหนดข้อจำกัดของ t)
ขั้นตอนที่ 3เขียนและแก้สมการพีชคณิตที่ได้
ขั้นตอนที่ 4ทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ
ขั้นตอนที่ 5แก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ตัวอย่าง.
2คอส 2 (x/2) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0
สารละลาย.
1) 2(1 – บาป 2 (x/2)) – 5ซิน (x/2) – 5 = 0;
2ซิน 2 (x/2) + 5ซิน (x/2) + 3 = 0
2) ให้บาป (x/2) = t โดยที่ |t| ≤ 1
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 หรือ e = -3/2 ไม่ตรงตามเงื่อนไข |t| ≤ 1
4) บาป(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z
คำตอบ: x = π + 4πn, n Є Z
III. วิธีการลดลำดับสมการ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1แทนที่สมการนี้ด้วยสมการเชิงเส้นโดยใช้สูตรลดระดับ:
บาป 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
คอส 2 x = 1/2 · (1 + คอส 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x)
ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ I และ II
ตัวอย่าง.
คอส 2x + คอส 2 x = 5/4
สารละลาย.
1) คอส 2x + 1/2 · (1 + คอส 2x) = 5/4
2) คอส 2x + 1/2 + 1/2 · คอส 2x = 5/4;
3/2 คอส 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z
คำตอบ: x = ±π/6 + πn, n Є Z
IV. สมการเอกพันธ์
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1ลดสมการนี้ให้อยู่ในรูปแบบ
ก) a sin x + b cos x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีแรก)
หรือเพื่อชมวิว
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (สมการเอกพันธ์ของดีกรีที่สอง)
ขั้นตอนที่ 2หารทั้งสองข้างของสมการด้วย
ก) cos x ≠ 0;
ข) cos 2 x ≠ 0;
และรับสมการของ tan x:
ก) สีน้ำตาล x + b = 0;
b) สีน้ำตาล 2 x + b arctan x + c = 0
ขั้นตอนที่ 3แก้สมการโดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
5ซิน 2 x + 3ซิน x คอส x – 4 = 0
สารละลาย.
1) 5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4(ซิน 2 x + cos 2 x) = 0;
5ซิน 2 x + 3ซิน x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
บาป 2 x + 3ซิน x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0
2) ทีจี 2 x + 3ทีจี x – 4 = 0
3) ให้ tg x = t แล้ว
เสื้อ 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 หรือ t = -4 ซึ่งหมายถึง
tg x = 1 หรือ tg x = -4
จากสมการแรก x = π/4 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
คำตอบ: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z
V. วิธีการแปลงสมการโดยใช้สูตรตรีโกณมิติ
แผนภาพการแก้ปัญหา
ขั้นตอนที่ 1ใช้สูตรตรีโกณมิติที่เป็นไปได้ทั้งหมด ลดสมการนี้ให้เป็นสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ I, II, III, IV
ขั้นตอนที่ 2แก้สมการผลลัพธ์โดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง.
บาป x + บาป 2x + บาป 3x = 0
สารละลาย.
1) (บาป x + บาป 3x) + บาป 2x = 0;
2ซิน 2x คอส x + บาป 2x = 0
2) บาป 2x (2cos x + 1) = 0;
บาป 2x = 0 หรือ 2cos x + 1 = 0;
จากสมการแรก 2x = π/2 + πn, n Є Z; จากสมการที่สอง cos x = -1/2
เรามี x = π/4 + πn/2, n Є Z; จากสมการที่สอง x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z
ผลลัพธ์ก็คือ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
คำตอบ: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z
ความสามารถและทักษะในการแก้สมการตรีโกณมิติเป็นอย่างมาก ที่สำคัญการพัฒนาต้องใช้ความพยายามอย่างมากทั้งในส่วนของนักเรียนและในส่วนของครู
ปัญหาหลายประการของสามมิติ ฟิสิกส์ ฯลฯ เกี่ยวข้องกับการแก้สมการตรีโกณมิติ กระบวนการในการแก้ปัญหาดังกล่าวรวบรวมความรู้และทักษะมากมายที่ได้รับจากการศึกษาองค์ประกอบของตรีโกณมิติ
สมการตรีโกณมิติมีบทบาทสำคัญในกระบวนการเรียนรู้คณิตศาสตร์และการพัฒนาตนเองโดยทั่วไป
ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่รู้วิธีแก้สมการตรีโกณมิติใช่ไหม?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!
blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม
คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ปัญหาของคุณได้อย่างละเอียด!!!
ความเท่าเทียมกันที่ไม่ทราบค่าภายใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (`sin x, cos x, tan x` หรือ `ctg x`) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติ และเราจะพิจารณาต่อไปเป็นสูตรของสมการเหล่านี้
สมการที่ง่ายที่สุดคือ `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` โดยที่ `x` คือมุมที่จะหา ส่วน `a` คือตัวเลขใดๆ ให้เราเขียนสูตรรูทของแต่ละสูตร
1. สมการ `บาป x=a`
สำหรับ `|a|>1` มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา
เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์
สูตรราก: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. สมการ `cos x=a`
สำหรับ `|a|>1` - เช่นเดียวกับในกรณีของไซน์ มันไม่มีคำตอบระหว่างจำนวนจริง
เมื่อ `|a| \leq 1` มีคำตอบจำนวนอนันต์
สูตรราก: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
กรณีพิเศษสำหรับไซน์และโคไซน์ในกราฟ
3. สมการ `tg x=a`
มีคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุดสำหรับค่าใดๆ ของ `a`
สูตรราก: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. สมการ `ctg x=a`
นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์สำหรับค่าใด ๆ ของ 'a'
สูตรราก: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
สูตรรากของสมการตรีโกณมิติในตาราง
สำหรับไซน์:
สำหรับโคไซน์:
สำหรับแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
สูตรสำหรับการแก้สมการที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:
วิธีการแก้สมการตรีโกณมิติ
การแก้สมการตรีโกณมิติประกอบด้วยสองขั้นตอน:
- ด้วยความช่วยเหลือในการเปลี่ยนแปลงให้เป็นสิ่งที่ง่ายที่สุด
- แก้สมการที่ง่ายที่สุดที่ได้รับโดยใช้สูตรรูทและตารางที่เขียนด้านบน
ลองดูวิธีการแก้ปัญหาหลักโดยใช้ตัวอย่าง
วิธีพีชคณิต
วิธีการนี้เกี่ยวข้องกับการแทนที่ตัวแปรและแทนที่ตัวแปรให้มีความเท่าเทียมกัน
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
ทำการแทนที่: `cos(x+\frac \pi 6)=y` จากนั้น `2y^2-3y+1=0`,
เราพบราก: `y_1=1, y_2=1/2` ซึ่งจะมี 2 กรณีดังนี้:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm อาร์คคอส 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`
คำตอบ: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`
การแยกตัวประกอบ
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `sin x+cos x=1`
สารละลาย. ลองย้ายเงื่อนไขความเท่าเทียมกันทั้งหมดไปทางซ้าย: `sin x+cos x-1=0` การใช้ เราจะแปลงและแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือ:
`บาป x — 2ซิน^2 x/2=0`,
`2ซิน x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2ซิน x/2 (cos x/2-ซิน x/2)=0`,
- `บาป x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`
คำตอบ: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`
การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์
ขั้นแรก คุณต้องลดสมการตรีโกณมิติให้เหลือรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้
`a sin x+b cos x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 1) หรือ `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (สมการเอกพันธ์ของดีกรี 2)
จากนั้นหารทั้งสองส่วนด้วย `cos x \ne 0` - สำหรับกรณีแรก และด้วย `cos^2 x \ne 0` - สำหรับกรณีที่สอง เราได้สมการสำหรับ `tg x`: `a tg x+b=0` และ `a tg^2 x + b tg x +c =0` ซึ่งจำเป็นต้องแก้ไขโดยใช้วิธีที่ทราบ
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`
สารละลาย. ลองเขียนด้านขวาเป็น `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x=` `บาป^2 x+cos^2 x`,
`2 บาป^2 x+บาป x cos x — cos^2 x -` ` บาป^2 x — cos^2 x=0`
`บาป^2 x+บาป x cos x — 2 cos^2 x=0`
นี่คือสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง เราหารด้านซ้ายและด้านขวาด้วย `cos^2 x \ne 0` เราได้:
`\frac (บาป^2 x)(cos^2 x)+\frac(บาป x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. เรามาแนะนำการแทนที่ `tg x=t` ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็น `t^2 + t - 2=0` รากของสมการนี้คือ `t_1=-2` และ `t_2=1` แล้ว:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \ใน Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \ใน Z`
คำตอบ. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`
ย้ายไปครึ่งมุม
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `11 บาป x - 2 cos x = 10`
สารละลาย. ลองใช้สูตรมุมคู่ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์เป็น: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 คอส^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
เมื่อใช้วิธีพีชคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น เราได้รับ:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`
คำตอบ. `x_1=2 ส่วนโค้ง 2+2\pi n, n \ใน Z`, `x_2=ส่วนโค้ง 3/4+2\pi n`, `n \ใน Z`
การแนะนำมุมเสริม
ในสมการตรีโกณมิติ `a sin x + b cos x =c` โดยที่ a,b,c เป็นสัมประสิทธิ์และ x เป็นตัวแปร ให้หารทั้งสองข้างด้วย `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +ข^2))`.
สัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายมีคุณสมบัติเป็นไซน์และโคไซน์ กล่าวคือ ผลรวมของกำลังสองของพวกมันเท่ากับ 1 และโมดูลของพวกมันไม่มากกว่า 1 ให้เราแสดงพวกมันดังนี้: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C` จากนั้น:
`cos \วาร์ฟี บาป x + บาป \วาร์ฟี cos x =C`
ลองมาดูตัวอย่างต่อไปนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น:
ตัวอย่าง. แก้สมการ: `3 sin x+4 cos x=2`
สารละลาย. หารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย `sqrt (3^2+4^2)` เราจะได้:
`\frac (3 บาป x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 บาป x+4/5 cos x=2/5`
ลองแสดงว่า `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` กัน เนื่องจาก `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` เราจึงถือว่า `\varphi=arcsin 4/5` เป็นมุมช่วย จากนั้นเราเขียนความเท่าเทียมกันของเราในรูปแบบ:
`cos \วาร์ฟี บาป x+ซิน \วาร์ฟี cos x=2/5`
เมื่อใช้สูตรสำหรับผลรวมของมุมของไซน์ เราจะเขียนความเท่าเทียมกันในรูปแบบต่อไปนี้:
`บาป (x+\วาร์ฟี)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n อาร์คซิน 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`
คำตอบ. `x=(-1)^n อาร์คซิน 2/5-` `อาร์คซิน 4/5+ \pi n`, `n \in Z`
สมการตรีโกณมิติเชิงเศษส่วน
สิ่งเหล่านี้คือความเท่าเทียมกันของเศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนประกอบด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ตัวอย่าง. แก้สมการ `\frac (บาป x)(1+cos x)=1-cos x`
สารละลาย. คูณและหารทางด้านขวาของค่าเท่ากันด้วย `(1+cos x)` เป็นผลให้เราได้รับ:
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)=` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)`
`\frac (บาป x)(1+cos x)-` `\frac (บาป^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (บาป x-บาป^2 x)(1+cos x)=0`
เมื่อพิจารณาว่าตัวส่วนไม่สามารถเท่ากับศูนย์ เราจะได้ `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`
ลองหาตัวเศษของเศษส่วนให้เป็นศูนย์: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0` จากนั้น `บาป x=0` หรือ `1-บาป x=0`
- `บาป x=0`, `x=\pi n`, `n \ใน Z`
- `1-บาป x=0`, `บาป x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \ใน Z`
เมื่อพิจารณาว่า ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ผลเฉลยคือ `x=2\pi n, n \in Z` และ `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ใน Z`
คำตอบ. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`
โดยเฉพาะอย่างยิ่งตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์เกือบทั้งหมด การศึกษาเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 มีงานสำหรับการสอบ Unified State อยู่เสมอ ดังนั้นพยายามจำสูตรสมการตรีโกณมิติทั้งหมด - มันจะมีประโยชน์สำหรับคุณอย่างแน่นอน!
อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องจดจำสิ่งเหล่านี้ด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแก่นแท้และสามารถสืบทอดมาได้ มันไม่ยากอย่างที่คิด ดูตัวคุณเองด้วยการดูวิดีโอ
ต้องมีความรู้เกี่ยวกับสูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ - ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ การแสดงออกของแทนเจนต์ผ่านไซน์และโคไซน์ และอื่นๆ สำหรับผู้ที่ลืมหรือไม่รู้จักเราแนะนำให้อ่านบทความ ""
เรารู้สูตรตรีโกณมิติพื้นฐานแล้ว ถึงเวลานำไปใช้ในทางปฏิบัติแล้ว การแก้สมการตรีโกณมิติด้วยแนวทางที่ถูกต้อง ถือเป็นกิจกรรมที่น่าตื่นเต้นทีเดียว เช่น การแก้ลูกบาศก์รูบิค
จากชื่อของมันเอง เป็นที่ชัดเจนว่าสมการตรีโกณมิติคือสมการที่ค่าไม่ทราบอยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
มีสิ่งที่เรียกว่าสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด หน้าตาจะเป็นดังนี้: sinx = a, cos x = a, tan x = a ลองพิจารณาดู วิธีแก้สมการตรีโกณมิติดังกล่าวเพื่อความชัดเจน เราจะใช้วงกลมตรีโกณมิติที่คุ้นเคยอยู่แล้ว
บาป = ก
คอส x = ก
สีแทน x = ก
เปล x = ก
สมการตรีโกณมิติใดๆ ก็ตามจะได้รับการแก้ไขในสองขั้นตอน: เราลดสมการให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุดแล้วแก้เป็นสมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
มี 7 วิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
การทดแทนตัวแปรและวิธีการทดแทน
การแก้สมการตรีโกณมิติโดยการแยกตัวประกอบ
การลดลงเป็นสมการเอกพันธ์
การแก้สมการโดยการเปลี่ยนผ่านเป็นครึ่งมุม
การแนะนำมุมเสริม
แก้สมการ 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
จากการใช้สูตรการลดขนาดที่เราได้รับ:
2คอส 2 (x + /6) – 3คอส(x + /6) +1 = 0
แทนที่ cos(x + /6) ด้วย y เพื่อทำให้ง่ายและได้สมการกำลังสองตามปกติ:
2ปี 2 – 3ปี + 1 + 0
รากของมันคือ y 1 = 1, y 2 = 1/2
ตอนนี้เรามาดูในลำดับย้อนกลับกัน
เราแทนที่ค่าที่พบของ y และรับสองตัวเลือกคำตอบ:
จะแก้สมการ sin x + cos x = 1 ได้อย่างไร?
ย้ายทุกอย่างไปทางซ้ายเพื่อให้ 0 ยังคงอยู่ทางด้านขวา:
บาป x + cos x – 1 = 0
ให้เราใช้อัตลักษณ์ที่กล่าวถึงข้างต้นเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้น:
บาป x - 2 บาป 2 (x/2) = 0
เรามาแยกตัวประกอบ:
2ซิน(x/2) * cos(x/2) - 2 ซิน 2 (x/2) = 0
2ซิน(x/2) * = 0
เราได้สองสมการ
สมการจะเป็นเนื้อเดียวกันโดยสัมพันธ์กับไซน์และโคไซน์ หากเงื่อนไขทั้งหมดสัมพันธ์กับไซน์และโคไซน์ในระดับเดียวกันของมุมเดียวกัน ในการแก้สมการเอกพันธ์ ให้ดำเนินการดังนี้:
ก) โอนสมาชิกทั้งหมดไปทางซ้าย
b) นำปัจจัยทั่วไปทั้งหมดออกจากวงเล็บ
c) จัดให้ปัจจัยและวงเล็บทั้งหมดเท่ากับ 0;
d) ในวงเล็บจะได้สมการเอกพันธ์ของระดับที่ต่ำกว่าซึ่งจะแบ่งออกเป็นไซน์หรือโคไซน์ของระดับที่สูงกว่า
e) แก้สมการผลลัพธ์สำหรับ tg
แก้สมการ 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
ลองใช้สูตร sin 2 x + cos 2 x = 1 และกำจัดสองตัวเปิดทางด้านขวา:
3ซิน 2 x + 4ซิน x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
บาป 2 x + 4 บาป x cos x + 3 cos 2 x = 0
หารด้วย cos x:
ทีก 2 x + 4 ทีก x + 3 = 0
แทนที่ tan x ด้วย y แล้วได้สมการกำลังสอง:
y 2 + 4y +3 = 0 ซึ่งมีรากคือ y 1 =1, y 2 = 3
จากที่นี่เราจะพบคำตอบสองข้อของสมการดั้งเดิม:
x 2 = อาร์คแทน 3 + k
แก้สมการ 3sin x – 5cos x = 7
ไปที่ x/2 กัน:
6ซิน(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย:
2ซิน 2 (x/2) – 6ซิน(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
หารด้วย cos(x/2):
ทีจี 2 (x/2) – 3ทีจี(x/2) + 6 = 0
เพื่อประกอบการพิจารณา ลองใช้สมการของรูปแบบ: a sin x + b cos x = c,
โดยที่ a, b, c เป็นสัมประสิทธิ์ใดๆ และ x ไม่ทราบค่า
ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย:
ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการตามสูตรตรีโกณมิติมีคุณสมบัติ sin และ cos กล่าวคือ: โมดูลัสของพวกมันไม่เกิน 1 และผลรวมของกำลังสอง = 1 ให้เราแสดงว่าพวกมันตามลำดับเป็น cos และ sin โดยที่ - นี่คือ มุมเสริมที่เรียกว่า จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
cos * บาป x + บาป * cos x = C
หรือ บาป(x + ) = C
วิธีแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดคือ
x = (-1) k * arcsin C - + k โดยที่
ควรสังเกตว่าสัญกรณ์ cos และ sin สามารถใช้แทนกันได้
แก้สมการ sin 3x – cos 3x = 1
ค่าสัมประสิทธิ์ในสมการนี้คือ:
a = , b = -1 ดังนั้นหารทั้งสองข้างด้วย = 2
บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
คู่มือและตัวจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 10 จาก 1C
การแก้ปัญหาทางเรขาคณิต งานแบบโต้ตอบสำหรับการสร้างในอวกาศ
สภาพแวดล้อมซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.1"
สิ่งที่เราจะศึกษา:
1. สมการตรีโกณมิติคืออะไร?
3. สองวิธีหลักในการแก้สมการตรีโกณมิติ
4. สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
5. ตัวอย่าง.
สมการตรีโกณมิติคืออะไร?
เพื่อนๆ เราได้ศึกษาอาร์คไซน์ อาร์คโคไซน์ อาร์กแทนเจนต์ และอาร์กโคแทนเจนต์แล้ว ทีนี้มาดูสมการตรีโกณมิติโดยทั่วไปกัน
สมการตรีโกณมิติคือสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ให้เราทำซ้ำรูปแบบของการแก้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด:
1)ถ้า |a|≤ 1 แล้วสมการ cos(x) = a มีคำตอบ:
X= ± ส่วนโค้ง(a) + 2πk
2) ถ้า |a|≤ 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a มีคำตอบ:
3) ถ้า |a| > 1 ดังนั้นสมการ sin(x) = a และ cos(x) = a ไม่มีคำตอบ 4) สมการ tg(x)=a มีคำตอบ: x=arctg(a)+ πk
5) สมการ ctg(x)=a มีคำตอบ: x=arcctg(a)+ πk
สำหรับสูตรทั้งหมด k คือจำนวนเต็ม
สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุดมีรูปแบบ: T(kx+m)=a, T คือฟังก์ชันตรีโกณมิติบางส่วน
ตัวอย่าง.แก้สมการ: a) sin(3x)= √3/2
สารละลาย:
A) ให้เราแทน 3x=t จากนั้นเราจะเขียนสมการของเราใหม่ในรูปแบบ:
ผลเฉลยของสมการนี้คือ: t=((-1)^n)อาร์คซิน(√3 /2)+ πn
จากตารางค่าที่เราได้รับ: t=((-1)^n)×π/3+ πn
ลองกลับไปที่ตัวแปรของเรา: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
จากนั้น x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
คำตอบ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 โดยที่ n คือจำนวนเต็ม (-1)^n – ลบ 1 ยกกำลัง n
ตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการตรีโกณมิติ
แก้สมการ: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3สารละลาย:
A) คราวนี้ เราจะมาคำนวณรากของสมการกันโดยตรง:
X/5= ± ส่วนโค้ง(1) + 2πk จากนั้น x/5= πk => x=5πk
คำตอบ: x=5πk โดยที่ k คือจำนวนเต็ม
B) เราเขียนมันในรูปแบบ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk เรารู้ว่า: อาร์คแทน(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
คำตอบ: x=2π/9 + πk/3 โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม
แก้สมการ: cos(4x)= √2/2 และค้นหารากทั้งหมดบนเซ็กเมนต์
สารละลาย:
ให้เราแก้สมการในรูปแบบทั่วไป: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
ตอนนี้เรามาดูกันว่ารากใดอยู่ในส่วนของเรา ที่ k ที่ k=0, x= π/16 เราอยู่ในส่วนที่กำหนดให้
ด้วย k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 เราก็ตีอีกครั้ง
สำหรับ k=2, x= π/16+ π=17π/16 แต่ตรงนี้เราไม่ได้ตี ซึ่งหมายความว่าสำหรับ k ขนาดใหญ่ เราจะไม่ตีแน่นอนเช่นกัน
คำตอบ: x= π/16, x= 9π/16
สองวิธีแก้ไขปัญหาหลัก
เราดูสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด แต่ก็มีสมการที่ซับซ้อนกว่าเช่นกัน เพื่อแก้ปัญหาเหล่านี้จะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่และวิธีการแยกตัวประกอบ ลองดูตัวอย่างมาแก้สมการกัน:
สารละลาย:
ในการแก้สมการ เราจะใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ ซึ่งหมายถึง: t=tg(x)
จากการแทนที่เราได้รับ: t 2 + 2t -1 = 0
มาหารากของสมการกำลังสองกัน: t=-1 และ t=1/3
จากนั้น tg(x)=-1 และ tg(x)=1/3 เราได้สมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด มาหารากของมันกัน
X=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk
คำตอบ: x= -π/4+πk; x=ส่วนโค้งg(1/3) + πk
ตัวอย่างการแก้สมการ
แก้สมการ: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
สารละลาย:
ลองใช้เอกลักษณ์: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 คอส 2 (x) - 3 คอส(x) -2 = 0
ให้เราแนะนำการแทนที่ t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=2 และ t=-1/2
จากนั้น cos(x)=2 และ cos(x)=-1/2
เพราะ โคไซน์ไม่สามารถรับค่าที่มากกว่า 1 ได้ ดังนั้น cos(x)=2 จึงไม่มีราก
สำหรับ cos(x)=-1/2: x= ± ส่วนโค้ง (-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
คำตอบ: x= ±2π/3 + 2πk
สมการตรีโกณมิติที่เป็นเนื้อเดียวกัน
คำจำกัดความ: สมการที่มีรูปแบบ a sin(x)+b cos(x) เรียกว่าสมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของดีกรีแรกสมการของแบบฟอร์ม
สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สอง
ในการแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับแรก ให้หารด้วย cos(x): คุณไม่สามารถหารด้วยโคไซน์ได้ถ้ามันเท่ากับศูนย์ ต้องแน่ใจว่าไม่เป็นเช่นนั้น:
กำหนดให้ cos(x)=0 แล้ว asin(x)+0=0 => sin(x)=0 แต่ไซน์และโคไซน์ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน เราจะได้ความขัดแย้ง ดังนั้นเราจึงสามารถหารได้อย่างปลอดภัย โดยศูนย์
แก้สมการ:
ตัวอย่าง: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
สารละลาย:
ลองหาปัจจัยร่วมออกมา: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
จากนั้นเราจะต้องแก้สมการสองสมการ:
Cos(x)=0 และ cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 ที่ x= π/2 + πk;
พิจารณาสมการ cos(x)+sin(x)=0 หารสมการของเราด้วย cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=ส่วนโค้งg(-1) +πk= -π/4+πk
คำตอบ: x= π/2 + πk และ x= -π/4+πk
จะแก้สมการตรีโกณมิติเอกพันธ์ของระดับที่สองได้อย่างไร?
เพื่อนๆ ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้เสมอ!
1. ดูว่าสัมประสิทธิ์ a เท่ากับเท่าใด ถ้า a=0 สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) ซึ่งเป็นตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในสไลด์ที่แล้ว
2. ถ้า a≠0 คุณต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วยโคไซน์กำลังสอง เราจะได้:
เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x) และรับสมการ:
แก้ตัวอย่างหมายเลข:3
แก้สมการ:สารละลาย:
ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วยกำลังสองโคไซน์:
เราเปลี่ยนตัวแปร t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
มาหารากของสมการกำลังสองกัน: t=-3 และ t=1
จากนั้น: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
คำตอบ: x=-arctg(3) + πk และ x= π/4+ πk
แก้ตัวอย่างหมายเลข:4
แก้สมการ:สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:
เราสามารถแก้สมการได้: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk
คำตอบ: x= - π/4 + 2πk และ x=5π/4 + 2πk
แก้ตัวอย่างหมายเลข:5
แก้สมการ:สารละลาย:
มาเปลี่ยนการแสดงออกของเรา:
ให้เราแนะนำการแทนที่ tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
วิธีแก้สมการกำลังสองของเราคือราก: t=-2 และ t=1/2
จากนั้นเราจะได้: tg(2x)=-2 และ tg(2x)=1/2
2x=-ส่วนโค้ง(2)+ πk => x=-ส่วนโค้ง(2)/2 + πk/2
2x= ส่วนโค้ง(1/2) + πk => x=ส่วนโค้ง(1/2)/2+ πk/2
คำตอบ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 และ x=arctg(1/2)/2+ πk/2
ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ
1) แก้สมการA) บาป(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7
2) แก้สมการ: sin(3x)= √3/2 และหารากทั้งหมดของเซกเมนต์ [π/2; พาย].
3) แก้สมการ: เปล 2 (x) + 2 เปล (x) + 1 =0
4) แก้สมการ: 3 บาป 2 (x) + √3ซิน (x) cos(x) = 0
5) แก้สมการ: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6) แก้สมการ: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)