ลำตัวมีรูปร่างเป็นทรงกระบอก กระบอกสูบ, บริเวณกระบอกสูบ

ทรงกระบอก (มาจากภาษากรีก มาจากคำว่า "ลูกกลิ้ง" "ลูกกลิ้ง") เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ถูกจำกัดไว้ด้านนอกด้วยพื้นผิวที่เรียกว่าทรงกระบอกและมีระนาบสองอัน ระนาบเหล่านี้ตัดกันพื้นผิวของร่างและขนานกัน

พื้นผิวทรงกระบอกคือพื้นผิวที่เกิดจากเส้นตรงในอวกาศ การเคลื่อนไหวเหล่านี้ทำให้จุดที่เลือกของเส้นตรงเคลื่อนที่ไปตามเส้นโค้งประเภทเครื่องบิน เส้นตรงดังกล่าวเรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้า และเส้นโค้งเรียกว่าเส้นบอกแนว

กระบอกสูบประกอบด้วยฐานคู่หนึ่งและพื้นผิวทรงกระบอกด้านข้าง กระบอกสูบมีหลายประเภท:

1. ทรงกระบอกตรงแบบกลม กระบอกสูบดังกล่าวมีฐานและไกด์ที่ตั้งฉากกับสายการผลิต และนั่นก็คือ

2. กระบอกสูบเอียง มุมระหว่างเส้นสร้างและฐานไม่ตรง

3. ทรงกระบอกที่มีรูปร่างแตกต่างกัน ไฮเปอร์โบลิก ทรงรี พาราโบลา และอื่นๆ

พื้นที่ของทรงกระบอกรวมถึงพื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอกใด ๆ หาได้จากการเพิ่มพื้นที่ฐานของรูปนี้และพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้าง

สูตรคำนวณพื้นที่รวมของทรงกระบอกสำหรับทรงกระบอกตรง:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R)

พบว่าพื้นที่ผิวด้านข้างซับซ้อนกว่าพื้นที่ของทรงกระบอกทั้งหมดเล็กน้อย โดยคำนวณโดยการคูณความยาวของเส้นเจเนราทริกซ์ด้วยเส้นรอบวงของส่วนที่เกิดจากระนาบที่ตั้งฉากกัน ไปจนถึงเส้นเจเนราทริกซ์

กระบอกสูบที่กำหนดสำหรับทรงกระบอกตรงทรงกลมได้รับการยอมรับจากการพัฒนาของวัตถุนี้

การพัฒนาคือรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง h และความยาว P ซึ่งเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน

ตามมาว่าพื้นที่ด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่กวาดและสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรนี้:

หากเราใช้ทรงกระบอกตรงที่เป็นวงกลมแล้ว:

P = 2p R และ Sb = 2p Rh

หากทรงกระบอกเอียง พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างควรเท่ากับผลคูณของความยาวของเส้นสร้างและเส้นรอบวงของหน้าตัด ซึ่งตั้งฉากกับเส้นสร้างนี้

น่าเสียดายที่ไม่มีสูตรง่ายๆในการแสดงพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเอียงในแง่ของความสูงและพารามิเตอร์ของฐาน

ในการคำนวณกระบอกสูบ คุณจำเป็นต้องรู้ข้อเท็จจริงบางประการ ถ้าส่วนที่มีระนาบตัดกับฐาน ส่วนนั้นจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเสมอ แต่สี่เหลี่ยมเหล่านี้จะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับตำแหน่งของส่วน ด้านหนึ่งของส่วนแกนของรูปซึ่งตั้งฉากกับฐานจะเท่ากับความสูง และอีกด้านหนึ่งเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอก และพื้นที่ของส่วนดังกล่าวจึงเท่ากับผลคูณของด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยอีกด้านตั้งฉากกับส่วนแรกหรือผลคูณของความสูงของรูปที่กำหนดและเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

หากส่วนนี้ตั้งฉากกับฐานของรูป แต่ไม่ผ่านแกนการหมุน พื้นที่ของส่วนนี้จะเท่ากับผลคูณของความสูงของกระบอกสูบนี้และคอร์ดบางคอร์ด ในการรับคอร์ดคุณต้องสร้างวงกลมที่ฐานของทรงกระบอก วาดรัศมีและพล็อตระยะทางที่ส่วนนั้นตั้งอยู่ และจากจุดนี้ คุณต้องวาดตั้งฉากกับรัศมีจากจุดตัดกับวงกลม จุดตัดเชื่อมต่อกับศูนย์กลาง และฐานของสามเหลี่ยมนั้นเป็นฐานที่ต้องการซึ่งหาได้จากเสียงดังนี้: "ผลรวมของกำลังสองของขาทั้งสองเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง":

C2 = A2 + B2

หากส่วนนี้ไม่ส่งผลต่อฐานของทรงกระบอกและตัวกระบอกสูบเองมีลักษณะเป็นวงกลมและเป็นเส้นตรง พื้นที่ของส่วนนี้จะพบเป็นพื้นที่ของวงกลม

พื้นที่ของวงกลมคือ:

สภาพแวดล้อมแบบเอส = 2п R2.

ในการหา R คุณต้องหารความยาว C ด้วย 2n:

R = C\2n โดยที่ n คือ pi ซึ่งเป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่คำนวณสำหรับการทำงานกับข้อมูลวงกลม และเท่ากับ 3.14

ทรงกระบอก (ทรงกระบอกกลม) คือร่างกายที่ประกอบด้วยวงกลมสองวงรวมกันโดยการแปลแบบขนานและทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมเหล่านี้ วงกลมเรียกว่าฐานของทรงกระบอก และส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของเส้นรอบวงของวงกลมเรียกว่าเครื่องกำเนิดของทรงกระบอก

ฐานของทรงกระบอกเท่ากันและอยู่ในระนาบขนาน และเครื่องกำเนิดของทรงกระบอกจะขนานและเท่ากัน พื้นผิวของทรงกระบอกประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยยีน

ทรงกระบอกจะถูกเรียกว่าตรงถ้าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตั้งฉากกับระนาบของฐาน ทรงกระบอกถือได้ว่าเป็นวัตถุที่ได้จากการหมุนสี่เหลี่ยมรอบด้านใดด้านหนึ่งเป็นแกน มีกระบอกสูบประเภทอื่น - ทรงรี, ไฮเปอร์โบลิก, พาราโบลา ปริซึมก็ถือเป็นกระบอกสูบประเภทหนึ่งเช่นกัน

รูปที่ 2 แสดงทรงกระบอกเอียง วงกลมที่มีศูนย์กลาง O และ O 1 เป็นฐาน

รัศมีของทรงกระบอกคือรัศมีของฐาน ความสูงของทรงกระบอกคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน แกนของทรงกระบอกเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางฐาน มันขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบผ่านแกนกระบอกสูบเรียกว่าส่วนตามแนวแกน ระนาบที่ผ่านเจเนราทริกซ์ของทรงกระบอกตรงและตั้งฉากกับส่วนแกนที่ลากผ่านเจเนราทริกซ์นี้เรียกว่าระนาบแทนเจนต์ของกระบอกสูบ

ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอกตัดกับพื้นผิวด้านข้างเป็นวงกลมเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน

ปริซึมที่จารึกไว้ในทรงกระบอกคือปริซึมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันซึ่งจารึกไว้ที่ฐานของทรงกระบอก ซี่โครงด้านข้างสร้างเป็นทรงกระบอก กล่าวกันว่าปริซึมถูกจำกัดขอบเขตรอบทรงกระบอก ถ้าฐานของมันเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันซึ่งถูกจำกัดขอบเขตรอบฐานของทรงกระบอก ระนาบของใบหน้าสัมผัสกับพื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกสามารถคำนวณได้โดยการคูณความยาวของเจเนราทริกซ์ด้วยเส้นรอบวงของส่วนของทรงกระบอกด้วยระนาบที่ตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกตรงสามารถพบได้จากการพัฒนา การพัฒนาทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง h และความยาว P ซึ่งเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน ดังนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกจึงเท่ากับพื้นที่การพัฒนาและคำนวณโดยสูตร:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับกระบอกสูบทรงกลมด้านขวา:

P = 2πR และ S b = 2πRh

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกเท่ากับผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐาน

สำหรับทรงกระบอกกลมตรง:

S p = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

มีสองสูตรในการค้นหาปริมาตรของทรงกระบอกเอียง

คุณสามารถค้นหาปริมาตรได้โดยการคูณความยาวของเจเนราทริกซ์ด้วยพื้นที่หน้าตัดของทรงกระบอกด้วยระนาบตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์

ปริมาตรของทรงกระบอกเอียงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง (ระยะห่างระหว่างระนาบที่ฐานอยู่):

V = Sh = S l บาป α,

โดยที่ l คือความยาวของเจเนราทริกซ์ และ α คือมุมระหว่างเจเนราทริกซ์กับระนาบของฐาน สำหรับทรงกระบอกตรง h = l

สูตรการหาปริมาตรของทรงกระบอกกลมมีดังนี้

V = π R 2 ชม. = π (d 2 / 4)ชม.

โดยที่ d คือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

พื้นที่แต่ละฐานของทรงกระบอกคือ π ร 2 พื้นที่ของฐานทั้งสองจะเป็น 2π ร 2 (รูปที่)

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็น 2π รและความสูงเท่ากับความสูงของทรงกระบอก ชม.เช่น 2π Rh.

พื้นผิวทั้งหมดของกระบอกสูบจะเป็น: 2π ร 2 + 2π Rh= 2π ร(ร+ ชม.).

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกจะถูกนำมาเป็น พื้นที่กวาดพื้นผิวด้านข้างของมัน

ดังนั้นพื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอกกลมขวาจะเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกัน (รูป) และคำนวณโดยสูตร

ส บี.ซี. = 2πRH, (1)

ถ้าเราบวกพื้นที่ของฐานทั้งสองเข้ากับพื้นที่พื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอก เราจะได้พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

สเต็มเลย =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R)

ปริมาตรของกระบอกสูบตรง

ทฤษฎีบท. ปริมาตรของทรงกระบอกตรงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูงของมัน , เช่น.

โดยที่ Q คือพื้นที่ฐาน และ H คือความสูงของทรงกระบอก

เนื่องจากพื้นที่ฐานของทรงกระบอกคือ Q ดังนั้นจึงมีลำดับของรูปหลายเหลี่ยมที่จำกัดขอบเขตและจารึกไว้ด้วยพื้นที่ Q nและคิว' nดังนั้น

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ถาม n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= ถาม

ขอให้เราสร้างลำดับของปริซึม โดยฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อธิบายและจารึกไว้ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น และขอบด้านข้างขนานกับเส้นแบ่งทั่วไปของทรงกระบอกที่กำหนดและมีความยาว H ปริซึมเหล่านี้ถูกจำกัดขอบเขตและจารึกไว้สำหรับทรงกระบอกที่กำหนด ปริมาตรของพวกมันจะพบได้จากสูตร

วี n=ถาม nเอช และ วี' n= คิว' nชม.

เพราะฉะนั้น,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) ถาม n H = \(\lim_(n \ลูกศรขวา \infty)\) Q' nเอช = คิวเอช.

ผลที่ตามมา
ปริมาตรของทรงกระบอกกลมด้านขวาคำนวณโดยสูตร

วี = π ร 2 ชม

โดยที่ R คือรัศมีของฐาน และ H คือความสูงของทรงกระบอก

เนื่องจากฐานของทรงกระบอกกลมคือวงกลมที่มีรัศมี R ดังนั้น Q = π R 2 ดังนั้น

Stereometry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ใช้ศึกษาตัวเลขในอวกาศ ตัวเลขหลักในอวกาศคือจุด เส้นตรง และระนาบ ใน Stereometry การจัดเรียงเส้นสัมพัทธ์รูปแบบใหม่จะปรากฏขึ้น: เส้นตัดกัน นี่เป็นหนึ่งในความแตกต่างที่สำคัญบางประการระหว่าง Stereometry และ Planimetry เนื่องจากในหลายกรณี ปัญหาของ Stereometry ได้รับการแก้ไขโดยการพิจารณาระนาบต่างๆ ที่เป็นไปตามกฎ Planimetric

ในธรรมชาติรอบตัวเรามีวัตถุมากมายที่เป็นแบบจำลองทางกายภาพของรูปนี้ ตัวอย่างเช่น ชิ้นส่วนเครื่องจักรจำนวนมากมีรูปร่างเป็นทรงกระบอกหรือมีบางอย่างผสมกัน และเสาอันสง่างามของวัดและมหาวิหารที่สร้างขึ้นในรูปทรงทรงกระบอก เน้นย้ำถึงความกลมกลืนและความสวยงาม

กรีก − ไคลินดรอส คำโบราณ. ในชีวิตประจำวัน - กระดาษปาปิรัส, ลูกกลิ้ง, ลูกกลิ้ง (กริยา - บิด, ม้วน)

สำหรับ Euclid จะได้ทรงกระบอกโดยการหมุนสี่เหลี่ยม ใน Cavalieri - โดยการเคลื่อนไหวของ generatrix (พร้อมคำแนะนำโดยพลการ - "กระบอกสูบ")

จุดประสงค์ของบทความนี้คือเพื่อพิจารณารูปร่างทางเรขาคณิต - ทรงกระบอก

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จำเป็นต้องพิจารณางานต่อไปนี้:

− ให้คำจำกัดความของทรงกระบอก

− พิจารณาองค์ประกอบของทรงกระบอก

− ศึกษาคุณสมบัติของทรงกระบอก

− พิจารณาประเภทของส่วนกระบอกสูบ

- หาสูตรพื้นที่ทรงกระบอก

− หาสูตรปริมาตรของทรงกระบอก

− แก้ปัญหาโดยใช้ทรงกระบอก

1.1. ความหมายของกระบอกสูบ

ลองพิจารณาเส้นตรงบางเส้น (เส้นโค้ง ขาดหรือผสม) l อยู่ในระนาบ α และเส้นตรง S บางเส้นที่ตัดกันระนาบนี้ ผ่านทุกจุดของเส้นที่กำหนด l เราวาดเส้นตรงขนานกับเส้นตรง S; พื้นผิว α ที่เกิดจากเส้นตรงเหล่านี้เรียกว่าพื้นผิวทรงกระบอก เส้น l เรียกว่าเส้นบอกแนวของพื้นผิวนี้ เส้น s 1, s 2, s 3,... เป็นตัวกำเนิดของมัน

หากตัวนำหัก พื้นผิวทรงกระบอกดังกล่าวจะประกอบด้วยแถบแบนจำนวนหนึ่งที่อยู่ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานกัน และเรียกว่าพื้นผิวปริซึม แหล่งกำเนิดที่ผ่านจุดยอดของเส้นประนำทางเรียกว่าขอบของพื้นผิวปริซึม แถบแบนระหว่างพวกเขาคือใบหน้า

หากเราผ่าพื้นผิวทรงกระบอกใดๆ ด้วยระนาบที่ไม่ขนานกับเครื่องกำเนิด เราจะได้เส้นที่สามารถใช้เป็นแนวทางสำหรับพื้นผิวนี้ได้ ในบรรดาคำแนะนำ สิ่งที่โดดเด่นคือสิ่งที่ได้จากการตัดพื้นผิวด้วยระนาบตั้งฉากกับลักษณะทั่วไปของพื้นผิว ส่วนดังกล่าวเรียกว่าส่วนปกติ และคำแนะนำที่เกี่ยวข้องเรียกว่าคำแนะนำปกติ

หากเส้นนำเป็นเส้นปิด (นูน) (หักหรือโค้ง) พื้นผิวที่สอดคล้องกันจะเรียกว่าพื้นผิวปริซึมหรือทรงกระบอกปิด (นูน) พื้นผิวทรงกระบอกที่ง่ายที่สุดจะมีวงกลมเป็นตัวนำทางตามปกติ ให้เราวิเคราะห์พื้นผิวปริซึมนูนแบบปิดที่มีระนาบสองระนาบขนานกัน แต่ไม่ขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ในส่วนต่างๆ เราจะได้รูปหลายเหลี่ยมนูน ตอนนี้ส่วนหนึ่งของพื้นผิวปริซึมที่อยู่ระหว่างระนาบ α และ α" และแผ่นโพลิกอนสองแผ่นที่เกิดขึ้นในระนาบเหล่านี้จำกัดวัตถุที่เรียกว่าวัตถุปริซึม - ปริซึม

ตัวทรงกระบอก - ทรงกระบอกถูกกำหนดให้คล้ายกับปริซึม:
ทรงกระบอกคือวัตถุที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิวทรงกระบอกปิด (นูน) และที่ปลายด้วยฐานแบนขนานกัน 2 อัน ฐานทั้งสองของทรงกระบอกเท่ากัน และส่วนประกอบทั้งหมดของทรงกระบอกก็เท่ากันเช่นกัน กล่าวคือ ส่วนกำเนิดของพื้นผิวทรงกระบอกระหว่างระนาบของฐาน

ทรงกระบอก (แม่นยำยิ่งขึ้นคือทรงกระบอกทรงกลม) เป็นตัวเรขาคณิตที่ประกอบด้วยวงกลมสองวงที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและรวมกันโดยการแปลแบบขนานและส่วนทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของวงกลมเหล่านี้ (รูปที่ 1) .

วงกลมเรียกว่าฐานของทรงกระบอก และส่วนที่เชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของเส้นรอบวงของวงกลมเรียกว่าเครื่องกำเนิดของทรงกระบอก

เนื่องจากการแปลแบบขนานคือการเคลื่อนที่ ฐานของทรงกระบอกจึงเท่ากัน

เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน ระนาบจะเปลี่ยนเป็นระนาบขนาน (หรือเป็นระนาบขนานเอง) ดังนั้นฐานของทรงกระบอกจึงอยู่ในระนาบขนาน

เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน จุดต่างๆ จะถูกเลื่อนไปตามเส้นคู่ขนาน (หรือที่ตรงกัน) ด้วยระยะทางเท่ากัน ดังนั้นเครื่องกำเนิดของทรงกระบอกจึงขนานและเท่ากัน

พื้นผิวของทรงกระบอกประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยยีน

กระบอกสูบจะถูกเรียกว่าตรงหากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าตั้งฉากกับระนาบของฐาน

ทรงกระบอกตรงสามารถจินตนาการได้ว่าเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่อธิบายรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเมื่อหมุนรอบด้านเป็นแกน (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 − กระบอกตรง

ต่อไปนี้เราจะพิจารณาเฉพาะทรงกระบอกตรงเท่านั้น เรียกว่าทรงกระบอกเพื่อความกะทัดรัด

รัศมีของทรงกระบอกคือรัศมีของฐาน ความสูงของทรงกระบอกคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน แกนของทรงกระบอกเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางฐาน มันขนานกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า

ทรงกระบอกเรียกว่าด้านเท่ากันหมดถ้าความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน

ถ้าฐานของทรงกระบอกแบน (และระนาบที่บรรจุทรงกระบอกนั้นขนานกัน) แสดงว่าทรงกระบอกนั้นยืนอยู่บนระนาบ ถ้าฐานของทรงกระบอกที่ยืนอยู่บนระนาบตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์ แสดงว่าทรงกระบอกนั้นถูกเรียกว่าตรง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฐานของทรงกระบอกที่ยืนอยู่บนระนาบเป็นวงกลม เราก็จะพูดถึงทรงกระบอกทรงกลม (วงกลม) ถ้าเป็นรูปวงรี มันก็เป็นรูปวงรี

1. 3. ส่วนต่างๆ ของกระบอกสูบ

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบขนานกับแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 3, a) ทั้งสองด้านเป็นเครื่องกำเนิดกระบอกสูบ และอีกสองด้านเป็นคอร์ดขนานของฐาน

ก) ข)

วี) ช)

ข้าว. 3 – ส่วนของกระบอกสูบ

โดยเฉพาะสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นส่วนของแนวแกน นี่คือส่วนของทรงกระบอกที่มีระนาบผ่านแกนของมัน (รูปที่ 3, b)

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบขนานกับฐานจะเป็นวงกลม (รูปที่ 3, c)

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกที่มีระนาบไม่ขนานกับฐานและแกนเป็นรูปวงรี (รูปที่ 3 มิติ)

ทฤษฎีบท 1 ระนาบขนานกับระนาบของฐานของทรงกระบอกตัดกับพื้นผิวด้านข้างเป็นวงกลมเท่ากับเส้นรอบวงของฐาน

การพิสูจน์. ให้ β เป็นระนาบที่ขนานกับระนาบฐานของทรงกระบอก การแปลแบบขนานในทิศทางของแกนทรงกระบอก โดยรวมระนาบ β กับระนาบของฐานของทรงกระบอก รวมส่วนของพื้นผิวด้านข้างด้วยระนาบ β กับเส้นรอบวงของฐาน ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถือเป็นขีดจำกัดซึ่งพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอกมีแนวโน้มเมื่อจำนวนด้านของฐานของปริซึมนี้เพิ่มขึ้นอย่างไม่มีกำหนด

ทฤษฎีบท 2 พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับผลคูณของเส้นรอบวงของฐานและความสูงของมัน (ด้าน S.c = 2πRH โดยที่ R คือรัศมีของฐานของทรงกระบอก H คือ ความสูงของกระบอกสูบ)

ก) ข)
ข้าว. 4 − พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกระบอก

การพิสูจน์.

ให้ P n และ H เป็นเส้นรอบวงของฐานและความสูงของปริซึม n เหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในทรงกระบอก ตามลำดับ (รูปที่ 4, a) จากนั้นพื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมนี้คือด้าน Sc − P n H สมมติว่าจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในฐานจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด (รูปที่ 4, b) จากนั้นเส้นรอบวง P n มีแนวโน้มไปที่เส้นรอบวง C = 2πR โดยที่ R คือรัศมีของฐานของทรงกระบอก และความสูง H จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของปริซึมจึงมีแนวโน้มอยู่ที่ขีดจำกัด 2πRH กล่าวคือ พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับด้าน S c = 2πRH ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

พื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกคือผลรวมของพื้นที่ผิวด้านข้างและฐานทั้งสอง พื้นที่แต่ละฐานของทรงกระบอกเท่ากับ πR 2 ดังนั้น พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก S รวมจึงคำนวณได้จากสูตร S side.c = 2πRH+ 2πR 2

ร

ที 1

ต

เอฟ

ฉ 1

เอฟ

ต

ก)

เอฟ

ข)

ข้าว. 5 − พื้นที่ผิวรวมของทรงกระบอก

หากพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกถูกตัดไปตาม generatrix FT (รูปที่ 5, a) และกางออกเพื่อให้เครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกันด้วยเหตุนี้เราจึงได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า FTT1F1 ซึ่งเรียกว่าการพัฒนาของ พื้นผิวด้านข้างของกระบอกสูบ ด้าน FF1 ของสี่เหลี่ยมคือการพัฒนาของวงกลมของฐานของทรงกระบอก ดังนั้น FF1=2πR และด้าน FT เท่ากับเจเนราทริกซ์ของทรงกระบอก นั่นคือ FT = H (รูปที่ 5, b) ดังนั้น พื้นที่ FT∙FF1=2πRH ของการพัฒนาทรงกระบอกจึงเท่ากับพื้นที่ผิวด้านข้าง

1.5. ปริมาตรกระบอกสูบ

หากตัวเรขาคณิตนั้นเรียบง่าย นั่นคือสามารถแบ่งออกเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมจำนวนจำกัดได้ ปริมาตรของมันจะเท่ากับผลรวมของปริมาตรของปิรามิดเหล่านี้ สำหรับเนื้อหาโดยพลการจะมีการกำหนดปริมาตรดังนี้

ตัววัตถุที่กำหนดจะมีปริมาตร V หากมีตัววัตถุธรรมดาบรรจุอยู่และมีวัตถุธรรมดาอยู่ในนั้นโดยมีปริมาตรแตกต่างจาก V เพียงเล็กน้อยตามที่ต้องการ

ให้เราใช้คำจำกัดความนี้เพื่อค้นหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีฐาน R และความสูง H

เมื่อหาสูตรสำหรับพื้นที่ของวงกลม จะมีการสร้าง n-gons สองตัวขึ้นมา (อันหนึ่งมีวงกลม อีกอันอยู่ในวงกลม) เพื่อให้พื้นที่ของพวกมันเพิ่มขึ้น n อย่างไม่จำกัด เข้าใกล้พื้นที่ วงกลมไม่มีขอบเขต เรามาสร้างรูปหลายเหลี่ยมสำหรับวงกลมที่ฐานของทรงกระบอกกันดีกว่า ให้ P เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีวงกลม และ P" เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในวงกลม (รูปที่ 6)

ข้าว. 7 − ทรงกระบอกที่มีปริซึมอธิบายและจารึกไว้ข้างใน

ให้เราสร้างปริซึมตรงสองอันที่มีฐาน P และ P" และมีความสูง H เท่ากับความสูงของทรงกระบอก ปริซึมอันแรกมีทรงกระบอก และปริซึมอันที่สองบรรจุอยู่ในทรงกระบอก เนื่องจาก n เพิ่มขึ้นไม่จำกัด พื้นที่ฐานของปริซึมเข้าใกล้พื้นที่ฐานของทรงกระบอก S อย่างไม่ จำกัด จากนั้นปริมาตรของพวกมันจะเข้าใกล้ SH อย่างไม่มีกำหนด ตามคำจำกัดความปริมาตรของทรงกระบอก

วี = SH = πR 2 ชม.

ดังนั้นปริมาตรของทรงกระบอกจึงเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานและความสูง

ภารกิจที่ 1

ส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ Q

หาพื้นที่ฐานทรงกระบอก

ให้ไว้: ทรงกระบอก, สี่เหลี่ยม - ส่วนแกนของกระบอกสูบ, S สี่เหลี่ยม = Q

ค้นหา: S กระบอกสูบหลัก

ด้านข้างของจัตุรัสคือ มันเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน ดังนั้นพื้นที่ฐานจึงเป็น .

คำตอบ: S กระบอกสูบหลัก -

ภารกิจที่ 2

ปริซึมหกเหลี่ยมปกติจะถูกจารึกไว้ในทรงกระบอก หามุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างกับแกนของทรงกระบอก ถ้ารัศมีของฐานเท่ากับความสูงของทรงกระบอก

ให้ไว้: ทรงกระบอก ปริซึมหกเหลี่ยมธรรมดาที่จารึกไว้ในทรงกระบอก รัศมีฐาน = ความสูงของทรงกระบอก

ค้นหา: มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของพื้นผิวด้านข้างกับแกนของกระบอกสูบ

วิธีแก้: ใบหน้าข้างของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เนื่องจากด้านของรูปหกเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้ในวงกลมจะมีรัศมีเท่ากับรัศมี

ขอบของปริซึมขนานกับแกนทรงกระบอก ดังนั้นมุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าตัดกับแกนทรงกระบอกจึงเท่ากับมุมระหว่างเส้นทแยงมุมกับขอบด้านข้าง และมุมนี้คือ 45° เนื่องจากหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม

คำตอบ: มุมระหว่างเส้นทแยงมุมของหน้าด้านข้างกับแกนของทรงกระบอก = 45°

ภารกิจที่ 3

ความสูงของทรงกระบอก 6 ซม. รัศมีฐาน 5 ซม.

ค้นหาพื้นที่ของส่วนที่วาดขนานกับแกนของทรงกระบอกที่ระยะห่าง 4 ซม.

ให้ไว้: H = 6 ซม., R = 5 ซม., OE = 4 ซม.

ค้นหา: วินาที

ส วินาที = กม.×KS,

OE = 4 ซม., KS = 6 ซม.

สามเหลี่ยม OKM - หน้าจั่ว (OK = OM = R = 5 ซม.)

สามเหลี่ยม OEK เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากสามเหลี่ยม OEK ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

กม. = 2EK = 2×3 = 6,

ส วินาที = 6×6 = 36 ซม.2.

วัตถุประสงค์ของบทความนี้ได้บรรลุผลแล้ว โดยได้พิจารณาเนื้อหาทางเรขาคณิต เช่น ทรงกระบอกแล้ว

งานต่อไปนี้ได้รับการพิจารณา:

− ให้นิยามของทรงกระบอกไว้

- พิจารณาองค์ประกอบของทรงกระบอก

− ศึกษาคุณสมบัติของทรงกระบอก

- พิจารณาประเภทของส่วนกระบอกสูบ

− จะได้สูตรสำหรับพื้นที่ของทรงกระบอก

− จะได้สูตรปริมาตรของทรงกระบอก

− แก้ไขปัญหาโดยใช้กระบอกสูบ

1. Pogorelov A.V. Geometry: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาเกรด 10 - 11, 1995

2. เบสสกิน แอล.เอ็น. สเตอริโอเมทรี คู่มือครูระดับมัธยมศึกษา พ.ศ. 2542

3. Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Kiseleva L. S. , Poznyak E. G. Geometry: หนังสือเรียนสำหรับเกรด 10 - 11 ของสถาบันการศึกษา, 2000

4. อเล็กซานดรอฟ เอ.ดี., แวร์เนอร์ เอ.แอล., ริชิค วี.ไอ. เรขาคณิต: หนังสือเรียนเกรด 10-11 ในสถาบันการศึกษาทั่วไป, 2541

5. Kiselev A. P. , Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: เกรด 10 – 11: หนังสือเรียนและหนังสือปัญหา, 2000

ทรงกระบอกเป็นรูปทรงเชิงพื้นที่สมมาตร ซึ่งคุณสมบัติดังกล่าวได้รับการพิจารณาในโรงเรียนมัธยมศึกษาตอนปลายในหลักสูตร Stereometry ในการอธิบายจะใช้คุณลักษณะเชิงเส้น เช่น ความสูงและรัศมีของฐาน ในบทความนี้ เราจะพิจารณาคำถามเกี่ยวกับส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกคืออะไร และวิธีการคำนวณพารามิเตอร์ผ่านลักษณะเชิงเส้นพื้นฐานของรูป

รูปทรงเรขาคณิต

ขั้นแรก เรามากำหนดตัวเลขที่จะกล่าวถึงในบทความกันก่อน ทรงกระบอกคือพื้นผิวที่เกิดจากการเคลื่อนที่ขนานของส่วนที่มีความยาวคงที่ตามแนวโค้งที่กำหนด เงื่อนไขหลักสำหรับการเคลื่อนไหวนี้คือ ส่วนไม่ควรอยู่ในระนาบของเส้นโค้ง

รูปด้านล่างแสดงทรงกระบอกที่มีส่วนโค้ง (เส้นนำ) เป็นรูปวงรี

ในส่วนของความยาว h คือตัวกำเนิดและส่วนสูง

จะเห็นได้ว่าทรงกระบอกประกอบด้วยฐานสองฐานที่เหมือนกัน (วงรีในกรณีนี้) ซึ่งอยู่ในระนาบขนานกันและมีพื้นผิวด้านข้าง ส่วนหลังเป็นของทุกจุดของเส้นขึ้นรูป

ก่อนที่จะพิจารณาส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบ เราจะบอกคุณว่าตัวเลขเหล่านี้มีประเภทใดบ้าง

หากเส้นสร้างตั้งฉากกับฐานของรูป แสดงว่าเรากำลังพูดถึงทรงกระบอกตรง มิฉะนั้นกระบอกสูบจะเอียง หากคุณเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของฐานสองฐาน เส้นตรงที่ได้จะเรียกว่าแกนของรูป รูปด้านล่างแสดงความแตกต่างระหว่างกระบอกสูบแบบตรงและแบบเอียง

จะเห็นได้ว่าสำหรับรูปตรง ความยาวของเซ็กเมนต์การสร้างเกิดขึ้นพร้อมกับค่าความสูง h สำหรับทรงกระบอกเอียง ความสูงซึ่งก็คือระยะห่างระหว่างฐานจะน้อยกว่าความยาวของเส้นเจเนราทริกซ์เสมอ

ส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบตรง

แนวแกนคือส่วนใดๆ ของกระบอกสูบที่มีแกนอยู่ คำจำกัดความนี้หมายความว่าส่วนตามแนวแกนจะขนานกับเจเนราทริกซ์เสมอ

ในทรงกระบอกตรง แกนจะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตั้งฉากกับระนาบ ซึ่งหมายความว่าวงกลมที่พิจารณาจะตัดกันตามเส้นผ่านศูนย์กลาง รูปนี้แสดงครึ่งทรงกระบอก ซึ่งเป็นผลมาจากจุดตัดของรูปโดยมีระนาบผ่านแกน

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเข้าใจว่าส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกกลมตรงนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านข้างคือเส้นผ่านศูนย์กลาง d ของฐานและความสูง h ของรูป

ให้เราเขียนสูตรสำหรับพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกและความยาว h d ของเส้นทแยงมุม:

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีสองเส้นทแยงมุม แต่ทั้งสองเส้นจะเท่ากัน หากทราบรัศมีของฐานก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะเขียนสูตรเหล่านี้ใหม่โดยพิจารณาว่ามีเส้นผ่านศูนย์กลางเพียงครึ่งหนึ่ง

ส่วนตามแนวแกนของกระบอกสูบแบบเอียง

ภาพด้านบนแสดงทรงกระบอกเอียงที่ทำจากกระดาษ หากคุณสร้างส่วนตามแนวแกน คุณจะไม่ได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกต่อไป แต่เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านข้างเป็นปริมาณที่ทราบ หนึ่งในนั้นเช่นเดียวกับในกรณีของหน้าตัดของทรงกระบอกตรงนั้นมีค่าเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง d ของฐานส่วนอีกอันคือความยาวของส่วนที่ขึ้นรูป ลองแสดงว่ามัน b.

หากต้องการระบุพารามิเตอร์ของสี่เหลี่ยมด้านขนานอย่างชัดเจน การทราบความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นไม่เพียงพอที่จะทราบได้ จำเป็นต้องมีมุมอื่นระหว่างพวกเขา สมมติว่ามุมแหลมระหว่างไกด์กับฐานคือ α นี่จะเป็นมุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย จากนั้นสามารถเขียนสูตรสำหรับพื้นที่หน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกเอียงได้ดังนี้:

เส้นทแยงมุมของส่วนตามแนวแกนของทรงกระบอกเอียงนั้นค่อนข้างยากในการคำนวณ สี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุมสองเส้นที่มีความยาวต่างกัน เรานำเสนอนิพจน์ที่ไม่มีรากศัพท์ซึ่งทำให้เราสามารถคำนวณเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้ด้านที่ทราบและมุมแหลมระหว่างพวกมัน:

ลิตร 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

ลิตร 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

โดยที่ l 1 และ l 2 คือความยาวของเส้นทแยงมุมเล็กและใหญ่ตามลำดับ สูตรเหล่านี้สามารถรับได้โดยอิสระหากเราพิจารณาแต่ละเส้นทแยงมุมเป็นเวกเตอร์โดยการใช้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ

ปัญหากระบอกสูบตรง

เราจะแสดงวิธีใช้ความรู้ที่ได้รับเพื่อแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ ให้เราได้รับกระบอกตรงกลม เป็นที่ทราบกันว่าหน้าตัดตามแนวแกนของทรงกระบอกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ของส่วนนี้คือเท่าใดถ้าทั้งร่างคือ 100 ซม. 2?

ในการคำนวณพื้นที่ที่ต้องการ คุณต้องค้นหารัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของทรงกระบอก ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรสำหรับพื้นที่รวม S f ของรูป:

เนื่องจากส่วนตามแนวแกนเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หมายความว่ารัศมี r ของฐานคือครึ่งหนึ่งของความสูง h เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราสามารถเขียนความเท่าเทียมกันข้างต้นใหม่ได้เป็น:

ส ฉ = 2*ไพ*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

ตอนนี้เราสามารถแสดงรัศมี r ได้ เรามี:

เนื่องจากด้านข้างของส่วนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานของรูป สูตรต่อไปนี้จึงใช้คำนวณพื้นที่ S ได้:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

เราจะเห็นว่าพื้นที่ที่ต้องการนั้นถูกกำหนดโดยพื้นที่ผิวของกระบอกสูบโดยเฉพาะ เมื่อแทนที่ข้อมูลด้วยความเท่าเทียมกันเราจะได้คำตอบ: S = 21.23 ซม. 2