ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติคำนวณโดยใช้สูตร รูปหลายเหลี่ยมนูน

อนุญาต ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนดและ n > 3 จากนั้นเราวาดเส้นทแยงมุม n-3 จากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดยอดตรงข้าม: เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมนูนออกมา เส้นทแยงมุมเหล่านี้จึงแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม n - 2 รูป: ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมคือผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้ ผลรวมของมุมในแต่ละสามเหลี่ยมคือ 180° และจำนวนสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ n-2 ดังนั้น ผลรวมของมุมของ n-gon คือ 180°(n-2) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว ความคิดเห็น สำหรับ n-gon ที่ไม่นูน ผลรวมของมุมจะเป็น 180°(n-2) การพิสูจน์จะคล้ายกัน แต่ใช้บทแทรกเพิ่มเติมว่ารูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถตัดเป็นเส้นทแยงมุมให้เป็นสามเหลี่ยมได้ หมายเหตุ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมรูปหลายเหลี่ยมไม่ถือเป็นรูปหลายเหลี่ยมบนทรงกลม (หรือบนระนาบอื่นๆ ที่บิดเบี้ยว ยกเว้นในบางกรณี) ดูรูปทรงที่ไม่ใช่แบบยุคลิดสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูสิ่งนี้ด้วย มูลนิธิวิกิมีเดีย 2010. ดูว่า "ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร: สามเหลี่ยม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิตแบบยุคลิด อ้างว่า... วิกิพีเดีย - ... วิกิพีเดีย ระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันมีสัดส่วนเท่ากัน เป็นทางการมากขึ้น: ให้ P และ Q เป็นรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เดียวกัน จากนั้นจึงสามารถตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมตามความเหมาะสม และสำหรับ ... วิกิพีเดียใดๆ สามเหลี่ยม ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเป็นทฤษฎีบทคลาสสิกของเรขาคณิตแบบยุคลิด อ้างว่า... วิกิพีเดีย ทฤษฎีบทของ Bolyai Gerwin กล่าวว่ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปใดๆ ที่มีพื้นที่เท่ากันจะเท่ากันทุกประการ เป็นทางการมากขึ้น: ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เดียวกัน จากนั้นจึงสามารถตัดเป็นรูปหลายเหลี่ยมตามความเหมาะสม และสำหรับ... ... วิกิพีเดีย

คำนี้มีความหมายอื่น ดูที่ สามเหลี่ยม (ความหมาย) สามเหลี่ยม (ในปริภูมิแบบยุคลิด) เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน สามจุด,... ...วิกิพีเดีย

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อรับข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้น
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

รูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยส่วน AB,BC,CD, .., EF, FA ในลักษณะที่ส่วนที่ติดกันไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน และส่วนที่ไม่ติดกันไม่มีจุดร่วม เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม จุดสิ้นสุดของกลุ่มเหล่านี้เรียกว่าจุด A, B, C, D, ..., E, F ยอดเขารูปหลายเหลี่ยมและกลุ่ม AB, BC, CD, .., EF, FA นั่นเอง ฝ่ายรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่านูนหากอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละเส้นที่ลากผ่านจุดยอดที่อยู่ติดกันสองจุด รูปด้านล่างแสดงรูปหลายเหลี่ยมนูน:

และรูปต่อไปนี้แสดงรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่นูน:

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดจากด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดยอดที่กำหนด มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดหนึ่งคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดที่กำหนด

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนคือ 180° *(n-2)

พิสูจน์: พิจารณา n-gon ที่นูน หากต้องการหาผลรวมของมุมภายในทั้งหมด ให้เชื่อมต่อจุดยอดจุดหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมกับจุดยอดอื่นๆ

ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยม (n-2) เป็นที่รู้กันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180 องศา และเนื่องจากจำนวนของมันในรูปหลายเหลี่ยมคือ (n-2) ดังนั้นผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมจึงเท่ากับ 180˚ * (n-2) นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

งาน:

ค้นหาผลรวมของมุมของมุมนูน ก) ห้าเหลี่ยม ข) หกเหลี่ยม ค) สิบเหลี่ยม

ลองใช้สูตรคำนวณผลรวมของมุมของ n-gon ที่นูนออกมา

ก) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚

ข) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚

ค) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚

คำตอบ: ก) 540˚ ข) 720˚ ค) 1440˚

รูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้ล้อมรอบเราทุกที่ รูปหลายเหลี่ยมนูนอาจเป็นรูปธรรมชาติ เช่น รวงผึ้ง หรือรูปหลายเหลี่ยมเทียม (ที่มนุษย์สร้างขึ้น) ตัวเลขเหล่านี้ใช้ในการผลิตสารเคลือบ การทาสี สถาปัตยกรรม เครื่องประดับ ฯลฯ ประเภทต่างๆ รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติที่จุดทั้งหมดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงที่ตัดผ่านจุดยอดคู่หนึ่งที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้ มีคำจำกัดความอื่น ๆ รูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในระนาบครึ่งระนาบเดียวโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงใดๆ ที่มีด้านใดด้านหนึ่ง

ในหลักสูตรเรขาคณิตระดับประถมศึกษา จะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเท่านั้น เพื่อให้เข้าใจคุณสมบัติทั้งหมดดังกล่าวจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของมัน อันดับแรก คุณควรเข้าใจว่าเส้นใดๆ ที่จุดสิ้นสุดตรงกันเรียกว่าปิด นอกจากนี้รูปร่างที่เกิดขึ้นจากมันสามารถมีการกำหนดค่าได้หลากหลาย รูปหลายเหลี่ยมคือเส้นขาดแบบปิดธรรมดาซึ่งลิงก์ข้างเคียงไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จุดเชื่อมต่อและจุดยอดของมันคือด้านข้างและจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามลำดับ เส้นโพลีไลน์ธรรมดาไม่ควรมีจุดตัดกันเอง

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าจุดติดกันหากเป็นจุดยอดของด้านใดด้านหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอดเป็นจำนวนที่ n และมีจำนวนด้านเป็นจำนวนที่ n เรียกว่า n-gon เส้นแบ่งนั้นเรียกว่าขอบเขตหรือรูปร่างของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ระนาบรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปหลายเหลี่ยมแบนคือส่วนจำกัดของระนาบใดๆ ที่ล้อมรอบด้วยระนาบนั้น ด้านที่อยู่ติดกันของรูปทรงเรขาคณิตนี้คือส่วนของเส้นขาดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่ง พวกมันจะไม่อยู่ติดกันหากมาจากจุดยอดที่แตกต่างกันของรูปหลายเหลี่ยม

คำจำกัดความอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในเรขาคณิตเบื้องต้น มีคำจำกัดความอีกหลายประการที่มีความหมายเทียบเท่ากัน ซึ่งระบุว่ารูปหลายเหลี่ยมใดเรียกว่านูน ยิ่งกว่านั้นสูตรทั้งหมดนี้เป็นจริงอย่างเท่าเทียมกัน รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่านูนถ้า:

ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดภายในนั้นจะอยู่ภายในนั้นทั้งหมด

เส้นทแยงมุมทั้งหมดอยู่ภายในนั้น

มุมภายในใดๆ จะต้องไม่เกิน 180°

รูปหลายเหลี่ยมจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วนเสมอ อันหนึ่งมีจำนวนจำกัด (สามารถล้อมเป็นวงกลมได้) และอีกอันไม่จำกัด อันแรกเรียกว่าขอบเขตภายใน และอันที่สองคือขอบเขตภายนอกของรูปทรงเรขาคณิตนี้ รูปหลายเหลี่ยมนี้คือจุดตัด (หรืออีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบร่วม) ของระนาบครึ่งระนาบหลายอัน ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละส่วนที่สิ้นสุดที่จุดที่เป็นของรูปหลายเหลี่ยมจะเป็นของมันโดยสมบูรณ์

ความหลากหลายของรูปหลายเหลี่ยมนูน

คำจำกัดความของรูปหลายเหลี่ยมนูนไม่ได้ระบุว่ามีหลายประเภท นอกจากนี้แต่ละคนยังมีเกณฑ์ที่แน่นอน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมนูนที่มีมุมภายในเท่ากับ 180° จึงเรียกว่านูนแบบอ่อน รูปทรงเรขาคณิตนูนที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่าสามเหลี่ยม สี่ - รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ห้า - ห้าเหลี่ยม ฯลฯ n-gons นูนแต่ละอันมีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนดที่สำคัญที่สุดต่อไปนี้: n ต้องเท่ากับหรือมากกว่า 3 แต่ละค่า ของรูปสามเหลี่ยมนูนออกมา รูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้ซึ่งมีจุดยอดทั้งหมดอยู่ในวงกลมเดียวกัน เรียกว่าจารึกไว้ในวงกลม รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่า circumscribed ถ้าทุกด้านใกล้กับวงกลมสัมผัสกัน กล่าวกันว่ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันทุกประการก็ต่อเมื่อสามารถนำรูปหลายเหลี่ยมมารวมกันได้โดยการซ้อนทับกัน รูปหลายเหลี่ยมระนาบคือระนาบรูปหลายเหลี่ยม (ส่วนหนึ่งของระนาบ) ที่ถูกจำกัดด้วยรูปทรงเรขาคณิตนี้

รูปหลายเหลี่ยมนูนปกติ

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีมุมและด้านเท่ากัน ข้างในมีจุด 0 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดแต่ละจุดเท่ากัน เรียกว่าศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดศูนย์กลางกับจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าอะโพเธม และส่วนที่เชื่อมต่อจุด 0 กับด้านข้างเรียกว่ารัศมี

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยมปกติเรียกว่าด้านเท่ากันหมด สำหรับตัวเลขดังกล่าว มีกฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีค่าเท่ากับ 180° * (n-2)/ n

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนูนนี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ p เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด และ h เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากใน

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมนูน

รูปหลายเหลี่ยมนูนมีคุณสมบัติบางอย่าง ดังนั้นส่วนที่เชื่อมต่อ 2 จุดใด ๆ ของรูปทรงเรขาคณิตจึงจำเป็นต้องอยู่ในนั้น การพิสูจน์:

สมมติว่า P คือรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด เราใช้จุดใดก็ได้ตามใจชอบ 2 จุด เช่น A, B ซึ่งเป็นของ P ตามคำจำกัดความที่มีอยู่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน จุดเหล่านี้จะอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นซึ่งมีด้านใดด้านหนึ่งของ P ดังนั้น AB ก็เช่นกัน มีคุณสมบัตินี้และอยู่ใน P รูปหลายเหลี่ยมนูนมักจะสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปได้โดยมีเส้นทแยงมุมทั้งหมดที่ดึงมาจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง

มุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านข้าง มุมภายในจะอยู่ในพื้นที่ภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด มุมที่เกิดจากด้านข้างมาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่งเรียกว่ามุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ด้วยมุมภายในของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนดเรียกว่าภายนอก แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่อยู่ภายในจะเท่ากับ:

โดยที่ x คือขนาดของมุมภายนอก สูตรง่ายๆ นี้ใช้กับรูปทรงเรขาคณิตประเภทนี้ได้

โดยทั่วไป สำหรับมุมภายนอก ให้ใช้กฎต่อไปนี้: แต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับความแตกต่างระหว่าง 180° กับขนาดของมุมภายใน สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ -180° ถึง 180° ดังนั้น เมื่อมุมภายในเป็น 120° มุมภายนอกจะเป็น 60°

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนถูกกำหนดโดยสูตร:

โดยที่ n คือจำนวนจุดยอดของ n-gon

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนนั้นคำนวณได้ง่ายมาก พิจารณารูปทรงเรขาคณิตใดๆ ดังกล่าว ในการหาผลรวมของมุมภายในรูปหลายเหลี่ยมนูน คุณต้องเชื่อมต่อจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดยอดอื่นๆ จากการกระทำนี้ จะได้รูปสามเหลี่ยม (n-2) เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากับ 180° เสมอ เนื่องจากจำนวนในรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คือ (n-2) ผลรวมของมุมภายในของรูปนั้นจึงเท่ากับ 180° x (n-2)

ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งก็คือมุมภายนอกสองมุมภายในและมุมภายนอกที่อยู่ติดกัน สำหรับรูปทรงเรขาคณิตนูนที่กำหนดจะเท่ากับ 180° เสมอ จากข้อมูลนี้ เราสามารถหาผลรวมของมุมทั้งหมดได้:

ผลรวมของมุมภายในคือ 180° * (n-2) จากนี้ ผลรวมของมุมภายนอกทั้งหมดของรูปที่กำหนดจะถูกกำหนดโดยสูตร:

180° * n-180°-(n-2)= 360°

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะเป็น 360° เสมอ (โดยไม่คำนึงถึงจำนวนด้าน)

โดยทั่วไปมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะแสดงด้วยความแตกต่างระหว่าง 180° และค่าของมุมภายใน

คุณสมบัติอื่นของรูปหลายเหลี่ยมนูน

นอกจากคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้แล้ว ยังมีคุณสมบัติอื่นๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อจัดการกับมันอีกด้วย ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมใดๆ จึงสามารถแบ่งออกเป็น n-gons นูนหลายๆ รูปได้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องดำเนินการต่อแต่ละด้านแล้วตัดรูปทรงเรขาคณิตนี้ตามเส้นตรงเหล่านี้ นอกจากนี้ยังสามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นส่วนนูนหลายๆ ส่วนเพื่อให้จุดยอดของแต่ละส่วนตรงกับจุดยอดทั้งหมด จากรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว คุณสามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ง่ายๆ โดยการลากเส้นทแยงมุมทั้งหมดจากจุดยอดจุดเดียว ดังนั้นในที่สุดรูปหลายเหลี่ยมใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนหนึ่งได้ในที่สุด ซึ่งกลายเป็นว่ามีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าว

เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนูน

ส่วนของเส้นขาดที่เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมมักแสดงด้วยตัวอักษรต่อไปนี้: ab, bc, cd, de, ea เหล่านี้คือด้านของรูปทรงเรขาคณิตที่มีจุดยอด a, b, c, d, e ผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนนี้เรียกว่าเส้นรอบรูป

วงกลมของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนสามารถจารึกหรือจำกัดขอบเขตได้ วงกลมที่สัมผัสทุกด้านของรูปทรงเรขาคณิตนี้เรียกว่าถูกจารึกไว้ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่า circumscribed จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปหลายเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของทุกมุมภายในรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมดังกล่าวเท่ากับ:

โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ และ p คือกึ่งปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด

วงกลมที่มีจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า วงกลมล้อมรอบมัน ในกรณีนี้ รูปทรงเรขาคณิตนูนนี้เรียกว่าจารึกไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งอธิบายไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมดังกล่าว คือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของทุกด้าน

เส้นทแยงมุมของรูปทรงเรขาคณิตนูน

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกัน แต่ละอันอยู่ภายในรูปทรงเรขาคณิตนี้ จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon นั้นถูกกำหนดโดยสูตร:

ยังไม่มีข้อความ = n (n - 3)/ 2.

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตเบื้องต้น จำนวนรูปสามเหลี่ยม (K) ที่สามารถแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนแต่ละรูปได้คำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดเสมอ

การแบ่งพาร์ติชันรูปหลายเหลี่ยมนูน

ในบางกรณี ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต จำเป็นต้องแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนูนออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปโดยไม่มีเส้นทแยงมุมที่ไม่ตัดกัน ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการหาสูตรบางอย่าง

คำจำกัดความของปัญหา: ให้เราเรียกส่วนที่ถูกต้องของ n-gon ที่นูนออกมาให้กลายเป็นสามเหลี่ยมหลายรูปที่มีเส้นทแยงมุมตัดกันที่จุดยอดของรูปทรงเรขาคณิตนี้เท่านั้น

วิธีแก้: สมมุติว่า P1, P2, P3..., Pn คือจุดยอดของ n-gon นี้ หมายเลข Xn คือจำนวนพาร์ติชัน ให้เราพิจารณาเส้นทแยงมุมผลลัพธ์ของรูปทรงเรขาคณิต Pi Pn อย่างรอบคอบ ในพาร์ติชั่นปกติใดๆ P1 Pn เป็นของสามเหลี่ยม P1 Pi Pn ซึ่งมี 1

ให้ i = 2 เป็นกลุ่มหนึ่งของพาร์ติชันปกติ โดยจะมี P2 Pn ในแนวทแยงเสมอ จำนวนพาร์ติชั่นที่รวมอยู่ในนั้นตรงกับจำนวนพาร์ติชั่นของ (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันเท่ากับ Xn-1

ถ้า i = 3 แล้วพาร์ติชันอีกกลุ่มนี้จะมีเส้นทแยงมุม P3 P1 และ P3 Pn เสมอ ในกรณีนี้ จำนวนพาร์ติชันปกติที่อยู่ในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชันของ (n-2)-gon P3 P4... Pn กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเท่ากับ Xn-2

ให้ i = 4 จากนั้นในบรรดาสามเหลี่ยมนั้น ฉากกั้นที่ถูกต้องจะมีสามเหลี่ยม P1 P4 Pn อย่างแน่นอน ซึ่งจะอยู่ติดกับรูปสี่เหลี่ยม P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5... Pn จำนวนพาร์ติชันปกติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือ X4 และจำนวนพาร์ติชันของ (n-3)-gon คือ Xn-3 จากทั้งหมดข้างต้น เราสามารถพูดได้ว่าจำนวนพาร์ติชันปกติทั้งหมดที่อยู่ในกลุ่มนี้เท่ากับ Xn-3 X4 กลุ่มอื่นๆ ที่ i = 4, 5, 6, 7... จะมี Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... พาร์ติชันปกติ

ให้ i = n-2 จากนั้นจำนวนพาร์ติชั่นที่ถูกต้องในกลุ่มนี้จะตรงกับจำนวนพาร์ติชั่นในกลุ่มที่ i=2 (หรืออีกนัยหนึ่งคือเท่ากับ Xn-1)

เนื่องจาก X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... ดังนั้น จำนวนพาร์ติชันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมนูนจะเท่ากับ:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

จำนวนพาร์ติชันปกติที่ตัดกันภายในเส้นทแยงมุมหนึ่งอัน

เมื่อตรวจสอบกรณีเฉพาะ อาจสันนิษฐานได้ว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gons ที่นูนออกมาจะเท่ากับผลคูณของพาร์ติชันทั้งหมดของรูปนี้ลงใน (n-3)

ข้อพิสูจน์สมมติฐานนี้: ลองจินตนาการว่า P1n = Xn * (n-3) จากนั้น n-gon ใดๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็น (n-2)-สามเหลี่ยมได้ ยิ่งกว่านั้น (n-3) สามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ นอกจากนี้แต่ละรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็จะมีเส้นทแยงมุมด้วย เนื่องจากรูปเรขาคณิตนูนนี้สามารถวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นได้ ซึ่งหมายความว่าสามารถวาดเส้นทแยงมุมเพิ่มเติม (n-3) ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (n-3) ใดก็ได้ จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าในพาร์ติชันปกติใด ๆ เป็นไปได้ที่จะวาด (n-3) - เส้นทแยงมุมที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหานี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน

บ่อยครั้งเมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเบื้องต้น จำเป็นต้องกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูน สมมติว่า (Xi. Yi) i = 1,2,3... n เป็นลำดับพิกัดของจุดยอดที่อยู่ติดกันทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่มีจุดตัดในตัวมันเอง ในกรณีนี้พื้นที่จะคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1))

โดยที่ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1)

มุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมที่เกิดจากด้านสองด้านที่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น ∠ เอบีซีเป็นมุมภายใน

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมคือมุมที่เกิดจากด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมและต่อเนื่องกันของอีกด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ∠ แอล.บี.ซี.เป็นมุมภายนอก

จำนวนมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับจำนวนด้านเสมอ สิ่งนี้ใช้ได้กับมุมทั้งภายในและภายนอก แม้ว่ามุมภายนอกแต่ละมุมจะเท่ากันสามารถสร้างขึ้นได้สำหรับแต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม แต่จะคำนึงถึงมุมภายนอกเพียงมุมเดียวเท่านั้น ดังนั้น หากต้องการหาจำนวนมุมของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ คุณจะต้องนับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมนั้น

ผลรวมของมุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับผลคูณของ 180° และจำนวนด้านลบด้วยสอง

ส = 2ง(n - 2)

ที่ไหน สคือผลรวมของมุม 2 ง- สองมุมขวา (นั่นคือ 2 90 = 180°) และ n- จำนวนด้าน

ถ้าเราวาดจากด้านบน กรูปหลายเหลี่ยม เอบีซีดีเอฟเส้นทแยงมุมที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากนั้นเราแบ่งมันออกเป็นรูปสามเหลี่ยม จำนวนที่จะน้อยกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม 2 อัน:

ดังนั้น ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ได้ทั้งหมด เนื่องจากผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ 180° (2 ง) จากนั้นผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดจะเท่ากับผลคูณ 2 งตามปริมาณ:

ส = 2ง(n- 2) = 180 4 = 720°

จากสูตรนี้ ผลรวมของมุมภายในเป็นค่าคงที่และขึ้นอยู่กับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม

ผลรวมของมุมภายนอก

ผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนคือ 360° (หรือ 4 ง).

ส = 4ง

ที่ไหน สคือผลรวมของมุมภายนอก 4 ง- มุมขวาสี่มุม (นั่นคือ 4 90 = 360°)

ผลรวมของมุมภายนอกและภายในที่แต่ละจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมคือ 180° (2 ง) เนื่องจากเป็นมุมที่อยู่ติดกัน ตัวอย่างเช่น ∠ 1 และ ∠ 2 :

ดังนั้นหากรูปหลายเหลี่ยมมี nฝ่าย (และ nจุดยอด) จากนั้นจึงเป็นผลรวมของมุมภายนอกและภายในของมุมทั้งหมด nจุดยอดจะเท่ากับ 2 DN- แล้วจากจำนวนนี้ 2 DNเพื่อให้ได้เฉพาะผลรวมของมุมภายนอก คุณต้องลบผลรวมของมุมภายในออกนั่นคือ 2 ง(n - 2):

ส = 2DN - 2ง(n - 2) = 2DN - 2DN + 4ง = 4ง