ผลรวมของมุมสามมุมในรูปสามเหลี่ยม ขั้นของการดูดซึมความรู้ ความสามารถ ทักษะใหม่ๆ

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม

ผลรวม มุมสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°

การพิสูจน์:

• แดน สามเหลี่ยมเอบีซี.
• ผ่านจุดยอด B เราวาดเส้นตรง DK ขนานกับ AC ฐาน
• \angle CBK= \angle C เป็นเส้นขวางภายในที่มี DK และ AC ขนานกัน และมีเส้นตัด BC
• \angle DBA = \angle เส้นขวางภายในวางอยู่โดยมี DK \AC ขนานและเส้นตัด AB มุม DBK กลับด้านและเท่ากับ
• \มุม DBK = \มุม DBA + \มุม B + \มุม CBK
• เนื่องจากมุมที่กางออกมีค่าเท่ากับ 180 ^\circ และ \angle CBK = \angle C และ \angle DBA = \angle A เราจึงได้ 180 ^\circ = \มุม A + \มุม B + \มุม C

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม:

1. ผลรวม มุมที่คมชัด สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 90°.
2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มุมแหลมแต่ละมุมจะเท่ากับ 45°.
3. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ละมุมจะเท่ากัน 60°.
4. ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ มุมทุกมุมจะเป็นมุมแหลม หรือสองมุมจะเป็นมุมแหลม และมุมที่สามจะเป็นมุมป้านหรือมุมขวา
5. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมสอง มุมภายในไม่ได้อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุม 2 มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมซึ่งไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกนี้

การพิสูจน์:

• ให้สามเหลี่ยม ABC โดยที่ BCD คือ มุมภายนอก.
• \มุม BAC + \มุม ABC +\มุม BCA = 180^0
• จากมุมที่เท่ากัน \มุม BCD + \มุม BCA = 180^0
• เราได้รับ \มุม BCD = \มุม BAC+\มุม ABC

- (สไลด์ 1)

ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทางการศึกษา:
  • พิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยม
  • แสดงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในการแก้ปัญหา
• ทางการศึกษา:
  • ส่งเสริมทัศนคติที่ดีของนักเรียนต่อความรู้
  • ปลูกฝังความมั่นใจในตนเองให้กับนักเรียนผ่านบทเรียน
• พัฒนาการ:
  • การพัฒนา การคิดเชิงวิเคราะห์,
  • การพัฒนา “ทักษะการเรียนรู้” ใช้ความรู้ ทักษะ และความสามารถมา กระบวนการศึกษา,
  • การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะความสามารถในการกำหนดความคิดของคุณอย่างชัดเจน

อุปกรณ์:ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ การนำเสนอ การ์ด

ความก้าวหน้าของบทเรียน

ฉัน. ช่วงเวลาขององค์กร

– วันนี้ในชั้นเรียน เราจะจำคำจำกัดความของสามเหลี่ยมมุมฉาก หน้าจั่ว และสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้เราทำซ้ำคุณสมบัติของมุมของสามเหลี่ยม เมื่อใช้คุณสมบัติของมุมขวางด้านเดียวภายในและภายใน เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมและเรียนรู้วิธีนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

ครั้งที่สอง ปากเปล่า(สไลด์ 2)

1) ค้นหารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หน้าจั่ว สามเหลี่ยมด้านเท่าในภาพ
2) กำหนดรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้
3) กำหนดคุณสมบัติของมุมด้านเท่าและมุมด้านเท่า สามเหลี่ยมหน้าจั่ว.

4) ในภาพ KE II NH (สไลด์ 3)

– ระบุเซแคนต์สำหรับบรรทัดเหล่านี้
– หามุมด้านเดียวภายใน, มุมภายในที่วางขวาง, บอกคุณสมบัติของมัน

III. คำอธิบายของวัสดุใหม่

ทฤษฎีบท.ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

ตามการกำหนดของทฤษฎีบทพวกเขาสร้างภาพวาดเขียนเงื่อนไขและข้อสรุป โดยการตอบคำถาม พวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างอิสระ

ที่ให้ไว้: พิสูจน์:

การพิสูจน์:

1. เราวาดเส้นตรง BD II AC ผ่านจุดยอด B ของสามเหลี่ยม
2. ระบุเซแคนต์สำหรับเส้นคู่ขนาน
3. สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับมุม CBD และ ACB? (จดบันทึก)
4. เรารู้อะไรเกี่ยวกับมุม CAB และ ABD? (จดบันทึก)
5. แทนที่มุม CBD ด้วยมุม ACB
6. หาข้อสรุป

IV. จบประโยค.(สไลด์ 4)

1. ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ...
2. ในรูปสามเหลี่ยม มุมหนึ่งเท่ากัน อีกมุมที่สามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ...
3. ผลรวมของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ ...
4. มุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะเท่ากัน...
5. มุม สามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน...
6. ถ้ามุมระหว่างด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับ 1,000 มุมที่ฐานจะเท่ากัน...

V. ประวัติเล็กน้อย(สไลด์ที่ 5-7)

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมของสามเหลี่ยม “ผลรวมของภายใน มุมของสามเหลี่ยมเท่ากับสองมุมฉาก" มาจากปีทาโกรัส (580-500 ปีก่อนคริสตกาล)
Proclus นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ (ค.ศ. 410-485)

ทฤษฎีบทนี้ยังถูกจัดทำขึ้นในตำราเรียนของ L.S. Atanasyan อีกด้วย และในตำราเรียนของ Pogorelov A.V. - การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในหนังสือเรียนเหล่านี้ไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ ดังนั้นเราจึงนำเสนอข้อพิสูจน์จากหนังสือเรียนของ A.V.

ทฤษฎีบท: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมคือ 180°

การพิสูจน์. ให้เอบีซี - ให้รูปสามเหลี่ยม- ให้เราลากเส้นผ่านจุดยอด B ขนานกับเส้น AC ให้เราทำเครื่องหมายจุด D ไว้เพื่อให้จุด A และ D อยู่เคียงข้างกัน ด้านที่แตกต่างกันจากสายตรง BC (รูปที่ 6)

มุม DBC และ ACB เท่ากันกับมุมขวางภายใน ซึ่งเกิดจากเส้นตัด BC โดยมีเส้นตรงขนานกัน AC และ BD ดังนั้น ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมที่จุดยอด B และ C เท่ากับมุม ABD และผลรวมของมุมทั้งสามมุมของสามเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุม ABD และ BAC เนื่องจากมุมเหล่านี้เป็นมุมภายในด้านเดียวสำหรับ AC และ BD และซีแคนต์ AB ขนาน ผลรวมของมันคือ 180° ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

แนวคิดของการพิสูจน์นี้คือการดำเนินการ เส้นขนานและการกำหนดความเท่าเทียมกันของมุมที่ต้องการ ให้เราสร้างแนวคิดของการก่อสร้างเพิ่มเติมดังกล่าวขึ้นใหม่โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้โดยใช้แนวคิดของการทดลองทางความคิด การพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การทดลองทางความคิด ดังนั้น หัวข้อของการทดลองทางความคิดของเราคือมุมของสามเหลี่ยม ขอให้เราวางจิตใจเขาไว้ในสภาวะที่สามารถเปิดเผยแก่นแท้ของเขาได้อย่างแน่นอน (ระยะที่ 1)

เงื่อนไขดังกล่าวจะเป็นการจัดเรียงมุมของสามเหลี่ยมโดยที่จุดยอดทั้งสามจะรวมกันที่จุดเดียว การรวมกันดังกล่าวเป็นไปได้หากเราอนุญาตให้ "เคลื่อนย้าย" มุมโดยการเลื่อนด้านข้างของสามเหลี่ยมโดยไม่เปลี่ยนมุมเอียง (รูปที่ 1) การเคลื่อนไหวดังกล่าวถือเป็นการเปลี่ยนแปลงทางจิตในภายหลัง (ระยะที่ 2)

ด้วยการกำหนดมุมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 2) มุมที่ได้รับจากการ "เคลื่อนที่" จึงสร้างสภาพแวดล้อมทางจิตใจ ซึ่งเป็นระบบการเชื่อมโยงที่เราวางหัวข้อความคิดของเรา (ระยะที่ 3)

เส้น AB "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น BC และไม่เปลี่ยนมุมเอียง ถ่ายโอนมุม 1 ไปยังมุม 5 และ "เคลื่อนที่" ไปตามเส้น AC ถ่ายโอนมุม 2 ไปยังมุม 4 เนื่องจากด้วยเส้น "การเคลื่อนไหว" AB ไม่เปลี่ยนมุมเอียงเป็นเส้น AC และ BC ดังนั้นข้อสรุปก็ชัดเจน: รังสี a และ a1 ขนานกับ AB และเปลี่ยนรูปเป็นกันและกัน และรังสี b และ b1 เป็นความต่อเนื่องของด้าน BC และ AC ตามลำดับ เนื่องจากมุม 3 และมุมระหว่างรังสี b และ b1 เป็นแนวตั้ง พวกมันจึงเท่ากัน ผลรวมของมุมเหล่านี้เท่ากับมุมที่หมุน aa1 ซึ่งหมายถึง 180°

บทสรุป

ใน งานประกาศนียบัตรดำเนินการพิสูจน์ "สร้าง" ของโรงเรียนบางแห่ง ทฤษฎีบทเรขาคณิตโดยใช้โครงสร้างของการทดลองทางความคิดซึ่งยืนยันสมมติฐานที่ตั้งไว้

หลักฐานที่นำเสนอมีพื้นฐานอยู่บนอุดมคติทางการมองเห็นและประสาทสัมผัส เช่น "การบีบอัด" "การยืด" "การเลื่อน" ซึ่งทำให้สามารถเปลี่ยนแปลงต้นฉบับได้ วัตถุทางเรขาคณิตและเน้นคุณลักษณะที่สำคัญซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับการทดลองทางความคิด ในเวลาเดียวกัน การทดลองทางความคิดทำหน้าที่เป็น "เครื่องมือสร้างสรรค์" บางอย่างที่ก่อให้เกิดความรู้ทางเรขาคณิต (เช่น เกี่ยวกับ เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมูหรือประมาณมุมของสามเหลี่ยม) อุดมคติดังกล่าวทำให้สามารถเข้าใจแนวคิดทั้งหมดของการพิสูจน์ได้แนวคิดในการดำเนินการ "การก่อสร้างเพิ่มเติม" ซึ่งช่วยให้เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความเป็นไปได้ของความเข้าใจที่มีสติมากขึ้นโดยเด็กนักเรียนเกี่ยวกับกระบวนการพิสูจน์แบบนิรนัยอย่างเป็นทางการ ทฤษฎีบทเรขาคณิต

การทดลองทางความคิดเป็นหนึ่งใน วิธีการพื้นฐานการได้มาและการค้นพบทฤษฎีบทเรขาคณิต มีความจำเป็นต้องพัฒนาวิธีการถ่ายทอดวิธีการถ่ายทอดให้กับผู้เรียน ยังคงอยู่ คำถามเปิดเกี่ยวกับอายุของนักเรียนที่ยอมรับได้ในการ “รับ” วิธีการ ประมาณ “ ผลข้างเคียง» หลักฐานที่นำเสนอในลักษณะนี้

คำถามเหล่านี้ต้องการ การศึกษาเพิ่มเติม- แต่ไม่ว่าในกรณีใด มีสิ่งหนึ่งที่แน่นอน: การทดลองทางความคิดพัฒนาขึ้นในเด็กนักเรียน การคิดเชิงทฤษฎีเป็นพื้นฐานดังนั้นจึงจำเป็นต้องพัฒนาความสามารถในการทดลองทางจิต

ข้อมูลเบื้องต้น

ก่อนอื่น มาดูตรงแนวคิดของรูปสามเหลี่ยมกันก่อน

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกมันว่าสามเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 เราจะเรียกจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม

คำจำกัดความ 3

ภายในกรอบคำจำกัดความที่ 1 ส่วนต่างๆ จะถูกเรียกว่าด้านของรูปสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ ก็จะมีจุดยอด 3 จุดและมีด้าน 3 ด้านด้วย

ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ให้เราแนะนำและพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักข้อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยม ได้แก่ ทฤษฎีบทเรื่องผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตามคือ $180^\circ$

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $EGF$ ลองพิสูจน์ว่าผลรวมของมุมในสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $180^\circ$ มาสร้างโครงสร้างเพิ่มเติมกัน: วาดเส้นตรง $XY||EG$ (รูปที่ 2)

เนื่องจากเส้น $XY$ และ $EG$ ขนานกัน ดังนั้น $∠E=∠XFE$ จะวางแนวขวางที่เส้นตัด $FE$ และ $∠G=∠YFG$ จะอยู่ตามเส้นตัดขวางที่เส้นตัด $FG$

มุม $XFY$ จะถูกกลับรายการดังนั้นจึงเท่ากับ $180^\circ$

$∠XFY=∠XFE+∠F+∠YFG=180^\วงจร$

เพราะฉะนั้น

$∠E+∠F+∠G=180^\circ$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทมุมภายนอกของสามเหลี่ยม

อีกทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมถือได้ว่าเป็นทฤษฎีบทของมุมภายนอก ก่อนอื่น เรามาแนะนำแนวคิดนี้กันก่อน

คำจำกัดความที่ 4

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะเรียกว่ามุมที่จะอยู่ติดกับมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ให้เราพิจารณาทฤษฎีบทโดยตรง

ทฤษฎีบท 2

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลรวมของมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ติดกัน

การพิสูจน์.

ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมโดยพลการ$EFG$. ปล่อยให้มันมีมุมภายนอกของสามเหลี่ยม $FGQ$ (รูปที่ 3)

ตามทฤษฎีบทที่ 1 เราจะได้ $∠E+∠F+∠G=180^\circ$ ดังนั้น

$∠G=180^\circ-(∠E+∠F)$

เนื่องจากมุม $FGQ$ อยู่ภายนอก มันจึงอยู่ประชิดกับมุม $∠G$ ดังนั้น

$∠FGQ=180^\circ-∠G=180^\circ-180^\circ+(∠E+∠F)=∠E+∠F$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

งานตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

หามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมถ้ามันมีด้านเท่ากันหมด

เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากัน เราจะได้มุมทุกมุมในนั้นเท่ากัน เรามาแสดงถึงพวกเขากันเถอะ มาตรการระดับผ่านทาง $α$

จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราได้

$α+α+α=180^\circ$

คำตอบ: ทุกมุมมีค่าเท่ากับ $60^\circ$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหามุมทั้งหมดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วหากมุมใดมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับ $100^\circ$

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้สำหรับมุมในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

เนื่องจากเราไม่ได้กำหนดเงื่อนไขว่า $100^\circ$ เท่ากับมุมเท่าใด จึงมีความเป็นไปได้สองกรณี:

มุมที่เท่ากับ $100^\circ$ คือมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยม

เราได้โดยใช้ทฤษฎีบทกับมุมที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

$∠2=∠3=100^\circ$

แต่ผลรวมเท่านั้นที่จะมากกว่า $180^\circ$ ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 1 ซึ่งหมายความว่ากรณีนี้จะไม่เกิดขึ้น

มุมเท่ากับ $100^\circ$ คือมุมระหว่าง ด้านที่เท่ากันนั่นคือ