จากเลขชี้กำลังจำนวนเต็มของ a การเปลี่ยนไปใช้เลขชี้กำลังตรรกยะบ่งบอกตัวมันเอง ด้านล่างเราจะกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเราจะทำเช่นนี้ในลักษณะที่คุณสมบัติทั้งหมดของระดับที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มยังคงอยู่ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเนื่องจากจำนวนเต็มเป็นส่วนหนึ่งของจำนวนตรรกยะ

เป็นที่ทราบกันว่าชุดของจำนวนตรรกยะประกอบด้วยจำนวนเต็มและเศษส่วน และแต่ละเศษส่วนสามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญที่เป็นบวกหรือลบได้ เรากำหนดดีกรีด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็มในย่อหน้าก่อนหน้า ดังนั้นเพื่อที่จะให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะสมบูรณ์ เราจำเป็นต้องให้ความหมายตามระดับของตัวเลข กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น, ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็ม และ n- เป็นธรรมชาติ. มาทำสิ่งนี้กันเถอะ

ลองพิจารณาระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนของแบบฟอร์ม เพื่อให้คุณสมบัติการแปลงพลังงานยังคงใช้ได้ ความเท่าเทียมกันจะต้องคงไว้ - หากเราคำนึงถึงความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นและวิธีที่เรากำหนดรากที่ n ของระดับนั้นก็มีเหตุผลที่จะยอมรับโดยมีเงื่อนไขว่าเมื่อได้รับ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล

เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าคุณสมบัติทั้งหมดของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มนั้นถูกต้อง (ซึ่งทำในคุณสมบัติส่วนของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ)

การให้เหตุผลข้างต้นช่วยให้เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้ได้ บทสรุป: ถ้าให้ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล จากนั้นก็ยกกำลังของตัวเลข กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./นเรียกว่าราก nระดับของ กในระดับหนึ่ง ม.

ข้อความนี้ทำให้เราเข้าใกล้คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน สิ่งที่เหลืออยู่คือการอธิบายในสิ่งที่ ม, nและ กการแสดงออกนั้นสมเหตุสมผล ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดที่บังคับใช้ ม, nและ กมีสองแนวทางหลัก

1. วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดข้อจำกัด ก, ยอมรับแล้ว ≥0สำหรับการบวก มและ ก>0สำหรับเชิงลบ ม(ตั้งแต่เมื่อไหร่. ม≤0ระดับ 0 มไม่ได้กำหนดไว้) จากนั้นเราจะได้คำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนดังนี้

คำนิยาม.

กำลังของจำนวนบวก กด้วยตัวบ่งชี้เศษส่วน ม./น , ที่ไหน ม- ทั้งหมดและ n– จำนวนธรรมชาติ เรียกว่า ราก n-th ของจำนวน กในระดับหนึ่ง มนั่นคือ .

กำลังเศษส่วนของศูนย์จะถูกกำหนดด้วยข้อแม้เดียวที่ตัวบ่งชี้จะต้องเป็นค่าบวก

คำนิยาม.

กำลังของศูนย์พร้อมเลขชี้กำลังบวกเศษส่วน ม./น , ที่ไหน มเป็นจำนวนเต็มบวก และ n– จำนวนธรรมชาติ กำหนดให้เป็น .
เมื่อไม่ได้กำหนดดีกรี นั่นคือดีกรีของเลขศูนย์ที่มีเลขชี้กำลังลบแบบเศษส่วนไม่สมเหตุสมผล

ควรสังเกตว่าด้วยคำจำกัดความของระดับที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง: สำหรับค่าลบบางค่า กและบางส่วน มและ nสำนวนนี้สมเหตุสมผล แต่เราละทิ้งกรณีเหล่านี้โดยการแนะนำเงื่อนไข ≥0- ตัวอย่างเช่น รายการมีความสมเหตุสมผล หรือ และคำจำกัดความที่ให้ไว้ข้างต้นบังคับให้เราบอกว่ากำลังที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วนของรูปแบบ ไม่สมเหตุสมผล เนื่องจากฐานไม่ควรเป็นลบ

2. อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วน ม./นประกอบด้วยการแยกกันโดยพิจารณาเลขชี้กำลังเลขยกกำลังคู่และเลขคี่ของราก วิธีการนี้ต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม: กำลังของตัวเลข กซึ่งเลขชี้กำลังซึ่งเป็นเศษส่วนสามัญที่ลดได้นั้นถือเป็นกำลังของจำนวนนั้น กตัวบ่งชี้ซึ่งเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ที่สอดคล้องกัน (จะอธิบายความสำคัญของเงื่อนไขนี้ด้านล่าง) นั่นคือถ้า ม./นเป็นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ดังนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ เคองศาจะถูกแทนที่ด้วย .

สำหรับแม้กระทั่ง nและเป็นบวก มสำนวนนี้สมเหตุสมผลสำหรับคำที่ไม่เป็นค่าลบ ก(รากคู่ของจำนวนลบไม่มีความหมาย) สำหรับค่าลบ มตัวเลข กจะต้องยังคงแตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้นจะมีการหารด้วยศูนย์) และสำหรับคี่ nและเป็นบวก มตัวเลข กสามารถเป็นค่าใดก็ได้ (รากคี่ถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงใดๆ) และค่าลบ มตัวเลข กต้องไม่เป็นศูนย์ (จึงจะไม่มีการหารด้วยศูนย์)

การให้เหตุผลข้างต้นนำเราไปสู่คำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

คำนิยาม.

อนุญาต ม./น– เศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม- ทั้งหมดและ n– จำนวนธรรมชาติ สำหรับเศษส่วนที่ลดลงใดๆ ระดับจะถูกแทนที่ด้วย พลังของจำนวน กด้วยเลขชี้กำลังเศษส่วนที่ลดไม่ได้ ม./น- นี่มีไว้สำหรับ

หรือจำนวนจริงใดๆ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและเป็นธรรมชาติที่แปลกประหลาด n, ตัวอย่างเช่น, ;

o จำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ก, จำนวนเต็มลบ มและคี่ n, ตัวอย่างเช่น, ;

o จำนวนที่ไม่เป็นลบ ก, เป็นบวกทั้งหมด มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, ;

หรือเป็นบวกใดๆ ก, จำนวนเต็มลบ มและแม้กระทั่ง n, ตัวอย่างเช่น, ;

o ในกรณีอื่น ไม่ได้กำหนดระดับที่มีตัวบ่งชี้เศษส่วน เช่น ไม่ได้กำหนดระดับ .a เราไม่แนบความหมายใดๆ เข้ากับรายการ เรากำหนดกำลังของเลขศูนย์สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวก ม./นยังไง สำหรับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นลบ จะไม่ได้กำหนดกำลังของเลขศูนย์

โดยสรุปในประเด็นนี้ ขอให้เราให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมหรือจำนวนคละได้ เช่น - ในการคำนวณค่าของนิพจน์ประเภทนี้ คุณต้องเขียนเลขชี้กำลังในรูปของเศษส่วนสามัญ จากนั้นใช้คำจำกัดความของเลขชี้กำลังกับเลขชี้กำลังเศษส่วน สำหรับตัวอย่างข้างต้นที่เรามี และ

บทเรียนวิดีโอ "เลขยกกำลังพร้อมเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะ" มีสื่อการสอนแบบภาพสำหรับสอนบทเรียนในหัวข้อนี้ บทเรียนวิดีโอประกอบด้วยข้อมูลเกี่ยวกับแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ คุณสมบัติขององศาดังกล่าว รวมถึงตัวอย่างที่อธิบายการใช้สื่อการศึกษาเพื่อแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ วัตถุประสงค์ของบทเรียนวิดีโอนี้คือเพื่อนำเสนอสื่อการศึกษาอย่างชัดเจนและชัดเจน ช่วยให้นักเรียนพัฒนาและท่องจำ และพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดที่เรียนรู้

ข้อได้เปรียบหลักของบทเรียนวิดีโอคือความสามารถในการแปลงและคำนวณด้วยสายตา ความสามารถในการใช้เอฟเฟกต์แอนิเมชั่นเพื่อปรับปรุงประสิทธิภาพการเรียนรู้ ดนตรีประกอบด้วยเสียงช่วยพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง และยังทำให้สามารถแทนที่คำอธิบายของครูได้ ทำให้เขามีเวลาทำงานแต่ละงานได้

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการแนะนำหัวข้อ เมื่อเชื่อมโยงการศึกษาหัวข้อใหม่กับเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ โปรดจำไว้ว่า n √a จะแทนด้วย 1/n สำหรับธรรมชาติ n และบวก a การแสดง n-root นี้จะปรากฏบนหน้าจอ ต่อไป เราเสนอให้พิจารณาว่านิพจน์ a m/n หมายถึงอะไร โดยที่ a เป็นจำนวนบวก และ m/n เป็นเศษส่วน ให้นิยามของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะเป็น m/n = n √a m โดยเน้นไว้ในกรอบ มีข้อสังเกตว่า n สามารถเป็นจำนวนธรรมชาติ และ m เป็นจำนวนเต็มได้

หลังจากกำหนดระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะแล้ว ความหมายของระดับนั้นจะถูกเปิดเผยผ่านตัวอย่าง: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 นอกจากนี้ยังแสดงตัวอย่างที่แปลงกำลังที่แสดงด้วยทศนิยมเป็นเศษส่วนเพื่อแทนค่าราก: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 และ ตัวอย่างที่มีกำลังเป็นลบ: 3 -1/8 = 8 √3 -1

ลักษณะเฉพาะของกรณีพิเศษเมื่อฐานของระดับเป็นศูนย์จะถูกระบุแยกกัน มีข้อสังเกตว่าระดับนี้สมเหตุสมผลกับเลขชี้กำลังเศษส่วนที่เป็นบวกเท่านั้น ในกรณีนี้ ค่าของมันคือศูนย์: 0 m/n =0

คุณลักษณะอีกประการหนึ่งของการศึกษาระดับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะนั้นระบุไว้ว่า ระดับที่มีเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนนั้นไม่สามารถพิจารณาด้วยเลขชี้กำลังแบบเศษส่วนได้ ตัวอย่างการระบุระดับที่ไม่ถูกต้อง: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5

ต่อไปในบทเรียนวิดีโอ เราจะพูดถึงคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ มีข้อสังเกตว่าคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มจะใช้ได้กับปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะด้วย เสนอให้เรียกคืนรายการคุณสมบัติที่ใช้ได้ในกรณีนี้:

1. เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะรวมกัน: a p a q =a p+q
2. การหารองศาที่มีฐานเดียวกันจะลดลงเหลือระดับตามฐานที่กำหนดและผลต่างของเลขยกกำลัง: a p:a q =a p-q
3. หากเราเพิ่มดีกรีเป็นกำลังที่แน่นอน เราก็จะได้ดีกรีที่มีฐานที่กำหนดและผลคูณของเลขชี้กำลัง: (ap) q =a pq

คุณสมบัติทั้งหมดนี้ใช้ได้กับกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ p, q และฐานบวก a>0 นอกจากนี้ การแปลงระดับเมื่อวงเล็บเปิดยังคงเป็นจริง:

1. (ab) p =a p b p - การยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ ผลคูณของตัวเลขสองตัวจะลดลงเป็นผลคูณของตัวเลข ซึ่งแต่ละตัวจะถูกยกกำลังตามที่กำหนด
2. (a/b) p =a p /b p - การยกเศษส่วนให้เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะจะลดลงเหลือเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนถูกยกกำลังให้เป็นกำลังที่กำหนด

วิดีโอบทช่วยสอนจะกล่าวถึงตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ใช้คุณสมบัติของกำลังที่พิจารณาแล้วพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ตัวอย่างแรกขอให้คุณค้นหาค่าของนิพจน์ที่มีตัวแปร x อยู่ในกำลังเศษส่วน: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) แม้จะมีความซับซ้อนของการแสดงออก แต่การใช้คุณสมบัติของพลังก็สามารถแก้ไขได้ค่อนข้างง่าย การแก้ปัญหาเริ่มต้นด้วยการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น ซึ่งใช้กฎการเพิ่มกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะเป็นกำลัง รวมถึงการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน หลังจากแทนที่ค่าที่กำหนด x=8 ลงในนิพจน์แบบง่าย x 1/3 +48 จะง่ายต่อการรับค่า - 50

ในตัวอย่างที่สอง คุณต้องลดเศษส่วนที่ตัวเศษและส่วนมีพลังพร้อมเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ เมื่อใช้คุณสมบัติของดีกรี เราจะแยกตัวประกอบ x 1/3 จากผลต่าง ซึ่งลดลงในตัวเศษและตัวส่วน และใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง ตัวเศษจะถูกแยกตัวประกอบ ซึ่งให้ค่าการลดลงที่เหมือนกันเพิ่มเติม ตัวประกอบในตัวเศษและส่วน. ผลลัพธ์ของการแปลงดังกล่าวคือเศษส่วนสั้น x 1/4 +3

วิดีโอบทเรียน "เลขชี้กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ" สามารถใช้แทนครูในการอธิบายหัวข้อบทเรียนใหม่ได้ คู่มือเล่มนี้ยังประกอบด้วยข้อมูลที่ครบถ้วนเพียงพอให้ผู้เรียนได้ศึกษาด้วยตนเอง สื่อนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการเรียนรู้ทางไกลอีกด้วย

เอ็มบู "ซิดอร์สกายา"

โรงเรียนมัธยม"

การพัฒนาแผนการสอนแบบเปิด

ในพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ในหัวข้อ:

จัดทำและดำเนินการ

ครูคณิตศาสตร์

อิสคาโควา อี.เอฟ.

โครงร่างบทเรียนเปิดเรื่องพีชคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

เรื่อง : “ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ”

ประเภทบทเรียน : การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

แนะนำนักเรียนให้รู้จักแนวคิดของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะและคุณสมบัติพื้นฐานของมัน โดยอิงจากเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้ (ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม)

พัฒนาทักษะการคำนวณและความสามารถในการแปลงและเปรียบเทียบตัวเลขกับเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

เพื่อพัฒนาความรู้ทางคณิตศาสตร์และความสนใจทางคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียน

อุปกรณ์ : บัตรงาน, การนำเสนอของนักเรียนตามปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม, การนำเสนอของครูตามปริญญาพร้อมตัวบ่งชี้เหตุผล, แล็ปท็อป, เครื่องฉายมัลติมีเดีย, หน้าจอ

ความคืบหน้าของบทเรียน:

ช่วงเวลาขององค์กร

การตรวจสอบความเชี่ยวชาญของหัวข้อที่ครอบคลุมโดยใช้การ์ดงานแต่ละใบ

ภารกิจที่ 1

=2;

ข) =x+5;

แก้ระบบสมการไม่ลงตัว: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

ภารกิจที่ 2

แก้สมการไม่ลงตัว: = - 3;

ข) = x - 2;

แก้ระบบสมการไม่ลงตัว: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

สื่อสารหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

หัวข้อบทเรียนของเราวันนี้คือ “ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ».

คำอธิบายเนื้อหาใหม่โดยใช้ตัวอย่างเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้

คุณคุ้นเคยกับแนวคิดเรื่องปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็มอยู่แล้ว ใครจะช่วยฉันจำพวกเขาได้บ้าง?

การทำซ้ำโดยใช้การนำเสนอ " ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม».

สำหรับจำนวน a, b และจำนวนเต็มใดๆ m และ n ค่าเท่ากันจะเป็นจริง:

เป็น ม * n = เป็น ม+n ;

น: a n =a m-n (a ≠ 0);

(ม) n = a mn ;

(ก) n =a n * bn ;

(a/b) n = n /b n (b ≠ 0) ;

ก 1 =ก ;

ก 0 = 1(ก ≠ 0) วันนี้เราจะสรุปแนวคิดเรื่องยกกำลังของตัวเลขและให้ความหมายกับนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน มาแนะนำกันดีกว่าคำนิยาม

องศาพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ (การนำเสนอ "ปริญญาพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ"): > พลังของ 0 พร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ = ร ม , ที่ไหน n เป็นจำนวนเต็ม และ n > - เป็นธรรมชาติ ( ม .

1) เรียกหมายเลขนั้น = ตามนิยามแล้ว เราได้สิ่งนั้นมา .

ม

ลองใช้คำจำกัดความนี้เมื่อทำงานให้เสร็จสิ้น

ตัวอย่างหมายเลข 1

ฉันนำเสนอนิพจน์เป็นรากของตัวเลข: ก) ข) .

ใน)

II แสดงนิพจน์เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉันนำเสนอนิพจน์เป็นรากของตัวเลข: 2 ก) ข) 5 .

กำลังของ 0 ถูกกำหนดไว้สำหรับเลขชี้กำลังบวกเท่านั้น

0 ร= 0 สำหรับใดๆ ร> 0.

การใช้คำจำกัดความนี้ บ้านคุณจะกรอก #428 และ #429 ให้สมบูรณ์

ตอนนี้เราขอแสดงให้เห็นว่าด้วยคำจำกัดความของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะตามสูตรข้างต้น คุณสมบัติพื้นฐานขององศาจะยังคงอยู่ ซึ่งเป็นจริงสำหรับเลขชี้กำลังใดๆ

สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆ r และ s และ a และ b ใดๆ จะมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

1 0 - ก ร ก ส =ก ร+ส ;

ตัวอย่าง: *

2 0 . ar: a s = a r-s ;

ตัวอย่าง: :

3 0 . (มี ) s = เป็น อาร์เอส ;

ตัวอย่าง: ( -2/3

4 0 . ( เกี่ยวกับ) ร = ก ร ข ร ; 5 0 . ( = .

ตัวอย่าง: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ตัวอย่างการใช้คุณสมบัติหลายอย่างพร้อมกัน: * : .

นาทีพลศึกษา

เราวางปากกาไว้บนโต๊ะ ยืดหลังให้ตรง และตอนนี้เรายื่นไปข้างหน้า เราต้องการแตะกระดาน ตอนนี้เรายกมันขึ้นแล้วโน้มตัวไปทางขวา ซ้าย ไปข้างหน้า และข้างหลัง คุณแสดงมือของคุณให้ฉันดู ตอนนี้แสดงให้ฉันเห็นว่านิ้วของคุณเต้นได้อย่างไร

ทำงานเกี่ยวกับวัสดุ

ให้เราสังเกตคุณสมบัติของกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะอีกสองประการ:

6 0 . อนุญาต r เป็นจำนวนตรรกยะและ 0< a < b . Тогда

ก ร < b รที่ ร> 0,

ก ร < b รที่ ร< 0.

7 0 - สำหรับจำนวนตรรกยะใดๆรและ สจากความไม่เท่าเทียมกัน ร> สมันเป็นไปตามนั้น

ก ร>ก รสำหรับ > 1,

ก ร < а รเวลา 0< а < 1.

ตัวอย่าง: เปรียบเทียบตัวเลข:

และ ; 2 300 และ 3 200 .

สรุปบทเรียน:

วันนี้ในบทเรียน เรานึกถึงคุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม เรียนรู้คำจำกัดความและคุณสมบัติพื้นฐานของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะ และตรวจสอบการประยุกต์ใช้เนื้อหาทางทฤษฎีนี้ในทางปฏิบัติเมื่อทำแบบฝึกหัด ฉันอยากจะดึงความสนใจของคุณไปที่หัวข้อ "ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะ" เป็นสิ่งจำเป็นในงาน Unified State Examination เมื่อเตรียมการบ้าน (หมายเลข 428 และหมายเลข 429

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

Khasyanova T.G.

ครูคณิตศาสตร์

สื่อที่นำเสนอจะเป็นประโยชน์กับครูคณิตศาสตร์เมื่อศึกษาหัวข้อ “เลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ”

วัตถุประสงค์ของเนื้อหาที่นำเสนอ: เพื่อเปิดเผยประสบการณ์ของฉันในการทำบทเรียนในหัวข้อ "ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ" ของโปรแกรมการทำงานของวินัย "คณิตศาสตร์"

วิธีการดำเนินการบทเรียนสอดคล้องกับประเภทของบทเรียน - บทเรียนในการศึกษาและรวบรวมความรู้ใหม่เบื้องต้น ความรู้และทักษะพื้นฐานได้รับการปรับปรุงตามประสบการณ์ที่ได้รับก่อนหน้านี้ การท่องจำเบื้องต้น การรวมและการประยุกต์ใช้ข้อมูลใหม่ การรวมและการประยุกต์ใช้วัสดุใหม่เกิดขึ้นในรูปแบบของการแก้ปัญหาที่ฉันทดสอบความซับซ้อนที่แตกต่างกัน ซึ่งให้ผลลัพธ์เชิงบวกในการเรียนรู้หัวข้อนี้

ในตอนต้นของบทเรียน ฉันตั้งเป้าหมายให้กับนักเรียนดังนี้: การศึกษา พัฒนาการ การศึกษา ในระหว่างบทเรียน ฉันใช้วิธีการทำกิจกรรมต่างๆ: หน้าผาก, เดี่ยว, คู่, อิสระ, ทดสอบ งานมีความแตกต่างกันและทำให้สามารถระบุระดับการได้มาซึ่งความรู้ในแต่ละขั้นตอนของบทเรียนได้ ปริมาณและความซับซ้อนของงานสอดคล้องกับลักษณะอายุของนักเรียน จากประสบการณ์ของฉัน การบ้านซึ่งคล้ายกับปัญหาที่แก้ไขในห้องเรียนทำให้คุณสามารถรวบรวมความรู้และทักษะที่ได้รับได้อย่างน่าเชื่อถือ ในตอนท้ายของบทเรียน มีการไตร่ตรองและประเมินงานของนักเรียนเป็นรายบุคคล

บรรลุเป้าหมายแล้ว นักเรียนศึกษาแนวคิดและคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ และเรียนรู้ที่จะใช้คุณสมบัติเหล่านี้ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ สำหรับงานอิสระจะประกาศเกรดในบทเรียนถัดไป

ฉันเชื่อว่าวิธีการที่ฉันใช้สอนคณิตศาสตร์สามารถนำไปใช้โดยครูคณิตศาสตร์ได้

หัวข้อบทเรียน: กำลังด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ระบุระดับความเชี่ยวชาญของนักเรียนในด้านความรู้และทักษะที่ซับซ้อน และการใช้วิธีแก้ปัญหาบางอย่างเพื่อปรับปรุงกระบวนการศึกษาบนพื้นฐานของมัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา:เพื่อสร้างความรู้ใหม่ในหมู่นักเรียนเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานกฎเกณฑ์กฎหมายในการกำหนดระดับด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลความสามารถในการประยุกต์ความรู้อย่างอิสระในเงื่อนไขมาตรฐานในเงื่อนไขที่ได้รับการแก้ไขและไม่ได้มาตรฐาน

การพัฒนา:คิดอย่างมีเหตุผลและตระหนักถึงความสามารถเชิงสร้างสรรค์

การเลี้ยง:พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เติมคำศัพท์ของคุณด้วยคำศัพท์ใหม่ และรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโลกรอบตัวคุณ ปลูกฝังความอดทน ความอุตสาหะ และความสามารถในการเอาชนะความยากลำบาก

ช่วงเวลาขององค์กร

การอัพเดตความรู้อ้างอิง

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าไป แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

2. เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน ค่ายกกำลังขององศาจะถูกลบออก แต่ฐานยังคงเหมือนเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

3. เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ แต่ฐานยังคงเท่าเดิม:

ตัวอย่างเช่น,

4. ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย:

ตัวอย่างเช่น,

5. ระดับของผลหารเท่ากับผลหารของระดับของเงินปันผลและตัวหาร:

ตัวอย่างเช่น,

แบบฝึกหัดพร้อมวิธีแก้ปัญหา

ค้นหาความหมายของสำนวน:

สารละลาย:

ในกรณีนี้ ไม่สามารถใช้คุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติได้อย่างชัดเจน เนื่องจากทุกดีกรีมีฐานต่างกัน ลองเขียนยกกำลังในรูปแบบอื่น:

(ระดับของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของระดับของปัจจัย)

(เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน จะบวกเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม เมื่อเพิ่มระดับเป็นเลขยกกำลัง ก็คูณเลขยกกำลัง แต่ฐานคงเดิม)

จากนั้นเราจะได้รับ:

ในตัวอย่างนี้ มีการใช้คุณสมบัติสี่ประการแรกของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ

รากที่สองทางคณิตศาสตร์
เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบซึ่งมีกำลังสองเท่ากับก,
- ที่
- การแสดงออก
ไม่ได้กำหนดไว้เพราะว่า ไม่มีจำนวนจริงที่มีกำลังสองเท่ากับจำนวนลบก.

การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์(8-10 นาที)

ตัวเลือก

ครั้งที่สอง ตัวเลือก

1. ค้นหาค่าของนิพจน์

ก)

ข)

1. ค้นหาค่าของนิพจน์

ก)

ข)

2.คำนวณ

ก)

ข)

ใน)

2.คำนวณ

ก)

ข)

วี)

การทดสอบตัวเอง(บนกระดานปก):

เมทริกซ์การตอบสนอง:

№ ตัวเลือก/งาน

ปัญหาที่ 1

ปัญหาที่ 2

ตัวเลือกที่ 1

ก) 2

ข) 2

ก) 0.5

ข)

วี)

ตัวเลือกที่ 2

ก) 1.5

ข)

ก)

ข)

ค) 4

II. การก่อตัวของความรู้ใหม่

ลองพิจารณาว่าสำนวนนี้มีความหมายว่าที่ไหน - จำนวนบวก– จำนวนเศษส่วนและจำนวนเต็ม m, n-ธรรมชาติ (n›1)

คำจำกัดความ: กำลังของ a›0 พร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะร = , ตามนิยามแล้ว เราได้สิ่งนั้นมา-ทั้งหมด, n-เป็นธรรมชาติ ( n›1) หมายเลขที่ถูกเรียก.

ดังนั้น:

ตัวอย่างเช่น:

หมายเหตุ:

1. สำหรับค่าบวก a และจำนวนตรรกยะ r ใดๆ ในเชิงบวก

2. เมื่อไหร่
กำลังตรรกยะของจำนวนกไม่ได้กำหนด

สำนวนที่ชอบ
ไม่สมเหตุสมผลเลย

3.ถ้า จำนวนบวกเศษส่วนคือ
.

ถ้า เศษส่วน จำนวนลบแล้ว -ไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างเช่น: - ไม่สมเหตุสมผล

ลองพิจารณาคุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ให้ >0, b>0; r, s - จำนวนตรรกยะใด ๆ ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะใดๆ จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1.
2.
3.
4.
5.

ที่สาม การรวมบัญชี การก่อตัวของทักษะและความสามารถใหม่

การ์ดงานทำงานเป็นกลุ่มเล็กๆ ในรูปแบบของการทดสอบ

ระดับรายการ

ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)

เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?

หากต้องการเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา สิ่งที่จำเป็นสำหรับปริญญา และวิธีใช้ความรู้ในชีวิตประจำวัน โปรดอ่านบทความนี้

และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ

ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)

หมายเหตุสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)

ระดับเริ่มต้น

การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร

ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้

เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม

ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน ทุกคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด

ตอนนี้การคูณ

ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนเจ้าเล่ห์และเกียจคร้าน ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า

ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…

นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.

และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:

นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.

การยกจำนวนให้เป็นกำลัง

หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด

สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางยกกำลังตัวเลข- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก

เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์

ตัวอย่างชีวิตจริง #1

เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน

ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ

คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()

คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยกว่าด้วย . สำหรับการสอบ Unified State สิ่งนี้สำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข

ตัวอย่างชีวิตจริง #2

นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?

ตัวอย่างชีวิตจริง #3

ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาดเมตรหนึ่งเมตรลึกหนึ่งเมตรแล้วลองนับดูว่าลูกบาศก์เมตรต่อเมตรจะวัดได้กี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ

เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? แค่นั้นแหละ! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?

ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้มันง่ายขึ้นเช่นกัน เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้

ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต

ตัวอย่างชีวิตจริง #4

คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและคนที่นับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?

ตัวอย่างชีวิตจริง #5

คุณมีเงินเป็นล้าน ทุกต้นปี คุณจะได้รับเพิ่มอีกสองต่อหนึ่งล้าน เยี่ยมมากใช่มั้ย? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก เรามาดูกันดีกว่าว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญาและสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น

เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน

ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดว่า เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...

ในเวลาเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน

นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี

โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ระดับที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” จะอ่านว่า “ถึงระดับ” และเขียนดังนี้:

กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ

คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?

ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนเต็มโดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ

เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย จำนวนตรรกยะ... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?

นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ

ประวัติย่อ:

ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

1. จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
2. การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
3. การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:

คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?

ตามคำจำกัดความ:

มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?

ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:

ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา จำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ทั้งหมด:

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?

แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานลบ

ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเท่าใด

แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?

อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่

ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นค่าบวกหรือค่าลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

คุณจัดการหรือไม่?

นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ

ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!

6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการ กฎก็สามารถนำไปใช้ได้

แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน

จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ

ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

เช่นเคย ขอให้เราถามตัวเองว่า ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น?

พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:

เราก็คูณตัวเลขด้วย เราก็ได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.

เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:

ทำซ้ำกฎ:

จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง

แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)

ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย

เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:

จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:

ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:

เรามาตั้งกฎกัน:

จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

สรุป:

I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:

ที่สาม จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:

งานสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:

การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:

ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!

มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน จำนวนตรรกยะตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?

คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ

เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:

ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:

ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":

ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?

สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่

ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ

นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:

ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .

ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:

แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้

ไม่มี!

ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!

ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล

แล้วการแสดงออกล่ะ?

แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น

ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ

และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน

หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)

เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.

ดังนั้นหาก:

• — จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น

5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน

วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างสำหรับการฝึกอบรม

ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.

กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น

ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง

...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข

...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ

แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:

1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:

ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:

ในกรณีนี้

ปรากฎว่า:

คำตอบ: .

2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:

คำตอบ: 16

3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

ระดับขั้นสูง

การกำหนดระดับ

ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:

• — ฐานระดับ;
• - เลขชี้กำลัง

องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)

การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:

องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:

การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:

สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้

หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:

(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)

อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.

ตัวอย่าง:

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

• — จำนวนธรรมชาติ
• - จำนวนเต็ม;

ตัวอย่าง:

คุณสมบัติขององศา

เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ

มาดูกันว่าคืออะไรและ?

ตามคำจำกัดความ:

ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:

Q.E.D.

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : .

ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์

สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา จำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:

หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลิตผลแห่งอำนาจเท่านั้น!

คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด

เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:

มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:

ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:

โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด: !

จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย

กำลังที่มีฐานเป็นลบ

ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ตัวบ่งชี้องศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .

อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?

เช่น จำนวนเป็นบวกหรือลบ? เอ? -

อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก

แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -

และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งที่ตามมา เครื่องหมายจะเปลี่ยนไป สามารถกำหนดกฎง่าย ๆ ต่อไปนี้ได้:

1. สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
2. จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
3. จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
4. ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม

ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)

ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ

และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:

ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:

ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน

คำนวณนิพจน์:

โซลูชั่น :

ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!

เราได้รับ:

ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกัน สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่จะทำอย่างไร ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้

ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:

เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!

กลับไปที่ตัวอย่าง:

และอีกครั้งด้วยสูตร:

ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:

ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:

ตัวอย่าง:

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)

เมื่อศึกษาปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง จำนวนที่กำลังเป็นศูนย์คือจำนวนคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียงความแน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร

เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่องระดับให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข

อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่ได้คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน

แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)

ตัวอย่างเช่น:

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

1)

2)

3)

คำตอบ:

1. มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:

สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน

ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์

คุณสมบัติขององศา

คุณสมบัติขององศา

• จำนวนลบยกขึ้นเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
• จำนวนลบยกขึ้นเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
• จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
• ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
• จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน

ตอนนี้คุณมีคำว่า...

คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่

บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ

บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ

เขียนในความคิดเห็น

และขอให้โชคดีในการสอบ!