รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม บทเรียน "รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม"

พหุนามคือผลรวมของเอกนาม หากเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน (ดูย่อหน้าที่ 51) และเงื่อนไขที่คล้ายกันลดลง คุณจะได้พหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐาน

นิพจน์จำนวนเต็มใดๆ สามารถแปลงเป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้ - นี่คือจุดประสงค์ของการแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของนิพจน์จำนวนเต็ม

ลองดูตัวอย่างที่ต้องลดนิพจน์ทั้งหมดให้อยู่ในรูปมาตรฐานของพหุนาม

สารละลาย. อันดับแรก นำเงื่อนไขของพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานกันก่อน เราได้รับ หลังจากนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา เราจะได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

สารละลาย. หากมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ ก็สามารถละเว้นวงเล็บได้ โดยคงเครื่องหมายของคำศัพท์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บไว้ เมื่อใช้กฎนี้ในการเปิดวงเล็บ เราจะได้:

สารละลาย. ถ้าวงเล็บนำหน้าด้วยเครื่องหมายลบ ก็ละเว้นวงเล็บได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมดที่อยู่ในวงเล็บ เมื่อใช้กฎนี้เพื่อซ่อนวงเล็บ เราจะได้:

สารละลาย. ผลคูณของเอกนามและพหุนามตามกฎหมายการกระจายจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของเอกนามนี้และสมาชิกของพหุนามแต่ละตัว เราได้รับ

สารละลาย. เรามี

ยังคงให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน (ขีดเส้นใต้) เราได้รับ:

53. สูตรคูณแบบย่อ

ในบางกรณี การนำนิพจน์ทั้งหมดมาสู่รูปแบบมาตรฐานของพหุนามจะดำเนินการโดยใช้อัตลักษณ์:

ตัวตนเหล่านี้เรียกว่าสูตรคูณแบบย่อ

ลองดูตัวอย่างที่คุณต้องแปลงนิพจน์ที่กำหนดเป็นรูปแบบมาตรฐาน myogochlea

ตัวอย่างที่ 1. .

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (1) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 2. .

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 3. .

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (3) เราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 4

สารละลาย. เมื่อใช้สูตร (4) เราได้รับ:

54. แยกตัวประกอบพหุนาม

บางครั้งคุณสามารถแปลงพหุนามเป็นผลคูณของหลายปัจจัยได้ - พหุนามหรือชื่อย่อย การแปลงเอกลักษณ์ดังกล่าวเรียกว่าการแยกตัวประกอบของพหุนาม ในกรณีนี้ พหุนามบอกว่าหารด้วยตัวประกอบแต่ละตัวลงตัวได้

มาดูวิธีแยกตัวประกอบพหุนามกัน

1) นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นผลโดยตรงจากกฎการกระจาย (เพื่อความชัดเจน คุณเพียงแค่ต้องเขียนกฎนี้ใหม่ "จากขวาไปซ้าย"):

ตัวอย่างที่ 1: แยกตัวประกอบพหุนาม

สารละลาย. -

โดยปกติ เมื่อนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ตัวแปรแต่ละตัวที่อยู่ในเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามจะถูกนำออกไปพร้อมกับเลขชี้กำลังต่ำสุดที่มีอยู่ในพหุนามนี้ หากค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามทั้งหมดเป็นจำนวนเต็ม ค่าโมดูลัสที่ใหญ่ที่สุดจะถูกนำมาเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบร่วม ตัวหารร่วมสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม

2) การใช้สูตรคูณแบบย่อ สูตร (1) - (7) จากย่อหน้าที่ 53 เมื่ออ่านจากขวาไปซ้าย ในหลายกรณีกลับกลายเป็นว่ามีประโยชน์ในการแยกตัวประกอบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 2: ปัจจัย

สารละลาย. เรามี. การใช้สูตร (1) (ผลต่างของกำลังสอง) เราได้รับ โดยการสมัคร

ตอนนี้สูตร (4) และ (5) (ผลรวมของลูกบาศก์ ผลต่างของลูกบาศก์) เราได้:

ตัวอย่างที่ 3. .

สารละลาย. ก่อนอื่น ให้เอามันออกจากวงเล็บก่อน ตัวคูณทั่วไป- ในการทำเช่นนี้ เราจะค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์ 4, 16, 16 และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดซึ่งรวมตัวแปร a และ b ไว้ในส่วนประกอบ ให้พหุนาม monomial เราได้รับ:

3) วิธีการจัดกลุ่ม มันขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่ามันเป็นการสับเปลี่ยนและ กฎหมายที่เกี่ยวข้องการเพิ่มเติมทำให้คุณสามารถจัดกลุ่มเงื่อนไขของพหุนามได้ ในรูปแบบต่างๆ- บางครั้งเป็นไปได้ที่จะจัดกลุ่มในลักษณะที่ว่าหลังจากนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บแล้ว พหุนามเดียวกันจะยังคงอยู่ในวงเล็บในแต่ละกลุ่ม ซึ่งในทางกลับกัน ในฐานะปัจจัยร่วม ก็สามารถนำออกจากวงเล็บได้ เรามาดูตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามกัน

ตัวอย่างที่ 4. .

สารละลาย. มาจัดกลุ่มกันดังนี้:

ในกลุ่มแรก ลองนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บไปเป็นตัวที่สอง - ตัวประกอบร่วม 5 เราได้แล้ว ตอนนี้เราใส่พหุนามเป็นตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ: ดังนั้น เราได้:

ตัวอย่างที่ 5

สารละลาย. -

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย. ในที่นี้ ไม่มีการจัดกลุ่มใดที่จะนำไปสู่การปรากฏพหุนามที่เหมือนกันในทุกกลุ่ม ในกรณีเช่นนี้ บางครั้งอาจเป็นประโยชน์ที่จะแทนสมาชิกของพหุนามเป็นผลรวม แล้วลองใช้วิธีจัดกลุ่มอีกครั้ง ในตัวอย่างของเรา ขอแนะนำให้แสดงเป็นผลรวมที่เราได้รับ

ตัวอย่างที่ 7

สารละลาย. บวกและลบ monomial ที่เราได้รับ

55. พหุนามในตัวแปรเดียว

พหุนาม โดยที่ a, b เป็นจำนวนตัวแปร เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่ 1 พหุนามโดยที่ a, b, c เป็นจำนวนตัวแปร เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สอง หรือ ตรีโกณมิติกำลังสอง- พหุนามโดยที่ a, b, c, d เป็นตัวเลข ตัวแปรนี้เรียกว่าพหุนามของดีกรีที่สาม

โดยทั่วไป ถ้า o เป็นตัวแปร มันก็จะเป็นพหุนาม

เรียกว่าระดับ lsmogochnolenol (เทียบกับ x); , เทอม m ของพหุนาม, สัมประสิทธิ์, เทอมนำหน้าของพหุนาม, a คือสัมประสิทธิ์ของเทอมนำหน้า, เทอมอิสระของพหุนาม โดยทั่วไปแล้ว พหุนามจะถูกเขียนด้วยกำลังจากมากไปน้อยของตัวแปร กล่าวคือ กำลังของตัวแปรจะค่อยๆ ลดลง โดยเฉพาะคำนำหน้าจะอยู่ในตำแหน่งแรก และพจน์อิสระจะอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย ระดับของพหุนามคือระดับของพจน์สูงสุด

ตัวอย่างเช่น พหุนามของดีกรีที่ 5 ซึ่งเทอมที่นำหน้าคือ 1 คือเทอมอิสระของพหุนาม

รากของพหุนามคือค่าที่ทำให้พหุนามกลายเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น จำนวน 2 คือรากของพหุนามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ในบทนี้ เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ กล่าวคือ การนำพหุนามมาเป็นรูปแบบมาตรฐานและการคำนวณค่าตัวเลขของ ค่าที่กำหนดตัวแปร เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างโดยจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานในการแก้ปัญหา หลากหลายชนิดงาน

เรื่อง:พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากกว่าเอกภาพ

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ขอให้เราจำคำจำกัดความพื้นฐาน: พหุนามคือผลรวมของ monomials แต่ละ monomial ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นคำเรียกว่าสมาชิก ตัวอย่างเช่น:

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงต่อจากนี้ คุณจึงต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราขอเตือนคุณว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - รับ ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขและคูณ องศาที่สอดคล้องกัน- รับส่วนจดหมาย นอกจากนี้ ให้เราให้ความสนใจกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อยกกำลังขึ้น เลขชี้กำลังจะรวมกัน

ลองพิจารณาดู การดำเนินงานที่สำคัญ- นำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

หมายเหตุ: ในการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณจะต้องนำ monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมาเป็นรูปแบบมาตรฐานหลังจากนั้นหากมี monomials ที่คล้ายกัน - และสิ่งเหล่านี้เป็น monomials ที่มีส่วนตัวอักษรเดียวกัน - ให้ดำเนินการกับพวกมัน .

ดังนั้นเราจึงดูปัญหาทั่วไปข้อแรก นั่นคือการนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

ต่อไป งานทั่วไป- การคำนวณ ความหมายเฉพาะพหุนามสำหรับการให้ ค่าตัวเลขตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น มาดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ต่อไปและตั้งค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: จำได้ว่ามีหน่วยใดหน่วยหนึ่ง ระดับธรรมชาติเท่ากับหนึ่ง และเป็นศูนย์ต่อพลังธรรมชาติใดๆ เท่ากับศูนย์นอกจากนี้ โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์

ลองดูตัวอย่างการดำเนินการทั่วไปในการลดพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐานและคำนวณค่าของมัน:

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกคือการนำ monomials มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำ monomials ที่หนึ่งที่สองและที่หก การกระทำที่สอง - เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันมานั่นคือเราปฏิบัติงานที่ได้รับมอบหมายกับพวกเขา การดำเนินการทางคณิตศาสตร์: เราเพิ่มอันแรกด้วยอันที่ห้าอันที่สองกับอันที่สามส่วนที่เหลือจะถูกเขียนใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 โดยพิจารณาค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: เมื่อคำนวณ คุณควรจำไว้ว่าหน่วยของกำลังธรรมชาติใด ๆ นั้นเป็นหนึ่ง ถ้าการคำนวณกำลังของสองเป็นเรื่องยาก คุณสามารถใช้ตารางกำลังได้

ตัวอย่างที่ 3 - แทนที่จะใส่เครื่องหมายดอกจัน ให้ใส่ monomial โดยที่ผลลัพธ์ไม่มีตัวแปร:

หมายเหตุ: ไม่ว่างานไหน การกระทำแรกจะเหมือนเดิมเสมอ - นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้เกิดจากการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ หลังจากนี้ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดอีกครั้ง และคิดว่าเราจะกำจัด monomial ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่ม monomial แบบเดียวกันลงไป แต่ด้วย เครื่องหมายตรงข้าม- ต่อไป เราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยเครื่องหมาย monomial นี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ของเราถูกต้อง

ในการศึกษาหัวข้อพหุนาม เป็นเรื่องที่ควรกล่าวถึงแยกกันว่าพหุนามเกิดขึ้นทั้งในรูปแบบมาตรฐานและไม่ได้มาตรฐาน ในกรณีนี้ พหุนามของรูปแบบที่ไม่มาตรฐานสามารถลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้ จริงๆ แล้ว คำถามนี้จะกล่าวถึงในบทความนี้ มาเสริมคำอธิบายด้วยตัวอย่างพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดทีละขั้นตอน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ความหมายของการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

มาเจาะลึกแนวคิดนี้กันอีกหน่อย การกระทำ - "นำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐาน"

พหุนามก็เหมือนกับนิพจน์อื่นๆ ที่สามารถเปลี่ยนรูปได้เหมือนกัน ด้วยเหตุนี้ ในกรณีนี้ เราจึงได้นิพจน์ที่เหมือนกันกับนิพจน์ดั้งเดิม

คำจำกัดความ 1

ลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน– หมายถึงการแทนที่พหุนามดั้งเดิมด้วยพหุนามที่เท่ากันของรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งได้มาจากพหุนามดั้งเดิมโดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน

วิธีการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

เรามาคาดเดากันในหัวข้อว่าการแปลงเอกลักษณ์ใดจะนำพหุนามไปสู่รูปแบบมาตรฐาน

คำจำกัดความ 2

ตามคำนิยาม แต่ละพหุนามของรูปแบบมาตรฐานประกอบด้วย monomials ของรูปแบบมาตรฐาน และไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน พหุนามของรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐานอาจรวมถึง monomials ของรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐานและคำศัพท์ที่คล้ายกัน จากที่กล่าวมาข้างต้น กฎจะอนุมานได้โดยธรรมชาติเกี่ยวกับวิธีการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ประการแรก monomials ที่ประกอบเป็นพหุนามที่กำหนดจะลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐาน
จากนั้นจึงดำเนินการลดจำนวนสมาชิกที่คล้ายกัน

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ให้เราตรวจสอบตัวอย่างโดยละเอียดที่เราลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราจะปฏิบัติตามกฎที่ได้รับข้างต้น

โปรดทราบว่าบางครั้งเงื่อนไขของพหุนามในสถานะเริ่มต้นมีรูปแบบมาตรฐานอยู่แล้ว และสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการนำเงื่อนไขที่คล้ายกันมาใช้ มันเกิดขึ้นว่าหลังจากขั้นตอนแรกของการกระทำไม่มีข้อกำหนดดังกล่าว เราก็ข้ามขั้นตอนที่สองไป ในกรณีทั่วไป จำเป็นต้องดำเนินการทั้งสองอย่างจากกฎข้างต้น

ตัวอย่างที่ 1

พหุนามจะได้รับ:

5 x 2 ปี + 2 ปี 3 − xy + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · ปี · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

มีความจำเป็นต้องนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน

สารละลาย

ก่อนอื่น ลองพิจารณาพหุนาม 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : สมาชิกมีรูปแบบมาตรฐาน ไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าพหุนามถูกระบุในรูปแบบมาตรฐาน และไม่จำเป็นต้องดำเนินการใดๆ เพิ่มเติม

ทีนี้ ลองดูที่พหุนาม 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 ประกอบด้วย monomials ที่ไม่ได้มาตรฐาน: 2 · a 3 · 0, 6 และ − b · a · b 4 · b 5 เช่น เราจำเป็นต้องทำให้พหุนามอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งขั้นตอนแรกคือการแปลง monomial ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

2 ถึง 3 0, 6 = 1, 2 ถึง 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 ดังนั้นเราจึงได้พหุนามต่อไปนี้:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10

ในผลลัพธ์พหุนาม เงื่อนไขทั้งหมดเป็นเงื่อนไขมาตรฐาน ไม่มีเงื่อนไขที่คล้ายกัน ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการของเราในการทำให้พหุนามอยู่ในรูปแบบมาตรฐานเสร็จสมบูรณ์

พิจารณาพหุนามที่กำหนดตัวที่สาม: 2 3 7 x 2 + 1 2 yx (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

มานำสมาชิกไปสู่รูปแบบมาตรฐานและรับ:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

เราเห็นว่าพหุนามมีสมาชิกที่คล้ายกัน ลองนำสมาชิกที่คล้ายกันมา:

2 3 7 x 2 - xy - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = xy + 1

ดังนั้น พหุนามที่กำหนด 2 3 7 x 2 + 1 2 yx (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน − x y + 1

คำตอบ:

5 x 2 ปี + 2 ปี 3 − xy + 1- พหุนามถูกกำหนดให้เป็นมาตรฐาน

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · ปี · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

ในปัญหาหลายๆ อย่าง การดำเนินการลดพหุนามให้อยู่ในรูปมาตรฐานถือเป็นเรื่องกึ่งกลางในการค้นหาคำตอบ ถามคำถาม- ลองพิจารณาตัวอย่างนี้

ตัวอย่างที่ 2

จะได้พหุนาม 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 5 · ซี 2 + ซี 3 . มีความจำเป็นต้องนำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน ระบุระดับของมัน และจัดเรียงเงื่อนไขของพหุนามที่กำหนดในระดับจากมากไปหาน้อยของตัวแปร

สารละลาย

ให้เราลดเงื่อนไขของพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · ซี 2 + ซี 3 .

ขั้นตอนต่อไปต่อไปนี้เป็นคำที่คล้ายกัน:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

เราได้รับพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งช่วยให้เราสามารถกำหนดระดับของพหุนามได้ (เท่ากับระดับสูงสุดของ monomials ที่เป็นส่วนประกอบ) แน่นอนว่าระดับที่ต้องการคือ 5

สิ่งที่เหลืออยู่คือการจัดเงื่อนไขในการลดกำลังของตัวแปร เพื่อจุดประสงค์นี้ เราเพียงแค่จัดเรียงคำศัพท์ใหม่ในรูปพหุนามผลลัพธ์ของรูปแบบมาตรฐาน โดยคำนึงถึงข้อกำหนด ดังนั้นเราจึงได้รับ:

ซี 5 + 1 3 · ซี 3 - 0 , 5 · ซี 2 + 11 .

คำตอบ:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2 ในขณะที่ระดับของ พหุนาม – 5; อันเป็นผลมาจากการจัดเงื่อนไขของพหุนามเป็นองศาจากมากไปน้อย พหุนามตัวแปรจะอยู่ในรูปแบบ: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทนี้ เราจะจำคำจำกัดความพื้นฐานของหัวข้อนี้และพิจารณาปัญหาทั่วไปบางประการ กล่าวคือ การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน และการคำนวณค่าตัวเลขสำหรับค่าตัวแปรที่กำหนด เราจะแก้ตัวอย่างหลายๆ ตัวอย่างซึ่งจะใช้การลดขนาดเป็นรูปแบบมาตรฐานเพื่อแก้ไขปัญหาประเภทต่างๆ

เรื่อง:พหุนาม การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับ monomial

บทเรียน:การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน งานทั่วไป

ทวินาม;

พหุนาม;

ทวินาม;

เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยโมโนเมียล การดำเนินการแรกกับพหุนามจึงต่อจากนี้ คุณจึงต้องนำโมโนเมียลทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราขอเตือนคุณว่าในการทำเช่นนี้คุณต้องคูณตัวประกอบตัวเลขทั้งหมด - รับสัมประสิทธิ์ตัวเลขและคูณกำลังที่สอดคล้องกัน - รับส่วนของตัวอักษร นอกจากนี้ ให้เราใส่ใจกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลคูณของกำลัง: เมื่อยกกำลังขึ้น เลขยกกำลังก็จะเพิ่มขึ้น

ลองพิจารณาการดำเนินการที่สำคัญ - การลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ตัวอย่าง:

งานทั่วไปถัดไปคือการคำนวณค่าเฉพาะของพหุนามสำหรับค่าตัวเลขที่กำหนดของตัวแปร มาดูตัวอย่างก่อนหน้านี้ต่อไปและตั้งค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: จำไว้ว่า 1 ต่อพลังธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 1 และ 0 ต่อพลังธรรมชาติมีค่าเท่ากับ 0 นอกจากนี้ โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณตัวเลขใดๆ ด้วยศูนย์ เราจะได้ศูนย์

ตัวอย่างที่ 1 - นำมาสู่รูปแบบมาตรฐาน:

หมายเหตุ: ขั้นตอนแรกคือการนำ monomials มาสู่รูปแบบมาตรฐานคุณต้องนำ monomials ที่หนึ่งที่สองและที่หก การกระทำที่สอง - เรานำเงื่อนไขที่คล้ายกันมานั่นคือเราดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด: เราเพิ่มอันแรกด้วยอันที่ห้าอันที่สองกับอันที่สามเราเขียนส่วนที่เหลือใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากไม่มีอันที่คล้ายกัน

ตัวอย่างที่ 2 - คำนวณค่าของพหุนามจากตัวอย่างที่ 1 โดยพิจารณาค่าของตัวแปร:

หมายเหตุ: ไม่ว่างานไหน การกระทำแรกจะเหมือนเดิมเสมอ - นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ในตัวอย่างของเรา การกระทำนี้เกิดจากการนำคำที่คล้ายกันมาใช้ หลังจากนี้ คุณควรอ่านเงื่อนไขอย่างละเอียดอีกครั้ง และคิดว่าเราจะกำจัด monomial ได้อย่างไร เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้คุณต้องเพิ่ม monomial เดียวกัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม - . ต่อไป เราจะแทนที่เครื่องหมายดอกจันด้วยเครื่องหมาย monomial นี้ และตรวจสอบให้แน่ใจว่าวิธีแก้ของเราถูกต้อง

เราบอกว่ามีทั้งพหุนามทั้งแบบมาตรฐานและไม่เป็นมาตรฐาน ที่นั่นเราสังเกตเห็นว่าใครๆ ก็สามารถทำได้ นำพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน- ในบทความนี้ เราจะมาดูกันก่อนว่าวลีนี้มีความหมายว่าอย่างไร ต่อไปเราจะแสดงขั้นตอนในการแปลงพหุนามใดๆ ให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน สุดท้ายเรามาดูวิธีแก้ปัญหากัน ตัวอย่างทั่วไป- เราจะอธิบายวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่างทั้งหมดที่เกิดขึ้นเมื่อลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

การนำทางหน้า

การลดพหุนามเป็นรูปแบบมาตรฐานหมายความว่าอย่างไร

ขั้นแรก คุณต้องเข้าใจให้ชัดเจนว่าการลดพหุนามเป็นรูปแบบมาตรฐานหมายถึงอะไร ลองคิดดูสิ

พหุนามก็เหมือนกับนิพจน์อื่นๆ ที่สามารถถูกแปลงที่เหมือนกันได้ จากผลของการแปลงดังกล่าว ทำให้ได้นิพจน์ที่เหมือนกันกับนิพจน์ดั้งเดิม ดังนั้น การดำเนินการแปลงบางอย่างด้วยพหุนามที่มีรูปแบบไม่เป็นไปตามมาตรฐานจะทำให้เราสามารถไปยังพหุนามที่เท่ากันกับพหุนามเหล่านั้นได้ แต่เขียนในรูปแบบมาตรฐาน การเปลี่ยนแปลงนี้เรียกว่าการลดพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน

ดังนั้น, ลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน- นี่หมายถึงการแทนที่พหุนามดั้งเดิมด้วยพหุนามที่เท่ากันของรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งได้มาจากพหุนามดั้งเดิมโดยการแปลงที่เหมือนกัน

จะลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างไร

ลองคิดดูว่าการแปลงใดจะช่วยเราทำให้พหุนามอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราจะเริ่มต้นจากคำจำกัดความของพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

ตามคำนิยาม ทุกพจน์ของพหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐานจะเป็นโมโนเมียลของรูปแบบมาตรฐาน และพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน ในทางกลับกัน พหุนามที่เขียนในรูปแบบอื่นนอกเหนือจากมาตรฐานสามารถประกอบด้วย monomials ในรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐานและอาจมีคำศัพท์ที่คล้ายกัน สิ่งนี้เป็นไปตามตรรกะ กฎถัดไป, อธิบาย วิธีลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ก่อนอื่นคุณต้องนำ monomial ที่ประกอบเป็นพหุนามดั้งเดิมมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน
แล้วจึงทำการลดเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกัน

เป็นผลให้ได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐานเนื่องจากเงื่อนไขทั้งหมดจะถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐานและจะไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ลองดูตัวอย่างการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เมื่อแก้ไขเราจะทำตามขั้นตอนที่กำหนดโดยกฎจากย่อหน้าก่อนหน้า

โปรดทราบว่าบางครั้งเงื่อนไขทั้งหมดของพหุนามจะถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐานทันที ในกรณีนี้ แค่ให้เงื่อนไขที่คล้ายกันก็เพียงพอแล้ว บางครั้ง หลังจากลดเงื่อนไขของพหุนามให้เป็นรูปแบบมาตรฐานแล้ว ก็ไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายกัน ดังนั้น ขั้นตอนของการนำคำศัพท์ที่คล้ายกันจึงถูกละเว้นในกรณีนี้ ใน กรณีทั่วไปคุณต้องทำทั้งสองอย่าง

ตัวอย่าง.

นำเสนอพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0.8+2 ก 3 0.6−ข ข 4 ข 5และ .

สารละลาย.

พจน์ทั้งหมดของพหุนาม 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 เขียนอยู่ในรูปมาตรฐาน ไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ดังนั้น พหุนามนี้จึงแสดงอยู่ในรูปมาตรฐานอยู่แล้ว

มาดูพหุนามถัดไปกันดีกว่า 0.8+2 ก 3 0.6−ข ข 4 ข 5- รูปร่างของมันไม่ได้มาตรฐาน ตามที่เห็นได้จากเงื่อนไข 2·a 3 ·0.6 และ −b·a·b 4 ·b 5 ของรูปแบบที่ไม่ได้มาตรฐาน มานำเสนอในรูปแบบมาตรฐานกัน

ในขั้นตอนแรกของการนำพหุนามดั้งเดิมมาสู่รูปแบบมาตรฐาน เราต้องนำเสนอพจน์ทั้งหมดในรูปแบบมาตรฐาน ดังนั้นเราจึงนำโมโนเมียล 2·a 3 ·0.6 มาสู่รูปแบบมาตรฐาน เรามี 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 หลังจากนั้น – โมโนเมียล −b·a·b 4 ·b 5 เราก็ได้ −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10- ดังนั้น, . ในพหุนามผลลัพธ์ พจน์ทั้งหมดเขียนในรูปแบบมาตรฐาน ยิ่งกว่านั้น เห็นได้ชัดว่าไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายกันอยู่ในนั้น ด้วยเหตุนี้ การลดพหุนามดั้งเดิมให้เป็นรูปแบบมาตรฐานจึงเสร็จสมบูรณ์

ยังคงนำเสนอพหุนามสุดท้ายในรูปแบบมาตรฐาน หลังจากนำสมาชิกทั้งหมดมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐานแล้วจะเขียนว่า - มีสมาชิกที่คล้ายกัน ดังนั้นคุณต้องคัดเลือกสมาชิกที่คล้ายกัน:

ดังนั้นพหุนามดั้งเดิมจึงอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน −x·y+1

คำตอบ:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – อยู่ในรูปแบบมาตรฐานอยู่แล้ว 0.8+2 a 3 0.6−b a b 4 b 5 =0.8+1.2 a 3 −a b 10, .

บ่อยครั้ง การนำพหุนามมาสู่รูปแบบมาตรฐานเป็นเพียงขั้นตอนกลางในการตอบคำถามที่ตั้งไว้ของปัญหา ตัวอย่างเช่น การค้นหาดีกรีของพหุนามจำเป็นต้องมีการแสดงเบื้องต้นในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่าง.

ให้พหุนาม ให้เป็นแบบมาตรฐาน ระบุระดับ และจัดเรียงเงื่อนไขเป็นองศาจากมากไปน้อยของตัวแปร

สารละลาย.

ขั้นแรก เรานำพจน์ทั้งหมดของพหุนามมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน: .

ตอนนี้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

ดังนั้นเราจึงนำพหุนามดั้งเดิมมาอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน ซึ่งช่วยให้เรากำหนดระดับของพหุนามได้ ซึ่งเท่ากับระดับสูงสุดของโมโนเมียลที่อยู่ในนั้น แน่นอนว่ามันเท่ากับ 5.

ยังคงต้องจัดเรียงเงื่อนไขของพหุนามในการลดกำลังของตัวแปร ในการทำเช่นนี้ คุณเพียงแค่ต้องจัดเรียงคำศัพท์ใหม่ในรูปพหุนามผลลัพธ์ของรูปแบบมาตรฐาน โดยคำนึงถึงข้อกำหนด ปริญญาที่ยิ่งใหญ่ที่สุดมีพจน์ z 5 องศาของพจน์ −0.5·z 2 และ 11 เท่ากับ 3, 2 และ 0 ตามลำดับ ดังนั้น พหุนามที่มีพจน์จัดอยู่ในกำลังลดของตัวแปรจึงจะมีรูปแบบ .

คำตอบ:

ระดับของพหุนามคือ 5 และหลังจากจัดเรียงเงื่อนไขเป็นองศาจากมากไปน้อยของตัวแปรแล้ว ก็จะอยู่ในรูปแบบ .

อ้างอิง.

พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 17 - อ.: การศึกษา, 2551. - 240 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019315-3.
มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เวลา 14.00 น. ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียน สถาบันการศึกษา/ เอ.จี. มอร์ดโควิช. - ฉบับที่ 17 เสริม. - อ.: Mnemosyne, 2013. - 175 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-02432-3.
พีชคณิตและเริ่มต้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์- เกรด 10: หนังสือเรียน เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน: พื้นฐานและโปรไฟล์ ระดับ / [ย. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; แก้ไขโดย เอ.บี. ซิจเชนโก้. - ฉบับที่ 3 - อ.: การศึกษา, 2553.- 368 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A., Mordkovich A.G.คณิตศาสตร์ (คู่มือสำหรับผู้เข้าโรงเรียนเทคนิค) พรบ. เบี้ยเลี้ยง.- ม.; สูงกว่า โรงเรียน พ.ศ. 2527-351 น. ป่วย