การเขียนระบบสมการ โพสต์ติดแท็ก "การแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม"

ถึง จำนวนตรรกยะ m/n เขียนเป็นเศษส่วนทศนิยม คุณต้องหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ในกรณีนี้ ผลหารจะเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมที่มีขอบเขตจำกัดหรืออนันต์

เขียนลงไป หมายเลขที่กำหนดเป็นเศษส่วนทศนิยม

สารละลาย. แบ่งตัวเศษของเศษส่วนแต่ละส่วนออกเป็นคอลัมน์ด้วยตัวส่วน: ก)หาร 6 ด้วย 25; ข)หาร 2 ด้วย 3; วี)หาร 1 ด้วย 2 แล้วบวกเศษส่วนผลลัพธ์เข้ากับหนึ่ง - ส่วนจำนวนเต็มของจำนวนคละนี้

เศษส่วนสามัญที่ลดไม่ได้ซึ่งตัวส่วนไม่มีตัวประกอบเฉพาะนอกจาก 2 และ 5 จะถูกเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย

ใน ตัวอย่างที่ 1ในกรณี ก)ตัวส่วน 25=5·5; ในกรณี วี)ตัวส่วนคือ 2 ดังนั้นเราจึงได้ทศนิยมสุดท้ายคือ 0.24 และ 1.5 ในกรณีที่ ข)ตัวส่วนคือ 3 ดังนั้นผลลัพธ์จึงไม่สามารถเขียนเป็นทศนิยมจำกัดได้

เป็นไปได้หรือไม่หากไม่มีการหารยาว ที่จะแปลงเศษส่วนธรรมดาให้เป็นเศษส่วนธรรมดาซึ่งตัวส่วนไม่มีตัวหารอื่นนอกจาก 2 และ 5 ลองคิดดูสิ! เศษส่วนใดเรียกว่าทศนิยมและเขียนโดยไม่มีแถบเศษส่วน คำตอบ: เศษส่วนที่มีตัวส่วน 10; 100; 1,000 ฯลฯ และแต่ละตัวเลขนี้คือผลคูณ เท่ากันจำนวนสองและห้า ในความเป็นจริง: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1,000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 เป็นต้น

ดังนั้นตัวหารของตัวหารลดไม่ได้ เศษส่วนทั่วไปจะต้องแสดงเป็นผลคูณของ "สอง" และ "ห้า" แล้วคูณด้วย 2 และ (หรือ) 5 เพื่อให้ "สอง" และ "ห้า" เท่ากัน จากนั้นตัวส่วนของเศษส่วนจะเท่ากับ 10 หรือ 100 หรือ 1,000 เป็นต้น เพื่อให้แน่ใจว่าค่าของเศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง เราจะคูณตัวเศษของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันกับที่เราคูณตัวส่วน

แสดงเศษส่วนทั่วไปต่อไปนี้เป็นทศนิยม:

สารละลาย. เศษส่วนแต่ละส่วนเหล่านี้ลดไม่ได้ ลองขยายตัวส่วนของเศษส่วนแต่ละส่วนเข้าไป ปัจจัยสำคัญ.

20=2·2·5. สรุป: ขาด "A" หนึ่งตัว

8=2·2·2. สรุป: ขาด "A" สามตัว

25=5·5. สรุป: สอง "สอง" หายไป

ความคิดเห็นในทางปฏิบัติ พวกเขามักจะไม่ใช้การแยกตัวประกอบของตัวส่วน แต่เพียงถามคำถามว่า ควรคูณตัวส่วนด้วยเท่าใดจึงจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ (10 หรือ 100 หรือ 1,000 เป็นต้น) แล้วตัวเศษก็คูณด้วยจำนวนเดียวกัน.

ดังนั้นในกรณี ก)(ตัวอย่างที่ 2) จากเลข 20 คุณสามารถได้ 100 โดยการคูณด้วย 5 ดังนั้นคุณต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วย 5

ในกรณีที่ ข)(ตัวอย่างที่ 2) จากเลข 8 จะไม่ได้เลข 100 แต่จะได้เลข 1,000 จากการคูณด้วย 125 ทั้งตัวเศษ (3) และตัวส่วน (8) ของเศษส่วนจะคูณด้วย 125

ในกรณีที่ วี)(ตัวอย่าง 2) จาก 25 คุณจะได้ 100 ถ้าคุณคูณด้วย 4 ซึ่งหมายความว่าตัวเศษ 8 จะต้องคูณด้วย 4

เศษส่วนทศนิยมอนันต์ซึ่งมีตัวเลขหนึ่งหลักหรือมากกว่านั้นซ้ำกันในลำดับเดียวกันอย่างสม่ำเสมอเรียกว่า เป็นระยะๆเป็นทศนิยม เซตของหลักที่ซ้ำกันเรียกว่าคาบของเศษส่วนนี้ เพื่อความกระชับ ให้เขียนคาบของเศษส่วนเพียงครั้งเดียวโดยใส่ไว้ในวงเล็บ

ในกรณีที่ ข)(ตัวอย่างที่ 1) มีเลขซ้ำตัวเดียวและมีค่าเท่ากับ 6 ดังนั้นผลลัพธ์ของเรา 0.66... ​​​​จะเขียนได้ดังนี้ 0,(6) . พวกเขาอ่านว่า: ศูนย์จุด หกในช่วง

หากมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำตั้งแต่หนึ่งหลักขึ้นไประหว่างจุดทศนิยมและช่วงแรก จะเป็นเช่นนี้ เศษส่วนเป็นระยะเรียกว่าเศษส่วนคาบผสม

เศษส่วนร่วมที่ลดไม่ได้ซึ่งมีตัวส่วนเป็น ร่วมกับผู้อื่นตัวคูณประกอบด้วยตัวคูณ 2 หรือ 5 หันไป ผสมเศษส่วนเป็นระยะ

เขียนตัวเลขเป็นเศษส่วนทศนิยม:

จำนวนตรรกยะใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมแบบคาบไม่สิ้นสุดได้

เขียนตัวเลขเป็นเศษส่วนคาบไม่สิ้นสุด

จากเศษส่วนจำนวนมากที่พบในเลขคณิต เศษส่วนที่มี 10, 100, 1,000 ในตัวส่วน โดยทั่วไปแล้ว กำลังใดๆ ของสิบ - สมควรได้รับความสนใจเป็นพิเศษ เศษส่วนเหล่านี้มีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ทศนิยมคือเศษส่วนของตัวเลขใดๆ ที่ตัวส่วนเป็นกำลังของสิบ

ตัวอย่างเศษส่วนทศนิยม:

เหตุใดจึงต้องแยกเศษส่วนดังกล่าวออกเลย? ทำไมพวกเขาถึงต้องการ แบบฟอร์มของตัวเองบันทึก? มีเหตุผลอย่างน้อยสามประการสำหรับสิ่งนี้:

1. ทศนิยมเปรียบเทียบได้สะดวกกว่ามาก ข้อควรจำ: สำหรับการเปรียบเทียบ เศษส่วนสามัญพวกมันจะต้องถูกลบออกจากกัน และโดยเฉพาะ เพื่อนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ในเศษส่วนทศนิยม ไม่ต้องทำอะไรแบบนี้
2. ลดการคำนวณ เศษส่วนทศนิยมจะถูกบวกและคูณด้วย กฎของตัวเองและหลังจากฝึกฝนเล็กน้อย คุณจะทำงานกับพวกเขาได้เร็วกว่าการฝึกปกติมาก
3. ความง่ายในการบันทึก ซึ่งแตกต่างจากเศษส่วนทั่วไป ทศนิยมจะถูกเขียนในบรรทัดเดียวโดยไม่สูญเสียความชัดเจน

เครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ให้คำตอบเป็นทศนิยมด้วย ในบางกรณี รูปแบบการบันทึกที่แตกต่างกันอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่นจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณขอเปลี่ยนในร้านเป็นจำนวน 2/3 ของรูเบิล :)

กฎการเขียนเศษส่วนทศนิยม

ข้อได้เปรียบหลักของเศษส่วนทศนิยมคือการใช้สัญกรณ์ที่สะดวกและเป็นภาพ กล่าวคือ:

สัญกรณ์ทศนิยมเป็นรูปแบบหนึ่งของการเขียนเศษส่วนทศนิยมโดยที่ ทั้งส่วนแยกออกจากเศษส่วนด้วยจุดปกติหรือลูกน้ำ ในกรณีนี้ ตัวคั่นเอง (จุดหรือลูกน้ำ) เรียกว่าจุดทศนิยม

ตัวอย่างเช่น 0.3 (อ่าน: “ศูนย์จุด 3 ในสิบ”); 7.25 (7 ทั้งหมด 25 ในร้อย); 3.049 (3 ทั้งหมด 49 ในพัน) ตัวอย่างทั้งหมดนำมาจากคำจำกัดความก่อนหน้า

ในการเขียน จุลภาคมักจะใช้เป็นจุดทศนิยม ที่นี่และเพิ่มเติมทั่วทั้งไซต์ จะใช้เครื่องหมายจุลภาคด้วย

หากต้องการเขียนเศษส่วนทศนิยมตามต้องการในแบบฟอร์มนี้ คุณต้องปฏิบัติตามสามขั้นตอนง่ายๆ:

1. เขียนตัวเศษแยกกัน
2. เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้ายให้มากที่สุดเท่าที่มีศูนย์อยู่ในตัวส่วน สมมติว่าในตอนแรกจุดทศนิยมอยู่ทางด้านขวาของตัวเลขทั้งหมด
3. หากจุดทศนิยมถูกย้าย และหลังจากนั้นมีศูนย์ที่ท้ายรายการ จะต้องขีดฆ่าจุดทศนิยมเหล่านั้น

มันเกิดขึ้นว่าในขั้นตอนที่สอง ตัวเศษมีตัวเลขไม่เพียงพอที่จะดำเนินการกะให้เสร็จสิ้น ในกรณีนี้ ตำแหน่งที่ขาดหายไปจะถูกเติมด้วยศูนย์ และโดยทั่วไป ทางด้านซ้ายของตัวเลข คุณสามารถกำหนดเลขศูนย์กี่ตัวก็ได้โดยไม่เป็นอันตรายต่อสุขภาพของคุณ มันน่าเกลียด แต่บางครั้งก็มีประโยชน์

เมื่อมองแวบแรก อัลกอริธึมนี้อาจดูค่อนข้างซับซ้อน ในความเป็นจริงทุกอย่างง่ายมาก - คุณเพียงแค่ต้องฝึกฝนเพียงเล็กน้อย ลองดูตัวอย่าง:

งาน. สำหรับแต่ละเศษส่วน ให้ระบุเครื่องหมายทศนิยม:

ตัวเศษของเศษส่วนแรกคือ: 73 เราเลื่อนจุดทศนิยมไปหนึ่งตำแหน่ง (เนื่องจากตัวส่วนคือ 10) - เราได้ 7.3

ตัวเศษของเศษส่วนที่สอง: 9 เราเลื่อนจุดทศนิยมไปสองตำแหน่ง (เนื่องจากตัวส่วนคือ 100) - เราได้ 0.09 ฉันต้องเพิ่มศูนย์หนึ่งตัวหลังจุดทศนิยมและอีกหนึ่งตัวก่อนหน้านั้น เพื่อไม่ให้มีรายการแปลก ๆ เช่น ".09"

ตัวเศษของเศษส่วนที่สาม: 10029 เราเลื่อนจุดทศนิยมสามตำแหน่ง (เนื่องจากตัวส่วนคือ 1,000) - เราได้ 10.029

ตัวเศษของเศษส่วนสุดท้าย: 10500 เราเลื่อนจุดเป็นสามหลักอีกครั้ง - เราได้ 10,500 มีเลขศูนย์เพิ่มเติมอยู่ท้ายตัวเลข ขีดฆ่าพวกมันออกไป แล้วเราได้ 10.5

ให้ความสนใจกับสองตัวอย่างสุดท้าย: ตัวเลข 10.029 และ 10.5 ตามกฎแล้วจะต้องขีดฆ่าศูนย์ทางด้านขวาเช่นเดียวกับที่ทำใน ตัวอย่างสุดท้าย- อย่างไรก็ตาม คุณไม่ควรทำเช่นนี้โดยมีศูนย์อยู่ในตัวเลข (ซึ่งล้อมรอบด้วยตัวเลขอื่น) นั่นเป็นสาเหตุที่เราได้ 10.029 และ 10.5 ไม่ใช่ 1.29 และ 1.5

ดังนั้นเราจึงหาคำจำกัดความและรูปแบบของการเขียนเศษส่วนทศนิยมได้ ตอนนี้เรามาดูวิธีแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม - และในทางกลับกัน

การแปลงจากเศษส่วนเป็นทศนิยม

พิจารณาเศษส่วนตัวเลขอย่างง่ายในรูปแบบ a /b คุณสามารถใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนและคูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวเลขจนด้านล่างกลายเป็นกำลังสิบ แต่ก่อนที่คุณจะทำ โปรดอ่านข้อมูลต่อไปนี้:

มีตัวส่วนที่ไม่สามารถลดให้เหลือกำลังสิบได้ เรียนรู้ที่จะจดจำเศษส่วนดังกล่าว เนื่องจากไม่สามารถใช้งานได้โดยใช้อัลกอริทึมที่อธิบายไว้ด้านล่าง

นั่นเป็นวิธีที่สิ่งต่างๆ คุณจะเข้าใจได้อย่างไรว่าตัวส่วนลดลงเหลือกำลังสิบหรือไม่?

คำตอบนั้นง่ายมาก: แยกตัวส่วนออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ ถ้าการขยายตัวมีเพียงปัจจัย 2 และ 5 จำนวนนี้สามารถลดลงเป็นกำลังสิบได้ หากมีตัวเลขอื่นๆ (3, 7, 11 - อะไรก็ได้) คุณก็สามารถลืมเรื่องยกกำลังสิบได้เลย

งาน. ตรวจสอบว่าเศษส่วนที่ระบุสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้หรือไม่:

ลองเขียนและแยกตัวประกอบของเศษส่วนเหล่านี้:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - มีเพียงตัวเลข 2 และ 5 เท่านั้น ดังนั้น เศษส่วนจึงสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - มีปัจจัย "ต้องห้าม" 3 เศษส่วนไม่สามารถแสดงเป็นทศนิยมได้

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5 ทุกอย่างเป็นไปตามลำดับ: ไม่มีอะไรนอกจากตัวเลข 2 และ 5 เศษส่วนสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3 ตัวประกอบ 3 “ลอยตัว” อีกครั้ง ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนทศนิยมได้

ดังนั้นเราจึงแยกตัวส่วนออกแล้ว - ตอนนี้เรามาดูอัลกอริทึมทั้งหมดสำหรับการย้ายเป็นเศษส่วนทศนิยม:

1. แยกตัวประกอบของเศษส่วนดั้งเดิมและให้แน่ใจว่าโดยทั่วไปแล้วเศษส่วนนั้นสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ เหล่านั้น. ตรวจสอบว่ามีเพียงปัจจัย 2 และ 5 เท่านั้นที่อยู่ในส่วนขยาย มิฉะนั้น อัลกอริธึมจะไม่ทำงาน
2. นับจำนวนสองและห้าที่มีอยู่ในส่วนขยาย (จะไม่มีตัวเลขอื่นอยู่ที่นั่นจำได้ไหม?) เลือกปัจจัยเพิ่มเติมเพื่อให้จำนวนสองและห้าเท่ากัน
3. ที่จริงแล้วคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนดั้งเดิมด้วยปัจจัยนี้ - เราได้การเป็นตัวแทนที่ต้องการเช่น ตัวส่วนจะเป็นกำลังของสิบ

แน่นอนว่าปัจจัยเพิ่มเติมก็จะแบ่งออกเป็นสองและห้าเท่านั้น ในเวลาเดียวกัน เพื่อไม่ให้ชีวิตของคุณซับซ้อน คุณควรเลือกตัวคูณที่เล็กที่สุดของตัวคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด

และอีกอย่างหนึ่ง: หากเศษส่วนดั้งเดิมมีส่วนจำนวนเต็ม อย่าลืมแปลงเศษส่วนนี้เป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม - จากนั้นจึงใช้อัลกอริทึมที่อธิบายไว้เท่านั้น

งาน. แปลข้อมูล เศษส่วนที่เป็นตัวเลขเป็นทศนิยม:

ลองแยกตัวประกอบของเศษส่วนแรก: 4 = 2 · 2 = 2 2 ดังนั้นเศษส่วนจึงสามารถแสดงเป็นทศนิยมได้ ส่วนขยายประกอบด้วยสองสองและไม่ใช่ห้าตัวเดียว ดังนั้นตัวประกอบเพิ่มเติมคือ 5 2 = 25 เมื่อรวมกันแล้ว จำนวนสองและห้าจะเท่ากัน เรามี:

ทีนี้มาดูเศษส่วนที่สองกัน. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่า 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - มีการขยายตัวเป็นสามเท่า ดังนั้นจึงไม่สามารถแสดงเศษส่วนเป็นทศนิยมได้

เศษส่วนสองตัวสุดท้ายมีส่วนเป็น 5 (จำนวนเฉพาะ) และ 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 ตามลำดับ - มีเพียงสองและห้าเท่านั้นที่มีอยู่ทุกที่ ยิ่งไปกว่านั้น ในกรณีแรก “เพื่อความสุขที่สมบูรณ์” ปัจจัย 2 นั้นไม่เพียงพอ และประการที่สอง - 5 เราได้รับ:

การแปลงจากทศนิยมให้เป็นเศษส่วนร่วม

การแปลงย้อนกลับ- จากรูปแบบทศนิยมไปเป็นรูปแบบปกติ - มันง่ายกว่ามาก ไม่มีข้อจำกัดหรือการตรวจสอบพิเศษที่นี่ ดังนั้นคุณจึงสามารถแปลงเศษส่วนทศนิยมให้เป็นเศษส่วน "สองชั้น" แบบคลาสสิกได้ตลอดเวลา

อัลกอริธึมการแปลมีดังนี้:

1. ขีดฆ่าศูนย์ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมและจุดทศนิยมออก นี่จะเป็นตัวเศษของเศษส่วนที่ต้องการ สิ่งสำคัญคืออย่าหักโหมจนเกินไปและอย่าขีดฆ่าศูนย์ด้านในที่ล้อมรอบด้วยตัวเลขอื่น
2. นับจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่อยู่ในเศษส่วนเดิมหลังจุดทศนิยม นำหมายเลข 1 และเพิ่มศูนย์ไปทางขวาให้มากที่สุดเท่าที่มีอักขระที่คุณนับได้ นี่จะเป็นตัวส่วน
3. จริงๆ แล้ว เขียนเศษส่วนที่เราเพิ่งพบทั้งตัวเศษและส่วนลงไป. ถ้าเป็นไปได้ก็ลดมันลง ถ้าเศษส่วนเดิมมีส่วนเป็นจำนวนเต็ม เราจะได้ เศษส่วนเกินซึ่งสะดวกมากสำหรับการคำนวณต่อไป

งาน. แปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ: 0.008; 3.107; 2.25; 7,2008.

ขีดฆ่าศูนย์ทางด้านซ้ายและลูกน้ำ - เราได้ ตัวเลขต่อไปนี้(เหล่านี้จะเป็นตัวเศษ): 8; 3107; 225; 72008.

ในเศษส่วนตัวแรกและตัวที่สองจะมีทศนิยม 3 ตำแหน่งในส่วนที่สอง - 2 และในส่วนที่สาม - มีทศนิยมมากถึง 4 ตำแหน่ง เราได้ตัวส่วน: 1,000; 1,000; 100; 10,000.

สุดท้ายนี้ ลองรวมตัวเศษและส่วนเป็นเศษส่วนสามัญ:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง เศษส่วนผลลัพธ์มักจะลดลงได้มาก ให้ฉันทราบอีกครั้งว่าเศษส่วนทศนิยมสามารถแสดงเป็นเศษส่วนสามัญได้ การแปลงแบบย้อนกลับอาจไม่สามารถทำได้เสมอไป

§ 114. การแปลงเศษส่วนสามัญเป็นทศนิยม

การแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยมหมายถึงการค้นหาเศษส่วนทศนิยมที่จะเท่ากับเศษส่วนร่วมที่กำหนด เมื่อแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม เราจะพบสองกรณี:

1) เมื่อเศษส่วนธรรมดาสามารถแปลงเป็นทศนิยมได้ อย่างแน่นอน;

2) เมื่อเศษส่วนธรรมดาสามารถแปลงเป็นทศนิยมได้เท่านั้น ประมาณ- ลองพิจารณากรณีเหล่านี้ตามลำดับ

1. จะแปลงเศษส่วนที่ลดไม่ได้สามัญให้เป็นทศนิยมได้อย่างไรหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าจะแทนที่เศษส่วนธรรมดาด้วยทศนิยมเท่ากับเศษส่วนได้อย่างไร

ในกรณีที่เศษส่วนธรรมดาสามารถเป็นได้ อย่างแน่นอนแปลงเป็นทศนิยมก็มี สองวิธีการรักษาดังกล่าว

มาจำวิธีแทนที่เศษส่วนหนึ่งด้วยอีกเศษส่วนหนึ่งที่เท่ากับเศษส่วนแรก หรือวิธีย้ายจากเศษส่วนหนึ่งไปยังอีกเศษส่วนหนึ่งโดยไม่เปลี่ยนค่าของเศษส่วนแรก นี่คือสิ่งที่เราทำเมื่อเราลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม ( §86- เมื่อเราลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม เราก็ทำ ดังต่อไปนี้: เราพบ ตัวส่วนร่วมสำหรับเศษส่วนที่กำหนด เราจะคำนวณตัวประกอบเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน จากนั้นคูณตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวประกอบนี้

เมื่อสังเกตสิ่งนี้แล้ว ลองหาเศษส่วนที่ลดไม่ได้ 3/20 แล้วลองแปลงเป็นทศนิยม ตัวส่วนของเศษส่วนนี้คือ 20 แต่คุณต้องนำไปหารด้วยตัวส่วนอีกตัว ซึ่งจะแทนด้วยเลขศูนย์ เราจะหาตัวส่วนที่เล็กที่สุดของหนึ่งตามด้วยศูนย์.

วิธีแรกการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมนั้นขึ้นอยู่กับการแยกย่อยตัวส่วนให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

คุณต้องค้นหาว่าคุณควรคูณ 20 ด้วยจำนวนใดจึงจะได้ผลลัพธ์เป็น 1 ตามด้วยศูนย์ หากต้องการทราบ ก่อนอื่นคุณต้องจำก่อนว่าตัวเลขที่แสดงโดยหนึ่งและศูนย์จะแยกย่อยเป็นปัจจัยเฉพาะตัวใด เหล่านี้คือการสลายตัว:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

เราจะเห็นว่าตัวเลขที่แสดงด้วยศูนย์นั้นจะถูกแบ่งออกเป็นสองและห้าเท่านั้น และไม่มีปัจจัยอื่นใดในการขยาย นอกจากนี้ twos และ fives ยังรวมอยู่ในส่วนขยายด้วย หมายเลขเดียวกัน- และสุดท้าย จำนวนของปัจจัยเหล่านั้นและปัจจัยอื่นๆ ที่แยกจากกันจะเท่ากับจำนวนศูนย์ที่อยู่หลังเลขในรูปของตัวเลขที่กำหนด

ทีนี้มาดูกันว่า 20 ถูกแบ่งออกเป็นตัวประกอบเฉพาะได้อย่างไร: 20 = 2 2 5 จากนี้จะเห็นได้ว่าในการสลายตัวของเลข 20 มีสองสองตัวและห้าหนึ่งตัว ซึ่งหมายความว่าถ้าเราบวกหนึ่งห้าเข้ากับตัวประกอบเหล่านี้ เราจะได้ตัวเลขที่แทนด้วยศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อให้ตัวส่วนมีตัวเลขแทนศูนย์แทนที่จะเป็น 20 คุณต้องคูณ 20 ด้วย 5 และเพื่อให้ค่าของเศษส่วนไม่เปลี่ยนแปลง คุณต้องคูณตัวเศษด้วย 5 , เช่น.

ดังนั้น ในการแปลงเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม คุณต้องแยกตัวส่วนของเศษส่วนสามัญนี้ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงทำให้จำนวนสองและห้าในนั้นเท่ากัน โดยแนะนำเข้าไปในตัวเศษ (และแน่นอน เป็นตัวเศษ ) ปัจจัยที่ขาดหายไปในจำนวนที่ต้องการ

ลองใช้ข้อสรุปนี้กับเศษส่วนบางส่วนกัน

แปลง 3/50 เป็นทศนิยม ตัวส่วนของเศษส่วนนี้ขยายได้ดังนี้:

ซึ่งหมายความว่าขาดผีสางหนึ่งตัว มาเพิ่มกัน:

แปลง 7/40 เป็นทศนิยม

ตัวส่วนของเศษส่วนนี้จะถูกแยกย่อยดังนี้: 40 = 2 2 2 5 เช่น หายไปสองห้า เรามาแนะนำพวกมันให้รู้จักทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นปัจจัย:

จากที่กล่าวมาสรุปได้ไม่ยากว่าเศษส่วนธรรมดาตัวใดที่แปลงเป็นทศนิยมได้พอดี เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนสามัญที่ลดไม่ได้ซึ่งตัวส่วนไม่มีตัวประกอบเฉพาะอื่นใดนอกจาก 2 และ 5 จะแปลงเป็นทศนิยมทุกประการ เศษส่วนทศนิยมซึ่งได้จากการกลับเศษส่วนสามัญบางส่วนจะมีตำแหน่งทศนิยมเท่ากับจำนวนครั้งที่ตัวส่วนของเศษส่วนสามัญหลังจากการลดลงจะรวมตัวประกอบที่เป็นตัวเลข 2 หรือ 5 ด้วย

หากเราหาเศษส่วน 9/40 อย่างแรก มันจะเปลี่ยนเป็นทศนิยมเพราะตัวส่วนรวมตัวประกอบ 2 2 2 5 และอย่างที่สอง เศษส่วนทศนิยมที่ได้จะมีทศนิยม 3 ตำแหน่ง เนื่องจากตัวประกอบที่เป็นตัวเลขเด่น 2 เข้าสู่การขยายสามครั้ง ในความเป็นจริง:

วิธีที่สอง(โดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน)

สมมติว่าคุณต้องการแปลง 3/4 เป็นเศษส่วนทศนิยม เรารู้ว่า 3/4 คือผลหารของ 3 หารด้วย 4 เราสามารถหาผลหารนี้ได้โดยหาร 3 ด้วย 4 ลองทำดังนี้:

ดังนั้น 3/4 = 0.75

อีกตัวอย่างหนึ่ง: แปลง 5/8 เป็นเศษส่วนทศนิยม

ดังนั้น 5/8 = 0.625

ดังนั้น ในการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม คุณเพียงแค่ต้องหารตัวเศษของเศษส่วนด้วยตัวส่วน

2. ให้เราพิจารณากรณีที่สองที่ระบุไว้ในตอนต้นของย่อหน้า เช่น กรณีที่เศษส่วนธรรมดาไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมที่แน่นอนได้

เศษส่วนลดไม่ได้สามัญที่มีตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบเฉพาะใดๆ ที่ไม่ใช่ 2 และ 5 ไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมได้พอดี ตัวอย่างเช่น ในความเป็นจริง เศษส่วน 8/15 ไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมได้ เนื่องจากตัวส่วนของ 15 แบ่งออกเป็น 2 ตัวคือ 3 และ 5

เราไม่สามารถกำจัดค่าสามออกจากตัวส่วนได้ และไม่สามารถเลือกจำนวนเต็มได้ เมื่อคูณตัวส่วนที่กำหนดแล้ว ผลคูณจะแสดงเป็น 1 ตามด้วยศูนย์

ในกรณีเช่นนี้เราคงได้แต่พูดถึงเท่านั้น การประมาณเศษส่วนธรรมดาเป็นทศนิยม

วิธีนี้ทำอย่างไร? ทำได้โดยการหารตัวเศษของเศษส่วนร่วมด้วยตัวส่วนนั่นคือ ในกรณีนี้จะใช้วิธีที่สองในการแปลงเศษส่วนร่วมเป็นทศนิยม ซึ่งหมายความว่าวิธีนี้ใช้สำหรับการจัดการที่แม่นยำและโดยประมาณ

หากเศษส่วนถูกแปลงเป็นทศนิยมทุกประการ การหารจะสร้างเศษส่วนทศนิยมสุดท้าย

หากเศษส่วนธรรมดาไม่แปลงเป็นทศนิยมที่แน่นอน การหารจะสร้างเศษส่วนทศนิยมอนันต์

เนื่องจากเราไม่สามารถเติมเต็มได้ กระบวนการที่ไม่มีที่สิ้นสุดการหาร เราก็จะต้องหยุดการหารที่จุดทศนิยมสักตำแหน่งหนึ่ง นั่นคือ การหารโดยประมาณ ตัวอย่างเช่น เราสามารถหยุดการหารที่ตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งแรกได้ กล่าวคือ จำกัดตัวเองไว้ที่หนึ่งในสิบ ถ้าจำเป็น เราสามารถหยุดที่ตำแหน่งทศนิยมตำแหน่งที่สอง หาหลักร้อย เป็นต้น ในกรณีเหล่านี้ เราบอกว่าเรากำลังปัดเศษทศนิยมอนันต์ การปัดเศษเสร็จสิ้นด้วยความแม่นยำที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหานี้

§ 115 แนวคิดเรื่องเศษส่วนเป็นคาบ

เศษส่วนทศนิยมถาวรซึ่งมีหลักตั้งแต่หนึ่งหลักขึ้นไปซ้ำกันในลำดับเดียวกันอย่างสม่ำเสมอ เรียกว่า เศษส่วนทศนิยมเป็นคาบ ตัวอย่างเช่น:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

เรียกว่าชุดของตัวเลขซ้ำ ระยะเวลาเศษส่วนนี้ คาบของเศษส่วนตัวแรกที่เขียนด้านบนคือ 3 คาบของเศษส่วนที่สองคือ 12 คาบของเศษส่วนที่สามคือ 234 ซึ่งหมายความว่าคาบสามารถประกอบด้วยตัวเลขหลายหลัก - หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ตัวเลขซ้ำชุดแรกเรียกว่าช่วงแรกส่วนที่สองคือผลรวม - ช่วงที่สอง ฯลฯ เช่น

เศษส่วนเป็นคาบอาจเป็นเศษส่วนบริสุทธิ์หรือผสมก็ได้ เศษส่วนเป็นคาบเรียกว่าบริสุทธิ์หากคาบเริ่มต้นทันทีหลังจุดทศนิยม ซึ่งหมายความว่าเศษส่วนคาบที่เขียนข้างต้นจะบริสุทธิ์ ในทางตรงกันข้าม เศษส่วนคาบจะเรียกว่าผสมหากมีตัวเลขที่ไม่ซ้ำตั้งแต่หนึ่งหลักขึ้นไประหว่างจุดทศนิยมกับช่วงแรก ตัวอย่างเช่น

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

หากต้องการย่อตัวอักษรให้สั้นลง คุณสามารถเขียนตัวเลขจุดหนึ่งครั้งในวงเล็บ และอย่าใส่จุดไข่ปลาหลังวงเล็บ เช่น แทนที่จะเป็น 0.33... คุณสามารถเขียน 0,(3); แทนที่จะเป็น 2.515151... คุณสามารถเขียน 2,(51); แทน 0.2333... คุณสามารถเขียน 0.2(3); แทนที่จะเป็น 0.8333... คุณสามารถเขียน 0.8(3) ได้

เศษส่วนคาบอ่านได้ดังนี้:

0,(3) - 0 จำนวนเต็ม 3 ในช่วงเวลา

7,2(3) - จำนวนเต็ม 7 จำนวน 2 ก่อนจุด 3 ในช่วงเวลา

5.00(17) - จำนวนเต็ม 5 ตัว เลขศูนย์สองตัวก่อนงวด 17 งวด

เศษส่วนคาบเกิดขึ้นได้อย่างไร? เราได้เห็นแล้วว่าการแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมอาจมีสองกรณี

ประการแรกตัวหารของสามัญ เศษส่วนที่ลดไม่ได้ไม่มีตัวคูณอื่นใดนอกจาก 2 และ 5 ในกรณีนี้เศษส่วนธรรมดาจะกลายเป็นทศนิยมสุดท้าย

ประการที่สองตัวหารของเศษส่วนลดไม่ได้สามัญประกอบด้วยตัวประกอบเฉพาะใดๆ ที่ไม่ใช่ 2 และ 5 ในกรณีนี้เศษส่วนธรรมดาจะไม่กลายเป็นทศนิยมสุดท้าย ในเรื่องนี้ กรณีหลังเมื่อพยายามแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมโดยการหารตัวเศษด้วยตัวส่วน ผลลัพธ์ก็คือ เศษส่วนอนันต์ซึ่งจะเป็นระยะๆ เสมอ

หากต้องการดูสิ่งนี้เรามาดูตัวอย่างกัน ลองแปลงเศษส่วน 18/7 เป็นทศนิยมกัน

แน่นอนว่าเรารู้ล่วงหน้าว่าเศษส่วนที่มีตัวส่วนไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมสุดท้ายได้ และเรากำลังพูดถึงการแปลงโดยประมาณเท่านั้น หารเศษ 18 ด้วยส่วน 7.

เรามีทศนิยมแปดตำแหน่งในผลหาร. ไม่จำเป็นต้องแบ่งแยกกันต่อไปเพราะว่ายังไงก็ไม่จบสิ้น แต่จากนี้ เห็นได้ชัดว่าการหารสามารถดำเนินต่อไปได้อย่างไม่มีกำหนด และทำให้ได้ตัวเลขใหม่ในผลหาร ตัวเลขใหม่ๆ เหล่านี้จะเกิดขึ้น เพราะเราจะมีของเหลืออยู่เสมอ แต่ไม่มีเศษใดจะมากกว่าตัวหาร ซึ่งสำหรับเราคือ 7

มาดูกันว่าเรามียอดคงเหลืออะไรบ้าง: 4; 5; 1; 3; 2; b นั่นคือตัวเลขเหล่านี้น้อยกว่า 7 เห็นได้ชัดว่าไม่สามารถมีได้มากกว่าหกตัวและด้วยการหารต่อไปพวกเขาจะต้องทำซ้ำและหลังจากนั้นตัวเลขของผลหารจะถูกทำซ้ำ ตัวอย่างข้างต้นยืนยันแนวคิดนี้: ตำแหน่งทศนิยมในผลหารอยู่ในลำดับนี้: 571428 และหลังจากนั้นตัวเลข 57 ปรากฏขึ้นอีกครั้ง ซึ่งหมายความว่าช่วงแรกสิ้นสุดลงแล้ว และช่วงที่สองเริ่มต้นขึ้น

ดังนั้น, เศษส่วนทศนิยมอนันต์ที่ได้จากการกลับเศษส่วนร่วมจะเป็นเศษส่วนเสมอ

หากพบเศษส่วนเป็นระยะเมื่อแก้ไขปัญหา จะต้องมีความแม่นยำตามเงื่อนไขของปัญหา (ถึงหนึ่งในสิบ, หนึ่งร้อย, หนึ่งพัน ฯลฯ )

มาตรา 116 การดำเนินการร่วมกันด้วยเศษส่วนธรรมดาและทศนิยม

เมื่อตัดสินใจ งานต่างๆเราจะพบกรณีที่ปัญหาเกี่ยวข้องกับทั้งเศษส่วนสามัญและทศนิยม

ในกรณีเหล่านี้ คุณสามารถไปได้หลายวิธี

1. แปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นทศนิยมสะดวกเพราะการคำนวณเศษส่วนทศนิยมง่ายกว่าเศษส่วนธรรมดา ตัวอย่างเช่น,

ลองแปลงเศษส่วน 3/4 และ 1 1/5 เป็นทศนิยม:

2. แปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นเศษส่วนสามัญวิธีนี้มักทำในกรณีที่มีเศษส่วนธรรมดาที่ไม่กลายเป็นทศนิยมสุดท้าย

ตัวอย่างเช่น,

ลองแปลงเศษส่วนทศนิยมเป็นเศษส่วนสามัญ:

3. การคำนวณจะดำเนินการโดยไม่ต้องแปลงเศษส่วนบางส่วนเป็นเศษส่วนอื่น

สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อตัวอย่างเกี่ยวข้องกับการคูณและการหารเท่านั้น ตัวอย่างเช่น,

ลองเขียนตัวอย่างใหม่ดังนี้:

4. ในบางกรณี แปลงเศษส่วนทั้งหมดให้เป็นทศนิยม(แม้จะกลายเป็นเป็นระยะ ๆ ก็ตาม) และค้นหาผลลัพธ์โดยประมาณ ตัวอย่างเช่น,

ลองแปลง 2/3 เป็นเศษส่วนทศนิยม โดยจำกัดตัวเองไว้ที่หนึ่งในพัน