ระบบสมการ ทฤษฎีโดยละเอียดพร้อมตัวอย่าง (2019)

I. สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ

1.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ x, ฟังก์ชันที่ต้องการ ยและอนุพันธ์หรือส่วนต่างของมัน

ในเชิงสัญลักษณ์ สมการเชิงอนุพันธ์เขียนดังนี้:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าสามัญหากฟังก์ชันที่ต้องการขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระตัวเดียว

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันที่เปลี่ยนสมการนี้ให้มีเอกลักษณ์

ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์คือลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในสมการนี้

ตัวอย่าง.

1. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

วิธีแก้สมการนี้คือฟังก์ชัน y = 5 ln x แท้จริงแล้วการทดแทน คุณ"ในสมการ เราได้เอกลักษณ์มา

และนี่หมายความว่าฟังก์ชัน y = 5 ln x– เป็นวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้

2. พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง y" - 5y" +6y = 0- ฟังก์ชันคือคำตอบของสมการนี้

จริงหรือ, .

เมื่อแทนนิพจน์เหล่านี้ลงในสมการ เราได้: , – เอกลักษณ์

และนี่หมายความว่าฟังก์ชันคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้

การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์เป็นกระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าฟังก์ชันของแบบฟอร์ม ซึ่งรวมถึงค่าคงที่ตามอำเภอใจอิสระมากเท่ากับลำดับของสมการ

ผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เป็นสารละลายที่ได้จากสารละลายทั่วไปสำหรับค่าตัวเลขต่างๆ ของค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค่าของค่าคงที่ตามอำเภอใจจะพบได้ที่ค่าเริ่มต้นบางค่าของอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน

กราฟของคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากราฟ เส้นโค้งอินทิกรัล.

ตัวอย่าง

1. ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

xdx + ydy = 0, ถ้า ย= 4 ณ x = 3.

สารละลาย. เราได้อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการแล้ว

ความคิดเห็น ค่าคงที่ C ที่ได้รับตามอำเภอใจซึ่งเป็นผลมาจากการรวมสามารถแสดงในรูปแบบใด ๆ ที่สะดวกสำหรับการแปลงเพิ่มเติม ในกรณีนี้ เมื่อคำนึงถึงสมการทางบัญญัติของวงกลม จะสะดวกในการแสดงค่าคงที่ตามอำเภอใจ C ในรูปแบบ .

- คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

ผลเฉลยเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น ย = 4 ณ x = 3 หาได้จากค่าทั่วไปโดยการแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้นลงในคำตอบทั่วไป: 3 2 + 4 2 = C 2 ; ค=5.

เมื่อแทน C=5 ลงในคำตอบทั่วไป เราก็จะได้ x 2 +y 2 = 5 2 .

นี่เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่ได้มาจากคำตอบทั่วไปภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด

2. หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์

ผลเฉลยของสมการนี้คือฟังก์ชันใดๆ ก็ตามที่อยู่ในรูปแบบ โดยที่ C คือค่าคงที่ใดๆ ก็ตาม อันที่จริงการแทนที่ , ลงในสมการที่เราได้รับ: , .

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์นี้จึงมีคำตอบจำนวนอนันต์ เนื่องจากสำหรับค่าที่แตกต่างกันของค่าคงที่ C ความเท่าเทียมกันจะเป็นตัวกำหนดคำตอบที่แตกต่างกันของสมการ

ตัวอย่างเช่น โดยการทดแทนโดยตรงคุณสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันต่างๆ เป็นการแก้สมการ

ปัญหาที่คุณต้องค้นหาวิธีแก้สมการโดยเฉพาะ ย" = ฉ(x,y)เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x 0) = y 0เรียกว่าปัญหาคอชี

การแก้สมการ ย" = ฉ(x,y)เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น y(x 0) = y 0เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาคอชี่

การแก้ปัญหาคอชีมีความหมายทางเรขาคณิตอย่างง่าย ตามคำจำกัดความเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหาคอชี่ ย" = ฉ(x,y)ระบุว่า y(x 0) = y 0, หมายถึงการหาเส้นโค้งอินทิกรัลของสมการ ย" = ฉ(x,y)ซึ่งผ่านจุดที่กำหนด ม 0 (x 0,ใช่ 0).

ครั้งที่สอง สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

2.1. แนวคิดพื้นฐาน

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือสมการของรูปแบบ F(x,y,y") = 0.

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งจะรวมถึงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและไม่รวมอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

สมการ ย" = ฉ(x,y)เรียกว่าสมการอันดับหนึ่งที่แก้ได้ด้วยอนุพันธ์

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งคือฟังก์ชันของรูปแบบ ซึ่งมีค่าคงที่ใดก็ได้หนึ่งค่า

ตัวอย่าง.พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ผลเฉลยของสมการนี้คือฟังก์ชัน

อันที่จริงเราได้แทนที่สมการนี้ด้วยค่าของมัน

นั่นคือ 3x=3x

ดังนั้น ฟังก์ชันนี้จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการของค่าคงที่ C ใดๆ

ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการนี้ที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้น ย(1)=1การแทนที่เงื่อนไขเริ่มต้น x = 1, y = 1เราได้มาจากคำตอบทั่วไปของสมการ ค=0.

ดังนั้นเราจึงได้คำตอบเฉพาะจากวิธีทั่วไปโดยการแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการนี้ ค=0– โซลูชั่นส่วนตัว

2.2. สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก

สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกได้คือสมการของรูปแบบ: y"=ฉ(x)ก(y)หรือผ่านดิฟเฟอเรนเชียล โดยที่ ฉ(x)และ ก(ย)– ฟังก์ชั่นที่กำหนด

สำหรับพวกนั้น ยซึ่งก็คือสมการ y"=ฉ(x)ก(y)เท่ากับสมการ ซึ่งในตัวแปรนั้น ยปรากฏทางด้านซ้ายเท่านั้น และตัวแปร x จะอยู่ทางด้านขวาเท่านั้น พวกเขาพูดว่า "ในสมการ y"=ฉ(x)ก(yมาแยกตัวแปรกันเถอะ”

สมการของแบบฟอร์ม เรียกว่าสมการตัวแปรแยกส่วน

การบูรณาการทั้งสองด้านของสมการ โดย xเราได้รับ G(y) = F(x) + Cคือคำตอบทั่วไปของสมการ โดยที่ ก(ญ)และ ฉ(x)– แอนติเดริเวทีฟบางตัวตามลำดับของฟังก์ชันและ ฉ(x), คค่าคงที่ตามอำเภอใจ

อัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยตัวแปรที่แยกไม่ออก

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ ย" = xy

สารละลาย. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน คุณ"แทนที่ด้วย

มาแยกตัวแปรกันดีกว่า

มารวมความเท่าเทียมกันทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน:

ตัวอย่างที่ 2

2ปปป" = 1- 3x 2, ถ้า ปี 0 = 3ที่ x 0 = 1

นี่คือสมการตัวแปรที่แยกออกจากกัน ลองจินตนาการว่ามันเป็นดิฟเฟอเรนเชียล เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะเขียนสมการนี้ใหม่ในรูปแบบ จากที่นี่

เราพบว่าเมื่อรวมทั้งสองด้านของความเสมอภาคสุดท้ายเข้าด้วยกัน

การแทนที่ค่าเริ่มต้น x 0 = 1, y 0 = 3เราจะพบ กับ 9=1-1+ค, เช่น. ค = 9

ดังนั้นอินทิกรัลบางส่วนที่ต้องการจะเป็น หรือ

ตัวอย่างที่ 3

เขียนสมการของเส้นโค้งที่ผ่านจุด ม(2;-3)และมีค่าแทนเจนต์กับสัมประสิทธิ์เชิงมุม

สารละลาย. ตามเงื่อนไข

นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกจากกันได้ เมื่อแบ่งตัวแปรเราจะได้:

เมื่อรวมทั้งสองข้างของสมการเข้าด้วยกัน เราจะได้:

โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้น x = 2และ ย = - 3เราจะพบ ค:

ดังนั้นสมการที่ต้องการจึงมีรูปแบบ

2.3. สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรก

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับแรกคือสมการของรูปแบบ y" = ฉ(x)y + ก(x)

ที่ไหน ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)- ฟังก์ชั่นที่ระบุบางอย่าง

ถ้า ก.(x)=0จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเรียกว่าเอกพันธ์และมีรูปแบบ: ย" = ฉ(x)y

ถ้าสมการแล้ว y" = ฉ(x)y + ก(x)เรียกว่าต่างกัน

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ย" = ฉ(x)yได้มาจากสูตร: โดยที่ กับ– ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

โดยเฉพาะถ้า ค =0,แล้ววิธีแก้ปัญหาก็คือ ย = 0ถ้าสมการเอกพันธ์เชิงเส้นมีรูปแบบ ย" = ไคที่ไหน เคเป็นค่าคงที่ ดังนั้นคำตอบทั่วไปของมันจะเป็นดังนี้:

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์แบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น y" = ฉ(x)y + ก(x)จะได้รับจากสูตร ,

เหล่านั้น. เท่ากับผลรวมของคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์เชิงเส้นที่สอดคล้องกันกับคำตอบเฉพาะของสมการนี้

สำหรับสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้นของรูปแบบ y" = kx + b,

ที่ไหน เคและ ข- ตัวเลขบางตัวและผลเฉลยเฉพาะจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ดังนั้นคำตอบทั่วไปจึงมีรูปแบบ

ตัวอย่าง- แก้สมการ y" + 2y +3 = 0

สารละลาย. มาแสดงสมการในรูปแบบกัน ย" = -2y - 3ที่ไหน เค = -2, ข= -3สารละลายทั่วไปได้มาจากสูตร

ดังนั้นโดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

2.4. การแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่ 1 โดยวิธีเบอร์นูลลี

การหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง y" = ฉ(x)y + ก(x)ลดการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สองสมการด้วยตัวแปรที่แยกจากกันโดยใช้การทดแทน y=ยูวี, ที่ไหน คุณและ โวลต์- ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักจาก x- วิธีการแก้ปัญหานี้เรียกว่าวิธีของเบอร์นูลลี

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่หนึ่ง

y" = ฉ(x)y + ก(x)

1. ป้อนการทดแทน y=ยูวี.

2. สร้างความแตกต่างให้กับความเท่าเทียมกันนี้ ย" = คุณ"วี + ยูวี"

3. ทดแทน ยและ คุณ"ลงในสมการนี้: คุณ"v + uv" =ฉ(x)ยูวี + ก(x)หรือ คุณ"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. จัดกลุ่มเงื่อนไขของสมการให้เป็นแบบนั้น คุณเอามันออกจากวงเล็บ:

5. จากวงเล็บ ให้เท่ากับศูนย์ ให้ค้นหาฟังก์ชัน

นี่คือสมการที่แยกออกจากกัน:

ลองแบ่งตัวแปรและรับ:

ที่ไหน . .

6. แทนค่าผลลัพธ์ โวลต์เข้าไปในสมการ (จากขั้นตอนที่ 4):

และหาฟังก์ชัน นี่คือสมการที่มีตัวแปรที่แยกกันได้:

7. เขียนคำตอบทั่วไปในรูปแบบ: , เช่น. -

ตัวอย่างที่ 1

หาคำตอบเฉพาะของสมการ ย" = -2y +3 = 0ถ้า ย=1ที่ x = 0

สารละลาย. ลองแก้มันโดยใช้การแทนที่กัน y=ยูวี.ย" = คุณ"วี + ยูวี"

การทดแทน ยและ คุณ"เราก็จะได้สมการนี้

โดยการจัดกลุ่มพจน์ที่สองและสามทางด้านซ้ายของสมการ เราจะนำตัวประกอบร่วมออกมา คุณ ออกจากวงเล็บ

เราจัดนิพจน์ในวงเล็บให้เป็นศูนย์และเมื่อแก้สมการผลลัพธ์แล้วเราจะพบฟังก์ชัน วี = วี(x)

เราได้สมการที่มีตัวแปรแยกจากกัน ลองอินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการนี้: ค้นหาฟังก์ชัน โวลต์:

ลองแทนค่าผลลัพธ์ที่ได้ โวลต์ในสมการที่เราได้รับ:

นี่คือสมการตัวแปรที่แยกออกจากกัน มารวมทั้งสองข้างของสมการกัน: เรามาค้นหาฟังก์ชันกันดีกว่า คุณ = คุณ(x,c) เรามาหาวิธีแก้ไขทั่วไปกัน: ให้เราค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ตรงตามเงื่อนไขเริ่มต้น ย = 1ที่ x = 0:

III. สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่สูงกว่า

3.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือสมการที่มีอนุพันธ์ไม่สูงกว่าอันดับสอง ในกรณีทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเขียนเป็น: F(x,y,y",y") = 0

ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือฟังก์ชันของรูปแบบ ซึ่งประกอบด้วยค่าคงที่ใดๆ สองตัว ค 1และ ค 2.

คำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองคือคำตอบที่ได้จากคำตอบทั่วไปสำหรับค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค 1และ ค 2.

3.2. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองด้วย ค่าสัมประสิทธิ์คงที่

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่เรียกว่าสมการของรูป y" + ไพ" +qy = 0, ที่ไหน พีและ ถาม- ค่าคงที่

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่

1. เขียนสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ: y" + ไพ" +qy = 0.

2. สร้างสมการคุณลักษณะโดยแสดงถึง คุณ"ผ่าน ร 2, คุณ"ผ่าน ร, ยใน 1: ร 2 + ปรา +q = 0

การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ

การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล

ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ

คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว

เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:

• เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ

เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:

• ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
• ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
• เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
• หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว

การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม

เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม

ข้อยกเว้น:

• หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
• ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง

การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล

เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงการบริหารจัดการ ทางเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต

การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท

เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น ในการแก้ไขปัญหาการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งจะต้องค้นหาค่า, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

หากระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ หากส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ แต่ก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมมากกว่า 3 รายการในระบบ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ทำไม่ได้เช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

1. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
2. เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
3. แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t คุณสามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายบนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดกันของเส้นตรงคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและมีองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่เปลี่ยนเป็นเมทริกซ์หน่วย เมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสดั้งเดิมเท่านั้น

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์จะต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์นั้นคล้ายกับวิธีแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรมการเรียนรู้ขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา

สมการและระบบสมการระดับแรก

ตัวเลขสองตัวหรือสำนวนใด ๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยแบบฟอร์มเครื่องหมาย “=” ความเท่าเทียมกัน- หากตัวเลขหรือนิพจน์ที่กำหนดมีค่าเท่ากันสำหรับค่าตัวอักษรใด ๆ ก็จะเรียกว่าความเท่าเทียมกันดังกล่าว ตัวตน.

เช่นเมื่อพวกเขาอ้างว่าเพื่อสิ่งใดก็ตาม กถูกต้อง:

ก + 1 = 1 + กความเสมอภาคในที่นี้คืออัตลักษณ์

สมการเรียกว่าความเสมอภาคที่มีตัวเลขไม่ทราบค่าแสดงด้วยตัวอักษร ตัวอักษรเหล่านี้เรียกว่า ไม่ทราบ- อาจมีหลายสิ่งที่ไม่ทราบในสมการ

ตัวอย่างเช่น ในสมการที่ 2 เอ็กซ์ + ที่ = 7เอ็กซ์– ไม่ทราบ 3 รายการ: เอ็กซ์และ ที่.

นิพจน์ทางด้านซ้ายในสมการ (2 เอ็กซ์ + ที่) เรียกว่าด้านซ้ายของสมการ และนิพจน์ที่อยู่ด้านขวาของสมการ (7 เอ็กซ์– 3) เรียกว่า ด้านขวา.

ค่าของค่าที่ไม่ทราบซึ่งทำให้สมการกลายเป็นเอกลักษณ์เรียกว่า การตัดสินใจหรือ รากสมการ

เช่น ถ้าอยู่ในสมการที่ 3 เอ็กซ์+ 7=13 แทนที่จะไม่ทราบ เอ็กซ์แทนที่หมายเลข 2 เราจะได้ตัวตน ดังนั้นค่า เอ็กซ์= 2 เป็นไปตามสมการที่กำหนด และเลข 2 คือคำตอบหรือรากของสมการที่กำหนด

ทั้งสองสมการเรียกว่า เทียบเท่า(หรือ เทียบเท่า) ถ้าคำตอบทั้งหมดของสมการแรกคือคำตอบของสมการที่สอง และในทางกลับกัน คำตอบทั้งหมดของสมการที่สองก็คือคำตอบของสมการแรก สมการที่เทียบเท่ายังรวมถึงสมการที่ไม่มีคำตอบด้วย

เช่น สมการที่ 2 เอ็กซ์– 5 = 11 และ 7 เอ็กซ์+ 6 = 62 เทียบเท่ากันเนื่องจากมีรากที่เหมือนกัน เอ็กซ์= 8; สมการ เอ็กซ์ + 2 = เอ็กซ์+ 5 และ 2 เอ็กซ์ + 7 = 2เอ็กซ์เท่ากันเพราะทั้งคู่ไม่มีคำตอบ

คุณสมบัติของสมการที่เทียบเท่า

1. คุณสามารถเพิ่มนิพจน์ใด ๆ ที่สมเหตุสมผลสำหรับค่าที่อนุญาตทั้งหมดที่ไม่ทราบได้ที่ทั้งสองด้านของสมการ สมการที่ได้จะเท่ากับสมการที่กำหนด

ตัวอย่าง. สมการที่ 2 เอ็กซ์– 1 = 7 มีราก เอ็กซ์= 4. เมื่อบวก 5 ทั้งสองข้าง เราจะได้สมการ 2 เอ็กซ์– 1 + 5 = 7 + 5 หรือ 2 เอ็กซ์+ 4 = 12 ซึ่งมีรากเหมือนกัน เอ็กซ์ = 4.

2. หากทั้งสองด้านของสมการมีพจน์ที่เหมือนกัน ก็สามารถละเว้นได้

ตัวอย่าง. สมการที่ 9 x + 5เอ็กซ์ = 18 + 5เอ็กซ์มีหนึ่งราก เอ็กซ์= 2. ละ 5 ทั้งสองส่วน เอ็กซ์เราจะได้สมการ 9 เอ็กซ์= 18 ซึ่งมีรากเหมือนกัน เอ็กซ์ = 2.

3. สมาชิกใดๆ ของสมการสามารถถ่ายโอนจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม

ตัวอย่าง. สมการที่ 7 เอ็กซ์ - 11 = 3 มีหนึ่งรูท เอ็กซ์= 2 ถ้าเราเลื่อน 11 ไปทางด้านขวาโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม เราจะได้สมการ 7 เอ็กซ์= 3 + 11 ซึ่งมีคำตอบเหมือนกัน เอ็กซ์ = 2.

4. ทั้งสองด้านของสมการสามารถคูณด้วยนิพจน์ (ตัวเลข) ใด ๆ ที่สมเหตุสมผลและแตกต่างจากศูนย์สำหรับค่าที่ไม่รู้จักทั้งหมดที่ยอมรับได้ สมการที่ได้จะเท่ากับสมการที่กำหนด

ตัวอย่าง. สมการที่ 2 เอ็กซ์ - 15 = 10 – 3เอ็กซ์มีราก เอ็กซ์= 5. เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย 3 เราจะได้สมการ 3(2 เอ็กซ์ - 15) = 3(10 – 3เอ็กซ์) หรือ 6 เอ็กซ์ – 45 =30 – 9เอ็กซ์ซึ่งมีรากเดียวกัน เอ็กซ์ = 5.

5. เครื่องหมายของพจน์ทุกพจน์ของสมการสามารถย้อนกลับได้ (เทียบเท่ากับการคูณทั้งสองข้างด้วย (-1))

ตัวอย่าง. สมการ - 3 x + 7 = – 8 หลังจากคูณทั้งสองข้างด้วย (-1) จะได้รูป 3 เอ็กซ์ - 7 = 8 สมการที่หนึ่งและสองมีรากเดียว เอ็กซ์ = 5.

6. ทั้งสองด้านของสมการสามารถหารด้วยจำนวนเดียวกันซึ่งต่างจากศูนย์ (นั่นคือ ไม่เท่ากับศูนย์)

ตัวอย่าง..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> เทียบเท่ากับอันนี้ เนื่องจากมี 2 รากที่เหมือนกัน: และ https: / /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> หลังจากคูณทั้งสองส่วนด้วย 14 มันจะมีลักษณะดังนี้:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20"> โดยที่ตัวเลขที่กำหนดเอง เอ็กซ์- สิ่งที่ไม่รู้จักถูกเรียกว่า สมการของดีกรี 1 กับอันที่ไม่รู้จัก(หรือ เชิงเส้นสมการกับอันหนึ่งที่ไม่รู้จัก)

ตัวอย่าง. 2 เอ็กซ์ + 3 = 7 – 0,5เอ็กซ์ ; 0,3เอ็กซ์ = 0.

สมการดีกรีระดับหนึ่งที่ไม่ทราบค่าจะมีคำตอบเพียงข้อเดียวเสมอ สมการเชิงเส้นอาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา () หรือมีจำนวนอนันต์ (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

สารละลาย. คูณพจน์ทั้งหมดในสมการด้วยตัวส่วนร่วมน้อยซึ่งก็คือ 12

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

ให้เราจัดกลุ่มคำศัพท์ที่ไม่รู้จักเป็นส่วนหนึ่ง (ซ้าย) และอีกส่วนหนึ่ง (ขวา) - คำศัพท์อิสระ:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20"> หารทั้งสองส่วนด้วย (-22) เราจะได้ เอ็กซ์ = 7.

ระบบสมการสองสมการของดีกรี 1 ที่มีความไม่รู้สองตัว

สมการของรูปแบบ https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> เรียกว่า สมการของดีกรี 1 กับค่าไม่ทราบค่า x สองตัวและ ที่- หากพบคำตอบทั่วไปของสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไป ก็จะบอกว่าสมการเหล่านี้สร้างระบบขึ้นมา โดยทั่วไปจะเขียนไว้ข้างใต้และรวมกับเครื่องหมายปีกกา เป็นต้น

แต่ละคู่ของค่าที่ไม่รู้จักซึ่งตรงกับสมการของระบบทั้งสองพร้อมกันนั้นเรียกว่า โซลูชันระบบ. แก้ระบบ- นี่หมายถึงการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาทั้งหมดสำหรับระบบนี้หรือแสดงว่าระบบไม่มี ทั้งสองระบบสมการเรียกว่า เทียบเท่า (เทียบเท่า) ถ้าคำตอบทั้งหมดของหนึ่งในนั้นคือคำตอบของอีกข้อหนึ่งและในทางกลับกัน คำตอบทั้งหมดของอีกข้อหนึ่งก็คือคำตอบของข้อแรก

ตัวอย่างเช่น ผลเฉลยของระบบคือตัวเลขคู่หนึ่ง เอ็กซ์= 4 และ ที่= 3 ตัวเลขเหล่านี้เป็นทางออกเดียวของระบบด้วย - ดังนั้นระบบสมการเหล่านี้จึงเทียบเท่ากัน

วิธีการแก้ระบบสมการ

1. วิธีการบวกพีชคณิตหากค่าสัมประสิทธิ์ของสมการที่ไม่ทราบค่าในทั้งสองสมการมีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน เมื่อบวกสมการทั้งสอง (หรือลบสมการหนึ่งออกจากอีกสมการ) คุณก็จะได้สมการที่มีสมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่งได้ โดยการแก้สมการนี้จะระบุค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่งได้ และเมื่อแทนค่าลงในสมการของระบบ จะพบค่าที่ไม่ทราบค่าตัวที่สอง

ตัวอย่าง: แก้ระบบสมการ: 1) .

นี่คือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ ที่มีค่าเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม เพื่อให้ได้สมการที่ไม่ทราบค่า เราจะเพิ่มสมการของระบบทีละเทอม:

มูลค่าที่ได้รับ เอ็กซ์= 4 เราแทนค่าลงในสมการของระบบ เช่น ลงในสมการแรก แล้วหาค่า ที่: .

คำตอบ: เอ็กซ์ = 4; ที่ = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. วิธีการทดแทนจากสมการใดๆ ของระบบ เราจะแสดงค่าที่ไม่ทราบค่าหนึ่งผ่านสมการอื่นๆ จากนั้นจึงแทนค่าของค่าที่ไม่ทราบค่านี้ลงในสมการที่เหลือ ลองดูวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

1) มาแก้ระบบสมการกัน ให้เราแสดงสิ่งที่ไม่ทราบจากสมการแรก เป็นต้น เอ็กซ์: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

มาทดแทนกัน ที่= 1 ในนิพจน์สำหรับ เอ็กซ์เราได้รับ .

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src="> ในกรณีนี้จะสะดวกในการแสดง ที่จากสมการที่สอง:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">แทนค่า เอ็กซ์= 5 ในนิพจน์สำหรับ ที่เราได้รับ https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) มาแก้ระบบสมการ https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48"> แทนค่านี้เป็นสมการที่สองเราจะได้ สมการกับอันหนึ่งที่ไม่รู้จัก ที่: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

มาเขียนระบบใหม่ในรูปแบบ: - เราแทนที่สิ่งที่ไม่รู้จักด้วยการใส่ และเราได้ระบบเชิงเส้น ..gif" width="11 height=17" height="17"> ในสมการที่สอง เราจะได้สมการที่ไม่ทราบค่าหนึ่ง:

การทดแทนค่า โวลต์เป็นการแสดงออกถึง ทีเราได้รับ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> เราพบ

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57"> ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ที่ไหน https://pandia.ru/text / 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src="> จากนั้นระบบจะมี สิ่งเดียวเท่านั้นสารละลาย.

B) ถ้า https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src="> แสดงว่าระบบมี ชุดอนันต์การตัดสินใจ

Example..gif" width="47" height="48 src=">" ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

จริงหรือ, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

ตัวอย่าง..gif" width="91 height=48" height="48"> หรือหลังการลดขนาด ดังนั้น ระบบจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตัวอย่าง..gif" width="116 height=48" height="48"> หรือหลังการลดขนาด ซึ่งหมายความว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

สมการที่มีโมดูลัส

เมื่อแก้สมการที่มีโมดูลัส จะใช้แนวคิดเรื่องโมดูลัสของจำนวนจริง โมดูล (ค่าสัมบูรณ์) จำนวนจริง กหมายเลขนี้เองเรียกว่าถ้าเป็นหมายเลขตรงข้าม (- ก) ถ้า https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">

ดังนั้น https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src="> เนื่องจากตัวเลข 3 > 0 เนื่องจากตัวเลขคือ 5< 0, поэтому ; , เพราะ (); , เพราะ .

คุณสมบัติของโมดูล:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

เมื่อพิจารณาว่านิพจน์ภายใต้โมดูลสามารถรับค่าได้สองค่า https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src="> จากนั้นสมการนี้ ลงมาเพื่อแก้สมการสองสมการ: และหรือ และ ..gif" width="52" height="20 src=">. มาตรวจสอบด้วยการแทนที่แต่ละค่ากันดีกว่า เอ็กซ์ในเงื่อนไข: ถ้า https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

ตัวอย่าง..gif" width="408" height="55">

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

ตัวอย่าง..gif" width="137" height="20"> และ . กันค่าที่ได้รับไว้ เอ็กซ์บนเส้นจำนวนโดยแบ่งออกเป็นช่วง:

หาก https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24"> เนื่องจากในช่วงเวลานี้ ทั้งสองนิพจน์ภายใต้เครื่องหมายโมดูลัสจะน้อยกว่าศูนย์ และ เมื่อถอดโมดูลออกเราจะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของนิพจน์ให้ตรงกันข้าม ให้เราแก้สมการผลลัพธ์:

Gif" width="75 height=24" height="24"> ค่าขอบเขตสามารถรวมไว้ทั้งในช่วงแรกและช่วงที่สอง เช่นเดียวกับค่าที่สามารถรวมไว้ทั้งในช่วงที่สองและสาม ในช่วงที่สอง สมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ: - นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล เช่น ในช่วงเวลานี้สมการไม่มีวิธีแก้ปัญหาภายใต้เครื่องหมายโมดูลัส เราถือว่ามันเป็นศูนย์ เราค้นหารากของนิพจน์ทั้งหมดด้วย

ช่วงถัดไป https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25"> โดยที่ ก ข ค– หมายเลขที่กำหนดเอง ( ก≠ 0) และ x- ตัวแปรที่เรียกว่า สี่เหลี่ยม- ในการแก้สมการดังกล่าว คุณจำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยก ด=ข 2 – 4เครื่องปรับอากาศ- ถ้า ดี> 0 ดังนั้นสมการกำลังสองจะมีคำตอบสองวิธี (ราก): และ .

ถ้า ดี= 0 เห็นได้ชัดว่าสมการกำลังสองมีสองคำตอบที่เหมือนกัน (หลาย ๆ ราก)

ถ้า ดี< 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

ถ้าสัมประสิทธิ์อันใดอันหนึ่ง ขหรือ คเท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการกำลังสองสามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องคำนวณการแบ่งแยก:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(ขวาน+ ข)=0

2)ขวาน 2 + ค = 0 ขวาน 2 = – ค- ถ้า https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">

มีการขึ้นต่อกันระหว่างค่าสัมประสิทธิ์และรากของสมการกำลังสองหรือที่เรียกว่าสูตรหรือทฤษฎีบทของ Vieta:

ไบควอดราติกสมการคือสมการในรูปแบบ https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29"> จากนั้นจากสมการดั้งเดิมเราจะได้สมการกำลังสองจาก ซึ่งเราพบ ที่แล้ว เอ็กซ์ตามสูตร

ตัวอย่าง. แก้สมการ - ขอให้เราลดนิพจน์ทั้งสองข้างของความเท่ากันให้เหลือตัวส่วนร่วม..gif" width="212" height="29 src="> แก้สมการกำลังสองที่ได้: ในสมการนี้ ก= 1, ข= –2,ค= –15 ดังนั้นสิ่งที่จำแนกได้คือ: ด=ข 2 – 4เครื่องปรับอากาศ= 64. รากของสมการ: , ..gif" width="130 height=25" height="25"> เราทำการแทนที่ จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ – สมการกำลังสอง โดยที่ ก= 1, ข= – 4,ค= 3 การแบ่งแยกจะเท่ากับ: ด=ข 2 – 4เครื่องปรับอากาศ = 16 – 12 = 4.

รากของสมการกำลังสองเท่ากันตามลำดับ: และ .

รากของสมการดั้งเดิม , , , ..gif" width="78" height="51"> โดยที่ พีเอ็น(x) และ บ่ายโมง(x) – พหุนามขององศา nและ มตามลำดับ เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ถ้าตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่ใช่ แต่สมการพหุนามดังกล่าวมักจะได้มาหลังจากการแปลงความยาวเท่านั้น โดยเปลี่ยนจากสมการหนึ่งไปอีกสมการหนึ่ง ดังนั้นในกระบวนการแก้แต่ละสมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการใหม่ และสมการใหม่อาจมีรากใหม่ การติดตามการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ในราก เพื่อป้องกันการสูญเสียราก และสามารถปฏิเสธการเปลี่ยนแปลงที่ไม่จำเป็นได้ ถือเป็นหน้าที่ของการแก้สมการอย่างถูกต้อง

เห็นได้ชัดว่าวิธีที่ดีที่สุดคือการแทนที่สมการหนึ่งสมการในแต่ละครั้งด้วยสมการที่เท่ากัน จากนั้นรากของสมการสุดท้ายจะเป็นรากของสมการดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม เส้นทางในอุดมคติดังกล่าวเป็นเรื่องยากที่จะนำไปปฏิบัติในทางปฏิบัติ ตามกฎแล้วสมการจะถูกแทนที่ด้วยผลที่ตามมาซึ่งไม่จำเป็นต้องเทียบเท่ากับมันในขณะที่รากทั้งหมดของสมการแรกคือรากของสมการที่สองนั่นคือไม่มีการสูญเสียรากเกิดขึ้น แต่รากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น (หรือ อาจไม่ปรากฏ) ในกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งครั้งในระหว่างกระบวนการแปลงสมการจะถูกแทนที่ด้วยสมการที่ไม่เท่ากันจำเป็นต้องตรวจสอบรากผลลัพธ์ที่จำเป็น

ดังนั้น หากการตัดสินใจเกิดขึ้นโดยไม่วิเคราะห์ความเท่าเทียมและแหล่งที่มาของรากภายนอก การตรวจสอบถือเป็นส่วนบังคับของการตัดสินใจ หากไม่มีการตรวจสอบการแก้ปัญหาจะไม่ถือว่าสมบูรณ์แม้ว่าจะไม่มีรากภายนอกปรากฏขึ้นก็ตาม เมื่อพวกเขาปรากฏขึ้นและไม่ถูกละทิ้ง การตัดสินใจครั้งนี้ก็ผิด

ต่อไปนี้เป็นคุณสมบัติบางประการของพหุนาม:

รากของพหุนามเรียกค่า xโดยที่พหุนามเท่ากับศูนย์ พหุนามใดๆ ของดีกรี n จะมีค่าเท่ากัน nราก. ถ้าสมการพหุนามเขียนอยู่ในรูป แล้ว , ที่ไหน x 1, x 2,…, xnคือรากของสมการ

พหุนามใดๆ ที่มีดีกรีคี่ที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนจริงจะมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก และโดยทั่วไปแล้วจะมีรากจริงเป็นจำนวนคี่เสมอ พหุนามที่มีดีกรีคู่อาจไม่มีรากจริง และเมื่อรากมีรากจริง จำนวนของมันจะเป็นเลขคู่

พหุนามไม่ว่าในสถานการณ์ใดๆ ก็ตามสามารถถูกแปลงให้เป็นตัวประกอบเชิงเส้นและตรีนามกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเป็นลบได้ ถ้าเรารู้รากของมัน x 1 แล้ว พีเอ็น(x) = (x - เอ็กซ์ 1) พีเอ็น- 1(x).

ถ้า พีเอ็น(x) = 0 เป็นสมการของดีกรีคู่ จากนั้นนอกเหนือจากวิธีการแยกตัวประกอบแล้ว คุณยังสามารถลองแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรได้ด้วย ซึ่งดีกรีของสมการจะลดลงด้วยความช่วยเหลือ

ตัวอย่าง. แก้สมการ:

สมการระดับที่สาม (คี่) นี้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะแนะนำตัวแปรเสริมที่จะลดระดับของสมการลง ต้องแก้ไขโดยแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย ซึ่งเราจะเปิดวงเล็บออกก่อนแล้วจึงเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

เราได้รับ: x 3 + 5x – 6 = 0.

นี่คือสมการรีดิวซ์ (สัมประสิทธิ์ที่ระดับสูงสุดเท่ากับหนึ่ง) ดังนั้นเราจึงมองหารากของมันจากปัจจัยของเทอมอิสระ - 6 เหล่านี้คือตัวเลข ±1, ±2, ±3, ±6 การทดแทน x= 1 ในสมการ เราจะเห็นว่า x= 1 คือรากของมัน ดังนั้นเป็นพหุนาม x 3 + 5x–6 = 0 หารด้วย ( เอ็กซ์ – 1) ไร้ร่องรอย เรามาทำแผนกนี้กัน:

x 3 + 5x –6 = 0 เอ็กซ์ – 1

x 3 – x 2 x 2+x+ 6

x 2 + 5เอ็กซ์ – 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 เอ็กซ์ – 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 เอ็กซ์ – 6

นั่นเป็นเหตุผล x 3 + 5x –6 = 0; (เอ็กซ์ – 1)(x 2+x+ 6) = 0

สมการแรกให้ราก x= 1ซึ่งได้เลือกไว้แล้วและในสมการที่สอง ดี< 0 มันไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่แท้จริง เนื่องจากไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ ODZ ของสมการนี้

ตัวอย่าง..gif" width="52" height="21 src="> หากคุณคูณตัวประกอบแรกด้วยตัวที่สาม และตัวที่สองด้วยตัวที่สี่ ผลิตภัณฑ์เหล่านี้จะมีส่วนที่เหมือนกันซึ่งขึ้นอยู่กับ x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

อนุญาต x 2 + 4x = ยจากนั้นเราเขียนสมการในรูปแบบ ( ย – 5)(คุณ – 21) – 297 = 0.

สมการกำลังสองนี้มีคำตอบ: ย 1 = 32, ย 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

ถ้าเราลดสมการนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วม พหุนามของดีกรีที่ 4 จะปรากฏในตัวเศษ ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะเปลี่ยนตัวแปรที่จะลดระดับของสมการได้ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องลดสมการนี้ให้เป็นตัวส่วนร่วมทันที ตรงนี้คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายคือผลรวมของกำลังสอง ดังนั้น คุณสามารถเพิ่มมันลงในกำลังสองเต็มของผลรวมหรือส่วนต่างได้ ที่จริงแล้ว เราจะลบและเพิ่มสองเท่าของผลคูณของฐานของสี่เหลี่ยมเหล่านี้: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src="> จากนั้น ย 2 + 18ย– 40 = 0 ตามทฤษฎีบทของเวียตตา ย 1 = 2; ย 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> และในวินาที ดี< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

คำตอบ: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

เราได้สมการกำลังสอง ก(ย 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

สมการอตรรกยะ

ไม่ลงตัวเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ (root ) หรือใต้เครื่องหมายยกกำลังเศษส่วน ()..gif" width="120" height="32"> และ มีขอบเขตของคำจำกัดความเดียวกันกับสิ่งที่ไม่รู้จัก เมื่อยกกำลังสองสมการที่หนึ่งและสอง เราจะได้สมการเดียวกัน - ผลเฉลยของสมการนี้คือคำตอบของสมการไร้ตรรกยะทั้งสอง