การออกแบบการทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก สูตรของเบอร์นูลลี

ก่อนที่จะนำเสนอคำถามที่สามของการบรรยาย ครูระบุปัญหาที่จำเป็นในการพิจารณาทฤษฎีบทเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง โดยสังเกตว่าในหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นที่กำลังศึกษาอยู่ มีเพียงทฤษฎีบทเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการทำซ้ำของการทดลองอิสระเท่านั้น แต่ละเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นคงที่ จะได้รับการพิจารณา

หลังจากนั้นครูจะแสดงข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ (ที่มาของสูตรของเบอร์นูลลี)

เพื่ออธิบายสาระสำคัญทางกายภาพของทฤษฎีบทที่กำลังพิจารณา ครูจะใช้เครื่องฉายเหนือศีรษะและสไลด์ที่เตรียมไว้

ในตอนท้ายของการบรรยาย ครูอธิบายว่าเหตุใดการกระจายความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในชุดการทดสอบ n ชุดในสภาวะที่ไม่สอดคล้องกันและรวมกลุ่มของเหตุการณ์ทั้งหมดจึงเรียกว่าทวินามและดึงความสนใจไปที่ความสำคัญ ของการรู้การกระจายนี้เพื่อแก้ไขปัญหาประยุกต์

จนถึงขณะนี้ เราได้พิจารณาการรวมกันของเหตุการณ์จำนวนค่อนข้างน้อย เมื่อการใช้กฎการบวกและการคูณความน่าจะเป็นโดยตรงไม่ได้ทำให้เกิดปัญหาในการคำนวณมากนัก อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจำนวนเหตุการณ์หรือจำนวนการทดลองที่อาจปรากฏเหตุการณ์ที่สนใจเพิ่มขึ้น วิธีการคำนวณที่เรียนรู้จึงยุ่งยากมาก

ยิ่งไปกว่านั้น ปัญหาได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดายก็ต่อเมื่อการทดลองเป็นอิสระเท่านั้น

เรียกว่าการทดลองหลายครั้ง เป็นอิสระถ้าความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของการทดลองแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองอื่น

ในทางปฏิบัติมีหลายกรณีที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเกิดขึ้น กในการทดลองอิสระทั้งหมด อาจเหมือนกันหรือแตกต่างกันไปในแต่ละการทดลอง ตัวอย่างเช่น หากคุณปรับการยิงหลังจากแต่ละนัด ความน่าจะเป็นที่จะโดนเป้าหมายจะเปลี่ยนไปตามแต่ละนัด

ในกรณีที่ในการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์เปลี่ยนแปลงจากการทดลองไปสู่การทดลอง จะใช้ทฤษฎีบททั่วไปเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง และเมื่อในการทดลองอิสระ ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์จะไม่เปลี่ยนจากการทดลอง ในการทดลองจะใช้ทฤษฎีบทเฉพาะเกี่ยวกับการทำซ้ำของการทดลอง

ในหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรากำลังศึกษาอยู่ เราจะพิจารณาเฉพาะหัวข้อเฉพาะของการทดลองซ้ำเมื่อจำเป็นเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กในชุดการทดลองอิสระ ในแต่ละเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน

ตัวอย่างเช่น มีความจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่ว่าด้วยการยิงห้านัดจากปืนที่การตั้งค่าคงที่ จะได้รับการโจมตีสองครั้งที่เป้าหมายอย่างแน่นอนหากการยิงเป็นอิสระ และในแต่ละนัด ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายนั้นเป็นที่รู้จักและไม่ เปลี่ยน.

หากเรารวมเหตุการณ์ที่เราสนใจ A 1 เข้าด้วยกัน เราจะได้:

จะมีการผสมผสานที่เป็นไปได้ 10 แบบซึ่งเหตุการณ์ A=(โดน 2 ครั้งด้วยการยิง 5 ครั้ง) เกิดขึ้น

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมและผลคูณของเหตุการณ์อิสระ เราจะได้:

การเพิ่มจำนวนเหตุการณ์หรือการทดสอบที่เราสนใจจะนำไปสู่การเพิ่มปริมาณการดำเนินการทางคอมพิวเตอร์มากขึ้น ดังนั้นงานจึงเกิดขึ้นจากการหาวิธีการคำนวณที่ใช้แรงงานน้อยลง

คำชี้แจงปัญหา:

ให้เราถือว่าภายใต้เงื่อนไขที่เหมือนกัน เพื่อทำการทดสอบอิสระ n รายการ ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละอย่างอาจเป็นการเกิดของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง กหรือสิ่งที่ตรงกันข้าม .

ให้เราแสดงโดย ก 1 การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ กในการทดสอบครั้งแรก ก 2 - ในการทดสอบครั้งที่สอง ก n- ในการทดสอบครั้งสุดท้าย

เนื่องจากเงื่อนไขการทดสอบมีความสม่ำเสมอ:

พี(เอ 1 ) = P(ก 2 ) = … P(ก n ) = หน้า

เราสนใจในความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งพอดีในการทดลอง n ครั้ง แต่จะไม่เกิดขึ้นในการทดลอง n-m ที่เหลือ (กล่าวคือ เหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น - ).

ให้เราถือว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจ กเกิดขึ้นต่อเนื่องกัน m ครั้ง เริ่มตั้งแต่ครั้งแรกคือ มีเหตุการณ์เกิดขึ้น - อี.

อี= ก 1 ก 2 …ก ม -1 ก ม 
(1)

ม n- ม

ตามเงื่อนไขของการทดสอบซ้ำ เหตุการณ์ที่รวมอยู่ในชุดค่าผสมนี้มีความเป็นอิสระ ในขณะที่ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A 1 ก 2 ,… ก ม -1 , ก มเหมือนกันและเท่าเทียมกัน พี: พี(ก 1 ) = P(ก 2 ) =…= ป(ก ม ) = พีและความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ ที่ไม่เกิดขึ้น
เหมือนกันและเท่าเทียมกัน ถาม=1-ร:.

เมื่อใช้กฎการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระกับนิพจน์ 1 เราได้รับ:

ป(อี) = ป(ก 1 ) พี(เอ 2 ) … ป(ก ม -1 ) พี(เอ ม ) พี(
= หน้า ม (1-ร) n  - ม = หน้า ม ถาม n - ม

เนื่องจากความสม่ำเสมอของเงื่อนไขการทดสอบ เราจึงถือว่าเหตุการณ์นี้เป็นที่สนใจของเรา กเกิดขึ้นเป็นแถว m ครั้ง เริ่มจากครั้งแรก แต่เหตุการณ์. กวี nบททดสอบอาจมาอย่างแน่นอน มครั้งในลำดับหรือชุดค่าผสมที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้ เราไม่แยแสกับลำดับที่แน่นอนซึ่งเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้นทุกประการ มครั้งหนึ่ง.

จำนวนชุดค่าผสมดังกล่าวเท่ากับจำนวนชุดค่าผสม ขององค์ประกอบ n โดย ม.

เนื่องจากการรวมกันของเหตุการณ์เหล่านี้ (คล้ายกับการรวม E) เข้ากันไม่ได้ และเราไม่สนใจลำดับการเกิดของเหตุการณ์ กในการทดสอบอย่างแน่นอน มครั้ง แล้วแสดงถึงความน่าจะเป็นที่เราสนใจ ร มเราได้รับ:

ร ม =
ร ม (1-ร) n - ม =
=

ที่ไหน
- จำนวนชุดค่าผสมของ nองค์ประกอบโดย ม.

สูตรนี้เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี

สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้เราได้คำตอบของคำถาม: ความน่าจะเป็นที่เมื่อมีการทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำเล่าคือเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง กมาอย่างแน่นอน มครั้ง หากในการทดลองแต่ละครั้งมีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น กคงที่และเท่าเทียมกัน พี(ก) ​​= พี

สูตรเบอร์นูลลีข้างต้นมีความสำคัญอย่างยิ่งในทฤษฎีความน่าจะเป็นด้วยเหตุผลที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบซ้ำภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เช่น ด้วยเงื่อนไขดังกล่าวซึ่งกฎแห่งทฤษฎีความน่าจะเป็นปรากฏออกมา

บทสรุปของการบรรยาย:

ในการบรรยาย เราได้ตรวจสอบประเด็นพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม แนะนำเครื่องมือแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการศึกษาวินัยเพิ่มเติม ได้แก่ คำจำกัดความของตัวแปรสุ่ม การจำแนกประเภท แนวคิดของกฎการกระจายและรูปแบบของตัวแปรสุ่มประเภทต่างๆ

ในการเตรียมการบรรยายและแบบฝึกหัดภาคปฏิบัติครั้งต่อไป คุณจะต้องเสริมบันทึกการบรรยายของคุณอย่างอิสระในขณะที่ศึกษาวรรณกรรมที่แนะนำในเชิงลึกและแก้ไขปัญหาที่นำเสนอ

นอกจากนี้ ในบทเรียนต่อๆ ไป เราจะศึกษาทฤษฎีบทและการพึ่งพาที่ช่วยให้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่ปรากฏตามจำนวนครั้งที่ต้องการหรือในช่วงเวลาหนึ่ง เช่น ความน่าจะเป็นที่จะชนเป้าหมาย

สำรวจ:

เวนเซล อี.เอส. ทฤษฎีความน่าจะเป็น หนังสือเรียน. ฉบับที่แปดโปรเฟสเซอร์. – ม.: มัธยมปลาย, 2545 - 575 น. – หน้า 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและการประยุกต์ทางวิศวกรรม คู่มือการศึกษา ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 แก้ไขและขยายความ – อ.: “สถาบันการศึกษา”, 2546 – ​​464 หน้า – หน้า 73-93

กรัมเมอร์มาน วี.อี. ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ คู่มือการศึกษา ฉบับที่สิบแบบโปรเฟสเซอร์ - ม.: อุดมศึกษา", 2547 - 480 น. หน้า 64-73

1

1. Bogolyubov A.N. นักคณิตศาสตร์. กลศาสตร์: หนังสืออ้างอิงชีวประวัติ. – เคียฟ: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. การวิเคราะห์และประเมินลำดับความสำคัญของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโดยนักศึกษาสาขาวิชาเศรษฐศาสตร์เฉพาะทางของมหาวิทยาลัยเกษตรกรรม // แถลงการณ์ของ AIC แห่ง Stavropol – 2013 – อันดับ 1 (9) – ป. 6-10.

3. โดลโกโปโลวา เอ.เอฟ., กูเลย์ ที.เอ., ลิทวิน ดี.บี. แนวโน้มการประยุกต์ใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ในการวิจัยทางเศรษฐศาสตร์ // วิทยาศาสตร์เกษตร ความคิดสร้างสรรค์ การเติบโต – 2013. – หน้า 255-257.

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะประสบปัญหาซึ่งมีเงื่อนไข การทดสอบ หรือการทดลองเดียวกันซ้ำๆ กันเป็นจำนวนมาก ผลการทดสอบแต่ละครั้งจะถือเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากการทดสอบครั้งก่อนอย่างสิ้นเชิง จะไม่มีการพึ่งพาผลลัพธ์ด้วย จากผลการทดสอบ สามารถแยกแยะความเป็นไปได้หลายประการของผลกระทบเบื้องต้น: การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ (A) หรือการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ที่เสริม A

จากนั้นลองสมมุติว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ P(A) จะเกิดขึ้นนั้นสม่ำเสมอและเท่ากับ p(0<р<1).

ตัวอย่างของการทดสอบอาจเป็นงานจำนวนมาก เช่น การโยนเหรียญ การจั่วลูกบอลขาวดำจากถุงดำ หรือการคลอดบุตรกระต่ายขาวดำ

การทดลองนี้เรียกว่าการออกแบบการทดลองอิสระซ้ำๆ หรือการออกแบบเบอร์นูลลี

Jacob Bernoulli เกิดในครอบครัวเภสัชกร พ่อพยายามทำให้ลูกชายเข้าสู่เส้นทางการแพทย์ แต่เจ. เบอร์นูลลีเริ่มสนใจคณิตศาสตร์ด้วยตัวเขาเอง และต่อมาก็กลายเป็นอาชีพของเขา เขาเป็นเจ้าของถ้วยรางวัลต่างๆ จากผลงานในหัวข้อต่างๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและจำนวน อนุกรม และแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ หลังจากศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็นจากผลงานชิ้นหนึ่งของ Huygens เรื่อง "On Calculations in Gambling" Jacob เริ่มสนใจทฤษฎีนี้ หนังสือเล่มนี้ไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจนของแนวคิดเรื่อง "ความน่าจะเป็น" เจ. เบอร์นูลลีเป็นผู้แนะนำแนวคิดสมัยใหม่ส่วนใหญ่เกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็นในคณิตศาสตร์ เบอร์นูลลียังเป็นคนแรกที่แสดงกฎจำนวนมหาศาลในแบบของเขา ผลงาน ทฤษฎีบท และโครงร่างต่างๆ มีชื่อของยาโคบ: "เบอร์นูลลีเบอร์", "พหุนามเบอร์นูลลี", "สมการเชิงอนุพันธ์เบอร์นูลลี", "การกระจายตัวของเบอร์นูลลี" และ "สมการเบอร์นูลลี"

กลับมาที่ตัวแทนกันดีกว่า ตามที่ระบุไว้ข้างต้น จากการทดสอบต่างๆ ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองประการ: เหตุการณ์ A จะปรากฏขึ้น หรือเหตุการณ์ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์นี้ โครงการเบอร์นูลลีนั้นแสดงถึงการผลิตการทดลองฟรีทั่วไปเป็นจำนวนครั้งที่ n และในแต่ละการทดลองเหล่านี้ เหตุการณ์ A ที่เราต้องการอาจปรากฏขึ้น (ทราบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้: P(A) = p) ความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A เขียนแทนด้วย q = P( A)=1-p จำเป็นต้องกำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อทำการทดสอบปริมาณที่ไม่ทราบ เหตุการณ์ A จะปรากฏเป็น k ครั้งพอดี

สิ่งสำคัญคือต้องจำเงื่อนไขหลักเมื่อแก้ไขปัญหาโดยใช้โครงการเบอร์นูลลี - นี่คือความมั่นคง หากไม่มีสิ่งนี้ โครงการก็จะสูญเสียความหมายทั้งหมด

โครงการนี้สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาระดับความซับซ้อนต่างๆ ตั้งแต่แบบง่าย (เหรียญเดียวกัน) ไปจนถึงความซับซ้อน (ความสนใจ) อย่างไรก็ตาม มักใช้โครงการ Bernoulli ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ต่างๆ และความเชื่อมั่นในกลไกต่างๆ เฉพาะในการแก้ปัญหาต้องทราบเงื่อนไขและค่าทั้งหมดล่วงหน้าก่อนเริ่มงาน

ไม่ใช่ทุกปัญหาในทฤษฎีความน่าจะเป็นจะถูกลดทอนลงจนมีความคงตัวในสภาวะต่างๆ แม้ว่าเราจะนำลูกบอลสีดำและสีขาวในถุงสีเข้มเป็นตัวอย่าง: เมื่อมีการสุ่มลูกบอลหนึ่งลูก อัตราส่วนของจำนวนและสีของลูกบอลในถุงจะเปลี่ยน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นเองก็เปลี่ยนไป

อย่างไรก็ตาม หากเงื่อนไขของเราคงที่ เราก็จะสามารถระบุความน่าจะเป็นที่ต้องการได้อย่างแม่นยำว่าเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน k ครั้งจาก n ที่เป็นไปได้

เจค็อบ เบอร์นูลลีรวบรวมข้อเท็จจริงนี้ไว้ในทฤษฎีบท ซึ่งต่อมาเริ่มมีผู้เรียกตามเขา "ทฤษฎีบทของแบร์นูลลี" เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทหลักในทฤษฎีความน่าจะเป็น ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในงานของ J. Bernoulli เรื่อง “The Art of Assumptions” ทฤษฎีบทนี้คืออะไร? “ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่ ดังนั้น ความน่าจะเป็น Pk,n ที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งในการทดลอง n ครั้งที่ไม่เป็นอิสระต่อกันจะเท่ากับ: โดยที่ q=1-p ”

สามารถอ้างอิงปัญหาเพื่อพิสูจน์ประสิทธิภาพของสูตรได้

งาน #1:

จากขวดแก้ว n ขวด แตก k ระหว่างการเก็บรักษาหนึ่งเดือน เราสุ่มหยิบกระป๋องมาหนึ่งกระป๋อง ค้นหาความน่าจะเป็นที่กระป๋องจะไม่แตกในกระป๋องเหล่านี้ n=250, k=10, m=8,l=4

วิธีแก้ไข: เรามีโครงการ Bernoulli ที่มีค่าดังนี้:

p=10/250=0.04 (ความน่าจะเป็นที่ไหจะแตก)

n=8 (จำนวนการทดลอง);

k=8-4=4 (จำนวนกระป๋องที่แตก)

เราใช้สูตรของเบอร์นูลลี

ได้รับ:

คำตอบ: 0.0141

งาน #2:

ความน่าจะเป็นที่จะผลิตสินค้าผิดพลาดในการผลิตคือ 0.2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ 10 รายการที่ผลิตในไซต์การผลิตนี้ k ควรอยู่ในสภาพใช้งานได้ดี แก้โจทย์หา k = 0, 1, 10

เราสนใจเหตุการณ์ A - การผลิตชิ้นส่วนที่สามารถซ่อมบำรุงได้ซึ่งเกิดขึ้นชั่วโมงละครั้งโดยมีความน่าจะเป็น p=1-0.2=0.8 เราต้องหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้น k ครั้ง สิ่งที่ตรงกันข้ามกับเหตุการณ์ A คือเหตุการณ์ “ไม่ใช่ A” กล่าวคือ การผลิตสินค้าที่มีข้อบกพร่อง

ดังนั้นเราจึงได้: n=10; พี=0.8; ค=0.2

จากผลลัพธ์ เราจะค้นหาความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่ผลิตทั้งหมด 10 รายการมีข้อบกพร่อง (k=0) มีผลิตภัณฑ์หนึ่งใช้งานได้ (k=1) ไม่มีผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องเลย (k=10):

โดยสรุป ฉันต้องการทราบว่าในยุคปัจจุบันนักวิทยาศาสตร์หลายคนพยายามพิสูจน์ว่า "สูตรเบอร์นูลลี" ไม่สอดคล้องกับกฎแห่งธรรมชาติ และปัญหาต่างๆ สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้มัน แน่นอนว่านี่เป็นไปได้ ปัญหาส่วนใหญ่ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถสำเร็จได้โดยไม่ต้องใช้สูตรของเบอร์นูลลี สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนกับตัวเลขจำนวนมาก

ลิงค์บรรณานุกรม

โคมูโตวา อี.เอ., คาลินิเชนโก วี.เอ. สูตร BERNOULLI ในทฤษฎีความน่าจะเป็น // กระดานข่าววิทยาศาสตร์สำหรับนักศึกษาต่างชาติ – 2558 – ฉบับที่ 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (วันที่เข้าถึง: 03/12/2019) เรานำเสนอนิตยสารที่คุณจัดพิมพ์โดยสำนักพิมพ์ "Academy of Natural Sciences"
คำจำกัดความของการทดสอบอิสระซ้ำๆ สูตรเบอร์นูลลีสำหรับคำนวณความน่าจะเป็นและจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด สูตรเชิงเส้นกำกับสำหรับสูตรของเบอร์นูลลี (ทฤษฎีบทของลาปลาซเฉพาะที่และอินทิกรัล) การใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัล สูตรของปัวซองสำหรับเหตุการณ์สุ่มที่ไม่น่าจะเป็นไปได้

การทดสอบอิสระซ้ำแล้วซ้ำอีก

ในทางปฏิบัติ เราต้องจัดการกับงานที่สามารถแสดงในรูปแบบของการทดสอบซ้ำๆ หลายครั้ง ซึ่งเป็นผลมาจากเหตุการณ์ A ที่อาจปรากฏหรือไม่ปรากฏก็ได้ ในกรณีนี้ สิ่งที่น่าสนใจไม่ใช่ผลลัพธ์ของการทดลองแต่ละครั้ง แต่เป็นจำนวนเหตุการณ์ A ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองจำนวนหนึ่ง ในปัญหาดังกล่าว คุณจะต้องสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของ จำนวน m ของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นจากการทดลอง n ครั้ง พิจารณากรณีที่การทดลองเป็นอิสระต่อกันและความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งจะคงที่ ซ้ำแล้วซ้ำเล่าอย่างอิสระ

ตัวอย่างของการทดสอบอิสระคือการตรวจสอบความเหมาะสมของผลิตภัณฑ์ที่นำมาหนึ่งรายการจากหลายชุด หากเปอร์เซ็นต์ของข้อบกพร่องในล็อตเหล่านี้เท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ผลิตภัณฑ์ที่เลือกจะมีข้อบกพร่องจะเป็นตัวเลขคงที่ในแต่ละกรณี

สูตรของเบอร์นูลลี

ลองใช้แนวคิดกัน เหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งหมายถึงการรวมกันของเหตุการณ์เบื้องต้นหลายประการซึ่งประกอบด้วยการปรากฏหรือไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการพิจารณาคดีครั้งที่ i ปล่อยให้มีการทดลองอิสระ n ครั้ง ในแต่ละเหตุการณ์ A สามารถปรากฏด้วยความน่าจะเป็น p หรือไม่ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น q=1-p พิจารณาเหตุการณ์ B_m ซึ่งก็คือเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งพอดีในการทดลอง n ครั้งเหล่านี้ ดังนั้น จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน (n-m) ครั้ง มาแสดงกันเถอะ A_i~(i=1,2,\ldots,(n))การเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A, a \overline(A)_i - การไม่เกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลอง i-th เนื่องจากความสม่ำเสมอของเงื่อนไขการทดสอบ เราจึงมี

เหตุการณ์ A สามารถปรากฏได้ m ครั้งในลำดับหรือการรวมกันที่แตกต่างกัน สลับกับเหตุการณ์ตรงกันข้าม \overline(A) จำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ของประเภทนี้จะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ n รายการของ m เช่น C_n^m ดังนั้น เหตุการณ์ B_m จึงสามารถแสดงเป็นผลรวมของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนซึ่งไม่สอดคล้องกัน และจำนวนพจน์จะเท่ากับ C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( นาโนเมตร)A_(นาโนเมตร+1)\cdots(A_n)

โดยที่แต่ละผลิตภัณฑ์มีเหตุการณ์ A m ครั้ง และ \overline(A) - (n-m) ครั้ง

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ซับซ้อนแต่ละเหตุการณ์ที่รวมอยู่ในสูตร (3.1) ตามทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ เท่ากับ p^(m)q^(n-m) เนื่องจากจำนวนเหตุการณ์ดังกล่าวทั้งหมดเท่ากับ C_n^m ดังนั้น เมื่อใช้ทฤษฎีบทบวกความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราจึงได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B_m (เราแสดงว่าเป็น P_(m,n))

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(หรือ)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

เรียกว่าสูตร (3.2) สูตรของเบอร์นูลลีและการทดลองซ้ำหลายครั้งที่ตรงตามเงื่อนไขความเป็นอิสระและความคงที่ของความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในแต่ละกรณีเรียกว่า การทดสอบเบอร์นูลลีหรือโครงการเบอร์นูลลี

ตัวอย่างที่ 1 ความน่าจะเป็นที่จะอยู่นอกเขตพิกัดความเผื่อเมื่อแปรรูปชิ้นส่วนบนเครื่องกลึงคือ 0.07 กำหนดความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนห้าชิ้นที่เลือกโดยการสุ่มระหว่างกะ มีชิ้นส่วนหนึ่งที่มีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางไม่สอดคล้องกับพิกัดความเผื่อที่ระบุ

สารละลาย. เงื่อนไขของปัญหาเป็นไปตามข้อกำหนดของโครงการเบอร์นูลลี ดังนั้นสมมุติว่า n=5,\,m=1,\,p=0,\!07โดยใช้สูตร (3.2) ที่เราได้รับ

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ประมาณ0,\!262.

ตัวอย่างที่ 2 การสังเกตพบว่าในบางพื้นที่มีวันที่ฝนตก 12 วันในเดือนกันยายน ความน่าจะเป็นที่จากการสุ่ม 8 วันที่เลือกในเดือนนี้ 3 วันจะมีฝนตกเป็นเท่าใด

สารละลาย.

P_(3;8)=C_8^3(\left(\frac(12)(30)\right)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

จำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด

วันที่น่าจะเกิดมากที่สุดเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n ครั้ง เรียกว่าตัวเลข m_0 ซึ่งความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับจำนวนนี้เกินหรืออย่างน้อยไม่น้อยกว่าความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ A ที่เป็นไปได้อื่นๆ ในการหาจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด ไม่จำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็นของจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์หนึ่งๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะทราบจำนวนการทดลอง n และความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแยกต่างหาก ให้เราแสดงว่า P_(m_0,n) ความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับตัวเลขที่เป็นไปได้มากที่สุด m_0 เราเขียนโดยใช้สูตร (3.2)

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

ตามคำจำกัดความของจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น ตามลำดับ m_0+1 และ m_0-1 เท่า อย่างน้อยจะต้องไม่เกินความน่าจะเป็น P_(m_0,n) กล่าวคือ

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

เราได้ค่า P_(m_0,n) และนิพจน์ความน่าจะเป็น P_(m_0+1,n) และ P_(m_0-1,n) มาแทนค่าอสมการ

เราได้รับการแก้ไขอสมการเหล่านี้สำหรับ m_0

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

เมื่อรวมอสมการสุดท้ายเข้าด้วยกัน เราจะได้อสมการสองเท่า ซึ่งใช้เพื่อกำหนดจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p)

เนื่องจากความยาวของช่วงที่กำหนดโดยความไม่เท่าเทียมกัน (3.4) เท่ากับ 1 นั่นคือ

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

และเหตุการณ์สามารถเกิดขึ้นได้ในการทดลอง n ครั้งเพียงจำนวนเต็มเท่านั้น ดังนั้น โปรดทราบว่า:

1) ถ้า np-q เป็นจำนวนเต็ม แสดงว่ามีค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดสองค่า ได้แก่: m_0=np-q และ m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ถ้า np-q เป็นจำนวนเศษส่วน ก็จะมีจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุดตัวหนึ่ง นั่นคือ: จำนวนเต็มเพียงตัวเดียวที่อยู่ระหว่างจำนวนเศษส่วนที่ได้รับจากความไม่เท่าเทียมกัน (3.4)

3) ถ้า np เป็นจำนวนเต็ม จะมีจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุดตัวหนึ่ง คือ: m_0=np

สำหรับค่า n ที่มีขนาดใหญ่ ไม่สะดวกที่จะใช้สูตร (3.3) ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด หากเราแทนสูตรสเตอร์ลิงให้เป็นความเท่าเทียมกัน (3.3)

N!\ประมาณ(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n)))

ใช้ได้กับ n ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ และหาจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด m_0=np จากนั้นเราจะได้สูตรสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นโดยประมาณที่สอดคล้องกับจำนวนที่เป็นไปได้มากที่สุด:

P_(m_0,n)\ประมาณ\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq))

ตัวอย่างที่ 2 เป็นที่ทราบกันดีว่า \frac(1)(15) ส่วนหนึ่งของผลิตภัณฑ์ที่โรงงานจัดหาให้กับฐานการค้าไม่ตรงตามข้อกำหนดทั้งหมดของมาตรฐาน มีการส่งมอบสิ่งของจำนวน 250 ชิ้นไปยังฐานทัพ ค้นหาจำนวนผลิตภัณฑ์ที่มีแนวโน้มมากที่สุดที่ตรงตามข้อกำหนดของมาตรฐาน และคำนวณความน่าจะเป็นที่ชุดนี้จะมีจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้มากที่สุด

สารละลาย. ตามเงื่อนไข n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15)- ตามอสมการ (3.4) เรามี

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

ที่ไหน 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26- ดังนั้นจำนวนผลิตภัณฑ์ที่น่าจะเป็นไปตามข้อกำหนดของมาตรฐานมากที่สุดในชุดละ 250 ชิ้น เท่ากับ 234 การแทนที่ข้อมูลลงในสูตร (3.5) เราคำนวณความน่าจะเป็นที่จะมีจำนวนผลิตภัณฑ์ที่เป็นไปได้มากที่สุดในชุด:

P_(234,250)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

ทฤษฎีบทลาปลาซท้องถิ่น

เป็นเรื่องยากมากที่จะใช้สูตรของเบอร์นูลลีกับค่า n ที่มีขนาดใหญ่ ตัวอย่างเช่น ถ้า n=50,\,m=30,\,p=0,\!1จากนั้นเพื่อหาความน่าจะเป็น P_(30.50) จำเป็นต้องคำนวณค่าของนิพจน์

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

โดยธรรมชาติแล้ว คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะคำนวณความน่าจะเป็นที่น่าสนใจโดยไม่ใช้สูตรของเบอร์นูลลี ปรากฎว่ามันเป็นไปได้ ทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซให้สูตรเชิงเส้นกำกับที่ช่วยให้เราสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยประมาณได้เป็น m ครั้งในการทดลอง n ครั้ง หากจำนวนการทดลองมากพอ

ทฤษฎีบท 3.1

ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง ดังนั้นความน่าจะเป็น P_(m,n) ที่เหตุการณ์ A จะปรากฏทุกประการ m ครั้งใน n การทดลองจะเท่ากันโดยประมาณ (ยิ่งแม่นยำมากขึ้น ยิ่ง n) เป็นค่าของฟังก์ชันมากเท่าไร Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))

ที่ . มีตารางที่มีค่าฟังก์ชันอยู่\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) สอดคล้องกับค่าบวกของอาร์กิวเมนต์ x สำหรับค่าลบของอาร์กิวเมนต์ จะใช้ตารางเดียวกัน เนื่องจากฟังก์ชัน \varphi(x) มีค่าเท่ากัน เช่น.

\วาร์ฟี(-x)=\วาร์ฟี(x)

ดังนั้น ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่เหตุการณ์ A จะปรากฏเป็น m ครั้งในการทดลอง n ครั้งคือ P_(m,n)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), ที่ไหน.

x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))

สารละลาย. ตามเงื่อนไข ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 80 ครั้งพอดีในการทดลอง 400 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.2- ให้เราใช้สูตรลาปลาซเชิงเส้นกำกับ:

P_(80,400)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (เอ็กซ์).

มาคำนวณค่า x ที่กำหนดโดยข้อมูลงาน:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0

ตามตาราง adj. 1 เราพบ \วาร์ฟี(0)=0,\!3989- ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

สูตรของเบอร์นูลลีนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกัน (การคำนวณถูกละเว้นเนื่องจากความยุ่งยาก):

P_(80,100)=0,\!0498.

ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ

สมมติว่ามีการทดลองอิสระ n ครั้ง โดยแต่ละการทดลองมีความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นจะคงที่และเท่ากับ p มีความจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็น P_((m_1,m_2),n) ที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลอง n ครั้งอย่างน้อย m_1 และมากที่สุด m_2 ครั้ง (เพื่อความกระชับ เราจะพูดว่า "จาก m_1 ถึง m_2 ครั้ง") ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ

ทฤษฎีบท 3.2

ถ้าความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่และแตกต่างจากศูนย์และหนึ่ง ดังนั้นความน่าจะเป็นโดยประมาณ P_((m_1,m_2),n) เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลองตั้งแต่ m_1 ถึง m_2 ครั้ง P_((m_1,m_2),n)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,

ที่ไหน . เมื่อแก้ปัญหาที่ต้องใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ จะใช้ตารางพิเศษ เนื่องจากอินทิกรัลไม่ จำกัด\int(e^(-x^2/2)\,dx) ไม่ได้แสดงออกผ่านฟังก์ชันเบื้องต้น ตารางอินทิกรัล\พี(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>ให้ไว้ในภาคผนวก 2 โดยที่ค่าของฟังก์ชัน \Phi(x) ถูกกำหนดไว้สำหรับค่าบวกของ x สำหรับ x

5 เราสามารถใช้ \Phi(x)=0,\!5 ได้

ดังนั้น ความน่าจะเป็นโดยประมาณที่เหตุการณ์ A จะปรากฏในการทดลองอิสระ n ครั้งตั้งแต่ m_1 ถึง m_2 ครั้ง คือ P_(m,n)\ประมาณ\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), P_((m_1,m_2),n)\ประมาณ\พี(x"")-\พี(x"),.

x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))

สารละลาย. ตามเงื่อนไข ตัวอย่างที่ 4 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนจะผลิตขึ้นโดยละเมิดมาตรฐานคือ p=0,\!2 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานที่เลือกแบบสุ่ม 400 ชิ้นจะมีตั้งแต่ 70 ถึง 100 ชิ้น p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100

- ลองใช้ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ:

P_((70,100),400)\ประมาณ\พีพี(x"")-\พี(x")

มาคำนวณขีดจำกัดของการบูรณาการกัน:

ต่ำกว่า

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

บน

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

P_((70,100),400)\ประมาณ\พีพี(2,\!5)-\พี(-1,\!25)=\พี(2,\!5)+\พี(1,\!25) .

ตามตาราง adj. 2 เราพบ

\พี(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\พี(1,\!25)=0,\!3944

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

การประยุกต์ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ

ถ้าตัวเลข m (จำนวนเหตุการณ์ A ในการทดลองอิสระ n รายการ) เปลี่ยนจาก m_1 เป็น m_2 ดังนั้นเศษส่วน \frac(m-np)(\sqrt(npq))จะแตกต่างจาก \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x"ถึง \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x""- ดังนั้นทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซจึงสามารถเขียนได้ดังนี้:

P\left\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

ให้เรากำหนดภารกิจในการค้นหาความน่าจะเป็นที่ค่าเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์ \frac(m)(n) จากความน่าจะเป็นคงที่ p ในค่าสัมบูรณ์ไม่เกินตัวเลขที่กำหนด \varepsilon>0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราค้นหาความน่าจะเป็นของความไม่เท่าเทียมกัน \left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilonซึ่งก็เหมือนกัน -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon- เราจะแสดงความน่าจะเป็นดังนี้: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)- โดยคำนึงถึงสูตรบัญชี (3.6) สำหรับความน่าจะเป็นนี้ที่เราได้รับ

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\ขวา).

ตัวอย่างที่ 5 ความน่าจะเป็นที่ชิ้นส่วนนั้นไม่ได้มาตรฐานคือ p=0,\!1 จงหาความน่าจะเป็นที่สุ่มเลือกชิ้นส่วนจำนวน 400 ชิ้น ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจะเบี่ยงเบนไปจากความน่าจะเป็น p=0,\!1 ที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เกิน 0.03

สารละลาย. ตามเงื่อนไข n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03- เราจำเป็นต้องค้นหาความน่าจะเป็น P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)- เราได้รับโดยใช้สูตร (3.7)

P\left\(\left|\frac(m)(400)-0,\!1\right|\leqslant0,\!03\right\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\พี(2)

ตามตาราง adj. 2 เราพบว่า \Phi(2)=0,\!4772 ดังนั้น 2\Phi(2)=0,\!9544 ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการคือประมาณ 0.9544 ความหมายของผลลัพธ์มีดังนี้: หากคุณใช้ตัวอย่างจำนวนมากเพียงพอโดยแต่ละตัวอย่าง 400 ส่วน ดังนั้นในประมาณ 95.44% ของกลุ่มตัวอย่างเหล่านี้ ค่าเบี่ยงเบนของความถี่สัมพัทธ์จากความน่าจะเป็นคงที่ p=0.\!1 ในค่าสัมบูรณ์ ค่าจะไม่เกิน 0.03

สูตรของปัวซองสำหรับเหตุการณ์ไม่น่าเกิดขึ้น

หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ในการทดลองครั้งเดียวนั้นใกล้กับศูนย์แม้ว่าจะมีการทดลองจำนวนมาก n แต่ด้วยค่าผลิตภัณฑ์ np เพียงเล็กน้อย ค่าความน่าจะเป็น P_(m,n) ที่ได้จากสูตรลาปลาซนั้นไม่แม่นยำเพียงพอจึงจำเป็นต้องมีสูตรประมาณอื่นเกิดขึ้น

ทฤษฎีบท 3.3

หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่แต่น้อย จำนวนการทดลองอิสระ n ก็มีมากเพียงพอ แต่มูลค่าของผลิตภัณฑ์ np=\lambda ยังคงน้อย (ไม่เกินสิบ) ดังนั้นความน่าจะเป็น เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น m ครั้งในการทดลองเหล่านี้คือ\,e^{-\lambda}. !}

P_(m,n)\ประมาณ\frac(\lambda^m)(m เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นโดยใช้สูตรปัวซอง จึงได้รวบรวมตารางค่าฟังก์ชันปัวซองแล้ว\,e^{-\lambda} !}\frac(\แลมบ์ดา^m)(ม

(ดูภาคผนวก 3)

ตัวอย่างที่ 6 ให้ความน่าจะเป็นในการผลิตชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานเป็น 0.004 ค้นหาความน่าจะเป็นที่ใน 1,000 ชิ้นส่วนจะมี 5 ชิ้นที่ไม่ได้มาตรฐาน สารละลาย. ที่นี่ n=1,000,p=0.004,~\แลมบ์ดา=np=1,000\cdot0,\!004=4 - ตัวเลขทั้งสามจำนวนเป็นไปตามข้อกำหนดของทฤษฎีบท 3.3 ดังนั้น เพื่อหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ต้องการ P_(5,1000) เราจะใช้สูตรปัวซอง จากตารางค่าของฟังก์ชันปัวซอง (ภาคผนวก 3) ด้วย \lambda=4;m=5 เราได้รับ.

P_(5,1000)\ประมาณ0,\!1563

ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เดียวกันโดยใช้สูตรของลาปลาซ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ อันดับแรกเราคำนวณค่า x ที่สอดคล้องกับ m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\ประมาณ\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

ดังนั้นตามสูตรของลาปลาซ ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P_(5,1000)\ประมาณ\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\ประมาณ\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

และตามสูตรของเบอร์นูลลี ค่าที่แน่นอนคือ

P_(5,1000)=C_(1,000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ประมาณ0,\!1552

ดังนั้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในการคำนวณความน่าจะเป็น P_(5,1000) โดยใช้สูตรลาปลาซโดยประมาณคือ\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196

หรือ 13.\!6\%

และตามสูตรปัวซอง -\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007

หรือ 0.\!7\%
นั่นคือน้อยกว่าหลายเท่า
ไปที่หัวข้อถัดไป ตัวแปรสุ่มมิติเดียว
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณ

หากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!

ให้ทำการทดสอบเกี่ยวกับเหตุการณ์ A เรามาแนะนำเหตุการณ์กันดีกว่า: Ak - เหตุการณ์ A เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $ k=1,2,\dots , n$ จากนั้น $\bar(A)_(k) $ เป็นเหตุการณ์ตรงกันข้าม (เหตุการณ์ A ไม่ได้เกิดขึ้นระหว่างการทดลองครั้งที่ k, $k=1,2,\dots , n$)

การทดสอบที่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นอิสระคืออะไร?

การทดสอบถือเป็นประเภทเดียวกันกับเหตุการณ์ A หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ ตรงกัน: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (กล่าวคือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งจะคงที่ในทุกการทดลอง)

เห็นได้ชัดว่า ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามจะเหมือนกัน: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A) ) _(น))$.

การทดสอบที่เป็นเนื้อเดียวกันและเป็นอิสระคืออะไร?

การทดสอบจะถูกเรียกว่าเป็นอิสระโดยคำนึงถึงเหตุการณ์ A ถ้าเหตุการณ์ $A1, A2, \dots , Аn$ มีความเป็นอิสระ

ในกรณีนี้

ในกรณีนี้ ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่เมื่อเหตุการณ์ Аk ถูกแทนที่ด้วย $\bar(A)_(k) $

ปล่อยให้ทำการทดสอบอิสระชนิดเดียวกันจำนวน n ชุดโดยสัมพันธ์กับเหตุการณ์ A เราใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: p—ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้ง; q คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ สำหรับ k ใดๆ และ p+q=1

ความน่าจะเป็นที่อนุกรมของเหตุการณ์การทดลอง A n เหตุการณ์จะเกิดขึ้น k ครั้งพอดี (0 ≤ k ≤ n) คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

ความเท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าสูตรของเบอร์นูลลี

ความน่าจะเป็นที่ในชุดของเหตุการณ์การทดลองอิสระที่เหมือนกัน n เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นอย่างน้อย k1 ครั้งและไม่เกิน k2 ครั้ง คำนวณโดยสูตร:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

การใช้สูตรของเบอร์นูลลีสำหรับค่า n จำนวนมากทำให้เกิดการคำนวณที่ยุ่งยาก ดังนั้นในกรณีเหล่านี้ ควรใช้สูตรอื่น - เส้นกำกับจะดีกว่า

ลักษณะทั่วไปของแผนของเบอร์นูลลี

ลองพิจารณาภาพรวมของแผนการของเบอร์นูลลี หากในชุดการทดลองอิสระ n ชุด แต่ละการทดลองมีผลลัพธ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบคู่ขนานและเป็นไปได้ Ak ด้วยความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน Pk = pk(Ak) ดังนั้นสูตรการแจกแจงพหุนามจึงใช้ได้:

ตัวอย่างที่ 1

ความน่าจะเป็นที่จะติดเชื้อไข้หวัดใหญ่ในช่วงที่มีการแพร่ระบาดคือ 0.4 จงหาความน่าจะเป็นที่พนักงานของบริษัท 6 คนจะป่วย

1. พนักงาน 4 คนพอดี
2. พนักงานไม่เกิน 4 คน

สารละลาย. 1) แน่นอนว่า เพื่อแก้ปัญหานี้ สูตรเบอร์นูลลีจึงถูกนำมาใช้ โดยที่ n=6; ค่าเค=4; พี=0.4; คิว=1-р=0.6 เมื่อใช้สูตร (1) เราจะได้: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$

ในการแก้ปัญหานี้ ให้ใช้สูตร (2) โดยที่ k1=0 และ k2=4 เรามี:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ ประมาณ 0.959.) \end(array)\]

ควรสังเกตว่าปัญหานี้แก้ไขได้ง่ายกว่าโดยใช้เหตุการณ์ตรงกันข้าม - พนักงานมากกว่า 4 คนป่วย จากนั้น เมื่อพิจารณาสูตรบัญชี (7) เกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้าม เราจะได้:

คำตอบ: $\$0.959.

ตัวอย่างที่ 2

ในโกศมีลูกบอลสีขาว 20 ลูกและสีดำ 10 ลูก นำลูกบอลออกมา 4 ลูก และลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกดึงออกจะถูกส่งกลับไปยังโกศ ก่อนที่จะเอาลูกบอลถัดไปออก และลูกบอลในโกศจะถูกผสมกัน ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลที่สุ่มออกมาสี่ลูกจะมีลูกสีขาว 2 ลูก (รูปที่ 1)

รูปที่ 1.

สารละลาย. ให้เหตุการณ์ A เท่ากับว่าลูกบอลสีขาวถูกหยิบออกมา จากนั้นความน่าจะเป็น $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

ตามสูตรของเบอร์นูลลี ความน่าจะเป็นที่ต้องการจะเท่ากับ $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $

คำตอบ: $\frac(8)(27) $

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความน่าจะเป็นที่ครอบครัวที่มีลูก 5 คนจะมีลูกสาวไม่เกิน 3 คน ความน่าจะเป็นที่จะมีเด็กชายและเด็กหญิงจะถือว่าเท่ากัน

สารละลาย. ความน่าจะเป็นที่จะมีลูกสาว $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ คือความน่าจะเป็นที่จะมีลูกชาย ครอบครัวหนึ่งมีเด็กหญิงไม่เกินสามคน ซึ่งหมายความว่ามีเด็กหญิงหนึ่ง สองคน หรือสามคนเกิดมา หรือครอบครัวนั้นเป็นเด็กผู้ชายทั้งหมด

ลองหาความน่าจะเป็นที่ไม่มีเด็กผู้หญิงในครอบครัว เด็กผู้หญิงหนึ่ง สอง หรือสามคนเกิด: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ต้องการ $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $

คำตอบ: $\frac(13)(16) $

ตัวอย่างที่ 4

ผู้ยิงคนแรกที่มีนัดเดียวสามารถยิงสิบอันดับแรกด้วยความน่าจะเป็น 0.6, เก้าคนด้วยความน่าจะเป็น 0.3 และแปดคนที่มีความน่าจะเป็น 0.1 ความน่าจะเป็นที่ยิง 10 ครั้งเขาจะติดสิบอันดับแรกหกครั้ง, เก้าครั้งสามครั้งและแปดครั้ง?

ทฤษฎีสั้น ๆ

ทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับการทดลองที่สามารถทำซ้ำได้ (อย่างน้อยในทางทฤษฎี) โดยไม่จำกัดจำนวนครั้ง ปล่อยให้การทดลองทำซ้ำหนึ่งครั้ง และผลลัพธ์ของการทำซ้ำแต่ละครั้งจะไม่ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทำซ้ำครั้งก่อน การทำซ้ำเช่นนี้เรียกว่าการทดลองอิสระ กรณีพิเศษของการทดสอบดังกล่าวได้แก่ การทดสอบ Bernoulli อิสระซึ่งมีเงื่อนไข 2 ประการ คือ

1) ผลลัพธ์ของการทดสอบแต่ละครั้งเป็นหนึ่งในสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ เรียกว่า "ความสำเร็จ" หรือ "ความล้มเหลว" ตามลำดับ

2) ความน่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" ในการทดสอบครั้งต่อไปแต่ละครั้งไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดสอบครั้งก่อนและคงที่

ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลี

หากทำการทดลองแบบแบร์นูลลีอิสระหลายชุด โดยในแต่ละการทดลองมี "ความสำเร็จ" ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่ "ความสำเร็จ" จะปรากฏเพียงครั้งเดียวในการทดลองจะแสดงโดยสูตร:

ความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" อยู่ที่ไหน

– จำนวนการรวมกันขององค์ประกอบโดย (ดูสูตรเชิงผสมพื้นฐาน)

สูตรนี้มีชื่อว่า สูตรของเบอร์นูลลี.

สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ด้วยการทดสอบจำนวนมากพอสมควร

รูปแบบการทดสอบเบอร์นูลลีเรียกอีกอย่างว่าโครงการทวินาม และความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกันเรียกว่าทวินาม ซึ่งเกี่ยวข้องกับการใช้สัมประสิทธิ์ทวินาม

การกระจายตามแบบแผนเบอร์นูลลีช่วยให้สามารถค้นหาจำนวนเหตุการณ์ที่น่าจะเป็นไปได้มากที่สุด

ถ้าจำนวนการทดสอบ nมีขนาดใหญ่ ให้ใช้:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

สภาพปัญหา

อัตราการงอกของเมล็ดพืชบางชนิดคือ 70% ความน่าจะเป็นที่หว่านใน 10 เมล็ดคืออะไร: 8 อย่างน้อย 8; อย่างน้อย 8?

การแก้ปัญหา

ลองใช้สูตรของเบอร์นูลลี:

ในกรณีของเรา

ปล่อยให้เหตุการณ์เกิดขึ้นจาก 10 เมล็ด 8 ต้น:

ปล่อยให้เหตุการณ์มีอย่างน้อย 8 (นั่นหมายถึง 8, 9 หรือ 10)

ปล่อยให้เหตุการณ์เพิ่มขึ้นอย่างน้อย 8 (ซึ่งหมายถึง 8,9 หรือ 10)

คำตอบ

เฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการแก้การทดสอบคือ 700 - 1200 รูเบิล (แต่ไม่น้อยกว่า 300 รูเบิลสำหรับคำสั่งซื้อทั้งหมด) ราคาได้รับอิทธิพลอย่างมากจากความเร่งด่วนของการตัดสินใจ (ตั้งแต่หนึ่งวันไปจนถึงหลายชั่วโมง) ค่าใช้จ่ายในการช่วยเหลือออนไลน์สำหรับการสอบ / การทดสอบอยู่ที่ 1,000 รูเบิล สำหรับการแก้ตั๋ว

คุณสามารถฝากคำขอไว้ในแชทได้โดยตรง โดยก่อนหน้านี้ได้ส่งเงื่อนไขงานและแจ้งให้คุณทราบถึงกรอบเวลาสำหรับโซลูชันที่คุณต้องการ เวลาตอบสนองคือไม่กี่นาที