อนุกรมและรูปหลายเหลี่ยมของการแจกแจงของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง สารานุกรมที่ดีของน้ำมันและก๊าซ

ในหัวข้อของหลักสูตรเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น เราได้แนะนำแนวคิดที่สำคัญอย่างยิ่งของตัวแปรสุ่มไปแล้ว ที่นี่เราจะให้การพัฒนาเพิ่มเติมของแนวคิดนี้และระบุวิธีการอธิบายและกำหนดลักษณะของตัวแปรสุ่ม

ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ตัวแปรสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถใช้ค่าใดค่าหนึ่งได้ โดยไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด นอกจากนี้เรายังตกลงที่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างตัวแปรสุ่มของประเภทไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) และประเภทต่อเนื่อง สามารถระบุค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องได้ล่วงหน้า ค่าที่เป็นไปได้ของปริมาณต่อเนื่องไม่สามารถแสดงล่วงหน้าได้และเติมช่องว่างอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง:

1) จำนวนการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนระหว่างการโยนเหรียญสามครั้ง (ค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, 3)

2) ความถี่ของการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนในการทดลองเดียวกัน (ค่าที่เป็นไปได้)

3) จำนวนองค์ประกอบที่ล้มเหลวในอุปกรณ์ประกอบด้วยห้าองค์ประกอบ (ค่าที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5)

4) จำนวนการโจมตีบนเครื่องบินที่เพียงพอที่จะปิดการใช้งาน (ค่าที่เป็นไปได้ 1, 2, 3, ..., n, ...);

5) จำนวนเครื่องบินที่ถูกยิงในการรบทางอากาศ (ค่าที่เป็นไปได้ 0, 1, 2, ..., N โดยที่คือจำนวนเครื่องบินทั้งหมดที่เข้าร่วมในการรบ)

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง:

1) abscissa (ลำดับ) ของจุดกระแทกเมื่อยิง;

2) ระยะห่างจากจุดปะทะถึงศูนย์กลางของเป้าหมาย

3) ข้อผิดพลาดของเครื่องวัดความสูง;

4) เวลาการทำงานที่ปราศจากความล้มเหลวของหลอดวิทยุ

ให้เราตกลงในสิ่งที่ต่อไปนี้เพื่อแสดงตัวแปรสุ่มด้วยตัวพิมพ์ใหญ่และค่าที่เป็นไปได้ด้วยตัวอักษรตัวเล็กที่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น – จำนวนครั้งที่ยิงด้วยสามนัด; ค่าที่เป็นไปได้: .

ให้เราพิจารณาตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องด้วยค่าที่เป็นไปได้ แต่ละค่าเหล่านี้เป็นไปได้ แต่ไม่แน่นอน และค่า X สามารถนำแต่ละค่ามาด้วยความน่าจะเป็นได้ จากผลการทดสอบ ค่า X จะได้รับค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ กล่าวคือ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้กลุ่มหนึ่งจะเกิดขึ้น:

ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ด้วยตัวอักษร p พร้อมด้วยดัชนีที่เกี่ยวข้อง:

เนื่องจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ (5.1.1) จะสร้างกลุ่มที่สมบูรณ์แล้ว

เหล่านั้น. ผลรวมของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มเท่ากับหนึ่ง ความน่าจะเป็นทั้งหมดนี้มีการกระจายไปตามค่าต่างๆ ตัวแปรสุ่มจะได้รับการอธิบายอย่างสมบูรณ์จากมุมมองความน่าจะเป็น หากเราระบุการแจกแจงนี้ เช่น ให้เราระบุอย่างชัดเจนถึงความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ (5.1.1) ด้วยเหตุนี้ เราจะสร้างสิ่งที่เรียกว่ากฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มคือความสัมพันธ์ใด ๆ ที่สร้างความเชื่อมโยงระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน เราจะพูดถึงตัวแปรสุ่มว่าอยู่ภายใต้กฎการกระจายที่กำหนด

ขอให้เราสร้างรูปแบบที่สามารถระบุกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องได้ รูปแบบที่ง่ายที่สุดในการระบุกฎนี้คือตารางที่แสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน:

เราจะเรียกตารางดังกล่าวว่าชุดการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม

เพื่อให้ซีรีย์การแจกแจงมีรูปลักษณ์ที่มองเห็นได้มากขึ้นพวกเขามักจะหันไปใช้การแสดงกราฟิก: ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะถูกพล็อตตามแกน Abscissa และความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้จะถูกพล็อตไปตามแกนกำหนด เพื่อความชัดเจน จุดผลลัพธ์จะเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปที่ 5.1.1) รูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง เช่นเดียวกับอนุกรมการแจกแจง จะแสดงลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์ มันเป็นรูปแบบหนึ่งของกฎการกระจาย

บางครั้งการตีความที่เรียกว่า "กลไก" ของซีรีย์การแจกจ่ายก็สะดวก ลองจินตนาการว่ามวลจำนวนหนึ่งจะกระจายไปตามแกนแอบซิสซาในลักษณะที่ทำให้มวลมีความเข้มข้นที่แต่ละจุดตามลำดับ จากนั้นอนุกรมการแจกแจงจะถูกตีความว่าเป็นระบบจุดวัสดุโดยมีมวลบางส่วนอยู่บนแกนแอบซิสซา

ลองพิจารณาตัวอย่างต่างๆ ของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องกับกฎการกระจายของมัน

ตัวอย่างที่ 1 มีการทำการทดลองหนึ่งครั้งโดยที่เหตุการณ์อาจปรากฏขึ้นหรือไม่ปรากฏก็ได้ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือ 0.3 พิจารณาตัวแปรสุ่ม - จำนวนครั้งของเหตุการณ์ในการทดสอบที่กำหนด (เช่น ตัวแปรสุ่มลักษณะเฉพาะของเหตุการณ์ โดยจะใช้ค่า 1 หากปรากฏ และ 0 หากไม่ปรากฏ) สร้างอนุกรมการแจกแจงและรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงขนาด

สารละลาย. ปริมาณมีเพียงสองค่าเท่านั้น: 0 และ 1 ชุดการแจกแจงของปริมาณมีรูปแบบ:

รูปหลายเหลี่ยมการกระจายจะแสดงในรูป 5.1.2.

ตัวอย่างที่ 2 ผู้ยิงยิงสามนัดใส่เป้าหมาย ความน่าจะเป็นที่จะโจมตีเป้าหมายด้วยการยิงแต่ละครั้งคือ 0.4 สำหรับการโจมตีแต่ละครั้งนักกีฬาจะได้รับ 5 คะแนน สร้างชุดการแจกแจงตามจำนวนคะแนนที่ได้

สารละลาย. ให้เราแสดงจำนวนคะแนนที่ได้ ค่าที่เป็นไปได้: .

เราค้นหาความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้โดยใช้ทฤษฎีบทของการทำซ้ำการทดลอง:

ชุดการแจกแจงมูลค่ามีรูปแบบดังนี้

รูปหลายเหลี่ยมการกระจายจะแสดงในรูป 5.1.3.

ตัวอย่างที่ 3 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในการทดลองหนึ่งครั้งเท่ากับ มีการทดลองอิสระหลายชุด ซึ่งจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งเกิดเหตุการณ์ครั้งแรก หลังจากนั้นการทดลองจะหยุดลง ตัวแปรสุ่ม – จำนวนการทดลองที่ทำ สร้างชุดการกระจายค่า

สารละลาย. ค่าที่เป็นไปได้: 1, 2, 3, ... (ตามทฤษฎีแล้ว ค่าเหล่านี้ไม่ได้ถูกจำกัดด้วยสิ่งใดเลย) เพื่อให้ปริมาณได้รับค่า 1 จำเป็นที่เหตุการณ์จะต้องเกิดขึ้นในการทดลองครั้งแรก ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้จะเท่ากัน เพื่อให้ปริมาณได้รับค่า 2 จำเป็นที่เหตุการณ์จะไม่ปรากฏในการทดลองครั้งแรก แต่จะปรากฏในการทดสอบครั้งที่สอง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้จะเท่ากับ , โดยที่ ฯลฯ ชุดการแจกแจงมูลค่ามีรูปแบบดังนี้

ลำดับห้าอันดับแรกของรูปหลายเหลี่ยมการกระจายสำหรับเคสจะแสดงอยู่ในรูปที่. 5.1.4.

ตัวอย่างที่ 4 ผู้ยิงยิงเข้าเป้าจนโดนครั้งแรกโดยมีกระสุน 4 นัด ความน่าจะเป็นที่จะยิงแต่ละนัดคือ 0.6 สร้างชุดการแจกจ่ายตามจำนวนกระสุนที่เหลืออยู่ที่ยังไม่ได้ใช้

ตัวแปรสุ่ม: ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

เมื่อทำการทดลองสุ่ม พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นจะเกิดขึ้น - ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองนี้ เชื่อกันว่าในบริเวณนี้มีกิจกรรมเบื้องต้นเกิดขึ้น ตัวแปรสุ่ม X หากมีการกำหนดกฎ (กฎ) ตามเหตุการณ์พื้นฐานแต่ละรายการที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข ดังนั้นตัวแปรสุ่ม X จึงถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนสเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น

■ ตัวแปรสุ่ม- ปริมาณที่รับค่าตัวเลขหนึ่งหรือค่าอื่นในระหว่างการทดสอบแต่ละครั้ง (ไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด) ขึ้นอยู่กับเหตุผลที่สุ่มซึ่งไม่สามารถนำมาพิจารณาล่วงหน้าได้ ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน และค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยตัวอักษรขนาดเล็ก ดังนั้น เมื่อขว้างลูกเต๋า จะมีเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับเลข x โดยที่ x คือจำนวนแต้มที่ทอยได้ จำนวนคะแนนเป็นตัวแปรสุ่ม และตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 เป็นค่าที่เป็นไปได้ของค่านี้ ระยะทางที่กระสุนจะเคลื่อนที่เมื่อยิงจากปืนก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน (ขึ้นอยู่กับการติดตั้งสายตา ความแรงและทิศทางของลม อุณหภูมิ และปัจจัยอื่น ๆ ) และค่าที่เป็นไปได้ของค่านี้อยู่ ถึงช่วงเวลาหนึ่ง (a; b)

■ ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง– ตัวแปรสุ่มที่ใช้แยกค่าที่เป็นไปได้ที่แยกจากกันโดยมีความน่าจะเป็นที่แน่นอน จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องสามารถมีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด

■ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง– ตัวแปรสุ่มที่สามารถรับค่าทั้งหมดจากช่วงจำกัดหรือช่วงอนันต์ จำนวนค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องนั้นไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างเช่น จำนวนคะแนนที่ทอยได้เมื่อทอยลูกเต๋า คะแนนสำหรับการทดสอบเป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ระยะทางที่กระสุนปืนบินเมื่อยิงจากปืน, ข้อผิดพลาดในการวัดของตัวบ่งชี้เวลาในการเรียนรู้สื่อการเรียนรู้, ความสูงและน้ำหนักของบุคคลเป็นตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่ม– ความสอดคล้องระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น เช่น แต่ละค่าที่เป็นไปได้ x i มีความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มสามารถรับค่านี้ได้ กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มสามารถระบุได้ในรูปแบบตาราง (ในรูปแบบของตาราง) เชิงวิเคราะห์ (ในรูปแบบของสูตร) ​​และแบบกราฟิก

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X รับค่า x 1 , x 2 , …, x n ด้วยความน่าจะเป็น p 1 , p 2 , …, p n ตามลำดับคือ P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n เมื่อระบุกฎการกระจายของปริมาณนี้ในตาราง แถวแรกของตารางประกอบด้วยค่าที่เป็นไปได้ x 1 , x 2 , ..., xn และแถวที่สองจะมีความน่าจะเป็น

เอ็กซ์	x1	x2	…	เอ็กซ์เอ็น
พี	หน้า 1	หน้า 2	…	พีเอ็น

จากผลการทดสอบ ตัวแปรสุ่มแบบแยก X รับค่าที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น ดังนั้นเหตุการณ์ X=x 1, X=x 2, ..., X=x n จึงกลายเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ของความเข้ากันไม่ได้แบบคู่ เหตุการณ์ ดังนั้น ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้จึงเท่ากับ 1 นั่นคือ พี 1 + พี 2 +… + พี n =1.

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปหลายเหลี่ยม)

ดังที่คุณทราบตัวแปรสุ่มคือตัวแปรที่สามารถรับค่าบางค่าได้ขึ้นอยู่กับกรณีและปัญหา ตัวแปรสุ่มจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของอักษรละติน (X, Y, Z) และค่าของตัวแปรจะแสดงด้วยอักษรตัวพิมพ์เล็กที่เกี่ยวข้อง (x, y, z) ตัวแปรสุ่มแบ่งออกเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง (ไม่ต่อเนื่อง) และต่อเนื่อง

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือตัวแปรสุ่มที่รับเฉพาะชุดค่าที่มีขอบเขตหรืออนันต์ (นับได้) โดยมีความน่าจะเป็นที่ไม่เป็นศูนย์

กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันที่เชื่อมโยงค่าของตัวแปรสุ่มเข้ากับความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน กฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายสามารถระบุได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้

1. ตารางกฎหมายการกระจายสามารถกำหนดได้:

โดยที่ แลม>0, k = 0, 1, 2, … .

c) การใช้ฟังก์ชันการแจกแจง F(x) ซึ่งกำหนดสำหรับแต่ละค่า x ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่ม X จะใช้ค่าน้อยกว่า x เช่น ฉ(x) = พี(X< x).

คุณสมบัติของฟังก์ชัน F(x)

3. กฎการกระจายสามารถระบุได้แบบกราฟิก - โดยรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปหลายเหลี่ยม) (ดูภารกิจที่ 3)

โปรดทราบว่าในการแก้ปัญหาบางอย่างไม่จำเป็นต้องรู้กฎหมายการกระจายสินค้า ในบางกรณี ก็เพียงพอที่จะทราบตัวเลขหนึ่งหรือหลายตัวที่สะท้อนถึงคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดของกฎหมายการกระจายสินค้า นี่อาจเป็นตัวเลขที่มีความหมายเท่ากับ “ค่าเฉลี่ย” ของตัวแปรสุ่ม หรือตัวเลขที่แสดงขนาดเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าเฉลี่ย ตัวเลขประเภทนี้เรียกว่าคุณลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่ม

ลักษณะตัวเลขพื้นฐานของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

• ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ค่าเฉลี่ย) ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง M(X)=Σ x i p i
  สำหรับการแจกแจงทวินาม M(X)=np สำหรับการแจกแจงปัวซอง M(X)=แล
• การกระจายตัวของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง D(X)= M 2 หรือ D(X) = M(X 2)− 2 ความแตกต่าง X–M(X) เรียกว่าค่าเบี่ยงเบนของตัวแปรสุ่มจากค่าคาดหมายทางคณิตศาสตร์
  สำหรับการแจกแจงทวินาม D(X)=npq สำหรับการแจกแจงแบบปัวซอง D(X)=แล
• ค่าเบี่ยงเบนกำลังสองเฉลี่ย (ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) σ(X)=√D(X)

· เพื่อความชัดเจนในการนำเสนอซีรีส์รูปแบบต่างๆ รูปภาพกราฟิกจึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง ในรูปแบบกราฟิก ซีรีส์รูปแบบต่างๆ สามารถแสดงเป็นรูปหลายเหลี่ยม ฮิสโตแกรม และสะสมได้

· รูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง (เรียกตามตัวอักษรว่ารูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง) เรียกว่าเส้นขาด ซึ่งสร้างขึ้นในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ค่าของแอตทริบิวต์จะถูกพล็อตบนแกน abscissa ความถี่ที่สอดคล้องกัน (หรือความถี่สัมพัทธ์) จะถูกพล็อตบนแกนกำหนด จุด (หรือ) เชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงและได้รับรูปหลายเหลี่ยมการกระจาย ส่วนใหญ่แล้ว รูปหลายเหลี่ยมจะถูกใช้เพื่อแสดงถึงอนุกรมการแปรผันที่แยกจากกัน แต่ก็สามารถใช้สำหรับอนุกรมช่วงเวลาได้เช่นกัน ในกรณีนี้ จุดที่ตรงกับจุดกึ่งกลางของช่วงเวลาเหล่านี้จะถูกพล็อตบนแกนแอบซิสซา

ตัวอย่างที่กล่าวข้างต้นช่วยให้เราสรุปได้ว่าค่าที่ใช้ในการวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับเหตุผลแบบสุ่ม ดังนั้น ตัวแปรดังกล่าวจึงเรียกว่า สุ่ม- ในกรณีส่วนใหญ่เกิดขึ้นจากการสังเกตหรือการทดลองซึ่งจัดทำเป็นตารางในแถวแรกซึ่งมีการบันทึกค่าที่สังเกตได้ต่างๆ ของตัวแปรสุ่ม X และในวินาทีความถี่ที่สอดคล้องกัน จึงเรียกตารางนี้ว่า การกระจายตัวเชิงประจักษ์ของตัวแปรสุ่ม Xหรือ ซีรีย์การเปลี่ยนแปลง- สำหรับอนุกรมรูปแบบต่างๆ เราพบค่าเฉลี่ย การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

อย่างต่อเนื่องหากค่าของมันเติมเต็มช่วงตัวเลขที่แน่นอน

ตัวแปรสุ่มเรียกว่า ไม่ต่อเนื่องหากสามารถกำหนดหมายเลขค่าทั้งหมดได้ (โดยเฉพาะหากใช้ค่าจำนวนจำกัด)

สองสิ่งที่ควรทราบ คุณสมบัติลักษณะตารางการแจกแจงตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง:

ตัวเลขทั้งหมดในแถวที่สองของตารางเป็นค่าบวก

ผลรวมของพวกเขาเท่ากับหนึ่ง

จากการวิจัยที่ดำเนินการแล้ว สามารถสันนิษฐานได้ว่าเมื่อจำนวนการสังเกตเพิ่มขึ้น การกระจายเชิงประจักษ์จะเข้าใกล้ทฤษฎีตามที่กำหนดในรูปแบบตาราง

คุณลักษณะที่สำคัญของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X รับค่า , , …, .ด้วยความน่าจะเป็น , , …, เรียกว่าตัวเลข:

ค่าคาดหวังเรียกอีกอย่างว่าค่าเฉลี่ย

ลักษณะสำคัญอื่นๆ ของตัวแปรสุ่ม ได้แก่ ความแปรปรวน (8) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (9)

โดยที่: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของค่า เอ็กซ์

. (9)

การแสดงข้อมูลแบบกราฟิกนั้นมองเห็นได้ชัดเจนกว่าแบบตารางดังนั้นความสามารถของสเปรดชีต MS Excel ในการนำเสนอข้อมูลที่มีอยู่ในนั้นในรูปแบบของแผนภูมิกราฟและฮิสโตแกรมต่างๆจึงถูกนำมาใช้บ่อยมาก ดังนั้นนอกเหนือจากตารางแล้ว การแจกแจงของตัวแปรสุ่มยังแสดงโดยใช้อีกด้วย รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จุดที่มีพิกัด , , ... จะถูกสร้างขึ้นบนระนาบพิกัดและเชื่อมต่อกันด้วยส่วนเส้นตรง

หากต้องการรับสี่เหลี่ยมการกระจายโดยใช้ MS Excel คุณต้อง:

1. เลือกแท็บ “แทรก” ® “แผนภูมิพื้นที่” บนแถบเครื่องมือ

2. เปิดใช้งานพื้นที่แผนภูมิที่ปรากฏบนแผ่นงาน MS Excel ด้วยปุ่มเมาส์ขวา และใช้คำสั่ง "เลือกข้อมูล" ในเมนูบริบท

ข้าว. 6. การเลือกแหล่งข้อมูล

ขั้นแรก เรามากำหนดช่วงข้อมูลสำหรับแผนภูมิกันก่อน ในการดำเนินการนี้ให้ป้อนช่วง C6:I6 ลงในพื้นที่ที่เหมาะสมของกล่องโต้ตอบ "เลือกแหล่งข้อมูล" (แสดงค่าความถี่ที่เรียกว่า Series1, รูปที่ 7)

ข้าว. 7. การเพิ่มแถวที่ 1

หากต้องการเปลี่ยนชื่อซีรีส์ คุณต้องเลือกปุ่มเปลี่ยนพื้นที่ “องค์ประกอบตำนาน (ซีรีส์)” (ดูรูปที่ 7) แล้วตั้งชื่อ

หากต้องการเพิ่มป้ายกำกับแกน X คุณต้องใช้ปุ่ม "แก้ไข" ในพื้นที่ "ป้ายกำกับแกนแนวนอน (หมวดหมู่)"
(รูปที่ 8) และระบุค่าของอนุกรม (ช่วง $C$6:$I$6)

ข้าว. 8. มุมมองสุดท้ายของกล่องโต้ตอบ "เลือกแหล่งข้อมูล"

การเลือกปุ่มในกล่องโต้ตอบเลือกแหล่งข้อมูล
(รูปที่ 8) จะช่วยให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยมที่ต้องการของการแจกแจงตัวแปรสุ่ม (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. รูปหลายเหลี่ยมการกระจายของตัวแปรสุ่ม

มาทำการเปลี่ยนแปลงการออกแบบข้อมูลกราฟิกที่ได้:

มาเพิ่มป้ายกำกับสำหรับแกน X กัน

มาแก้ไขป้ายกำกับแกน Y กันดีกว่า

- มาเพิ่มชื่อเรื่องให้กับไดอะแกรม “รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย”

ในการดำเนินการนี้ ให้เลือกแท็บ "การทำงานกับแผนภูมิ" ในพื้นที่แถบเครื่องมือ แท็บ "เค้าโครง" และในแถบเครื่องมือที่ปรากฏขึ้น จะมีปุ่มที่เกี่ยวข้อง: "ชื่อแผนภูมิ", "ชื่อแกน" (รูปที่ 10)

ข้าว. 10. มุมมองสุดท้ายของรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจงตัวแปรสุ่ม

คำตอบ: พิจารณาตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง เอ็กซ์ด้วยค่าที่เป็นไปได้ แต่ละค่าเหล่านี้เป็นไปได้แต่ไม่แน่นอนและค่า เอ็กซ์สามารถยอมรับแต่ละอย่างได้ด้วยความน่าจะเป็น จากผลการทดลองจึงได้ค่า เอ็กซ์จะใช้ค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ กล่าวคือ เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งจะเกิดขึ้น:

ให้เราแสดงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ด้วยตัวอักษร รด้วยดัชนีที่สอดคล้องกัน:

นั่นคือตารางการแจกแจงสามารถระบุการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าต่างๆ ได้ โดยค่าทั้งหมดที่ยอมรับโดยตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดจะแสดงอยู่ในบรรทัดบนสุด และความน่าจะเป็นของค่าที่สอดคล้องกัน ​​ถูกระบุไว้ในบรรทัดล่างสุด เนื่องจากเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ (3.1) ก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ ดังนั้น นั่นคือผลรวมของความน่าจะเป็นของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มจะเท่ากับหนึ่ง การแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องไม่สามารถนำเสนอในรูปแบบของตารางได้ เนื่องจากจำนวนค่าของตัวแปรสุ่มดังกล่าวจะไม่มีที่สิ้นสุดแม้ในช่วงเวลาที่จำกัด นอกจากนี้ ความน่าจะเป็นที่จะได้ค่าใดๆ ก็ตามคือศูนย์ ตัวแปรสุ่มจะได้รับการอธิบายอย่างสมบูรณ์จากมุมมองความน่าจะเป็น ถ้าเราระบุการแจกแจงนี้ กล่าวคือ เราระบุอย่างชัดเจนถึงความน่าจะเป็นที่แต่ละเหตุการณ์มี ด้วยเหตุนี้ เราจะสร้างสิ่งที่เรียกว่ากฎการกระจายตัวของตัวแปรสุ่ม กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มคือความสัมพันธ์ใด ๆ ที่สร้างความเชื่อมโยงระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน เราจะพูดถึงตัวแปรสุ่มว่าอยู่ภายใต้กฎการกระจายที่กำหนด ขอให้เราสร้างรูปแบบที่สามารถระบุกฎการกระจายของตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่องได้ เอ็กซ์รูปแบบที่ง่ายที่สุดในการระบุกฎนี้คือตารางที่แสดงรายการค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง:

x ฉัน	x 1	x 2	× × ×	เอ็กซ์เอ็น
พี ฉัน	พี 1	พี 2	× × ×	พีเอ็น

เราจะเรียกตารางดังกล่าวว่าชุดของการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม เอ็กซ์

ข้าว. 3.1

เพื่อให้ซีรีย์การแจกแจงมีรูปลักษณ์ที่มองเห็นได้มากขึ้นพวกเขามักจะหันไปใช้การแสดงกราฟิก: ค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มจะถูกพล็อตตามแกน Abscissa และความน่าจะเป็นของค่าเหล่านี้จะถูกพล็อตไปตามแกนกำหนด เพื่อความชัดเจน จุดผลลัพธ์จะเชื่อมต่อกันด้วยส่วนตรง ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมการกระจาย (รูปที่ 3.1) รูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง เช่นเดียวกับอนุกรมการแจกแจง จะแสดงลักษณะเฉพาะของตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์ มันเป็นรูปแบบหนึ่งของกฎการกระจาย บางครั้งการตีความแบบ "เชิงกล" ของซีรีย์การแจกจ่ายก็สะดวก ลองจินตนาการว่ามวลจำนวนหนึ่งซึ่งเท่ากับความสามัคคีถูกกระจายไปตามแกนแอบซิสซาเพื่อที่จะเข้าไป nมวลจะมีความเข้มข้นที่แต่ละจุดตามลำดับ - จากนั้นอนุกรมการแจกแจงจะถูกตีความว่าเป็นระบบจุดวัสดุโดยมีมวลบางส่วนอยู่บนแกนแอบซิสซา

ประสบการณ์คือการดำเนินการตามเงื่อนไขและการกระทำบางอย่างซึ่งมีการสังเกตปรากฏการณ์สุ่มที่กำลังศึกษาอยู่ การทดลองสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะได้ในเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณ ปริมาณสุ่มคือปริมาณที่เป็นผลจากการทดลอง สามารถใช้กับค่าใดค่าหนึ่งได้ และไม่ทราบล่วงหน้าว่าค่าใด

ตัวแปรสุ่มมักจะแสดงแทน (X,Y,Z) และค่าที่สอดคล้องกัน (x,y,z)

Discrete เป็นตัวแปรสุ่มที่แยกค่าแต่ละค่าออกจากกันซึ่งสามารถประเมินค่าสูงเกินไปได้ ปริมาณต่อเนื่องซึ่งค่าที่เป็นไปได้จะเติมในช่วงที่กำหนดอย่างต่อเนื่อง กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มคือความสัมพันธ์ใด ๆ ที่สร้างความเชื่อมโยงระหว่างค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกัน แถวการกระจายและรูปหลายเหลี่ยม รูปแบบที่ง่ายที่สุดของกฎการกระจายของปริมาณที่ไม่ต่อเนื่องคืออนุกรมการแจกแจง การตีความแบบกราฟิกของซีรีย์การแจกแจงคือรูปหลายเหลี่ยมการแจกแจง

คุณยังสามารถค้นหาข้อมูลที่คุณสนใจได้ในเครื่องมือค้นหาทางวิทยาศาสตร์ Otvety.Online ใช้แบบฟอร์มการค้นหา:

ข้อมูลเพิ่มเติมในหัวข้อ 13 ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย การดำเนินการกับตัวแปรสุ่ม เช่น

1. 13. ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและกฎการกระจายตัวของมัน รูปหลายเหลี่ยมการกระจาย การดำเนินการกับตัวแปรสุ่ม ตัวอย่าง.
2. แนวคิดเรื่อง “ตัวแปรสุ่ม” และคำอธิบาย ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและกฎการแจกแจง (อนุกรม) ตัวแปรสุ่มอิสระ ตัวอย่าง.
3. 14. ตัวแปรสุ่ม, ประเภทของตัวแปรเหล่านั้น กฎการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง (DRV) วิธีการสร้างตัวแปรสุ่ม (SV)
4. 16. กฎการกระจายของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง: ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ การกระจายตัว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
5. การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และตัวอย่างการสร้างกฎการกระจายสำหรับ KX, X"1, X + K, XV โดยยึดตามการแจกแจงที่กำหนดของตัวแปรสุ่มอิสระ X และ Y
6. แนวคิดของตัวแปรสุ่ม กฎหมายว่าด้วยการจำหน่ายคดีแยก ปริมาณ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์แบบสุ่ม ปริมาณ