การแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัว ระบบที่มีสมการไม่เชิงเส้น

การแก้สมการในจำนวนเต็มเป็นหนึ่งในปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุด เมื่อต้นสหัสวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ชาวบาบิโลนรู้วิธีแก้ระบบสมการดังกล่าวด้วยตัวแปรสองตัว คณิตศาสตร์สาขานี้มีความเจริญรุ่งเรืองมากที่สุดในสมัยกรีกโบราณ แหล่งที่มาหลักของเราคือเลขคณิตของไดโอแฟนตัส ซึ่งมีสมการหลายประเภท ในนั้น ไดโอแฟนทัส (ตามชื่อของเขา สมการคือสมการไดโอแฟนไทน์) คาดการณ์วิธีการต่างๆ มากมายในการศึกษาสมการระดับที่ 2 และ 3 ซึ่งพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น

สมการไดโอแฟนไทน์ที่ง่ายที่สุดคือ ax + y = 1 (สมการที่มีตัวแปรสองตัว ระดับที่ 1) x2 + y2 = z2 (สมการที่มีตัวแปร 3 ตัว ระดับที่ 2)

สมการพีชคณิตได้รับการศึกษาอย่างครบถ้วนที่สุด วิธีแก้ปัญหาคือหนึ่งในปัญหาที่สำคัญที่สุดในพีชคณิตในศตวรรษที่ 16 และ 17

เมื่อต้นศตวรรษที่ 19 ผลงานของ P. Fermat, L. Euler, K. Gauss ได้ตรวจสอบสมการไดโอแฟนไทน์ในรูปแบบ: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 โดยที่ a, b, c , d, e, f คือตัวเลข; x, y ตัวแปรที่ไม่รู้จัก

นี่คือสมการระดับที่ 2 ที่มีไม่ทราบค่าสองตัว

K. Gauss พัฒนาทฤษฎีทั่วไปของรูปกำลังสองซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการแก้สมการบางประเภทด้วยตัวแปรสองตัว (สมการไดโอแฟนไทน์) มีสมการไดโอแฟนไทน์จำเพาะจำนวนมากที่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการเบื้องต้น /พี>

วัสดุทางทฤษฎี

ในส่วนนี้ของงานจะอธิบายแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน นิยามคำศัพท์ และทฤษฎีบทการขยายตัวจะกำหนดโดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน ซึ่งมีการศึกษาและพิจารณาเมื่อแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัว

คำจำกัดความ 1: สมการของรูปแบบ ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 โดยที่ a, b, c, d, e, f เป็นตัวเลข x, y ตัวแปรที่ไม่รู้จักเรียกว่าสมการดีกรีที่สองซึ่งมีตัวแปรสองตัว

ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มีการศึกษาสมการกำลังสอง ax2 + bx + c = 0 โดยที่ a, b, c ของตัวเลข x เป็นตัวแปรหนึ่งตัว โดยมีตัวแปรตัวเดียว มีหลายวิธีในการแก้สมการนี้:

1. การค้นหารากโดยใช้การแบ่งแยก

2. ค้นหารากของค่าสัมประสิทธิ์คู่ใน (ตาม D1=)

3. การหารากโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta

4. การหารากโดยการแยกกำลังสองสมบูรณ์ของทวินาม

การแก้สมการหมายถึงการค้นหารากทั้งหมดหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง

คำจำกัดความ 2: รากของสมการคือตัวเลขที่เมื่อแทนที่ลงในสมการแล้วจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง

คำจำกัดความที่ 3: การแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวเรียกว่าคู่ของตัวเลข (x, y) เมื่อแทนค่าลงในสมการแล้ว จะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

กระบวนการหาคำตอบของสมการมักประกอบด้วยการแทนที่สมการด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน แต่เป็นสมการที่แก้ได้ง่ายกว่า สมการดังกล่าวเรียกว่าสมการ

คำจำกัดความ 4: สมการสองสมการกล่าวกันว่าเท่ากัน ถ้าแต่ละคำตอบของสมการหนึ่งเป็นคำตอบของอีกสมการหนึ่ง และในทางกลับกัน และสมการทั้งสองถือว่าอยู่ในโดเมนเดียวกัน

ในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัว ให้ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการสลายตัวของสมการเป็นผลรวมของกำลังสองที่สมบูรณ์ (โดยวิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน)

สำหรับสมการลำดับที่สอง ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) การขยายตัว a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) จะเกิดขึ้น

ให้เรากำหนดเงื่อนไขที่การขยายตัว (2) จะเกิดขึ้นสำหรับสมการ (1) ของตัวแปรสองตัว

ทฤษฎีบท: ถ้าสัมประสิทธิ์ a, b, c ของสมการ (1) ตรงตามเงื่อนไข a0 และ 4ab – c20 การขยายตัว (2) จะถูกกำหนดในลักษณะเฉพาะ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการ (1) ที่มีตัวแปรสองตัวสามารถลดลงเป็นรูปแบบ (2) ได้โดยใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนหากตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท

ลองดูตัวอย่างวิธีการใช้วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน

วิธีที่ 1 แก้สมการโดยใช้วิธีค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ได้กำหนดไว้

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0

1. ลองตรวจสอบความสมบูรณ์ของเงื่อนไขของทฤษฎีบท a=2, b=1, c=2 ซึ่งหมายถึง a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40

2. ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท สามารถขยายได้ตามสูตร (2)

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท เอกลักษณ์ทั้งสองส่วนจะเท่ากัน ให้เราลดความซับซ้อนของด้านขวาของตัวตน

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h)

5. เราถือเอาค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่เหมือนกันกับองศาของมัน

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. เรามาระบบสมการแก้โจทย์และหาค่าสัมประสิทธิ์กันเถอะ

7. แทนค่าสัมประสิทธิ์ลงใน (2) แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงเทียบเท่ากับสมการ

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3) สมการนี้เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ

คำตอบ: (-1; 1)

หากคุณใส่ใจกับประเภทของส่วนขยาย (3) คุณจะสังเกตเห็นว่ามันเหมือนกันในรูปแบบในการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากสมการกำลังสองที่มีตัวแปรตัวเดียว: ax2 + inx + c = a(x +)2 +

ลองใช้เทคนิคนี้เมื่อแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัว ให้เราแก้โดยใช้การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ซึ่งเป็นสมการกำลังสองที่มีตัวแปรสองตัวที่ได้รับการแก้ไขแล้วโดยใช้ทฤษฎีบท

วิธีที่ 2: แก้สมการ 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0

วิธีแก้: 1. ลองนึกภาพ 2x2 เป็นผลรวมของสองเทอม x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0

2. ลองจัดกลุ่มพจน์ในลักษณะที่เราสามารถพับมันโดยใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0

3. เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์จากนิพจน์ในวงเล็บ

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0

4. สมการนี้เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้น

คำตอบ: (-1;1)

หากเปรียบเทียบผลลัพธ์จะพบว่าสมการที่แก้ได้โดยวิธีที่ 1 โดยใช้ทฤษฎีบทกับวิธีสัมประสิทธิ์ไม่ระบุ และสมการที่แก้โดยวิธีที่ 2 โดยใช้การแยกกำลังสองสมบูรณ์มีรากที่เหมือนกัน

สรุป: สมการกำลังสองที่มีตัวแปรสองตัวสามารถขยายเป็นผลรวมของกำลังสองได้สองวิธี:

➤ วิธีแรกคือวิธีหาค่าสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอนซึ่งขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทและการขยายตัว (2)

➤ วิธีที่สองคือการใช้การแปลงเอกลักษณ์ที่ช่วยให้คุณสามารถเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับ

แน่นอนว่าเมื่อแก้ไขปัญหาควรใช้วิธีที่สองเนื่องจากไม่จำเป็นต้องจำการขยาย (2) และเงื่อนไข

วิธีนี้ยังใช้กับสมการกำลังสองที่มีตัวแปร 3 ตัวได้ด้วย การแยกกำลังสองสมบูรณ์ในสมการดังกล่าวต้องใช้แรงงานมาก ฉันจะทำการเปลี่ยนแปลงประเภทนี้ในปีหน้า

เป็นที่น่าสนใจที่จะสังเกตว่าฟังก์ชันที่มีรูปแบบ: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f เรียกว่าฟังก์ชันกำลังสองของตัวแปรสองตัว ฟังก์ชันกำลังสองมีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์แขนงต่างๆ:

ในการเขียนโปรแกรมเชิงคณิตศาสตร์ (การเขียนโปรแกรมกำลังสอง)

ในพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิต (รูปแบบกำลังสอง)

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ (การลดสมการเชิงเส้นอันดับสองให้เป็นรูปแบบมาตรฐาน)

เมื่อแก้ไขปัญหาต่างๆ เหล่านี้ คุณจะต้องใช้ขั้นตอนการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกจากสมการกำลังสอง (ตัวแปรหนึ่ง สองตัวขึ้นไป)

เส้นที่อธิบายสมการด้วยสมการกำลังสองของตัวแปรสองตัวเรียกว่าเส้นโค้งลำดับที่สอง

เหล่านี้คือวงกลม วงรี ไฮเปอร์โบลา

เมื่อสร้างกราฟของเส้นโค้งเหล่านี้ จะใช้วิธีการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับด้วย

มาดูกันว่าวิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ตามลำดับทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจง

ส่วนการปฏิบัติ

แก้สมการโดยใช้วิธีแยกกำลังสองสมบูรณ์ตามลำดับ

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

คำตอบ:(-1;1)

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

คำตอบ:(0.5; - 0.5)

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

คำตอบ:(-1;1)

แก้สมการ:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(ลดเป็นรูป: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

คำตอบ: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(ลดเป็นรูปแบบ: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

คำตอบ: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(ลดเป็นรูปแบบ: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

คำตอบ: (7; -7)

บทสรุป.

ในงานทางวิทยาศาสตร์นี้มีการศึกษาสมการที่มีตัวแปรสองตัวในระดับที่สองและพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้น ภารกิจเสร็จสิ้น จึงได้กำหนดวิธีการแก้โจทย์และอธิบายวิธีแก้ให้สั้นลง โดยอาศัยการแยกกำลังสองสมบูรณ์แล้วแทนที่สมการด้วยระบบสมการที่เทียบเท่ากัน ส่งผลให้ขั้นตอนการหารากของสมการที่มีตัวแปรสองตัวได้ ถูกทำให้ง่ายขึ้น

จุดสำคัญของงานคือเทคนิคที่อยู่ระหว่างการพิจารณาจะใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกำลังสอง การสร้างเส้นโค้งลำดับที่สอง และการค้นหาค่านิพจน์ที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด)

ดังนั้นเทคนิคการแยกสมการอันดับสองที่มีตัวแปรสองตัวให้เป็นผลรวมของกำลังสองจึงมีการใช้งานทางคณิตศาสตร์มากที่สุด

เรื่อง:ฟังก์ชันเชิงเส้น

บทเรียน:สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวและกราฟ

เราเริ่มคุ้นเคยกับแนวคิดของแกนพิกัดและระนาบพิกัด เรารู้ว่าแต่ละจุดบนระนาบกำหนดตัวเลขคู่หนึ่ง (x; y) โดยไม่ซ้ำกัน โดยตัวเลขแรกคือค่าสัมบูรณ์ของจุด และตัวที่สองคือเลขลำดับ

เรามักจะพบสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัวบ่อยครั้งมาก ซึ่งคำตอบคือคู่ของตัวเลขที่สามารถแสดงบนระนาบพิกัดได้

สมการของแบบฟอร์ม:

โดยที่ a, b, c เป็นตัวเลข และ

เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร x และ y สองตัว การแก้สมการดังกล่าวจะเป็นคู่ของตัวเลข x และ y ใดๆ แทนที่ด้วยสมการเราจะได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ตัวเลขคู่หนึ่งจะแสดงบนระนาบพิกัดเป็นจุด

สำหรับสมการดังกล่าว เราจะเห็นคำตอบมากมาย กล่าวคือ ตัวเลขหลายคู่ และจุดที่สอดคล้องกันทั้งหมดจะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกัน

ลองดูตัวอย่าง:

หากต้องการหาคำตอบของสมการนี้ คุณต้องเลือกคู่ตัวเลข x และ y ที่สอดคล้องกัน:

อนุญาต จากนั้นสมการดั้งเดิมจะกลายเป็นสมการที่ไม่ทราบค่า:

นั่นคือตัวเลขคู่แรกที่เป็นคำตอบของสมการที่กำหนด (0; 3) เราได้จุด A(0; 3)

อนุญาต . เราได้สมการดั้งเดิมที่มีตัวแปรตัวเดียว: จากตรงนี้เราได้จุด B(3; 0)

ใส่คู่ของตัวเลขลงในตาราง:

ลองพล็อตจุดบนกราฟแล้ววาดเส้นตรง:

โปรดทราบว่าจุดใดๆ บนเส้นตรงจะเป็นคำตอบของสมการที่กำหนด มาตรวจสอบกัน - หาจุดที่มีพิกัดแล้วใช้กราฟเพื่อค้นหาพิกัดที่สอง เป็นที่ชัดเจนว่า ณ จุดนี้ ลองแทนตัวเลขคู่นี้ลงในสมการกัน เราได้ 0=0 - ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงคือวิธีแก้ปัญหา

ในตอนนี้ เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดใดๆ ที่วางอยู่บนเส้นที่สร้างขึ้นคือคำตอบของสมการ ดังนั้นเราจึงยอมรับว่าสิ่งนี้เป็นจริงและจะพิสูจน์ในภายหลัง

ตัวอย่างที่ 2 - สร้างกราฟสมการ:

มาสร้างตารางกัน เราต้องการเพียงสองจุดในการสร้างเส้นตรง แต่เราจะใช้จุดที่สามเพื่อควบคุม:

ในคอลัมน์แรกเราใช้อันที่สะดวกเราจะพบได้จาก:

, ,

ในคอลัมน์ที่สอง เราใช้อันที่สะดวก มาหา x:

, , ,

มาตรวจสอบและค้นหา:

, ,

มาสร้างกราฟกันเถอะ:

ลองคูณสมการที่กำหนดด้วยสอง:

จากการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว ชุดของคำตอบจะไม่เปลี่ยนแปลง และกราฟจะยังคงเหมือนเดิม

สรุป: เราเรียนรู้ที่จะแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวและสร้างกราฟ เราเรียนรู้ว่ากราฟของสมการดังกล่าวเป็นเส้นตรง และจุดใดๆ บนเส้นนี้คือคำตอบของสมการ

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. และอื่น ๆ พีชคณิต 7 ฉบับที่ 6 อ. : การตรัสรู้. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 ม.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. และอื่นๆ พีชคณิต 7.ม.: ตรัสรู้. 2549

2. พอร์ทัลสำหรับการดูแบบครอบครัว ()

ภารกิจที่ 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 960 ข้อ 210;

ภารกิจที่ 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 961 ข้อ 210;

ภารกิจที่ 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. พีชคณิต 7 หมายเลข 962 ข้อ 210;

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น นั่นคือสาเหตุที่ปัญหาทั้งหมดซึ่งมีการนำเงื่อนไขบางประการมาใช้กับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้นจึงไม่อยู่ในสายตา นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น "แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม" ก็ถูกมองข้ามไปเช่นกัน แม้ว่าปัญหาประเภทนี้จะพบบ่อยมากขึ้นในสื่อการสอบ Unified State และในการสอบเข้า

สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา

ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:

ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0)

ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนตัวอย่างเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดคำตอบของสมการนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ (k; 3 – k) โดยที่ k เป็นจำนวนจริงใดๆ ตัวเลข.

วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y

สารละลาย.

เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:

(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:

y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R

ความเท่าเทียมกันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)

สารละลาย.

การจัดกลุ่ม:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0

ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2

คำตอบ: (2/3; 3/2)

วิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2

สารละลาย.

ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:

(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2

คำตอบ: (-1; 2)

มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.

ตัวอย่างที่ 4

แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาผู้แยกแยะ:

ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3

คำตอบ: (3; 4)

บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2

สารละลาย.

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3

สารละลาย.

เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3

คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:

(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36

เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)

คำตอบ: -17

อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณจะจัดการกับสมการใดๆ ก็ได้

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
เพื่อขอความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ -.
บทเรียนแรกฟรี!

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

สมการไม่เชิงเส้นที่มีไม่ทราบค่าสองตัว

คำจำกัดความ 1. ให้ A เป็นบางส่วน ชุดตัวเลขคู่ (x; ย- พวกเขาบอกว่าให้เซต A ฟังก์ชันตัวเลข z จากสองตัวแปร x และ y หากมีการระบุกฎโดยให้ตัวเลขแต่ละคู่จากเซต A เชื่อมโยงกับตัวเลขที่แน่นอน

การระบุฟังก์ชันตัวเลข z ของตัวแปร x และ y สองตัวมักจะเป็นเช่นนั้น แสดงถึงดังนั้น:

ที่ไหน ฉ (x , ย) - ฟังก์ชันใดๆ นอกเหนือจากฟังก์ชัน

ฉ (x , ย) = ขวาน+โดย+ค ,

โดยที่ a, b, c ได้รับตัวเลข

คำจำกัดความ 3 การแก้สมการ (2)โทรหาคู่หมายเลข ( x; ย) โดยที่สูตร (2) คือความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

ตัวอย่างที่ 1 แก้สมการ

เนื่องจากกำลังสองของจำนวนใดๆ ไม่เป็นลบ จึงเป็นไปตามสูตร (4) ว่าค่าที่ไม่รู้จัก x และ y เป็นไปตามระบบสมการ

คำตอบที่เป็นคู่ของตัวเลข (6; 3)

คำตอบ: (6; 3)

ตัวอย่างที่ 2 แก้สมการ

ดังนั้นการแก้สมการ (6) ก็คือ จำนวนคู่ของตัวเลขที่ไม่สิ้นสุดใจดี

(1 + ย ; ย) ,

โดยที่ y คือตัวเลขใดๆ

เชิงเส้น

คำจำกัดความที่ 4 การแก้ระบบสมการ

โทรหาคู่หมายเลข ( x; ย) เมื่อแทนที่พวกมันลงในแต่ละสมการของระบบนี้ จะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง

ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีรูปแบบหนึ่งเป็นแบบเส้นตรง

ก(x , ย)

ตัวอย่างที่ 4 แก้ระบบสมการ

สารละลาย . ให้เราแสดงค่า y ที่ไม่ทราบค่าจากสมการแรกของระบบ (7) ถึงค่า x ที่ไม่ทราบค่า และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองของระบบ:

การแก้สมการ

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

เพราะฉะนั้น,

ย 1 = 8 - x 1 = 9 ,
ย 2 = 8 - x 2 = - 1 .

ระบบของสองสมการ ซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ระบบของสมการสองสมการ ซึ่งมีระบบหนึ่งที่เป็นเนื้อเดียวกันจะมีรูปแบบ

โดยที่ a, b, c ได้รับตัวเลข และ ก(x , ย) – ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว x และ y

ตัวอย่างที่ 6 แก้ระบบสมการ

สารละลาย . ลองแก้สมการเอกพันธ์กัน

3x 2 + 2เอ็กซ์ซี - ย 2 = 0 ,

3x 2 + 17เอ็กซ์ซี + 10ย 2 = 0 ,

ถือว่ามันเป็นสมการกำลังสองด้วยความเคารพต่อ x ที่ไม่รู้จัก:

ในกรณีที่ x = - 5ยจากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ

5ย 2 = - 20 ,

ซึ่งไม่มีราก

ในกรณีที่

จากสมการที่สองของระบบ (11) เราได้สมการ

ซึ่งมีรากเป็นตัวเลข ย 1 = 3 , ย 2 = - 3 . การค้นหาค่าแต่ละค่าเหล่านี้ y ค่าที่สอดคล้องกัน x เราได้คำตอบสองวิธีสำหรับระบบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

ตอบ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการประเภทอื่นๆ

ตัวอย่างที่ 8 แก้ระบบสมการ (MIPT)

สารละลาย . ให้เราแนะนำสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ u และ v ซึ่งแสดงผ่าน x และ y ตามสูตร:

เพื่อที่จะเขียนระบบใหม่ (12) ในรูปของสิ่งที่ไม่รู้ใหม่ เราจะเขียนสิ่งที่ไม่รู้จัก x และ y ในรูปของ u และ v ก่อน จากระบบ (13) เป็นไปตามนั้น

ให้เราแก้ระบบเชิงเส้น (14) โดยกำจัดตัวแปร x ออกจากสมการที่สองของระบบนี้

เพื่อจุดประสงค์นี้ เราทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้บนระบบ (14):
เราจะปล่อยให้สมการแรกของระบบไม่เปลี่ยนแปลง

จากสมการที่สองเราจะลบสมการแรกและแทนที่สมการที่สองของระบบด้วยผลต่างผลลัพธ์

เป็นผลให้ระบบ (14) ถูกแปลงเป็นระบบที่เทียบเท่า

จากที่เราพบ

การใช้สูตร (13) และ (15) เราจะเขียนระบบเดิม (12) ใหม่ในรูปแบบ

สมการแรกของระบบ (16) เป็นแบบเส้นตรง ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงค่า u ที่ไม่รู้จักผ่านค่า v ที่ไม่ทราบค่า จากนั้นแทนที่นิพจน์นี้เป็นสมการที่สองของระบบ

คำแนะนำ
วิธีการทดแทนแสดงตัวแปรหนึ่งและแทนที่ลงในสมการอื่น คุณสามารถแสดงตัวแปรใดๆ ได้ตามดุลยพินิจของคุณ ตัวอย่างเช่น เขียน y จากสมการที่สอง:
x-y=2 => y=x-2จากนั้นแทนที่ทุกอย่างลงในสมการแรก:
2x+(x-2)=10 ย้ายทุกสิ่งที่ไม่มี “x” ไปทางด้านขวาแล้วคำนวณ:
2x+x=10+2
3x=12 ต่อไป เพื่อให้ได้ x ให้หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 3:
x=4 ดังนั้น คุณพบ “x” ค้นหา "ย. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ "x" ลงในสมการที่คุณใช้แทน "y":
ย=x-2=4-2=2

ย=2.
2*4+2=10
4-2=2
ทำการตรวจสอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการ:

พบสิ่งแปลกปลอมอย่างถูกต้องแล้ว!
วิธีบวกหรือลบสมการ กำจัดตัวแปรใดๆ ได้ทันที ในกรณีของเรา การใช้ “y” จะง่ายกว่า
เนื่องจากใน "y" มีเครื่องหมาย "+" และในเครื่องหมายที่สอง "-" คุณจึงสามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้เช่น พับด้านซ้ายไปทางซ้าย และพับด้านขวาไปทางขวา:
2x+y+(x-y)=10+2 แปลง:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4แทนที่ “x” ลงในสมการใดๆ แล้วหา “y”:
2*4+y=10
8+y=10
ย=10-8

y=2โดยวิธีที่ 1 คุณจะเห็นได้ว่าพบอย่างถูกต้อง
หากไม่มีตัวแปรที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน จำเป็นต้องแปลงสมการเล็กน้อย
ในสมการแรกเรามี “2x” และสมการที่สองเรามีแค่ “x” เพื่อให้ x ลดลงระหว่างการบวก ให้คูณสมการที่สองด้วย 2:
x-y=2
2x+y-(2x-2y)=10-4 โปรดทราบว่าหากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ หลังจากเปิดแล้ว ให้เปลี่ยนเป็นตรงกันข้าม:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
หา y=2x โดยแสดงจากสมการใดๆ เช่น
x=4

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 2: วิธีแก้สมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว

สมการเขียนในรูปแบบทั่วไป ax+bу+c=0 เรียกว่าสมการเชิงเส้นที่มีสอง ตัวแปร- สมการดังกล่าวประกอบด้วยวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์ ดังนั้นในปัญหาจะมีการเสริมด้วยบางสิ่งเสมอ - สมการอื่นหรือเงื่อนไขจำกัด ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ได้จากปัญหา ให้แก้สมการเชิงเส้นด้วยสอง ตัวแปรตามมาในรูปแบบต่างๆ

คุณจะต้อง

- สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว
- สมการที่สองหรือเงื่อนไขเพิ่มเติม

เมื่อกำหนดระบบสมการเชิงเส้นสองสมการ ให้แก้ดังนี้ เลือกสมการอันใดอันหนึ่งซึ่งมีสัมประสิทธิ์อยู่ ตัวแปรเล็กลงและแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น x จากนั้นแทนค่าที่มี y นี้ลงในสมการที่สอง ในสมการผลลัพธ์จะมีตัวแปร y เพียงตัวเดียว ให้ย้ายทุกส่วนที่มี y ไปทางซ้าย และส่วนที่ว่างไปทางขวา ค้นหา y และแทนที่ลงในสมการดั้งเดิมใดๆ เพื่อหา x

มีอีกวิธีหนึ่งในการแก้ระบบสมการสองสมการ คูณสมการหนึ่งด้วยตัวเลขเพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง เช่น x เท่ากันในทั้งสองสมการ จากนั้นลบสมการอันหนึ่งออกจากอีกสมการหนึ่ง (หากด้านขวามือไม่เท่ากับ 0 อย่าลืมลบด้านขวามือด้วยวิธีเดียวกัน) คุณจะเห็นว่าตัวแปร x หายไปและเหลือเพียงตัวแปร y ตัวเดียวเท่านั้น แก้สมการผลลัพธ์ และแทนที่ค่าที่พบของ y ลงในความเท่าเทียมกันดั้งเดิมใดๆ หาเอ็กซ์

วิธีที่สามในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองสมการคือแบบกราฟิก วาดระบบพิกัดและกราฟเส้นสองเส้นที่มีสมการอยู่ในระบบของคุณ ในการทำเช่นนี้ให้แทนที่ค่า x สองค่าใด ๆ ลงในสมการและค้นหา y ที่สอดคล้องกันซึ่งจะเป็นพิกัดของจุดที่เป็นของเส้น วิธีที่สะดวกที่สุดในการค้นหาจุดตัดกับแกนพิกัดคือการแทนที่ค่า x=0 และ y=0 พิกัดของจุดตัดกันของสองเส้นนี้จะเป็นภารกิจ

หากมีสมการเชิงเส้นเพียงสมการเดียวในเงื่อนไขของปัญหา คุณจะได้รับเงื่อนไขเพิ่มเติมซึ่งคุณสามารถใช้หาวิธีแก้ปัญหาได้ อ่านปัญหาอย่างละเอียดเพื่อค้นหาเงื่อนไขเหล่านี้ ถ้า ตัวแปร x และ y ระบุระยะทาง ความเร็ว น้ำหนัก คุณสามารถตั้งค่าขีดจำกัด x≥0 และ y≥0 ได้ตามใจชอบ ค่อนข้างเป็นไปได้ที่ x หรือ y ซ่อนจำนวนแอปเปิ้ล ฯลฯ – แล้วค่าจะเป็นได้เพียง . ถ้า x คืออายุของลูกชาย ก็ชัดเจนว่าเขาไม่สามารถมีอายุมากกว่าพ่อได้ ดังนั้นให้ระบุสิ่งนี้ในเงื่อนไขของปัญหา

แหล่งที่มา:

วิธีแก้สมการด้วยตัวแปรตัวเดียว

ด้วยตัวเอง สมการกับสาม ไม่ทราบมีคำตอบมากมาย ส่วนใหญ่มักจะเสริมด้วยสมการหรือเงื่อนไขอีกสองข้อ แนวทางการตัดสินใจจะขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นเป็นส่วนใหญ่

คุณจะต้อง

- ระบบสมการสามสมการที่มีสามไม่ทราบ

ถ้าสองในสามระบบมีเพียงสองในสามของระบบที่ไม่รู้จัก ให้พยายามแสดงตัวแปรบางตัวในรูปของตัวแปรอื่นๆ และแทนที่ตัวแปรเหล่านั้นเป็น สมการกับสาม ไม่ทราบ- เป้าหมายของคุณในกรณีนี้คือทำให้เป็นเรื่องปกติ สมการกับบุคคลที่ไม่รู้จัก หากเป็นเช่นนั้น วิธีแก้ไขเพิ่มเติมก็ค่อนข้างง่าย - แทนที่ค่าที่พบลงในสมการอื่นแล้วค้นหาค่าที่ไม่ทราบอื่นๆ ทั้งหมด

ระบบสมการบางระบบสามารถลบออกจากสมการหนึ่งด้วยอีกสมการหนึ่งได้ ดูว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะคูณตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเพื่อยกเลิกค่าที่ไม่รู้จักสองตัวพร้อมกัน หากมีโอกาสให้ใช้ประโยชน์จากมัน เป็นไปได้มากว่าวิธีแก้ปัญหาในภายหลังจะไม่ใช่เรื่องยาก โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณด้วยตัวเลข คุณต้องคูณทั้งด้านซ้ายและด้านขวา ในทำนองเดียวกัน เมื่อลบสมการ คุณต้องจำไว้ว่าจะต้องลบทางด้านขวามือด้วย

หากวิธีก่อนหน้านี้ไม่ได้ผล ให้ใช้วิธีทั่วไปในการแก้สมการด้วยสาม ไม่ทราบ- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เขียนสมการใหม่ในรูปแบบ a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 ตอนนี้สร้างเมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x (A) เมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก (X) และเมทริกซ์ของตัวแปรอิสระ (B) โปรดทราบว่าโดยการคูณเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ด้วยเมทริกซ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก คุณจะได้เมทริกซ์ที่มีเงื่อนไขอิสระ นั่นคือ A*X=B

ค้นหาเมทริกซ์ A กำลัง (-1) โดยการค้นหาครั้งแรก โปรดทราบว่าไม่ควรเท่ากับศูนย์ หลังจากนั้นให้คูณเมทริกซ์ผลลัพธ์ด้วยเมทริกซ์ B ดังนั้นคุณจะได้รับเมทริกซ์ X ที่ต้องการซึ่งระบุค่าทั้งหมด

คุณยังสามารถหาคำตอบของระบบสมการสามสมการได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สาม ∆ ที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ระบบ จากนั้นค้นหาปัจจัยอีกสามตัวอย่างต่อเนื่อง ∆1, ∆2 และ ∆3 โดยแทนที่ค่าของเงื่อนไขอิสระแทนค่าของคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง ตอนนี้หา x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆

แหล่งที่มา:

การแก้สมการโดยไม่ทราบค่าสามค่า

การแก้ระบบสมการเป็นเรื่องที่ท้าทายและน่าตื่นเต้น ยิ่งระบบซับซ้อนมากเท่าไหร่ ก็ยิ่งน่าสนใจในการแก้ปัญหามากขึ้นเท่านั้น ส่วนใหญ่แล้วในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาจะมีระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว แต่ในคณิตศาสตร์ระดับสูงอาจมีตัวแปรมากกว่า ระบบสามารถแก้ไขได้หลายวิธี

วิธีการแก้ระบบสมการที่ใช้กันทั่วไปคือการทดแทน ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องแสดงตัวแปรหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่งและแทนที่ตัวแปรนั้นลงในตัวที่สอง สมการระบบจึงเป็นผู้นำ สมการสู่ตัวแปรหนึ่ง ตัวอย่างเช่น จากสมการต่อไปนี้: 2x-3y-1=0;x+y-3=0

จากนิพจน์ที่สอง จะสะดวกในการแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง โดยย้ายทุกอย่างไปทางด้านขวาของนิพจน์ โดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์: x = 3-y

เปิดวงเล็บ: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ y ลงในนิพจน์: x=3-y;x=3-1;x=2 .

ในนิพจน์แรก ทุกพจน์คือ 2 คุณสามารถนำ 2 ออกจากวงเล็บไปเป็นคุณสมบัติการกระจายของการคูณได้: 2*(2x-y-3)=0 ตอนนี้นิพจน์ทั้งสองส่วนสามารถลดลงได้ด้วยจำนวนนี้ จากนั้นจึงแสดงเป็น y เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์มอดุลัสของนิพจน์มีค่าเท่ากับ 1: -y = 3-2x หรือ y = 2x-3

เช่นเดียวกับในกรณีแรก เราแทนที่นิพจน์นี้เป็นนิพจน์ที่สอง สมการและเราได้รับ: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 แทนค่าผลลัพธ์ลงในนิพจน์: y=2x -3;y=4-3=1.

เราเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ y เท่ากัน แต่ต่างกันที่เครื่องหมาย ดังนั้น ถ้าเราบวกสมการเหล่านี้ เราจะกำจัด y ออกไปโดยสิ้นเชิง: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 14=0; x=2 แทนค่า x ลงในสมการใดๆ ของระบบแล้วได้ y=1

วิดีโอในหัวข้อ

ไบควอดราติก สมการแสดงถึง สมการระดับที่สี่ รูปแบบทั่วไปซึ่งแสดงด้วยนิพจน์ ax^4 + bx^2 + c = 0 วิธีแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการใช้วิธีการทดแทนสิ่งที่ไม่รู้จัก ในกรณีนี้ x^2 จะถูกแทนที่ด้วยตัวแปรอื่น ดังนั้นผลลัพธ์ที่ได้คือสี่เหลี่ยมจัตุรัสธรรมดา สมการซึ่งจำเป็นต้องแก้ไข

แก้สมการกำลังสอง สมการซึ่งเกิดจากการทดแทน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกให้คำนวณค่าตามสูตร: D = b^2? 4เอซี ในกรณีนี้ ตัวแปร a, b, c คือสัมประสิทธิ์ของสมการของเรา

ค้นหารากของสมการกำลังสอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารากที่สองของโซลูชันที่ได้รับ หากมีวิธีแก้ปัญหาหนึ่งวิธี ก็จะมีสองวิธี - ค่าบวกและค่าลบของรากที่สอง หากมีคำตอบสองข้อ สมการกำลังสองจะมีสี่ราก

วิดีโอในหัวข้อ

วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นแบบดั้งเดิมวิธีหนึ่งคือวิธีเกาส์ ประกอบด้วยการกำจัดตัวแปรตามลำดับ เมื่อระบบสมการที่ใช้การแปลงอย่างง่ายถูกแปลงเป็นระบบแบบขั้นตอน ซึ่งจะพบตัวแปรทั้งหมดตามลำดับ โดยเริ่มจากตัวแปรสุดท้าย

ขั้นแรก นำระบบสมการมาอยู่ในรูปแบบที่สิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดอยู่ในลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น X ที่ไม่รู้จักทั้งหมดจะปรากฏก่อนในแต่ละบรรทัด Y ทั้งหมดจะมาหลัง X, Z ทั้งหมดจะมาหลัง Y เป็นต้น ไม่ควรมีสิ่งที่ไม่ทราบทางด้านขวาของแต่ละสมการ กำหนดค่าสัมประสิทธิ์ต่อหน้าค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จักแต่ละค่าในใจ รวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านขวาของแต่ละสมการด้วย