ในบทความนี้ วิธีนี้ถือเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้น (SLAE) วิธีการนี้เป็นการวิเคราะห์นั่นคือช่วยให้คุณสามารถเขียนอัลกอริธึมโซลูชันในรูปแบบทั่วไปแล้วแทนที่ค่าจากตัวอย่างเฉพาะที่นั่น ไม่เหมือนกับวิธีเมทริกซ์หรือสูตรของแครเมอร์ เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ คุณยังสามารถทำงานกับสมการที่มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดได้อีกด้วย หรือพวกเขาไม่มีเลย
การแก้ปัญหาโดยใช้วิธีเกาส์เซียนหมายความว่าอย่างไร
ก่อนอื่น เราต้องเขียนระบบสมการของเราก่อน หน้าตาเป็นแบบนี้ ใช้ระบบ:
ค่าสัมประสิทธิ์เขียนในรูปแบบของตาราง และเงื่อนไขอิสระเขียนในคอลัมน์แยกต่างหากทางด้านขวา คอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระจะถูกแยกออกเพื่อความสะดวก เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์นี้เรียกว่าส่วนขยาย
ถัดไป เมทริกซ์หลักที่มีค่าสัมประสิทธิ์จะต้องลดลงเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมด้านบน นี่คือประเด็นหลักของการแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน พูดง่ายๆ หลังจากการยักย้ายบางอย่าง เมทริกซ์ควรมีลักษณะเพื่อให้ส่วนล่างซ้ายมีเพียงศูนย์เท่านั้น:
จากนั้น หากคุณเขียนเมทริกซ์ใหม่อีกครั้งเป็นระบบสมการ คุณจะสังเกตเห็นว่าแถวสุดท้ายมีค่าของรากตัวใดตัวหนึ่งอยู่แล้ว ซึ่งจากนั้นจะถูกแทนที่ลงในสมการด้านบน และพบรากอีกอันหนึ่ง และอื่นๆ ต่อไป
นี่คือคำอธิบายของคำตอบโดยวิธีเกาส์เซียนในแง่ทั่วไปที่สุด จะเกิดอะไรขึ้นหากจู่ๆ ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา? หรือมีมากมายนับไม่ถ้วน? เพื่อตอบคำถามเหล่านี้และคำถามอื่น ๆ จำเป็นต้องพิจารณาองค์ประกอบทั้งหมดที่ใช้ในการแก้วิธีเกาส์เซียนแยกกัน
เมทริกซ์ คุณสมบัติของมัน
ไม่มีความหมายที่ซ่อนอยู่ในเมทริกซ์ นี่เป็นเพียงวิธีที่สะดวกในการบันทึกข้อมูลเพื่อดำเนินการต่อไปด้วย แม้แต่เด็กนักเรียนก็ไม่จำเป็นต้องกลัวพวกเขา
เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมเสมอเพราะสะดวกกว่า แม้แต่ในวิธีเกาส์ ซึ่งทุกอย่างล้วนเกี่ยวข้องกับการสร้างเมทริกซ์ที่มีรูปแบบสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมผืนผ้าก็ปรากฏอยู่ในรายการ โดยจะมีเพียงศูนย์ในตำแหน่งที่ไม่มีตัวเลขเท่านั้น เลขศูนย์ไม่สามารถเขียนได้ แต่จะมีความหมายโดยนัย
เมทริกซ์มีขนาด "ความกว้าง" คือจำนวนแถว (m) "ความยาว" คือจำนวนคอลัมน์ (n) จากนั้นขนาดของเมทริกซ์ A (โดยปกติแล้วจะใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แทน) จะแสดงเป็น A m×n ถ้า m=n แสดงว่าเมทริกซ์นี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ m=n คือลำดับ ดังนั้น องค์ประกอบใดๆ ของเมทริกซ์ A สามารถแสดงด้วยหมายเลขแถวและคอลัมน์: a xy ; x - หมายเลขแถว, การเปลี่ยนแปลง, y - หมายเลขคอลัมน์, การเปลี่ยนแปลง
B ไม่ใช่ประเด็นหลักของการตัดสินใจ โดยหลักการแล้ว การดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้โดยตรงด้วยสมการ แต่สัญลักษณ์จะยุ่งยากกว่ามากและจะสับสนได้ง่ายกว่ามาก
ปัจจัยกำหนด
เมทริกซ์ก็มีดีเทอร์มิแนนต์ด้วย นี่เป็นลักษณะที่สำคัญมาก ไม่จำเป็นต้องค้นหาความหมายของมันในตอนนี้ คุณสามารถแสดงให้เห็นว่ามันคำนวณอย่างไร แล้วบอกคุณสมบัติของเมทริกซ์ที่จะกำหนด วิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาดีเทอร์มีแนนต์คือผ่านเส้นทแยงมุม เส้นทแยงมุมจินตภาพจะถูกวาดในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่อยู่ในแต่ละองค์ประกอบจะถูกคูณจากนั้นผลิตภัณฑ์ผลลัพธ์จะถูกเพิ่ม: เส้นทแยงมุมที่มีความชันไปทางขวา - มีเครื่องหมายบวก, โดยมีความชันไปทางซ้าย - มีเครื่องหมายลบ
สิ่งสำคัญอย่างยิ่งที่จะต้องทราบว่าสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้เฉพาะกับเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้น สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยม คุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: เลือกค่าที่น้อยที่สุดจากจำนวนแถวและจำนวนคอลัมน์ (ให้เป็น k) จากนั้นสุ่มทำเครื่องหมาย k คอลัมน์และ k แถวในเมทริกซ์ องค์ประกอบที่จุดตัดของคอลัมน์และแถวที่เลือกจะก่อให้เกิดเมทริกซ์จตุรัสใหม่ หากดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวเป็นจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ จะเรียกว่าเมทริกซ์รองพื้นฐานของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเดิม
ก่อนที่คุณจะเริ่มแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์เซียน การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่เรื่องเสียหาย หากกลายเป็นศูนย์ เราก็บอกได้ทันทีว่าเมทริกซ์มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหรือไม่มีเลย ในกรณีที่น่าเศร้าเช่นนี้ คุณต้องดำเนินการต่อไปและค้นหาอันดับของเมทริกซ์
การจำแนกประเภทระบบ
มีสิ่งที่เรียกว่าอันดับของเมทริกซ์ นี่คือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (ถ้าเราจำเกี่ยวกับพื้นฐานรอง เราสามารถพูดได้ว่าอันดับของเมทริกซ์คือลำดับของพื้นฐานรอง)
ขึ้นอยู่กับสถานการณ์ด้วยอันดับ SLAE สามารถแบ่งออกเป็น:
- ข้อต่อ คุณในระบบร่วม ตำแหน่งของเมทริกซ์หลัก (ประกอบด้วยเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์) เกิดขึ้นพร้อมกับอันดับของเมทริกซ์ขยาย (โดยมีคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ) ระบบดังกล่าวมีวิธีแก้ปัญหา แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นระบบเดียว ดังนั้นระบบร่วมจึงถูกแบ่งออกเป็น:
- - แน่ใจ- มีทางออกเดียว ในบางระบบ อันดับของเมทริกซ์และจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบ (หรือจำนวนคอลัมน์ซึ่งเหมือนกัน) จะเท่ากัน
- - ไม่ได้กำหนด -ด้วยโซลูชั่นจำนวนอนันต์ อันดับของเมทริกซ์ในระบบดังกล่าวน้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ
- เข้ากันไม่ได้ คุณในระบบดังกล่าว อันดับของเมทริกซ์หลักและเมทริกซ์ขยายไม่ตรงกัน ระบบที่เข้ากันไม่ได้ไม่มีวิธีแก้ปัญหา
วิธีเกาส์เป็นวิธีที่ดีเพราะในระหว่างการแก้โจทย์จะทำให้ได้ข้อพิสูจน์ที่ชัดเจนถึงความไม่สอดคล้องกันของระบบ (โดยไม่ต้องคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ขนาดใหญ่) หรือวิธีแก้ปัญหาในรูปแบบทั่วไปสำหรับระบบที่มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด
การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น
ก่อนที่จะดำเนินการแก้ไขระบบโดยตรง คุณสามารถทำให้ยุ่งยากน้อยลงและสะดวกในการคำนวณมากขึ้น สิ่งนี้สามารถทำได้โดยการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น - โดยที่การนำไปปฏิบัติจะไม่เปลี่ยนคำตอบสุดท้ายแต่อย่างใด ควรสังเกตว่าการแปลงเบื้องต้นบางส่วนใช้ได้กับเมทริกซ์เท่านั้น ซึ่งมีแหล่งที่มาคือ SLAE นี่คือรายการของการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้:
- การจัดเรียงบรรทัดใหม่ แน่นอนว่า หากคุณเปลี่ยนลำดับของสมการในบันทึกของระบบ สิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อคำตอบแต่อย่างใด ด้วยเหตุนี้ แถวในเมทริกซ์ของระบบนี้จึงสามารถสลับได้ โดยไม่ลืมคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระด้วย
- การคูณองค์ประกอบทั้งหมดของสตริงด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่กำหนด มีประโยชน์มาก! สามารถใช้เพื่อลดจำนวนจำนวนมากในเมทริกซ์หรือลบศูนย์ได้ การตัดสินใจหลายอย่างตามปกติจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่การดำเนินการเพิ่มเติมจะสะดวกยิ่งขึ้น สิ่งสำคัญคือค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์
- การลบแถวที่มีตัวประกอบตามสัดส่วน ส่วนหนึ่งต่อจากย่อหน้าที่แล้ว หากแถวตั้งแต่สองแถวขึ้นไปในเมทริกซ์มีค่าสัมประสิทธิ์ตามสัดส่วน เมื่อแถวใดแถวหนึ่งถูกคูณ/หารด้วยสัมประสิทธิ์สัดส่วน จะได้แถวที่เหมือนกันทุกประการสองแถว (หรือมากกว่านั้น) และแถวที่เกินมาสามารถลบออกได้ เหลือไว้ เพียงหนึ่งเดียว
- การลบบรรทัดว่าง ในระหว่างการแปลง หากได้รับแถวที่ไหนสักแห่งที่องค์ประกอบทั้งหมดรวมถึงเทอมอิสระเป็นศูนย์ ดังนั้นแถวดังกล่าวสามารถเรียกว่าศูนย์และโยนออกจากเมทริกซ์
- การเพิ่มองค์ประกอบของแถวหนึ่งองค์ประกอบของอีกแถวหนึ่ง (ในคอลัมน์ที่เกี่ยวข้อง) คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่แน่นอน การเปลี่ยนแปลงที่ไม่ชัดเจนและสำคัญที่สุด มันคุ้มค่าที่จะดูรายละเอียดเพิ่มเติม
การบวกสตริงคูณด้วยตัวประกอบ
เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ ควรแยกย่อยกระบวนการนี้ทีละขั้นตอน สองแถวนำมาจากเมทริกซ์:
11 12 ... 1n | ข1
21 22 ... 2n | ข 2
สมมติว่าคุณต้องบวกอันแรกกับอันที่สอง คูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-2"
ก" 21 = ก 21 + -2×ก 11
ก" 22 = ก 22 + -2×ก 12
ก" 2n = ก 2n + -2×ก 1n
จากนั้นแถวที่สองในเมทริกซ์จะถูกแทนที่ด้วยแถวใหม่และแถวแรกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
11 12 ... 1n | ข1
ก" 21 ก" 22 ... ก" 2n | b 2
ควรสังเกตว่าสามารถเลือกค่าสัมประสิทธิ์การคูณในลักษณะที่องค์ประกอบหนึ่งของแถวใหม่มีค่าเท่ากับศูนย์ซึ่งเป็นผลมาจากการเพิ่มสองแถว ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้สมการในระบบที่จะไม่มีใครไม่รู้จักน้อยกว่า และถ้าคุณได้สมการดังกล่าวมาสองสมการ ก็สามารถดำเนินการได้อีกครั้งและได้สมการที่จะมีค่าที่ไม่ทราบน้อยกว่าสองตัว และหากแต่ละครั้งที่คุณเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์ของแถวทั้งหมดที่อยู่ต่ำกว่าค่าเดิมให้เป็นศูนย์ คุณก็สามารถลงไปที่ด้านล่างสุดของเมทริกซ์และได้สมการที่ไม่ทราบค่าเหมือนบันได สิ่งนี้เรียกว่าการแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน
โดยทั่วไปแล้ว
ให้มีระบบ.. มันมีสมการ m และรากที่ไม่รู้จัก คุณสามารถเขียนได้ดังนี้:
เมทริกซ์หลักรวบรวมจากค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ คอลัมน์คำศัพท์อิสระจะถูกเพิ่มลงในเมทริกซ์แบบขยาย และคั่นด้วยบรรทัดเพื่อความสะดวก
- แถวแรกของเมทริกซ์คูณด้วยสัมประสิทธิ์ k = (-a 21 /a 11);
- เพิ่มแถวที่แก้ไขครั้งแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์
- แทนที่จะเป็นแถวที่สอง ผลลัพธ์ของการเพิ่มเติมจากย่อหน้าก่อนหน้าจะถูกแทรกลงในเมทริกซ์
- ตอนนี้ค่าสัมประสิทธิ์แรกในแถวที่สองใหม่คือ 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0
ขณะนี้มีการดำเนินการแปลงชุดเดียวกันโดยมีเพียงแถวที่หนึ่งและสามเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น ในแต่ละขั้นตอนของอัลกอริทึม องค์ประกอบ 21 จะถูกแทนที่ด้วย 31 จากนั้นทุกอย่างจะทำซ้ำสำหรับ 41, ...a m1 ผลลัพธ์คือเมทริกซ์โดยที่องค์ประกอบแรกในแถวเป็นศูนย์ ตอนนี้คุณต้องลืมบรรทัดที่หนึ่งและดำเนินการอัลกอริทึมเดียวกันโดยเริ่มจากบรรทัดที่สอง:
- สัมประสิทธิ์ k = (-a 32 /a 22);
- บรรทัดที่แก้ไขที่สองจะถูกเพิ่มในบรรทัด "ปัจจุบัน"
- ผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแทนที่ด้วยบรรทัดที่สาม สี่ และต่อๆ ไป ในขณะที่บรรทัดที่หนึ่งและที่สองยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
- ในแถวของเมทริกซ์ องค์ประกอบสองตัวแรกมีค่าเท่ากับศูนย์อยู่แล้ว
ต้องทำซ้ำอัลกอริทึมจนกระทั่งค่าสัมประสิทธิ์ k = (-a m,m-1 /a mm) ปรากฏขึ้น ซึ่งหมายความว่าครั้งสุดท้ายที่อัลกอริทึมถูกดำเนินการมีไว้สำหรับสมการที่ต่ำกว่าเท่านั้น ตอนนี้เมทริกซ์ดูเหมือนสามเหลี่ยมหรือมีรูปร่างเป็นขั้นบันได บรรทัดล่างสุดคือความเท่าเทียมกัน a mn × x n = b m ทราบค่าสัมประสิทธิ์และพจน์อิสระ และรากแสดงผ่านสิ่งเหล่านี้: x n = b m /a mn ผลลัพธ์รากที่ได้จะถูกแทนที่ในบรรทัดบนสุดเพื่อหา x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 และโดยการเปรียบเทียบ: ในแต่ละบรรทัดถัดไปจะมีรูทใหม่และเมื่อไปถึง "บนสุด" ของระบบแล้วคุณจะพบวิธีแก้ปัญหามากมาย มันจะเป็นหนึ่งเดียว
เมื่อไม่มีทางแก้ไข
หากในแถวเมทริกซ์แถวใดองค์ประกอบหนึ่งทั้งหมดยกเว้นเทอมอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ สมการที่สอดคล้องกับแถวนี้จะดูเหมือน 0 = b มันไม่มีวิธีแก้ปัญหา และเนื่องจากสมการดังกล่าวรวมอยู่ในระบบแล้ว ชุดของคำตอบของทั้งระบบจึงว่างเปล่า นั่นคือมันเสื่อมลง
เมื่อมีวิธีแก้ไม่สิ้นสุด
อาจเกิดขึ้นได้ว่าในเมทริกซ์สามเหลี่ยมที่กำหนดนั้นไม่มีแถวที่มีองค์ประกอบสัมประสิทธิ์หนึ่งของสมการและมีเทอมอิสระหนึ่งเทอม มีเพียงเส้นตรงที่เมื่อเขียนใหม่แล้วจะดูเหมือนสมการที่มีตัวแปรสองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนไม่สิ้นสุด ในกรณีนี้สามารถให้คำตอบได้ในรูปแบบของวิธีแก้ปัญหาทั่วไป วิธีการทำเช่นนี้?
ตัวแปรทั้งหมดในเมทริกซ์จะแบ่งออกเป็นตัวแปรพื้นฐานและตัวแปรอิสระ สิ่งพื้นฐานคือสิ่งที่ยืนอยู่ "บนขอบ" ของแถวในเมทริกซ์ขั้นตอน ส่วนที่เหลือเป็นอิสระ ในโซลูชันทั่วไป ตัวแปรพื้นฐานจะถูกเขียนผ่านตัวแปรอิสระ
เพื่อความสะดวก ขั้นแรกเมทริกซ์จะถูกเขียนใหม่กลับเข้าไปในระบบสมการ จากนั้นในช่วงสุดท้าย ซึ่งเหลือตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวเท่านั้น ตัวแปรนั้นจะยังคงอยู่ที่ด้านหนึ่ง และสิ่งอื่นๆ จะถูกถ่ายโอนไปยังอีกตัวแปรหนึ่ง ซึ่งจะทำกับทุกๆ สมการที่มีตัวแปรพื้นฐานตัวเดียว จากนั้น ในสมการที่เหลือ หากเป็นไปได้ นิพจน์ที่ได้รับจะถูกแทนที่แทนตัวแปรพื้นฐาน หากผลลัพธ์เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวอีกครั้ง ผลลัพธ์นั้นจะถูกแสดงอีกครั้งจากจุดนั้น และต่อๆ ไป จนกว่าตัวแปรพื้นฐานแต่ละตัวจะถูกเขียนเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรอิสระ นี่คือวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของ SLAE
คุณยังสามารถค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานของระบบได้ด้วย - ให้ค่าใด ๆ แก่ตัวแปรอิสระจากนั้นสำหรับกรณีเฉพาะนี้ให้คำนวณค่าของตัวแปรพื้นฐาน มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะจำนวนอนันต์ที่สามารถให้ได้
วิธีแก้ปัญหาพร้อมตัวอย่างเฉพาะ
นี่คือระบบสมการ
เพื่อความสะดวกควรสร้างเมทริกซ์ทันที
เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อแก้ไขด้วยวิธีเกาส์เซียน สมการที่สอดคล้องกับแถวแรกจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสิ้นสุดการแปลง ดังนั้นจะทำกำไรได้มากขึ้นหากองค์ประกอบด้านซ้ายบนของเมทริกซ์มีขนาดเล็กที่สุด - จากนั้นองค์ประกอบแรกของแถวที่เหลือหลังจากการดำเนินการจะเปลี่ยนเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าในเมทริกซ์ที่คอมไพล์แล้วจะได้เปรียบถ้าวางแถวที่สองแทนที่แถวแรก
บรรทัดที่สอง: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
ก" 21 = ก 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
ก" 22 = ก 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
ก" 23 = ก 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
ข" 2 = ข 2 + k×ข 1 = 12 + (-3)×12 = -24
บรรทัดที่สาม: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
ก" 3 1 = ก 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
ก" 3 2 = ก 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
ก" 3 3 = ก 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
ข" 3 = ข 3 + k×ข 1 = 3 + (-5)×12 = -57
ทีนี้ เพื่อไม่ให้สับสน คุณต้องเขียนเมทริกซ์พร้อมผลลัพธ์ระดับกลางของการแปลง
แน่นอนว่าเมทริกซ์ดังกล่าวสามารถทำให้การรับรู้สะดวกยิ่งขึ้นโดยใช้การดำเนินการบางอย่าง ตัวอย่างเช่น คุณสามารถลบ "minuses" ทั้งหมดออกจากบรรทัดที่สองได้โดยการคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1"
เป็นที่น่าสังเกตว่าในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบทั้งหมดเป็นผลคูณของสาม จากนั้น คุณสามารถย่อสตริงให้สั้นลงด้วยตัวเลขนี้ โดยคูณแต่ละองค์ประกอบด้วย "-1/3" (ลบ - พร้อมกัน เพื่อลบค่าลบ)
ดูดีกว่ามาก ตอนนี้เราต้องปล่อยให้บรรทัดแรกอยู่ตามลำพังและทำงานกับบรรทัดที่สองและสาม ภารกิจคือการเพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้องค์ประกอบ a 32 กลายเป็นศูนย์
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (หากในระหว่างการแปลงบางอย่างคำตอบไม่เป็นจำนวนเต็มขอแนะนำให้รักษาความแม่นยำของการคำนวณไว้ มันเป็น "ตามสภาพ" ในรูปแบบของเศษส่วนธรรมดา และเมื่อได้รับคำตอบแล้ว ให้ตัดสินใจว่าจะปัดเศษและแปลงเป็นรูปแบบการบันทึกอื่นหรือไม่)
ก" 32 = ก 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
ก" 33 = ก 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
ข" 3 = ข 3 + k×ข 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
เมทริกซ์จะถูกเขียนอีกครั้งด้วยค่าใหม่
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
อย่างที่คุณเห็นเมทริกซ์ผลลัพธ์มีรูปแบบขั้นบันไดอยู่แล้ว ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทำการเปลี่ยนแปลงระบบเพิ่มเติมโดยใช้วิธีเกาส์เซียน สิ่งที่คุณสามารถทำได้คือลบสัมประสิทธิ์โดยรวม "-1/7" ออกจากบรรทัดที่สาม
ตอนนี้ทุกอย่างสวยงามแล้ว ที่เหลือก็แค่เขียนเมทริกซ์อีกครั้งในรูปแบบของระบบสมการและคำนวณราก
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
อัลกอริธึมที่จะหารากได้ในขณะนี้เรียกว่าการเคลื่อนที่แบบย้อนกลับในวิธีเกาส์เซียน สมการ (3) มีค่า z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
และสมการแรกช่วยให้เราสามารถหา x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
เรามีสิทธิ์ที่จะเรียกข้อต่อของระบบดังกล่าวและแน่นอนว่านั่นคือการมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร คำตอบเขียนในรูปแบบต่อไปนี้:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9
ตัวอย่างของระบบที่ไม่แน่นอน
มีการวิเคราะห์ตัวแปรของการแก้ระบบบางอย่างโดยใช้วิธีเกาส์แล้ว บัดนี้จำเป็นต้องพิจารณากรณีที่ระบบไม่แน่นอน กล่าวคือ สามารถพบวิธีแก้ปัญหาได้มากมายอย่างไม่สิ้นสุด
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
ลักษณะที่ปรากฏของระบบนั้นน่าตกใจอยู่แล้วเนื่องจากจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักคือ n = 5 และอันดับของเมทริกซ์ของระบบนั้นน้อยกว่าจำนวนนี้อย่างแน่นอนเนื่องจากจำนวนแถวคือ m = 4 นั่นคือ ลำดับสูงสุดของดีเทอร์มิแนนต์-กำลังสองคือ 4 ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด และคุณต้องมองหาลักษณะทั่วไปของมัน วิธีเกาส์สำหรับสมการเชิงเส้นช่วยให้คุณทำสิ่งนี้ได้
ขั้นแรกตามปกติจะมีการคอมไพล์เมทริกซ์แบบขยาย
บรรทัดที่สอง: สัมประสิทธิ์ k = (-a 21 /a 11) = -3 ในบรรทัดที่สาม องค์ประกอบแรกจะอยู่ก่อนการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องแตะอะไรเลย แต่ต้องปล่อยไว้เหมือนเดิม บรรทัดที่สี่: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
ด้วยการคูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วยค่าสัมประสิทธิ์แต่ละตัวตามลำดับและเพิ่มลงในแถวที่ต้องการเราจะได้เมทริกซ์ของรูปแบบต่อไปนี้:
อย่างที่คุณเห็นแถวที่สองที่สามและสี่ประกอบด้วยองค์ประกอบตามสัดส่วนกัน โดยทั่วไปบรรทัดที่สองและสี่จะเหมือนกันดังนั้นจึงสามารถลบหนึ่งในนั้นออกได้ทันทีและส่วนที่เหลือสามารถคูณด้วยสัมประสิทธิ์ "-1" และรับหมายเลขบรรทัด 3 และอีกครั้งจากสองบรรทัดที่เหมือนกันให้เหลือไว้หนึ่งบรรทัด
ผลลัพธ์คือเมทริกซ์แบบนี้ แม้ว่าระบบยังไม่ได้ถูกเขียนลง แต่จำเป็นต้องกำหนดตัวแปรพื้นฐานที่นี่ - ตัวแปรที่ยืนอยู่ที่สัมประสิทธิ์ 11 = 1 และ 22 = 1 และตัวแปรอิสระ - ส่วนที่เหลือทั้งหมด
ในสมการที่สอง มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวเท่านั้น - x 2 ซึ่งหมายความว่าสามารถแสดงได้จากตรงนั้นโดยการเขียนผ่านตัวแปร x 3 , x 4 , x 5 ซึ่งเป็นอิสระ
เราแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการแรก
ผลลัพธ์คือสมการที่มีตัวแปรพื้นฐานเพียงตัวเดียวคือ x 1 ลองทำแบบเดียวกันกับ x 2 กัน
ตัวแปรพื้นฐานทั้งหมดที่มีสองตัวแสดงออกมาในรูปของตัวแปรอิสระสามตัว ตอนนี้เราสามารถเขียนคำตอบในรูปแบบทั่วไปได้แล้ว
คุณยังสามารถระบุหนึ่งในโซลูชันเฉพาะของระบบได้ ในกรณีเช่นนี้ มักจะเลือกศูนย์เป็นค่าสำหรับตัวแปรอิสระ แล้วคำตอบจะเป็น:
16, 23, 0, 0, 0.
ตัวอย่างของระบบไม่ร่วมมือ
การแก้ระบบสมการที่เข้ากันไม่ได้โดยใช้วิธีเกาส์นั้นเป็นวิธีที่เร็วที่สุด มันจะสิ้นสุดทันทีที่ถึงขั้นตอนใดขั้นตอนหนึ่งซึ่งได้สมการที่ไม่มีวิธีแก้ นั่นคือขั้นตอนการคำนวณรากซึ่งค่อนข้างยาวและน่าเบื่อจะถูกกำจัดออกไป พิจารณาระบบต่อไปนี้:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
ตามปกติเมทริกซ์จะถูกรวบรวม:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
และก็ถูกลดขนาดลงเป็นขั้นตอน:
เค 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
หลังจากการแปลงครั้งแรก บรรทัดที่สามจะมีสมการของแบบฟอร์ม
โดยไม่มีวิธีแก้ปัญหา ส่งผลให้ระบบไม่สอดคล้องกัน และคำตอบจะเป็นเซตว่าง
ข้อดีและข้อเสียของวิธีการ
หากคุณเลือกวิธีการแก้ SLAE บนกระดาษด้วยปากกา วิธีการที่กล่าวถึงในบทความนี้จะดูน่าสนใจที่สุด มันยากกว่ามากที่จะสับสนในการแปลงเบื้องต้น มากกว่าการที่คุณต้องค้นหาดีเทอร์มิแนนต์หรือเมทริกซ์ผกผันที่ยุ่งยากด้วยตนเอง อย่างไรก็ตาม หากคุณใช้โปรแกรมเพื่อทำงานกับข้อมูลประเภทนี้ เช่น สเปรดชีต ปรากฎว่าโปรแกรมดังกล่าวมีอัลกอริธึมสำหรับการคำนวณพารามิเตอร์หลักของเมทริกซ์อยู่แล้ว - ดีเทอร์มิแนนต์, ไมเนอร์, อินเวอร์ส และอื่นๆ และหากคุณแน่ใจว่าเครื่องจะคำนวณค่าเหล่านี้เองและจะไม่ทำผิดพลาด ขอแนะนำให้ใช้วิธีเมทริกซ์หรือสูตรของ Cramer เนื่องจากการใช้งานเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และเมทริกซ์ผกผัน
แอปพลิเคชัน
เนื่องจากโซลูชันเกาส์เซียนเป็นอัลกอริธึม และเมทริกซ์เป็นอาร์เรย์สองมิติจริงๆ จึงสามารถใช้ในการเขียนโปรแกรมได้ แต่เนื่องจากบทความวางตำแหน่งตัวเองเป็นแนวทาง "สำหรับหุ่นจำลอง" จึงควรกล่าวว่าที่ที่ง่ายที่สุดในการใส่วิธีการคือสเปรดชีต เช่น Excel ขอย้ำอีกครั้งว่า SLAE ใดๆ ที่ป้อนลงในตารางในรูปแบบของเมทริกซ์จะได้รับการพิจารณาโดย Excel ว่าเป็นอาร์เรย์สองมิติ และสำหรับการดำเนินการกับพวกมัน มีคำสั่งดีๆ มากมาย: การบวก (คุณสามารถเพิ่มเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น!), การคูณด้วยตัวเลข, การคูณเมทริกซ์ (ยังมีข้อจำกัดบางประการด้วย), การค้นหาเมทริกซ์ผกผันและทรานซิสโพส และที่สำคัญที่สุด , การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ หากงานที่ใช้เวลานานนี้ถูกแทนที่ด้วยคำสั่งเดียว ก็เป็นไปได้ที่จะกำหนดอันดับของเมทริกซ์ได้รวดเร็วยิ่งขึ้น ดังนั้นจึงสร้างความเข้ากันได้หรือเข้ากันไม่ได้
ปล่อยให้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่ต้องได้รับการแก้ไข (ค้นหาค่าดังกล่าวของสิ่งที่ไม่รู้จัก xi ที่เปลี่ยนแต่ละสมการของระบบให้มีความเท่าเทียมกัน)
เรารู้ว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถ:
1) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น ไม่ใช่ข้อต่อ).
2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด
3) มีวิธีแก้ปัญหาเดียว
ดังที่เราจำได้ว่ากฎของแครมเมอร์และวิธีการเมทริกซ์ไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีคำตอบมากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน วิธีเกาส์ – เครื่องมือที่ทรงพลังและอเนกประสงค์ที่สุดสำหรับการค้นหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น, ที่ ในทุกกรณีจะนำเราไปสู่คำตอบ! อัลกอริธึมวิธีการนั้นทำงานเหมือนกันในทั้งสามกรณี หากวิธีแครมเมอร์และเมทริกซ์ต้องการความรู้เรื่องดีเทอร์มิแนนต์ หากต้องการใช้วิธีเกาส์ คุณจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับการบวกลบเลขคณิตเท่านั้น ซึ่งทำให้แม้แต่นักเรียนชั้นประถมศึกษาก็สามารถเข้าถึงได้
การแปลงเมทริกซ์เสริม ( นี่คือเมทริกซ์ของระบบ - เมทริกซ์ที่ประกอบด้วยเฉพาะค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จัก บวกกับคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ)ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นในวิธีเกาส์:
1) กับ โทรกิเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่ในบางสถานที่
2) ถ้าแถวตามสัดส่วน (เป็นกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ปรากฏ (หรือมีอยู่แล้ว) ในเมทริกซ์ คุณควร ลบแถวทั้งหมดนี้มาจากเมทริกซ์ยกเว้นแถวเดียว
3) หากแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็ควรจะเป็นเช่นนั้นด้วย ลบ.
4) แถวของเมทริกซ์สามารถเป็นได้ คูณ (หาร)ไปยังจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์
5) ไปที่แถวของเมทริกซ์ที่คุณสามารถทำได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์
ในวิธีเกาส์ การแปลงเบื้องต้นจะไม่เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ
วิธีเกาส์ประกอบด้วยสองขั้นตอน:
- “ การเคลื่อนที่โดยตรง” - ใช้การแปลงเบื้องต้นนำเมทริกซ์แบบขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นมาเป็นรูปแบบขั้นตอน "สามเหลี่ยม": องค์ประกอบของเมทริกซ์แบบขยายที่อยู่ด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักจะเท่ากับศูนย์ (เลื่อนจากบนลงล่าง) ตัวอย่างเช่น สำหรับประเภทนี้:
โดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:
1) ให้เราพิจารณาสมการแรกของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นและค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ x 1 เท่ากับ K ที่สอง สาม ฯลฯ เราแปลงสมการดังต่อไปนี้: เราหารแต่ละสมการ (สัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก รวมถึงเทอมอิสระ) ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก x 1 ซึ่งอยู่ในแต่ละสมการ และคูณด้วย K หลังจากนั้น เราก็ลบอันแรกออกจากวินาที สมการ (สัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบและเงื่อนไขอิสระ) สำหรับ x 1 ในสมการที่สอง เราได้ค่าสัมประสิทธิ์ 0 จากสมการที่ถูกแปลงครั้งที่สาม เราจะลบสมการแรกจนกระทั่งสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรก โดยไม่ทราบค่า x 1 จะมีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0
2) เรามาดูสมการถัดไปกันดีกว่า ให้นี่คือสมการที่สองและสัมประสิทธิ์สำหรับ x 2 เท่ากับ M เราดำเนินการสมการ "ต่ำกว่า" ทั้งหมดตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้น "ใต้" ไม่ทราบ x 2 จะมีศูนย์ในทุกสมการ
3) ไปยังสมการถัดไปและต่อๆ ไปจนกระทั่งสมการสุดท้ายที่ไม่รู้จักและคำอิสระที่เปลี่ยนแปลงยังคงอยู่
- "การเคลื่อนที่ย้อนกลับ" ของวิธีเกาส์คือการหาคำตอบของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (การเคลื่อนที่จากล่างขึ้นบน)
จากสมการ "ล่าง" สุดท้าย เราได้คำตอบแรกหนึ่งข้อ - x n ที่ไม่รู้จัก ในการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการเบื้องต้น A * x n = B ในตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น x 3 = 4 เราแทนค่าที่พบลงในสมการถัดไป "บน" แล้วแก้ด้วยความเคารพต่อค่าที่ไม่รู้จักถัดไป ตัวอย่างเช่น x 2 – 4 = 1 เช่น x 2 = 5 และต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าเราจะพบสิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมด
ตัวอย่าง.
มาแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ตามที่ผู้เขียนบางคนแนะนำ:
ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:
เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน เราควรมีอันหนึ่งที่นั่น ปัญหาคือไม่มีหน่วยในคอลัมน์แรกเลย ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จึงไม่ช่วยแก้ปัญหาใดๆ ในกรณีเช่นนี้ หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี มาทำสิ่งนี้กัน:
- ไปที่บรรทัดแรกเราบวกบรรทัดที่สองคูณด้วย –1 นั่นคือเราคูณบรรทัดที่สองในใจด้วย –1 และเพิ่มบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง
ตอนนี้ที่ด้านซ้ายบนมี "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราค่อนข้างดี ใครก็ตามที่ต้องการได้รับ +1 สามารถดำเนินการเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย –1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)
ขั้นตอนที่ 2 - บรรทัดแรกคูณด้วย 5 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง
ขั้นตอนที่ 3 - โดยหลักการแล้วบรรทัดแรกคูณด้วย –1 เพื่อความสวยงาม ป้ายของบรรทัดที่สามก็เปลี่ยนไปเช่นกัน และถูกย้ายไปยังอันดับที่สอง ดังนั้นใน "ขั้นตอน" ที่สอง เราก็มีหน่วยที่ต้องการ
ขั้นตอนที่ 4 - บรรทัดที่สามบวกเข้ากับบรรทัดที่สองคูณด้วย 2
ขั้นตอนที่ 5 - เส้นที่สามหารด้วย 3
เครื่องหมายที่บ่งบอกถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณ (ซึ่งมักพิมพ์ผิด) ถือเป็นบรรทัดล่างที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเราได้ค่าประมาณ (0 0 11 |23) ด้านล่าง และดังนั้น 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 ดังนั้น ด้วยความน่าจะเป็นระดับสูง เราสามารถบอกได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในช่วงประถมศึกษา การเปลี่ยนแปลง
ลองทำกลับกัน ในการออกแบบตัวอย่าง ตัวระบบมักจะไม่ได้ถูกเขียนใหม่ แต่สมการนั้น "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันขอเตือนคุณว่าการเคลื่อนไหวแบบย้อนกลับนั้นทำงานจากล่างขึ้นบน ในตัวอย่างนี้ ผลลัพธ์คือของขวัญ:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1 ดังนั้น x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
คำตอบ:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1
มาแก้ระบบเดียวกันโดยใช้อัลกอริธึมที่เสนอ เราได้รับ
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
หารสมการที่สองด้วย 5 และสมการที่สามด้วย 3 เราได้:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
คูณสมการที่สองและสามด้วย 4 เราจะได้:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสามเราจะได้:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
หารสมการที่สามด้วย 0.64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
คูณสมการที่สามด้วย 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
ลบสมการที่สองจากสมการที่สาม เราจะได้เมทริกซ์ขยายแบบ "ก้าว":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
ดังนั้นเนื่องจากข้อผิดพลาดสะสมระหว่างการคำนวณ เราจึงได้ x 3 = 0.96 หรือประมาณ 1
x 2 = 3 และ x 1 = –1
ด้วยการแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ คุณจะไม่สับสนในการคำนวณ และถึงแม้จะมีข้อผิดพลาดในการคำนวณ แต่คุณก็จะได้รับผลลัพธ์
วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นนี้สามารถตั้งโปรแกรมได้ง่ายและไม่ได้คำนึงถึงคุณลักษณะเฉพาะของสัมประสิทธิ์สำหรับค่าที่ไม่ทราบ เนื่องจากในทางปฏิบัติ (ในการคำนวณทางเศรษฐศาสตร์และทางเทคนิค) เราต้องจัดการกับค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ! เจอกันในชั้นเรียน! ครูสอนพิเศษ Dmitry Aystrakhanov
เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา
ตั้งแต่ต้นศตวรรษที่ 16-18 นักคณิตศาสตร์ได้เริ่มศึกษาฟังก์ชันอย่างเข้มข้น ซึ่งต้องขอบคุณการเปลี่ยนแปลงมากมายในชีวิตของเรา เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์คงอยู่ไม่ได้หากไม่มีความรู้นี้ แนวคิด ทฤษฎีบท และเทคนิคการแก้ปัญหาต่างๆ ถูกสร้างขึ้นเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน สมการเชิงเส้น และฟังก์ชัน หนึ่งในวิธีการและเทคนิคที่เป็นสากลและมีเหตุผลในการแก้สมการเชิงเส้นและระบบของพวกมันคือวิธีเกาส์ เมทริกซ์ อันดับ ปัจจัยกำหนด - ทุกอย่างสามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องใช้การดำเนินการที่ซับซ้อน
SLAU คืออะไร
ในทางคณิตศาสตร์ มีแนวคิดเรื่อง SLAE ซึ่งเป็นระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เธอเป็นยังไงบ้าง? นี่คือชุดของสมการ m ที่มีปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่ต้องการ ซึ่งมักจะแสดงเป็น x, y, z หรือ x 1, x 2 ... xn หรือสัญลักษณ์อื่นๆ การแก้ปัญหาระบบที่กำหนดโดยใช้วิธีเกาส์เซียนหมายถึงการค้นหาสิ่งแปลกปลอมที่ไม่รู้จักทั้งหมด หากระบบมีจำนวนไม่ทราบและสมการเท่ากัน ระบบจะเรียกว่าระบบลำดับที่ n
วิธีการแก้ SLAE ที่ได้รับความนิยมมากที่สุด
ในสถาบันการศึกษาระดับมัธยมศึกษาจะมีการศึกษาวิธีการต่างๆในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ส่วนใหญ่มักเป็นสมการง่ายๆ ที่ประกอบด้วยสองสิ่งที่ไม่ทราบ ดังนั้นวิธีการใดๆ ที่มีอยู่แล้วในการค้นหาคำตอบสำหรับพวกเขาจึงใช้เวลาไม่นาน นี่อาจเป็นเหมือนวิธีการทดแทน เมื่ออีกสมการหนึ่งได้มาจากสมการหนึ่งและแทนที่ด้วยสมการดั้งเดิม หรือวิธีการบวกลบทีละเทอม แต่วิธีเกาส์ถือเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดและเป็นสากลที่สุด ทำให้สามารถแก้สมการที่ไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุใดเทคนิคเฉพาะนี้จึงถือว่ามีเหตุผล มันง่ายมาก สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการเมทริกซ์คือไม่จำเป็นต้องเขียนสัญลักษณ์ที่ไม่จำเป็นซ้ำหลายครั้งโดยไม่ทราบค่า การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับสัมประสิทธิ์ก็เพียงพอแล้ว - และคุณจะได้ผลลัพธ์ที่เชื่อถือได้
SLAE นำไปใช้ในทางปฏิบัติที่ไหน?
วิธีแก้ SLAE คือจุดตัดกันของเส้นบนกราฟของฟังก์ชัน ในยุคคอมพิวเตอร์ไฮเทคของเรา ผู้ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาเกมและโปรแกรมอื่นๆ จำเป็นต้องรู้วิธีการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว สิ่งที่พวกเขาเป็นตัวแทน และวิธีการตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ที่ตามมา บ่อยครั้งที่โปรแกรมเมอร์พัฒนาโปรแกรมเครื่องคิดเลขพีชคณิตเชิงเส้นแบบพิเศษซึ่งรวมถึงระบบสมการเชิงเส้นด้วย วิธีเกาส์ช่วยให้คุณสามารถคำนวณคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมดได้ นอกจากนี้ยังใช้สูตรและเทคนิคแบบง่ายอื่นๆ ด้วย
เกณฑ์ความเข้ากันได้ของ SLAU
ระบบดังกล่าวจะสามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อเข้ากันได้เท่านั้น เพื่อความชัดเจน ให้เราแสดง SLAE ในรูปแบบ Ax=b มันมีวิธีแก้ปัญหาถ้า rang(A) เท่ากับ rang(A,b) ในกรณีนี้ (A,b) คือเมทริกซ์รูปแบบขยายที่สามารถหาได้จากเมทริกซ์ A โดยการเขียนใหม่ด้วยเงื่อนไขอิสระ ปรากฎว่าการแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนนั้นค่อนข้างง่าย
บางทีสัญลักษณ์บางตัวอาจไม่ชัดเจนนัก ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาทุกอย่างด้วยตัวอย่าง สมมติว่ามีระบบ: x+y=1; 2x-3y=6. ประกอบด้วยสมการเพียงสองสมการซึ่งมี 2 ไม่ทราบ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์เท่ากับอันดับของเมทริกซ์ขยาย อันดับคืออะไร? นี่คือจำนวนบรรทัดอิสระของระบบ ในกรณีของเรา อันดับของเมทริกซ์คือ 2 เมทริกซ์ A จะประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับค่าที่ไม่รู้จัก และค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ด้านหลังเครื่องหมาย “=” จะพอดีกับเมทริกซ์แบบขยายด้วย
เหตุใด SLAE จึงสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้
จากเกณฑ์ความเข้ากันได้ตามทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลีที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นสามารถแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ เมื่อใช้วิธีการเรียงซ้อนแบบเกาส์เซียน คุณสามารถแก้เมทริกซ์และรับคำตอบที่เชื่อถือได้เพียงคำตอบเดียวสำหรับทั้งระบบ ถ้าอันดับของเมทริกซ์ธรรมดาเท่ากับอันดับของเมทริกซ์แบบขยาย แต่น้อยกว่าจำนวนที่ไม่ทราบ แสดงว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด
การแปลงเมทริกซ์
ก่อนที่จะไปสู่การแก้เมทริกซ์ คุณต้องรู้ว่าสิ่งใดที่สามารถทำได้กับองค์ประกอบของเมทริกซ์ มีการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นหลายประการ:
- ด้วยการเขียนระบบใหม่ในรูปแบบเมทริกซ์แล้วแก้โจทย์ คุณสามารถคูณองค์ประกอบทั้งหมดของอนุกรมด้วยสัมประสิทธิ์เดียวกันได้
- ในการแปลงเมทริกซ์เป็นรูปแบบมาตรฐาน คุณสามารถสลับแถวคู่ขนานสองแถวได้ รูปแบบบัญญัติบอกเป็นนัยว่าองค์ประกอบเมทริกซ์ทั้งหมดที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลักจะกลายเป็นองค์ประกอบหนึ่ง และองค์ประกอบที่เหลือจะกลายเป็นศูนย์
- สามารถเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวคู่ขนานของเมทริกซ์เข้าด้วยกันได้
วิธีจอร์แดน-เกาส์
สาระสำคัญของการแก้ระบบสมการเอกพันธ์เชิงเส้นและสมการเอกพันธ์เชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนคือการค่อยๆ กำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป สมมติว่าเรามีระบบสองสมการโดยที่ไม่ทราบค่าสองตัว หากต้องการค้นหาคุณจะต้องตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบ สมการนี้แก้ได้ง่ายมากด้วยวิธีเกาส์ จำเป็นต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ใกล้กับแต่ละค่าที่ไม่รู้จักในรูปแบบเมทริกซ์ ในการแก้ปัญหาระบบ คุณจะต้องเขียนเมทริกซ์ขยายออกมา หากสมการใดสมการมีจำนวนค่าที่ไม่ทราบน้อยกว่า จะต้องใส่ "0" แทนองค์ประกอบที่ขาดหายไป วิธีการแปลงที่รู้จักทั้งหมดจะนำไปใช้กับเมทริกซ์: การคูณ การหารด้วยตัวเลข การบวกองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอนุกรมเข้าด้วยกัน และอื่นๆ ปรากฎว่าในแต่ละแถวจำเป็นต้องปล่อยให้ตัวแปรตัวหนึ่งมีค่า "1" ส่วนที่เหลือควรลดลงเหลือศูนย์ เพื่อความเข้าใจที่แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องพิจารณาวิธีเกาส์พร้อมตัวอย่าง
ตัวอย่างง่ายๆ ของการแก้ระบบ 2x2
ขั้นแรก ลองใช้ระบบสมการพีชคณิตอย่างง่าย ซึ่งจะมีสิ่งไม่ทราบ 2 ตัว
ลองเขียนมันใหม่เป็นเมทริกซ์ขยายกัน
ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ จำเป็นต้องมีการดำเนินการเพียงสองครั้งเท่านั้น เราจำเป็นต้องนำเมทริกซ์มาสู่รูปแบบมาตรฐานเพื่อให้มีเมทริกซ์อยู่ในแนวทแยงหลัก ดังนั้น เมื่อย้ายจากรูปแบบเมทริกซ์กลับมาที่ระบบ เราจะได้สมการ: 1x+0y=b1 และ 0x+1y=b2 โดยที่ b1 และ b2 เป็นคำตอบผลลัพธ์ในกระบวนการแก้ปัญหา
- การกระทำแรกเมื่อแก้ไขเมทริกซ์แบบขยายจะเป็นดังนี้: แถวแรกจะต้องคูณด้วย -7 และเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องลงในแถวที่สองเพื่อกำจัดหนึ่งที่ไม่รู้จักในสมการที่สอง
- เนื่องจากการแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์เกี่ยวข้องกับการลดเมทริกซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จึงจำเป็นต้องดำเนินการเดียวกันกับสมการแรกและลบตัวแปรตัวที่สองออก ในการทำเช่นนี้ เราจะลบบรรทัดที่สองออกจากบรรทัดแรกและรับคำตอบที่ต้องการ - คำตอบของ SLAE หรือตามที่แสดงในภาพ เราคูณแถวที่สองด้วยปัจจัย -1 และเพิ่มองค์ประกอบของแถวที่สองเข้ากับแถวแรก มันเป็นเรื่องเดียวกัน
ดังที่เราเห็น ระบบของเราได้รับการแก้ไขโดยวิธี Jordan-Gauss เราเขียนมันใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ: x=-5, y=7
ตัวอย่างของโซลูชัน 3x3 SLAE
สมมติว่าเรามีระบบสมการเชิงเส้นที่ซับซ้อนกว่า วิธีเกาส์ทำให้สามารถคำนวณคำตอบได้แม้ในระบบที่ดูน่าสับสนที่สุดก็ตาม ดังนั้น เพื่อเจาะลึกวิธีการคำนวณ คุณสามารถไปยังตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นโดยไม่ทราบข้อมูลสามประการ
ดังเช่นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราเขียนระบบใหม่ในรูปแบบของเมทริกซ์แบบขยาย และเริ่มทำให้ระบบอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
เพื่อแก้ปัญหาระบบนี้ คุณจะต้องดำเนินการมากกว่าในตัวอย่างก่อนหน้านี้
- ขั้นแรก คุณต้องทำให้คอลัมน์แรกมีองค์ประกอบหนึ่งหน่วยและส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการแรกด้วย -1 แล้วบวกสมการที่สองลงไป สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเราเขียนบรรทัดแรกใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สองในรูปแบบที่แก้ไข
- ต่อไป เราจะลบสิ่งเดียวกันอันแรกที่ไม่รู้จักนี้ออกจากสมการที่สาม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณองค์ประกอบของแถวแรกด้วย -2 และเพิ่มลงในแถวที่สาม ตอนนี้บรรทัดแรกและบรรทัดที่สองถูกเขียนใหม่ในรูปแบบดั้งเดิมและบรรทัดที่สาม - มีการเปลี่ยนแปลง ดังที่คุณเห็นจากผลลัพธ์ เราได้อันแรกที่จุดเริ่มต้นของเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์และศูนย์ที่เหลือ อีกไม่กี่ขั้นตอน ระบบสมการโดยวิธีเกาส์เซียนจะได้รับการแก้ไขอย่างน่าเชื่อถือ
- ตอนนี้คุณต้องดำเนินการกับองค์ประกอบอื่นๆ ของแถว การกระทำที่สามและสี่สามารถรวมกันเป็นหนึ่งเดียวได้ เราจำเป็นต้องหารเส้นที่สองและสามด้วย -1 เพื่อกำจัดเส้นลบบนเส้นทแยงมุม เราได้นำบรรทัดที่สามมาสู่แบบฟอร์มที่ต้องการแล้ว
- ต่อไปเราจะนำบรรทัดที่สองมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน ในการทำเช่นนี้เราจะคูณองค์ประกอบของแถวที่สามด้วย -3 และเพิ่มเข้าไปในแถวที่สองของเมทริกซ์ จากผลปรากฏว่าเส้นที่ 2 ก็ลดลงตามฟอร์มที่เราต้องการด้วย ยังคงต้องดำเนินการเพิ่มเติมอีกสองสามรายการและลบค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักออกจากบรรทัดแรก
- หากต้องการสร้าง 0 จากองค์ประกอบที่สองของแถว คุณต้องคูณแถวที่สามด้วย -3 แล้วบวกเข้ากับแถวแรก
- ขั้นตอนที่เด็ดขาดต่อไปคือการเพิ่มองค์ประกอบที่จำเป็นของแถวที่สองลงในแถวแรก วิธีนี้ทำให้เราได้รูปแบบมาตรฐานของเมทริกซ์ และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นคำตอบ
อย่างที่คุณเห็น การแก้สมการโดยใช้วิธีเกาส์นั้นค่อนข้างง่าย
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการ 4x4
ระบบสมการที่ซับซ้อนกว่านี้บางระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเกาส์เซียนโดยใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องป้อนค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักลงในเซลล์ว่างที่มีอยู่และโปรแกรมจะคำนวณผลลัพธ์ที่ต้องการทีละขั้นตอนโดยอธิบายรายละเอียดแต่ละการกระทำ
ด้านล่างนี้เป็นคำแนะนำทีละขั้นตอนสำหรับการแก้ไขตัวอย่างดังกล่าว
ในขั้นตอนแรก ค่าสัมประสิทธิ์อิสระและตัวเลขสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบจะถูกป้อนลงในเซลล์ว่าง ดังนั้นเราจึงได้เมทริกซ์ขยายแบบเดียวกับที่เราเขียนด้วยตนเอง
และการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดจะดำเนินการเพื่อนำเมทริกซ์แบบขยายมาสู่รูปแบบมาตรฐาน จำเป็นต้องเข้าใจว่าคำตอบของระบบสมการไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป บางครั้งคำตอบอาจมาจากเลขเศษส่วน
การตรวจสอบความถูกต้องของการแก้ปัญหา
วิธี Jordan-Gauss ใช้สำหรับตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์ หากต้องการทราบว่าค่าสัมประสิทธิ์คำนวณได้ถูกต้องหรือไม่ คุณเพียงแค่ต้องแทนที่ผลลัพธ์ลงในระบบสมการเดิม ด้านซ้ายของสมการจะต้องตรงกับด้านขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับ หากคำตอบไม่ตรงกัน คุณต้องคำนวณระบบใหม่หรือลองใช้วิธีอื่นในการแก้ SLAE ที่คุณรู้จัก เช่น การทดแทน หรือการลบและการบวกแบบทีละเทอม ท้ายที่สุดแล้ว คณิตศาสตร์ก็คือวิทยาศาสตร์ที่มีวิธีแก้โจทย์ต่างๆ มากมาย แต่โปรดจำไว้ว่า: ผลลัพธ์ควรเหมือนเดิมเสมอ ไม่ว่าคุณจะใช้วิธีการแก้ปัญหาแบบใดก็ตาม
วิธีเกาส์: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดเมื่อแก้ไข SLAE
เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้น ข้อผิดพลาดมักเกิดขึ้นบ่อยที่สุด เช่น การถ่ายโอนค่าสัมประสิทธิ์เป็นรูปแบบเมทริกซ์ไม่ถูกต้อง มีระบบที่ไม่ทราบค่าบางตัวหายไปจากสมการตัวใดตัวหนึ่ง ดังนั้น เมื่อถ่ายโอนข้อมูลไปยังเมทริกซ์แบบขยาย ข้อมูลเหล่านั้นอาจสูญหายได้ ส่งผลให้เมื่อแก้ระบบนี้แล้วผลลัพธ์อาจไม่ตรงกับความเป็นจริง
ข้อผิดพลาดสำคัญอีกประการหนึ่งอาจเขียนผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง มีความจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนว่าค่าสัมประสิทธิ์แรกจะสอดคล้องกับค่าแรกที่ไม่รู้จักจากระบบค่าที่สอง - ถึงค่าที่สองและอื่น ๆ
วิธีเกาส์อธิบายรายละเอียดการแก้สมการเชิงเส้น ด้วยเหตุนี้จึงง่ายต่อการดำเนินการที่จำเป็นและค้นหาผลลัพธ์ที่ถูกต้อง นอกจากนี้ยังเป็นเครื่องมือสากลในการค้นหาคำตอบที่เชื่อถือได้สำหรับสมการที่ซับซ้อน บางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงมักใช้เมื่อแก้ไข SLAE
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ลังเลอยู่นานโดยเลือกระหว่างปรัชญากับคณิตศาสตร์ บางทีอาจเป็นเพียงความคิดนี้เองที่ทำให้เขาสามารถสร้าง "มรดก" ที่เห็นได้ชัดเจนในวิทยาศาสตร์โลก โดยเฉพาะด้วยการสร้าง "วิธีเกาส์" ...
เป็นเวลาเกือบ 4 ปีแล้วที่บทความบนเว็บไซต์นี้เกี่ยวข้องกับการศึกษาในโรงเรียน โดยส่วนใหญ่มาจากมุมมองของปรัชญา หลักการของความเข้าใจที่ผิด (ผิด) ได้ถูกนำมาสู่จิตใจของเด็ก ๆ ถึงเวลาแล้วสำหรับตัวอย่าง และวิธีการที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น... ฉันเชื่อว่านี่คือแนวทางที่คุ้นเคย สับสน และ สำคัญพื้นที่ของชีวิตให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า
คนเราได้รับการออกแบบในลักษณะที่ไม่ว่าเราจะพูดถึงมากแค่ไหนก็ตาม การคิดเชิงนามธรรม, แต่ ความเข้าใจ เสมอเกิดขึ้นผ่านตัวอย่าง- หากไม่มีตัวอย่างก็ไม่สามารถเข้าใจหลักการได้... เช่นเดียวกับที่ขึ้นไปบนยอดเขาไม่ได้นอกจากเดินตามทางลาดทั้งหมดจากตีนเขา
เช่นเดียวกับโรงเรียน: สำหรับตอนนี้ เรื่องราวชีวิตยังไม่เพียงพอที่เราจะถือว่าที่นี่เป็นสถานที่ซึ่งเด็กๆ ได้รับการสอนให้เข้าใจโดยสัญชาตญาณเท่านั้นยังไม่พอ
เช่น การสอนวิธีเกาส์เซียน...
วิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5
ผมขอจองไว้ก่อนเลย เพราะวิธีเกาส์มีการประยุกต์ที่กว้างกว่ามาก เช่น ในการแก้ปัญหา ระบบสมการเชิงเส้น- สิ่งที่เราจะพูดถึงเกิดขึ้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 นี้ เริ่มเมื่อเข้าใจว่าสิ่งใดจะง่ายกว่ามากที่จะเข้าใจ "ตัวเลือกขั้นสูง" ที่มากกว่า ในบทความนี้เรากำลังพูดถึง วิธีการของเกาส์ (วิธีการ) ในการหาผลรวมของอนุกรม
นี่คือตัวอย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันซึ่งเข้าเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ที่โรงยิมมอสโกนำมาจากโรงเรียน
โรงเรียนสาธิตวิธีเกาส์
ครูคณิตศาสตร์คนหนึ่งที่ใช้ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (วิธีการสอนสมัยใหม่) ให้เด็กๆ ได้เห็นการนำเสนอประวัติความเป็นมาของ "การสร้างวิธีการ" โดยเกาส์ตัวน้อย
ครูในโรงเรียนเฆี่ยนตีคาร์ลตัวน้อย (วิธีที่ล้าสมัยซึ่งปัจจุบันไม่ได้ใช้ในโรงเรียน) เพราะเขา
แทนที่จะบวกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ตามลำดับ ให้หาผลรวมของมัน สังเกตเห็นคู่ตัวเลขที่มีระยะห่างเท่ากันจากขอบของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะรวมกันเป็นตัวเลขเดียวกัน ตัวอย่างเช่น 100 และ 1, 99 และ 2 เมื่อนับจำนวนคู่ดังกล่าวแล้ว Gauss ตัวน้อยก็แก้ไขปัญหาที่ครูเสนอแทบจะในทันที ซึ่งเขาถูกประหารต่อหน้าสาธารณชนที่ประหลาดใจ เพื่อให้คนอื่นหมดกำลังใจในการคิด
เกาส์ตัวน้อยทำอะไร? ที่พัฒนา ความรู้สึกเชิงตัวเลข? สังเกตเห็นคุณสมบัติบางอย่างชุดตัวเลขที่มีขั้นคงที่ (ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์) และ นั่นคือสิ่งที่ต่อมาทรงเป็นนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ ผู้ที่รู้จักสังเกต, มี ความรู้สึก สัญชาตญาณแห่งความเข้าใจ.
นี่คือเหตุผลว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงมีคุณค่าและกำลังพัฒนา ความสามารถในการมองเห็นทั่วไปโดยเฉพาะ - การคิดเชิงนามธรรม- ดังนั้นผู้ปกครองและนายจ้างส่วนใหญ่ ถือว่าคณิตศาสตร์เป็นวินัยที่สำคัญโดยสัญชาตญาณ ...
“ถ้าอย่างนั้น คุณต้องเรียนรู้คณิตศาสตร์ เพราะมันจะทำให้จิตใจของคุณเป็นระเบียบ
เอ็ม.วี.โลโมโนซอฟ"
อย่างไรก็ตาม ผู้ติดตามผู้ที่เฆี่ยนตีอัจฉริยะในอนาคตด้วยไม้เรียวทำให้วิธีการกลายเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม ดังที่หัวหน้างานของฉันพูดเมื่อ 35 ปีที่แล้ว: “เราได้เรียนรู้คำถามนี้แล้ว” หรืออย่างที่ลูกชายคนเล็กของฉันพูดเมื่อวานนี้เกี่ยวกับวิธีการของเกาส์: “บางทีมันไม่คุ้มค่าที่จะสร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากเรื่องนี้ใช่ไหม”
ผลที่ตามมาจากความคิดสร้างสรรค์ของ "นักวิทยาศาสตร์" สามารถมองเห็นได้ในระดับคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในปัจจุบัน ระดับการสอน และความเข้าใจของ "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์" โดยคนส่วนใหญ่
อย่างไรก็ตาม มาทำต่อ...
วิธีการอธิบายวิธีเกาส์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5
ครูคณิตศาสตร์ที่โรงยิมในมอสโกกำลังอธิบายวิธีเกาส์ตาม Vilenkin ทำให้งานซับซ้อนขึ้น
จะเกิดอะไรขึ้นถ้าความแตกต่าง (ขั้นตอน) ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไม่ใช่หนึ่ง แต่เป็นอีกจำนวนหนึ่ง? ตัวอย่างเช่น 20
ปัญหาที่เขาให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
ก่อนที่จะทำความคุ้นเคยกับวิธียิมเนเซียมเรามาดูอินเทอร์เน็ตกันก่อนว่าครูในโรงเรียนและครูสอนคณิตศาสตร์ทำอย่างไร?..
วิธีเกาส์เซียน: คำอธิบายหมายเลข 1
ครูสอนพิเศษที่มีชื่อเสียงในช่อง YOUTUBE ของเขาให้เหตุผลดังต่อไปนี้:
"ลองเขียนตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ดังนี้:
อันดับแรกคือชุดตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 50 และต่ำกว่านั้นอีกชุดคือชุดตัวเลขตั้งแต่ 50 ถึง 100 แต่กลับกัน"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"โปรดทราบ: ผลรวมของตัวเลขแต่ละคู่จากแถวบนและล่างเท่ากันและเท่ากับ 101! ลองนับจำนวนคู่กันเป็น 50 และคูณผลรวมของหนึ่งคู่ด้วยจำนวนคู่! Voila: The คำตอบพร้อมแล้ว!”
“ถ้าไม่เข้าใจก็อย่าโกรธ!” ครูพูดซ้ำสามครั้งระหว่างการอธิบาย “คุณจะใช้วิธีนี้ในเกรด 9!”
วิธีเกาส์เซียน: คำอธิบายหมายเลข 2
ครูสอนพิเศษอีกคนที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก (ตัดสินจากจำนวนการดู) ใช้วิธีการที่เป็นวิทยาศาสตร์มากกว่า โดยเสนออัลกอริธึมการแก้ปัญหา 5 คะแนนที่ต้องดำเนินการตามลำดับ
สำหรับผู้ที่ไม่ได้ฝึกหัด 5 เป็นหนึ่งในตัวเลขฟีโบนัชชีที่แต่ก่อนถือว่ามีมนต์ขลัง ตัวอย่างเช่น วิธีการแบบ 5 ขั้นตอนมีความเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าวิธีแบบ 6 ขั้นตอนเสมอ ...และนี่ไม่ใช่อุบัติเหตุ เป็นไปได้มากว่าผู้เขียนเป็นผู้สนับสนุนทฤษฎีฟีโบนัชชีอย่างซ่อนเร้น
เมื่อพิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
อัลกอริทึมในการค้นหาผลรวมของตัวเลขในชุดข้อมูลโดยใช้วิธีเกาส์:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
ในขณะเดียวกันคุณต้องจำไว้ บวกหนึ่งกฎ : เราต้องบวกหนึ่งเข้ากับผลหารผลลัพธ์: ไม่เช่นนั้นเราจะได้ผลลัพธ์ที่น้อยกว่าจำนวนคู่จริงทีละ 1: 42 + 1 = 43
นี่คือผลรวมที่ต้องการของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จาก 4 ถึง 256 โดยมีผลต่าง 6!
วิธีเกาส์: คำอธิบายในชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ที่โรงยิมมอสโก
วิธีแก้ปัญหาการหาผลรวมของอนุกรมมีดังนี้
20+40+60+ ... +460+480+500
ในโรงยิมมอสโกชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 หนังสือเรียนของ Vilenkin (อ้างอิงจากลูกชายของฉัน)
หลังจากแสดงการนำเสนอแล้ว ครูคณิตศาสตร์ได้แสดงตัวอย่างสองสามตัวอย่างโดยใช้วิธีเกาส์เซียน และมอบหมายให้ชั้นเรียนค้นหาผลรวมของตัวเลขในชุดโดยเพิ่มทีละ 20
สิ่งนี้ต้องการสิ่งต่อไปนี้:
อย่างที่คุณเห็น นี่เป็นเทคนิคที่กะทัดรัดและมีประสิทธิภาพมากกว่า: เลข 3 ยังเป็นสมาชิกของลำดับฟีโบนัชชีด้วย
ความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับวิธีเกาส์เวอร์ชันโรงเรียน
นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คงจะเลือกปรัชญาอย่างแน่นอนถ้าเขาคาดการณ์ล่วงหน้าว่าผู้ติดตามของเขาจะเปลี่ยน “วิธีการ” ของเขาให้กลายเป็นอะไร ครูสอนภาษาเยอรมันผู้ซึ่งเฆี่ยนตีคาร์ลด้วยไม้เรียว เขาคงได้เห็นสัญลักษณ์ เกลียววิภาษวิธี และความโง่เขลาชั่วนิรันดร์ของ “ครู” พยายามวัดความสอดคล้องของความคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตกับพีชคณิตของความเข้าใจผิด ....
โดยวิธีการ: คุณรู้ไหม. ว่าระบบการศึกษาของเรามีรากฐานมาจากโรงเรียนเยอรมันในศตวรรษที่ 18 และ 19?
แต่เกาส์เลือกคณิตศาสตร์
สาระสำคัญของวิธีการของเขาคืออะไร?
ใน ลดความซับซ้อน- ใน การสังเกตและโลภรูปแบบตัวเลขอย่างง่าย ใน เปลี่ยนเลขคณิตของโรงเรียนแห้งให้เป็น กิจกรรมที่น่าสนใจและน่าตื่นเต้น กระตุ้นความปรารถนาที่จะดำเนินต่อไปในสมองแทนที่จะปิดกั้นกิจกรรมทางจิตที่มีต้นทุนสูง
เป็นไปได้ไหมที่จะใช้ "การแก้ไขวิธีการ" อย่างใดอย่างหนึ่งของ Gauss เพื่อคำนวณผลรวมของจำนวนความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เกือบ ทันที- ตาม "อัลกอริทึม" คาร์ลตัวน้อยจะได้รับการรับรองว่าจะหลีกเลี่ยงการตีก้นพัฒนาความเกลียดชังคณิตศาสตร์และระงับแรงกระตุ้นที่สร้างสรรค์ของเขาในตา
เหตุใดครูสอนพิเศษจึงแนะนำนักเรียนเกรด 5 อย่างต่อเนื่องว่า "อย่ากลัวความเข้าใจผิด" เกี่ยวกับวิธีการนี้ และโน้มน้าวพวกเขาว่าพวกเขาจะแก้ไขปัญหา "ดังกล่าว" ได้ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 การกระทำที่ไม่รู้หนังสือทางจิตวิทยา. มันเป็นการเคลื่อนไหวที่ดีที่ควรทราบ: "พบกันใหม่ อยู่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 แล้วคุณทำได้แก้ปัญหาที่คุณจะสำเร็จได้ใน 4 ปีเท่านั้น! คุณเป็นเพื่อนที่ดีจริงๆ!”
หากต้องการใช้วิธีเกาส์เซียน ระดับคลาส 3 ก็เพียงพอแล้วเมื่อเด็กปกติรู้วิธีบวกคูณหารเลข 2-3 หลักแล้ว ปัญหาเกิดขึ้นเนื่องจากการที่ครูผู้ใหญ่ที่ “ขาดการติดต่อ” ไม่สามารถอธิบายสิ่งที่ง่ายที่สุดในภาษามนุษย์ปกติได้ ไม่ต้องพูดถึงคณิตศาสตร์... พวกเขาไม่สามารถดึงดูดผู้ที่สนใจคณิตศาสตร์และท้อแท้แม้แต่คนที่เป็น “ มีความสามารถ."
หรืออย่างที่ลูกชายของฉันแสดงความคิดเห็น: “สร้างวิทยาศาสตร์อันยิ่งใหญ่จากมัน”
วิธีเกาส์ คำอธิบายของฉัน
ฉันและภรรยาอธิบาย "วิธีการ" นี้ให้ลูกของเราฟัง ดูเหมือนก่อนไปโรงเรียนด้วยซ้ำ...
ความเรียบง่ายแทนที่จะเป็นความซับซ้อนหรือเกมคำถามและคำตอบ
“ดูสิ นี่คือตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 คุณเห็นอะไร”
ประเด็นไม่ได้อยู่ที่สิ่งที่เด็กมองเห็นอย่างแน่นอน เคล็ดลับคือการทำให้เขาดู
“จะเอามารวมกันได้ยังไง” ลูกชายตระหนักว่าคำถามดังกล่าวไม่ได้ถูกถาม “แบบนั้น” และคุณต้องมองคำถาม “แตกต่างไปจากปกติ”
ไม่สำคัญว่าเด็กจะเห็นวิธีแก้ปัญหาทันทีหรือไม่ แต่ก็ไม่น่าเป็นไปได้ มันเป็นสิ่งสำคัญที่เขา เลิกกลัวที่จะมองหรืออย่างที่ฉันพูดว่า "ย้ายงาน"- นี่คือจุดเริ่มต้นของเส้นทางสู่ความเข้าใจ
“อันไหนง่ายกว่า: เพิ่มเช่น 5 และ 6 หรือ 5 และ 95” คำถามสำคัญ... แต่การฝึกอบรมใดๆ ก็ตามมีจุดประสงค์เพื่อ "ชี้นำ" บุคคลไปสู่ "คำตอบ" - ในทางใดก็ตามที่เขายอมรับได้
ในขั้นตอนนี้อาจมีการเดาเกี่ยวกับวิธีการ "บันทึก" ในการคำนวณอยู่แล้ว
สิ่งที่เราทำก็แค่บอกเป็นนัย: วิธีการนับแบบ "ด้านหน้า เส้นตรง" ไม่ใช่วิธีเดียวที่เป็นไปได้ หากเด็กเข้าใจสิ่งนี้แล้วเขาก็จะเกิดวิธีการดังกล่าวอีกมากมายในภายหลัง เพราะมันน่าสนใจ!!!และเขาจะหลีกเลี่ยงคณิตศาสตร์ที่ "เข้าใจผิด" อย่างแน่นอน และจะไม่รู้สึกรังเกียจมัน เขาได้รับชัยชนะ!
ถ้า เด็กค้นพบการบวกคู่ตัวเลขที่รวมกันได้เป็นร้อยก็เป็นเรื่องง่าย "ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ด้วยผลต่าง 1"- สิ่งที่ค่อนข้างน่าเบื่อและไม่น่าสนใจสำหรับเด็ก - ทันใดนั้น พบชีวิตสำหรับเขา . ระเบียบเกิดขึ้นจากความสับสนวุ่นวาย และสิ่งนี้ทำให้เกิดความกระตือรือร้นอยู่เสมอ: นั่นคือวิธีที่เราถูกสร้างขึ้น!
คำถามที่ต้องตอบ: ทำไมหลังจากได้รับข้อมูลเชิงลึกที่เด็กได้รับแล้ว เขาควรถูกผลักดันให้เข้าสู่กรอบของอัลกอริธึมแบบแห้งอีกครั้ง ซึ่งไม่มีประโยชน์ในการใช้งานในกรณีนี้ด้วย!
เหตุใดจึงต้องบังคับให้เขียนซ้ำโง่ ๆหมายเลขลำดับในสมุดบันทึก: แม้แต่ผู้มีความสามารถก็ไม่มีโอกาสเข้าใจแม้แต่ครั้งเดียว? แน่นอนว่าในทางสถิติ แต่การศึกษามวลชนมุ่งเน้นไปที่ "สถิติ"...
ศูนย์หายไปไหน?
ถึงกระนั้น การบวกตัวเลขที่รวมกันได้ 100 ก็เป็นที่ยอมรับของจิตใจมากกว่าการบวกตัวเลขที่รวมกันได้ 101...
"วิธีการแบบเกาส์สคูล" ต้องการสิ่งนี้: พับอย่างไม่ใส่ใจคู่ตัวเลขที่ห่างจากจุดศูนย์กลางความก้าวหน้าเท่ากัน ไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น.
ถ้าคุณดูล่ะ?
อย่างไรก็ตาม ศูนย์ถือเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของมนุษย์ซึ่งมีอายุมากกว่า 2,000 ปี และครูคณิตศาสตร์ยังคงเพิกเฉยต่อเขา
การแปลงชุดตัวเลขที่ขึ้นต้นด้วย 1 เป็นชุดที่ขึ้นต้นด้วย 0 ง่ายกว่ามาก ผลรวมจะไม่เปลี่ยนแปลงใช่ไหม ต้องหยุด “คิดในตำรา” แล้วเริ่มมองหา...และดูว่าคู่ที่มีผลรวม 101 สามารถถูกแทนที่ด้วยคู่ที่มีผลรวม 100 ได้อย่างสมบูรณ์!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
จะยกเลิก "กฎบวก 1" ได้อย่างไร?
พูดตามตรง ครั้งแรกที่ฉันได้ยินกฎดังกล่าวจากครูสอน YouTube คนนั้น...
ฉันยังต้องทำอย่างไรเมื่อต้องกำหนดจำนวนสมาชิกของซีรีส์?
ฉันดูลำดับ:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
และเมื่อคุณเหนื่อยมากแล้ว ให้ไปยังแถวที่ง่ายกว่า:
1, 2, 3, 4, 5
และฉันคิดว่า: ถ้าคุณลบหนึ่งออกจาก 5 คุณจะได้ 4 แต่ฉันชัดเจนมาก ฉันเห็น 5 หมายเลข! ดังนั้นคุณต้องเพิ่มอันหนึ่ง! สัมผัสเชิงจำนวนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนประถมศึกษาแนะนำว่า แม้ว่าสมาชิกในชุดนี้จะมี Google ทั้งหมด (10 ยกกำลัง 100) รูปแบบจะยังคงเหมือนเดิม
มีกฎเกณฑ์บ้าอะไร..
เพื่อว่าในอีกไม่กี่ปีเพื่อเติมเต็มช่องว่างระหว่างหน้าผากและด้านหลังศีรษะและหยุดคิด? จะหาขนมปังและเนยได้อย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว เรากำลังก้าวเข้าสู่อันดับเท่าๆ กันในยุคของเศรษฐกิจดิจิทัล!
ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการสอนของเกาส์: “เหตุใดจึงสร้างวิทยาศาสตร์จากสิ่งนี้?..”
ฉันไม่ได้โพสต์ภาพหน้าจอจากสมุดบันทึกของลูกชายเพื่ออะไร...
“เกิดอะไรขึ้นในชั้นเรียน?”
“ ฉันนับทันทียกมือขึ้น แต่เธอไม่ถาม ดังนั้นในขณะที่คนอื่นกำลังนับอยู่ฉันก็เริ่มทำการบ้านเป็นภาษารัสเซียเพื่อไม่ให้เสียเวลา จากนั้นเมื่อคนอื่น ๆ เขียนเสร็จ (? ??) เธอโทรหาฉันที่กระดาน ฉันตอบไป”
“ถูกต้อง แสดงให้ฉันเห็นว่าคุณแก้ไขมันได้อย่างไร” อาจารย์กล่าว ฉันแสดงให้เห็นแล้ว เธอพูดว่า: “ผิดแล้ว คุณต้องนับตามที่ฉันแสดง!”
“เป็นเรื่องดีที่เธอไม่ได้คะแนนไม่ดี และเธอให้ฉันเขียน “แนวทางการแก้ปัญหา” ในแบบของพวกเขาเอง ทำไมจึงต้องสร้างวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่จากเรื่องนี้?..”
อาชญากรรมหลักของครูคณิตศาสตร์
หลังจากนั้นแทบจะไม่ เหตุการณ์นั้น Carl Gauss ได้รับความเคารพอย่างสูงต่อครูคณิตศาสตร์ในโรงเรียนของเขา แต่ถ้าเขารู้วิธี สาวกของอาจารย์คนนั้น จะบิดเบือนสาระสำคัญของวิธีการ... เขาจะคำรามด้วยความขุ่นเคืองและผ่านองค์การทรัพย์สินทางปัญญาโลก WIPO บรรลุการห้ามใช้ชื่อที่ดีของเขาในหนังสือเรียนของโรงเรียน!..
อะไร ข้อผิดพลาดหลักของแนวทางโรงเรียน- หรืออย่างที่ฉันพูดไว้ อาชญากรรมของครูคณิตศาสตร์ในโรงเรียนต่อเด็ก?
อัลกอริทึมของความเข้าใจผิด
นักระเบียบวิธีของโรงเรียนทำอะไร ซึ่งคนส่วนใหญ่ไม่รู้ว่าจะคิดอย่างไร
พวกเขาสร้างวิธีการและอัลกอริธึม (ดู) นี้ ปฏิกิริยาป้องกันที่ปกป้องครูจากการวิพากษ์วิจารณ์ (“ทุกอย่างทำตาม…”) และไม่ให้เด็ก ๆ เข้าใจ และด้วยเหตุนี้ - จากความปรารถนาที่จะวิพากษ์วิจารณ์ครู!(อนุพันธ์อันดับสองของ "ปัญญา" ของระบบราชการ ซึ่งเป็นแนวทางทางวิทยาศาสตร์ในการแก้ปัญหา) คนที่ไม่เข้าใจความหมายจะค่อนข้างโทษความเข้าใจผิดของตัวเองมากกว่าความโง่เขลาของระบบโรงเรียน
นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้น: พ่อแม่ตำหนิลูก ๆ ของพวกเขา และครู... ก็ทำเช่นเดียวกันกับเด็ก ๆ ที่ "ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์!"
คุณฉลาดไหม?
คาร์ลตัวน้อยทำอะไร?
แนวทางที่แหวกแนวโดยสิ้นเชิงสำหรับงานตามสูตร- นี่คือแก่นแท้ของแนวทางของพระองค์ นี้ สิ่งสำคัญที่ควรสอนในโรงเรียนคือการคิดไม่ใช่ด้วยตำราเรียน แต่ต้องคิดด้วยหัวของคุณ- แน่นอนว่ายังมีเครื่องดนตรีที่สามารถใช้เพื่อ...ในการค้นหาอีกด้วย วิธีการนับที่ง่ายและมีประสิทธิภาพยิ่งขึ้น.
วิธีเกาส์ตาม Vilenkin
ในโรงเรียนพวกเขาสอนว่าวิธีการของเกาส์คือการ
อะไร, ถ้าจำนวนสมาชิกของอนุกรมเป็นเลขคี่เช่นเดียวกับปัญหาที่มอบหมายให้ลูกชายของฉัน?..
"การจับ" ก็คือในกรณีนี้ คุณควรหาหมายเลข "พิเศษ" ในซีรีส์นี้และบวกเข้ากับผลรวมของคู่นั้น ในตัวอย่างของเรา หมายเลขนี้คือ 260.
จะตรวจจับได้อย่างไร? Copy เลขทุกคู่ลงสมุด!(นี่คือสาเหตุที่ครูทำให้เด็กๆ ทำงานโง่ๆ โดยพยายามสอน "ความคิดสร้างสรรค์" โดยใช้วิธีแบบเกาส์เซียน... และนี่คือสาเหตุที่ "วิธีการ" ดังกล่าวไม่สามารถใช้ได้กับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ในทางปฏิบัติ และนี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น ไม่ใช่วิธีเกาส์เซียน)
ความคิดสร้างสรรค์เล็กๆ น้อยๆ ในกิจวัตรของโรงเรียน...
ลูกชายทำตัวแตกต่างออกไป
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ไม่ยากใช่ไหม?
แต่ในทางปฏิบัติมันจะง่ายยิ่งขึ้นไปอีกซึ่งช่วยให้คุณสละเวลา 2-3 นาทีสำหรับการสำรวจระยะไกลในภาษารัสเซียในขณะที่ส่วนที่เหลือกำลัง "นับ" นอกจากนี้ ยังคงรักษาจำนวนขั้นตอนของวิธีการไว้: 5 ซึ่งไม่อนุญาตให้มีการวิพากษ์วิจารณ์แนวทางดังกล่าวว่าไม่มีหลักวิทยาศาสตร์
แน่นอนว่าแนวทางนี้ง่ายกว่า เร็วกว่า และเป็นสากลมากกว่า ในรูปแบบของวิธีการ แต่... ครูไม่เพียงแต่ไม่ชมเชยเท่านั้น แต่ยังบังคับให้ฉันเขียนใหม่ “ในทางที่ถูกต้อง” (ดูภาพหน้าจอ) นั่นคือเธอพยายามอย่างยิ่งยวดที่จะระงับแรงกระตุ้นที่สร้างสรรค์และความสามารถในการเข้าใจคณิตศาสตร์ตั้งแต่ต้นตอ! ปรากฏว่าภายหลังเธอสามารถจ้างเป็นครูสอนพิเศษได้... เธอโจมตีผิดคน...
ทุกสิ่งที่ฉันอธิบายมานานและน่าเบื่อสามารถอธิบายให้เด็กปกติเข้าใจได้ภายในเวลาสูงสุดครึ่งชั่วโมง พร้อมทั้งยกตัวอย่าง.
และในแบบที่เขาจะไม่มีวันลืมมัน
และมันจะเป็น ก้าวไปสู่ความเข้าใจ...ไม่ใช่แค่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น
ยอมรับเถอะ: ในชีวิตของคุณคุณบวกด้วยวิธีเกาส์เซียนมากี่ครั้งแล้ว? และฉันไม่เคยทำ!
แต่ สัญชาตญาณของความเข้าใจซึ่งพัฒนา (หรือดับไป) ในกระบวนการเรียนวิธีคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน... โอ้!.. นี่มันเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้จริงๆ!
โดยเฉพาะในยุคดิจิทัลสากลที่เราก้าวเข้ามาอย่างเงียบๆ ภายใต้การนำอันเข้มงวดของพรรคและรัฐบาล
คำไม่กี่คำเพื่อปกป้องครู...
มันไม่ยุติธรรมและผิดที่จะมอบความรับผิดชอบทั้งหมดสำหรับรูปแบบการสอนนี้ให้กับครูในโรงเรียนแต่เพียงผู้เดียว ระบบมีผลใช้งานแล้ว
บางครูเข้าใจถึงความไร้สาระของสิ่งที่เกิดขึ้น แต่จะทำอย่างไร? กฎหมายว่าด้วยการศึกษา มาตรฐานการศึกษาของรัฐบาลกลาง วิธีการ แผนการสอน... ทุกอย่างจะต้องทำ “ตามและบนพื้นฐาน” และทุกอย่างจะต้องได้รับการบันทึกไว้ หลีกเลี่ยง - ยืนเข้าแถวเพื่อจะถูกไล่ออก อย่าเป็นคนหน้าซื่อใจคด: เงินเดือนครูมอสโกดีมาก... ถ้าพวกเขาไล่คุณออกจะไปไหน?..
ดังนั้นเว็บไซต์นี้ ไม่เกี่ยวกับการศึกษา- เขาเกี่ยวกับ การศึกษารายบุคคลวิธีเดียวที่จะออกจากฝูงชนได้ รุ่น Z ...
หนึ่งในวิธีการที่เป็นสากลและมีประสิทธิภาพในการแก้ระบบพีชคณิตเชิงเส้นคือ วิธีเกาส์เซียน ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ
จำได้ว่าทั้งสองระบบเรียกว่า เทียบเท่า (เทียบเท่า) ถ้าชุดของการแก้ปัญหาตรงกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ระบบจะเท่าเทียมกันหากทุกวิธีแก้ปัญหาของหนึ่งในนั้นเป็นวิธีแก้ปัญหาของอีกวิธีหนึ่งและในทางกลับกัน ระบบที่เทียบเท่าจะได้รับเมื่อ การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น สมการของระบบ:
การคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
การบวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นเข้ากับสมการบางสมการ คูณด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
การจัดเรียงสองสมการใหม่
ให้ระบบสมการได้รับ
กระบวนการแก้ไขระบบนี้โดยใช้วิธีเกาส์เซียนประกอบด้วยสองขั้นตอน ในระยะแรก (การเคลื่อนที่โดยตรง) ระบบจะลดลงเหลือเพียงการแปลงเบื้องต้น ทีละขั้นตอน , หรือ สามเหลี่ยม และในขั้นตอนที่สอง (ย้อนกลับ) จะมีลำดับเริ่มต้นจากหมายเลขตัวแปรสุดท้าย การกำหนดสิ่งที่ไม่ทราบจากระบบแบบขั้นตอนที่เป็นผลลัพธ์
ให้เราสมมุติว่าสัมประสิทธิ์ของระบบนี้ 
มิฉะนั้นในระบบ แถวแรกสามารถสลับกับแถวอื่นเพื่อให้ได้ค่าสัมประสิทธิ์ที่ 
แตกต่างจากศูนย์
มาเปลี่ยนระบบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ออกไป 
ในสมการทั้งหมดยกเว้นสมการแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย 
และบวกเทอมต่อเทอมด้วยสมการที่สองของระบบ จากนั้นคูณทั้งสองข้างของสมการแรกด้วย 
แล้วบวกเข้ากับสมการที่สามของระบบ ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราได้รับระบบที่เทียบเท่ากัน
ที่นี่ 
– ค่าสัมประสิทธิ์ใหม่และเงื่อนไขอิสระที่ได้รับหลังจากขั้นตอนแรก
ในทำนองเดียวกันเมื่อคำนึงถึงองค์ประกอบหลัก 
, ยกเว้นสิ่งที่ไม่รู้จัก 
จากสมการทั้งหมดของระบบ ยกเว้นสมการที่หนึ่งและที่สอง เรามาดำเนินการตามกระบวนการนี้ต่อไปให้นานที่สุด และผลที่ได้คือเราจะได้ระบบแบบขั้นตอน
,
ที่ไหน 
,
,…,
– องค์ประกอบหลักของระบบ 
.
หากในกระบวนการลดระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอนสมการปรากฏขึ้นนั่นคือความเท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม 
จะถูกละทิ้งเนื่องจากพอใจกับชุดตัวเลขใดๆ 
- ถ้า ณ 
หากสมการของแบบฟอร์มปรากฏว่าไม่มีคำตอบ แสดงว่าระบบไม่เข้ากัน
ในระหว่างจังหวะย้อนกลับ สิ่งที่ไม่ทราบค่าแรกจะถูกแสดงจากสมการสุดท้ายของระบบขั้นตอนที่แปลงแล้ว 
ผ่านสิ่งที่ไม่รู้อื่นๆ ทั้งหมด 
ซึ่งเรียกว่า ฟรี
.
จากนั้นนิพจน์ตัวแปร 
จากสมการสุดท้ายของระบบจะถูกแทนที่ด้วยสมการสุดท้ายและตัวแปรจะแสดงออกมา 
- ตัวแปรถูกกำหนดตามลำดับในลักษณะเดียวกัน 
- ตัวแปร 
ที่แสดงผ่านตัวแปรอิสระ เรียกว่า ขั้นพื้นฐาน
(ขึ้นอยู่กับ). ผลลัพธ์ที่ได้คือคำตอบทั่วไปของระบบสมการเชิงเส้น
เพื่อค้นหา โซลูชันส่วนตัว
ระบบ ไม่รู้จักฟรี 
ในการแก้ปัญหาทั่วไปจะมีการกำหนดค่าตามอำเภอใจและคำนวณค่าของตัวแปร 
.
ในทางเทคนิคจะสะดวกกว่าในการแปลงเบื้องต้น ไม่ใช่สมการของระบบ แต่เป็นเมทริกซ์ขยายของระบบ
.
วิธีเกาส์เป็นวิธีการสากลที่ช่วยให้คุณแก้โจทย์ทั้งระบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมซึ่งไม่ทราบจำนวน 
ไม่เท่ากับจำนวนสมการ 
.
ข้อดีของวิธีนี้ก็คือในกระบวนการแก้ปัญหาเราจะตรวจสอบความเข้ากันได้ของระบบไปพร้อมๆ กัน เนื่องจากเมื่อให้เมทริกซ์แบบขยายแล้ว 
หากต้องการกำหนดลำดับของเมทริกซ์จะเป็นเรื่องง่าย 
และเมทริกซ์ขยาย 
และสมัคร ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี
.
ตัวอย่างที่ 2.1แก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์
สารละลาย- จำนวนสมการ 
และจำนวนสิ่งที่ไม่รู้ 
.
เรามาสร้างเมทริกซ์แบบขยายของระบบโดยกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านขวาของเมทริกซ์กันดีกว่า 
คอลัมน์สมาชิกฟรี 
.
มานำเสนอเมทริกซ์กัน 
สู่มุมมองรูปสามเหลี่ยม ในการทำเช่นนี้ เราจะได้ "0" ใต้องค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักโดยใช้การแปลงเบื้องต้น
หากต้องการให้ "0" อยู่ในตำแหน่งที่สองของคอลัมน์แรก ให้คูณแถวแรกด้วย (-1) แล้วบวกเข้ากับแถวที่สอง
เราเขียนการแปลงนี้เป็นตัวเลข (-1) เทียบกับบรรทัดแรกและแสดงด้วยลูกศรที่เริ่มจากบรรทัดแรกถึงบรรทัดที่สอง
หากต้องการให้ "0" อยู่ในตำแหน่งที่สามของคอลัมน์แรก ให้คูณแถวแรกด้วย (-3) แล้วบวกเข้ากับแถวที่สาม เรามาแสดงการกระทำนี้โดยใช้ลูกศรจากบรรทัดแรกไปยังบรรทัดที่สาม
.
ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ซึ่งเขียนเป็นลำดับที่สองในห่วงโซ่ของเมทริกซ์ เราจะได้ "0" ในคอลัมน์ที่สองในตำแหน่งที่สาม ในการทำเช่นนี้ เราคูณบรรทัดที่สองด้วย (-4) แล้วบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม ในเมทริกซ์ผลลัพธ์ ให้คูณแถวที่สองด้วย (-1) และหารแถวที่สามด้วย (-8) องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์นี้ซึ่งอยู่ใต้องค์ประกอบแนวทแยงจะเป็นศูนย์
เพราะ , ระบบมีการทำงานร่วมกันและกำหนดไว้
ระบบสมการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์สุดท้ายมีรูปแบบสามเหลี่ยม:
จากสมการสุดท้าย (สาม) 
- แทนลงในสมการที่สองแล้วได้ 
.
มาทดแทนกัน 
และ 
ในสมการแรก เราจะพบว่า 
.