การแก้ระบบสมการด้วยไม่ทราบค่า 6 แบบ วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

ระบบสมการมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในภาคเศรษฐกิจสำหรับการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้ไขปัญหาด้านการจัดการและการวางแผนการผลิต เส้นทางลอจิสติกส์ (ปัญหาการขนส่ง) หรือการจัดวางอุปกรณ์

ระบบสมการไม่เพียงแต่ใช้ในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังใช้ในฟิสิกส์ เคมี และชีววิทยาด้วย เมื่อแก้ปัญหาการหาขนาดประชากร

ระบบสมการเชิงเส้นคือสมการตั้งแต่สองสมการขึ้นไปที่มีตัวแปรหลายตัวซึ่งจำเป็นต้องหาคำตอบร่วมกัน ลำดับตัวเลขที่สมการทั้งหมดกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือพิสูจน์ว่าไม่มีลำดับดังกล่าว

สมการเชิงเส้น

สมการที่อยู่ในรูปแบบ ax+by=c เรียกว่าเชิงเส้น การกำหนด x, y คือสิ่งที่ไม่ทราบค่าซึ่งจะต้องพบ, b, a คือสัมประสิทธิ์ของตัวแปร, c คือเทอมอิสระของสมการ
การแก้สมการโดยพล็อตจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง ซึ่งทุกจุดเป็นคำตอบของพหุนาม

ประเภทของระบบสมการเชิงเส้น

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดถือเป็นระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร X และ Y สองตัว

F1(x, y) = 0 และ F2(x, y) = 0 โดยที่ F1,2 เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) เป็นตัวแปรฟังก์ชัน

แก้ระบบสมการ - นี่หมายถึงการค้นหาค่า (x, y) ที่ระบบเปลี่ยนเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงหรือการสร้างค่าที่เหมาะสมของ x และ y ไม่มีอยู่

คู่ของค่า (x, y) ซึ่งเขียนเป็นพิกัดของจุดเรียกว่าการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ถ้าระบบมีวิธีแก้ปัญหาร่วมกันเพียงวิธีเดียวหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลย จะเรียกว่าเทียบเท่า

ระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่ด้านขวามือเท่ากับศูนย์ ถ้าส่วนขวาหลังเครื่องหมายเท่ากับมีค่าหรือแสดงโดยฟังก์ชัน ระบบดังกล่าวจะไม่เหมือนกัน

จำนวนตัวแปรสามารถมีได้มากกว่า 2 ตัวมาก เราควรพูดถึงตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป

เมื่อต้องเผชิญกับระบบต่างๆ เด็กนักเรียนจะถือว่าจำนวนสมการต้องตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบเสมอไป แต่ไม่ได้เป็นเช่นนั้น จำนวนสมการในระบบไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวแปร สามารถมีได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีการแก้ระบบสมการที่ง่ายและซับซ้อน

ไม่มีวิธีการวิเคราะห์ทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว วิธีการทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาเชิงตัวเลข หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆ เช่น การเรียงสับเปลี่ยน การบวกพีชคณิต การทดแทน รวมถึงวิธีกราฟิกและเมทริกซ์ วิธีแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ภารกิจหลักในการสอนวิธีการแก้ปัญหาคือการสอนวิธีวิเคราะห์ระบบอย่างถูกต้องและค้นหาอัลกอริธึมการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับแต่ละตัวอย่าง สิ่งสำคัญคือไม่ต้องจดจำระบบกฎและการกระทำสำหรับแต่ละวิธี แต่ต้องเข้าใจหลักการของการใช้วิธีเฉพาะ

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นในหลักสูตรการศึกษาทั่วไปชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นค่อนข้างง่ายและอธิบายได้ละเอียดมาก ในตำราคณิตศาสตร์เล่มใดก็ตาม ส่วนนี้ได้รับความสนใจเพียงพอ การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์และแครมเมอร์ได้รับการศึกษาอย่างละเอียดในปีแรกของการศึกษาระดับอุดมศึกษา

การแก้ระบบโดยใช้วิธีทดแทน

การกระทำของวิธีการทดแทนมีวัตถุประสงค์เพื่อแสดงค่าของตัวแปรหนึ่งในรูปของตัวแปรที่สอง นิพจน์จะถูกแทนที่ลงในสมการที่เหลือ จากนั้นจึงลดลงเป็นรูปแบบที่มีตัวแปรเดียว การดำเนินการซ้ำขึ้นอยู่กับจำนวนสิ่งที่ไม่รู้จักในระบบ

ให้เราแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นของคลาส 7 โดยใช้วิธีการทดแทน:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ตัวแปร x ถูกแสดงผ่าน F(X) = 7 + Y ผลลัพธ์ที่ได้ซึ่งถูกแทนที่ในสมการที่ 2 ของระบบแทน X ช่วยให้ได้ตัวแปร Y หนึ่งตัวในสมการที่ 2 . การแก้ตัวอย่างนี้เป็นเรื่องง่ายและช่วยให้คุณได้รับค่า Y ขั้นตอนสุดท้ายคือการตรวจสอบค่าที่ได้รับ

ไม่สามารถแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นด้วยการทดแทนได้เสมอไป สมการอาจซับซ้อนและการแสดงตัวแปรในรูปของค่าที่ไม่ทราบค่าที่สองนั้นยุ่งยากเกินไปสำหรับการคำนวณต่อไป เมื่อมีสิ่งแปลกปลอมในระบบมากกว่า 3 รายการ การแก้ไขด้วยการทดแทนก็ไม่เหมาะสมเช่นกัน

เฉลยตัวอย่างระบบสมการไม่เอกพันธ์เชิงเส้น:

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้การบวกพีชคณิต

เมื่อค้นหาคำตอบของระบบโดยใช้วิธีการบวก สมการจะถูกบวกทีละเทอมและคูณด้วยตัวเลขต่างๆ เป้าหมายสูงสุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์คือสมการในตัวแปรตัวเดียว

การใช้วิธีนี้ต้องอาศัยการฝึกฝนและการสังเกต การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีบวกเมื่อมีตัวแปร 3 ตัวขึ้นไปไม่ใช่เรื่องง่าย การบวกพีชคณิตใช้สะดวกเมื่อสมการประกอบด้วยเศษส่วนและทศนิยม

อัลกอริธึมโซลูชัน:

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนที่กำหนด จากผลการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งของตัวแปรควรเท่ากับ 1
เพิ่มผลลัพธ์ของนิพจน์ทีละเทอมและค้นหาหนึ่งในสิ่งที่ไม่รู้จัก
แทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่ 2 ของระบบเพื่อค้นหาตัวแปรที่เหลือ

วิธีการแก้ปัญหาโดยการแนะนำตัวแปรใหม่

ตัวแปรใหม่สามารถนำมาใช้ได้หากระบบต้องการคำตอบสำหรับสมการไม่เกินสองสมการ และจำนวนที่ไม่ทราบก็ไม่ควรเกินสองสมการด้วย

วิธีการนี้ใช้เพื่อทำให้สมการใดสมการหนึ่งง่ายขึ้นโดยการแนะนำตัวแปรใหม่ สมการใหม่ได้รับการแก้ไขสำหรับค่าที่ไม่รู้จักที่แนะนำ และใช้ค่าผลลัพธ์เพื่อกำหนดตัวแปรดั้งเดิม

ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าด้วยการแนะนำตัวแปรใหม่ t คุณสามารถลดสมการที่ 1 ของระบบให้เป็นตรีโกณมิติกำลังสองมาตรฐานได้ คุณสามารถแก้โจทย์พหุนามได้โดยการหาค่าจำแนก

จำเป็นต้องค้นหาค่าของตัวแยกแยะโดยใช้สูตรที่รู้จักกันดี: D = b2 - 4*a*c โดยที่ D คือตัวจำแนกที่ต้องการ b, a, c คือตัวประกอบของพหุนาม ในตัวอย่างที่ให้มา a=1, b=16, c=39 ดังนั้น D=100 หากตัวแยกแยะมีค่ามากกว่าศูนย์ แสดงว่ามีวิธีแก้ 2 วิธี: t = -b±√D / 2*a หากตัวแยกแยะน้อยกว่า 0 ก็มีวิธีแก้ 1 วิธี: x = -b / 2*a

วิธีแก้ไขสำหรับระบบผลลัพธ์จะพบได้โดยวิธีการบวก

วิธีการแก้ระบบด้วยภาพ

เหมาะสำหรับ 3 ระบบสมการ วิธีการประกอบด้วยการสร้างกราฟของแต่ละสมการที่รวมอยู่ในระบบบนแกนพิกัด พิกัดของจุดตัดกันของเส้นโค้งจะเป็นคำตอบทั่วไปของระบบ

วิธีการแบบกราฟิกมีความแตกต่างหลายประการ ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยภาพ

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่างสำหรับแต่ละบรรทัดมีการสร้างจุดสองจุดค่าของตัวแปร x จะถูกเลือกโดยพลการ: 0 และ 3 ขึ้นอยู่กับค่าของ x พบค่าสำหรับ y: 3 และ 0 จุดที่มีพิกัด (0, 3) และ (3, 0) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนกราฟและเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง

ต้องทำซ้ำขั้นตอนสำหรับสมการที่สอง จุดตัดของเส้นคือคำตอบของระบบ

ตัวอย่างต่อไปนี้จำเป็นต้องค้นหาคำตอบแบบกราฟิกของระบบสมการเชิงเส้น: 0.5x-y+2=0 และ 0.5x-y-1=0

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา เนื่องจากกราฟมีความขนานกันและไม่ตัดกันตลอดความยาวกราฟ

ระบบจากตัวอย่างที่ 2 และ 3 คล้ายกัน แต่เมื่อสร้างเสร็จแล้ว จะเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาต่างกัน ควรจำไว้ว่าเป็นไปไม่ได้เสมอไปที่จะบอกว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาหรือไม่ จำเป็นต้องสร้างกราฟเสมอไป

เมทริกซ์และพันธุ์ของมัน

เมทริกซ์ใช้เพื่อเขียนระบบสมการเชิงเส้นอย่างกระชับ เมทริกซ์เป็นตารางชนิดพิเศษที่เต็มไปด้วยตัวเลข n*m มี n - แถวและ m - คอลัมน์

เมทริกซ์จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสเมื่อจำนวนคอลัมน์และแถวเท่ากัน matrix-vector คือเมทริกซ์ของหนึ่งคอลัมน์ที่มีจำนวนแถวที่เป็นไปได้อย่างไม่สิ้นสุด เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบอยู่ในเส้นทแยงมุมหนึ่งและองค์ประกอบที่เป็นศูนย์อื่นๆ เรียกว่าเอกลักษณ์

เมทริกซ์ผกผันคือเมทริกซ์เมื่อคูณด้วยเมทริกซ์ดั้งเดิมที่กลายเป็นเมทริกซ์หน่วย

กฎสำหรับการแปลงระบบสมการให้เป็นเมทริกซ์

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับระบบสมการ ค่าสัมประสิทธิ์และเงื่อนไขอิสระของสมการจะเขียนเป็นตัวเลขเมทริกซ์ โดยสมการหนึ่งคือหนึ่งแถวของเมทริกซ์

แถวเมทริกซ์จะบอกว่าไม่เป็นศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของแถวไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น หากจำนวนตัวแปรแตกต่างกันในสมการใดๆ ก็จำเป็นต้องป้อนศูนย์แทนค่าที่ไม่รู้จักที่หายไป

คอลัมน์เมทริกซ์ต้องสอดคล้องกับตัวแปรอย่างเคร่งครัด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x สามารถเขียนได้ในคอลัมน์เดียวเท่านั้น เช่น คอลัมน์แรก ค่าสัมประสิทธิ์ของ y ที่ไม่รู้จัก - เฉพาะในคอลัมน์ที่สองเท่านั้น

เมื่อคูณเมทริกซ์ องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะคูณด้วยตัวเลขตามลำดับ

ตัวเลือกสำหรับการค้นหาเมทริกซ์ผกผัน

สูตรในการค้นหาเมทริกซ์ผกผันนั้นค่อนข้างง่าย: K -1 = 1 / |K| โดยที่ K -1 คือเมทริกซ์ผกผันและ |K| คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ |เค| ต้องไม่เท่ากับศูนย์แล้วระบบก็มีทางแก้

ดีเทอร์มิแนนต์คำนวณได้ง่ายสำหรับเมทริกซ์ขนาด 2 x 2 คุณเพียงแค่ต้องคูณองค์ประกอบในแนวทแยงเข้าด้วยกัน สำหรับตัวเลือก "สามคูณสาม" มีสูตร |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ก 3 ข 2 ค 1 . คุณสามารถใช้สูตรหรือจำไว้ว่าคุณต้องนำหนึ่งองค์ประกอบจากแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์เพื่อไม่ให้จำนวนคอลัมน์และแถวขององค์ประกอบซ้ำในการทำงาน

การแก้ตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเมทริกซ์

วิธีเมทริกซ์ในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาช่วยให้คุณลดรายการที่ยุ่งยากเมื่อแก้ระบบที่มีตัวแปรและสมการจำนวนมาก

ในตัวอย่าง nm คือสัมประสิทธิ์ของสมการ เมทริกซ์คือเวกเตอร์ x n คือตัวแปร และ bn คือเทอมอิสระ

การแก้ระบบโดยใช้วิธีเกาส์เซียน

ในคณิตศาสตร์ชั้นสูง วิธีเกาส์เซียนได้รับการศึกษาร่วมกับวิธีแครมเมอร์ และกระบวนการค้นหาคำตอบของระบบเรียกว่าวิธีแก้เกาส์-แครเมอร์ วิธีการเหล่านี้ใช้เพื่อค้นหาตัวแปรของระบบที่มีสมการเชิงเส้นจำนวนมาก

วิธีเกาส์นั้นคล้ายกับวิธีแก้โจทย์โดยการแทนที่และการบวกพีชคณิตมาก แต่จะเป็นระบบมากกว่า ในหลักสูตรของโรงเรียน วิธีแก้แบบเกาส์เซียนจะใช้กับระบบสมการ 3 และ 4 วัตถุประสงค์ของวิธีนี้คือเพื่อลดระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูกลับหัว โดยการแปลงพีชคณิตและการแทนที่ ค่าของตัวแปรหนึ่งจะพบได้ในสมการของระบบใดสมการหนึ่ง สมการที่สองคือนิพจน์ที่มีตัวแปร 2 ตัวที่ไม่รู้จัก ในขณะที่ 3 และ 4 เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร 3 และ 4 ตัวตามลำดับ

หลังจากนำระบบไปสู่รูปแบบที่อธิบายไว้แล้ว วิธีแก้ไขเพิ่มเติมจะลดลงเป็นการทดแทนตัวแปรที่ทราบตามลำดับลงในสมการของระบบ

ในหนังสือเรียนของโรงเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ตัวอย่างของการแก้ปัญหาด้วยวิธีเกาส์มีดังต่อไปนี้:

ดังที่เห็นได้จากตัวอย่าง ในขั้นตอนที่ (3) จะได้สมการสองสมการ: 3x 3 -2x 4 =11 และ 3x 3 +2x 4 =7 การแก้สมการใดๆ จะทำให้คุณสามารถหาตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง x n ได้

ทฤษฎีบทที่ 5 ซึ่งกล่าวถึงในเนื้อหา ระบุว่าหากสมการใดสมการหนึ่งของระบบถูกแทนที่ด้วยสมการที่เทียบเท่ากัน ระบบผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเทียบเท่ากับสมการเดิมด้วย

วิธีเกาส์เซียนเป็นเรื่องยากสำหรับนักเรียนมัธยมต้นที่จะเข้าใจ แต่เป็นวิธีที่น่าสนใจที่สุดวิธีหนึ่งในการพัฒนาความฉลาดของเด็กที่ลงทะเบียนในโปรแกรมการเรียนรู้ขั้นสูงในชั้นเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์

เพื่อความสะดวกในการบันทึก มักจะคำนวณดังนี้:

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและพจน์อิสระเขียนในรูปแบบของเมทริกซ์ โดยที่แต่ละแถวของเมทริกซ์สอดคล้องกับหนึ่งในสมการของระบบ แยกด้านซ้ายของสมการออกจากด้านขวา เลขโรมันระบุจำนวนสมการในระบบ

ขั้นแรก เขียนเมทริกซ์ที่จะใช้ทำงาน จากนั้นจึงดำเนินการทั้งหมดกับแถวใดแถวหนึ่ง เมทริกซ์ผลลัพธ์จะถูกเขียนหลังเครื่องหมาย "ลูกศร" และการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่จำเป็นจะดำเนินต่อไปจนกระทั่งได้ผลลัพธ์

ผลลัพธ์ควรเป็นเมทริกซ์ที่หนึ่งในเส้นทแยงมุมเท่ากับ 1 และค่าสัมประสิทธิ์อื่น ๆ ทั้งหมดเท่ากับศูนย์นั่นคือเมทริกซ์จะลดลงเป็นรูปแบบหน่วย เราต้องไม่ลืมที่จะคำนวณด้วยตัวเลขทั้งสองข้างของสมการ

วิธีการบันทึกนี้ยุ่งยากน้อยกว่าและช่วยให้คุณไม่ต้องเสียสมาธิในการแสดงรายการสิ่งที่ไม่รู้จักมากมาย

การใช้วิธีการแก้ปัญหาใด ๆ ฟรีจะต้องได้รับการดูแลและประสบการณ์บางอย่าง ไม่ใช่ทุกวิธีจะมีลักษณะประยุกต์ วิธีการหาวิธีแก้ปัญหาบางอย่างนั้นเป็นที่นิยมมากกว่าในกิจกรรมเฉพาะของมนุษย์ในขณะที่วิธีอื่นนั้นมีไว้เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษา

วิธีเกาส์เซียนในการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับโดยใช้การแปลงเบื้องต้น และลดให้เป็นสมการสามเหลี่ยมบน (ขั้นหรือรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) จากนั้นพวกเขาก็แก้ระบบตั้งแต่ต้นจนจบโดยแทนที่วิธีแก้ปัญหาที่พบ

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ ซึ่งใช้เป็นข้อมูลอ้างอิงในการเก็บรวบรวมปัญหาโดย V.P. Dubovik, I.I. "คณิตศาสตร์ชั้นสูง".

-------------

แก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

1) มาแปลงระบบเดิมให้เป็นรูปแบบขั้นตอนกัน ในการทำเช่นนี้ จากสมการที่สอง เราลบสมการแรกคูณด้วย 3 และจากสมการที่สี่ลบสมการแรกคูณด้วย 4

จากสมการที่สามที่เรามี เราแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมเพื่อค้นหา

เราแทนค่าที่ได้รับลงในสมการแรก

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามสมการจะเป็นค่าของตัวแปรดังต่อไปนี้

2) เรามีระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสี่ค่า ในกรณีเช่นนี้ ตัวแปรตัวหนึ่งสามารถว่างได้ และส่วนที่เหลือจะแสดงผ่านตัวแปรนั้น ให้เราลดระบบให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบสมการแรกออกจากสมการที่สองและสาม

จากสองสมการสุดท้าย เราได้คำตอบที่เหมือนกัน

หลังจากแทนลงในสมการแรกที่เราได้รับ

สมการนี้เกี่ยวข้องกับตัวแปรสามตัว ดังนั้นตัวแปรใดๆ ก็สามารถแสดงในรูปของตัวแปรอีกสองตัวได้

ดังนั้นเราจึงได้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้

3) เรามีระบบกระจัดกระจายของสมการเชิงเส้นลำดับที่ห้าที่ไม่ทราบค่าห้าตัว มาลดเป็นขั้นตอนกันเถอะ จากสมการที่สองเราลบสมการแรกแล้วเขียนในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการวิเคราะห์

จากสมการที่สองเราจะพบว่า เราแทนค่าลงในสมการที่ต่ำกว่าทั้งหมดและถ่ายโอนค่าเหล่านั้นไปเกินเครื่องหมายเท่ากับ ลองสลับสมการที่สองและสามด้วย

สมการที่สี่และห้ามีค่าเท่ากัน ลองแสดงตัวแปรตัวหนึ่งผ่านอีกตัวแปรหนึ่งกัน

เราแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการที่สองแล้วค้นหา

จากสมการแรกที่เรากำหนด

การแก้ระบบสมการมีดังนี้

เมื่อคำนวณระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์ จำเป็นต้องลดระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปแบบขั้นตอน เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ จะสะดวกในการเขียนตัวแปรไว้ใต้ตัวแปร ดังเช่นในตัวอย่างสุดท้าย สิ่งนี้จะทำให้การแก้ปัญหาเร็วขึ้น ส่วนที่เหลือทั้งหมดขึ้นอยู่กับเมทริกซ์ที่ต้องแก้ไขและทักษะของคุณ

ระบบสมการเชิงเส้น m ที่ไม่มีค่าไม่ทราบเรียกว่าระบบรูป

ที่ไหน ไอจและ ข ฉัน (ฉัน=1,…,ม; ข=1,…,n) คือตัวเลขบางตัวที่รู้จัก และ x 1 ,…,xn– ไม่ทราบ ในการกำหนดสัมประสิทธิ์ ไอจดัชนีแรก ฉันหมายถึงหมายเลขสมการและตัวที่สอง เจ– จำนวนไม่ทราบค่าสัมประสิทธิ์นี้

เราจะเขียนสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในรูปแบบของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะเรียกว่า เมทริกซ์ของระบบ.

ตัวเลขทางด้านขวาของสมการคือ ข 1 ,…,ข มถูกเรียกว่า สมาชิกฟรี

จำนวนทั้งสิ้น nตัวเลข ค 1 ,…,ค นเรียกว่า การตัดสินใจของระบบที่กำหนด ถ้าแต่ละสมการของระบบมีความเท่าเทียมกันหลังจากแทนตัวเลขเข้าไปแล้ว ค 1 ,…,ค นแทนที่จะเป็นสิ่งไม่รู้ที่เกี่ยวข้อง x 1 ,…,xn.

หน้าที่ของเราคือค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาของระบบ ในกรณีนี้อาจเกิดขึ้นได้สามสถานการณ์:

เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นที่มีคำตอบอย่างน้อยหนึ่งคำตอบ ข้อต่อ- มิฉะนั้นนั่นคือ หากระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาก็จะถูกเรียก ไม่ใช่ข้อต่อ.

ลองพิจารณาวิธีการค้นหาวิธีแก้ไขระบบ

วิธีเมทริกซ์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

เมทริกซ์ทำให้สามารถเขียนระบบสมการเชิงเส้นโดยย่อได้ ให้ระบบสมการ 3 สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบ 3 ตัวได้รับ:

พิจารณาเมทริกซ์ของระบบ และคอลัมน์เมทริกซ์ของคำศัพท์ที่ไม่รู้จักและเสรี

หางานกันเถอะ

เหล่านั้น. จากผลคูณเราได้ด้านซ้ายของสมการของระบบนี้ จากนั้นเมื่อใช้คำจำกัดความของความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ ระบบนี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบ

หรือสั้นกว่า ก∙X=ข.

นี่คือเมทริกซ์ กและ บีเป็นที่รู้จักและเมทริกซ์ เอ็กซ์ไม่ทราบ ต้องหาให้เจอเพราะ... องค์ประกอบต่างๆ ของมันคือคำตอบของระบบนี้ สมการนี้เรียกว่า สมการเมทริกซ์.

ให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แตกต่างจากศูนย์ | ก- ≠ 0 จากนั้นสมการเมทริกซ์จะถูกแก้ไขดังนี้ คูณทั้งสองด้านของสมการทางซ้ายด้วยเมทริกซ์ เอ-1, ส่วนผกผันของเมทริกซ์ ก- เนื่องจาก เอ -1 เอ = อีและ อี∙เอ็กซ์ = เอ็กซ์จากนั้นเราจะได้คำตอบของสมการเมทริกซ์ในรูปแบบ X = ก -1 บี .

โปรดทราบว่าเนื่องจากเมทริกซ์ผกผันสามารถพบได้สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น วิธีเมทริกซ์จึงสามารถแก้ได้เฉพาะระบบเหล่านั้นเท่านั้น จำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนไม่ทราบ- อย่างไรก็ตาม การบันทึกเมทริกซ์ของระบบก็สามารถทำได้ในกรณีที่จำนวนสมการไม่เท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ดังนั้นเมทริกซ์ กจะไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงไม่สามารถหาคำตอบของระบบในรูปแบบได้ X = ก -1 บี.

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

กฎของแครเมอร์

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ค่า:

ดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ของระบบ เช่น ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งไม่รู้

เรียกว่า ปัจจัยกำหนดของระบบ.

ลองเขียนดีเทอร์มิแนนต์อีกสามตัวดังนี้: แทนที่คอลัมน์ 1, 2 และ 3 ตามลำดับในดีเทอร์มิแนนต์ D ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ

จากนั้นเราสามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (กฎของแครเมอร์)หากดีเทอร์มิแนนต์ของระบบ Δ ≠ 0 แสดงว่าระบบที่อยู่ระหว่างการพิจารณามีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น และ

การพิสูจน์- ลองพิจารณาระบบสมการ 3 สมการที่ไม่ทราบค่า 3 ตัว ลองคูณสมการที่ 1 ของระบบด้วยส่วนเสริมพีชคณิตกัน เอ 11องค์ประกอบ 11, สมการที่ 2 – บน เอ 21และครั้งที่ 3 – เป็นต้นไป เอ 31:

ลองเพิ่มสมการเหล่านี้:

ลองดูที่วงเล็บแต่ละอันและด้านขวาของสมการนี้กัน ตามทฤษฎีบทการขยายตัวของดีเทอร์มิแนนต์ในองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1

ในทำนองเดียวกัน ก็สามารถแสดงได้ว่า และ

สุดท้ายก็สังเกตเห็นได้ง่ายว่า

ดังนั้นเราจึงได้รับความเท่าเทียมกัน:

เพราะฉะนั้น, .

ความเท่าเทียมกัน และ ได้มาในทำนองเดียวกันซึ่งคำสั่งของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้

ดังนั้นเราจึงทราบว่าหากปัจจัยกำหนดของระบบΔ ≠ 0 แสดงว่าระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและในทางกลับกัน ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของระบบเท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุดหรือไม่มีคำตอบ กล่าวคือ เข้ากันไม่ได้

ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ

วิธีเกาส์

วิธีการที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สามารถใช้เพื่อแก้เฉพาะระบบที่มีจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ และดีเทอร์มิแนนต์ของระบบจะต้องแตกต่างจากศูนย์ วิธีเกาส์เป็นสากลมากกว่าและเหมาะสำหรับระบบที่มีสมการจำนวนเท่าใดก็ได้ ประกอบด้วยการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบออกจากสมการของระบบตามลำดับ

พิจารณาระบบสมการสามสมการที่ไม่ทราบค่าสามค่าอีกครั้ง:

เราจะปล่อยให้สมการแรกไม่เปลี่ยนแปลง และจากสมการที่ 2 และ 3 เราจะแยกคำศัพท์ที่มีอยู่ออก x1- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สองด้วย ก 21 และคูณด้วย – ก 11 แล้วบวกเข้ากับสมการที่ 1 ในทำนองเดียวกัน เราหารสมการที่สามด้วย ก 31 และคูณด้วย – ก 11 แล้วบวกกับอันแรก เป็นผลให้ระบบเดิมจะอยู่ในรูปแบบ:

ตอนนี้จากสมการสุดท้ายเรากำจัดคำที่มี x2- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารสมการที่สามด้วย คูณ และเพิ่มด้วยสมการที่สอง จากนั้นเราจะได้ระบบสมการ:

จากนี้ไปจากสมการที่แล้วก็หาได้ง่ายครับ x3แล้วจากสมการที่ 2 x2และสุดท้ายตั้งแต่วันที่ 1 - x1.

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน สามารถสลับสมการได้หากจำเป็น

บ่อยครั้ง แทนที่จะเขียนระบบสมการใหม่ พวกเขาจำกัดตัวเองให้เขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

แล้วทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมหรือแนวทแยงโดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ถึง การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเมทริกซ์ประกอบด้วยการแปลงต่อไปนี้:

การจัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่
การคูณสตริงด้วยตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์
เพิ่มบรรทัดอื่นลงในหนึ่งบรรทัด

ตัวอย่าง:แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์

ดังนั้นระบบจึงมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนอนันต์

5.1. กฎของแครเมอร์

เมื่อกำหนดคุณสมบัติพื้นฐานและวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของลำดับใด ๆ แล้วให้เรากลับไปสู่งานหลัก - การแก้และศึกษาระบบของสมการลำดับที่ 1 เรามาเริ่มการศึกษาปัญหานี้โดยการวิเคราะห์กรณีหลักเมื่อจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ

ให้เราคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่ 1 ของระบบ (1) ด้วย A 11 - ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ ก 11 ของเมทริกซ์ A เงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่ 2 ของระบบ (1) บน A 21 - ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ ก 21 เมทริกซ์ A ในที่สุดเงื่อนไขทั้งหมดของสมการที่ n ของระบบ (1) บน A n1 - ส่วนเสริมพีชคณิตขององค์ประกอบ ก n1 ของเมทริกซ์ A จากนั้นเราจะได้ระบบ

(1")

ลองบวกสมการของระบบเทอมทีละเทอม เราก็จะได้

(ก i1 เป็น i1)x 1 +( ก i2 เป็น i1)x 2 +...+( กใน A i1)x n =b ฉัน A i1

ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเสริมพีชคณิต เรามี

ก i1 A i1 = เดต A ก i2 และ i1 =0, ........., กใน A i1 = 0

ดังนั้นสมการผลลัพธ์จึงสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

พิจารณาเมทริกซ์

ได้มาจากเมทริกซ์ A โดยการแทนที่องค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระของสมการระบบ เมื่อขยาย det B1 เหนือองค์ประกอบของคอลัมน์ที่ 1 เราจะได้ det B 1 =b i A i1 และด้วยเหตุนี้

ในทำนองเดียวกันการคูณสมการของระบบ (1) ด้วยАі2 (u=1, 2, ... n) แล้วบวกเข้าด้วยกันเราได้รับ

เมื่อทำเช่นนี้ในอนาคต เราจะได้ระบบสมการ

(2),

โดยที่เมทริกซ์ Bk ได้มาจาก A โดยการแทนที่คอลัมน์ kth ด้วยคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ แน่นอนว่า วิธีแก้ปัญหาใดๆ ของระบบ (1) ก็คือวิธีแก้ปัญหาของระบบ (2) เช่นกัน

(3)

จำได้ว่าสูตร (3) ได้มาโดยสมมุติว่าระบบ (1) มีคำตอบ โดยการแทนที่ค่าที่พบของ X i โดยตรงลงในระบบ (1) เราสามารถตรวจสอบได้ว่าค่าเหล่านี้เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1) และดังนั้นภายใต้สมมติฐานที่ว่า
, ระบบ (1) มีวิธีแก้ปัญหา และยิ่งไปกว่านั้น มีวิธีแก้ไขที่ไม่เหมือนใคร

^ ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทของแครเมอร์): ถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบสมการอันดับหนึ่ง n สมการที่ไม่ทราบค่า n ตัวไม่ใช่ศูนย์ แสดงว่าระบบมีคำตอบเฉพาะ ในกรณีนี้ ค่าของค่าไม่ทราบค่าแต่ละตัวจะเท่ากับส่วนของการหารดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทั้งสอง ตัวส่วนประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบ และตัวเศษประกอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้รับ จากเมทริกซ์หลักของระบบโดยการแทนที่คอลัมน์ที่สอดคล้องกับคอลัมน์ที่ไม่รู้จักที่เลือกด้วยคอลัมน์คำศัพท์อิสระ

จากทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามว่าหากระบบสมการเป็นเนื้อเดียวกัน กล่าวคือ พจน์อิสระในสมการทั้งหมดของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ และหากดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ ระบบก็จะเป็นดังนี้ มีเพียงคำตอบที่เป็นศูนย์เท่านั้น อันที่จริง ในกรณีนี้ เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์อยู่ในตัวเศษของสูตร (3) มีคอลัมน์ที่มีเฉพาะศูนย์เท่านั้น ดังนั้น ตัวเลขทั้งหมด X i จึงเท่ากับศูนย์ ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นไปตามสิ่งที่พิสูจน์แล้ว:

^ หากระบบของสมการลำดับที่ 1 ที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมี n ไม่ทราบ มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบจะเท่ากับศูนย์ อันที่จริง ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นี้ไม่เท่ากับศูนย์ ระบบก็จะมีเพียงคำตอบที่เป็นศูนย์เท่านั้น ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข

ต่อไปนี้ เราจะพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกันของดีเทอร์มิแนนต์ของระบบเป็นศูนย์ไม่เพียงแต่เป็นเงื่อนไขบังคับและจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของสารละลายที่ไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น แต่ยังเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของสารละลายดังกล่าวด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสมการเอกพันธ์เท่ากับศูนย์ ระบบจะมีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่ศูนย์ (และคำตอบดังกล่าวมีจำนวนอนันต์)

^ 5.2. การแก้และศึกษาระบบสมการอันดับหนึ่งโดยใช้วิธีกำจัดแบบสมบูรณ์ (วิธีเกาส์)

สูตรของแครมเมอร์ช่วยให้ใช้วิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เพื่อค้นหาค่าตัวเลขของการแก้ระบบสมการในกรณีที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ แต่การนำสูตรเหล่านี้ไปใช้จริงนั้นมีความซับซ้อนในหลายกรณี ประการแรก ควรสังเกตว่าในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้สูตร (3) จำเป็นต้องคำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่ n+1 ซึ่งเป็นงานที่ต้องใช้แรงงานค่อนข้างมาก แม้ว่าจะใช้เทคนิคที่ระบุไว้ใน § 4. แต่สิ่งที่สำคัญที่สุดคือในกรณีที่ให้ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการโดยประมาณ (ในปัญหาจริงสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้นเสมอ) ข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาอาจมีขนาดค่อนข้างใหญ่ สิ่งนี้อธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าคำศัพท์ที่รวมอยู่ในปัจจัยกำหนดแต่ละตัวซึ่งใช้ในการกำหนดวิธีแก้ปัญหาของระบบอาจมีขนาดค่อนข้างใหญ่ (จำไว้ว่าเป็นผลคูณของปัจจัย n - ค่าสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันของเมทริกซ์ขยายของระบบ ) และดีเทอร์มิแนนต์เอง ซึ่งเป็นผลรวมเชิงพีชคณิต เงื่อนไขดังกล่าวอาจมีค่าน้อย แม้ว่าในกรณีที่ทราบค่าสัมประสิทธิ์ในระบบสมการเริ่มต้นอย่างแน่นอน แต่การคำนวณนั้นดำเนินการโดยคำนึงถึงตัวเลขที่มีนัยสำคัญตามจำนวนที่กำหนดเท่านั้นด้วยเหตุผลเดียวกันเราจึงได้รับข้อผิดพลาดที่ค่อนข้างใหญ่ในผลลัพธ์ ดังนั้น ในการแก้ระบบสมการเชิงปฏิบัติ ในกรณีส่วนใหญ่ ระบบสมการจะไม่ใช้สูตรของแครเมอร์ แต่ใช้วิธีการคำนวณแบบอื่น

ในหลักสูตรนี้ เราจะพิจารณาวิธีการกำจัดแบบสมบูรณ์เกี่ยวกับการแก้ระบบสมการลำดับที่ 1 ในกรณีที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ แต่เราจะเริ่มต้นการนำเสนอวิธีนี้ด้วยกรณีหลัก: เมื่อจำนวนสมการตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ

ดังนั้น ขอให้มีระบบสมการ n สมการที่ไม่ทราบค่า n อีกครั้ง:

(1)

เนื่องจากมีค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่า ก i1 แตกต่างจากศูนย์ (ไม่เช่นนั้น x1 จะไม่รวมอยู่ในระบบเลย) และสมการในระบบสามารถสลับกันได้ จากนั้นจึงสรุปได้ว่าโดยไม่มีข้อจำกัดเรื่องทั่วไปใดๆ
ลองหารสมการที่ 1 ของระบบด้วย a11 แล้วนำมาอยู่ในรูปแบบ

การคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการผลลัพธ์ด้วย ai1 แล้วลบออก і สมการของระบบ (1) เราได้ระบบใหม่

(2),

ผม=1, 2, ..., n; k=1, 2, ... , n

เนื่องจากสมการของระบบ (2) ได้มาจากผลรวมเชิงเส้นของสมการของระบบ (1) ดังนั้นคำตอบใดๆ ของระบบ (1) จึงเป็นคำตอบของระบบ (2) เช่นกัน ขณะเดียวกันตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

จากนั้นสมการของระบบ (1) สามารถหาได้จากผลรวมเชิงเส้นของสมการของระบบ (2) ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาใดๆ ของระบบ (2) ก็คือคำตอบของระบบ (1) เช่นกัน ดังนั้นระบบ (1) และ (2) จึงเท่ากัน (ผลรวมเชิงเส้นของสองสมการที่มี 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n =d 1 i โดยที่ 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n =d 2 จะ เรียกสมการ 1 (c 11 x 1 +c 12 x 2 +...+c 1n x n) +2 (c 21 x 1 +c 22 x 2 +...+c 2n x n)= 1 d 1 + 2 d 2 โดยที่ 1 และ 2 เป็นตัวเลข)

ตอนนี้ให้เราเปรียบเทียบดีเทอร์มิแนนต์ D1 และ D2 ของเมทริกซ์หลักของระบบ (1) และ (2) แถวแรกของเมทริกซ์หลักของระบบ (2) จะได้มาจากแถวแรกของเมทริกซ์หลักของระบบ (1) โดยการหารด้วย ก 11. การดำเนินการนี้สอดคล้องกับการหาร D1 ด้วย a11 แถวอื่นได้มาจากการลบออกจากแถวที่สอดคล้องกันของเมทริกซ์หลักของค่าระบบ (1) ที่เป็นสัดส่วนกับแถวแรก การดำเนินการนี้จะไม่เปลี่ยนค่าของดีเทอร์มิแนนต์ ตามมาว่าดีเทอร์มีแนนต์ D2 ของเมทริกซ์หลักของระบบ (2) เท่ากับ - และด้วยเหตุนี้
, ถ้า
และ D2=0 ถ้า D1=0 สุดท้ายนี้ เราทราบว่าเราทำการคำนวณเฉพาะกับสัมประสิทธิ์ของสมการของระบบ (1) เท่านั้น ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเขียนสมการเอง ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนเฉพาะเมทริกซ์แบบขยายของระบบและแปลงเฉพาะองค์ประกอบของเมทริกซ์นี้

เราจะแสดงถึงการเปลี่ยนจากเมทริกซ์แบบขยายหนึ่งไปยังอีกเมทริกซ์หนึ่งซึ่งในความเป็นจริงแล้วคือการเปลี่ยนจากระบบสมการหนึ่งไปเป็นระบบที่เทียบเท่ากับมันโดยใช้สัญลักษณ์ หรือ
. จากนั้นการดำเนินการที่ทำสามารถเขียนได้ดังนี้:

ก่อนอื่นเราจะถือว่าดีเทอร์มีแนนต์ D1 ของเมทริกซ์หลักของระบบ (1) ไม่ใช่ศูนย์ แล้วดังที่กล่าวไว้ข้างต้นว่า
และดังนั้นในกรณีที่รุนแรง ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
(u=1, 2, ... , n) แตกต่างจากศูนย์ เนื่องจากถ้าทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ตัวดีเทอร์มีแนนต์ D2 ของเมทริกซ์หลักของระบบ (2) ก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน

เนื่องจากสมการในระบบ (2) สามารถสลับกันได้ ดังนั้น โดยไม่มีข้อจำกัด เราจึงสามารถสรุปได้ว่า
- ให้เราหารสมการที่ 2 ของระบบ (2) ด้วย
, คูณเส้นผลลัพธ์ด้วย (i=1, 3, 4, ... , n) แล้วลบออกจากเส้นที่ i

แล้วเราก็จะได้

ระบบสมการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ B 3 เทียบเท่ากับระบบ (2) และดังนั้นจึงเป็นระบบดั้งเดิม (1) ดีเทอร์มีแนนต์ D3 ของเมทริกซ์หลักของระบบนี้ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ D2 ไม่ใช่ศูนย์ ดังนั้น ในกรณีที่รุนแรง ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง
(u=3, ... , n) แตกต่างจากศูนย์ และคุณสามารถดำเนินการเหมือนเดิมได้อีกครั้ง ดำเนินความคิดที่คล้ายกันต่อไป หลังจากดำเนินการ n ครั้ง เราก็จะได้เมทริกซ์

ระบบสมการที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ

(3),

ทางออกเดียวคือ (4)

เนื่องจากระบบ (3) เทียบเท่ากับระบบ (1) และมีโซลูชันเฉพาะ ดังนั้นระบบเดิม (1) จึงมีโซลูชันเฉพาะเช่นกัน ซึ่งกำหนดโดยสูตร (4)

ตัวอย่างที่ 1 - แก้ระบบ

สารละลาย

x1=1; x2=-1; x3=0; x4=2

โปรดทราบว่าหากระบบเป็นเนื้อเดียวกัน นั่นคือ ตัวเลขทั้งหมด bi (u=1, 2, ... , n) เท่ากับศูนย์ จากนั้นตัวเลขทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์
ดังนั้น ระบบ (1) ในกรณีนี้จึงมีเพียงคำตอบเป็นศูนย์เท่านั้น

ให้ดีเทอร์มิแนนต์ D1 ของเมทริกซ์หลักของระบบ (1) เท่ากับศูนย์ ถ้าอย่างนั้นก็ไม่สามารถพูดแบบนั้นได้อีกต่อไปในบรรดาตัวเลข
(u=m, m+1, ... , n) ได้รับหลังจากขั้นตอนที่ (m-1) ของการแปลง จะมีค่าที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งค่า ยิ่งไปกว่านั้น ในบางช่วงตัวเลขเหล่านี้ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์อย่างแน่นอน (ไม่เช่นนั้นเราจะเป็นกรณีอื่น) ดังนั้นให้ได้รับเมทริกซ์

ให้เราจัดเรียงคอลัมน์ที่ m-th ของเมทริกซ์ใหม่ไปยังตำแหน่งของคอลัมน์ที่ n และคอลัมน์ทั้งหมดที่ตามหลังคอลัมน์ที่ m-th ยกเว้นคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระ
ลองย้ายไปทางซ้ายหนึ่งที่ (การดำเนินการดังกล่าวหมายถึงการจัดเรียงสิ่งที่ไม่รู้จักใหม่ในสมการของระบบหรือการกำหนดหมายเลขใหม่ซึ่งแน่นอนว่าไม่ได้เปลี่ยนคำตอบของระบบ) เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์

ผม=1, 2, ... , n;

k=m, m+1, ... , n.

เมื่อทำการแปลงแบบเดิมต่อไป เราก็จะได้เมทริกซ์ในที่สุด

(5)

เมทริกซ์ (5) สอดคล้องกับระบบสมการ

(6),

ซึ่งสิ่งที่ไม่รู้จัก แตกต่างจากที่ไม่รู้จัก เอ็กซ์ і ในระบบ (1) โดยการกำหนดหมายเลขเท่านั้น เนื่องจากระบบ (6) เทียบเท่ากับระบบ (1) ดังนั้นข้อสรุปเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของระบบ (1) จึงเท่ากับข้อสรุปเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของระบบ (6)

แน่นอนถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งตัวเลข
(u=k+1, ... , n) ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นสมการของระบบ (6) และสมการของระบบ (1) จึงเข้ากันไม่ได้ ถ้าทั้งหมด (i=k+1, ... , n) เท่ากับศูนย์ แสดงว่าสมการมีความสอดคล้องกัน ขณะเดียวกันก็ไม่ทราบ
สามารถระบุค่าใด ๆ ก็ได้และระบบมีวิธีแก้ไขดังต่อไปนี้:

โดยที่ t1, t2, ... , เต้ ( =n-k) โดยพลการ

เพื่อให้สะดวกในการกลับไปสู่ระบบเดิมของสิ่งที่ไม่ทราบ จึงมีประโยชน์ในการเขียนการกำหนดสิ่งที่ไม่ทราบที่เกี่ยวข้องไว้เหนือคอลัมน์ของเมทริกซ์ที่ได้รับระหว่างการแปลง เรายังชี้ให้เห็นว่าหากระบบเดิม (1) เป็นเนื้อเดียวกัน จำนวนทั้งหมด (u=1, 2, ... , n) จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น จึงมีข้อความสองข้อความต่อไปนี้

1. ระบบสมการเอกพันธ์ลำดับที่ 1 มีความสอดคล้องกันเสมอ

2. ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของระบบสมการเอกพันธ์ลำดับที่ 1 เท่ากับศูนย์ แสดงว่าระบบจะมีคำตอบจำนวนอนันต์

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย

ระบบสมการที่สอดคล้องกับเมทริกซ์ผลลัพธ์มีรูปแบบ:

ระบบมีความสอดคล้อง x4=t เป็นไปตามอำเภอใจ ระบบมีโซลูชั่นจำนวนอนันต์

โดยที่ t คือตัวเลขใดๆ

โปรดทราบว่าหากเงื่อนไขอิสระในสมการแตกต่างจากที่ระบุในเงื่อนไข ระบบอาจไม่เข้ากัน สมมุติว่า b4=1 จากนั้นเมทริกซ์ที่ถูกแปลงของระบบจะเป็น

และสมการสุดท้ายของระบบจะอยู่ในรูปแบบ 0x1+0x2+0x3+0x4=1 ซึ่งไม่สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย.

ระบบเข้ากันได้ x2=t เป็นไปตามอำเภอใจ x1=1-t, x2=t, x3=-2, x4=1

วิธีการวิเคราะห์สามารถถ่ายโอนได้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงในกรณีที่จำนวนที่ไม่ทราบไม่ตรงกับจำนวนสมการ

ครั้งที่สอง ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1.20. แก้ระบบ

ลองคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของระบบกัน

เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบไม่เป็นศูนย์ เราจึงใช้กฎของแครเมอร์ ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของ detB1 เราจะแทนที่คอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบตามคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ
- เรามี

ได้รับดีเทอร์มิแนนต์ detB2 โดยการแทนที่คอลัมน์
ดีเทอร์มิแนนต์ของระบบตามคอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระ:

ตามกฎของแครเมอร์ เราจะพบว่า
;

ชุดตัวเลข (5;-4) เป็นวิธีเดียวสำหรับระบบนี้

1.21. ค้นหาโซลูชันระบบ

ตัวกำหนดสัมประสิทธิ์ของระบบที่ไม่ใช่ศูนย์:

เดตเอ=
=2·3·(-5)+5·(-9) ·2+(-8) ·4·3-(-8) ·3·2-5·4·(-5)-2·3· (-9)=-140

ดังนั้นเราจึงสามารถใช้กฎของแครเมอร์ได้

จากที่นี่เราพบ
;
;

ชุดตัวเลข (3, 2, 1) เป็นเพียงคำตอบเดียวของระบบ

1.22. แก้ระบบ

/IVp+II-I-III/ ~

ง่ายที่จะเห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ของระบบมีค่าเท่ากับศูนย์ เนื่องจากแถวที่ 4 ประกอบด้วยศูนย์ แถวสุดท้ายของเมทริกซ์แบบขยายบ่งชี้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้

1.23. แก้ระบบ

ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบลงไป

/IIp. -2· ฉัน ที่สามหน้า -ฉัน IVp -II-III/ ~
~

/หาร ІІІр. ที่ (-3), IVp. โดย (-3)/

~
/ІІІр. +2· ІІ/ ~

จากผลของการแปลงทั้งหมด ระบบสมการเชิงเส้นนี้จึงลดลงเป็นรูปแบบสามเหลี่ยม

มันมีทางออกเดียวเท่านั้น

x3=1 x4=-1 x2=-2 x1=2 ▲

สมการเข้ากันได้ x4=t เป็นไปตามอำเภอใจ

1.25. ค้นหาโซลูชันระบบ

ระบบมีความสอดคล้อง x4=t เป็นไปตามอำเภอใจ

1.26. แก้ระบบ

ระบบเข้ากันได้ x4=t โดยพลการ x1=t, x2=-2t, x3=0, x4=t
^

§6อันดับเมทริกซ์ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบสมการอันดับหนึ่ง

ในการศึกษาประเด็นต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแก้ระบบสมการอันดับ 1 มักนำแนวคิดนี้ไปใช้ อันดับเมทริกซ์

คำนิยาม.อันดับของเมทริกซ์คือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ของเมทริกซ์ย่อยแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ได้รับจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยการลบบางแถวและคอลัมน์

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเมทริกซ์

การลบแถวและคอลัมน์จำนวนเท่าใดก็เป็นไปไม่ได้ที่จะได้เมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับสูงกว่า 3 จากเมทริกซ์ที่กำหนด ดังนั้นอันดับของมันต้องไม่เกินสาม แต่โดยการขีดฆ่าคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่งออกไป เราจะได้เมทริกซ์จัตุรัสที่มีแถวเหมือนกันสองแถว ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของพวกมันจึงเท่ากับศูนย์ ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงน้อยกว่า 3 ตัวอย่างเช่น โดยการขีดฆ่าคอลัมน์ที่ 3 และ 4 และแถวที่ 3 เราจะได้เมทริกซ์จตุรัส
ซึ่งมีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมดของเมทริกซ์ย่อยลำดับที่ 3 มีค่าเท่ากับศูนย์ แต่ในบรรดาปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์ย่อยลำดับที่ 2 จะมีค่าที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่ด้วย ดังนั้นอันดับของเมทริกซ์ดั้งเดิมจึงเท่ากับสอง

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน: อันดับของเมทริกซ์จะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการดำเนินการเชิงเส้นบนแถว

อันที่จริง การดำเนินการเชิงเส้นกับแถวของเมทริกซ์ใดๆ จะนำไปสู่การดำเนินการเชิงเส้นเดียวกันกับแถวของเมทริกซ์ย่อยใดๆ แต่ตามที่ระบุไว้ข้างต้น ในระหว่างการดำเนินการเชิงเส้นกับแถวของเมทริกซ์จตุรัส ตัวกำหนดของเมทริกซ์เหล่านี้จะได้มาจากกันและกันโดยการคูณด้วยตัวเลขที่แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์ยังคงเป็นศูนย์ และดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ยังคงไม่เป็นศูนย์ นั่นคือลำดับสูงสุดของดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์ย่อยไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ แน่นอนว่า การจัดเรียงคอลัมน์ใหม่จะไม่ส่งผลต่ออันดับของเมทริกซ์ เนื่องจากการจัดเรียงใหม่จะส่งผลต่อเครื่องหมายของปัจจัยที่เกี่ยวข้องเท่านั้น

จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว จะเป็นไปตามว่าเมทริกซ์ที่ถูกแปลงที่พิจารณาในส่วนที่แล้วมีอันดับเดียวกันกับเมทริกซ์ดั้งเดิม ดังนั้น อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบสมการอันดับหนึ่งจึงเท่ากับจำนวนเมทริกซ์บนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ที่ถูกแปลง

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเข้ากันได้ของระบบสมการลำดับที่ 1 (ทฤษฎีบทโครเนกเกอร์-คาเปลลี): เพื่อให้ระบบสมการลำดับที่ 1 เข้ากันได้ ลำดับของเมทริกซ์ขยายจะต้องเกิดขึ้นพร้อมกับลำดับของเมทริกซ์หลักจึงมีความจำเป็นและเพียงพอ

ให้อันดับของเมทริกซ์หลักของระบบเท่ากับ k หากอันดับของเมทริกซ์ขยายของระบบเป็น k เช่นกัน นั่นหมายความว่าระบบมีสมการ k เท่านั้นหรือตัวเลขทั้งหมด
(i= k+1, ... , k) ในเมทริกซ์ที่ถูกแปลงจะเท่ากับศูนย์ (ไม่เช่นนั้นอันดับของเมทริกซ์ขยายของการแปลง ดังนั้นระบบดั้งเดิมจะเป็น k +1)

ปล่อยให้อันดับของเมทริกซ์ขยายที่ถูกแปลงแล้ว (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นค่าดั้งเดิม) ของระบบมีค่ามากกว่า k นั่นคือ มากกว่าจำนวนบนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ที่ถูกแปลงแล้ว จากนั้นจะมีเมทริกซ์ย่อยอย่างน้อยหนึ่งลำดับ (k+1) ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ย่อยดังกล่าวสามารถรับได้โดยการเพิ่มเมทริกซ์เอกลักษณ์ของลำดับ k (ซึ่งอยู่ที่มุมซ้ายบนของเมทริกซ์ที่ถูกแปลง) แถวและคอลัมน์หนึ่งแถว ซึ่งประกอบด้วยเทอมอิสระ k แรกของสมการของระบบที่ถูกแปลง และเทอมอิสระใดๆ จากสมการ n-k ถัดไป เพื่อให้ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ระบุไม่เป็นศูนย์ องค์ประกอบที่เพิ่มล่าสุดนี้ ซึ่งก็คือตัวเลข (i=k+1, ... , k) จะต้องไม่เป็นศูนย์ด้วย แต่ในกรณีนี้ดังที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้
ระบบเข้ากันไม่ได้ ดังนั้น ระบบจึงเข้ากันได้ก็ต่อเมื่ออันดับของเมทริกซ์หลักตรงกับอันดับของเมทริกซ์ขยายเท่านั้น

ครั้งที่สอง ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1.39. คำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยใช้การแปลงเบื้องต้น

ป้ายอยู่ไหน. บ่งชี้ว่าเมทริกซ์ที่เชื่อมต่อกันนั้นได้มาจากการแปลงระดับพื้นฐาน ดังนั้นจึงมีอันดับเดียวกัน

อันดับของเมทริกซ์ A คือ 2 นั่นคือ r=2 -

1.40. ใช้การแปลงเบื้องต้น คำนวณอันดับของเมทริกซ์

ร=3 , เพราะ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยมจากสามคอลัมน์แรกไม่เท่ากับศูนย์

การคำนวณอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีการจัดเฟรม

เราเลือกรายย่อยอันดับสองในเมทริกซ์นี้ซึ่งแตกต่างจากศูนย์ จากนั้นเราจะคำนวณผู้เยาว์ลำดับที่สามที่เฟรม (รวม) ผู้ที่ถูกเลือกจนกว่าเราจะพบผู้เยาว์ที่ไม่ใช่ศูนย์ในหมู่พวกเขา ต่อไป เราจะคำนวณผู้เยาว์ลำดับที่สี่ที่เฟรมผู้เยาว์ลำดับที่สามที่ไม่ใช่ศูนย์ จนกว่าเราจะพบผู้เยาว์ลำดับที่สี่ในหมู่พวกเขา เป็นต้น หากคุณพบค่ารองที่ไม่ใช่ศูนย์ของลำดับ r และผู้เยาว์ทั้งหมดของลำดับ (r+1) ที่อยู่ในกรอบนั้นมีค่าเท่ากับศูนย์หรือไม่มีอยู่อีกต่อไป อันดับของเมทริกซ์จะเท่ากับ r

1.41. คำนวณอันดับเมทริกซ์

∆
ขีดฆ่า III , ตั้งแต่ 2·ІІр. +ฉันคือІІІр

เรามาเลือกกัน เช่น

มาคำนวณผู้เยาว์อันดับที่สามที่จัดเฟรมกัน

รายย่อยของลำดับที่สามแตกต่างจากศูนย์

มีอยู่ในดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สี่ของเมทริกซ์ที่กำหนด ซึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น r=3

1.42. แก้ระบบสมการ

ก) ที่นี่ r(A)=3, r(B)=3; เข้ากันได้กับระบบที่กำหนดไว้

เนื่องจาก
,

จากนั้นเราจะพบจากสามระบบแรกตามสูตรของแครมเมอร์

x1=-1, x2=0, x3=1

b) ที่นี่ r(A)=2, r(B)=2; ระบบเข้ากันได้แต่ไม่ได้กำหนดไว้

ปัจจัยกำหนด

และจากสมการสองตัวแรกของระบบ

โดยที่ค่าที่ไม่รู้จัก x3 และ x4 สามารถให้ค่าใดๆ ก็ได้

c) ในกรณีนี้ r(A)=2, r(B)=3; และระบบเข้ากันไม่ได้

1.43. ใช้วิธีเกาส์ (การกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ) แก้ระบบสมการเอกพันธ์:

และค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ (ในกรณีนี้ ไม่สามารถเขียนคอลัมน์ศูนย์ได้) หลังจากการเปลี่ยนแปลงที่ชัดเจนเราจะได้

นั่นคือระบบที่กำหนดจะเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ในที่นี้ r=3 และสิ่งที่ไม่ทราบทั้งสามสามารถแสดงในรูปของสิ่งหลังได้ เช่น เช่นนี้

x 2 = -2x 3 -3x 4 -9x 5 = -2x 3 -12x 5

x 1 = -2x 2 -3x 3 -4x 4 -5x 5 =x 3 +15x 5

ระบบพื้นฐานสามารถรับได้หากไม่ทราบค่าฟรี x3, x5 ได้รับค่า x3=1, x5=0 (จากนั้น x1=1, x2=-2, x4=0) และค่า x3=0, x5=1 ( จากนั้น x1=15, x2=-12, x4=1) สิ่งนี้ให้ระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน:

จ 1 =(1, -2, 1, 0, 0),จ 2 =(15, -12, 0, 1, 1)

เมื่อใช้ระบบพื้นฐาน คำตอบทั่วไปมักเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบ จ 1 ตา จ 2 นั่นคือ:

1.44. ค้นหาระบบพื้นฐานของคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นแล้วเขียนคำตอบทั่วไปลงไป

ละทิ้งบรรทัดที่สาม ระบบได้ถูกลดขนาดลงเป็นขั้นตอนโดยไม่ทราบข้อมูลหลัก x1, x2 และไม่ทราบข้อมูลฟรี x3, x4:

จากสมการสุดท้าย
- ตั้งแต่ครั้งแรก
มีไม่ทราบค่าฟรี 2 รายการ ดังนั้นเราจึงใช้ปัจจัยลำดับที่สองที่มีองค์ประกอบหน่วยเป็นเส้นทแยงมุมหลักและองค์ประกอบเป็นศูนย์ของเส้นทแยงมุมรอง:
.

ลองหาเวกเตอร์ดู จ 1 = (
)

เวกเตอร์ จ 1 และ จเป็นตัวแทนของระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

ตอนนี้คำตอบทั่วไปสามารถเขียนได้เป็น

การกำหนดสัมประสิทธิ์ , ค่าตัวเลขใด ๆ (โดยพลการ) เราจะได้รับคำตอบบางส่วนต่างๆ

/ลบ IV จากทุกบรรทัด/

เส้นที่ II, III, V ซึ่งเป็นสัดส่วนกับบรรทัดแรกจะถูกขีดฆ่าออก ในเมทริกซ์ผลลัพธ์เราจะจัดเรียงคอลัมน์ I และ II ใหม่:

อันดับของเมทริกซ์คือ 2

ไม่ทราบหลัก x2 และ x1 ฟรี - x3, x4, x5 ตอนนี้ระบบดูเหมือนว่า:

การกำหนดค่าตามลำดับให้กับไม่ทราบค่าอิสระที่เท่ากับองค์ประกอบของคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์

1) x3=1, x4=0, x5=0; 2) x3=0, x4=1, x5=0; 3) x3=0, x4=0, x5=1

1) x2=1, x1=1; 2) x2=1, x1=-2; 3) x2=-2, x1=1

นั่นคือเวกเตอร์ C 1 = (1, 2, 1, 0, 0)

ค 2 =(-2, 1, 0, 1, 0)

ค 3 =(1, -2, 0, 0, 1)

ถือเป็นระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบจะยังคงอยู่

เมทริกซ์สัมประสิทธิ์

มีอันดับ r=2 (ตรวจสอบ)

มาเลือกสำหรับผู้เยาว์ขั้นพื้นฐานกัน

จากนั้นระบบรีดิวซ์จะมีรูปแบบ:

โดยที่การนับ x3=c1, x4=c2, x5=c3 เราพบ

โซลูชั่นทั่วไปของระบบ

จากวิธีแก้ปัญหาทั่วไป เราจะพบระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา

เมื่อใช้ระบบพื้นฐานก็สามารถเขียนคำตอบทั่วไปได้

อี=с1e1+с2e2+с3e3
^

§7 การดำเนินการพื้นฐานกับเมทริกซ์

ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ มีการใช้การดำเนินการเชิงเส้นกับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ต่างๆ อย่างกว้างขวาง แต่ในบางคำถามเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น จำเป็นต้องพิจารณาการดำเนินการกับเมทริกซ์เช่นเดียวกับวัตถุชิ้นเดียว

การศึกษาการดำเนินการกับเมทริกซ์จะขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ เราจะดำเนินการต่อจากนี้ คำจำกัดความ: เมทริกซ์สองตัวที่มีมิติเดียวกันจะเท่ากันถ้าองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องกันทั้งหมดเท่ากัน

ดังนั้น เมทริกซ์ A และ B ที่มีมิติเดียวกัน nxm จะเท่ากันก็ต่อเมื่อ Aik=Bik i=1, 2,... , n; k=1, 2,... , ม. ในเวลาเดียวกัน เราขอย้ำอีกครั้งว่าสามารถเปรียบเทียบได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันเท่านั้น

ผลรวมของเมทริกซ์ A และ B สองตัวที่มีมิติเดียวกัน nxm คือเมทริกซ์ C ที่มีมิติเดียวกัน โดยที่

ดังนั้น เมื่อเพิ่มเมทริกซ์ (คุณสามารถเพิ่มได้เฉพาะเมทริกซ์ที่มีมิติเดียวกันเท่านั้น) คุณต้องเพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องทั้งหมด

เนื่องจากการเพิ่มเมทริกซ์ช่วยลดการบวกตัวเลข - องค์ประกอบของเมทริกซ์เหล่านี้จึงเห็นได้ชัดว่ามีคุณสมบัติสับเปลี่ยนและเชื่อมโยง

ก+บี=บี+เอ; (A+B)+C=A+(B+C) (2)

ผลคูณของเมทริกซ์ A และจำนวน  (หรือจำนวน  และเมทริกซ์ A) คือเมทริกซ์ B เช่นนั้น

(B) ฉัน = ï (A) ฉัน (3)

นั่นคือเมื่อคูณเมทริกซ์ด้วยตัวเลข (หรือตัวเลขด้วยเมทริกซ์) องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์จะต้องคูณด้วยตัวเลขนี้ โปรดจำไว้ว่าเมื่อคูณด้วยจำนวนเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ก็เพียงพอที่จะคูณเฉพาะองค์ประกอบของแถว (หรือคอลัมน์) ด้วยตัวเลขนี้เท่านั้น

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าเมื่อเมทริกซ์คูณด้วยตัวเลข คุณสมบัติการแจกแจงจะคงอยู่:

`(A+B)=`A+`B; (`+)=`A+B (4)

ให้เรานิยามผลคูณของเมทริกซ์สองตัวกัน ให้เมทริกซ์ A ของมิติ nxm และเมทริกซ์ B ของมิติ mxp ได้รับ

คำนิยาม. ผลคูณของเมทริกซ์ A ของมิติ nxm โดยเมทริกซ์ B ของมิติ mxp คือเมทริกซ์ C ของมิติ nxp โดยที่

(5),

กล่าวอีกนัยหนึ่งเพื่อให้ได้องค์ประกอบที่อยู่ในแถวที่ i และในคอลัมน์ที่ k ของเมทริกซ์ผลคูณคุณต้องคำนวณผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบของแถวที่ i ของปัจจัยแรก และองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของคอลัมน์ที่ k ของตัวประกอบที่สอง ดังนั้นเพื่อที่จะบวกผลรวมที่ระบุได้ จำนวนคอลัมน์ในเมทริกซ์แรก (นั่นคือ จำนวนองค์ประกอบในแต่ละแถว) จะต้องเท่ากับจำนวนแถวในอีกเมทริกซ์หนึ่ง (นั่นคือ จำนวน ขององค์ประกอบในแต่ละคอลัมน์)

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหา AB

สารละลาย. เมทริกซ์ A มีขนาด 3x2 เมทริกซ์ B มีขนาด 2x2 มีผลิตภัณฑ์อยู่ - เป็นเมทริกซ์ขนาด 3x2

ผลคูณของเมทริกซ์ไม่มีคุณสมบัติที่สามารถสับเปลี่ยนได้: AB พูดโดยทั่วไปแล้ว ไม่เท่ากับ BA

ประการแรก จากข้อเท็จจริงที่ว่า AB สามารถคำนวณได้ ไม่ได้เป็นไปตามที่ BA สมเหตุสมผลเลย ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างที่เพิ่งพูดถึงไป การจัดเรียงตัวประกอบใหม่ซึ่งก็คือการคูณ B ด้วย A นั้นเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากเป็นไปไม่ได้ที่จะคูณเมทริกซ์ขนาด 2x2 ด้วยเมทริกซ์ขนาด 3x2 - จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ตัวแรกตรงนี้ไม่เท่ากับ จำนวนแถวของแถวอื่น แต่ถึงแม้ว่าผลิตภัณฑ์ BA นั้นมีอยู่บ่อยครั้งก็ตาม
- ลองดูตัวอย่าง

อนุญาต
- แล้ว

ในขณะเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ได้ (เราขอแนะนำให้ผู้อ่านทำการพิสูจน์ดังกล่าว)

(AB)C=A(BC) (6)

A(B+C)=AB+เอซี

(มักสันนิษฐานว่างานทั้งหมดนี้มีความหมาย)

ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ เป็นไปได้ที่จะคูณเมทริกซ์กำลังสองที่มีลำดับเดียวกันเสมอ และผลิตภัณฑ์นั้นจะเป็นเมทริกซ์ที่มีลำดับเดียวกัน ให้เราทราบโดยไม่ต้องพิสูจน์คุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งของผลิตภัณฑ์ของเมทริกซ์จตุรัสที่มีลำดับเดียวกัน: ดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์สองตัวที่อยู่ในลำดับเดียวกันจะเท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่คูณกัน

บ่อยครั้งเราต้องพิจารณาผลคูณของเมทริกซ์ขนาด nxm ด้วยเมทริกซ์ขนาด mx1 นั่นคือเมทริกซ์ที่มีหนึ่งคอลัมน์ แน่นอนว่าเราควรจะได้เมทริกซ์ที่มีมิติ nx1 ซึ่งก็คือเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เดียวด้วย ตัวอย่างเช่น คุณต้องคูณเมทริกซ์

ถึงเมทริกซ์

เป็นผลให้เราได้เมทริกซ์
องค์ประกอบที่คำนวณโดยใช้สูตร:

แต่นั่นหมายความว่าระบบสมการลำดับที่ 1 ที่อภิปรายในย่อหน้าก่อนหน้าสามารถเขียนได้ในรูปแบบเมทริกซ์ที่สะดวกมาก: AX=B

เมทริกซ์จัตุรัสมีบทบาทสำคัญในการประยุกต์ใช้พีชคณิตเมทริกซ์แบบต่างๆ โดยที่องค์ประกอบในแนวทแยงทั้งหมด (นั่นคือ องค์ประกอบที่อยู่ในเส้นทแยงมุมหลัก) มีค่าเท่ากับ 1 และองค์ประกอบอื่นๆ ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ แน่นอน ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์

= 1

คุณสมบัติของเมทริกซ์เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้เป็นคุณลักษณะ: ให้เมทริกซ์จัตุรัส A ของลำดับ n และเมทริกซ์หน่วย E ที่มีลำดับเดียวกัน จากนั้น AE=EA=A

จริงหรือ
, แต่

ดังนั้นโดยรวมแล้ว
เฉพาะส่วนประกอบที่ e=k แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้น (AE) ік =(A) ік และด้วยเหตุนี้ AE=A เราได้รับในทำนองเดียวกันสำหรับผลิตภัณฑ์ EA

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

1.61. ค้นหาผลิตภัณฑ์ AB และ BA ของเมทริกซ์สองตัว

∆ ไม่มีผลคูณ AB เนื่องจากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ A ไม่เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ B จำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์ B เท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ A ดังนั้น มีผลิตภัณฑ์ BA อยู่:

1.62. ค้นหาเมทริกซ์ 2A+5B ถ้า

1. วิธีการทดแทน: จากสมการใดๆ ของระบบ เราจะแสดงสมการที่ไม่รู้จักผ่านอีกสมการหนึ่งและแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ

งาน.แก้ระบบสมการ:

สารละลาย.จากสมการแรกของระบบที่เราแสดงออก ที่ผ่าน เอ็กซ์และแทนที่มันลงในสมการที่สองของระบบ มาวางระบบกันเถอะ เทียบเท่ากับของเดิม

หลังจากนำข้อกำหนดที่คล้ายกันมา ระบบจะอยู่ในรูปแบบ:

จากสมการที่สองเราพบว่า: . แทนค่านี้ลงในสมการ ที่ = 2 - 2เอ็กซ์เราได้รับ ที่= 3 ดังนั้น ผลเฉลยของระบบนี้คือตัวเลขคู่หนึ่ง

2. วิธีการบวกพีชคณิต: เมื่อบวกสองสมการ คุณจะได้สมการที่มีตัวแปรตัวเดียว

งาน.แก้สมการของระบบ:

สารละลาย.เมื่อคูณทั้งสองข้างของสมการที่สองด้วย 2 เราจะได้ระบบ เทียบเท่ากับของเดิม เมื่อบวกสมการทั้งสองของระบบนี้ เราก็มาถึงระบบ

หลังจากนำคำที่คล้ายกันมาใช้แล้ว ระบบนี้จะอยู่ในรูปแบบ: จากสมการที่สองที่เราพบ แทนค่านี้เป็นสมการที่ 3 เอ็กซ์ + 4ที่= 5 เราได้ , ที่ไหน . ดังนั้นคำตอบของระบบนี้คือเลขคู่