การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียน แผนการแบ่งแยกเดี่ยว

เมื่อแก้ระบบสมการ

วิธีเกาส์เซียนเวอร์ชันที่ง่ายที่สุดส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ เหตุผลก็คือการปรากฏตัวของค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่ การปัดเศษซึ่งส่งผลให้เกิดข้อผิดพลาดสัมบูรณ์ขนาดใหญ่ D ~ 0.5 ในทางกลับกัน จะได้ค่าสัมประสิทธิ์ขนาดใหญ่หลังจากหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์นำที่มีขนาดเล็ก .

บทสรุป:เพื่อลดผลกระทบของข้อผิดพลาดในการปัดเศษ คุณต้องเลือกองค์ประกอบนำหน้าที่ไม่เพียงแค่แตกต่างจาก 0 แต่ยังมีขนาดใหญ่เพียงพอด้วย

การปรับเปลี่ยนวิธีของเกาส์ครั้งแรก– ค้นหาด้วยสตริง ในอัลกอริทึม ต้องเลือกองค์ประกอบนำหน้าจากเงื่อนไข

ขาดการปรับเปลี่ยน สมมติว่า x i พบโดยมีข้อผิดพลาดเป็น D จากนั้นเมื่อค้นหา x s ใดๆ จำเป็นต้องคูณตามสูตรผกผันตามสูตรผกผัน ในกรณีนี้ ข้อผิดพลาด D จะถูกคูณด้วย หากค่ามีขนาดใหญ่ ข้อผิดพลาดจะเพิ่มขึ้น

บทสรุป:จำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าองค์ประกอบนำไม่ได้มีเพียงขนาดใหญ่ แต่เป็นโมดูโลที่ใหญ่ที่สุดในสายผลิตภัณฑ์ จากนั้น เมื่อทำให้เส้นนำเป็นมาตรฐาน ค่าสัมประสิทธิ์อื่นๆ ทั้งหมดตามสูตร (5) จะน้อยกว่า 1 ในค่าสัมบูรณ์ และข้อผิดพลาดจะเป็น ลด.

การแก้ไขวิธีเกาส์ครั้งที่สอง– ค้นหาตามคอลัมน์ สามารถตอบสนองข้อกำหนดนี้ได้หากสิ่งที่ไม่รู้จัก x i ถูกแยกออกในลำดับแบบสุ่ม และมีการค้นหาบรรทัดนำ โดยส่งมอบ นี่จะเป็นองค์ประกอบนำถัดไป หลังจากกำหนดองค์ประกอบนำแล้ว ให้สลับค่า k-th และ r-th คอลัมน์.

ความสนใจ.ด้วยการแทนที่ดังกล่าว การกำหนดหมายเลขของสิ่งที่ไม่รู้จัก x i จะเปลี่ยนไป เพื่อให้แน่ใจว่าจะมีการแทนที่ดังกล่าว จำเป็นต้องป้อนอาร์เรย์ p 1 ,…p n ด้วยจำนวนจริงของสิ่งที่ไม่ทราบระหว่างการเขียนโปรแกรม ที่จุดเริ่มต้นของจังหวะไปข้างหน้า ค่า p i = i ทั้งหมดจะเป็นเลขตามปกติ หลังจากหาองค์ประกอบนำแล้ว ให้สลับ p k และ p r ในระหว่างการตีกลับ x i จะถูกคำนวณโดยใช้สูตร (7) หลังจากคำนวณสิ่งแปลกปลอมทั้งหมดแล้วเราต้องใส่ ย]:=x[i]และอาร์เรย์ คุณ[i]จะเป็นทางออกสุดท้ายของปัญหา

การปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์ครั้งที่สาม– ค้นหาแบบเต็ม องค์ประกอบการนำส่งถูกเลือกเป็นผู้นำ ในกรณีนี้ คอลัมน์ k-th และ r-th, p k และ p r รวมถึงแถว m-th และ k-th จะถูกสลับกัน การปรับเปลี่ยนนี้ให้ความแม่นยำสูงสุด แต่ก็ซับซ้อนที่สุดเช่นกัน

การประยุกต์วิธีเกาส์เพื่อแก้ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นต่างๆ

1. การผกผันเมทริกซ์ปล่อยให้จำเป็นต้องคำนวณเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์จตุรัส A ให้เราแสดงว่า X = A –1 ดังที่คุณทราบ AX = I โดยที่ I คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ โดยที่ 1s อยู่ในแนวทแยง และองค์ประกอบที่เหลือคือ 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง คอลัมน์ i-th ของเมทริกซ์ I เท่ากับ

(1 อยู่ในอันดับที่ i) ให้ x (i) เป็นคอลัมน์ที่ i ของเมทริกซ์ X จากนั้น ตามกฎการคูณเมทริกซ์ (แถวจะคูณด้วยคอลัมน์) เราจะได้ A x (i) = e (i) นี่หมายความว่าในการกลับเมทริกซ์ที่เราต้องแก้ nระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์เหมือนกันและมีด้านขวาต่างกัน:

โอ้ = จ (1) ; โอ้ = จ (2) ; …; โอ้ = จ (n) . (2.1)

หลังจากแก้ไขระบบเหล่านี้แล้ว เราพบว่าคำตอบที่พบ x (1), x (2), ..., x (n) คือคอลัมน์ของเมทริกซ์ A –1

2. การคำนวณปัจจัยกำหนดในกระบวนการแปลงเมทริกซ์ A เป็นรูปแบบสามเหลี่ยมโดยใช้วิธี Gaussian เราได้ดำเนินการดังต่อไปนี้:

1) จัดเรียงแถวหรือคอลัมน์ใหม่ขึ้นอยู่กับการแก้ไขวิธีการ

2) แบ่งเส้นนำด้วยองค์ประกอบนำที่ไม่ใช่ศูนย์

3) เพิ่มแถวนำหน้าคูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งลงในแถวของเมทริกซ์

ดังที่ทราบกันดีว่าในระหว่างการแปลงค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จะผ่านการเปลี่ยนแปลงที่สอดคล้องกัน:

1) เครื่องหมายการเปลี่ยนแปลง;

2) ถูกหารด้วยองค์ประกอบเดียวกัน

3) ไม่เปลี่ยนแปลง

หลังจากการเคลื่อนไปข้างหน้า เมทริกซ์ A จะถูกลดขนาดเป็นรูปแบบสามเหลี่ยมด้านบน โดยมีเมทริกซ์อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 1 อย่างเห็นได้ชัด เมื่อพิจารณาถึงการเปลี่ยนแปลงที่ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เกิดขึ้นระหว่างกระบวนการเปลี่ยนแปลง เรามีสูตรต่อไปนี้:

det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n ,

โดยที่ j j เป็นองค์ประกอบนำหน้า s คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของแถวและ/หรือคอลัมน์เมื่อค้นหาองค์ประกอบนำหน้า

คำถามทดสอบและงาน

1. ด้วยตนเองใช้วิธีเกาส์เซียน (พร้อมการค้นหาในแถว คอลัมน์ ตลอดทั้งเมทริกซ์ - ขึ้นอยู่กับตัวเลือกงาน) สำหรับระบบสมการที่กำหนด

และทำงานต่อไปนี้ให้เสร็จสิ้น

1) แก้ระบบสมการนี้

2) คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ของระบบนี้ ( วิธีเกาส์เซียน– ดูหน้า 2 ).

3) กลับเมทริกซ์ของระบบนี้ ( วิธีเกาส์เซียน– ดูหน้า 1 ).

ในอนาคตให้ใช้ผลการแก้ปัญหานี้เป็นตัวอย่างทดสอบ

2. สร้างโปรแกรมสำหรับแก้ระบบเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียน (พร้อมค้นหาแถว คอลัมน์ ตลอดทั้งเมทริกซ์ - ขึ้นอยู่กับเวอร์ชันของงาน) และดำเนินการผกผันเมทริกซ์โดยใช้โปรแกรมนี้

เรายังคงพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นต่อไป บทเรียนนี้เป็นบทเรียนที่สามในหัวข้อ หากคุณมีความคิดที่คลุมเครือว่าโดยทั่วไปแล้วระบบสมการเชิงเส้นคืออะไรหากคุณรู้สึกเหมือนกาน้ำชาฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยพื้นฐานในหน้าถัดไปการศึกษาบทเรียนจะมีประโยชน์

วิธีเกาส์เซียนนั้นง่ายมาก!ทำไม โยฮันน์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียงในช่วงชีวิตของเขา ได้รับการยอมรับว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล เป็นอัจฉริยะ และแม้แต่ฉายาว่า "ราชาแห่งคณิตศาสตร์" และอย่างที่ทราบกันดีว่าทุกสิ่งนั้นเรียบง่าย!อย่างไรก็ตาม ไม่เพียงแต่คนดูดเท่านั้นที่ได้รับเงิน แต่ยังเป็นอัจฉริยะด้วย - รูปของ Gauss อยู่บนธนบัตร 10 Deutschmark (ก่อนที่จะมีการนำเงินยูโรมาใช้) และ Gauss ยังคงยิ้มอย่างลึกลับให้กับชาวเยอรมันจากแสตมป์ธรรมดา

วิธีเกาส์นั้นเรียบง่าย โดยที่ความรู้ของนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ก็เพียงพอที่จะเชี่ยวชาญได้ คุณต้องรู้วิธีบวกและคูณ!ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่ครูมักจะพิจารณาวิธีการแยกสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับในวิชาเลือกคณิตศาสตร์ของโรงเรียน แม้จะขัดแย้งกัน แต่นักเรียนพบว่าวิธีแบบเกาส์เซียนเป็นวิธีที่ยากที่สุด ไม่มีอะไรน่าแปลกใจ - ทั้งหมดนี้เกี่ยวกับวิธีการและฉันจะพยายามพูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึมของวิธีการในรูปแบบที่สามารถเข้าถึงได้

ก่อนอื่น มาจัดระบบความรู้เล็กๆ น้อยๆ เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นกันก่อน ระบบสมการเชิงเส้นสามารถ:

1) มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร 2) มีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุด 3) ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เป็น ไม่ใช่ข้อต่อ).

วิธีเกาส์เป็นเครื่องมือสากลที่ทรงพลังที่สุดในการค้นหาวิธีแก้ปัญหา ใดๆระบบสมการเชิงเส้น อย่างที่เราจำได้ กฎของแครมเมอร์และวิธีเมทริกซ์ไม่เหมาะสมในกรณีที่ระบบมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดหรือไม่สอดคล้องกัน และวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้ตามลำดับ ถึงอย่างไรจะนำเราไปสู่คำตอบ! ในบทนี้ เราจะพิจารณาวิธีเกาส์อีกครั้งสำหรับกรณีที่ 1 (ทางออกเดียวของระบบ) บทความเกี่ยวกับสถานการณ์ในประเด็นที่ 2-3 ฉันทราบว่าอัลกอริทึมของวิธีการนั้นทำงานเหมือนกันในทั้งสามกรณี

กลับสู่ระบบที่ง่ายที่สุดจากบทเรียน จะแก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร?แล้วแก้ด้วยวิธีเกาส์เซียน

ขั้นตอนแรกคือการเขียนลงไป เมทริกซ์ระบบขยาย- ฉันคิดว่าทุกคนสามารถเห็นได้ว่าหลักการใดที่เขียนค่าสัมประสิทธิ์ เส้นแนวตั้งภายในเมทริกซ์ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์ใดๆ แต่เป็นเพียงเส้นขีดทับเพื่อความสะดวกในการออกแบบ

อ้างอิง : ฉันขอแนะนำให้คุณจำไว้ เงื่อนไข พีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ระบบ เป็นเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบค่าเท่านั้น ในตัวอย่างนี้คือเมทริกซ์ของระบบ: . เมทริกซ์ระบบขยาย – นี่คือเมทริกซ์เดียวกันของระบบบวกกับคอลัมน์ของพจน์อิสระ ในกรณีนี้: - เพื่อความกระชับ เมทริกซ์ใดๆ สามารถเรียกง่ายๆ ว่าเมทริกซ์ได้

หลังจากเขียนเมทริกซ์ระบบแบบขยายแล้วจำเป็นต้องดำเนินการบางอย่างกับเมทริกซ์ซึ่งเรียกอีกอย่างว่า การเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น.

มีการแปลงเบื้องต้นดังต่อไปนี้:

1) สตริงเมทริกซ์ สามารถ จัดเรียงใหม่ในบางสถานที่ ตัวอย่างเช่น ในเมทริกซ์ที่กำลังพิจารณา คุณสามารถจัดเรียงแถวแรกและแถวที่สองใหม่ได้อย่างง่ายดาย:

2) หากมี (หรือปรากฏ) แถวที่เป็นสัดส่วน (เป็นกรณีพิเศษ - เหมือนกัน) ในเมทริกซ์ คุณควร ลบแถวทั้งหมดนี้มาจากเมทริกซ์ยกเว้นแถวเดียว ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาเมทริกซ์ - ในเมทริกซ์นี้ สามแถวสุดท้ายเป็นสัดส่วน ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะเหลือเพียงแถวเดียว: .

3) หากแถวศูนย์ปรากฏในเมทริกซ์ระหว่างการแปลงก็ควรจะเป็นเช่นนั้นด้วย ลบ- ฉันจะไม่วาด แน่นอน เส้นศูนย์คือเส้นที่ ศูนย์ทั้งหมด.

4) แถวเมทริกซ์สามารถเป็นได้ คูณ (หาร)ไปยังหมายเลขใดก็ได้ ไม่ใช่ศูนย์- พิจารณาเมทริกซ์ เช่น ขอแนะนำให้หารบรรทัดแรกด้วย –3 และคูณบรรทัดที่สองด้วย 2: - การกระทำนี้มีประโยชน์มากเพราะจะทำให้การแปลงเมทริกซ์เพิ่มเติมง่ายขึ้น

5) การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้เกิดความยากลำบากมากที่สุด แต่จริงๆ แล้วไม่มีอะไรซับซ้อนเช่นกัน คุณสามารถไปยังแถวของเมทริกซ์ได้ เพิ่มสตริงอื่นคูณด้วยตัวเลขแตกต่างจากศูนย์ ลองดูเมทริกซ์ของเราจากตัวอย่างเชิงปฏิบัติ: ก่อนอื่น ผมจะอธิบายการเปลี่ยนแปลงโดยละเอียด คูณบรรทัดแรกด้วย –2: , และ ไปที่บรรทัดที่สองเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย –2: - ตอนนี้บรรทัดแรกสามารถแบ่ง "back" ด้วย –2: อย่างที่คุณเห็นบรรทัดที่ถูกเพิ่ม ลี – ยังไม่เปลี่ยนแปลง. เสมอบรรทัดที่เพิ่มการเปลี่ยนแปลง ยูทาห์.

แน่นอนว่าในทางปฏิบัติพวกเขาไม่ได้เขียนรายละเอียดเช่นนั้น แต่เขียนสั้น ๆ : อีกครั้ง: ไปที่บรรทัดที่สอง เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –2- เส้นมักจะถูกคูณด้วยวาจาหรือแบบร่าง โดยกระบวนการคำนวณทางจิตจะเป็นดังนี้:

“ฉันเขียนเมทริกซ์ใหม่และเขียนบรรทัดแรกใหม่: »

“คอลัมน์แรก. ที่ด้านล่างฉันต้องได้ศูนย์ ดังนั้นฉันจึงคูณอันที่ด้านบนด้วย –2: และเพิ่มอันแรกในบรรทัดที่สอง: 2 + (–2) = 0 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

“ตอนนี้คอลัมน์ที่สอง ที่ด้านบน ฉันคูณ -1 ด้วย -2: ฉันเพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง: 1 + 2 = 3 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

“และคอลัมน์ที่สาม ที่ด้านบนฉันคูณ -5 ด้วย -2: ฉันเพิ่มบรรทัดแรกในบรรทัดที่สอง: –7 + 10 = 3 ฉันเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง: »

โปรดเข้าใจตัวอย่างนี้อย่างถี่ถ้วนและเข้าใจอัลกอริธึมการคำนวณตามลำดับ หากคุณเข้าใจ วิธีเกาส์เซียนก็อยู่ในกระเป๋าของคุณ แต่แน่นอนว่าเราจะยังคงดำเนินการเปลี่ยนแปลงนี้ต่อไป

การแปลงเบื้องต้นไม่ได้เปลี่ยนคำตอบของระบบสมการ

- ความสนใจ: ถือเป็นการบิดเบือน ไม่สามารถใช้งานได้หากคุณได้รับมอบหมายงานให้เมทริกซ์ "ด้วยตัวเอง" เช่น คำว่า “คลาสสิก” การดำเนินการกับเมทริกซ์ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม คุณไม่ควรจัดเรียงสิ่งใดๆ ภายในเมทริกซ์ใหม่! กลับมาที่ระบบของเรากันเถอะ มันถูกนำไปเป็นชิ้น ๆ

ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบและลดขนาดลงเป็นโดยใช้การแปลงเบื้องต้น มุมมองขั้นบันได:

(1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 และอีกครั้ง: ทำไมเราถึงคูณบรรทัดแรกด้วย –2? เพื่อให้ได้ศูนย์ที่ด้านล่างสุด ซึ่งหมายถึงการกำจัดตัวแปรตัวหนึ่งในบรรทัดที่สอง

(2) หารบรรทัดที่สองด้วย 3

จุดประสงค์ของการแปลงเบื้องต้น – ลดเมทริกซ์ให้เป็นรูปแบบขั้นตอน: - ในการออกแบบงานพวกเขาเพียงทำเครื่องหมาย "บันได" ด้วยดินสอง่ายๆ และวงกลมตัวเลขที่อยู่บน "บันได" คำว่า "มุมมองแบบขั้นบันได" นั้นไม่ได้เป็นคำเชิงทฤษฎีทั้งหมด แต่มักเรียกกันในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์และการศึกษา มุมมองสี่เหลี่ยมคางหมูหรือ มุมมองสามเหลี่ยม.

จากการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นเราได้รับ เทียบเท่าระบบสมการดั้งเดิม:

ตอนนี้ระบบจะต้อง "คลาย" ในทิศทางตรงกันข้าม - จากล่างขึ้นบนเรียกว่ากระบวนการนี้ ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ในสมการด้านล่าง เราได้ผลลัพธ์สำเร็จรูปแล้ว: .

ลองพิจารณาสมการแรกของระบบและแทนที่ค่า "y" ที่ทราบอยู่แล้วลงไป:

ลองพิจารณาสถานการณ์ที่พบบ่อยที่สุด เมื่อวิธีเกาส์เซียนต้องใช้การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวโดยไม่ทราบค่าสามตัว

ตัวอย่างที่ 1

แก้ระบบสมการโดยใช้วิธีเกาส์:

ลองเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ:

ตอนนี้ฉันจะวาดผลลัพธ์ที่เราจะได้รับระหว่างการแก้ปัญหาทันที: และผมขอย้ำอีกครั้งว่า เป้าหมายของเราคือทำให้เมทริกซ์อยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น จะเริ่มตรงไหน?

ขั้นแรก ให้ดูที่หมายเลขด้านซ้ายบน: ควรจะอยู่ที่นี่เกือบตลอดเวลา หน่วย- โดยทั่วไปแล้ว –1 (และบางครั้งก็เป็นตัวเลขอื่นๆ) จะทำได้เช่นกัน แต่อย่างใด โดยปกติแล้วมักจะเกิดเหตุการณ์ที่เลขหนึ่งถูกวางไว้ตรงนั้น จะจัดหน่วยอย่างไร? เราดูที่คอลัมน์แรก - เรามียูนิตที่เสร็จแล้ว! การแปลงที่หนึ่ง: สลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สาม:

ตอนนี้บรรทัดแรกจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงจนกว่าจะสิ้นสุดการแก้ปัญหา- มันง่ายกว่าอยู่แล้ว

หน่วยที่มุมซ้ายบนถูกจัดระเบียบ ตอนนี้คุณต้องได้ศูนย์ในตำแหน่งเหล่านี้:

เราได้ศูนย์โดยใช้การแปลงที่ "ยาก" ก่อนอื่นเราจะจัดการกับบรรทัดที่สอง (2, –1, 3, 13) จะต้องทำอะไรเพื่อให้ได้ศูนย์ในตำแหน่งแรก? จำเป็นต้อง ไปที่บรรทัดที่สองให้บวกบรรทัดแรกคูณด้วย –2- ในใจหรือบนร่าง ให้คูณบรรทัดแรกด้วย –2: (–2, –4, 2, –18) และเราดำเนินการเพิ่มเติมอย่างต่อเนื่อง (อีกครั้งทางจิตใจหรือแบบร่าง) ไปที่บรรทัดที่สองเราเพิ่มบรรทัดแรกแล้วคูณด้วย –2:

เราเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สอง:

เราจัดการกับบรรทัดที่สามในลักษณะเดียวกัน (3, 2, –5, –1) คุณต้องมีศูนย์ในตำแหน่งแรกเพื่อให้ได้ศูนย์ ไปที่บรรทัดที่สามให้บวกบรรทัดแรกคูณด้วย –3- ในทางจิตใจหรือแบบร่าง ให้คูณบรรทัดแรกด้วย –3: (–3, –6, 3, –27) และ ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดแรกคูณด้วย –3:

เราเขียนผลลัพธ์ในบรรทัดที่สาม:

ในทางปฏิบัติ การกระทำเหล่านี้มักจะดำเนินการด้วยวาจาและเขียนไว้ในขั้นตอนเดียว:

ไม่จำเป็นต้องนับทุกอย่างในคราวเดียวและในเวลาเดียวกัน- ลำดับการคำนวณและ “เขียน” ผลลัพธ์ สม่ำเสมอและโดยปกติจะเป็นเช่นนี้: ก่อนอื่นเราเขียนบรรทัดแรกใหม่แล้วเราก็พ่นตัวเองทีละเล็กทีละน้อย - สม่ำเสมอและ อย่างเอาใจใส่:
และฉันได้กล่าวถึงกระบวนการทางจิตของการคำนวณข้างต้นแล้ว

ในตัวอย่างนี้ วิธีนี้ทำได้ง่ายมาก โดยเราหารบรรทัดที่สองด้วย –5 (เนื่องจากตัวเลขทุกจำนวนหารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ) ในเวลาเดียวกัน เราหารบรรทัดที่สามด้วย –2 เพราะยิ่งตัวเลขน้อย วิธีแก้ก็จะยิ่งง่ายขึ้น:

ในขั้นตอนสุดท้ายของการแปลงเบื้องต้น คุณต้องได้ศูนย์อีกอันที่นี่:

สำหรับสิ่งนี้ ไปที่บรรทัดที่สามเราบวกบรรทัดที่สองคูณด้วย –2:
ลองคิดหาการกระทำนี้ด้วยตัวเอง - คูณบรรทัดที่สองในใจด้วย –2 แล้วทำการบวก

การกระทำสุดท้ายที่ทำคือทรงผมของผลลัพธ์ หารบรรทัดที่สามด้วย 3

จากการแปลงเบื้องต้นทำให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่า: เย็น.

ตอนนี้การกลับกันของวิธีเกาส์เซียนเข้ามามีบทบาทแล้ว สมการ "ผ่อนคลาย" จากล่างขึ้นบน

ในสมการที่สาม เราได้ผลลัพธ์ที่พร้อมแล้ว:

ลองดูสมการที่สอง: . ความหมายของคำว่า "zet" เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ดังนี้

และสุดท้ายสมการแรก: . รู้จัก "Igrek" และ "zet" มันเป็นเพียงเรื่องเล็กน้อย:

คำตอบ:

ดังที่กล่าวไว้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า สำหรับระบบสมการใดๆ ก็ตาม เป็นไปได้และจำเป็นในการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่พบ โชคดีที่วิธีนี้ง่ายและรวดเร็ว

ตัวอย่างที่ 2

นี่คือตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาอิสระ ตัวอย่างการออกแบบขั้นสุดท้าย และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

ควรสังเกตว่าของคุณ ความคืบหน้าของการตัดสินใจอาจไม่ตรงกับกระบวนการตัดสินใจของฉัน และนี่คือคุณลักษณะของวิธีเกาส์- แต่คำตอบต้องเหมือนกัน!

ตัวอย่างที่ 3

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

เราดูที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน เราควรมีอันหนึ่งที่นั่น ปัญหาคือไม่มีหน่วยในคอลัมน์แรกเลย ดังนั้นการจัดเรียงแถวใหม่จึงไม่ช่วยแก้ปัญหาใดๆ ในกรณีเช่นนี้ หน่วยจะต้องได้รับการจัดระเบียบโดยใช้การแปลงเบื้องต้น โดยปกติสามารถทำได้หลายวิธี ฉันทำสิ่งนี้: (1) ไปที่บรรทัดแรกเราบวกบรรทัดที่สองคูณด้วย –1- นั่นคือเราคูณบรรทัดที่สองในใจด้วย –1 และเพิ่มบรรทัดแรกและบรรทัดที่สองในขณะที่บรรทัดที่สองไม่เปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ที่ด้านซ้ายบนมี "ลบหนึ่ง" ซึ่งเหมาะกับเราค่อนข้างดี ใครก็ตามที่ต้องการได้รับ +1 สามารถทำการเคลื่อนไหวเพิ่มเติมได้: คูณบรรทัดแรกด้วย –1 (เปลี่ยนเครื่องหมาย)

(2) บรรทัดแรกคูณด้วย 5 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง

(3) บรรทัดแรกคูณ –1 โดยหลักการแล้วเพื่อความสวยงาม ป้ายของบรรทัดที่สามก็เปลี่ยนไปเช่นกัน และถูกย้ายไปยังอันดับที่สอง ดังนั้นใน "ขั้นตอน" ที่สอง เราก็มีหน่วยที่ต้องการ

(4) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามคูณด้วย 2

(5) เส้นที่สามหารด้วย 3

สัญญาณที่ไม่ดีที่บ่งชี้ถึงข้อผิดพลาดในการคำนวณ (ซึ่งไม่ค่อยพบคือการพิมพ์ผิด) ถือเป็นบรรทัดล่างที่ "ไม่ดี" นั่นคือถ้าเราได้สิ่งที่ต้องการ , ด้านล่าง และดังนั้น จากนั้นด้วยความน่าจะเป็นระดับสูงเราสามารถพูดได้ว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นระหว่างการแปลงเบื้องต้น

เราคิดย้อนกลับ ในการออกแบบตัวอย่างมักจะไม่เขียนระบบใหม่ แต่สมการนั้น "นำมาจากเมทริกซ์ที่กำหนดโดยตรง" ฉันขอเตือนคุณว่าจังหวะย้อนกลับนั้นทำงานจากล่างขึ้นบน ใช่ นี่คือของขวัญ:

คำตอบ: .

ตัวอย่างที่ 4

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเองซึ่งค่อนข้างซับซ้อนกว่า ไม่เป็นไรถ้าใครสับสน วิธีแก้ปัญหาแบบเต็มและการออกแบบตัวอย่างในตอนท้ายของบทเรียน โซลูชันของคุณอาจแตกต่างจากโซลูชันของฉัน

ในส่วนสุดท้าย เราจะดูคุณลักษณะบางอย่างของอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียน คุณลักษณะแรกคือบางครั้งตัวแปรบางตัวหายไปจากสมการของระบบ เช่น: จะเขียนเมทริกซ์ระบบเพิ่มเติมได้อย่างไร? ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับประเด็นนี้ในชั้นเรียนแล้ว กฎของแครเมอร์ วิธีเมทริกซ์- ในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ เราใส่ศูนย์แทนตัวแปรที่หายไป: อย่างไรก็ตาม นี่เป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างง่าย เนื่องจากคอลัมน์แรกมีศูนย์หนึ่งตัวอยู่แล้ว และมีการแปลงเบื้องต้นที่ต้องทำน้อยกว่า

คุณสมบัติที่สองคือสิ่งนี้ ในตัวอย่างทั้งหมดที่พิจารณา เราใส่ –1 หรือ +1 ไว้ที่ “ขั้นตอน” ที่นั่นมีตัวเลขอื่นอีกไหม? ในบางกรณีก็สามารถทำได้ พิจารณาระบบ: .

ที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบนเรามีสองอัน แต่เราสังเกตเห็นความจริงที่ว่าตัวเลขทั้งหมดในคอลัมน์แรกหารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ - และอีกจำนวนหนึ่งคือสองและหก และสองอันที่ด้านซ้ายบนจะเหมาะกับเรา! ในขั้นตอนแรก คุณจะต้องทำการแปลงดังต่อไปนี้: เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วย –1 เข้ากับบรรทัดที่สอง ไปที่บรรทัดที่สามให้บวกบรรทัดแรกคูณด้วย –3 วิธีนี้เราจะได้ค่าศูนย์ที่ต้องการในคอลัมน์แรก

หรือตัวอย่างทั่วไปอื่น: - ทั้งสามใน "ขั้นตอน" ที่สองก็เหมาะกับเราเช่นกัน เนื่องจาก 12 (จุดที่เราต้องได้ศูนย์) หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ มีความจำเป็นต้องดำเนินการแปลงต่อไปนี้: เพิ่มบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สามคูณด้วย –4 ซึ่งเป็นผลมาจากการที่เราจะได้ศูนย์ที่ต้องการ

วิธีการของเกาส์นั้นเป็นสากล แต่มีลักษณะเฉพาะประการหนึ่ง คุณสามารถเรียนรู้การแก้ระบบโดยใช้วิธีอื่นได้อย่างมั่นใจ (วิธีของ Cramer, วิธีเมทริกซ์) ในครั้งแรก - พวกเขามีอัลกอริธึมที่เข้มงวดมาก แต่เพื่อที่จะรู้สึกมั่นใจในวิธีเกาส์เซียนคุณควร "เข้าฟัน" และแก้อย่างน้อย 5-10 สิบระบบ ดังนั้นในตอนแรกอาจมีความสับสนและข้อผิดพลาดในการคำนวณและไม่มีอะไรผิดปกติหรือน่าเศร้าเกี่ยวกับเรื่องนี้

สภาพอากาศในฤดูใบไม้ร่วงที่ฝนตกนอกหน้าต่าง.... ดังนั้นสำหรับทุกคนที่ต้องการตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นในการแก้ปัญหาด้วยตนเอง:

ตัวอย่างที่ 5

แก้ระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวที่ไม่ทราบค่า 4 ตัวโดยใช้วิธีเกาส์

งานดังกล่าวไม่ได้หายากนักในทางปฏิบัติ ฉันคิดว่าแม้แต่กาน้ำชาที่ศึกษาหน้านี้อย่างละเอียดก็ยังเข้าใจอัลกอริธึมในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าวอย่างสังหรณ์ใจ โดยพื้นฐานแล้วทุกอย่างจะเหมือนกัน - มีเพียงการดำเนินการเพิ่มเติมเท่านั้น

กรณีที่ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่สอดคล้องกัน) หรือมีวิธีแก้ปัญหามากมายอย่างไม่สิ้นสุด จะมีการพูดคุยกันในบทเรียน ระบบที่เข้ากันไม่ได้และระบบที่มีวิธีแก้ปัญหาทั่วไป- คุณสามารถแก้ไขอัลกอริทึมที่พิจารณาของวิธี Gaussian ได้ที่นั่น

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2: สารละลาย : ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น
ดำเนินการแปลงเบื้องต้น: (1) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกเข้ากับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –1 ความสนใจ! ที่นี่คุณอาจถูกล่อลวงให้ลบบรรทัดแรกออกจากบรรทัดที่สาม ฉันขอแนะนำอย่างยิ่งว่าอย่าลบออก - ความเสี่ยงของข้อผิดพลาดเพิ่มขึ้นอย่างมาก แค่พับมัน! (2) เครื่องหมายบรรทัดที่สองมีการเปลี่ยนแปลง (คูณด้วย –1) บรรทัดที่สองและสามได้รับการสลับแล้ว โปรดทราบ , ว่าใน "ขั้นตอน" เราไม่เพียงพอใจกับขั้นตอนเดียวเท่านั้น แต่ยังรวมถึง –1 ซึ่งสะดวกกว่าอีกด้วย (3) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามคูณด้วย 5 (4) เครื่องหมายบรรทัดที่สองมีการเปลี่ยนแปลง (คูณด้วย –1) เส้นที่สามหารด้วย 14

ย้อนกลับ:

คำตอบ : .

ตัวอย่างที่ 4: สารละลาย : ให้เราเขียนเมทริกซ์ขยายของระบบ และนำมันมาอยู่ในรูปแบบขั้นตอนโดยใช้การแปลงเบื้องต้น:

การแปลงที่ดำเนินการ: (1) เพิ่มบรรทัดที่สองในบรรทัดแรก ดังนั้นหน่วยที่ต้องการจึงถูกจัดไว้ที่ "ขั้นตอน" ด้านซ้ายบน (2) บรรทัดแรกคูณด้วย 7 ถูกบวกเข้ากับบรรทัดที่สอง

เมื่อก้าวที่สอง ทุกอย่างจะแย่ลง “ผู้สมัคร” ของมันคือหมายเลข 17 และ 23 และเราต้องการอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ –1 การเปลี่ยนแปลง (3) และ (4) จะมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้ได้หน่วยที่ต้องการ (3) บรรทัดที่สองบวกกับบรรทัดที่สามคูณด้วย –1 (4) เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –3 ได้รับสินค้าที่ต้องการในขั้นตอนที่สองแล้ว . (5) เพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามคูณด้วย 6 (6) เส้นที่สองคูณด้วย –1 เส้นที่สามหารด้วย -83

ย้อนกลับ:

คำตอบ :

ตัวอย่างที่ 5: สารละลาย : ลองเขียนเมทริกซ์ของระบบแล้วใช้การแปลงเบื้องต้น ทำให้มันอยู่ในรูปแบบขั้นตอน:

การแปลงที่ดำเนินการ: (1) มีการสลับบรรทัดแรกและบรรทัดที่สอง (2) บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สอง คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สาม คูณด้วย –2 บรรทัดแรกบวกกับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย –3 (3) บรรทัดที่สองบวกกับบรรทัดที่สามคูณด้วย 4 บรรทัดที่สองบวกกับบรรทัดที่สี่คูณด้วย –1 (4) ป้ายบรรทัดที่ 2 มีการเปลี่ยนแปลง บรรทัดที่สี่หารด้วย 3 และวางไว้แทนที่บรรทัดที่สาม (5) บรรทัดที่สามบวกเข้ากับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย –5

ย้อนกลับ:

คำตอบ :

วิธีเกาส์เหมาะอย่างยิ่งสำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) มีข้อดีหลายประการเมื่อเทียบกับวิธีอื่น:

ประการแรก ไม่จำเป็นต้องตรวจสอบระบบสมการเพื่อความสอดคล้องกันก่อน
ประการที่สอง วิธีเกาส์สามารถแก้ได้ไม่เพียงแต่ SLAE เท่านั้น ซึ่งจำนวนสมการเกิดขึ้นพร้อมกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและเมทริกซ์หลักของระบบไม่ใช่เอกพจน์ แต่ยังรวมถึงระบบสมการที่จำนวนสมการไม่ตรงกับด้วย จำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักหรือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักเท่ากับศูนย์
ประการที่สาม วิธีเกาส์เซียนนำไปสู่ผลลัพธ์ที่มีการดำเนินการคำนวณจำนวนค่อนข้างน้อย

ภาพรวมโดยย่อของบทความ

ขั้นแรก เราจะให้คำจำกัดความที่จำเป็นและแนะนำสัญลักษณ์ต่างๆ

ต่อไป เราจะอธิบายอัลกอริทึมของวิธีเกาส์สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุด นั่นคือสำหรับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น จำนวนสมการที่เกิดขึ้นพร้อมกันกับจำนวนตัวแปรที่ไม่รู้จักและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์หลักของระบบคือ ไม่เท่ากับศูนย์ เมื่อแก้ระบบสมการดังกล่าว สาระสำคัญของวิธีเกาส์จะมองเห็นได้ชัดเจนที่สุด ซึ่งเป็นการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับ ดังนั้นวิธีเกาส์เซียนจึงเรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดจากตัวอย่างต่างๆ

โดยสรุป เราจะพิจารณาคำตอบโดยใช้วิธีเกาส์ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งมีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือเอกพจน์ วิธีแก้ปัญหาสำหรับระบบดังกล่าวมีคุณสมบัติบางอย่าง ซึ่งเราจะตรวจสอบโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

การนำทางหน้า

คำจำกัดความและสัญกรณ์พื้นฐาน

พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น p โดยไม่ทราบค่า n (p สามารถเท่ากับ n):

โดยที่ตัวแปรที่ไม่รู้จัก คือตัวเลข (จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) และเป็นเงื่อนไขอิสระ

ถ้า จากนั้นจึงเรียกระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น เป็นเนื้อเดียวกัน, มิฉะนั้น - ต่างกัน.

ชุดของค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งสมการทั้งหมดของระบบกลายเป็นตัวตนเรียกว่า การตัดสินใจของ SLAU.

หากมีวิธีแก้ปัญหาของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นอย่างน้อยหนึ่งวิธี ระบบจะเรียกมันว่า ข้อต่อ, มิฉะนั้น - ไม่ใช่ข้อต่อ.

ถ้า SLAE มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ ก็จะถูกเรียก แน่ใจ- หากมีมากกว่าหนึ่งวิธี ระบบจะถูกเรียก ไม่แน่นอน.

พวกเขาบอกว่าระบบเขียนอยู่ใน แบบฟอร์มประสานงานถ้ามันมีรูปร่าง
.

ระบบนี้ใน รูปแบบเมทริกซ์บันทึกมีแบบฟอร์มอยู่ที่ไหน - เมทริกซ์หลักของ SLAE - เมทริกซ์ของคอลัมน์ของตัวแปรที่ไม่รู้จัก - เมทริกซ์ของเงื่อนไขอิสระ

หากเราเพิ่มเมทริกซ์-คอลัมน์ของเทอมอิสระให้กับเมทริกซ์ A เป็นคอลัมน์ที่ (n+1) เราจะได้สิ่งที่เรียกว่า เมทริกซ์ขยายระบบสมการเชิงเส้น โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แบบขยายจะแสดงด้วยตัวอักษร T และคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระจะถูกคั่นด้วยเส้นแนวตั้งจากคอลัมน์ที่เหลือนั่นคือ

เรียกว่าเมทริกซ์จตุรัส A เสื่อมโทรมถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ถ้า แล้วเมทริกซ์ A จะถูกเรียก ไม่เสื่อม.

ควรสังเกตประเด็นต่อไปนี้

หากคุณดำเนินการต่อไปนี้กับระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น

สลับสองสมการ
คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนจริง (หรือเชิงซ้อน) ที่ไม่เป็นศูนย์และไม่เป็นศูนย์ k
ทั้งสองด้านของสมการใด ๆ ให้บวกส่วนที่สอดคล้องกันของสมการอื่นคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้ k

จากนั้นคุณจะได้ระบบที่เทียบเท่าซึ่งมีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกัน (หรือไม่มีวิธีแก้ปัญหาเหมือนกับระบบดั้งเดิม)

สำหรับเมทริกซ์ขยายของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น การกระทำเหล่านี้จะหมายถึงการดำเนินการแปลงเบื้องต้นด้วยแถว:

สลับสองบรรทัด
คูณองค์ประกอบทั้งหมดของแถวใดๆ ของเมทริกซ์ T ด้วยตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ k
การเพิ่มองค์ประกอบของแถวใด ๆ ของเมทริกซ์องค์ประกอบที่สอดคล้องกันของอีกแถวหนึ่งคูณด้วยตัวเลขใดก็ได้ k

ตอนนี้เรามาดูคำอธิบายของวิธีเกาส์กันดีกว่า

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนไม่ทราบ และเมทริกซ์หลักของระบบไม่เป็นเอกพจน์ โดยใช้วิธีเกาส์เซียน

เราจะทำอย่างไรที่โรงเรียนถ้าเราได้รับมอบหมายให้ค้นหาวิธีแก้ระบบสมการ? .

บางคนก็จะทำเช่นนั้น

โปรดทราบว่าโดยการบวกด้านซ้ายของตัวแรกเข้ากับด้านซ้ายของสมการที่สอง และด้านขวาไปทางด้านขวา คุณสามารถกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 และ x 3 และค้นหา x 1 ได้ทันที:

เราแทนที่ค่าที่พบ x 1 =1 ลงในสมการที่หนึ่งและสามของระบบ:

หากเราคูณทั้งสองข้างของสมการที่สามของระบบด้วย -1 แล้วบวกเข้ากับส่วนที่สอดคล้องกันของสมการแรก เราจะกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 ออกและสามารถหา x 2 ได้:

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ x 2 = 2 ลงในสมการที่สามและค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เหลือ x 3:

คนอื่นก็คงทำแตกต่างออกไป

ให้เราแก้สมการแรกของระบบด้วยความเคารพต่อตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองและสามของระบบเพื่อแยกตัวแปรนี้ออกจากพวกมัน:

ทีนี้ลองแก้สมการที่สองของระบบสำหรับ x 2 และแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้เป็นสมการที่สามเพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 ออกไป:

จากสมการที่สามของระบบ ชัดเจนว่า x 3 =3 จากสมการที่สองที่เราพบ และจากสมการแรกที่เราได้รับ

วิธีแก้ปัญหาที่คุ้นเคยใช่ไหม?

สิ่งที่น่าสนใจที่สุดในที่นี้ก็คือ วิธีการแก้ปัญหาที่สองโดยพื้นฐานแล้วคือวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ ซึ่งก็คือวิธีเกาส์เซียน เมื่อเราแสดงตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแรก x 1 ในระยะต่อไป x 2) และแทนที่พวกมันลงในสมการที่เหลือของระบบ เราก็จะแยกพวกมันออก เราดำเนินการกำจัดจนกระทั่งเหลือตัวแปรที่ไม่รู้จักเพียงตัวเดียวในสมการสุดท้าย กระบวนการกำจัดสิ่งแปลกปลอมตามลำดับเรียกว่า วิธีเกาส์เซียนโดยตรง- หลังจากเคลื่อนไปข้างหน้าเสร็จแล้ว เราก็มีโอกาสที่จะคำนวณตัวแปรที่ไม่รู้จักที่พบในสมการสุดท้าย ด้วยความช่วยเหลือจากสมการสุดท้าย เราจะพบตัวแปรที่ไม่รู้จักตัวถัดไปและอื่นๆ กระบวนการค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จักตามลำดับในขณะที่ย้ายจากสมการสุดท้ายไปยังสมการแรกเรียกว่า ผกผันของวิธีเกาส์เซียน.

ควรสังเกตว่าเมื่อเราแสดง x 1 ในรูปของ x 2 และ x 3 ในสมการแรกแล้วแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สองและสาม การกระทำต่อไปนี้จะนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกัน:

แท้จริงแล้ว ขั้นตอนดังกล่าวยังทำให้สามารถกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการที่สองและสามของระบบได้:

ความแตกต่างในการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีเกาส์เซียนเกิดขึ้นเมื่อสมการของระบบไม่มีตัวแปรบางตัว

ตัวอย่างเช่น ใน SLAU ในสมการแรกไม่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 (หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่ข้างหน้าคือศูนย์) ดังนั้นเราจึงไม่สามารถแก้สมการแรกของระบบสำหรับ x 1 เพื่อกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักนี้ออกจากสมการที่เหลือได้ ทางออกจากสถานการณ์นี้คือการสลับสมการของระบบ เนื่องจากเรากำลังพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นซึ่งปัจจัยกำหนดของเมทริกซ์หลักแตกต่างจากศูนย์ จึงมักจะมีสมการที่มีตัวแปรที่เราต้องการอยู่เสมอ และเราสามารถจัดเรียงสมการนี้ใหม่ให้อยู่ในตำแหน่งที่เราต้องการได้ สำหรับตัวอย่างของเรา การสลับสมการแรกและสมการที่สองของระบบก็เพียงพอแล้ว จากนั้นคุณก็สามารถแก้สมการแรกของ x 1 และแยกมันออกจากสมการที่เหลือของระบบได้ (แม้ว่า x 1 จะไม่อยู่ในสมการที่สองอีกต่อไป)

เราหวังว่าคุณจะเข้าใจสาระสำคัญ

มาอธิบายกันดีกว่า อัลกอริธึมวิธีเกาส์เซียน

สมมติว่าเราจำเป็นต้องแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น n สมการซึ่งมีตัวแปรที่ไม่รู้จัก n ตัวแปรในรูปแบบ และปล่อยให้ดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์หลักแตกต่างจากศูนย์

เราจะถือว่า เนื่องจากเราสามารถบรรลุสิ่งนี้ได้เสมอโดยการจัดเรียงสมการของระบบใหม่ ลองกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบ โดยเริ่มจากตัวที่สอง ในการดำเนินการนี้ เราบวกสมการแรก คูณด้วย สมการแรก คูณด้วย สมการที่สาม บวกสมการแรก คูณด้วย และอื่นๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการแรก คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน และ .

เราคงจะได้ผลลัพธ์เดียวกันถ้าเราแสดง x 1 ในรูปของตัวแปรที่ไม่รู้จักอื่นๆ ในสมการแรกของระบบ และแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการอื่นๆ ทั้งหมด ดังนั้นตัวแปร x 1 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สอง

ต่อไปเราดำเนินการในลักษณะเดียวกัน แต่เพียงส่วนหนึ่งของระบบผลลัพธ์ซึ่งมีการทำเครื่องหมายไว้ในรูปเท่านั้น

ในการทำเช่นนี้ เราบวกสมการที่สองเข้ากับสมการที่สามของระบบ บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับสมการที่สี่ บวกสมการที่สอง คูณด้วย และต่อไปเรื่อยๆ เข้ากับสมการที่ n บวกสมการที่สอง คูณด้วย ระบบสมการหลังจากการแปลงดังกล่าวจะอยู่ในรูปแบบ

ที่ไหน และ - ดังนั้นตัวแปร x 2 จึงไม่รวมอยู่ในสมการทั้งหมด โดยเริ่มจากสมการที่สาม

ต่อไปเราดำเนินการกำจัดสิ่งที่ไม่รู้จัก x 3 ในขณะที่เราทำหน้าที่คล้ายกับส่วนของระบบที่ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

ดังนั้นเราจึงดำเนินการก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปจนกระทั่งระบบเกิดรูปแบบ

จากนี้ไป เราจะเริ่มต้นการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียน: เราคำนวณ x n จากสมการสุดท้ายเป็น โดยใช้ค่าที่ได้รับของ x n เราจะหา x n-1 จากสมการสุดท้าย และต่อไป เราจะพบ x 1 จากสมการแรก .

ลองดูอัลกอริทึมโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

วิธีเกาส์

สารละลาย.

ค่าสัมประสิทธิ์ a 11 แตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นเรามาดูความคืบหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เซียน นั่นคือการแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ออกจากสมการทั้งหมดของระบบยกเว้นตัวแรก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง สาม และสี่ ให้บวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการแรก คูณด้วย ตามลำดับ และ :

ตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 1 ได้ถูกกำจัดออกไปแล้ว มาดูการกำจัด x 2 กันดีกว่า ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สามและสี่ของระบบ เราจะบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง คูณด้วยตามลำดับ และ :

เพื่อให้การก้าวหน้าไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนสมบูรณ์ เราต้องกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 ออกจากสมการสุดท้ายของระบบ ให้เราบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สี่ ตามลำดับ ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สาม คูณด้วย :

คุณสามารถเริ่มย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียนได้

จากสมการสุดท้ายที่เรามี ,
จากสมการที่สามที่เราได้รับ
ตั้งแต่วินาทีที่
จากอันแรก

ในการตรวจสอบคุณสามารถแทนที่ค่าที่ได้รับของตัวแปรที่ไม่รู้จักลงในระบบสมการดั้งเดิมได้ สมการทั้งหมดกลายเป็นอัตลักษณ์ ซึ่งบ่งชี้ว่าสามารถหาคำตอบโดยใช้วิธีเกาส์ได้อย่างถูกต้อง

คำตอบ:

ทีนี้ลองหาคำตอบให้กับตัวอย่างเดียวกันโดยใช้วิธีเกาส์เซียนในรูปแบบเมทริกซ์

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของระบบสมการ วิธีเกาส์

สารละลาย.

เมทริกซ์ขยายของระบบมีรูปแบบ - ที่ด้านบนของแต่ละคอลัมน์จะมีตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบของเมทริกซ์

แนวทางโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนในที่นี้เกี่ยวข้องกับการลดเมทริกซ์ที่ขยายของระบบให้อยู่ในรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้การแปลงเบื้องต้น กระบวนการนี้คล้ายกับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักที่เราทำกับระบบในรูปแบบพิกัด ตอนนี้คุณจะเห็นสิ่งนี้

มาแปลงเมทริกซ์เพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดในคอลัมน์แรกเริ่มจากคอลัมน์ที่สองกลายเป็นศูนย์ ในการทำเช่นนี้ เราได้เพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดแรกคูณด้วย เข้ากับองค์ประกอบของบรรทัดที่สอง สาม และสี่ และตามนั้น:

ต่อไป เราจะแปลงเมทริกซ์ผลลัพธ์เพื่อให้องค์ประกอบทั้งหมดตั้งแต่คอลัมน์ที่สามกลายเป็นศูนย์ในคอลัมน์ที่สอง สิ่งนี้จะสอดคล้องกับการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 2 ในการทำเช่นนี้เราได้เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวแรกของเมทริกซ์ลงในองค์ประกอบของแถวที่สามและสี่แล้วคูณด้วยตามลำดับ และ :

ยังคงไม่รวมตัวแปรที่ไม่รู้จัก x 3 ออกจากสมการสุดท้ายของระบบ ในการทำเช่นนี้ เราได้เพิ่มองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของแถวสุดท้ายคูณด้วยองค์ประกอบของแถวสุดท้ายของเมทริกซ์ผลลัพธ์ :

ควรสังเกตว่าเมทริกซ์นี้สอดคล้องกับระบบสมการเชิงเส้น

ซึ่งได้รับมาก่อนหน้านี้หลังจากการก้าวไปข้างหน้า

ถึงเวลาหันหลังกลับแล้ว ในสัญลักษณ์เมทริกซ์ ค่าผกผันของวิธีเกาส์เซียนเกี่ยวข้องกับการแปลงเมทริกซ์ผลลัพธ์ในลักษณะที่เมทริกซ์ทำเครื่องหมายไว้ในรูป

กลายเป็นเส้นทแยงมุมคือเข้ารูป

ตัวเลขอยู่ไหน

การแปลงเหล่านี้คล้ายคลึงกับการแปลงไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียน แต่ไม่ได้ดำเนินการจากบรรทัดแรกไปยังบรรทัดสุดท้าย แต่จากบรรทัดสุดท้ายไปยังบรรทัดแรก

เพิ่มองค์ประกอบของบรรทัดที่สามบรรทัดที่สองและบรรทัดแรกด้วยองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของบรรทัดสุดท้ายคูณด้วย ต่อไปและต่อไป ตามลำดับ:

ตอนนี้เพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของบรรทัดที่สามลงในองค์ประกอบของบรรทัดที่สองและบรรทัดแรกคูณด้วยและด้วยตามลำดับ:

ในขั้นตอนสุดท้ายของวิธี Reverse Gaussian เราจะเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถวที่สองลงในองค์ประกอบของแถวแรกคูณด้วย:

เมทริกซ์ที่ได้จะสอดคล้องกับระบบสมการ จากจุดที่เราค้นหาตัวแปรที่ไม่รู้จัก

คำตอบ:

โปรดทราบ

เมื่อใช้วิธีการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบเกาส์ ควรหลีกเลี่ยงการคำนวณโดยประมาณ เนื่องจากอาจทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องโดยสิ้นเชิง เราไม่แนะนำให้ปัดเศษทศนิยม การย้ายจากเศษส่วนทศนิยมไปเป็นเศษส่วนธรรมดาจะดีกว่า

ตัวอย่าง.

แก้ระบบสมการสามสมการโดยใช้วิธีเกาส์ .

สารละลาย.

โปรดทราบว่าในตัวอย่างนี้ ตัวแปรที่ไม่รู้จักมีการกำหนดที่แตกต่างกัน (ไม่ใช่ x 1, x 2, x 3 แต่เป็น x, y, z) มาดูเศษส่วนสามัญกันดีกว่า:

ให้เราแยก x ที่ไม่รู้จักออกจากสมการที่สองและสามของระบบ:

ในระบบผลลัพธ์ ตัวแปรที่ไม่รู้จัก y หายไปในสมการที่สอง แต่มี y อยู่ในสมการที่สาม ดังนั้น เรามาสลับสมการที่สองและสามกัน:

การดำเนินการนี้ทำให้การก้าวหน้าโดยตรงของวิธีเกาส์เสร็จสมบูรณ์ (ไม่จำเป็นต้องแยก y ออกจากสมการที่สาม เนื่องจากตัวแปรที่ไม่รู้จักนี้ไม่มีอยู่แล้ว)

มาเริ่มการย้ายแบบย้อนกลับกันดีกว่า

จากสมการสุดท้ายที่เราพบ ,
จากนัดสุดท้าย

จากสมการแรกที่เรามี

คำตอบ:

X = 10, y = 5, z = -20

การแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่จำนวนสมการไม่ตรงกับจำนวนที่ไม่ทราบ หรือเมทริกซ์หลักของระบบเป็นเอกพจน์ โดยใช้วิธีเกาส์

ระบบสมการ ซึ่งมีเมทริกซ์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมหรือสี่เหลี่ยมเอกพจน์ อาจไม่มีคำตอบ อาจมีคำตอบเดียว หรืออาจมีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

ตอนนี้เราจะเข้าใจว่าวิธีเกาส์ช่วยให้เราสร้างความเข้ากันได้หรือความไม่สอดคล้องกันของระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างไร และในกรณีของความเข้ากันได้ ให้กำหนดวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือโซลูชันเดียว)

โดยหลักการแล้ว กระบวนการกำจัดตัวแปรที่ไม่รู้จักในกรณีของ SLAE ดังกล่าวยังคงเหมือนเดิม อย่างไรก็ตาม ควรเข้าไปดูรายละเอียดเกี่ยวกับสถานการณ์บางอย่างที่อาจเกิดขึ้น

เรามาดูขั้นตอนที่สำคัญที่สุดกันดีกว่า

ดังนั้น ให้เราสมมติว่าระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นหลังจากเสร็จสิ้นการก้าวหน้าไปข้างหน้าของวิธีเกาส์แล้ว จะอยู่ในรูปแบบ และไม่มีสมการใดถูกลดทอนลงเหลือเพียงสมการเดียว (ในกรณีนี้ เราจะสรุปได้ว่าระบบเข้ากันไม่ได้) คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: "จะทำอย่างไรต่อไป"?

ให้เราเขียนตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งมาก่อนในสมการทั้งหมดของระบบผลลัพธ์:

ในตัวอย่างของเรา ค่าเหล่านี้คือ x 1, x 4 และ x 5 ทางด้านซ้ายของสมการของระบบเราเหลือเฉพาะคำศัพท์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จักเป็นลายลักษณ์อักษร x 1, x 4 และ x 5 คำศัพท์ที่เหลือจะถูกถ่ายโอนไปทางด้านขวาของสมการที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม:

สมมติว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักซึ่งอยู่ทางด้านขวาของสมการมีค่าตามใจชอบ โดยที่ - หมายเลขที่กำหนดเอง:

หลังจากนี้ ทางด้านขวามือของสมการทั้งหมดของ SLAE ของเราจะมีตัวเลข และเราสามารถดำเนินการย้อนกลับของวิธีเกาส์เซียนได้

จากสมการสุดท้ายของระบบที่เรามี จากสมการสุดท้ายที่เราพบ จากสมการแรกที่เราได้

การแก้ระบบสมการคือชุดของค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จัก

การให้ตัวเลข เมื่อค่าต่างกัน เราก็จะได้คำตอบของระบบสมการต่างกัน นั่นคือระบบสมการของเรามีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

คำตอบ:

ที่ไหน - ตัวเลขที่กำหนดเอง

เพื่อรวมวัสดุเราจะวิเคราะห์รายละเอียดวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างอีกหลายตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

แก้ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น วิธีเกาส์

สารละลาย.

ให้เราแยกตัวแปรที่ไม่รู้จัก x ออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ในการทำเช่นนี้ ทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สอง เราจะบวกด้านซ้ายและด้านขวาของสมการแรกตามลำดับ คูณด้วย และทางด้านซ้ายและด้านขวาของสมการที่สาม เราจะบวกด้านซ้ายและ ทางด้านขวาของสมการแรก คูณด้วย:

ทีนี้ลองแยก y ออกจากสมการที่สามของระบบสมการผลลัพธ์:

SLAE ที่ได้จะเทียบเท่ากับระบบ .

เราปล่อยไว้ทางด้านซ้ายของสมการของระบบเฉพาะคำศัพท์ที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก x และ y และย้ายเงื่อนไขที่มีตัวแปรที่ไม่รู้จัก z ไปทางด้านขวา:

วิธีเกาส์เซียนหรือที่เรียกว่าวิธีการกำจัดสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับมีดังนี้ เมื่อใช้การแปลงเบื้องต้น ระบบสมการเชิงเส้นจะถูกนำมาใช้ในรูปแบบที่เมทริกซ์ของค่าสัมประสิทธิ์กลายเป็น สี่เหลี่ยมคางหมู (เช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมหรือขั้นบันได) หรือใกล้กับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (จังหวะโดยตรงของวิธีเกาส์เซียนต่อไปนี้ - เพียงจังหวะตรง) ตัวอย่างของระบบดังกล่าวและวิธีแก้ไขอยู่ในภาพด้านบน

ในระบบดังกล่าว สมการสุดท้ายจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียวและสามารถหาค่าของตัวแปรได้อย่างชัดเจน ค่าของตัวแปรนี้จะถูกแทนที่ลงในสมการก่อนหน้า ( ผกผันของวิธีเกาส์เซียน จากนั้นเพียงย้อนกลับ) ซึ่งพบตัวแปรก่อนหน้าและอื่นๆ

ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม) ดังที่เราเห็น สมการที่สามไม่มีตัวแปรอีกต่อไป ยและ xและสมการที่สองคือตัวแปร x .

หลังจากที่เมทริกซ์ของระบบมีรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูแล้ว การทำความเข้าใจปัญหาความเข้ากันได้ของระบบ กำหนดจำนวนวิธีแก้ปัญหา และค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยตนเองก็ไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป

ข้อดีของวิธีการ:

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีสมการและไม่ทราบค่ามากกว่าสามสมการ วิธีเกาส์จะไม่ยุ่งยากเท่ากับวิธีแครมเมอร์ เนื่องจากการแก้ด้วยวิธีเกาส์ต้องใช้การคำนวณน้อยกว่า
วิธีเกาส์สามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีวิธีแก้ทั่วไป (และเราจะวิเคราะห์มันในบทเรียนนี้) และเมื่อใช้วิธีแครเมอร์ เราจะบอกได้เพียงว่าระบบไม่แน่นอนเท่านั้น
คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนไม่ทราบค่าไม่เท่ากับจำนวนสมการ (เราจะวิเคราะห์พวกมันในบทเรียนนี้ด้วย)
วิธีการนี้ขึ้นอยู่กับวิธีการระดับประถมศึกษา (โรงเรียน) - วิธีการทดแทนสิ่งที่ไม่รู้จักและวิธีการบวกสมการซึ่งเราได้กล่าวถึงในบทความที่เกี่ยวข้อง

เพื่อให้ทุกคนเข้าใจถึงความเรียบง่ายของระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (สามเหลี่ยม ขั้นตอน) ที่ถูกแก้ เราจึงนำเสนอวิธีแก้ของระบบดังกล่าวโดยใช้การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ วิธีแก้ปัญหาอย่างรวดเร็วสำหรับระบบนี้แสดงไว้ในรูปภาพเมื่อเริ่มบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ค่าผกผัน:

สารละลาย. ในระบบสี่เหลี่ยมคางหมูนี้มีตัวแปร zสามารถหาได้จากสมการที่สาม เราแทนค่าของมันลงในสมการที่สองและรับค่าของตัวแปร ย:

ตอนนี้เรารู้ค่าของตัวแปรสองตัวแล้ว - zและ ย- เราแทนที่มันลงในสมการแรกและรับค่าของตัวแปร x:

จากขั้นตอนก่อนหน้านี้เราเขียนคำตอบให้กับระบบสมการ:

เพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูซึ่งเราแก้ไขได้ง่ายมากจำเป็นต้องใช้จังหวะไปข้างหน้าที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น ก็ไม่ใช่เรื่องยากเช่นกัน

การแปลงเบื้องต้นของระบบสมการเชิงเส้น

จากการทำซ้ำวิธีการบวกสมการของระบบทางพีชคณิต เราพบว่าเราสามารถเพิ่มสมการของระบบอีกสมการหนึ่งลงในสมการหนึ่งของระบบได้ และแต่ละสมการสามารถคูณด้วยตัวเลขจำนวนหนึ่งได้ เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการนี้ ในนั้น สมการหนึ่งมีตัวแปรเพียงตัวเดียวอยู่แล้ว เมื่อแทนที่ค่าที่เป็นสมการอื่น เราก็จะได้คำตอบ การเพิ่มดังกล่าวเป็นหนึ่งในประเภทของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้นของระบบ เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เราสามารถใช้การแปลงได้หลายประเภท

ภาพเคลื่อนไหวด้านบนแสดงให้เห็นว่าระบบสมการค่อยๆ กลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้อย่างไร นั่นคือสิ่งที่คุณเห็นในแอนิเมชั่นแรกและมั่นใจตัวเองว่ามันง่ายที่จะค้นหาคุณค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักทั้งหมดจากมัน วิธีดำเนินการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวและแน่นอนว่าจะมีการกล่าวถึงตัวอย่างเพิ่มเติม

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยสมการจำนวนเท่าใดก็ได้และไม่ทราบค่าในระบบสมการและในเมทริกซ์ขยายของระบบ สามารถ:

จัดเรียงบรรทัดใหม่ (ซึ่งกล่าวไว้ในตอนต้นของบทความนี้);
หากการแปลงอื่นส่งผลให้มีแถวเท่ากันหรือเป็นสัดส่วน ก็สามารถลบได้ ยกเว้นแถวเดียว
ลบแถว "ศูนย์" โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์
คูณหรือหารสตริงใด ๆ ด้วยจำนวนที่แน่นอน
ในบรรทัดใดๆ ให้เพิ่มอีกบรรทัดหนึ่ง คูณด้วยตัวเลขที่กำหนด

จากผลของการแปลง เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่ากับสมการนี้

อัลกอริทึมและตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์จตุรัสของระบบโดยใช้วิธีเกาส์

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาแก้ระบบสมการเชิงเส้นซึ่งจำนวนไม่ทราบค่าเท่ากับจำนวนสมการ เมทริกซ์ของระบบดังกล่าวเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั่นคือจำนวนแถวในระบบนั้นเท่ากับจำนวนคอลัมน์

ตัวอย่างที่ 2แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์

เมื่อแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีโรงเรียน เราจะคูณสมการตัวใดตัวหนึ่งทีละเทอม เพื่อให้ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรตัวแรกในสมการทั้งสองเป็นจำนวนที่ตรงกันข้าม เมื่อบวกสมการ ตัวแปรนี้จะถูกตัดออก วิธีเกาส์ก็ใช้วิธีเดียวกัน

เพื่อให้รูปลักษณ์ของโซลูชันดูง่ายขึ้น เรามาสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบกันดีกว่า:

ในเมทริกซ์นี้ ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบจะอยู่ที่ด้านซ้ายก่อนถึงเส้นแนวตั้ง และเงื่อนไขอิสระจะอยู่ทางด้านขวาหลังจากเส้นแนวตั้ง

เพื่อความสะดวกในการหารค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร (เพื่อให้ได้หารด้วยเอกภาพ) ลองสลับแถวแรกและแถวที่สองของเมทริกซ์ระบบกัน- เราได้ระบบที่เทียบเท่ากับระบบนี้ เนื่องจากในระบบสมการเชิงเส้น สมการสามารถสับเปลี่ยนกันได้:

โดยใช้สมการแรกใหม่ กำจัดตัวแปร xจากสมการที่สองและสมการที่ตามมาทั้งหมด- ในการทำเช่นนี้ ในแถวที่สองของเมทริกซ์ เราจะเพิ่มแถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ลงในแถวที่สาม - แถวแรกคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย )

ที่เป็นไปเช่นนี้เพราะว่า

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา เราจะต้องบวกบรรทัดแรกเข้ากับสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน แล้วใช้เครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากับระบบสมการใหม่นี้ซึ่งสมการทั้งหมดเริ่มจากวินาที ไม่มีตัวแปร x :

เพื่อทำให้บรรทัดที่สองของระบบผลลัพธ์ง่ายขึ้น เราจะคูณมันด้วยเมทริกซ์ของระบบสมการที่เทียบเท่ากับระบบนี้อีกครั้ง:

ตอนนี้ รักษาสมการแรกของระบบผลลัพธ์ไว้ไม่เปลี่ยนแปลง โดยใช้สมการที่สองเรากำจัดตัวแปร ย จากสมการที่ตามมาทั้งหมด ในการทำเช่นนี้ เราจะเพิ่มแถวที่สองคูณด้วย (ในกรณีของเราด้วย ) ในแถวที่สามของเมทริกซ์ระบบ

หากมีสมการมากกว่าสามสมการในระบบของเรา เราจะต้องเพิ่มบรรทัดที่สองให้กับสมการที่ตามมาทั้งหมด คูณด้วยอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันซึ่งนำมาด้วยเครื่องหมายลบ

เป็นผลให้เราได้รับเมทริกซ์ของระบบที่เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นนี้อีกครั้ง:

เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่เทียบเท่ากัน:

หากจำนวนสมการและตัวแปรมากกว่าในตัวอย่างของเรา กระบวนการกำจัดตัวแปรตามลำดับจะดำเนินต่อไปจนกว่าเมทริกซ์ของระบบจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมู ดังในตัวอย่างสาธิตของเรา

เราจะพบวิธีแก้ปัญหา "จากจุดสิ้นสุด" - การย้อนกลับ- สำหรับสิ่งนี้ จากสมการสุดท้ายที่เราหาได้ z:
.
แทนค่านี้ลงในสมการก่อนหน้า เราจะพบ ย:

จากสมการแรก เราจะพบ x:

คำตอบ: คำตอบของระบบสมการนี้คือ .

: ในกรณีนี้ จะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ หากระบบมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด นี่จะเป็นคำตอบ และนี่คือหัวข้อของส่วนที่ห้าของบทเรียนนี้

แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์เซียนด้วยตัวเอง แล้วดูผลเฉลย

นี่เป็นอีกครั้งที่เรามีตัวอย่างของระบบสมการเชิงเส้นที่สม่ำเสมอและแน่นอน ซึ่งจำนวนสมการเท่ากับจำนวนที่ไม่ทราบ ความแตกต่างจากตัวอย่างสาธิตของเราจากอัลกอริธึมก็คือ มีสมการสี่ตัวอยู่แล้วและไม่ทราบค่าสี่ตัว

ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา มาดำเนินงานเตรียมการกัน เพื่อให้อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์สะดวกยิ่งขึ้น คุณจะต้องได้รับหนึ่งในคอลัมน์ที่สองของแถวที่สอง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบบรรทัดที่สามออกจากบรรทัดที่สอง และคูณผลลัพธ์บรรทัดที่สองด้วย -1

ตอนนี้ให้เราดำเนินการกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สามและสี่อย่างแท้จริง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สาม และบรรทัดที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สี่

ตอนนี้ เมื่อใช้สมการที่สาม เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย เราได้รับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูแบบขยาย

เราได้รับระบบสมการซึ่งระบบที่ให้มานั้นเทียบเท่ากัน:

ดังนั้นผลลัพธ์และระบบที่กำหนดจึงเข้ากันได้และแน่นอน เราพบทางออกสุดท้าย "จากจุดสิ้นสุด" จากสมการที่สี่ เราสามารถแสดงค่าของตัวแปร “x-four” ได้โดยตรง:

เราแทนค่านี้เป็นสมการที่สามของระบบแล้วได้

ในที่สุดการทดแทนค่า

สมการแรกให้

เราจะหา "x ก่อน" ได้ที่ไหน:

คำตอบ: ระบบสมการนี้มีคำตอบที่ไม่เหมือนใคร .

คุณยังสามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของระบบบนเครื่องคิดเลขโดยใช้วิธีของแครมเมอร์ได้ ในกรณีนี้ คุณจะได้รับคำตอบเดียวกันหากระบบมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ

การแก้ปัญหาประยุกต์โดยใช้วิธีเกาส์โดยใช้ตัวอย่างปัญหาเกี่ยวกับโลหะผสม

ระบบสมการเชิงเส้นใช้ในการจำลองวัตถุจริงในโลกทางกายภาพ มาแก้ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งกัน - โลหะผสม ปัญหาที่คล้ายกันคือปัญหาเกี่ยวกับส่วนผสม ต้นทุนหรือส่วนแบ่งของสินค้าแต่ละชิ้นในกลุ่มสินค้า และอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกัน

ตัวอย่างที่ 5โลหะ 3 ชิ้นมีมวลรวม 150 กิโลกรัม โลหะผสมชนิดแรกประกอบด้วยทองแดง 60% ส่วนที่สอง - 30% ส่วนที่สาม - 10% ยิ่งไปกว่านั้น ในโลหะผสมที่สองและสามที่นำมารวมกันจะมีทองแดงน้อยกว่าโลหะผสมตัวแรก 28.4 กิโลกรัม และในโลหะผสมที่สามจะมีทองแดงน้อยกว่าโลหะผสมที่สอง 6.2 กิโลกรัม หามวลของโลหะผสมแต่ละชิ้น

สารละลาย. เราเขียนระบบสมการเชิงเส้น:

เราคูณสมการที่สองและสามด้วย 10 เราได้ระบบสมการเชิงเส้นที่เทียบเท่า:

เราสร้างเมทริกซ์เพิ่มเติมของระบบ:

ให้ความสนใจ ตรงไปข้างหน้า ด้วยการบวก (ในกรณีของเราคือการลบ) หนึ่งแถวคูณด้วยตัวเลข (เราใช้มันสองครั้ง) การแปลงต่อไปนี้จะเกิดขึ้นกับเมทริกซ์ขยายของระบบ:

การย้ายโดยตรงสิ้นสุดลงแล้ว เราได้รับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมคางหมูแบบขยาย

เราใช้การเคลื่อนที่แบบย้อนกลับ เราพบวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่จุดสิ้นสุด เราเห็นสิ่งนั้น

จากสมการที่สองที่เราพบ

จากสมการที่สาม -

ความเรียบง่ายของวิธีการของเกาส์เห็นได้จากข้อเท็จจริงที่ว่านักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ใช้เวลาเพียง 15 นาทีในการประดิษฐ์มันขึ้นมา นอกเหนือจากวิธีการที่ตั้งชื่อตามเขาแล้ว คำพูดที่ว่า "เราไม่ควรสับสนระหว่างสิ่งที่ดูเหมือนเหลือเชื่อและผิดธรรมชาติสำหรับเราด้วยสิ่งที่เป็นไปไม่ได้เลย" ยังเป็นที่รู้จักจากผลงานของ Gauss ซึ่งเป็นคำแนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับการค้นพบ

ในปัญหาที่ประยุกต์หลายข้ออาจไม่มีข้อจำกัดประการที่สาม กล่าวคือ สมการที่สาม เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เราจะต้องแก้ระบบสมการสองสมการโดยมีค่าไม่ทราบสามค่า หรือในทางกลับกัน มีค่าไม่ทราบน้อยกว่าสมการ ตอนนี้เราจะเริ่มแก้ระบบสมการดังกล่าว

เมื่อใช้วิธี Gaussian คุณสามารถระบุได้ว่าระบบใดเข้ากันได้หรือเข้ากันไม่ได้ nสมการเชิงเส้นด้วย nตัวแปร

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

ตัวอย่างถัดไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่มีความสม่ำเสมอแต่ไม่แน่นอน กล่าวคือ มีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด

หลังจากดำเนินการแปลงค่าในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ (จัดเรียงแถวใหม่ การคูณและหารแถวด้วยตัวเลขที่กำหนด บวกอีกแถวหนึ่งเข้ากับแถวเดียว) แถวของแบบฟอร์มอาจปรากฏขึ้น

ถ้าสมการทั้งหมดมีรูปแบบ

เงื่อนไขอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าระบบไม่มีกำหนด นั่นคือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด และสมการประเภทนี้ "ฟุ่มเฟือย" และเราแยกพวกมันออกจากระบบ

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย. เรามาสร้างเมทริกซ์ขยายของระบบกันดีกว่า จากนั้น เมื่อใช้สมการแรก เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดแรกลงในบรรทัดที่สอง สาม และสี่ คูณด้วย :

ตอนนี้เรามาเพิ่มบรรทัดที่สองเข้ากับบรรทัดที่สามและสี่

เป็นผลให้เรามาถึงระบบ

สมการสองอันสุดท้ายกลายเป็นสมการของรูปแบบ สมการเหล่านี้สอดคล้องกับค่าใดๆ ของสิ่งที่ไม่ทราบและสามารถละทิ้งได้

เพื่อให้เป็นไปตามสมการที่สองเราสามารถเลือกค่าใดก็ได้สำหรับ และ จากนั้นค่าสำหรับจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน: - จากสมการแรกจะพบค่าที่ไม่ซ้ำกันด้วย: .

ทั้งระบบที่ให้และระบบสุดท้ายมีความสอดคล้องกันแต่ไม่แน่นอนและเป็นสูตร

ตามอำเภอใจและให้คำตอบทั้งหมดของระบบที่กำหนดแก่เรา

วิธีเกาส์และระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ

ตัวอย่างถัดไปคือระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกัน นั่นคือระบบที่ไม่มีคำตอบ คำตอบสำหรับปัญหาดังกล่าวมีการกำหนดไว้ดังนี้ ระบบไม่มีวิธีแก้ไข

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วเกี่ยวกับตัวอย่างแรก หลังจากดำเนินการแปลงแล้ว แถวของแบบฟอร์มอาจปรากฏในเมทริกซ์แบบขยายของระบบ

สอดคล้องกับสมการของรูปแบบ

หากในหมู่พวกเขามีสมการอย่างน้อยหนึ่งสมการที่มีเทอมอิสระที่ไม่ใช่ศูนย์ (เช่น ) ระบบสมการนี้ไม่สอดคล้องกันนั่นคือมันไม่มีคำตอบและคำตอบของมันเสร็จสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ 7แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์:

สารละลาย. เราเขียนเมทริกซ์แบบขยายของระบบ เมื่อใช้สมการแรก เราจะแยกตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สอง บรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สาม และบรรทัดแรกคูณด้วยบรรทัดที่สี่

ตอนนี้คุณต้องใช้สมการที่สองเพื่อกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่ตามมา เพื่อให้ได้อัตราส่วนจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์ เราจะสลับแถวที่สองและสามของเมทริกซ์ขยายของระบบ

หากต้องการแยกสมการที่สามและสี่ออก ให้บวกสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สาม และสมการที่สองคูณด้วย เข้ากับบรรทัดที่สี่

ตอนนี้ เมื่อใช้สมการที่สาม เราจะกำจัดตัวแปรออกจากสมการที่สี่ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เพิ่มบรรทัดที่สามเข้ากับบรรทัดที่สี่ คูณด้วย

ระบบที่กำหนดจึงเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้:

ระบบผลลัพธ์ไม่สอดคล้องกันเนื่องจากสมการสุดท้ายของมันไม่สามารถตอบสนองด้วยค่าที่ไม่รู้จักใด ๆ ดังนั้นระบบนี้จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

2. การปรับเปลี่ยนวิธีเกาส์

วิธีเกาส์เซียนพร้อมการเลือกองค์ประกอบหลัก ข้อจำกัดหลักของวิธีเกาส์คือการสันนิษฐานว่าองค์ประกอบทั้งหมดที่ดำเนินการหารในแต่ละขั้นตอนข้างหน้านั้นไม่เท่ากับศูนย์ องค์ประกอบเหล่านี้เรียกว่าองค์ประกอบหลักและอยู่บนเส้นทแยงมุมหลักของเมทริกซ์ A

หากในขั้นตอนหนึ่งของการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าองค์ประกอบหลัก = 0 แสดงว่าการแก้ปัญหาของระบบเพิ่มเติมนั้นเป็นไปไม่ได้ หากองค์ประกอบหลักมีค่าน้อยใกล้กับศูนย์ ข้อผิดพลาดที่เพิ่มขึ้นอย่างมากอาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากการเพิ่มขึ้นอย่างมากของค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้รับจากการหาร ในสถานการณ์เช่นนี้ วิธีเกาส์เซียนจะไม่เสถียร

วิธีเกาส์พร้อมตัวเลือกองค์ประกอบหลักช่วยให้เราสามารถแยกการเกิดกรณีดังกล่าวได้

แนวคิดของวิธีนี้มีดังนี้ ที่ขั้นตอนที่ k ของการเคลื่อนที่ไปข้างหน้า ไม่ใช่ตัวแปรที่มีหมายเลขถัดไป x k ที่ถูกแยกออกจากสมการ แต่เป็นตัวแปรที่มีค่าสัมประสิทธิ์มีค่ามากที่สุดในค่าสัมบูรณ์ เพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีการหารด้วยศูนย์และวิธีการยังคงมีเสถียรภาพ

หากเลือกที่ขั้นตอนที่ k ¹ เป็นองค์ประกอบหลัก ดังนั้นในเมทริกซ์ A¢ แถวที่มีตัวเลข k และ p และคอลัมน์ที่มีตัวเลข k และ q จะต้องสลับกัน

การจัดเรียงแถวใหม่จะไม่ส่งผลต่อการแก้ปัญหา เนื่องจากสอดคล้องกับการกลับสมการในระบบ แต่การจัดเรียงคอลัมน์ใหม่หมายถึงการเปลี่ยนหมายเลขของตัวแปร ดังนั้น ข้อมูลเกี่ยวกับคอลัมน์ที่จัดเรียงใหม่ทั้งหมดจะต้องได้รับการเก็บรักษาไว้ เพื่อว่าหลังจากการย้ายย้อนกลับเสร็จสิ้นแล้ว จึงสามารถเรียกคืนการกำหนดหมายเลขเดิมของตัวแปรได้

มีการแก้ไขวิธีเกาส์ที่ง่ายกว่าสองประการ:

ด้วยการเลือกองค์ประกอบหลักตามคอลัมน์

พร้อมการเลือกองค์ประกอบหลักทีละบรรทัด

ในกรณีแรก องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในค่าสัมบูรณ์ของแถวที่ k (ในบรรดาองค์ประกอบ i = ) จะถูกเลือกเป็นองค์ประกอบหลัก ในวินาที - องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในค่าสัมบูรณ์ของคอลัมน์ kth (ในบรรดาองค์ประกอบ i = ) วิธีแรกเป็นวิธีที่แพร่หลายที่สุด เนื่องจากจำนวนตัวแปรที่นี่ไม่เปลี่ยนแปลง

ควรสังเกตว่าการปรับเปลี่ยนเหล่านี้ใช้กับการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนเท่านั้น การย้อนกลับจะดำเนินการโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง แต่หลังจากได้รับวิธีแก้ปัญหาแล้ว อาจจำเป็นต้องคืนค่าการกำหนดหมายเลขเดิมของตัวแปร

การสลายตัวของลู ในซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่ วิธีเกาส์เซียนถูกนำมาใช้โดยใช้การสลายตัวของ LU ซึ่งเข้าใจกันว่าเป็นตัวแทนของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ A เนื่องจากผลคูณ A = LU ของเมทริกซ์สองตัว L และ U โดยที่ L คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง U คือเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

หากได้รับการขยายตัว LU แล้วการแก้สมการของระบบสมการดั้งเดิม (2) จะลดลงเหลือการแก้ตามลำดับของสมการสองระบบต่อไปนี้ที่มีเมทริกซ์สัมประสิทธิ์สามเหลี่ยม

สมการพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข

โดยที่ Y = เป็นเวกเตอร์ของตัวแปรเสริม

แนวทางนี้ช่วยให้คุณสามารถแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีด้านขวามือต่างกัน B ได้ซ้ำๆ ในกรณีนี้ ส่วนที่ต้องใช้แรงงานมากที่สุด (การสลายตัวของ LU ของเมทริกซ์ A) จะดำเนินการเพียงครั้งเดียว ขั้นตอนนี้สอดคล้องกับการวิ่งไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียน และมีการประมาณความซับซ้อนที่ O(n 3) การแก้ระบบสมการเพิ่มเติม (6) และ (7) สามารถทำได้หลายครั้ง (สำหรับ B ที่แตกต่างกัน) และการแก้ของแต่ละระบบจะสอดคล้องกับค่าผกผันของวิธีเกาส์เซียน และมีการประมาณความซับซ้อนในการคำนวณเป็น O(n 2 ).

หากต้องการรับการสลายตัวของ LU คุณสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้

1. สำหรับระบบดั้งเดิม (1) ให้ดำเนินการก้าวหน้าไปข้างหน้าของวิธีเกาส์เซียนและรับระบบสมการสามเหลี่ยม (5)

2. กำหนดองค์ประกอบของเมทริกซ์ U ตามกฎ

คุณ ij = C ij (i = ; j = )

3. คำนวณองค์ประกอบของเมทริกซ์ L ตามกฎ

สูตรคำนวณแก้ระบบ (6) มีรูปแบบดังนี้

ปี 1 = ข 1 / ลิตร 11 ;

สูตรคำนวณแก้ระบบ (7)

(ผม = n - 1, n - 2, …, 1)

ในเวลาเดียวกันการค้นหาเมทริกซ์ผกผันจริง ๆ แล้วเป็นกระบวนการที่ค่อนข้างใช้แรงงานมากและการเขียนโปรแกรมแทบจะเรียกได้ว่าเป็นงานเบื้องต้น ดังนั้นในทางปฏิบัติจึงมักใช้วิธีเชิงตัวเลขสำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมากกว่า วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นมีดังต่อไปนี้ วิธีเกาส์ วิธีแครเมอร์ วิธีวนซ้ำ ตัวอย่างเช่น ในวิธีเกาส์ พวกมันทำงานบน...

35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 5. การวิเคราะห์เปรียบเทียบวิธีการต่างๆ ในการสร้างความแตกต่างเชิงตัวเลข และการอินทิเกรต ia 5.1 วิธีการหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข 5.1.1 วิธีการอธิบาย สมมติว่าในย่านใกล้เคียงของจุด xi ฟังก์ชัน F (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นจำนวนที่เพียงพอ -

ใน Turbo Pascal 7.0 สำหรับการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นโดยใช้วิธีการวนซ้ำอย่างง่าย 1.2 การกำหนดโจทย์ทางคณิตศาสตร์ ให้ A เป็นเมทริกซ์ที่ไม่เป็นเอกพจน์ และเราจำเป็นต้องแก้ระบบที่องค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์ A ไม่เป็นศูนย์ 1.3 การทบทวนวิธีการเชิงตัวเลขที่มีอยู่สำหรับการแก้ปัญหา วิธีเกาส์เซียน ในวิธีเกาส์เซียน เมทริกซ์ SLAE ที่ใช้ค่าเทียบเท่า...

ตัวเลข) ต่อไป โดยใช้สูตร (2), xn-1, xn-2,..., x1 จะพบตามลำดับสำหรับ i=n-1, n-2,...,1 ตามลำดับ ดังนั้น การแก้สมการประเภท (1) จึงอธิบายได้โดยวิธีที่เรียกว่าวิธีกวาด ซึ่งลดลงเป็นการคำนวณโดยใช้สูตรง่ายๆ สามสูตร: การค้นหาสิ่งที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์การกวาด δi, λi โดยใช้สูตร (3) สำหรับ i=1 ,2,…,n (การกวาดโดยตรง) จากนั้นไม่ทราบ xi โดย...