การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลด้วยราก ฟังก์ชันเลขชี้กำลังคืออะไร? ตัวอย่างอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด วิธีแก้

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "สมการเลขชี้กำลังและอสมการเลขชี้กำลัง"

วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับเกรด 11
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 9-11 "ตรีโกณมิติ"
คู่มือแบบโต้ตอบสำหรับเกรด 10-11 "ลอการิทึม"

นิยามของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

พวกเราศึกษาฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เรียนรู้คุณสมบัติของมัน และสร้างกราฟ วิเคราะห์ตัวอย่างสมการที่พบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง วันนี้เราจะศึกษาสมการเลขชี้กำลังและอสมการ

คำนิยาม. สมการในรูปแบบ: $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เรียกว่าสมการเลขชี้กำลัง

เมื่อนึกถึงทฤษฎีบทที่เราศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง" เราสามารถแนะนำทฤษฎีบทใหม่ได้:
ทฤษฎีบท. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))=a^(g(x))$ โดยที่ $a>0$, $a≠1$ เทียบเท่ากับสมการ $f(x)=g(x) $.

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง.
แก้สมการ:
ก) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ค) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$
สารละลาย.
ก) เรารู้ดีว่า $27=3^3$
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $3^(3x-3)=3^3$
เมื่อใช้ทฤษฎีบทข้างต้น เราพบว่าสมการของเราลดลงเหลือสมการ $3x-3=3$ เมื่อแก้สมการนี้ เราจะได้ $x=2$
คำตอบ: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
จากนั้นสมการของเราสามารถเขียนใหม่ได้: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

C) สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ: $x^2-6x=-3x+18$
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ และ $x_2=-3$.
คำตอบ: $x_1=6$ และ $x_2=-3$

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$
สารละลาย:
ลองทำชุดการกระทำตามลำดับและนำสมการทั้งสองข้างมาอยู่บนฐานเดียวกัน
มาดำเนินการหลายอย่างทางด้านซ้าย:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$
มาดูทางด้านขวากันดีกว่า:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$
สมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับสมการ:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
คำตอบ: $x=0$.

ตัวอย่าง.
แก้สมการ: $9^x+3^(x+2)-36=0$
สารละลาย:
ลองเขียนสมการของเราใหม่: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
มาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรกัน โดยให้ $a=3^x$
ในใหม่ สมการตัวแปรจะอยู่ในรูปแบบ: $a^2+9a-36=0$
$(ก+12)(ก-3)=0$.
$a_1=-12$ และ $a_2=3$.
เรามาทำการเปลี่ยนแปลงตัวแปรแบบย้อนกลับกัน: $3^x=-12$ และ $3^x=3$
ในบทเรียนสุดท้ายเราได้เรียนรู้สิ่งนั้น การแสดงออกที่แสดงให้เห็นสามารถยอมรับได้เท่านั้น ค่าบวกจำตารางเวลาไว้ ซึ่งหมายความว่าสมการแรกไม่มีคำตอบ สมการที่สองมีคำตอบเดียว: $x=1$
คำตอบ: $x=1$.

เรามาเตือนความจำถึงวิธีแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. วิธีกราฟิกเราแสดงทั้งสองด้านของสมการในรูปแบบของฟังก์ชันและสร้างกราฟ ค้นหาจุดตัดกันของกราฟ (เราใช้วิธีนี้ในบทเรียนที่แล้ว)
2. หลักการความเท่าเทียมกันของตัวชี้วัดโดยหลักการจะขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าสองสำนวนด้วย ในบริเวณเดียวกันจะเท่ากันก็ต่อเมื่อองศา (ตัวชี้วัด) ของฐานเหล่านี้เท่ากัน $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. วิธีการแทนที่ตัวแปร วิธีการนี้ควรใช้ถ้าสมการเมื่อแทนที่ตัวแปรจะทำให้รูปแบบง่ายขึ้นและแก้ไขได้ง่ายกว่ามาก

ตัวอย่าง.
แก้ระบบสมการ: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12 \end (กรณี)$.
สารละลาย.
ลองพิจารณาทั้งสองสมการของระบบแยกกัน:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3ป)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
พิจารณาสมการที่สอง:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
ลองใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงตัวแปร ให้ $y=2^(x+y)$
จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ และ $y_2=-3$.
มาดูตัวแปรเริ่มต้นกันดีกว่า จากสมการแรกเราจะได้ $x+y=2$ สมการที่สองไม่มีคำตอบ แล้วของเรา ระบบเริ่มต้นสมการเทียบเท่ากับระบบ: $\begin (กรณี) x+3y=0, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
ลบอันที่สองจากสมการแรก เราจะได้: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2 \end (กรณี)$.
$\begin (กรณี) y=-1, \\ x=3 \end (กรณี)$.
คำตอบ: $(3;-1)$.

อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เรามาดูความไม่เท่าเทียมกันกันดีกว่า เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันจำเป็นต้องคำนึงถึงพื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญา มีสองสถานการณ์ที่เป็นไปได้สำหรับการพัฒนาเหตุการณ์เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน

ทฤษฎีบท. ถ้า $a>1$ ดังนั้นอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล $a^(f(x))>a^(g(x))$ จะเท่ากับอสมการ $f(x)>g(x)$
ถ้า $0 a^(g(x))$ เทียบเท่ากับอสมการ $f(x)

ตัวอย่าง.
แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:
ก) $3^(2x+3)>81$
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
สารละลาย.
ก) $3^(2x+3)>81$
$3^(2x+3)>3^4$.
ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$2x+3>4$.
$2x>1$
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ในสมการของเรา ฐานคือเมื่อดีกรี มีค่าน้อยกว่า 1 ดังนั้น เมื่อเปลี่ยนอสมการด้วยค่าที่เท่ากันแล้วจำเป็นต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) ความไม่เท่าเทียมกันของเราเทียบเท่ากับความไม่เท่าเทียมกัน:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
มาใช้ประโยชน์กันเถอะ วิธีช่วงเวลาโซลูชั่น:
คำตอบ: $(-∞;-5]U)