การแสดงออกทั้งหมดก็คือ การแสดงออกทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยตัวเลขและตัวแปรตัวอักษรโดยใช้การดำเนินการบวก ลบ และคูณ จำนวนเต็มยังรวมถึงนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยตัวเลขใดๆ ก็ตามที่ไม่ใช่ศูนย์
แนวคิดของนิพจน์เชิงตรรกยะแบบเศษส่วน
นิพจน์เศษส่วนเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่นอกเหนือจากการดำเนินการบวก การลบ และการคูณด้วยตัวแปรตัวเลขและตัวอักษร รวมถึงการหารด้วยตัวเลขที่ไม่เท่ากับศูนย์แล้ว ยังมีการหารเป็นนิพจน์ด้วยตัวแปรตัวอักษรด้วย
นิพจน์เหตุผลเป็นนิพจน์ทั้งหมดและเศษส่วน สมการตรรกยะคือสมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์ตรรกยะ ถ้าในสมการตรรกยะด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์จำนวนเต็ม สมการตรรกยะดังกล่าวจะเรียกว่าจำนวนเต็ม
หากในสมการตรรกยะด้านซ้ายหรือด้านขวาเป็น นิพจน์เศษส่วนจากนั้นสมการตรรกยะดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วน
ตัวอย่างของนิพจน์เชิงตรรกยะเศษส่วน
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
โครงการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน
1. ค้นหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดที่รวมอยู่ในสมการ
2. คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วนร่วม
3. แก้สมการผลลัพธ์ทั้งหมด
4. ตรวจสอบรากและไม่รวมรากที่ทำให้ตัวส่วนร่วมหายไป
เนื่องจากเรากำลังแก้สมการตรรกยะเศษส่วน จึงจะมีตัวแปรในตัวส่วนของเศษส่วน ซึ่งหมายความว่าพวกมันจะเป็นตัวส่วนร่วม. และในจุดที่สองของอัลกอริทึมเราคูณด้วยตัวส่วนร่วมจากนั้นรากที่ไม่เกี่ยวข้องอาจปรากฏขึ้น โดยที่ตัวส่วนร่วมจะเป็น เท่ากับศูนย์ซึ่งแปลว่าคูณไปก็ไม่มีความหมาย ดังนั้นในตอนท้ายจึงจำเป็นต้องตรวจสอบรากที่ได้รับ
ลองดูตัวอย่าง:
แก้สมการตรรกยะเศษส่วน: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
เราจะยึดติด โครงการทั่วไป: ก่อนอื่นมาหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนทั้งหมดกันก่อน เราได้ x*(x-5)
คูณเศษส่วนแต่ละส่วนด้วยตัวส่วนร่วมแล้วเขียนสมการทั้งหมดที่ได้
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
ให้เราลดความซับซ้อนของสมการผลลัพธ์ เราได้รับ:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
เราได้สมการกำลังสองลดลงอย่างง่าย เราแก้มันด้วยอันใดอันหนึ่ง วิธีการที่ทราบเราจะได้ราก x=-2 และ x=5
ตอนนี้เราตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับ:
แทนตัวเลข -2 และ 5 ลงในตัวส่วนร่วม. ที่ x=-2 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะไม่หายไป -2*(-2-5)=14 ซึ่งหมายความว่าตัวเลข -2 จะเป็นรากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิม
เมื่อ x=5 ตัวส่วนร่วม x*(x-5) จะกลายเป็น เท่ากับศูนย์- ดังนั้น จำนวนนี้จึงไม่ใช่รากของสมการเศษส่วนดั้งเดิม เนื่องจากจะมีการหารด้วยศูนย์
ตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดจะใช้เพื่อทำให้ง่ายขึ้น สมการที่กำหนด. วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณไม่สามารถเขียนสมการที่กำหนดด้วยนิพจน์ตรรกยะหนึ่งนิพจน์ในแต่ละด้านของสมการได้ (และใช้วิธีการคูณแบบกากบาด) วิธีการนี้ใช้เมื่อคุณได้รับสมการตรรกยะที่มีเศษส่วนตั้งแต่ 3 ตัวขึ้นไป (ในกรณีที่มีเศษส่วนสองส่วน ควรใช้การคูณแบบไขว้จะดีกว่า)
ค้นหาตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุดของเศษส่วน (หรือตัวคูณร่วมน้อย) NOZ คือ จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วยตัวส่วนแต่ละตัวลงตัว
- บางครั้ง NPD ก็เป็นตัวเลขที่ชัดเจน ตัวอย่างเช่น หากกำหนดสมการ: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6 จะเห็นได้ชัดว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 3, 2 และ 6 คือ 6
- หาก NCD ไม่ชัดเจน ให้เขียนผลคูณของตัวส่วนที่ใหญ่ที่สุดและหาค่าหนึ่งในนั้นที่จะเป็นตัวคูณของตัวส่วนอื่นๆ บ่อยครั้งที่ NOD สามารถหาได้โดยการคูณตัวส่วนสองตัวเท่านั้น ตัวอย่างเช่น หากให้สมการเป็น x/8 + 2/6 = (x - 3)/9 ดังนั้น NOS = 8*9 = 72
- หากตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวมีตัวแปร กระบวนการก็จะค่อนข้างซับซ้อนมากขึ้น (แต่ไม่ใช่เป็นไปไม่ได้) ในกรณีนี้ NOC คือนิพจน์ (ประกอบด้วยตัวแปร) ที่หารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น ในสมการ 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1) เนื่องจากนิพจน์นี้ถูกหารด้วยตัวส่วนแต่ละตัว: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1)
คูณทั้งเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนด้วยตัวเลขเท่ากับผลการหาร NOC ด้วยตัวส่วนที่สอดคล้องกันของแต่ละเศษส่วน
- ในตัวอย่างของเรา คูณ x/3 ด้วย 2/2 เพื่อให้ได้ 2x/6 และ 1/2 คูณ 3/3 เพื่อให้ได้ 3/6 (ไม่จำเป็นต้องคูณเศษส่วน 3x +1/6 เนื่องจาก ตัวส่วนคือ 6)
- ทำเช่นเดียวกันเมื่อตัวแปรอยู่ในตัวส่วน ในตัวอย่างที่สอง NOZ = 3x(x-1) ดังนั้นให้คูณ 5/(x-1) ด้วย (3x)/(3x) เพื่อให้ได้ 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x คูณด้วย 3(x-1)/3(x-1) แล้วคุณจะได้ 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) คูณด้วย (x-1)/(x-1) แล้วคุณจะได้ 2(x-1)/3x(x-1)
หาเอ็กซ์ตอนนี้คุณได้ลดเศษส่วนลงแล้ว ตัวส่วนร่วม, คุณสามารถกำจัดตัวส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณแต่ละด้านของสมการด้วยตัวส่วนร่วม จากนั้นแก้สมการผลลัพธ์นั่นคือหา "x" เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แยกตัวแปรไว้ที่ด้านหนึ่งของสมการ
- ในตัวอย่างของเรา: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6 คุณสามารถเพิ่มเศษส่วนได้ 2 ตัวด้วย ตัวส่วนเดียวกันดังนั้นเขียนสมการได้เป็น: (2x+3)/6=(3x+1)/6 คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 แล้วกำจัดตัวส่วนออก: 2x+3 = 3x +1 แก้โจทย์แล้วได้ x = 2
- ในตัวอย่างที่สอง (โดยมีตัวแปรในตัวส่วน) สมการจะมีลักษณะดังนี้ (หลังจากลดเป็นตัวส่วนร่วมแล้ว): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1) ด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย N3 คุณจะกำจัดตัวส่วนออกและได้: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) หรือ 15x = 3x - 3 + 2x -2 หรือ 15x = x - 5 แก้โจทย์แล้วได้: x = -5/14
สมีร์โนวา อนาสตาเซีย ยูริเยฟน่า
ประเภทบทเรียน:บทเรียนการเรียนรู้เนื้อหาใหม่
รูปแบบขององค์กร กิจกรรมการศึกษา : หน้าผาก, รายบุคคล
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อแนะนำสมการรูปแบบใหม่ - สมการตรรกยะเศษส่วนเพื่อให้แนวคิดเกี่ยวกับอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเศษส่วน สมการตรรกยะ.
วัตถุประสงค์ของบทเรียน
ทางการศึกษา:
- การก่อตัวของแนวคิดสมการตรรกยะเศษส่วน
- พิจารณาอัลกอริธึมในการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนพร้อมเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์
- สอนการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนโดยใช้อัลกอริทึม
พัฒนาการ:
- สร้างเงื่อนไขในการพัฒนาทักษะในการประยุกต์ความรู้ที่ได้รับ
- ส่งเสริมการพัฒนา ความสนใจทางปัญญานักเรียนในวิชา;
- พัฒนาความสามารถของนักเรียนในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ และสรุปผล
- การพัฒนาทักษะการควบคุมร่วมกันและการควบคุมตนเอง ความสนใจ ความจำ วาจาและ การเขียน, ความเป็นอิสระ
การให้ความรู้:
- ส่งเสริมความสนใจทางปัญญาในเรื่อง;
- ส่งเสริมความเป็นอิสระในการตัดสินใจ งานด้านการศึกษา;
- การบำรุงเลี้ยงความตั้งใจและความเพียรเพื่อให้บรรลุผลสุดท้าย
อุปกรณ์:ตำราเรียน กระดานดำ ดินสอสี
หนังสือเรียน "พีชคณิต 8" Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. เรียบเรียงโดย S.A. Telyakovsky มอสโก "การตรัสรู้" 2010
บน หัวข้อนี้มีการจัดสรรห้าชั่วโมง นี่เป็นบทเรียนแรก สิ่งสำคัญคือการศึกษาอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนและฝึกฝนอัลกอริทึมนี้ในแบบฝึกหัด
ความคืบหน้าของบทเรียน
1. ช่วงเวลาขององค์กร
สวัสดีทุกคน! วันนี้ฉันอยากจะเริ่มบทเรียนของเราด้วย quatrain:
เพื่อให้ชีวิตง่ายขึ้นสำหรับทุกคน
อะไรจะตัดสินใจ อะไรจะเป็นไปได้
ยิ้มขอให้ทุกคนโชคดี
เพื่อไม่ให้เกิดปัญหา
เรายิ้มให้กันและสร้างสรรค์ อารมณ์ดีและเริ่มทำงาน
มีสมการเขียนอยู่บนกระดาน ลองดูให้ดี คุณสามารถแก้สมการทั้งหมดนี้ได้หรือไม่? อันไหนไม่ใช่และเพราะเหตุใด
สมการที่ด้านซ้ายและด้านขวาเป็นนิพจน์เศษส่วนเรียกว่าสมการตรรกยะเศษส่วน คุณคิดว่าเราจะเรียนอะไรในชั้นเรียนวันนี้? กำหนดหัวข้อของบทเรียน ดังนั้น ให้เปิดสมุดบันทึกของคุณและจดหัวข้อบทเรียน "การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน"
2. การอัพเดตความรู้ การสำรวจหน้าผาก งานช่องปากกับชั้นเรียน
และตอนนี้เราจะทำซ้ำเนื้อหาทางทฤษฎีหลักที่เราต้องศึกษา หัวข้อใหม่- กรุณาตอบคำถามต่อไปนี้:
- สมการคืออะไร? - ความเท่าเทียมกันกับตัวแปรหรือตัวแปร.)
- สมการหมายเลข 1 ชื่ออะไร - เชิงเส้น.) วิธีการแก้สมการเชิงเส้น - โอนทุกอย่างโดยที่ไม่รู้จักไปที่ ด้านซ้ายสมการตัวเลขทั้งหมดอยู่ทางขวา ตะกั่ว เงื่อนไขที่คล้ายกัน- ค้นหาปัจจัยที่ไม่ทราบ).
- สมการหมายเลข 3 ชื่ออะไร - สี่เหลี่ยม.) วิธีการแก้สมการกำลังสอง (ป เกี่ยวกับสูตร)
- สัดส่วนคืออะไร? - ความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน.) คุณสมบัติหลักของสัดส่วน - หากสัดส่วนถูกต้อง ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง.)
- คุณสมบัติใดที่ใช้ในการแก้สมการ? - 1. หากคุณย้ายคำศัพท์ในสมการจากส่วนหนึ่งไปอีกส่วนหนึ่งโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับสมการที่กำหนด 2. หากทั้งสองข้างของสมการคูณหรือหารด้วยจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เท่ากัน คุณจะได้สมการที่เทียบเท่ากับค่าที่กำหนด.)
- เมื่อเศษส่วนเท่ากับศูนย์? - เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์และตัวส่วนไม่เป็นศูนย์.)
3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่
แก้สมการข้อ 2 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน
คำตอบ: 10.
สมการตรรกยะเศษส่วนใดที่คุณสามารถลองแก้ได้โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของสัดส่วน (หมายเลข 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6
x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8
แก้สมการข้อ 4 ในสมุดบันทึกและบนกระดาน
คำตอบ: 1,5.
สมการเศษส่วนใดที่คุณสามารถลองแก้ได้ด้วยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวส่วน (หมายเลข 6).
x 2 -7x+12 = 0
ง=1›0, x 1 =3, x 2 =4
คำตอบ: 3;4.
เราจะดูการแก้สมการเช่นสมการที่ 7 ในบทเรียนต่อไปนี้
อธิบายว่าทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เหตุใดจึงมีสามรากในกรณีหนึ่งและอีกสองกรณี? รากของสมการตรรกยะเศษส่วนนี้มีจำนวนเท่าใด
จนถึงขณะนี้ นักเรียนยังไม่เคยพบกับแนวคิดเรื่องรากเหง้าภายนอก เป็นเรื่องยากมากสำหรับพวกเขาที่จะเข้าใจว่าเหตุใดจึงเกิดเหตุการณ์เช่นนี้ ถ้าไม่มีใครในชั้นเรียนสามารถอธิบายสถานการณ์นี้ได้ชัดเจน ครูจะถามคำถามนำ
- สมการที่ 2 และ 4 แตกต่างจากสมการที่ 5 และ 6 อย่างไร - ในสมการที่ 2 และ 4 มีตัวเลขอยู่ในตัวส่วน หมายเลข 5-6 - นิพจน์ที่มีตัวแปร.)
- รากของสมการคืออะไร? - ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการกลายเป็นจริง.)
- จะทราบได้อย่างไรว่าตัวเลขคือรากของสมการ? - ทำเช็ค.)
เมื่อทำการทดสอบ นักเรียนบางคนสังเกตว่าต้องหารด้วยศูนย์ พวกเขาสรุปว่าตัวเลข 0 และ 5 ไม่ใช่รากของสมการนี้ คำถามเกิดขึ้น: มีวิธีแก้สมการตรรกยะเศษส่วนที่ช่วยให้เรากำจัดได้หรือไม่ ข้อผิดพลาดนี้- ใช่ วิธีการนี้มีเงื่อนไขว่าเศษส่วนเท่ากับศูนย์
ลองกำหนดอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนด้วยวิธีนี้ เด็ก ๆ กำหนดอัลกอริทึมด้วยตนเอง
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน:
- ย้ายทุกอย่างไปทางซ้าย
- ลดเศษส่วนให้เป็นตัวส่วนร่วม.
- สร้างระบบ: เศษส่วนเท่ากับศูนย์เมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์
- แก้สมการ
- ตรวจสอบความไม่เท่าเทียมกันเพื่อแยกรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก
- เขียนคำตอบ.
4. ความเข้าใจเบื้องต้นเกี่ยวกับเนื้อหาใหม่
ทำงานเป็นคู่. นักเรียนเลือกวิธีการแก้สมการด้วยตนเองขึ้นอยู่กับประเภทของสมการ งานมอบหมายจากหนังสือเรียน "พีชคณิต 8", Yu.N. มาคารีเชฟ 2550: เลขที่ 600(b,c); เลขที่ 601(ก,อี) ครูติดตามความสำเร็จของงาน ตอบคำถามใดๆ ที่เกิดขึ้น และให้ความช่วยเหลือนักเรียนที่มีผลการเรียนต่ำ ทดสอบตัวเอง: คำตอบจะถูกเขียนไว้บนกระดาน
b) 2 - รูทภายนอก คำตอบ: 3.
c) 2 - รูตภายนอก คำตอบ: 1.5.
ก) คำตอบ: -12.5
5. ตั้งเวลาทำการบ้าน.
- อ่านย่อหน้าที่ 25 จากหนังสือเรียน วิเคราะห์ตัวอย่างที่ 1-3
- เรียนรู้อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน
- แก้ไขในสมุดบันทึกหมายเลข 600 (d, d); เลขที่ 601(ก,ซ).
6. สรุปบทเรียน
ดังนั้น วันนี้ในบทเรียน เราได้ทำความคุ้นเคยกับสมการตรรกยะเศษส่วน เรียนรู้วิธีแก้สมการเหล่านี้ ในรูปแบบต่างๆ- ไม่ว่าคุณจะแก้สมการตรรกยะเศษส่วนอย่างไร คุณควรคำนึงถึงสิ่งใด “ไหวพริบ” ของสมการตรรกยะเศษส่วนคืออะไร?
ขอบคุณทุกคน บทเรียนจบลงแล้ว
\(\bullet\) สมการตรรกยะคือสมการที่แสดงในรูปแบบ \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] โดยที่ \(P(x), \Q(x)\ ) - พหุนาม (ผลรวมของ "X" ที่มีค่ายกกำลังต่าง ๆ คูณด้วยตัวเลขต่าง ๆ )
นิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการเรียกว่านิพจน์เหตุผล
ODZ (ภูมิภาค ค่าที่ยอมรับได้) ของสมการตรรกยะคือค่าทั้งหมดของ \(x\) ซึ่งตัวส่วนไม่หายไปนั่นคือ \(Q(x)\ne 0\)
\(\bullet\) ตัวอย่างเช่น สมการ \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\]เป็นสมการตรรกยะ
ในสมการแรก ODZ ทั้งหมด \(x\) โดยที่ \(x\ne 3\) (เขียน \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)- ในสมการที่สอง – ทั้งหมดนี้คือ \(x\) โดยที่ \(x\ne -1; x\ne 1\) (เขียน \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)- และในสมการที่สามไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับ ODZ นั่นคือ ODZ คือทั้งหมด \(x\) (เขียนว่า \(x\in\mathbb(R)\))
\(\bullet\) ทฤษฎีบท: 1) ผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวใดตัวหนึ่งมีค่าเท่ากับศูนย์ และอีกตัวหนึ่งไม่สูญเสียความหมาย ดังนั้นสมการ \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) เทียบเท่ากับระบบ\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(aligned) \end(gathered) \right.\\ \ ข้อความ (สมการ ODZ) \end(กรณี)\] 2) เศษส่วนจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อตัวเศษเท่ากับศูนย์และตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้น สมการ \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) เทียบเท่ากับระบบสมการ\[\begin(กรณี) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(กรณี)\]
\(\bullet\) ลองดูตัวอย่างบางส่วน
1) แก้สมการ \(x+1=\dfrac 2x\)
ลองหา ODZ ของสมการนี้ - นี่คือ \(x\ne 0\) (เนื่องจาก \(x\) อยู่ในตัวส่วน) ซึ่งหมายความว่า ODZ สามารถเขียนได้ดังนี้:ลองย้ายพจน์ทั้งหมดมาไว้ในส่วนเดียวแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:
\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\ลูกศรซ้าย\quad \begin( กรณี) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(กรณี)\] ผลเฉลยของสมการแรกของระบบจะเป็น \(x=-2, x=1\) เราจะเห็นว่ารากทั้งสองไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นคำตอบคือ: \(x\in \(-2;1\)\) 2) แก้สมการ \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\).
ดังนั้นสมการนี้จึงเทียบเท่ากับระบบ:
\[\begin(cases) \left[ \begin(gathered)\begin(aligned) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(aligned) \end(gathered) \right. \\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม)\begin(ชิด) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\\ x\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin(รวบรวม) \begin(ชิด) &x=2\\ &x=1 \end(ชิด) \end(รวบรวม) \right.\]จริงๆ แล้ว แม้ว่า \(x=0\) จะเป็นรากของปัจจัยที่สอง แต่ถ้าคุณแทน \(x=0\) ลงในสมการดั้งเดิม ก็จะไม่สมเหตุสมผล เพราะ ไม่ได้กำหนดนิพจน์ \(\dfrac 40\)
ดังนั้น วิธีแก้สมการนี้คือ \(x\in \(1;2\)\)
3) แก้สมการ \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]ในสมการของเรา \(4x^2-1\ne 0\) ซึ่ง \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) ซึ่งก็คือ \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
ลองย้ายพจน์ทั้งหมดไปทางซ้ายแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม:
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \รูปสี่เหลี่ยม \ลูกศรซ้ายขวา\)
\(\ลูกศรซ้าย \quad \begin(กรณี) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(กรณี) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(กรณี) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(กรณี) \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \begin(กรณี) \left[ \begin(รวบรวม) \begin( จัดเรียง) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(ชิด)\end(รวบรวม) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(กรณี) \quad \ ลูกศรซ้ายขวา \รูปสี่เหลี่ยม x=-3\)
คำตอบ: \(x\in \(-3\)\)
ความคิดเห็น หากคำตอบประกอบด้วยชุดตัวเลขที่มีจำกัด ก็สามารถเขียนโดยคั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาคในวงเล็บปีกกา ดังที่แสดงในตัวอย่างก่อนหน้านี้
ปัญหาที่ต้องแก้สมการตรรกยะจะพบทุกปีในการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นเมื่อเตรียมสอบผ่านการรับรอง ผู้สำเร็จการศึกษาควรทำซ้ำทฤษฎีในหัวข้อนี้ด้วยตนเองอย่างแน่นอน ผู้สำเร็จการศึกษาทั้งขั้นพื้นฐานและ ระดับโปรไฟล์การสอบ. หลังจากเข้าใจทฤษฎีและจัดการกับมันแล้ว แบบฝึกหัดภาคปฏิบัติในหัวข้อ "สมการตรรกยะ" นักเรียนจะสามารถแก้ปัญหาด้วยการกระทำจำนวนเท่าใดก็ได้และนับคะแนนการแข่งขันตามผลการผ่านการสอบ Unified State
จะเตรียมตัวสอบโดยใช้พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo ได้อย่างไร?
บางครั้งคุณอาจพบแหล่งที่นำเสนอทฤษฎีพื้นฐานในการแก้ปัญหาได้ครบถ้วน ปัญหาทางคณิตศาสตร์กลายเป็นเรื่องค่อนข้างยาก หนังสือเรียนอาจไม่อยู่ในมือ และค้นหา สูตรที่จำเป็นบางครั้งอาจเป็นเรื่องยากแม้แต่บนอินเทอร์เน็ต
พอร์ทัลการศึกษาของ Shkolkovo จะช่วยให้คุณไม่ต้องค้นหา วัสดุที่ต้องการและจะช่วยให้คุณเตรียมตัวผ่านการทดสอบการรับรองได้ดี
ทั้งหมด ทฤษฎีที่จำเป็นในหัวข้อ “สมการตรรกยะ” ผู้เชี่ยวชาญของเราได้จัดทำและนำเสนออย่างสูงสุด แบบฟอร์มที่สามารถเข้าถึงได้- หลังจากศึกษาข้อมูลที่นำเสนอแล้ว นักเรียนจะสามารถเติมช่องว่างความรู้ได้
สำหรับ การเตรียมการที่ประสบความสำเร็จถึง การสอบ Unified State สำหรับผู้สำเร็จการศึกษาไม่เพียงแต่ต้องปัดฝุ่นเรื่องพื้นฐานเท่านั้น วัสดุทางทฤษฎีในหัวข้อ “สมการตรรกยะ” แต่ให้ฝึกทำภารกิจให้สำเร็จต่อไป ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง- มีงานให้เลือกมากมายในส่วน "แคตตาล็อก"
สำหรับแบบฝึกหัดแต่ละข้อบนเว็บไซต์ ผู้เชี่ยวชาญของเราได้เขียนอัลกอริธึมการแก้ปัญหาและระบุคำตอบที่ถูกต้อง นักเรียนสามารถฝึกการแก้ปัญหาได้ องศาที่แตกต่างกันความยากขึ้นอยู่กับระดับการฝึก รายการงานในส่วนที่เกี่ยวข้องได้รับการเสริมและปรับปรุงอย่างต่อเนื่อง
ศึกษาเนื้อหาทางทฤษฎีและฝึกฝนทักษะการแก้ปัญหาในหัวข้อ “สมการตรรกยะ” เช่นเดียวกับที่รวมอยู่ใน การทดสอบการสอบ Unified Stateสามารถทำได้ทางออนไลน์ หากจำเป็น คุณสามารถเพิ่มงานที่นำเสนอในส่วน "รายการโปรด" ได้ ซ้ำอีกครั้ง ทฤษฎีพื้นฐานในหัวข้อ “สมการตรรกยะ” นักเรียนมัธยมปลายจะสามารถกลับไปสู่ปัญหาในอนาคตเพื่อหารือเกี่ยวกับความคืบหน้าของการแก้ปัญหากับครูในบทเรียนพีชคณิต
มาทำความคุ้นเคยกับสมการตรรกยะตรรกศาสตร์และเศษส่วน ให้คำจำกัดความ ยกตัวอย่าง และวิเคราะห์ปัญหาประเภทที่พบบ่อยที่สุด
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
สมการตรรกยะ: คำจำกัดความและตัวอย่าง
การทำความคุ้นเคยกับการแสดงออกอย่างมีเหตุผลเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ของโรงเรียน ในเวลานี้ ในบทเรียนพีชคณิต นักเรียนเริ่มเผชิญกับการบ้านที่มีสมการที่มีนิพจน์เหตุผลในบันทึกมากขึ้น มารีเฟรชความทรงจำของเรากันดีกว่าว่ามันคืออะไร
คำจำกัดความ 1
สมการตรรกยะเป็นสมการที่ทั้งสองฝ่ายมีนิพจน์ที่เป็นเหตุเป็นผล
ในคู่มือต่างๆ คุณสามารถค้นหาสูตรอื่นได้
คำจำกัดความ 2
สมการตรรกยะเป็นสมการที่ด้านซ้ายมือประกอบด้วย การแสดงออกอย่างมีเหตุผลและอันขวาคือศูนย์
คำจำกัดความที่เราให้ไว้สำหรับสมการตรรกยะนั้นเทียบเท่ากัน เนื่องจากพวกมันพูดถึงสิ่งเดียวกัน ความถูกต้องของคำพูดของเราได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับการแสดงออกที่มีเหตุผลใด ๆ ปและ ถามสมการ พี = คิวและ พี - คิว = 0จะเป็นนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างกัน
ตัวอย่างที่ 1
สมการตรรกยะ:
x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3
สมการตรรกยะก็เหมือนกับสมการประเภทอื่นๆ สามารถมีตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึงหลายตัวแปร ก่อนอื่นเราจะดูที่ ตัวอย่างง่ายๆโดยสมการจะมีตัวแปรเพียงตัวเดียว จากนั้นเราจะเริ่มค่อยๆทำให้งานซับซ้อนขึ้น
สมการตรรกยะแบ่งออกเป็นสองส่วน กลุ่มใหญ่: จำนวนเต็มและเศษส่วน มาดูกันว่าสมการใดที่จะนำไปใช้กับแต่ละกลุ่ม
คำจำกัดความ 3
สมการตรรกยะจะเป็นจำนวนเต็มถ้าด้านซ้ายและขวามีนิพจน์ตรรกยะทั้งหมด
คำจำกัดความที่ 4
สมการตรรกยะจะเป็นเศษส่วนถ้าส่วนใดส่วนหนึ่งหรือทั้งสองส่วนมีเศษส่วน
สมการตรรกยะเศษส่วนจำเป็นต้องมีการหารด้วยตัวแปร หรือมีตัวแปรอยู่ในตัวส่วน ไม่มีการแบ่งเช่นนี้ในการเขียนสมการทั้งหมด
ตัวอย่างที่ 2
3 x + 2 = 0และ (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– สมการตรรกยะทั้งหมด ทั้งสองด้านของสมการจะแสดงด้วยนิพจน์จำนวนเต็ม
1 x - 1 = x 3 และ x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5เป็นสมการตรรกยะเศษส่วน
สมการตรรกศาสตร์ทั้งหมดประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง
การแก้สมการทั้งหมด
การแก้สมการดังกล่าวมักจะต้องแปลงให้เป็นสมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ซึ่งสามารถทำได้โดยดำเนินการแปลงสมการที่เท่ากันตามอัลกอริทึมต่อไปนี้:
- ขั้นแรก เราได้ศูนย์ทางด้านขวาของสมการ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราต้องย้ายนิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของสมการไปทางซ้ายแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย
- จากนั้นเราจะแปลงนิพจน์ทางด้านซ้ายของสมการให้เป็นพหุนาม มุมมองมาตรฐาน.
เราจะต้องได้สมการพีชคณิต สมการนี้จะเทียบเท่ากับสมการดั้งเดิม กรณีง่ายๆ ช่วยให้เราสามารถลดสมการทั้งหมดให้เป็นเชิงเส้นหรือกำลังสองเพื่อแก้ปัญหาได้ โดยทั่วไป เราจะแก้สมการพีชคณิตของระดับ n.
ตัวอย่างที่ 3
จำเป็นต้องค้นหารากของสมการทั้งหมด 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.
สารละลาย
ให้เราแปลงนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อให้ได้สมการพีชคณิตที่เทียบเท่ากัน ในการดำเนินการนี้ เราจะย้ายนิพจน์ที่อยู่ทางด้านขวาของสมการไปไว้ทางด้านซ้ายและแทนที่เครื่องหมายด้วยเครื่องหมายที่อยู่ตรงข้าม เป็นผลให้เราได้รับ: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.
ทีนี้ลองแปลงนิพจน์ทางด้านซ้ายเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานและผลลัพธ์กัน การดำเนินการที่จำเป็นด้วยพหุนามนี้:
3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6
เราจัดการเพื่อลดคำตอบจากสมการเดิมเป็นคำตอบได้ สมการกำลังสองใจดี x 2 − 5 x − 6 = 0- การแบ่งแยกสมการนี้คือค่าบวก: ง = (− 5) 2 − 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49ซึ่งหมายความว่า รากที่แท้จริงจะมีสองคน ลองใช้สูตรหารากของสมการกำลังสอง:
x = - - 5 ± 49 2 1,
x 1 = 5 + 7 2 หรือ x 2 = 5 - 7 2,
x 1 = 6 หรือ x 2 = - 1
เรามาตรวจสอบความถูกต้องของรากของสมการที่เราพบระหว่างการแก้โจทย์กันดีกว่า ในกรณีนี้ เราจะแทนที่ตัวเลขที่เราได้รับลงในสมการดั้งเดิม: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3และ 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3- ในกรณีแรก 63 = 63 ในครั้งที่สอง 0 = 0 - ราก x = 6และ x = - 1เป็นรากของสมการที่ให้ไว้ในเงื่อนไขตัวอย่างจริงๆ
คำตอบ: 6 , − 1 .
มาดูกันว่า "ระดับของสมการทั้งหมด" หมายถึงอะไร เรามักจะพบคำนี้ในกรณีที่เราต้องแสดงสมการทั้งหมดในรูปแบบพีชคณิต เรามากำหนดแนวคิดกัน
คำจำกัดความที่ 5
ระดับของสมการทั้งหมด- นี่คือปริญญา สมการพีชคณิตเทียบเท่ากับสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม
หากคุณดูสมการจากตัวอย่างด้านบน คุณสามารถกำหนดได้ว่า: ระดับของสมการทั้งหมดนี้คือระดับที่สอง
หากหลักสูตรของเราจำกัดอยู่เพียงการแก้สมการระดับที่สอง การอภิปรายในหัวข้อนี้ก็อาจจบลงเพียงเท่านี้ แต่มันไม่ง่ายขนาดนั้น การแก้สมการระดับที่สามนั้นเต็มไปด้วยความยากลำบาก และสำหรับสมการที่สูงกว่าระดับที่สี่ก็ไม่มี สูตรทั่วไปราก. ในเรื่องนี้ การแก้สมการทั้งหมดขององศาที่สาม สี่ และองศาอื่นๆ ทำให้เราต้องใช้เทคนิคและวิธีการอื่นๆ มากมาย
วิธีการแก้สมการตรรกยะทั้งหมดที่ใช้กันมากที่สุดจะขึ้นอยู่กับวิธีการแยกตัวประกอบ อัลกอริธึมของการดำเนินการในกรณีนี้มีดังนี้:
- เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายเพื่อให้ศูนย์ยังคงอยู่ทางด้านขวาของบันทึก
- เราแสดงนิพจน์ทางด้านซ้ายเป็นผลคูณของปัจจัย จากนั้นจึงไปยังชุดสมการที่ง่ายกว่าหลายรายการ
หาคำตอบของสมการ (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13)
สารละลาย
เราย้ายนิพจน์จากด้านขวาของบันทึกไปทางซ้ายด้วย เครื่องหมายตรงข้าม: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0- การแปลงด้านซ้ายมือให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานนั้นไม่เหมาะสม เนื่องจากจะทำให้เราได้สมการพีชคณิตระดับที่ 4: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0- ความง่ายในการแปลงไม่ได้แสดงให้เห็นถึงความยุ่งยากทั้งหมดในการแก้สมการดังกล่าว
ไปทางอื่นง่ายกว่ามาก: เอามันออกจากวงเล็บดีกว่า ตัวคูณทั่วไป x 2 - 10 x + 13 .เราก็มาถึงสมการของรูปแบบแล้ว (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0- ตอนนี้เราแทนที่สมการผลลัพธ์ด้วยชุดสมการกำลังสองสองชุด x 2 − 10 x + 13 = 0และ x 2 − 2 x − 1 = 0และค้นหารากของมันผ่านการแบ่งแยก: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2
คำตอบ: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถใช้วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่ได้ วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถเลื่อนไปยังสมการที่เทียบเท่าซึ่งมีองศาที่ต่ำกว่าองศาในสมการจำนวนเต็มดั้งเดิม
ตัวอย่างที่ 5
สมการนี้มีรากหรือไม่? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?
สารละลาย
หากตอนนี้เราพยายามลดสมการตรรกยะทั้งหมดให้เป็นพีชคณิต เราจะได้สมการระดับ 4 ซึ่งไม่มี รากที่มีเหตุผล- ดังนั้นเราจะไปทางอื่นง่ายกว่า: แนะนำตัวแปรใหม่ y ซึ่งจะแทนที่นิพจน์ในสมการ x 2 + 3 x.
ตอนนี้เราจะทำงานกับสมการทั้งหมด (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4)- ลองเลื่อนด้านขวาของสมการไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้ามแล้วดำเนินการ การเปลี่ยนแปลงที่จำเป็น- เราได้รับ: y 2 + 4 y + 3 = 0- มาหารากของสมการกำลังสองกัน: y = − 1และ ย = − 3.
ตอนนี้เรามาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน เราได้สองสมการ x 2 + 3 x = - 1และ x 2 + 3 · x = − 3ลองเขียนมันใหม่เป็น x 2 + 3 x + 1 = 0 และ x 2 + 3 x + 3 = 0- เราใช้สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสองเพื่อค้นหารากของสมการแรกจากที่ได้รับ: - 3 ± 5 2 การแบ่งแยกสมการที่สองเป็นลบ ซึ่งหมายความว่าสมการที่สองไม่มีรากที่แท้จริง
คำตอบ:- 3 ± 5 2
สมการทั้งหมด ระดับสูงเจองานค่อนข้างบ่อย ไม่จำเป็นต้องกลัวพวกเขา คุณต้องพร้อมที่จะสมัคร วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานโซลูชั่นของพวกเขา รวมถึงการเปลี่ยนแปลงเชิงประดิษฐ์จำนวนหนึ่ง
การแก้สมการตรรกยะเศษส่วน
เราจะเริ่มพิจารณาหัวข้อย่อยนี้ด้วยอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 โดยที่ พี(เอ็กซ์)และ คิว(x)– การแสดงออกอย่างมีเหตุผลทั้งหมด การแก้สมการเหตุผลเศษส่วนอื่นๆ สามารถลดลงเหลือการแก้สมการประเภทที่ระบุได้เสมอ
วิธีที่ใช้กันมากที่สุดในการแก้สมการ p (x) q (x) = 0 ขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้: เศษส่วนที่เป็นตัวเลข คุณวี, ที่ไหน โวลต์- นี่คือตัวเลขที่แตกต่างจากศูนย์ซึ่งเท่ากับศูนย์เฉพาะในกรณีที่ตัวเศษของเศษส่วนเท่ากับศูนย์เท่านั้น ตามตรรกะของข้อความข้างต้น เราสามารถอ้างได้ว่าการแก้สมการ p (x) q (x) = 0 สามารถลดลงเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อได้: พี(x)=0และ คิว(x) ≠ 0- นี่เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0:
- หาคำตอบของสมการตรรกยะทั้งหมด พี(x)=0;
- เราตรวจสอบว่าสภาพเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับรากที่พบในระหว่างการแก้ปัญหาหรือไม่ คิว(x) ≠ 0.
หากตรงตามเงื่อนไขนี้แสดงว่ารูทที่พบ ถ้าไม่เช่นนั้นรูทก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา
ตัวอย่างที่ 6
มาหารากของสมการ 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 กัน
สารละลาย
เรากำลังจัดการกับสมการตรรกยะเศษส่วนในรูปแบบ p (x) q (x) = 0 โดยที่ p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0 มาเริ่มแก้สมการเชิงเส้นกัน 3 x - 2 = 0- รากของสมการนี้จะเป็น x = 2 3.
ลองตรวจสอบรากที่พบเพื่อดูว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ 5 x 2 − 2 ≠ 0- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาทดแทนกัน ค่าตัวเลขในการแสดงออก เราได้รับ: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0
ตรงตามเงื่อนไข นี่หมายความว่า x = 2 3เป็นรากของสมการเดิม
คำตอบ: 2 3 .
มีอีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วน p (x) q (x) = 0 จำไว้ว่าสมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั้งหมด พี(x)=0บนช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ของสมการดั้งเดิม สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถใช้อัลกอริธึมต่อไปนี้ในการแก้สมการ p (x) q (x) = 0:
- แก้สมการ พี(x)=0;
- ค้นหาช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x;
- เราหารากที่อยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x เป็นรากที่ต้องการของสมการเศษส่วนดั้งเดิม
แก้สมการ x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0
สารละลาย
ก่อนอื่น มาแก้สมการกำลังสองกันก่อน x 2 − 2 x − 11 = 0- ในการคำนวณรากของมัน เราใช้สูตรรากสำหรับค่าสัมประสิทธิ์เลขคู่ที่สอง เราได้รับ D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12และ x = 1 ± 2 3 .
ตอนนี้เราสามารถหา ODZ ของตัวแปร x สำหรับสมการดั้งเดิมได้แล้ว นี่คือตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ x 2 + 3 x ≠ 0- มันก็เหมือนกับ x (x + 3) ≠ 0จากที่ x ≠ 0, x ≠ − 3
ทีนี้มาตรวจสอบว่ารูต x = 1 ± 2 3 ที่ได้รับในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาอยู่ในช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x หรือไม่ เราเห็นพวกเขาเข้ามา ซึ่งหมายความว่าสมการเศษส่วนแบบเดิมมีสองราก x = 1 ± 2 3
คำตอบ: x = 1 ± 2 3
วิธีการแก้ปัญหาที่สองอธิบายไว้ ง่ายกว่าครั้งแรกในกรณีที่หาช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x ได้ง่ายและรากของสมการ พี(x)=0ไม่มีเหตุผล ตัวอย่างเช่น 7 ± 4 · 26 9 รากสามารถมีเหตุผลได้ แต่ต้องมีตัวเศษหรือตัวส่วนมาก ตัวอย่างเช่น, 127 1101 และ − 31 59 - ซึ่งช่วยประหยัดเวลาในการตรวจสอบสภาพ คิว(x) ≠ 0: มันง่ายกว่ามากที่จะแยกรูทที่ไม่เหมาะสมตาม ODZ
ในกรณีที่รากของสมการ พี(x)=0เป็นจำนวนเต็ม เป็นการสมควรกว่าที่จะใช้อัลกอริธึมแรกที่อธิบายไว้สำหรับการแก้สมการในรูปแบบ p (x) q (x) = 0 ค้นหารากของสมการทั้งหมดได้เร็วยิ่งขึ้น พี(x)=0จากนั้นตรวจสอบว่าเป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่ คิว(x) ≠ 0แทนที่จะหา ODZ แล้วแก้สมการ พี(x)=0บน ODZ นี้ เนื่องจากในกรณีเช่นนี้ โดยปกติแล้วการตรวจสอบจะง่ายกว่าการค้นหา DZ
ตัวอย่างที่ 8
หารากของสมการ (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.
สารละลาย
เริ่มต้นด้วยการดูสมการทั้งหมด (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0และค้นพบรากเหง้าของมัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้วิธีการแก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมเทียบเท่ากับชุดสมการสี่สมการ 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0 โดยสามสมการนั้นเป็นเส้นตรงและ อันหนึ่งเป็นกำลังสอง การหาราก: จากสมการแรก x = 1 2ตั้งแต่วันที่สอง – x = 6จากอันที่สาม – x = 7 , x = − 2 , จากอันที่สี่ – x = - 1.
ตรวจสอบรากที่ได้รับ กำหนด ADL ใน ในกรณีนี้มันยากสำหรับเราเพราะสำหรับสิ่งนี้เราจะต้องแก้สมการพีชคณิตระดับที่ห้า จะง่ายกว่าที่จะตรวจสอบเงื่อนไขตามที่ตัวส่วนของเศษส่วนซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการไม่ควรเป็นศูนย์
สลับกันแทนที่รากของตัวแปร x ในนิพจน์ x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112และคำนวณมูลค่าของมัน:
1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≠ 0 ;
6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;
7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;
(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;
(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0
การตรวจสอบที่ดำเนินการช่วยให้เราสามารถระบุได้ว่ารากของสมการตรรกยะเศษส่วนดั้งเดิมคือ 1 2, 6 และ − 2 .
คำตอบ: 1 2 , 6 , - 2
ตัวอย่างที่ 9
ค้นหารากของสมการเศษส่วน 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0
สารละลาย
มาเริ่มทำงานกับสมการกันดีกว่า (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0- เรามาค้นหารากของมันกันดีกว่า ง่ายกว่าสำหรับเราที่จะจินตนาการว่าสมการนี้เป็นผลรวมของกำลังสองและ สมการเชิงเส้น 5 x 2 − 7 x − 1 = 0และ x - 2 = 0.
เราใช้สูตรหารากของสมการกำลังสองเพื่อค้นหาราก เราได้รับจากสมการแรกสองราก x = 7 ± 69 10 และจากที่สอง x = 2.
มันจะค่อนข้างยากสำหรับเราที่จะแทนค่าของรากลงในสมการดั้งเดิมเพื่อตรวจสอบเงื่อนไข การกำหนด ODZ ของตัวแปร x จะง่ายกว่า ในกรณีนี้ ODZ ของตัวแปร x คือตัวเลขทั้งหมด ยกเว้นตัวเลขที่ตรงตามเงื่อนไข x 2 + 5 x − 14 = 0- เราได้รับ: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞
ทีนี้มาตรวจสอบว่ารากที่เราพบนั้นอยู่ในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร x หรือไม่
ราก x = 7 ± 69 10 อยู่ในนั้น ดังนั้นจึงเป็นรากของสมการดั้งเดิม และ x = 2- ไม่เข้าข่ายดังนั้นจึงเป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง
คำตอบ: x = 7 ± 69 10 .
ให้เราตรวจสอบแยกกันกรณีที่ตัวเศษของสมการเศษส่วนของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 มีตัวเลข ในกรณีเช่นนี้ หากตัวเศษมีจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมการก็จะไม่มีราก หากตัวเลขนี้เท่ากับศูนย์ รากของสมการจะเป็นตัวเลขใดๆ จาก ODZ
ตัวอย่างที่ 10
แก้สมการเศษส่วน - 3, 2 x 3 + 27 = 0
สารละลาย
สมการนี้จะไม่มีราก เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการจะมีจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า เมื่อไม่มีค่า x ค่าของเศษส่วนที่ระบุในประโยคปัญหาจะเท่ากับศูนย์
คำตอบ:ไม่มีราก
ตัวอย่างที่ 11
แก้สมการ 0 x 4 + 5 x 3 = 0
สารละลาย
เนื่องจากตัวเศษของเศษส่วนมีศูนย์ ดังนั้นคำตอบของสมการจะเป็นค่าใดๆ จากค่า ODZ ของตัวแปร x
ทีนี้มานิยาม ODZ กันดีกว่า มันจะรวมค่าทั้งหมดของ x ไว้ด้วย x 4 + 5 x 3 ≠ 0- คำตอบของสมการ x 4 + 5 x 3 = 0เป็น 0 และ − 5 เนื่องจากสมการนี้เทียบเท่ากับสมการ x 3 (x + 5) = 0และนี่ก็เท่ากับการรวมกันของสองสมการ x 3 = 0 และ x + 5 = 0ซึ่งมองเห็นรากเหล่านี้ได้ เราได้ข้อสรุปว่าช่วงที่ต้องการของค่าที่ยอมรับได้คือ x ยกเว้น x = 0และ x = - 5.
ปรากฎว่าสมการเศษส่วน 0 x 4 + 5 x 3 = 0 มี ชุดอนันต์ผลเฉลยซึ่งเป็นตัวเลขใดๆ ก็ได้ ยกเว้นศูนย์และ - 5
คำตอบ: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞
ทีนี้มาพูดถึงสมการตรรกยะเศษส่วนกัน ประเภทใดก็ได้และวิธีการแก้ไข พวกเขาสามารถเขียนเป็น ร(x) = ส(x), ที่ไหน ร(เอ็กซ์)และ ส(เอ็กซ์)– นิพจน์ที่เป็นเหตุผล และอย่างน้อยหนึ่งในนั้นเป็นเศษส่วน การแก้สมการดังกล่าวช่วยลดการแก้สมการในรูปแบบ p (x) q (x) = 0
เรารู้แล้วว่าเราจะได้อะไร สมการที่เท่ากันเมื่อถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาของสมการไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงกันข้าม ซึ่งหมายความว่าสมการ ร(x) = ส(x)เท่ากับสมการ r (x) − s (x) = 0- เราได้คุยกันไปแล้วถึงวิธีการแปลงนิพจน์ตรรกยะให้เป็นเศษส่วนตรรกยะ ด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถแปลงสมการได้อย่างง่ายดาย r (x) − s (x) = 0เป็นเศษส่วนตรรกยะที่เหมือนกันของรูปแบบ p (x) q (x) .
เราจึงย้ายจากสมการเศษส่วนแบบเดิม ร(x) = ส(x)ถึงสมการของรูปแบบ p (x) q (x) = 0 ซึ่งเราได้เรียนรู้ที่จะแก้แล้ว
ควรคำนึงว่าเมื่อทำการเปลี่ยนจาก r (x) − s (x) = 0ถึง p(x)q(x) = 0 แล้วถึง พี(x)=0เราอาจไม่คำนึงถึงการขยายช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x
ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าสมการเดิม ร(x) = ส(x)และสมการ พี(x)=0อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลง พวกมันจะยุติความเท่าเทียมกัน แล้วคำตอบของสมการ พี(x)=0สามารถทำให้เรามีรากที่จะแปลกไป ร(x) = ส(x)- ในกรณีนี้ ในแต่ละกรณี จำเป็นต้องดำเนินการตรวจสอบโดยใช้วิธีการใดๆ ที่อธิบายไว้ข้างต้น
เพื่อให้ง่ายต่อการศึกษาหัวข้อนี้ เราได้สรุปข้อมูลทั้งหมดเป็นอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการตรรกยะเศษส่วนของแบบฟอร์ม ร(x) = ส(x):
- เราถ่ายโอนนิพจน์จากด้านขวาด้วยเครื่องหมายตรงข้ามและรับศูนย์ทางด้านขวา
- แปลงนิพจน์ดั้งเดิมให้เป็นเศษส่วนตรรกยะ p (x) q (x) ดำเนินการตามลำดับด้วยเศษส่วนและพหุนาม
- แก้สมการ พี(x)=0;
- เราระบุรากที่ไม่เกี่ยวข้องโดยการตรวจสอบว่าเป็นของ ODZ หรือโดยการแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม
สายตาห่วงโซ่การกระทำจะมีลักษณะดังนี้:
r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → การกำจัด รากภายนอก
ตัวอย่างที่ 12
แก้สมการตรรกยะเศษส่วน x x + 1 = 1 x + 1
สารละลาย
มาดูสมการ x x + 1 - 1 x + 1 = 0 กัน ลองแปลงนิพจน์เหตุผลเศษส่วนทางด้านซ้ายของสมการให้อยู่ในรูปแบบ p (x) q (x) .
การทำเช่นนี้เราจะต้องนำ เศษส่วนตรรกยะถึงตัวส่วนร่วมและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น:
x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)
เพื่อที่จะหารากของสมการ - 2 x - 1 x (x + 1) = 0 เราจำเป็นต้องแก้สมการ − 2 x − 1 = 0- เราได้หนึ่งราก x = - 1 2.
สิ่งที่เราต้องทำคือตรวจสอบโดยใช้วิธีการใดก็ได้ มาดูกันทั้งคู่
ลองแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิม เราได้ - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 เรามาถึงข้อสรุปที่ถูกต้องแล้ว ความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลข − 1 = − 1 - นี่หมายความว่า x = - 1 2เป็นรากของสมการเดิม
ตอนนี้เรามาดูผ่าน ODZ กันดีกว่า ให้เรากำหนดช่วงของค่าที่อนุญาตของตัวแปร x นี่จะเป็นชุดตัวเลขทั้งหมด ยกเว้น − 1 และ 0 (ที่ x = − 1 และ x = 0 ตัวส่วนของเศษส่วนจะหายไป) รากที่เราได้รับ x = - 1 2เป็นของ ODZ ซึ่งหมายความว่ามันเป็นรากของสมการดั้งเดิม
คำตอบ: − 1 2 .
ตัวอย่างที่ 13
ค้นหารากของสมการ x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x
สารละลาย
เรากำลังเผชิญกับสมการตรรกยะเศษส่วน ดังนั้นเราจึงดำเนินการตามอัลกอริทึม
ลองย้ายนิพจน์จากด้านขวาไปทางซ้ายโดยมีเครื่องหมายตรงข้าม: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0
ดำเนินการแปลงที่จำเป็น: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x
เรามาถึงสมการแล้ว x = 0- รากของสมการนี้คือศูนย์
ลองตรวจสอบว่ารากนี้ไม่เกี่ยวข้องกับสมการดั้งเดิมหรือไม่ ลองแทนค่าลงในสมการดั้งเดิม: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0 อย่างที่คุณเห็นสมการผลลัพธ์นั้นไม่สมเหตุสมผล ซึ่งหมายความว่า 0 เป็นรากที่ไม่เกี่ยวข้อง และสมการเศษส่วนดั้งเดิมไม่มีราก
คำตอบ:ไม่มีราก
หากเราไม่ได้รวมการแปลงที่เทียบเท่าอื่นๆ ไว้ในอัลกอริทึม นี่ไม่ได้หมายความว่าไม่สามารถใช้งานได้ อัลกอริธึมเป็นแบบสากล แต่ได้รับการออกแบบมาเพื่อช่วยเหลือ ไม่จำกัด
ตัวอย่างที่ 14
แก้สมการ 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24
สารละลาย
วิธีที่ง่ายที่สุดคือการแก้สมการเศษส่วนที่กำหนดตามอัลกอริทึม แต่มีวิธีอื่น ลองพิจารณาดูครับ
ลบ 7 จากด้านขวาและซ้าย เราจะได้: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24
จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่านิพจน์ในตัวส่วนทางด้านซ้ายจะต้องเท่ากับจำนวน หมายเลขซึ่งกันและกันจากด้านขวาคือ 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7
ลบ 3 จากทั้งสองข้าง: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 โดยการเปรียบเทียบ 2 + 1 5 - x 2 = 7 3 จากที่ 1 5 - x 2 = 1 3 จากนั้น 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2
ให้เราทำการตรวจสอบเพื่อดูว่ารากที่พบนั้นเป็นรากของสมการดั้งเดิมหรือไม่
คำตอบ: x = ± 2
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter