ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดของลำดับแรก

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้ช่วยให้คุณแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์ได้ เพียงป้อนสมการของคุณในช่องที่เหมาะสมโดยระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันผ่านเครื่องหมายอะพอสทรอฟี่แล้วคลิกปุ่ม "แก้สมการ" และระบบที่นำไปใช้บนพื้นฐานของเว็บไซต์ WolframAlpha ยอดนิยมจะให้รายละเอียด การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ฟรีอย่างแน่นอน คุณยังสามารถกำหนดปัญหาคอชีเพื่อเลือกผลหารที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดจากชุดวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมด ปัญหา Cauchy ถูกป้อนในฟิลด์แยกต่างหาก

สมการเชิงอนุพันธ์

โดยค่าเริ่มต้นฟังก์ชันในสมการ ยเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x- อย่างไรก็ตาม คุณสามารถระบุการกำหนดตัวแปรของคุณเองได้ เช่น หากคุณเขียน y(t) ลงในสมการ เครื่องคิดเลขจะจดจำค่านั้นโดยอัตโนมัติ ยมีฟังก์ชันจากตัวแปร ที- ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขคุณสามารถทำได้ แก้สมการเชิงอนุพันธ์ของความซับซ้อนและประเภทใดๆ: ที่เป็นเนื้อเดียวกันและไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น ลำดับที่หนึ่งหรือลำดับที่สองและสูงกว่า สมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้หรือแยกไม่ออก ฯลฯ โซลูชั่นที่แตกต่างกัน สมการนี้ให้มาในรูปแบบการวิเคราะห์และมีคำอธิบายโดยละเอียด สมการเชิงอนุพันธ์เป็นเรื่องธรรมดามากในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ หากไม่มีการคำนวณก็เป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหามากมาย (โดยเฉพาะในฟิสิกส์คณิตศาสตร์)

ขั้นตอนหนึ่งของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์คือการรวมฟังก์ชันต่างๆ มีวิธีการมาตรฐานในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ จำเป็นต้องลดสมการให้อยู่ในรูปแบบที่มีตัวแปร y และ x ที่แยกกันได้ และรวมฟังก์ชันที่แยกออกจากกัน ในการทำเช่นนี้บางครั้งต้องทำการทดแทนบางอย่าง

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ ด้วยบริการออนไลน์ของเรา คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทุกประเภทและความซับซ้อนได้ เช่น สมการเชิงอนุพันธ์ เอกพันธ์ ไม่เชิงเส้น เชิงเส้น ลำดับที่หนึ่ง ลำดับที่สอง พร้อมตัวแปรที่แยกได้หรือแยกไม่ได้ ฯลฯ คุณจะได้รับคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบการวิเคราะห์พร้อมคำอธิบายโดยละเอียด หลายคนสนใจ: เหตุใดจึงจำเป็นต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์? สมการประเภทนี้พบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาต่างๆ มากมายโดยไม่ต้องคำนวณสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์ยังพบได้ทั่วไปในเศรษฐศาสตร์ การแพทย์ ชีววิทยา เคมี และวิทยาศาสตร์อื่นๆ การแก้สมการทางออนไลน์ทำให้งานของคุณง่ายขึ้นอย่างมาก เปิดโอกาสให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้นและทดสอบตัวเอง ข้อดีของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบออนไลน์ เว็บไซต์บริการทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ช่วยให้คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ได้ทุกความซับซ้อน ดังที่คุณทราบ มีสมการเชิงอนุพันธ์หลายประเภทและแต่ละประเภทก็มีวิธีการแก้ของตัวเอง ในบริการของเรา คุณสามารถค้นหาวิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับและประเภทใดก็ได้ทางออนไลน์ เพื่อรับวิธีแก้ไข เราขอแนะนำให้คุณกรอกข้อมูลเบื้องต้นแล้วคลิกปุ่ม "วิธีแก้ไข" ไม่รวมข้อผิดพลาดในการให้บริการดังนั้นคุณจึงมั่นใจได้ 100% ว่าคุณได้รับคำตอบที่ถูกต้อง แก้สมการเชิงอนุพันธ์ด้วยบริการของเรา แก้สมการเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ ตามค่าเริ่มต้น ในสมการดังกล่าว ฟังก์ชัน y จะเป็นฟังก์ชันของตัวแปร x แต่คุณยังสามารถระบุการกำหนดตัวแปรของคุณเองได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณระบุ y(t) ในสมการเชิงอนุพันธ์ บริการของเราจะกำหนดโดยอัตโนมัติว่า y เป็นฟังก์ชันของตัวแปร t ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์ทั้งหมดจะขึ้นอยู่กับลำดับสูงสุดของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่มีอยู่ในสมการ การแก้สมการดังกล่าวหมายถึงการค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ บริการของเราจะช่วยคุณแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์ คุณไม่จำเป็นต้องใช้ความพยายามมากนักในการแก้สมการ คุณเพียงแค่ต้องป้อนด้านซ้ายและด้านขวาของสมการลงในช่องที่ต้องกรอกแล้วคลิกปุ่ม "วิธีแก้ไข" เมื่อป้อนอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะต้องแสดงด้วยเครื่องหมายอะพอสทรอฟี ในเวลาไม่กี่วินาที คุณจะได้รับคำตอบโดยละเอียดสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ บริการของเราฟรีอย่างแน่นอน สมการเชิงอนุพันธ์กับตัวแปรที่แยกไม่ออก หากในสมการเชิงอนุพันธ์มีนิพจน์ทางด้านซ้ายซึ่งขึ้นอยู่กับ y และทางด้านขวามีนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ x สมการเชิงอนุพันธ์ดังกล่าวจะถูกเรียกพร้อมกับตัวแปรที่แยกได้ ด้านซ้ายอาจมีอนุพันธ์ของ y การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้จะอยู่ในรูปของฟังก์ชัน y ซึ่งแสดงผ่านอินทิกรัลของด้านขวาของสมการ หากทางด้านซ้ายมีค่าฟังก์ชัน y ต่างกัน ในกรณีนี้ ทั้งสองข้างของสมการจะรวมกัน เมื่อตัวแปรในสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ถูกแยกออกจากกัน จะต้องแยกตัวแปรเหล่านั้นเพื่อให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันและอนุพันธ์ทั้งหมดอยู่ในระดับแรกเรียกว่าเชิงเส้น รูปแบบทั่วไปของสมการ: y’+a1(x)y=f(x) f(x) และ a1(x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ x การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ประเภทนี้ลดการรวมสมการเชิงอนุพันธ์สองตัวเข้ากับตัวแปรที่แยกจากกัน ลำดับสมการเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์อาจเป็นลำดับที่หนึ่ง สอง และที่ n ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์จะกำหนดลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่มีอยู่ ในบริการของเรา คุณสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ทางออนไลน์สำหรับสมการที่หนึ่ง สอง สาม ฯลฯ คำสั่ง. การแก้สมการจะเป็นฟังก์ชันใดๆ y=f(x) เมื่อแทนมันลงในสมการ คุณจะได้เอกลักษณ์ กระบวนการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าอินทิเกรต ปัญหาคอชี่. นอกเหนือจากสมการเชิงอนุพันธ์แล้ว หากให้เงื่อนไขเริ่มต้น y(x0)=y0 เข้าไปด้วย จะเรียกว่าปัญหาคอชี ตัวบ่งชี้ y0 และ x0 จะถูกเพิ่มเข้าไปในคำตอบของสมการ และค่าของค่าคงที่ C จะถูกกำหนด จากนั้นจึงหาคำตอบเฉพาะของสมการที่ค่า C นี้ นี่คือวิธีแก้ของปัญหาคอชี ปัญหาคอชีเรียกอีกอย่างว่าปัญหาเกี่ยวกับเงื่อนไขขอบเขต ซึ่งพบได้ทั่วไปในฟิสิกส์และกลศาสตร์ คุณยังมีโอกาสที่จะตั้งปัญหาคอชี ซึ่งก็คือเลือกผลหารที่ตรงกับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดตั้งแต่วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดไปจนถึงสมการ

ให้เรานึกถึงงานที่เผชิญหน้าเราเมื่อค้นหาอินทิกรัลที่แน่นอน:

หรือ dy = f(x)dx วิธีแก้ปัญหาของเธอ:

และมันลงมาเพื่อคำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด ในทางปฏิบัติมักพบงานที่ซับซ้อนกว่า: การค้นหาฟังก์ชัน ยถ้ารู้ว่ามันเป็นไปตามความสัมพันธ์ของแบบฟอร์ม

ความสัมพันธ์นี้เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระ x, ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก ยและอนุพันธ์ของมันขึ้นอยู่กับลำดับ nรวมเรียกว่า .

สมการเชิงอนุพันธ์ประกอบด้วยฟังก์ชันภายใต้เครื่องหมายอนุพันธ์ (หรือส่วนต่าง) ของลำดับใดลำดับหนึ่ง ลำดับสูงสุดเรียกว่าลำดับ (9.1) .

สมการเชิงอนุพันธ์:

- คำสั่งแรก,

การสั่งซื้อครั้งที่สอง

- ลำดับที่ห้า ฯลฯ

ฟังก์ชันที่เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดเรียกว่าฟังก์ชันการแก้ปัญหา , หรืออินทิกรัล . การแก้ปัญหาหมายถึงการค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด ถ้าสำหรับฟังก์ชั่นที่ต้องการ ยจัดการเพื่อให้ได้สูตรที่ให้คำตอบทั้งหมดแล้วเราก็บอกว่าเราพบวิธีแก้ปัญหาทั่วไปแล้ว , หรืออินทิกรัลทั่วไป .

การตัดสินใจร่วมกัน ประกอบด้วย nค่าคงที่ตามอำเภอใจ และดูเหมือนว่า

หากได้รับความสัมพันธ์ที่สัมพันธ์กัน เอ็กซ์, ยและ nค่าคงที่ตามอำเภอใจ ในรูปแบบที่ไม่ได้รับอนุญาตในส่วนที่เกี่ยวกับ ย -

ดังนั้นความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าอินทิกรัลทั่วไปของสมการ (9.1)

ปัญหาคอชี่

วิธีแก้ปัญหาเฉพาะแต่ละข้อ เช่น แต่ละฟังก์ชันเฉพาะที่เป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดและไม่ขึ้นอยู่กับค่าคงที่ใดๆ เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ , หรืออินทิกรัลบางส่วน เพื่อให้ได้คำตอบเฉพาะ (จำนวนเต็ม) จากค่าทั่วไป ค่าคงที่จะต้องได้รับค่าตัวเลขเฉพาะ

กราฟของสารละลายเฉพาะเรียกว่าเส้นโค้งอินทิกรัล ผลเฉลยทั่วไปซึ่งประกอบด้วยผลเฉลยบางส่วนทั้งหมด คือกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัล สำหรับสมการลำดับที่หนึ่ง ครอบครัวนี้จะขึ้นอยู่กับค่าคงที่ใดๆ ของสมการ n-ลำดับที่ - จาก nค่าคงที่ตามอำเภอใจ

ปัญหาคอชีคือการหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการ n- ลำดับที่พอใจ nเงื่อนไขเริ่มต้น:

โดยที่ค่าคงที่ n c 1, c 2,..., c n ถูกกำหนด

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1

สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 1 ที่ไม่ได้รับการแก้ไขด้วยอนุพันธ์ จะมีรูปแบบดังนี้

หรือได้รับอนุญาตค่อนข้าง

ตัวอย่างที่ 3.46- หาคำตอบทั่วไปของสมการ

สารละลาย.บูรณาการเราได้รับ

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ หากเรากำหนดค่าตัวเลขเฉพาะให้กับ C เราจะได้วิธีแก้ปัญหาเฉพาะเช่น

ตัวอย่างที่ 3.47- พิจารณาจำนวนเงินที่เพิ่มขึ้นที่ฝากในธนาคารโดยมียอดคงค้าง 100 r ดอกเบี้ยทบต้นต่อปี ให้ Yo เป็นจำนวนเงินเริ่มต้น และ Yx - ในตอนท้าย xปี. หากคำนวณดอกเบี้ยปีละครั้งเราก็จะได้

โดยที่ x = 0, 1, 2, 3,.... เมื่อคำนวณดอกเบี้ยปีละสองครั้งเราจะได้

โดยที่ x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... เมื่อคำนวณดอกเบี้ย nปีละครั้งและ ถ้า xรับค่าตามลำดับ 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., แล้ว

กำหนด 1/n = h จากนั้นความเท่าเทียมกันก่อนหน้าจะมีลักษณะดังนี้:

ด้วยกำลังขยายไม่จำกัด n(ที่ ) ในขอบเขตที่เรามาถึงกระบวนการเพิ่มจำนวนเงินพร้อมดอกเบี้ยคงค้างอย่างต่อเนื่อง:

จึงเห็นได้ชัดเจนว่ามีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง xกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงปริมาณเงินแสดงโดยสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่ 1 โดยที่ Y x เป็นฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก x- ตัวแปรอิสระ ร- คงที่. ลองแก้สมการนี้ โดยเขียนใหม่ดังนี้:

ที่ไหน , หรือ โดยที่ P หมายถึง e C

จากเงื่อนไขเริ่มต้น Y(0) = Yo เราจะพบว่า P: Yo = Pe o จากที่ Yo = P ดังนั้นคำตอบจึงมีรูปแบบ:

ลองพิจารณาปัญหาเศรษฐกิจประการที่สอง แบบจำลองเศรษฐศาสตร์มหภาคยังอธิบายได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 1 โดยอธิบายการเปลี่ยนแปลงของรายได้หรือผลผลิต Y เป็นฟังก์ชันของเวลา

ตัวอย่างที่ 3.48- ให้รายได้ประชาชาติ Y เพิ่มขึ้นในอัตราตามสัดส่วนของมูลค่า:

และให้การใช้จ่ายภาครัฐที่ขาดดุลเป็นสัดส่วนโดยตรงกับรายได้ Y โดยมีค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน ถาม- การขาดดุลการใช้จ่ายทำให้หนี้ของประเทศเพิ่มขึ้น D:

เงื่อนไขเริ่มต้น Y = Yo และ D = ทำที่ t = 0 จากสมการแรก Y= Yoe kt แทนที่ Y เราจะได้ dD/dt = qYoe kt วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ
D = (q/ k) Yoe kt +С โดยที่ С = const ซึ่งพิจารณาจากเงื่อนไขเริ่มต้น แทนเงื่อนไขเริ่มต้น เราจะได้ Do = (q/ k)Yo + C ในที่สุด

D = ทำ +(q/ k)Yo (e kt -1),

นี่แสดงให้เห็นว่าหนี้ของประเทศเพิ่มขึ้นในอัตราสัมพันธ์ที่เท่าเดิม เคเช่นเดียวกับรายได้ประชาชาติ

ให้เราพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุด nลำดับที่ เหล่านี้คือสมการของรูปแบบ

สามารถรับวิธีแก้ปัญหาทั่วไปได้โดยใช้ nการบูรณาการครั้ง

ตัวอย่างที่ 3.49ลองพิจารณาตัวอย่าง y """ = cos x

สารละลาย.เราพบการบูรณาการ

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปมีรูปแบบ

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านเศรษฐศาสตร์ ลองพิจารณาแก้สมการดังกล่าวดู ถ้า (9.1) มีรูปแบบ:

จากนั้นเรียกว่าเชิงเส้น โดยที่ рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) ได้รับฟังก์ชัน ถ้า f(x) = 0 แล้ว (9.2) จะถูกเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน มิฉะนั้นจะเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน ผลเฉลยทั่วไปของสมการ (9.2) เท่ากับผลรวมของผลเฉลยเฉพาะใดๆ ของมัน ใช่(x)และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับมัน:

ถ้าสัมประสิทธิ์ р o (x), р 1 (x),..., р n (x) คงที่ ดังนั้น (9.2)

(9.4) เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ลำดับคงที่ n .

สำหรับ (9.4) มีรูปแบบ:

โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไป เราสามารถตั้งค่า p o = 1 และเขียน (9.5) ในรูปแบบ

เราจะหาคำตอบของ (9.6) ในรูปแบบ y = e kx โดยที่ k เป็นค่าคงที่ เรามี: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . แทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงใน (9.6) เราจะได้:

(9.7) เป็นสมการพีชคณิต ไม่ทราบแน่ชัด เคเรียกว่าลักษณะเฉพาะ สมการคุณลักษณะมีระดับ nและ nรากซึ่งสามารถมีได้หลายแบบและซับซ้อน ให้ k 1 , k 2 ,..., k n เป็นจริงและแตกต่างออกไป - โซลูชันเฉพาะ (9.7) และทั่วไป

พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่:

สมการคุณลักษณะมีรูปแบบ

(9.9)

จำแนกได้ D = p 2 - 4q ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของ D เป็นไปได้สามกรณี

1. ถ้า D>0 แสดงว่าราก k 1 และ k 2 (9.9) มีจริงและต่างกัน และคำตอบทั่วไปจะมีรูปแบบ:

สารละลาย.สมการคุณลักษณะ: k 2 + 9 = 0 โดยที่ k = ± 3i, a = 0, b = 3 วิธีแก้ทั่วไปมีรูปแบบ:

y = C 1 cos 3x + C 2 บาป 3x

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่ 2 ถูกนำมาใช้เมื่อศึกษาแบบจำลองทางเศรษฐกิจแบบเว็บพร้อมสินค้าคงคลัง โดยที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของราคา P ขึ้นอยู่กับขนาดของสินค้าคงคลัง (ดูย่อหน้าที่ 10) หากอุปสงค์และอุปทานเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของราคา นั่นก็คือ

a เป็นค่าคงที่ที่กำหนดอัตราการเกิดปฏิกิริยา จากนั้นกระบวนการของการเปลี่ยนแปลงราคาจะอธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์:

สำหรับคำตอบเฉพาะเจาะจง เราสามารถหาค่าคงที่ได้

ราคาสมดุลที่มีความหมาย ส่วนเบี่ยงเบน เป็นไปตามสมการเอกพันธ์

(9.10)

สมการคุณลักษณะจะเป็นดังนี้:

ในกรณีที่คำนั้นเป็นบวก มาแสดงกันเถอะ - รากของสมการคุณลักษณะ k 1,2 = ± i w ดังนั้นคำตอบทั่วไป (9.10) จึงมีรูปแบบ:

โดยที่ C และเป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ จะถูกกำหนดจากเงื่อนไขเริ่มต้น เราได้รับกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงราคาเมื่อเวลาผ่านไป:

ป้อนสมการเชิงอนุพันธ์ของคุณ โดยใช้เครื่องหมายอะโพสโตรัว "" เพื่อป้อนอนุพันธ์ กดส่งเพื่อรับคำตอบ

6.1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชีววิทยาและการแพทย์ บ่อยครั้งที่ไม่สามารถสร้างความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ได้ทันทีในรูปแบบของสูตรที่เชื่อมโยงตัวแปรที่อธิบายกระบวนการที่กำลังศึกษาอยู่ โดยปกติแล้ว คุณจะต้องใช้สมการที่นอกจากตัวแปรอิสระและฟังก์ชันที่ไม่รู้จักแล้ว ยังมีอนุพันธ์ของตัวแปรด้วย

คำนิยาม.สมการที่เชื่อมต่อตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก และอนุพันธ์ของลำดับต่างๆ เรียกว่า ส่วนต่าง

ฟังก์ชันที่ไม่รู้จักมักจะแสดงแทน ใช่(x)หรือเพียงแค่ ใช่และอนุพันธ์ของมัน - คุณ", คุณ"ฯลฯ

การกำหนดอื่นๆ ก็เป็นไปได้เช่นกัน เช่น ถ้า ย= x(t) แล้ว x"(เสื้อ), x""(เสื้อ)- อนุพันธ์ของมันและ ที- ตัวแปรอิสระ

คำนิยาม.หากฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรตัวหนึ่ง สมการเชิงอนุพันธ์จะเรียกว่าสามัญ แบบฟอร์มทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ:

หรือ

ฟังก์ชั่น เอฟและ ฉอาจไม่มีข้อโต้แย้งบางประการ แต่เพื่อให้สมการมีความแตกต่าง การมีอนุพันธ์ถือเป็นสิ่งสำคัญ

คำนิยาม.ลำดับของสมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่าลำดับของอนุพันธ์สูงสุดที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างเช่น, x 2 ปี"- ย= 0, y" + บาป x= 0 คือสมการอันดับหนึ่ง และ คุณ"+ 2 คุณ"+ 5 ย= x- สมการอันดับสอง

เมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์จะใช้การดำเนินการบูรณาการซึ่งสัมพันธ์กับลักษณะของค่าคงที่ตามอำเภอใจ หากมีการใช้การดำเนินการบูรณาการ nครั้งแล้วเห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหาจะมีอยู่ nค่าคงที่ตามอำเภอใจ

6.2. สมการเชิงอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง

แบบฟอร์มทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งถูกกำหนดโดยการแสดงออก

สมการอาจไม่ชัดเจนประกอบด้วย xและ ใช่แต่จำเป็นต้องมี y"

ถ้าเขียนสมการได้เป็น

จากนั้นเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่แก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์

คำนิยาม.ผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (6.3) (หรือ (6.4)) คือชุดของคำตอบ , ที่ไหน กับ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ

กราฟของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่ากราฟ เส้นโค้งอินทิกรัล

ให้ค่าคงที่ตามอำเภอใจ กับค่าที่แตกต่างกันสามารถหาคำตอบได้บางส่วน บนพื้นผิว xOyคำตอบทั่วไปคือกลุ่มของเส้นโค้งอินทิกรัลที่สอดคล้องกับคำตอบเฉพาะแต่ละข้อ

ถ้าจะตั้งจุด. ก (x 0 , y 0),ซึ่งตามกฎแล้วจะต้องผ่านเส้นโค้งอินทิกรัลจากชุดของฟังก์ชัน เราสามารถเลือกหนึ่งรายการได้ - โซลูชันส่วนตัว

คำนิยาม.การตัดสินใจส่วนตัวของสมการเชิงอนุพันธ์คือคำตอบที่ไม่มีค่าคงที่ใดๆ

ถ้า เป็นคำตอบทั่วไปแล้วจากเงื่อนไข

คุณสามารถหาค่าคงที่ได้ กับ.เงื่อนไขที่เรียกว่า สภาพเริ่มต้น

ปัญหาการหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ (6.3) หรือ (6.4) ที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ที่ เรียกว่า ปัญหาคอชี่.ปัญหานี้จะมีทางแก้ไขเสมอหรือไม่? คำตอบอยู่ในทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทของคอชี(ทฤษฎีบทการดำรงอยู่และเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา) ปล่อยในสมการเชิงอนุพันธ์ คุณ"= ฉ(x,y)การทำงาน ฉ(x,y)และเธอ

อนุพันธ์บางส่วน กำหนดและต่อเนื่องในบางเรื่อง

ภูมิภาค ง,มีจุด แล้วในพื้นที่ ดีมีอยู่จริง

คำตอบเดียวของสมการที่เป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้น ที่

ทฤษฎีบทของคอชีระบุว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ จะมีเส้นโค้งอินทิกรัลเฉพาะตัว ย= ฉ(x)ผ่านจุดหนึ่ง จุดที่ไม่ตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท

Cauchies เรียกว่า พิเศษ.เมื่อถึงจุดเหล่านี้มันก็แตก ฉ(x, y) หรือ

เส้นโค้งอินทิกรัลหลายเส้นหรือไม่มีเส้นใดผ่านจุดเดียวเลย

คำนิยาม.หากพบคำตอบ (6.3), (6.4) ในรูปแบบ ฉ(x, y, ค)= 0 ไม่อนุญาตให้สัมพันธ์กับ y จึงเรียกว่า อินทิกรัลทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์.

ทฤษฎีบทของคอชีรับประกันว่าจะมีคำตอบเท่านั้น เนื่องจากไม่มีวิธีเดียวในการค้นหาคำตอบ เราจะพิจารณาเฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งบางประเภทเท่านั้นที่สามารถรวมเข้ากับสมการได้ การสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์เรียกว่า บูรณาการได้ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหากการค้นหาวิธีแก้ปัญหานั้นมาจากการรวมฟังก์ชันเข้าด้วยกัน

6.2.1. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออก

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งเรียกว่าสมการด้วย ตัวแปรที่แยกส่วนได้

ด้านขวาของสมการ (6.5) คือผลคูณของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน ซึ่งแต่ละฟังก์ชันขึ้นอยู่กับตัวแปรเพียงตัวเดียว

ตัวอย่างเช่นสมการ เป็นสมการที่มีการแยก

ผสมกับตัวแปร
และสมการ

ไม่สามารถแสดงในรูปแบบ (6.5)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า เราเขียนใหม่ (6.5) ในรูปแบบ

จากสมการนี้ เราได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกจากกัน โดยที่ค่าดิฟเฟอเรนเชียลเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่เกี่ยวข้องเท่านั้น:

เรามีการรวมคำศัพท์ทีละเทอม

โดยที่ C = C 2 - C 1 - ค่าคงที่ตามอำเภอใจ นิพจน์ (6.6) คืออินทิกรัลทั่วไปของสมการ (6.5)

โดยการหารทั้งสองข้างของสมการ (6.5) ด้วย เราจะสูญเสียคำตอบเหล่านั้นไป ซึ่ง จริงๆ แล้วถ้า. ที่

ที่ เห็นได้ชัดว่าเป็นการแก้สมการ (6.5)

ตัวอย่างที่ 1หาคำตอบของสมการที่ตรงใจ

เงื่อนไข: ย= 6 ณ x= 2 (ย(2) = 6).

สารละลาย.เราจะมาแทนที่ คุณ"แล้ว - คูณทั้งสองข้างด้วย

ดีเอ็กซ์,เนื่องจากในระหว่างการบูรณาการเพิ่มเติมจะไม่สามารถออกไปได้ ดีเอ็กซ์ในตัวส่วน:

แล้วหารทั้งสองส่วนด้วย เราได้สมการ

ซึ่งสามารถบูรณาการได้ มาบูรณาการกัน:

แล้ว - ที่มีศักยภาพ เราได้ y = C (x + 1) - ob-

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป

เมื่อใช้ข้อมูลเริ่มต้น เราจะกำหนดค่าคงที่ตามใจชอบ โดยแทนที่ลงในโซลูชันทั่วไป

ในที่สุดเราก็ได้ ย= 2(x + 1) เป็นคำตอบเฉพาะ มาดูตัวอย่างเพิ่มเติมของการแก้สมการด้วยตัวแปรที่แยกกันไม่ได้

ตัวอย่างที่ 2หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.เมื่อพิจารณาแล้วว่า , เราได้รับ .

เราได้อินทิเกรตทั้งสองด้านของสมการแล้ว

ที่ไหน

ตัวอย่างที่ 3หาคำตอบของสมการ สารละลาย.เราแบ่งทั้งสองด้านของสมการออกเป็นปัจจัยที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ไม่ตรงกับตัวแปรภายใต้เครื่องหมายดิฟเฟอเรนเชียล เช่น และบูรณาการ แล้วเราก็ได้

และในที่สุดก็

ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.รู้ว่าเราจะได้อะไร ส่วน

ตัวแปรลิม แล้ว

บูรณาการเราได้รับ

ความคิดเห็นในตัวอย่างที่ 1 และ 2 ฟังก์ชันที่ต้องการคือ ยแสดงอย่างชัดเจน (วิธีแก้ปัญหาทั่วไป) ในตัวอย่างที่ 3 และ 4 - โดยปริยาย (อินทิกรัลทั่วไป) ในอนาคตจะไม่ระบุรูปแบบการตัดสินใจ

ตัวอย่างที่ 5หาคำตอบของสมการ สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 6หาคำตอบของสมการ น่าพอใจ

เงื่อนไข ใช่(อี)= 1.

สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย ดีเอ็กซ์และต่อไปเราได้รับ

เราได้รับอินทิกรัลทั้งสองด้านของสมการ (อินทิกรัลทางด้านขวาถูกแยกเป็นชิ้นส่วน)

แต่ตามเงื่อนไข ย= 1 ณ x= จ- แล้ว

ลองแทนค่าที่พบ กับสู่วิธีแก้ปัญหาทั่วไป:

ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าผลเฉลยบางส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์

6.2.2. สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ของลำดับแรก

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งเรียกว่า เป็นเนื้อเดียวกันหากสามารถแสดงออกมาในรูปแบบได้

ให้เรานำเสนออัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเอกพันธ์

1.แทน ยเรามาแนะนำฟังก์ชั่นใหม่กันดีกว่า และดังนั้นจึง

2.ในแง่ของการทำงาน ยูสมการ (6.7) อยู่ในรูปแบบ

นั่นคือ การแทนที่จะลดสมการเอกพันธ์ให้เป็นสมการที่มีตัวแปรที่แยกออกได้

3. การแก้สมการ (6.8) เราจะหาคุณก่อนแล้วจึงหา ย= เอ็กซ์

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ สารละลาย.เรามาเขียนสมการในรูปแบบกัน

เราทำการทดแทน:
แล้ว

เราจะมาแทนที่

คูณด้วย dx: หารด้วย xและต่อไป แล้ว

เราได้รวมทั้งสองด้านของสมการเข้ากับตัวแปรที่สอดคล้องกันแล้ว

หรือเมื่อกลับไปสู่ตัวแปรเก่า ในที่สุดเราก็ได้

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ สารละลาย.อนุญาต แล้ว

ลองหารทั้งสองข้างของสมการด้วย x2: มาเปิดวงเล็บแล้วจัดเรียงเงื่อนไขใหม่:

จากตัวแปรเก่า เราจะได้ผลลัพธ์สุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 3หาคำตอบของสมการ ระบุว่า

สารละลาย.ดำเนินการเปลี่ยนมาตรฐาน เราได้รับ

หรือ

หรือ

ซึ่งหมายความว่าโซลูชันเฉพาะมีรูปแบบ ตัวอย่างที่ 4หาคำตอบของสมการ

สารละลาย.

ตัวอย่างที่ 5หาคำตอบของสมการ สารละลาย.

ทำงานอิสระ

ค้นหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ด้วยตัวแปรที่แยกออกจากกัน (1-9).

หาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์ (9-18).

6.2.3. การประยุกต์สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

ปัญหาการสลายกัมมันตภาพรังสี

อัตราการสลายตัวของ Ra (เรเดียม) ในแต่ละช่วงเวลาจะแปรผันตามมวลที่มีอยู่ จงหากฎการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสีของ Ra หากทราบว่า ณ ขณะแรกมี Ra และครึ่งชีวิตของ Ra คือ 1,590 ปี

สารละลาย.ให้มวลราเป็นทันที x= เอ็กซ์(ที)ก. และ ดังนั้นอัตราการสลายตัว Ra เท่ากับ

ตามเงื่อนไขของปัญหา

ที่ไหน เค

เราได้แยกตัวแปรในสมการสุดท้ายและอินทิเกรตแล้ว

ที่ไหน

สำหรับการกำหนด คเราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น: เมื่อ .

แล้ว และดังนั้นจึง,

ปัจจัยสัดส่วน เคกำหนดจากเงื่อนไขเพิ่มเติม:

เรามี

จากที่นี่ และสูตรที่ต้องการ

ปัญหาอัตราการสืบพันธุ์ของแบคทีเรีย

อัตราการสืบพันธุ์ของแบคทีเรียนั้นแปรผันตามจำนวนของมัน ในตอนแรกมีแบคทีเรีย 100 ตัว ภายใน 3 ชั่วโมง จำนวนพวกเขาก็เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ค้นหาการพึ่งพาจำนวนแบคทีเรียตรงเวลา ภายใน 9 ชั่วโมง จำนวนแบคทีเรียจะเพิ่มขึ้นกี่เท่า?

สารละลาย.อนุญาต x- จำนวนแบคทีเรียในแต่ละครั้ง ทีแล้วตามเงื่อนไขที่ว่า

ที่ไหน เค- สัมประสิทธิ์สัดส่วน

จากที่นี่ จากสภาพเป็นที่ทราบกันว่า - วิธี,

จากเงื่อนไขเพิ่มเติม - แล้ว

ฟังก์ชั่นที่คุณกำลังมองหา:

ดังนั้นเมื่อ ที= 9 x= 800 เช่น ภายใน 9 ชั่วโมง จำนวนแบคทีเรียเพิ่มขึ้น 8 เท่า

ปัญหาการเพิ่มปริมาณเอนไซม์

ในการเพาะเลี้ยงยีสต์ของผู้ผลิตเบียร์ อัตราการเติบโตของเอนไซม์ที่ทำงานอยู่จะเป็นสัดส่วนกับปริมาณตั้งต้น x.ปริมาณเอนไซม์เริ่มต้น กเพิ่มขึ้นสองเท่าภายในหนึ่งชั่วโมง ค้นหาการพึ่งพา

x(ท)

สารละลาย.ตามเงื่อนไขสมการเชิงอนุพันธ์ของกระบวนการจะมีรูปแบบ

จากที่นี่

แต่ - วิธี, ค= กแล้ว

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า

เพราะฉะนั้น,

6.3. สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง

6.3.1. แนวคิดพื้นฐาน

คำนิยาม.สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเรียกว่าความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงตัวแปรอิสระ ฟังก์ชันที่ต้องการและอนุพันธ์ตัวแรกและตัวที่สอง

ในกรณีพิเศษ x อาจหายไปจากสมการ ที่หรือ y" อย่างไรก็ตาม สมการอันดับสองจะต้องมี y อยู่ด้วย" ในกรณีทั่วไป สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองเขียนเป็น:

หรือถ้าเป็นไปได้ในรูปแบบที่ได้รับการแก้ไขด้วยความเคารพต่ออนุพันธ์อันดับสอง:

เช่นเดียวกับในกรณีของสมการลำดับที่หนึ่ง สำหรับสมการลำดับที่สอง อาจมีวิธีแก้ปัญหาทั่วไปและเฉพาะเจาะจงได้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ:

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยเฉพาะ

ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้น - ให้ไว้

ตัวเลข) เรียกว่า ปัญหาคอชี่.ในเชิงเรขาคณิต นี่หมายความว่าเราต้องหาเส้นโค้งอินทิกรัล ที่= ใช่(x)ผ่านจุดที่กำหนด และมีแทนเจนต์ตรงจุดนี้ซึ่งก็คือ

สอดคล้องกับทิศทางของแกนบวก วัวมุมที่กำหนด จ. (รูปที่ 6.1) ปัญหาคอชีมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะหากอยู่ทางขวามือของสมการ (6.10) ไม่หยุดหย่อน

ไม่ต่อเนื่องและมีอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่องกันด้วยความเคารพ เอ่อ เอ่อ"ในบริเวณใกล้จุดเริ่มต้น

เพื่อหาค่าคงที่ รวมอยู่ในโซลูชันส่วนตัว ระบบจะต้องได้รับการแก้ไข

ข้าว. 6.1.เส้นโค้งอินทิกรัล