ตัวแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

ตัวอย่าง:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

วิธีการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เมื่อแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใดๆ เราพยายามทำให้สมการนั้นอยู่ในรูปแบบ $a^(f(x))=a^(g(x))$ จากนั้นจึงเปลี่ยนไปสู่ความเท่าเทียมกันของเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

ตัวอย่างเช่น:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

สำคัญ! จากตรรกะเดียวกัน ข้อกำหนดสองประการสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวมีดังนี้:
- หมายเลขเข้า ซ้ายและขวาควรจะเหมือนกัน
- องศาซ้ายและขวาจะต้อง “บริสุทธิ์”คือว่าไม่ควรมีการคูณหารเป็นต้น

ตัวอย่างเช่น:

เพื่อลดสมการให้อยู่ในรูปแบบ $a^(f(x))=a^(g(x))$ และมีการใช้

ตัวอย่าง - แก้สมการเลขชี้กำลัง $\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
สารละลาย:

$\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

เรารู้ว่า $27 = 3^3$ เมื่อคำนึงถึงสิ่งนี้ เราจะเปลี่ยนสมการ

$\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

โดยคุณสมบัติของรูท $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ เราได้มาว่า $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. ต่อไป โดยใช้คุณสมบัติขององศา $(a^b)^c=a^(bc)$ เราจะได้ $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

เรายังรู้ด้วยว่า $a^b·a^c=a^(b+c)$ เมื่อใส่ค่านี้ทางด้านซ้าย เราจะได้: $3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$

$3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

ตอนนี้จำไว้ว่า: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ สูตรนี้สามารถใช้ในทิศทางตรงกันข้ามได้: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$ จากนั้น $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

เมื่อนำคุณสมบัติ $(a^b)^c=a^(bc)$ ไปทางด้านขวา เราจะได้: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

และตอนนี้ฐานของเราเท่ากันและไม่มีสัมประสิทธิ์รบกวน ฯลฯ ดังนั้นเราจึงสามารถทำการเปลี่ยนแปลงได้

ตัวอย่าง - แก้สมการเลขชี้กำลัง $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
สารละลาย:

$4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$		เราใช้คุณสมบัติกำลังอีกครั้ง $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ ในทิศทางตรงกันข้าม
$4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0$		ตอนนี้จำไว้ว่า $4=2^2$
$(2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0$		เราเปลี่ยนรูปโดยใช้คุณสมบัติขององศา: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2·(2^x)^2-5·2^x+2=0$		เราดูสมการอย่างละเอียดและเห็นว่าการแทนที่ $t=2^x$ แนะนำตัวมันเอง

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		อย่างไรก็ตาม เราพบค่าของ $t$ และเราต้องการ $x$ เรากลับไปที่ X's โดยทำการแทนที่แบบย้อนกลับ
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		ลองแปลงสมการที่สองโดยใช้สมบัติกำลังลบ...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...และเราตัดสินใจจนกว่าจะได้คำตอบ
$x_1=1$ $x_2=-1$

คำตอบ : $-1; 1$.

คำถามยังคงอยู่ - จะเข้าใจได้อย่างไรว่าเมื่อใดควรใช้วิธีใด? สิ่งนี้มาพร้อมกับประสบการณ์ ใช้คำแนะนำทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนจนกว่าคุณจะพัฒนาได้ - “ถ้าคุณไม่รู้ว่าต้องทำอะไร จงทำในสิ่งที่ทำได้” นั่นคือ ดูว่าคุณจะแปลงสมการโดยหลักการได้อย่างไร แล้วลองทำดู - จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดอะไรขึ้น? สิ่งสำคัญคือทำการแปลงตามทางคณิตศาสตร์เท่านั้น

สมการเลขชี้กำลังที่ไม่มีคำตอบ

ลองดูอีกสองสถานการณ์ที่มักทำให้นักเรียนสับสน:
- จำนวนบวกยกกำลังเท่ากับศูนย์ เช่น $2^x=0$;
- จำนวนบวกเท่ากับกำลังของจำนวนลบ เช่น $2^x=-4$

มาลองแก้โดยใช้กำลังดุร้ายกัน ถ้า x เป็นจำนวนบวก เมื่อ x เพิ่มขึ้น กำลังทั้งหมด $2^x$ จะเพิ่มขึ้นเท่านั้น:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $x=3$; $2^3=8$

$x=0$; $x=0$; $2^0=1$

โดย. X ลบยังคงอยู่ เมื่อนึกถึงคุณสมบัติ $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$ เราจะตรวจสอบ:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

แม้ว่าตัวเลขจะน้อยลงในแต่ละขั้นตอน แต่ก็ไม่มีวันถึงศูนย์เลย ระดับลบไม่ได้ช่วยเรา เรามาถึงข้อสรุปเชิงตรรกะ:

จำนวนบวกไม่ว่าในระดับใดก็ตามจะยังคงเป็นจำนวนบวก

ดังนั้นสมการทั้งสองข้างต้นจึงไม่มีคำตอบ

สมการเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน

ในทางปฏิบัติ บางครั้งเราพบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานต่างกันซึ่งไม่สามารถลดซึ่งกันและกันได้ และในขณะเดียวกันก็พบสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเดียวกัน มีลักษณะดังนี้: $a^(f(x))=b^(f(x))$ โดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนบวก

ตัวอย่างเช่น:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

สมการดังกล่าวสามารถแก้ได้ง่ายๆ ด้วยการหารด้วยด้านใดๆ ของสมการ (โดยปกติจะหารด้วยด้านขวา ซึ่งก็คือ $b^(f(x))$ คุณสามารถหารด้วยวิธีนี้ได้เนื่องจากเป็นจำนวนบวก เป็นบวกต่อกำลังใดๆ (นั่นคือ เราไม่หารด้วยศูนย์)

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

ตัวอย่าง - แก้สมการเลขชี้กำลัง $5^(x+7)=3^(x+7)$
สารละลาย:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		ในกรณีนี้ เราไม่สามารถเปลี่ยนห้าเป็นสามได้ หรือในทางกลับกัน (อย่างน้อยก็โดยไม่ต้องใช้ ) ซึ่งหมายความว่าเราไม่สามารถอยู่ในรูปแบบ $a^(f(x))=a^(g(x))$ อย่างไรก็ตามตัวชี้วัดจะเหมือนกัน ลองหารสมการทางด้านขวา ซึ่งก็คือ $3^(x+7)$ (เราสามารถทำได้เพราะเรารู้ว่าสามจะไม่เป็นศูนย์ในระดับใดๆ)
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		ตอนนี้จำคุณสมบัติ $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ และใช้มันจากซ้ายไปในทิศทางตรงกันข้าม ทางด้านขวา เราก็ลดเศษส่วนลง.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		ดูเหมือนว่าสิ่งต่างๆ จะไม่ดีขึ้นเลย แต่จำคุณสมบัติของกำลังอีกอย่างหนึ่งไว้: $a^0=1$ หรืออีกนัยหนึ่ง: “ตัวเลขใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับ $1$” บทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: “เราสามารถแสดงเป็นตัวเลขใดๆ ยกกำลังศูนย์ได้” เราใช้สิ่งนี้โดยทำให้ฐานด้านขวาเหมือนกับด้านซ้าย
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		เอาล่ะ! มากำจัดฐานกันเถอะ
		เรากำลังเขียนตอบกลับ

คำตอบ : $-7$.

บางครั้ง "ความเหมือนกัน" ของเลขชี้กำลังอาจไม่ชัดเจน แต่การใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังอย่างชำนาญสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้

ตัวอย่าง - แก้สมการเลขชี้กำลัง $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
สารละลาย:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		สมการดูน่าเศร้ามาก... ไม่เพียงแต่ฐานจะไม่สามารถลดให้เป็นจำนวนเดียวกันได้ (เจ็ดจะไม่เท่ากับ $\frac(1)(3)$) แต่เลขชี้กำลังก็ต่างกันด้วย .. อย่างไรก็ตาม ลองใช้ deuce เลขชี้กำลังซ้ายแทน
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		เมื่อนึกถึงคุณสมบัติ $(a^b)^c=a^(b·c)$ เราเปลี่ยนรูปจากทางซ้าย: $7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		ตอนนี้ เมื่อนึกถึงคุณสมบัติของระดับลบ $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$ เราก็แปลงจากทางขวา: $(\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		ฮาเลลูยา! ตัวชี้วัดก็เหมือนกัน! ดำเนินการตามโครงการที่เราคุ้นเคยอยู่แล้วเราแก้ไขก่อนคำตอบ

คำตอบ : $2$.

นี่คือชื่อของสมการในรูปแบบที่ไม่ทราบค่าอยู่ในทั้งเลขยกกำลังและฐานของกำลัง

คุณสามารถระบุอัลกอริธึมที่ชัดเจนสำหรับการแก้สมการของแบบฟอร์มได้ ในการทำเช่นนี้คุณต้องใส่ใจกับความจริงที่ว่าเมื่อใด โอ้)ไม่เท่ากับศูนย์ หนึ่ง และลบหนึ่ง ความเท่าเทียมกันขององศาที่มีฐานเดียวกัน (ไม่ว่าจะเป็นบวกหรือลบ) จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเลขชี้กำลังเท่ากัน นั่นคือรากของสมการทั้งหมดจะเป็นรากของสมการ ฉ(x) = ก(x)ข้อความสนทนาไม่เป็นความจริงเมื่อใด โอ้)< 0 และค่าเศษส่วน ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)การแสดงออก โอ้) ฉ(x) และ

โอ้) ก.(เอ็กซ์) สูญเสียความหมายของพวกเขา นั่นคือเมื่อย้ายจากที่หนึ่ง ฉ(x) = ก(x)(สำหรับ และ รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น ซึ่งจำเป็นต้องแยกออกโดยตรวจสอบกับสมการดั้งเดิม และกรณีต่างๆ ก = 0, ก = 1, ก = -1ต้องพิจารณาแยกกัน

ดังนั้น เพื่อแก้สมการโดยสมบูรณ์ เราจะพิจารณากรณีต่างๆ:

ก(x) = O ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)จะเป็นจำนวนบวก นี่คือคำตอบ มิฉะนั้นไม่มี

ก(x) = 1- รากของสมการนี้ก็คือรากของสมการดั้งเดิมเช่นกัน

ก(x) = -1- หากค่า x เป็นไปตามสมการนี้ ฉ(x)และ ก.(เอ็กซ์)เป็นจำนวนเต็มที่มีความเท่าเทียมกัน (เป็นคู่หรือคี่ทั้งคู่) นี่คือคำตอบ มิฉะนั้นไม่มี

เมื่อใดและเราแก้สมการ ฉ(x)= ก(x)และโดยการแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับลงในสมการดั้งเดิมเราจะตัดรากภายนอกออก

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังเลขชี้กำลัง

ตัวอย่างหมายเลข 1

1) x - 3 = 0, x = 3 เพราะ 3 > 0 และ 3 2 > 0 แล้ว x 1 = 3 คือคำตอบ

2) x - 3 = 1, x 2 = 4

3) x - 3 = -1, x = 2 ตัวบ่งชี้ทั้งสองเป็นเลขคู่ ผลเฉลยนี้คือ x 3 = 1

4) x - 3 ? 0 และ x? ± 1. x = x 2, x = 0 หรือ x = 1 สำหรับ x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - วิธีแก้ไขนี้ถูกต้อง: x 4 = 0 สำหรับ x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - วิธีแก้นี้ถูกต้อง x 5 = 1

คำตอบ: 0, 1, 2, 3, 4

ตัวอย่างหมายเลข 2

ตามคำจำกัดความของรากที่สองทางคณิตศาสตร์: x - 1? 0, x ? 1.

1) x - 1 = 0 หรือ x = 1, = 0, 0 0 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา

2) x - 1 = 1 x 1 = 2

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 ไม่พอดีกับ ODZ

D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - ไม่มีราก

ระดับรายการ

สมการเลขชี้กำลัง สุดยอดคู่มือ (2019)

สวัสดี! วันนี้เราจะหารือกับคุณถึงวิธีการแก้สมการที่สามารถเป็นได้ทั้งระดับประถมศึกษา (และฉันหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้แล้วเกือบทั้งหมดจะเป็นเช่นนั้นสำหรับคุณ) และสมการที่มักจะให้ "เติม" ดูเหมือนจะหลับไปในที่สุด แต่ฉันจะพยายามทำทุกอย่างที่เป็นไปได้ เพื่อว่าตอนนี้คุณจะไม่ประสบปัญหาเมื่อต้องเผชิญกับสมการประเภทนี้ ฉันจะไม่ตีพุ่มไม้อีกต่อไป แต่ฉันจะบอกความลับเล็กน้อยให้คุณทราบทันที: วันนี้เราจะศึกษากัน สมการเลขชี้กำลัง

ก่อนที่จะวิเคราะห์วิธีแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ฉันจะสรุปคำถามต่างๆ (ค่อนข้างเล็ก) ให้คุณทันทีที่คุณควรทำซ้ำก่อนจะรีบโจมตีหัวข้อนี้ ดังนั้นเพื่อผลลัพธ์ที่ดีที่สุดโปรด ทำซ้ำ:

คุณสมบัติและ
คำตอบและสมการ

ซ้ำเหรอ? อัศจรรย์! จากนั้นจะสังเกตได้ไม่ยากว่ารากของสมการคือตัวเลข คุณเข้าใจอย่างชัดเจนว่าฉันทำมันได้อย่างไร? มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? ถ้าอย่างนั้นเรามาทำต่อ ทีนี้ตอบคำถามผมว่าอะไรคือกำลังสาม? คุณพูดถูก: . แปดกำลังสองเป็นเท่าใด? ถูกต้อง - อันที่สาม! เพราะ. ทีนี้ เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้: ขอผมคูณตัวเลขด้วยตัวเองหนึ่งครั้งแล้วจะได้ผลลัพธ์ คำถามคือ ฉันคูณด้วยตัวเองกี่ครั้ง? แน่นอนคุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:

\begin(จัดแนว) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( จัดตำแหน่ง)

แล้วสรุปได้ว่าผมคูณด้วยตัวผมเองด้วย คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้อย่างไร? นี่คือวิธีการ: โดยตรงตามคำจำกัดความของระดับ: . แต่คุณต้องยอมรับว่า ถ้าฉันถามว่าต้องคูณด้วยตัวมันเองกี่ครั้งจึงจะได้ บอกว่าคุณจะบอกฉันว่า ฉันจะไม่หลอกตัวเองและคูณด้วยตัวมันเองจนกว่าฉันจะหน้าซีด และเขาจะพูดถูกอย่างแน่นอน เพราะยังไงคุณก็ทำได้. เขียนขั้นตอนทั้งหมดโดยย่อ(และความกะทัดรัดเป็นน้องสาวของพรสวรรค์)

ที่ไหน - สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกัน "ครั้ง", เมื่อคุณคูณด้วยตัวมันเอง

ฉันคิดว่าคุณรู้ (และถ้าคุณไม่รู้ ให้ทำซ้ำระดับอย่างเร่งด่วนและเร่งด่วนมาก!) ว่าปัญหาของฉันจะถูกเขียนในรูปแบบ:

คุณจะสรุปอย่างสมเหตุสมผลได้อย่างไรว่า:

ดังนั้นฉันจึงเขียนสิ่งที่ง่ายที่สุดโดยไม่มีใครสังเกตเห็น สมการเลขชี้กำลัง:

และฉันก็พบเขาด้วย ราก- คุณไม่คิดว่าทุกสิ่งเป็นเรื่องเล็กน้อยใช่ไหม? ฉันคิดว่าเหมือนกันทุกประการ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณ:

แต่จะทำอย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถเขียนเป็นกำลังของจำนวน (สมเหตุสมผล) ได้ อย่าเพิ่งสิ้นหวังและสังเกตว่าตัวเลขทั้งสองนี้แสดงออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน อันไหน? ขวา: . จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ:

ที่ไหนตามที่คุณเข้าใจแล้ว . อย่ารอช้าอีกต่อไปแล้วจดบันทึกไว้ คำนิยาม:

ในกรณีของเรา: .

สมการเหล่านี้แก้ไขได้โดยการลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบ:

ตามด้วยการแก้สมการ

อันที่จริง เราทำสิ่งนี้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้: เราได้สิ่งต่อไปนี้: และเราแก้สมการที่ง่ายที่สุดแล้ว

ดูเหมือนไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? มาฝึกสิ่งที่ง่ายที่สุดก่อน ตัวอย่าง:

เราจะเห็นอีกครั้งว่าด้านขวาและด้านซ้ายของสมการจำเป็นต้องแสดงเป็นกำลังของตัวเลขตัวเดียว จริงอยู่ด้านซ้ายก็ทำไปแล้ว แต่ด้านขวามีตัวเลข แต่ไม่เป็นไร เพราะสมการของฉันจะเปลี่ยนเป็นสิ่งนี้อย่างน่าอัศจรรย์:

ฉันต้องใช้อะไรที่นี่? กฎอะไร? กฎของ "องศาภายในองศา"ซึ่งอ่านว่า:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า:

ก่อนที่จะตอบคำถามนี้ ให้กรอกตารางต่อไปนี้:

มันง่ายสำหรับเราที่จะสังเกตเห็นว่ายิ่งน้อยค่าก็จะยิ่งน้อยลง แต่ถึงกระนั้นค่าทั้งหมดเหล่านี้ก็ยังมากกว่าศูนย์ และมันจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป!!! คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับพื้นฐานใด ๆ ที่มีตัวบ่งชี้ใด ๆ !! (สำหรับใด ๆ และ) แล้วเราจะสรุปอะไรเกี่ยวกับสมการนี้ได้บ้าง? นี่คือสิ่งที่: มัน ไม่มีราก- เช่นเดียวกับสมการใดๆ ที่ไม่มีราก ตอนนี้เรามาฝึกฝนและ มาแก้ตัวอย่างง่ายๆ:

มาตรวจสอบกัน:

1. ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งใดนอกจากความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติขององศา (ซึ่งฉันขอให้คุณทำซ้ำ!) ตามกฎแล้วทุกอย่างจะนำไปสู่ฐานที่เล็กที่สุด: , . จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้ ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือใช้คุณสมบัติของกำลัง: เมื่อคูณตัวเลขด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกบวก และเมื่อหารจะถูกลบออกจากนั้นฉันจะได้รับ: ตอนนี้ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน ฉันจะย้ายจากสมการเลขชี้กำลังไปเป็นสมการเชิงเส้น: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. -
\end(จัดตำแหน่ง)

2. ในตัวอย่างที่สอง เราต้องระวังมากขึ้น ปัญหาคือทางด้านซ้ายเราไม่สามารถแสดงจำนวนเดียวกันเป็นกำลังได้ ในกรณีนี้บางครั้งก็มีประโยชน์ แทนตัวเลขเป็นผลคูณของกำลังที่มีฐานต่างกัน แต่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน:

ทางด้านซ้ายของสมการจะมีลักษณะดังนี้ นี่ให้อะไรเราบ้าง นี่คือสิ่งที่: จำนวนที่มีฐานต่างกันแต่เลขชี้กำลังเท่ากันสามารถคูณได้ในกรณีนี้ ฐานจะถูกคูณ แต่ตัวบ่งชี้ไม่เปลี่ยนแปลง:

ในสถานการณ์ของฉันสิ่งนี้จะให้:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. -
\end(จัดตำแหน่ง)

ไม่เลวใช่มั้ย?

3. ฉันไม่ชอบเมื่อฉันมีสองเทอมที่ด้านหนึ่งของสมการโดยไม่มีความจำเป็น (แน่นอนว่าบางครั้งนี่เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล แต่ตอนนี้ไม่เป็นเช่นนั้น) ฉันจะย้ายเทอมลบไปทางขวา:

ตอนนี้เหมือนเมื่อก่อน ฉันจะเขียนทุกอย่างในรูปของกำลังสาม:

ฉันบวกองศาทางซ้ายแล้วได้สมการที่เทียบเท่ากัน

คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย:

4. เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สาม เทอมลบจะอยู่ทางด้านขวา!

ด้านซ้ายของฉันเกือบทุกอย่างดี ยกเว้นอะไร? ใช่แล้ว “ระดับที่ผิด” ของทั้งสองกำลังกวนใจฉันอยู่ แต่ฉันสามารถแก้ไขสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดายโดยเขียน: . ยูเรก้า - ทางด้านซ้ายฐานทั้งหมดต่างกัน แต่องศาทั้งหมดเหมือนกัน! มาคูณกันด่วน!

ที่นี่อีกครั้งทุกอย่างชัดเจน: (ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าฉันได้ความเท่าเทียมครั้งสุดท้ายอย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างไร ให้พักสักครู่ หายใจเข้า และอ่านคุณสมบัติของปริญญาอีกครั้งอย่างละเอียด ใครบอกว่าคุณสามารถข้าม องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใช่ไหม ฉันก็เหมือนกับไม่มีใครเลย) ตอนนี้ฉันจะได้รับ:

\begin(จัดตำแหน่ง)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4) -
\end(จัดตำแหน่ง)

ต่อไปนี้เป็นปัญหาสำหรับคุณในการฝึกฝน ซึ่งฉันจะให้คำตอบเท่านั้น (แต่ในรูปแบบ "ผสม") แก้ไข ตรวจสอบ แล้วคุณกับฉันจะวิจัยต่อ!

พร้อม? คำตอบแบบนี้:

หมายเลขใดก็ได้

โอเค โอเค ฉันล้อเล่น! ต่อไปนี้เป็นภาพร่างวิธีแก้ปัญหา (บางส่วนสั้นมาก!)

คุณไม่คิดว่าไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่เศษส่วนทางซ้ายอีกส่วนหนึ่ง "กลับหัว" ใช่ไหม? มันจะเป็นบาปที่จะไม่ใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้:

กฎนี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเลขชี้กำลัง จำไว้ให้ดี!

จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเป็นดังนี้:

โดยการแก้สมการกำลังสองนี้ คุณจะได้รากดังต่อไปนี้:

2. วิธีแก้ไขปัญหาอื่น: หารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์ทางซ้าย (หรือขวา) หารด้วยสิ่งที่อยู่ทางขวา แล้วผมจะได้:

ที่ไหน (ทำไม?!)

3. ฉันไม่อยากพูดซ้ำทุกอย่าง "เคี้ยว" ไปแล้วมาก

4. เทียบเท่ากับสมการกำลังสอง, ราก

5. คุณต้องใช้สูตรที่ให้ไว้ในโจทย์แรก จากนั้นคุณจะได้:

สมการได้กลายมาเป็นตัวตนเล็กๆ น้อยๆ ที่เป็นจริงสำหรับทุกคน แล้วคำตอบคือจำนวนจริงใดๆ

ตอนนี้คุณได้ฝึกการแก้ปัญหาแล้ว สมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายตอนนี้ฉันต้องการยกตัวอย่างชีวิตสองสามตัวอย่างที่จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นต้องมีตัวอย่างเหล่านี้ ที่นี่ฉันจะยกตัวอย่างสองตัวอย่าง หนึ่งในนั้นค่อนข้างทุกวัน แต่อีกอันมีแนวโน้มที่จะเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าสนใจในทางปฏิบัติ

ตัวอย่างที่ 1 (การค้าขาย)ให้คุณมีรูเบิล แต่คุณต้องการเปลี่ยนเป็นรูเบิล ธนาคารเสนอให้คุณรับเงินจำนวนนี้จากคุณในอัตรารายปีพร้อมดอกเบี้ยเป็นทุนรายเดือน (ยอดคงค้างรายเดือน) คำถามคือ คุณต้องเปิดเงินฝากกี่เดือนจึงจะถึงจำนวนเงินสุดท้ายที่ต้องการ? ค่อนข้างเป็นงานธรรมดาใช่ไหม? อย่างไรก็ตาม วิธีการแก้ปัญหานั้นเกี่ยวข้องกับการสร้างสมการเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกัน: ให้ - จำนวนเงินเริ่มต้น - จำนวนเงินสุดท้าย - อัตราดอกเบี้ยสำหรับงวด - จำนวนงวด แล้ว:

ในกรณีของเรา (หากเป็นอัตรารายปี ระบบจะคำนวณต่อเดือน) ทำไมจึงแบ่งด้วย? หากคุณไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามนี้ จำหัวข้อ “” ไว้! จากนั้นเราจะได้สมการนี้:

สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขเท่านั้น (ลักษณะที่ปรากฏของมันบ่งบอกถึงสิ่งนี้และต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับลอการิทึมซึ่งเราจะทำความคุ้นเคยในภายหลัง) ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันจะทำ: ... ดังนั้น ,อยากได้ล้านเราต้องสมทบทุนเป็นเดือน(ไม่เร็วมากใช่ไหม?)

ตัวอย่างที่ 2 (ค่อนข้างเป็นวิทยาศาสตร์)แม้ว่าเขาจะ "โดดเดี่ยว" บ้าง แต่ฉันขอแนะนำให้คุณให้ความสนใจเขา: เขามักจะ "หลุดเข้าสู่การสอบ Unified State!! (ปัญหานำมาจากเวอร์ชัน "ของจริง") ในระหว่างการสลายตัวของไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี มวลของมันจะลดลงตามกฎหมาย โดยที่ (มก.) คือมวลเริ่มต้นของไอโซโทป (นาที) คือเวลาที่ผ่านไปจาก โมเมนต์เริ่มต้น (นาที) คือครึ่งชีวิต ในช่วงเวลาเริ่มต้น มวลของไอโซโทปคือ มก. ครึ่งชีวิตของมันคือนาที หลังจากผ่านไปกี่นาทีมวลของไอโซโทปจะเท่ากับมิลลิกรัม? ไม่เป็นไร: เราแค่นำข้อมูลทั้งหมดมาแทนที่ลงในสูตรที่เสนอให้เรา:

ลองหารทั้งสองส่วนโดย "หวังว่า" ทางด้านซ้ายเราจะได้สิ่งที่ย่อยได้:

เราโชคดีมาก! อยู่ทางซ้าย มาดูสมการที่เทียบเท่ากัน:

มินอยู่ไหน

อย่างที่คุณเห็น สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมีการใช้งานจริงมากในทางปฏิบัติ ตอนนี้ ผมอยากแสดงให้คุณเห็นอีกวิธี (ง่ายๆ) ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ซึ่งขึ้นอยู่กับการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ แล้วจึงจัดกลุ่มพจน์ อย่ากลัวกับคำพูดของฉัน คุณเคยเจอวิธีนี้มาแล้วตอนเกรด 7 ตอนที่คุณเรียนพหุนาม ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์:

มาจัดกลุ่ม: เทอมที่หนึ่งและสามรวมถึงเทอมที่สองและสี่ เห็นได้ชัดว่าอันที่หนึ่งและสามคือความแตกต่างของกำลังสอง:

และตัวที่สองและสี่มีตัวประกอบร่วมกันคือสาม:

จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับสิ่งนี้:

การหาปัจจัยร่วมนั้นไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป:

เพราะฉะนั้น,

นี่คือสิ่งที่เราจะทำโดยประมาณเมื่อแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล: มองหา "ความเหมือนกัน" ในกลุ่มคำแล้วเอาออกจากวงเล็บแล้ว - ไม่ว่าอะไรจะเกิดขึ้นฉันเชื่อว่าเราจะโชคดี =)) ตัวอย่างเช่น:

ทางด้านขวายังห่างไกลจากการยกกำลังเจ็ด (ฉันตรวจสอบแล้ว!) และทางด้านซ้าย - ดีขึ้นนิดหน่อยแน่นอนคุณสามารถ "ตัด" ตัวประกอบ a จากวินาทีจากเทอมแรกแล้วจัดการ กับสิ่งที่คุณมี แต่ให้เราระมัดระวังตัวให้มากขึ้น ฉันไม่ต้องการจัดการกับเศษส่วนที่ก่อตัวอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เมื่อ "selecting" ดังนั้นฉันไม่ควรเอามันออกไปใช่ไหม ถ้าอย่างนั้นฉันจะไม่มีเศษส่วนใด ๆ อย่างที่พวกเขาพูดหมาป่าได้รับอาหารและแกะก็ปลอดภัย:

คำนวณนิพจน์ในวงเล็บ อย่างน่าอัศจรรย์และน่าอัศจรรย์ ปรากฎว่า (น่าประหลาดใจ แม้ว่าเราจะคาดหวังอะไรอีกก็ตาม)

จากนั้นเราลดทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวประกอบนี้ เราได้รับ: , จาก

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ (ค่อนข้างมากจริงๆ):

มีปัญหาอะไร! เราไม่มีจุดร่วมที่นี่! ยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไรในตอนนี้ มาทำสิ่งที่เราทำได้ ขั้นแรก ย้าย "สี่" ไปด้านหนึ่ง และ "ห้า" ไปอีกด้านหนึ่ง:

ตอนนี้เรามาดู "ทั่วไป" ทางซ้ายและขวากัน:

แล้วตอนนี้ล่ะ? กลุ่มโง่ๆ แบบนี้มีประโยชน์อะไร? เมื่อมองแวบแรกจะมองไม่เห็นเลย แต่ลองมาดูให้ลึกกว่านี้:

ตอนนี้เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าทางด้านซ้ายเรามีเพียงนิพจน์ c และทางขวา - อย่างอื่นทั้งหมด เราจะทำเช่นนี้ได้อย่างไร? วิธีการ: หารทั้งสองข้างของสมการก่อน (เพื่อกำจัดเลขชี้กำลังทางขวา) แล้วหารทั้งสองข้างด้วย (เพื่อกำจัดตัวประกอบที่เป็นตัวเลขทางซ้าย) ในที่สุดเราก็ได้รับ:

เหลือเชื่อ! ทางซ้ายเรามีสำนวน และทางขวาเรามีสำนวนง่ายๆ แล้วเราก็สรุปได้ทันทีว่า

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณในการเสริมกำลัง:

ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ของเขา (โดยไม่ต้องอธิบายคำอธิบายให้ตัวเอง) พยายามทำความเข้าใจ "รายละเอียดปลีกย่อย" ทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเอง

ตอนนี้สำหรับการรวมวัสดุที่ครอบคลุมขั้นสุดท้าย ลองแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำสั้น ๆ และเคล็ดลับในการแก้ปัญหา:

ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: โดยที่:
เรามานำเสนอนิพจน์แรกในรูปแบบ: หารทั้งสองข้างแล้วได้สิ่งนั้น
จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ: ตอนนี้เป็นคำใบ้ - ดูว่าคุณและฉันได้แก้สมการนี้ไปแล้วที่ไหน!
ลองนึกภาพว่า อย่างไร อ่า แล้วหารทั้งสองข้างด้วย คุณจะได้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
นำมันออกจากวงเล็บ
นำมันออกจากวงเล็บ

สมการเลขชี้กำลัง ระดับกลาง

ผมคิดว่าหลังจากอ่านบทความแรกที่พูดถึงแล้ว สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลคืออะไรและจะแก้ได้อย่างไรคุณได้เรียนรู้ความรู้ขั้นต่ำที่จำเป็นในการแก้ไขตัวอย่างที่ง่ายที่สุดแล้ว

ทีนี้ผมจะดูวิธีแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกวิธีหนึ่ง ก็คือ

“วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่” (หรือการแทนที่)ช่วยแก้ปัญหาที่ "ยาก" ส่วนใหญ่ในหัวข้อสมการเลขชี้กำลัง (และไม่ใช่แค่สมการเท่านั้น) วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ ก่อนอื่น ฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับหัวข้อนี้

ตามที่คุณเข้าใจจากชื่อแล้ว สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่สมการเลขชี้กำลังของคุณจะแปลงเป็นตัวแปรที่คุณสามารถแก้ได้อย่างง่ายดายอย่างน่าอัศจรรย์ สิ่งที่เหลืออยู่สำหรับคุณหลังจากแก้ "สมการแบบง่าย" นี้คือการสร้าง "การแทนที่แบบย้อนกลับ" นั่นคือคืนจากการแทนที่ไปยังการแทนที่ มาอธิบายสิ่งที่เราเพิ่งพูดด้วยตัวอย่างง่ายๆ:

ตัวอย่างที่ 1:

สมการนี้แก้ได้โดยใช้ "การทดแทนอย่างง่าย" ตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกมันอย่างดูถูกเหยียดหยาม ที่จริงแล้วการแทนที่ที่นี่ชัดเจนที่สุด เราต้องเห็นสิ่งนั้นเท่านั้น

จากนั้นสมการดั้งเดิมจะกลายเป็น:

หากเราจินตนาการเพิ่มเติมว่าจะต้องเปลี่ยนอะไรอย่างชัดเจนอย่างแน่นอน: แน่นอน . แล้วอะไรจะกลายเป็นสมการดั้งเดิม? นี่คือสิ่งที่:

คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย: . เราควรทำอย่างไรตอนนี้? ถึงเวลากลับไปสู่ตัวแปรเดิมแล้ว ฉันลืมพูดถึงอะไรไป? กล่าวคือเมื่อแทนที่ระดับหนึ่งด้วยตัวแปรใหม่ (นั่นคือเมื่อเปลี่ยนประเภท) ฉันจะสนใจ รากที่เป็นบวกเท่านั้น!คุณเองก็สามารถตอบได้อย่างง่ายดายว่าทำไม ดังนั้นคุณและฉันจึงไม่สนใจ แต่รากที่สองค่อนข้างเหมาะสำหรับเรา:

แล้วมาจากไหน..

คำตอบ:

ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนทดแทนเป็นเพียงการขอมือของเรา น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป อย่างไรก็ตาม อย่าไปพูดถึงเรื่องที่น่าเศร้าโดยตรง แต่มาฝึกฝนกับอีกตัวอย่างหนึ่งด้วยการแทนที่ที่ค่อนข้างง่ายกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 2

เป็นที่ชัดเจนว่ามีแนวโน้มมากที่สุดที่เราจะต้องทำการแทนที่ (นี่คือกำลังที่น้อยที่สุดที่รวมอยู่ในสมการของเรา) แต่ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ สมการของเราต้อง "เตรียม" ไว้ก่อน กล่าวคือ: , . จากนั้นคุณสามารถแทนที่ได้ ส่งผลให้ฉันได้นิพจน์ต่อไปนี้:

โอ้สยองขวัญ: สมการลูกบาศก์ที่มีสูตรแย่มากสำหรับการแก้มัน (พูดโดยทั่วไป) แต่อย่าสิ้นหวังในทันที แต่ลองคิดดูว่าเราควรทำอย่างไร ฉันจะแนะนำให้โกง: เรารู้ว่าเพื่อให้ได้คำตอบที่ "สวยงาม" เราต้องได้มันมาในรูปแบบของยกกำลังสาม (ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นล่ะ?) ลองเดาอย่างน้อยหนึ่งรากของสมการของเรา (ฉันจะเริ่มเดาด้วยกำลังของสาม)

ก่อนอื่นให้เดา ไม่ใช่ราก อนิจจาและอา...

.
ด้านซ้ายก็เท่ากัน
ด้านขวา: !
กิน! เดารากแรก ตอนนี้ทุกอย่างจะง่ายขึ้น!

คุณรู้เกี่ยวกับแผนการแบ่งส่วน “มุม” หรือไม่? แน่นอน คุณใช้มันเมื่อคุณหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง แต่มีน้อยคนที่รู้ว่าสิ่งเดียวกันนี้สามารถทำได้ด้วยพหุนาม มีทฤษฎีบทหนึ่งที่ยอดเยี่ยม:

เมื่อใช้กับสถานการณ์ของฉัน สิ่งนี้บอกฉันว่าหารด้วยเศษไม่ลงตัว การแบ่งส่วนดำเนินการอย่างไร? มีวิธีดังนี้:

ฉันดูว่าควรคูณ monomial ใดเพื่อให้ชัดเจน จากนั้น:

ฉันลบนิพจน์ผลลัพธ์จาก ฉันได้รับ:

ทีนี้, ผมต้องคูณด้วยอะไรถึงได้? เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อนั้นฉันจะได้รับ:

และลบนิพจน์ผลลัพธ์ออกจากนิพจน์ที่เหลืออีกครั้ง:

ขั้นตอนสุดท้ายคือการคูณและลบออกจากนิพจน์ที่เหลือ:

ไชโย การแบ่งแยกสิ้นสุดลงแล้ว! เราสะสมอะไรเป็นส่วนตัวบ้าง? แน่นอน: .

จากนั้นเราได้การขยายตัวของพหุนามดั้งเดิมดังต่อไปนี้:

มาแก้สมการที่สองกัน:

มันมีต้นกำเนิด:

จากนั้นสมการดั้งเดิม:

มีสามราก:

แน่นอนว่าเราจะละทิ้งรูตสุดท้ายเพราะมันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ และสองอันแรกหลังจากการแทนที่แบบย้อนกลับจะทำให้เรามีรากสองอัน:

คำตอบ: ..

ด้วยตัวอย่างนี้ ฉันไม่ได้ต้องการทำให้คุณกลัวเลย แต่เป้าหมายของฉันคือการแสดงให้เห็นว่าถึงแม้เราจะมีสมการทดแทนที่ค่อนข้างง่าย แต่ก็ยังนำไปสู่สมการที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งการแก้ปัญหานั้นต้องใช้ทักษะพิเศษบางอย่างจากเรา ไม่มีใครรอดพ้นจากสิ่งนี้ แต่การเปลี่ยนในกรณีนี้ค่อนข้างชัดเจน

นี่คือตัวอย่างที่มีการแทนที่ที่ชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย:

ยังไม่ชัดเจนว่าเราควรทำอย่างไร ปัญหาคือในสมการของเรามีสองฐานที่แตกต่างกัน และฐานหนึ่งไม่สามารถรับจากอีกฐานหนึ่งได้โดยการเพิ่มกำลังใดๆ (สมเหตุสมผล โดยธรรมชาติ) อย่างไรก็ตามเราเห็นอะไร? ฐานทั้งสองต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น และผลคูณของฐานทั้งสองต่างกันเท่ากับหนึ่ง:

คำนิยาม:

ดังนั้น ตัวเลขที่เป็นฐานในตัวอย่างของเราจึงเป็นค่าคอนจูเกต

ในกรณีนี้ ขั้นตอนที่ชาญฉลาดน่าจะเป็น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนคอนจูเกต

ตัวอย่างเช่น เปิด ด้านซ้ายของสมการจะเท่ากับ และด้านขวา หากเราทำการทดแทน สมการดั้งเดิมของเราจะเป็นดังนี้:

รากของมัน และเมื่อนึกถึงสิ่งนั้น เราก็เข้าใจสิ่งนั้น

คำตอบ: , .

ตามกฎแล้ว วิธีการแทนที่นั้นเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลัง "โรงเรียน" ส่วนใหญ่ได้ งานต่อไปนี้นำมาจาก Unified State Examination C1 (ระดับความยากเพิ่มขึ้น) คุณมีความรู้เพียงพอที่จะแก้ไขตัวอย่างเหล่านี้ด้วยตัวเองแล้ว ฉันจะให้เฉพาะสิ่งทดแทนที่จำเป็นเท่านั้น

แก้สมการ:
ค้นหารากของสมการ:
แก้สมการ: . ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่ในส่วนนี้:

และตอนนี้มีคำอธิบายและคำตอบสั้น ๆ :

นี่ก็พอจะทราบได้ว่า... จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเท่ากับสิ่งนี้: สมการนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการแทนที่ ทำการคำนวณเพิ่มเติมด้วยตัวเอง ท้ายที่สุดแล้ว งานของคุณจะลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาตรีโกณมิติอย่างง่าย (ขึ้นอยู่กับไซน์หรือโคไซน์) เราจะดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่คล้ายกันในส่วนอื่นๆ
ที่นี่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องทดแทน: เพียงเลื่อนจุดต่ำกว่าไปทางขวาและแทนทั้งสองฐานด้วยกำลังของสอง: จากนั้นตรงไปที่สมการกำลังสอง
สมการที่สามได้รับการแก้ไขอย่างเป็นมาตรฐานเช่นกัน ลองจินตนาการดูว่าทำอย่างไร จากนั้นแทนที่เราจะได้สมการกำลังสอง: จากนั้น
คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึมคืออะไร จริงไหม? เลขที่? แล้วอ่านหัวข้อด่วน!

เห็นได้ชัดว่ารูตแรกไม่ได้อยู่ในกลุ่ม แต่รูตที่สองไม่ชัดเจน! แต่เราจะรู้เร็ว ๆ นี้! ตั้งแต่นั้นมา (นี่คือคุณสมบัติของลอการิทึม!) มาเปรียบเทียบกัน:

ลบทั้งสองข้างแล้วเราจะได้:

ด้านซ้ายสามารถแสดงเป็น:

คูณทั้งสองข้างด้วย:

ก็คูณได้เลย

จากนั้นเปรียบเทียบ:

ตั้งแต่นั้นมา:

จากนั้นรากที่สองจะอยู่ในช่วงที่ต้องการ

คำตอบ:

อย่างที่คุณเห็น การเลือกรากของสมการเลขชี้กำลังต้องอาศัยความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณระมัดระวังให้มากที่สุดเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง อย่างที่คุณเข้าใจ ในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเชื่อมโยงถึงกัน! ดังที่ครูคณิตศาสตร์ของฉันกล่าวไว้ว่า “คณิตศาสตร์ก็เหมือนกับประวัติศาสตร์ ไม่สามารถอ่านได้ในชั่วข้ามคืน”

ตามกฎแล้วทั้งหมด ความยากในการแก้ปัญหา C1 คือการเลือกรากของสมการอย่างแม่นยำมาฝึกกันอีกตัวอย่างหนึ่ง:

เป็นที่ชัดเจนว่าสมการนั้นแก้ได้ง่ายมาก ด้วยการทดแทน เราจะลดสมการดั้งเดิมของเราลงเหลือดังนี้:

ก่อนอื่นเรามาดูที่รูตแรกกันก่อน มาเปรียบเทียบกัน: ตั้งแต่นั้นมา (คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมที่) เห็นได้ชัดว่ารูทแรกไม่อยู่ในช่วงของเรา ตอนนี้รากที่สอง: . เป็นที่ชัดเจนว่า (เนื่องจากฟังก์ชัน at เพิ่มขึ้น) มันยังคงเปรียบเทียบและ...

ตั้งแต่นั้นมาในขณะเดียวกัน ด้วยวิธีนี้ฉันสามารถ "ตอกหมุด" ระหว่างและ หมุดนี้เป็นตัวเลข นิพจน์แรกมีค่าน้อยกว่าและนิพจน์ที่สองมีค่ามากกว่า จากนั้นนิพจน์ที่สองจะมากกว่านิพจน์แรกและรูทอยู่ในช่วงเวลา

คำตอบ: .

สุดท้ายนี้ ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการที่การทดแทนค่อนข้างไม่ได้มาตรฐาน:

มาเริ่มกันทันทีว่าอะไรทำได้และอะไร - โดยหลักการแล้วสามารถทำได้ แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า คุณสามารถจินตนาการทุกสิ่งได้ด้วยพลังของสาม สอง และหก สิ่งนี้จะนำไปสู่อะไร? มันจะไม่นำไปสู่สิ่งใดเลย: องศาที่สับสน ซึ่งบางองศาก็ค่อนข้างยากที่จะกำจัด แล้วจำเป็นอะไรล่ะ? สังเกตว่าก และสิ่งนี้จะให้อะไรเราบ้าง? และการที่เราสามารถลดคำตอบของตัวอย่างนี้ลงเหลือเพียงคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ค่อนข้างง่ายได้! ขั้นแรก ลองเขียนสมการของเราใหม่เป็น:

ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย:

ยูเรก้า! ตอนนี้เราสามารถแทนที่ได้ เราได้รับ:

ตอนนี้ถึงตาคุณแล้วที่จะต้องแก้ไขปัญหาการสาธิตและฉันจะให้ความคิดเห็นสั้น ๆ กับพวกเขาเท่านั้นเพื่อที่คุณจะได้ไม่หลงทาง! ขอให้โชคดี!

1. ยากที่สุด! มันยากมากที่จะเห็นสิ่งทดแทนที่นี่! แต่อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ เน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์- เพื่อแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะทราบว่า:

นี่คือสิ่งทดแทนของคุณ:

(โปรดทราบว่าในระหว่างการเปลี่ยนเราไม่สามารถทิ้งรากที่เป็นลบได้ !!! คุณคิดอย่างไร)

ตอนนี้เพื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องแก้สมการสองสมการเท่านั้น:

ทั้งสองอย่างสามารถแก้ไขได้ด้วย "การแทนที่แบบมาตรฐาน" (แต่อันที่สองในตัวอย่างเดียว!)

2. สังเกตและทำการเปลี่ยนใหม่

3. แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยโคไพรม์และทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น

4. หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย (หรือถ้าคุณต้องการ) แล้วทำการแทนที่ หรือ

5. สังเกตว่าตัวเลขและมีการผันกัน

สมการเลขชี้กำลัง ระดับขั้นสูง

นอกจากนี้เรามาดูวิธีอื่นกัน - การแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้วิธีลอการิทึม- ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าการแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้วิธีนี้เป็นที่นิยมมาก แต่ในบางกรณีเท่านั้นที่สามารถนำเราไปสู่การแก้สมการที่ถูกต้องได้ มักใช้เพื่อแก้สิ่งที่เรียกว่า “ สมการผสม": นั่นคือฟังก์ชันที่เกิดฟังก์ชันประเภทต่างๆ

ตัวอย่างเช่น สมการของรูปแบบ:

ในกรณีทั่วไปสามารถแก้ไขได้โดยนำลอการิทึมของทั้งสองข้างเท่านั้น (เช่น ไปที่ฐาน) ซึ่งสมการดั้งเดิมจะเปลี่ยนเป็นดังนี้

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

เห็นได้ชัดว่าตาม ODZ ของฟังก์ชันลอการิทึม เราสนใจเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เพียงตามมาจาก ODZ ของลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังมาจากอีกเหตุผลหนึ่งด้วย ฉันคิดว่ามันคงไม่ยากสำหรับคุณที่จะเดาว่ามันคืออะไร

ลองนำลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐาน:

อย่างที่คุณเห็น การหาลอการิทึมของสมการดั้งเดิมอย่างรวดเร็วทำให้เราได้คำตอบที่ถูกต้อง (และสวยงาม!) มาฝึกกันอีกตัวอย่างหนึ่ง:

ก็ไม่มีอะไรผิดเช่นกัน ลองนำลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐาน แล้วเราจะได้:

มาทดแทนกัน:

อย่างไรก็ตาม เราพลาดอะไรบางอย่างไป! คุณสังเกตไหมว่าฉันทำผิดตรงไหน? ท้ายที่สุดแล้ว:

ซึ่งไม่เป็นไปตามข้อกำหนด (ลองคิดดูว่ามันมาจากไหน!)

คำตอบ:

ลองเขียนคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้านล่าง:

ตอนนี้เปรียบเทียบการตัดสินใจของคุณกับสิ่งนี้:

1. ลองลอการิทึมทั้งสองด้านไปที่ฐาน โดยคำนึงถึงว่า:

(รากที่สองไม่เหมาะกับเราเนื่องจากมีการเปลี่ยน)

2. ลอการิทึมถึงฐาน:

ให้เราแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

สมการเลขชี้กำลัง คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน

สมการเลขชี้กำลัง

สมการของแบบฟอร์ม:

เรียกว่า สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด

คุณสมบัติขององศา

แนวทางการแก้ปัญหา

ลดให้เหลือพื้นฐานเดียวกัน
การลดลงเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน
การแทนที่ตัวแปร
ลดความซับซ้อนของนิพจน์และการใช้อย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้น

ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อติดตามบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด

ขั้นแรก เรามาจำสูตรพื้นฐานของกำลังและคุณสมบัติของพวกมันกันก่อน

ผลคูณของตัวเลข กเกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ได้เป็น a … a=a n

1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)

3. n a m = n + m

4. (ก) ม. = นาโนเมตร

5. ก n ข n = (ab) n

7. n / a m = n - m

สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง– นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข

ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:

ในตัวอย่างนี้ เลข 6 คือฐาน โดยจะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร xระดับหรือตัวบ่งชี้

ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแก้ได้อย่างไร?

ลองใช้สมการง่ายๆ:

2 x = 2 3

ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แม้กระทั่งในหัวของคุณ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
มาดูวิธีตัดสินใจอย่างเป็นทางการ:

2 x = 2 3
x = 3

เพื่อที่จะแก้สมการดังกล่าว เราได้ลบออก บริเวณที่เหมือนกัน(นั่นคือสอง) แล้วจดสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้รับคำตอบที่เรากำลังมองหา

ตอนนี้ขอสรุปการตัดสินใจของเรา

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนกันว่าสมการนั้นมีฐานทางขวาและซ้ายหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาทางเลือกในการแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานกลายเป็นเหมือนเดิมแล้ว เท่าเทียมกันองศาแล้วแก้สมการใหม่ที่ได้

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วน:

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ

ฐานด้านซ้ายและขวามีค่าเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและยกกำลังของฐานให้เท่ากันได้

x+2=4 จะได้สมการที่ง่ายที่สุด
x=4 – 2
x=2
คำตอบ: x=2

ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน: 3 และ 9

3 3x - 9 x+8 = 0

ขั้นแรก เลื่อนเก้าไปทางด้านขวา เราจะได้:

ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2. ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm

3 3x = (3 2) x+8

เราได้ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งพวกมันและเทียบองศาได้

3x=2x+16 เราได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x - 2x=16
x=16
คำตอบ: x=16

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานสองและสี่ และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน เราแปลงค่าทั้งสี่โดยใช้สูตร (a n) m = a nm

4 x = (2 2) x = 2 2x

และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

เพิ่มลงในสมการ:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลข 10 และ 24 อื่นรบกวนเราจะทำอย่างไร? หากคุณมองใกล้ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี 2 2x ซ้ำกัน นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บได้:

2 2x (2 4 - 10) = 24

ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:

ลองนึกภาพ 4=2 2:

2 2x = 2 2 ฐานเท่ากัน เราทิ้งมันแล้วหาค่าองศามาเทียบกัน
2x = 2 เป็นสมการที่ง่ายที่สุด หารมันด้วย 2 แล้วเราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1

มาแก้สมการกัน:

9 x – 12*3 x +27= 0

มาแปลงกัน:
9 x = (3 2) x = 3 2x

เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ คุณจะเห็นว่าสามฐานแรกมีดีกรีสองเท่า (2x) มากกว่าฐานที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณสามารถแก้ไขได้ วิธีการทดแทน- เราแทนที่ตัวเลขด้วยระดับที่น้อยที่สุด:

จากนั้น 3 2x = (3 x) 2 = เสื้อ 2

เราแทนที่กำลัง x ทั้งหมดในสมการด้วย t:

เสื้อ 2 - 12t+27 = 0
เราได้สมการกำลังสอง การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
ส=144-108=36
เสื้อ 1 = 9
เสื้อ2 = 3

กลับไปสู่ตัวแปร x.

ใช้เวลา 1:
เสื้อ 1 = 9 = 3 x

ดังนั้น,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 = 2; x 2 = 1.

บนเว็บไซต์คุณสามารถถามคำถามที่น่าสนใจได้ในส่วน HELP DECIDE เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน

เข้าร่วมกลุ่ม

บทเรียนนี้มีไว้สำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง และเช่นเคย เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ กันก่อน

หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าคุณมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับสมการที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว - เชิงเส้นและกำลังสอง: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ฯลฯ ความสามารถในการแก้ไขสิ่งปลูกสร้างดังกล่าวเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ติดขัด" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในตอนนี้

ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ฉันขอยกตัวอย่างให้คุณสองสามตัวอย่าง:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

บางส่วนอาจดูซับซ้อนกว่าสำหรับคุณ ในขณะที่บางส่วนอาจดูเรียบง่ายเกินไป แต่พวกมันทั้งหมดมีคุณลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เหมือนกัน นั่นคือ สัญกรณ์มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเรามาแนะนำคำจำกัดความ:

สมการเลขชี้กำลังคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เช่น การแสดงออกของแบบฟอร์ม $((a)^(x))$ นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ระบุแล้ว สมการดังกล่าวยังสามารถมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ได้ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม ฯลฯ

ตกลงแล้ว เราได้แยกคำจำกัดความออกแล้ว ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ไขเรื่องไร้สาระทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อน

เริ่มต้นด้วยข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันในการสอนนักเรียนหลายคน ฉันสามารถพูดได้ว่านักเรียนส่วนใหญ่หาสมการเลขชี้กำลังได้ง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และยิ่งกว่านั้นคือตรีโกณมิติอีกด้วย

แต่มีข่าวร้าย: บางครั้งผู้เขียนปัญหาสำหรับตำราเรียนและการสอบทุกประเภทถูก "แรงบันดาลใจ" และสมองที่ติดยาของพวกเขาเริ่มสร้างสมการที่โหดร้ายจนการแก้ปัญหากลายเป็นปัญหาไม่เพียง แต่สำหรับนักเรียน - แม้แต่ครูหลายคน ติดอยู่กับปัญหาดังกล่าว

อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงเรื่องน่าเศร้าเลย และลองกลับมาที่สมการทั้งสามที่ให้ไว้ตอนต้นเรื่องกัน เรามาลองแก้แต่ละข้อกัน

สมการแรก: $((2)^(x))=4$ แล้วต้องยกเลข 2 ขึ้นถึงเลข 4 ขึ้นไปถึงเลข 4 ล่ะ? อาจเป็นครั้งที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - และเราได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง นั่นคือ $x=2$ จริงๆ ขอบคุณแคป แต่สมการนี้ง่ายมากจนแม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)

ลองดูสมการต่อไปนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

แต่ที่นี่มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ คือตารางสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ โดยพื้นฐานแล้วเป็นคำจำกัดความของกำลังลบ (คล้ายกับสูตร $((a)^(-n))= \ frac(1)(((ก)^(n)))$).

ท้ายที่สุด มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ตระหนักว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้และให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ดังนั้นสมการดั้งเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

แต่นี่สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทางด้านขวาในสมการคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่มีอะไรอื่นนอกจากฟังก์ชันเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงสามารถ "ละทิ้ง" ฐานและถือเอาตัวบ่งชี้อย่างโง่เขลาได้:

เราได้รับสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนคนใดคนหนึ่งสามารถแก้ได้ภายในสองสามบรรทัด โอเค ในสี่บรรทัด:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

หากคุณไม่เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย อย่าลืมกลับไปที่หัวข้อ “สมการเชิงเส้น” แล้วทำซ้ำอีกครั้ง เนื่องจากหากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในหัวข้อนี้ ยังเร็วเกินไปที่คุณจะใช้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

\[((9)^(x))=-3\]

แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการดั้งเดิมสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\ลูกศรขวา ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

และสำหรับการตัดสินใจดังกล่าว เราจะได้รับสองรางวัลที่สมควรได้รับโดยสุจริต ด้วยความใจเย็นของโปเกมอน เราได้ส่งเครื่องหมายลบหน้าทั้งสามไปยกกำลังของทั้งสามตัวนี้ แต่คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และนี่คือเหตุผล ดูพลังที่แตกต่างกันของทั้งสาม:

\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(เมทริกซ์)\]

เมื่อรวบรวมแท็บเล็ตนี้ ฉันไม่ได้บิดเบือนสิ่งใดเลย: ฉันดูพลังบวกและพลังลบ หรือแม้แต่เศษส่วน... แล้วตัวเลขลบอย่างน้อยหนึ่งตัวอยู่ที่ไหน? เขาไปแล้ว! และเป็นไปไม่ได้ เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=((a)^(x))$ ประการแรกจะใช้เฉพาะค่าบวกเสมอ (ไม่ว่าจะคูณหรือหารด้วยสองเท่าใดก็จะยังคงเป็น a จำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว - ตัวเลข $a$ - ตามคำจำกัดความแล้ว เป็นจำนวนบวก!

แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? แต่ไม่มีทาง: ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเลขชี้กำลังคล้ายกับสมการกำลังสองมาก - อาจไม่มีรากด้วย แต่ถ้าในสมการกำลังสองจำนวนรากถูกกำหนดโดยการแบ่งแยก (การแบ่งแยกเชิงบวก - 2 ราก, ลบ - ไม่มีราก) ดังนั้นในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่อยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ

ดังนั้น ขอให้เรากำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เท่านั้น เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ คุณจะตัดสินใจได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณนั้นมีรากฐานมาจากสมการหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้ไขเลยหรือเขียนทันทีว่าไม่มีราก

ความรู้นี้จะช่วยเราได้หลายครั้งเมื่อเราต้องแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น สำหรับตอนนี้เนื้อเพลงก็เพียงพอแล้ว - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริธึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง

วิธีการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

เรามากำหนดปัญหากัน จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

ตามอัลกอริทึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงตัวเลข $b$ เป็นกำลังของตัวเลข $a$:

นอกจากนี้ ถ้ามีนิพจน์ใดๆ แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ เราจะได้สมการใหม่ที่สามารถแก้ไขได้แล้ว ตัวอย่างเช่น:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(3))\ลูกศรขวา x=3; \\& ((3)^(-x))=81\ลูกศรขวา ((3)^(-x))=((3)^(4))\ลูกศรขวา -x=4\ลูกศรขวา x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\ลูกศรขวา ((5)^(2x))=((5)^(3))\ลูกศรขวา 2x=3\ลูกศรขวา x=\frac(3)( 2). \\\end(จัดแนว)\]

และน่าแปลกที่โครงการนี้ใช้ได้ในกรณีประมาณ 90% แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลังแบบ "จิตเภท" เล็กน้อยในรูปแบบ:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

คุณต้องยกกำลัง 2 ถึง 3 ถึงระดับใด? อันดับแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ยังไม่เพียงพอ ที่สอง? ไม่เช่นกัน: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป อันไหนแล้ว?

นักเรียนที่มีความรู้คงเดาได้แล้ว: ในกรณีเช่นนี้เมื่อไม่สามารถแก้ "อย่างสวยงาม" ได้ "ปืนใหญ่" - ลอการิทึม - ก็เข้ามามีบทบาท ฉันขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นกำลังของจำนวนบวกอื่นๆ ได้ (ยกเว้นหนึ่ง):

จำสูตรนี้ได้ไหม? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันเตือนเสมอ: สูตรนี้ (ซึ่งเป็นอัตลักษณ์ลอการิทึมหลักด้วย หรือถ้าคุณต้องการ คำจำกัดความของลอการิทึม) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานและ "ป๊อปอัป" มากที่สุด สถานที่ที่ไม่คาดคิด เธอโผล่ขึ้นมาแล้ว ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

หากเราถือว่า $a=3$ เป็นตัวเลขเดิมทางขวามือ และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เราต้องการลดทางด้านขวามือ เราจะได้ดังต่อไปนี้:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\ลูกศรขวา 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ลูกศรขวา x=( (\log )_(2))3. \\\end(จัดแนว)\]

เราได้รับคำตอบที่แปลกเล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่น หลายคนอาจมีข้อสงสัยเมื่อได้รับคำตอบดังกล่าว และเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาอีกครั้ง: จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดข้อผิดพลาดในที่ใดที่หนึ่ง ฉันรีบทำให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ และลอการิทึมในรากของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลถือเป็นสถานการณ์ปกติโดยสิ้นเชิง ดังนั้นจงทำความคุ้นเคย :)

ทีนี้มาแก้สมการที่เหลืออีกสองสมการโดยการเปรียบเทียบกัน:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\ลูกศรขวา ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\ลูกศรขวา 2x=( (\log )_(4))11\ลูกศรขวา x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดแนว)\]

แค่นั้นแหละ! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้:

เราแนะนำปัจจัยในการโต้แย้งของลอการิทึม แต่ไม่มีใครหยุดเราไม่ให้เพิ่มปัจจัยนี้เข้ากับฐาน:

ยิ่งกว่านั้นทั้งสามตัวเลือกนั้นถูกต้อง - เป็นเพียงรูปแบบการเขียนตัวเลขเดียวกันที่แตกต่างกัน ตัวเลือกใดที่จะเลือกและจดบันทึกไว้ในโซลูชันนี้ขึ้นอยู่กับคุณในการตัดสินใจ

ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังใดๆ ในรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นผลบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความเป็นจริงอันโหดร้ายของโลกของเราก็คืองานง่ายๆ ดังกล่าวจะพบได้น้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะพบสิ่งนี้:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดแนว)\]

แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? สามารถแก้ไขได้ทั้งหมดหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นทำอย่างไร?

อย่าตื่นตกใจ. สมการทั้งหมดนี้ลดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็นสูตรง่ายๆ ที่เราพิจารณาไปแล้ว คุณเพียงแค่ต้องจำเคล็ดลับสองสามข้อจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎเกณฑ์ในการทำงานกับปริญญา ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมดตอนนี้ :)

การแปลงสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล

สิ่งแรกที่ต้องจำ: สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใด ๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตามจะต้องลดขนาดลงเป็นสมการที่ง่ายที่สุดไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง - สมการที่เราได้พิจารณาไปแล้วและเรารู้วิธีแก้ กล่าวอีกนัยหนึ่งรูปแบบการแก้สมการเลขชี้กำลังมีลักษณะดังนี้:

เขียนสมการเดิมลงไป ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
ทำเรื่องแปลกๆ บ้าง หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "แปลงสมการ";
ที่เอาต์พุต รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นที่คล้ายกัน ยิ่งไปกว่านั้น สมการเริ่มต้นหนึ่งสมการสามารถให้นิพจน์ดังกล่าวได้หลายนิพจน์ในคราวเดียว

ทุกอย่างชัดเจนตั้งแต่ประเด็นแรก - แม้แต่แมวของฉันก็เขียนสมการลงบนกระดาษได้ ประเด็นที่สามดูเหมือนจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้สมการข้างต้นทั้งหมดแล้ว

แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การเปลี่ยนแปลงแบบไหน? แปลงอะไรเป็นอะไร? แล้วยังไงล่ะ?

เรามาดูกันดีกว่า ก่อนอื่นฉันอยากจะสังเกตสิ่งต่อไปนี้ สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:

สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ และ $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

เริ่มจากสมการประเภทแรกกันก่อน - เป็นวิธีแก้ง่ายที่สุด และในการแก้ปัญหานั้น เทคนิคเช่นการเน้นสำนวนที่มั่นคงจะช่วยเราในการแก้ปัญหา

แยกการแสดงออกที่มั่นคง

ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่ต่างกัน แต่กำลังทั้งหมดนี้เป็นเพียงผลบวกของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎการทำงานกับปริญญา:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(ป))). \\\end(จัดแนว)\]

พูดง่ายๆ ก็คือ การบวกสามารถแปลงเป็นผลคูณของกำลัง และการลบสามารถแปลงเป็นการหารได้อย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับองศาจากสมการของเรา:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4 \ \\end(จัดแนว)\]

ลองเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ แล้วรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้าย:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0 \\\end(จัดแนว)\]

สี่พจน์แรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ - ลองเอามันออกจากวงเล็บ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดแนว)\]

ยังคงต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนกลับหัว - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(จัดแนว)\]

แค่นั้นแหละ! เราได้ลดสมการดั้งเดิมให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย

ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ไขเราค้นพบ (และนำมันออกจากวงเล็บด้วย) ปัจจัยร่วม $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร มันสามารถถูกกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่หรือคุณสามารถแสดงมันอย่างระมัดระวังและรับคำตอบก็ได้ ไม่ว่าในกรณีใดหลักการสำคัญในการแก้ปัญหามีดังนี้:

ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด

ข่าวดีก็คือว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเกือบทุกสมการช่วยให้คุณสามารถแยกนิพจน์ที่เสถียรได้

แต่ข่าวร้ายก็คือสำนวนเหล่านี้ค่อนข้างยุ่งยากและระบุได้ยาก ลองดูอีกปัญหาหนึ่ง:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

บางทีตอนนี้อาจมีคนถามคำถาม:“ มหาอำมาตย์คุณเมาหรือเปล่า? มีฐานที่แตกต่างกันที่นี่ – 5 และ 0.2” แต่ลองแปลงกำลังเป็นฐาน 0.2 กัน ตัวอย่างเช่น ลองกำจัดเศษส่วนทศนิยมโดยลดให้เหลือเศษส่วนปกติ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

อย่างที่คุณเห็น เลข 5 ยังคงปรากฏ แม้ว่าจะเป็นตัวส่วนก็ตาม ในขณะเดียวกัน ตัวบ่งชี้ก็ถูกเขียนใหม่เป็นค่าลบ ตอนนี้เรามาจำกฎที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งในการทำงานกับปริญญา:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

แน่นอนว่าฉันกำลังโกหกอยู่นิดหน่อย เพราะเพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ สูตรในการกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบจึงต้องเขียนดังนี้:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ ขวา))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางไม่ให้เราทำงานกับเศษส่วนเพียงอย่างเดียว:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ ขวา))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

แต่ในกรณีนี้ คุณจะต้องสามารถยกกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่งได้ (ฉันขอเตือนคุณ: ในกรณีนี้ ตัวบ่งชี้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน) แต่ฉันไม่จำเป็นต้อง "ย้อนกลับ" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับบางคน :)

ไม่ว่าในกรณีใด สมการเลขชี้กำลังดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดแนว)\]

ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องเลือกนิพจน์ที่เสถียรด้วยซ้ำ - ทุกอย่างลดลงเอง เหลือเพียงจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ซึ่งเราได้รับ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(จัดแนว)\]

นั่นคือทางออก! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกัน ฉันอยากจะสังเกตเทคนิคหนึ่งที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดของเราง่ายขึ้นอย่างมาก:

ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล อย่าลืมกำจัดเศษส่วนทศนิยมออกแล้วแปลงให้เป็นเศษส่วนธรรมดา วิธีนี้จะช่วยให้คุณเห็นฐานขององศาที่เท่ากันและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก

ตอนนี้เรามาดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีฐานที่แตกต่างกันซึ่งไม่สามารถลดให้กันและกันโดยใช้กำลังได้เลย

การใช้คุณสมบัติองศา

ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงเป็นพิเศษอีกสองสมการ:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดแนว)\]

ปัญหาหลักที่นี่คือยังไม่ชัดเจนว่าจะให้อะไรและให้บนพื้นฐานอะไร สำนวนที่มั่นคงอยู่ที่ไหน? สนามเดียวกันมีที่ไหน? ไม่มีสิ่งนี้

แต่ลองไปทางอื่นกัน หากไม่มีฐานที่เหมือนกันสำเร็จรูป คุณสามารถลองหาฐานเหล่านั้นได้โดยแยกตัวประกอบฐานที่มีอยู่

เริ่มจากสมการแรกกันก่อน:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\ลูกศรขวา ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)) \\\end(จัดแนว)\]

แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - สร้างเลข 21 จากเลข 7 และ 3 ซึ่งทำได้ง่ายเป็นพิเศษทางด้านซ้ายเนื่องจากตัวชี้วัดของทั้งสององศาเหมือนกัน:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(จัดแนว)\]

แค่นั้นแหละ! คุณเอาเลขชี้กำลังไปนอกผลคูณแล้วได้สมการที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ไขได้ในสองสามบรรทัดทันที

ทีนี้ลองดูสมการที่สองกัน ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มากที่นี่:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ในกรณีนี้ เศษส่วนกลายเป็นสิ่งที่ลดไม่ได้ แต่หากมีสิ่งใดลดได้ ก็อย่าลืมลดเศษส่วนนั้นด้วย บ่อยครั้งที่เหตุผลที่น่าสนใจปรากฏขึ้นซึ่งคุณสามารถทำงานได้แล้ว

น่าเสียดายที่ไม่มีอะไรพิเศษปรากฏสำหรับเรา แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายของผลคูณอยู่ตรงกันข้าม:

ฉันขอเตือนคุณ: ในการกำจัดเครื่องหมายลบในตัวบ่งชี้ คุณเพียงแค่ต้อง "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100) \\\end(จัดแนว)\]

ในบรรทัดที่สอง เราเพียงแค่เอาเลขชี้กำลังทั้งหมดออกจากผลคูณจากวงเล็บตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$ และอันสุดท้ายก็แค่คูณตัวเลข 100 ด้วยเศษส่วน

โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และทางด้านขวาจะค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ ชัดเจนเลย พวกมันเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน! เรามี:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \ขวา))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \ขวา))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]

ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\ขวา))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

ในกรณีนี้ ทางด้านขวาคุณสามารถรับปริญญาที่มีฐานเดียวกันได้ ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะ "พลิก" เศษส่วน:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

ในที่สุดสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3) \\\end(จัดแนว)\]

นั่นคือวิธีแก้ปัญหา แนวคิดหลักของเขาอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าถึงแม้เราจะพยายามโดยใช้ฐานที่แตกต่างกันโดยใช้ตะขอหรือข้อพับเพื่อลดฐานเหล่านี้ให้เป็นสิ่งเดียวกัน การแปลงสมการและกฎเบื้องต้นสำหรับการทำงานกับกำลังช่วยเราในเรื่องนี้

แต่จะใช้กฎอะไรและเมื่อใด? คุณเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางสิ่ง และอีกสมการหนึ่งคุณต้องแยกตัวประกอบฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้สมการง่ายๆ ก่อน แล้วค่อยๆ ทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - และในไม่ช้า ทักษะของคุณก็จะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังจากการสอบ Unified State เดียวกันหรืองานอิสระ/การทดสอบใดๆ

และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ ฉันขอแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการจากเว็บไซต์ของฉันเพื่อแก้ด้วยตัวเอง สมการทั้งหมดมีคำตอบ คุณจึงสามารถทดสอบตัวเองได้ตลอดเวลา