บทความนี้พูดถึงการกำหนดระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ มาวิเคราะห์โดยใช้วิธีพิกัดซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดในปริภูมิสามมิติ เพื่อเน้นย้ำสิ่งนี้ เรามาดูตัวอย่างงานต่างๆ กัน
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบนั้นพบได้จากระยะทางที่ทราบจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยที่หนึ่งในนั้นถูกกำหนดไว้ และอีกอันคือการฉายภาพไปยังระนาบที่กำหนด
เมื่อระบุจุด M 1 ที่มีระนาบ χ ในอวกาศ จะสามารถลากเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบผ่านจุดนั้นได้ H 1 คือจุดตัดร่วมกัน จากนี้เราพบว่าส่วน M 1 H 1 เป็นเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด M 1 ไปยังระนาบ χ โดยที่จุด H 1 คือฐานของเส้นตั้งฉาก
คำจำกัดความ 1
เรียกว่าระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังฐานของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด
คำจำกัดความสามารถเขียนได้หลายสูตร
คำจำกัดความ 2
ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบคือความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบที่กำหนด
ระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ ถูกกำหนดดังนี้: ระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ จะน้อยที่สุดจากจุดที่กำหนดไปยังจุดใด ๆ บนระนาบ หากจุด H 2 อยู่ในระนาบ χ และไม่เท่ากับจุด H 2 เราจะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากของรูปแบบ M 2 H 1 H 2 ซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีขา M 2 H 1, M 2 H 2 – ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งหมายความว่าเป็นไปตามนั้น M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 ถือว่ามีความโน้มเอียงซึ่งดึงจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ เราพบว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบนั้นน้อยกว่าเส้นเอียงที่ลากจากจุดไปยังระนาบที่กำหนด ลองดูกรณีนี้ในรูปด้านล่าง
ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ - ทฤษฎี ตัวอย่าง วิธีแก้ไข
มีปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนหนึ่งซึ่งคำตอบจะต้องมีระยะห่างจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่ง อาจมีวิธีที่แตกต่างในการระบุสิ่งนี้ ในการแก้ปัญหา ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือความคล้ายคลึงของรูปสามเหลี่ยม เมื่อตามเงื่อนไขที่จำเป็นต้องคำนวณระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ จะได้รับการแก้ไขด้วยวิธีพิกัด ย่อหน้านี้กล่าวถึงวิธีการนี้
ตามเงื่อนไขของปัญหา เรามีจุดในพื้นที่สามมิติที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) โดยมีระนาบ χ จำเป็นต้องกำหนดระยะห่างจาก M 1 ถึง เครื่องบิน χ มีการใช้วิธีการแก้ไขปัญหาหลายวิธีเพื่อแก้ไขปัญหานี้
วิธีแรก
วิธีการนี้อาศัยการหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบหนึ่งโดยใช้พิกัดของจุด H 1 ซึ่งเป็นฐานของตั้งฉากจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ ถัดไปคุณต้องคำนวณระยะห่างระหว่าง M 1 ถึง H 1
ในการแก้ปัญหาแบบที่สอง ให้ใช้สมการปกติของระนาบที่กำหนด
วิธีที่สอง
ตามเงื่อนไข เรามีว่า H 1 เป็นฐานของตั้งฉากซึ่งลดลงจากจุด M 1 ถึงระนาบ χ จากนั้นเราจะกำหนดพิกัด (x 2, y 2, z 2) ของจุด H 1 ระยะทางที่ต้องการจาก M 1 ถึงระนาบ χ พบได้จากสูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 โดยที่ M 1 (x 1, y 1, z 1) และ H 1 (x 2, y 2, z 2) ในการแก้ปัญหา คุณจำเป็นต้องรู้พิกัดของจุด H 1
เรามีว่า H 1 คือจุดตัดของระนาบ χ กับเส้น a ซึ่งผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ χ ตามมาว่าจำเป็นต้องรวบรวมสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เมื่อถึงตอนนั้นเราจะสามารถกำหนดพิกัดของจุด H 1 ได้ จำเป็นต้องคำนวณพิกัดของจุดตัดของเส้นและระนาบ
อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงระนาบ χ:
คำจำกัดความ 3
- วาดสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 และในเวลาเดียวกัน
- ตั้งฉากกับระนาบ χ;
- ค้นหาและคำนวณพิกัด (x 2 , y 2 , z 2) ของจุด H 1 ซึ่งเป็นจุด
- จุดตัดของเส้น a กับระนาบ χ;
- คำนวณระยะทางจาก M 1 ถึง χ โดยใช้สูตร M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2
วิธีที่สาม
ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด O x y z มีระนาบ χ จากนั้นเราจะได้สมการปกติของระนาบในรูปแบบ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 จากที่นี่เราได้รับว่าระยะทาง M 1 H 1 พร้อมจุด M 1 (x 1 , y 1 , z 1) วาดไปที่ระนาบ χ คำนวณโดยสูตร M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ ซ - พี . สูตรนี้ใช้ได้ เนื่องจากสูตรนี้สร้างขึ้นด้วยทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท
หากให้จุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ไว้ในปริภูมิสามมิติ โดยมีสมการปกติของระนาบ χ อยู่ในรูปแบบ cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 จากนั้นคำนวณระยะทางจากจุดถึงระนาบ M 1 H 1 ได้มาจากสูตร M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p เนื่องจาก x = x 1, y = y 1 , z = z 1
การพิสูจน์
การพิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นต้องใช้เพื่อหาระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง จากที่นี่ เราจะได้ว่าระยะห่างจาก M 1 ถึงระนาบ χ คือโมดูลัสของความแตกต่างระหว่างการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์รัศมี M 1 กับระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงระนาบ χ จากนั้นเราจะได้นิพจน์ M 1 H 1 = n p n → O M → - p เวกเตอร์ปกติของระนาบ χ มีรูปแบบ n → = cos α, cos β, cos γ และความยาวของมันเท่ากับ 1, n p n → OM → คือเส้นโครงตัวเลขของเวกเตอร์ OM → = (x 1, y 1 , z 1) ในทิศทางที่กำหนดโดยเวกเตอร์ n → .
ลองใช้สูตรคำนวณเวกเตอร์สเกลาร์กันดีกว่า จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับการค้นหาเวกเตอร์ในรูปแบบ n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → เนื่องจาก n → = cos α , cos β , cos γ · z และ OM → = (x 1 , y 1 , z 1) . รูปแบบพิกัดของบันทึกจะอยู่ในรูปแบบ n → , OM → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 จากนั้น M 1 H 1 = n p n → OM → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
จากตรงนี้ เราจะได้ว่าระยะทางจากจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) ถึงระนาบ χ คำนวณโดยการแทนที่ cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ลงใน ด้านซ้ายของสมการปกติของระนาบแทนพิกัด x, y, z x 1 , y 1 และ ซี 1ที่เกี่ยวข้องกับจุด M 1 โดยรับค่าสัมบูรณ์ของค่าที่ได้รับ
ลองดูตัวอย่างการหาระยะทางจากจุดที่มีพิกัดไปยังระนาบที่กำหนด
ตัวอย่างที่ 1
คำนวณระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (5, - 3, 10) ถึงระนาบ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
สารละลาย
มาแก้ไขปัญหาด้วยสองวิธี
วิธีแรกเริ่มต้นด้วยการคำนวณเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a ตามเงื่อนไข เราจะได้ว่าสมการที่กำหนด 2 x - y + 5 z - 3 = 0 เป็นสมการระนาบทั่วไป และ n → = (2, - 1, 5) เป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด มันถูกใช้เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด จำเป็นต้องเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นในอวกาศที่ผ่าน M 1 (5, - 3, 10) ด้วยเวกเตอร์ทิศทางที่มีพิกัด 2, - 1, 5
สมการจะกลายเป็น x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5
ต้องกำหนดจุดตัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ค่อยๆ รวมสมการเข้ากับระบบเพื่อย้ายจากสมการมาตรฐานไปเป็นสมการของเส้นตัดกันสองเส้น ลองเอาจุดนี้เป็น H 1 กัน เราเข้าใจแล้ว
x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 ปี + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
หลังจากนั้นคุณจะต้องเปิดใช้งานระบบ
x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3
ให้เราหันไปใช้กฎการแก้ปัญหาระบบเกาส์เซียน:
1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1
เราได้ H 1 (1, - 1, 0)
เราคำนวณระยะทางจากจุดที่กำหนดไปยังระนาบ เราใช้คะแนน M 1 (5, - 3, 10) และ H 1 (1, - 1, 0) และรับ
ม 1 ชม 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30
แนวทางที่สองคือนำสมการที่กำหนด 2 x - y + 5 z - 3 = 0 มาสู่รูปแบบปกติก่อน เรากำหนดปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานและรับ 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 จากตรงนี้ เราจะได้สมการของระนาบ 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 ด้านซ้ายของสมการคำนวณโดยการแทนที่ x = 5, y = - 3, z = 10 และคุณต้องใช้ระยะห่างจาก M 1 (5, - 3, 10) ถึง 2 x - y + 5 z - 3 = 0 โมดูโล เราได้รับการแสดงออก:
ม 1 ชม 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30
คำตอบ: 2 30.
เมื่อระบุระนาบ χ ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งในส่วนวิธีการระบุระนาบ ขั้นแรกคุณต้องได้รับสมการของระนาบ χ และคำนวณระยะทางที่ต้องการโดยใช้วิธีใดก็ได้
ตัวอย่างที่ 2
ในพื้นที่สามมิติจะมีการระบุจุดที่มีพิกัด M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) คำนวณระยะทางจาก M 1 ถึงระนาบ A B C
สารละลาย
ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการของเครื่องบินที่ผ่านจุดสามจุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .
x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
ตามมาว่าปัญหามีแนวทางแก้ไขคล้ายกับครั้งก่อน ซึ่งหมายความว่าระยะทางจากจุด M 1 ถึงระนาบ A B C มีค่าเท่ากับ 2 30
คำตอบ: 2 30.
การหาระยะทางจากจุดที่กำหนดบนระนาบหรือไปยังระนาบที่จุดนั้นขนานกันนั้นสะดวกกว่าโดยใช้สูตร M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . จากนี้เราพบว่าสมการปกติของระนาบได้มาในหลายขั้นตอน
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาระยะทางจากจุดที่กำหนดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ไปยังระนาบพิกัด O x y z และระนาบที่กำหนดโดยสมการ 2 y - 5 = 0
สารละลาย
ระนาบพิกัด O y z สอดคล้องกับสมการในรูปแบบ x = 0 สำหรับระนาบ O y z มันเป็นเรื่องปกติ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องแทนที่ค่า x = - 3 ทางด้านซ้ายของนิพจน์และนำค่าสัมบูรณ์ของระยะทางจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ไปยังระนาบ เราได้ค่าเท่ากับ - 3 = 3
หลังการแปลง สมการปกติของระนาบ 2 y - 5 = 0 จะอยู่ในรูป y - 5 2 = 0 จากนั้นคุณสามารถค้นหาระยะทางที่ต้องการจากจุดด้วยพิกัด M 1 (- 3, 2, - 7) ถึงระนาบ 2 y - 5 = 0 การทดแทนและการคำนวณเราจะได้ 2 - 5 2 = 5 2 - 2
คำตอบ:ระยะทางที่ต้องการจาก M 1 (- 3, 2, - 7) ถึง O y z มีค่าเป็น 3 และถึง 2 y - 5 = 0 มีค่าเป็น 5 2 - 2
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเรา และบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
ประเภทงาน: 14
เงื่อนไข
ในพีระมิดสามเหลี่ยมปกติ DABC ที่มีฐาน ABC ด้านข้างของฐานคือ 6\ตาราง(3),และความสูงของปิระมิดคือ 8 ที่ขอบ AB, AC และ AD ตามลำดับจะมีการทำเครื่องหมายจุด M, N และ K เช่นนั้น AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)และ AK=\frac(5)(2)
ก)พิสูจน์ว่าระนาบ MNK และ DBC ขนานกัน
ข)ค้นหาระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ DBC
แสดงวิธีแก้ปัญหาสารละลาย
ก)ระนาบ MNK และ DBC จะขนานกันก็ต่อเมื่อเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบหนึ่งขนานกันตามลำดับกับเส้นที่ตัดกันสองเส้นของระนาบอื่นตามลำดับ มาพิสูจน์กัน พิจารณาเส้น MN และ KM ของระนาบ MNK และเส้น BC และ DB ของระนาบ DBC
ในรูปสามเหลี่ยม AOD: \มุม AOD = 90^\circ และตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส AD=\sqrt(DO^2 +AO^2)
ลองหา AO โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า \bigtriangleup ABC นั้นถูกต้อง
AO=\frac(2)(3)AO_1,โดยที่ AO_1 คือความสูงของ \bigtriangleup ABC AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),โดยที่ a คือด้านของ \bigtriangleup ABC
AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,แล้ว AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10
1. ตั้งแต่ \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)และ \angle DAB เป็นแบบทั่วไป จากนั้น \bigtriangleup AKM \sim ADB
จากความคล้ายคลึงกันจะได้ว่า \angle AKM = \angle ADB
เหล่านี้เป็นมุมที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นตรง KM และ BD และเส้นตัด AD ดังนั้น KM \ขนาน BD 2. ตั้งแต่ \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4),\frac(AM)(AB)=\frac(1)(4) และ \angle CAB ก็เป็นเรื่องธรรมดาแล้ว
\bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB
จากความคล้ายคลึงกัน จะได้ว่า \angle ANM = \angle ACB
ข)มุมเหล่านี้สอดคล้องกับเส้น MN และ BC และเส้นตัดขวาง AC นี่หมายถึง MN \ขนาน BC
สรุป: เนื่องจากเส้นตัดกันสองเส้น KM และ MN ของระนาบ MNK ขนานกันตามลำดับกับเส้นตัดกันสองเส้น BD และ BC ของระนาบ DBC ดังนั้นระนาบเหล่านี้จึงขนานกัน - MNK \dBC ขนาน
ลองหาระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ BDC
เนื่องจากระนาบ MNK ขนานกับระนาบ DBC ระยะทางจากจุด K ถึงระนาบ DBC จึงเท่ากับระยะทางจากจุด O_2 ถึงระนาบ DBC และจะเท่ากับความยาวของส่วน O_2 H ขอให้เราพิสูจน์สิ่งนี้กัน BC \perp AO_1 และ BC \perp DO_1 (ตามความสูงของสามเหลี่ยม ABC และ DBC) ซึ่งหมายความว่า BC ตั้งฉากกับระนาบ ADO_1 จากนั้น BC จะตั้งฉากกับเส้นใดๆ ของระนาบนี้ เช่น O_2 H โดยการก่อสร้าง , O_2H\perp DO_1 ซึ่งหมายความว่า O_2H ตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันของระนาบ BCD จากนั้นส่วน O_2 H จะตั้งฉากกับระนาบ BCD และเท่ากับระยะห่างจาก O_2 ถึงระนาบ BCD
ในรูปสามเหลี่ยม O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\บาป\มุม HO_(1)O_(2) O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\,
O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4)
\sin \มุม DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73))
O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73))
คำตอบ
\frac(54)(\sqrt(73))
ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2017 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu.
ประเภทงาน: 14
หัวข้อ: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
เงื่อนไข
ABCDA_1B_1C_1D_1 เป็นปริซึมทรงสี่เหลี่ยมปกติ
ก) พิสูจน์ว่าระนาบ BB_1D_1 \perp AD_1C
b) เมื่อรู้ AB = 5 และ AA_1 = 6 จงหาระยะห่างจากจุด B_1 ถึงระนาบ AD_1C
แสดงวิธีแก้ปัญหาสารละลาย
a) เนื่องจากปริซึมนี้เป็นปริซึมปกติ ดังนั้น BB_1 \perp ABCD จึงเป็น BB_1 \perp AC เนื่องจาก ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้น AC \perp BD ดังนั้น AC \perp BD และ AC \perp BB_1 เนื่องจากเส้น BD และ BB_1 ตัดกัน ดังนั้น ตามเครื่องหมายของความตั้งฉากของเส้นและระนาบ AC \perp BB_1D_1D ตอนนี้ขึ้นอยู่กับความตั้งฉากของระนาบ AD_1C \perp BB_1D_1
b) ให้เราแสดงด้วย O ถึงจุดตัดของเส้นทแยงมุม AC และ BD ของสี่เหลี่ยม ABCD เครื่องบิน AD_1C และ BB_1D_1 ตัดกันเป็นเส้นตรง OD_1 ให้ B_1H เป็นเส้นตั้งฉากในระนาบ BB_1D_1 กับเส้นตรง OD_1 จากนั้น B_1H \perp AD_1C ให้ E=OD_1 \cap BB_1 สำหรับสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน D_1B_1E และ OBE (ความเท่ากันของมุมที่สอดคล้องกันตามมาจากเงื่อนไข BO \ขนาน B_1D_1) เรามี \frac (B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.
นี่หมายถึง B_1E=2BE=2 \cdot 6=12 เนื่องจาก B_1D_1=5\sqrt(2) ดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉาก D_1E= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))=\sqrt(194)
ต่อไป เราใช้วิธีพื้นที่ในรูปสามเหลี่ยม D_1B_1E เพื่อคำนวณความสูง B_1H ที่ลดลงไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก D_1E: S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H;
12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;.
คำตอบ
B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97)
\frac(60\sqrt(97))(97)
ประเภทงาน: 14
หัวข้อ: ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ
เงื่อนไข
ที่มา: “คณิตศาสตร์. การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State 2016 ระดับโปรไฟล์” เอ็ด F.F. Lysenko, S. Yu.
ABCDA_1B_1C_1D_1 เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขอบ AB=24, BC=7, BB_(1)=4 .
a) พิสูจน์ว่าระยะทางจากจุด B และ D ถึงระนาบ ACD_(1) เท่ากัน
แสดงวิธีแก้ปัญหาสารละลาย
ก) b) จงหาระยะนี้
พิจารณาปิระมิดสามเหลี่ยม D_1ACD
ในปิระมิดนี้ ระยะทางจากจุด D ถึงระนาบฐาน ACD_1-DH เท่ากับความสูงของปิรามิดที่ลากจากจุด D ถึงฐาน ACD_1 V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH
จากความเท่าเทียมกันนี้เราได้รับ.
พิจารณาพีระมิด D_1ABC ระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ ACD_1 เท่ากับความสูงที่ลดลงจากด้านบนของ B ถึงฐานของ ACD_1 ลองแทนระยะนี้ BK กัน แล้ว V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BKจากนี้เราจะได้ BK=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:แต่ V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) เนื่องจากถ้าเราพิจารณา ADC และ ABC เป็นฐานในปิรามิด ดังนั้นความสูง D_1D จะเป็นผลรวม และ S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABCบนสองขา) ดังนั้น BK=DH
b) ค้นหาปริมาตรของปิรามิด D_1ACD
ส่วนสูง D_1D=4 .
S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84
V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.
พื้นที่ใบหน้า ACD_1 คือ \frac1(2)AC \cdot D_1P
AD_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25
เมื่อรู้ว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือค่าเฉลี่ยสัดส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่อยู่ระหว่างขากับระดับความสูงที่ดึงจากจุดยอดของมุมฉาก ในรูปสามเหลี่ยม ADC ที่เรามี โฆษณา^(2)=AC\cdot AP, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25)
ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก AD_1P ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส D_1P^(2)= AD_1^(2)-เอพี^(2)= 65-\left (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)) D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25)
S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).
DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).
- เราสร้างเครื่องบินผ่านจุด Aβ ครั้งที่สอง α .
- กำลังสร้างเครื่องบินลำที่สามตั้งฉากกับระนาบขนาน α และ β
- บนเส้นตัดกันของเครื่องบิน ให้เลือกจุด B และวางเส้นตั้งฉากจากจุด B
- ส่วน BN - ระยะห่างระหว่างระนาบเท่ากับระยะทางจากจุด A ถึงระนาบα - อา = บีเอ็น
2. ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . ความยาวของขอบของลูกบาศก์คือ 1 ค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ CB 1 D 1
โซลูชัน [, 250Kb] อัลกอริทึมต่อไปนี้จะช่วยเราในงานนี้:
- ผ่านจุด A เราสร้างระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบ α
- เราลดตั้งฉากลงกับเส้นตัดของระนาบ AH AR คือระยะทางที่ต้องการจากจุด A ถึงระนาบ α .
ตัวอย่างเช่น ในปัญหาข้างต้น ฉันพบระยะห่างจากจุด A ถึงระนาบ A 1 BT โดยแสดงปริมาตรเป็นสองเท่าของปิรามิด ABTA 1 ด้วยฐาน ABT
ให้ลูกบาศก์ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่มีขอบ 1 ค้นหาระยะทางจากจุด A ถึงระนาบ A 1 BT โดยที่ T คือจุดกึ่งกลางของส่วน AD
โซลูชัน [, 193Kb]
4. ในปริซึมสี่เหลี่ยมปกติ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 โดยมีฐานด้าน 12 และสูง 21 จุด M จะอยู่บนขอบ AA 1 ดังนั้น AM = 8 จุด K อยู่บนขอบ BB 1 ดังนั้น B 1 K=8 ค้นหาระยะทางจากจุด A 1 ถึงระนาบ D 1 MK
โซลูชัน [, 347Kb]
5. ในปริซึมสามเหลี่ยมปกติ ABCA 1 B 1 C 1 ด้านข้างของฐานเท่ากับ 2 และขอบด้านข้างเท่ากับ 3 จุด D คือจุดกึ่งกลางของขอบ CC 1 หาระยะทางจากจุดยอด C ถึงระนาบ ADB 1
โซลูชัน [, 285Kb]
6. ฐานของปริซึมด้านขวา ABCA 1 B 1 C 1 คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC, AB = AC = 5, BC = 6 ความสูงของปริซึมคือ 3 จงหาระยะห่างจากจุดกึ่งกลางขอบ B 1 C 1 ถึงเครื่องบิน BCA 1.
โซลูชัน [, 103Kb]
7. ฐานของปริซึมด้านขวา ABCA 1 B 1 C 1 เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่มีมุมฉาก C โดย BC = 3 ความสูงของปริซึมคือ 4 จงหาระยะห่างจากจุด B ถึงระนาบ ACB 1
โซลูชัน [, 127Kb]
8. ฐานของปริซึม ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD, AB = 10, ВD = 12 ความสูงของปริซึมคือ 6 จงหาระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของใบหน้า A 1 B 1 C 1 D 1 สู่ระนาบ BDC 1
โซลูชัน [, 148Kb]
9. ในปริซึมหกเหลี่ยมปกติ ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 ขอบทุกด้านมีค่าเท่ากับ 1 จงหาระยะทางจากจุด B ถึงระนาบ DEA 1
โซลูชัน [, 194Kb]
10. ให้รูปสี่เหลี่ยม ABCD แบบธรรมดาที่มีขอบ หาระยะทางจากจุดยอด A ถึงระนาบ BDC
โซลูชัน [, 119Kb]
11. ในพีระมิด DABC ขอบทั้งหมดจะเท่ากับ a ให้ O แทนจุดศูนย์กลางของฐาน ABC และ K เป็นจุดกึ่งกลางของความสูง DO ของพีระมิด จงหาระยะทางจากจุด K ถึงขอบ ABD
สารละลาย [