โมเมนต์ความเฉื่อย
  ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย เราต้องแบ่งร่างกายออกเป็นองค์ประกอบที่มีขนาดเล็กเพียงพอโดยจิตใจ ซึ่งจุดที่ถือได้ว่าอยู่ในระยะห่างเท่ากันจากแกนการหมุน จากนั้นหาผลคูณของมวลของแต่ละองค์ประกอบด้วยกำลังสอง ของระยะห่างจากแกนและสุดท้ายให้รวมผลคูณผลลัพธ์ทั้งหมด แน่นอนว่านี่เป็นงานที่ใช้เวลานานมาก ที่จะนับ
โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่มีรูปทรงเรขาคณิตปกติสามารถใช้ได้ในหลายกรณีโดยใช้วิธีแคลคูลัสอินทิกรัล
  เราจะแทนที่การหาผลรวมอันจำกัดของโมเมนต์ความเฉื่อยขององค์ประกอบต่างๆ ของร่างกาย ด้วยการรวมโมเมนต์ความเฉื่อยจำนวนมากอย่างไม่จำกัดซึ่งคำนวณสำหรับองค์ประกอบที่มีขนาดเล็กเป็นอนันต์:
ลิม i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm- (ที่ ∆m → 0).
  ให้เราคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของจานเนื้อเดียวกันหรือทรงกระบอกตันที่มีความสูง ชม.สัมพันธ์กับแกนสมมาตรของมัน

ให้เราแบ่งดิสก์ออกเป็นองค์ประกอบต่างๆ ในรูปแบบของวงแหวนศูนย์กลางบางๆ โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่แกนสมมาตร วงแหวนที่ได้มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน รและภายนอก ร+ดรและส่วนสูง ชม.- เพราะ ดร<< r จากนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าระยะห่างของจุดทุกจุดของวงแหวนจากแกนเท่ากัน ร.
  โมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวงแหวนแต่ละวง
i = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
ที่ไหน ΣΔม- มวลของวงแหวนทั้งหมด
ปริมาณเสียงเรียกเข้า 2πrdr- ถ้าความหนาแน่นของวัสดุดิสก์ ρ แล้วตามด้วยมวลของวงแหวน
ρ2πrdr.
โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวน
ผม = 2πρชม 3 ดร.
  ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ทั้งหมด จำเป็นต้องรวมโมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนจากศูนย์กลางของดิสก์ ( ร = 0) ไปที่ขอบของมัน ( r = อาร์) เช่น คำนวณอินทิกรัล:
ผม = 2πρh 0 R ∫r 3 ดร,
หรือ
ผม = (1/2)πρhR 4.
แต่มวลของดิสก์ ม. = ρπhR 2, เพราะฉะนั้น,
ผม = (1/2)เอ็มอาร์ 2.
  ให้เรานำเสนอ (โดยไม่ต้องคำนวณ) โมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุที่มีรูปทรงเรขาคณิตปกติบางส่วนที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกัน


 1. โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบาง ๆ สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับระนาบของมัน (หรือทรงกระบอกกลวงที่มีผนังบางสัมพันธ์กับแกนสมมาตร):
ผม = mR 2.
 2. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกที่มีผนังหนาสัมพันธ์กับแกนสมมาตร:
ผม = (1/2)ม(ร 1 2 − ร 2 2)
ที่ไหน ร 1- ภายในและ ร 2- รัศมีภายนอก
 3. โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์สัมพันธ์กับแกนที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางอันใดอันหนึ่ง:
ผม = (1/4)เอ็มอาร์ 2.
 4. โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบทึบสัมพันธ์กับแกนที่ตั้งฉากกับเจเนราทริกซ์และผ่านตรงกลาง:
ผม = ม(ร 2 /4 + ชั่วโมง 2 /12)
ที่ไหน ร- รัศมีของฐานกระบอกสูบ ชม.- ความสูงของกระบอกสูบ
 5. โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบาง ๆ สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านตรงกลาง:
ฉัน = (1/12)มล. 2,
ที่ไหน ล- ความยาวของก้าน
 6. โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบาง ๆ สัมพันธ์กับแกนที่ผ่านปลายด้านใดด้านหนึ่ง:
ฉัน = (1/3)มล. 2
  7. โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลสัมพันธ์กับแกนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใดเส้นผ่านศูนย์กลางหนึ่ง:
ผม = (2/5)เอ็มอาร์ 2.

ถ้าทราบโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุเกี่ยวกับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของมัน โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนอื่นๆ ที่ขนานกับแกนแรกจะสามารถพบได้บนพื้นฐานของสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทไฮเกนส์-สไตเนอร์
  โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย ฉันสัมพันธ์กับแกนใดๆ เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย เป็นสัมพันธ์กับแกนที่ขนานกับแกนที่กำหนดแล้วผ่านจุดศูนย์กลางมวลของร่างกายบวกด้วยมวลของร่างกาย มคูณด้วยกำลังสองของระยะทาง ลระหว่างแกน:
ฉัน = ฉัน ค + มล. 2.
  ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลรัศมี รและมวล มแขวนอยู่บนเกลียวที่มีความยาว l ซึ่งสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดแขวนลอย เกี่ยวกับ- มวลของเส้นด้ายมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมวลของลูกบอล เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลสัมพันธ์กับแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ไอซี = (2/5)เอ็มอาร์ 2และระยะทาง
ระหว่างแกน ( ล. + อาร์) จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดช่วงล่าง:
ผม = (2/5)มR 2 + ม(ล + R) 2.
มิติของโมเมนต์ความเฉื่อย:
[ฉัน] = [ม.] × = มล. 2.

แอปพลิเคชัน. โมเมนต์ความเฉื่อยและการคำนวณ

ปล่อยให้ตัวแข็งหมุนรอบแกน Z (รูปที่ 6) สามารถแสดงเป็นระบบที่มีจุดวัสดุต่างกัน m i ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป ซึ่งแต่ละจุดจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยมีรัศมี ร ฉันซึ่งนอนอยู่ในระนาบตั้งฉากกับแกน Z ความเร็วเชิงมุมของจุดวัสดุทั้งหมดจะเท่ากัน โมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุสัมพันธ์กับแกน Z คือปริมาณ:

ที่ไหน – โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุแต่ละจุดสัมพันธ์กับแกน OZ ตามคำนิยามที่ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยคือ ปริมาณสารเติมแต่งกล่าวคือ โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่ประกอบด้วยแต่ละส่วนจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของชิ้นส่วนต่างๆ

รูปที่ 6

อย่างชัดเจน, [ ฉัน] = กก.×ม.2- ความสำคัญของแนวคิดเรื่องโมเมนต์ความเฉื่อยแสดงออกมาเป็นสามสูตร:

; ; .

อันแรกแสดงโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่ Z (มีประโยชน์ในการเปรียบเทียบสูตรนี้กับการแสดงออกของโมเมนตัมของวัตถุ P = เอ็มวีค, ที่ไหน วีซี– ความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล) สูตรที่สองเรียกว่าสมการพื้นฐานสำหรับพลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุรอบแกนคงที่ กล่าวคือ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุน (เปรียบเทียบกับกฎการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวล: - สูตรที่สามแสดงพลังงานจลน์ของร่างกายที่หมุนรอบแกนคงที่ (เปรียบเทียบกับการแสดงออกของพลังงานจลน์ของอนุภาค - การเปรียบเทียบสูตรช่วยให้เราสรุปได้ว่าโมเมนต์ความเฉื่อยในการเคลื่อนที่แบบหมุนมีบทบาทคล้ายกับมวลในแง่ที่ว่า ยิ่งโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายมากขึ้นเท่าใด ความเร่งเชิงมุมก็จะน้อยลงเท่านั้น สิ่งอื่นๆ ทั้งหมดจะเท่ากัน ( ร่างกายพูดเป็นรูปเป็นร่างหมุนยากกว่า) ในความเป็นจริง การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับการคำนวณอินทิกรัลสามตัว และสามารถทำได้สำหรับวัตถุสมมาตรในจำนวนจำกัดเท่านั้น และสำหรับแกนสมมาตรเท่านั้น จำนวนแกนรอบๆ ที่วัตถุสามารถหมุนได้นั้นมีมากอย่างไม่สิ้นสุด ในบรรดาขวานทั้งหมด ขวานที่โดดเด่นคือแกนที่ผ่านจุดที่โดดเด่นของร่างกาย - ศูนย์กลางของมวล (จุดหนึ่งเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ซึ่งเพียงพอที่จะจินตนาการได้ว่ามวลทั้งหมดของระบบมีสมาธิอยู่ที่ศูนย์กลางมวลและมีแรงเท่ากับผลรวมของแรงทั้งหมดที่ใช้ไปยังจุดนี้) แต่ก็มีแกนมากมายที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลเป็นอนันต์เช่นกัน ปรากฎว่าสำหรับวัตถุแข็งที่มีรูปร่างตามอำเภอใจจะมีแกนตั้งฉากกันสามแกน C x, C y, C z, เรียกว่า แกนหมุนฟรี ซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าทึ่ง: หากวัตถุถูกบิดรอบแกนเหล่านี้และโยนขึ้นในระหว่างการเคลื่อนที่ของร่างกายในเวลาต่อมาแกนจะยังคงขนานกับตัวมันเองนั่นคือ จะไม่พังทลาย การบิดรอบแกนอื่นไม่มีคุณสมบัตินี้ ค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุทั่วไปเกี่ยวกับแกนที่ระบุแสดงไว้ด้านล่าง ถ้าแกนผ่านจุดศูนย์กลางมวล แต่ทำมุม a, b, g กับแกน C x, C y, C zดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนดังกล่าวจึงเท่ากับ

I c = ฉัน cx cos 2 a + ฉัน cy cos 2 b + ฉัน cz cos 2 g (*)

ให้เราพิจารณาการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุที่ง่ายที่สุดโดยย่อ

1.โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเนื้อเดียวกันบางยาวรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวลของแท่งและตั้งฉากกับแท่งนั้น

อนุญาต ที -มวลแท่ง, ล –ความยาวของมัน

,

ดัชนี " กับ» ในช่วงเวลาแห่งความเฉื่อย ฉันคหมายความว่า นี่คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล (จุดศูนย์กลางสมมาตรของร่างกาย) ค(0,0,0)

2. โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมบางๆ

; ;

3. โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน

, เสื้อ C(0,0,0)

4. โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางๆ

;

, เสื้อ C(0,0,0)

5. โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์แบบบาง

เนื่องจากมีความสมมาตร

; ;

6. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตัน

;

เนื่องจากความสมมาตร:

7. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมทึบ

, เสื้อ C(0,0,0)

8. โมเมนต์ความเฉื่อยของกรวยตัน

, เสื้อ ค(0,0,0)

ที่ไหน ร– รัศมีของฐาน ชม.– ความสูงของกรวย

จำได้ว่า cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1 สุดท้ายนี้ หากแกน O ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบท Huygens Steiner

ฉัน o = ฉัน s + md 2, (**)

ที่ไหน ฉันโอ้– โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนใดก็ได้ เป็น– โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนขนานกับโมเมนต์นั้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล
ม– น้ำหนักตัว ง– ระยะห่างระหว่างแกน

ขั้นตอนการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยสำหรับวัตถุที่มีรูปร่างมาตรฐานสัมพันธ์กับแกนที่กำหนดจะลดลงดังต่อไปนี้

ตอนนี้เรามาพิจารณาปัญหากัน กำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยร่างกายต่างๆ ทั่วไป สูตรการหาโมเมนต์ความเฉื่อยวัตถุที่สัมพันธ์กับแกน z จะมีรูปแบบ

กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องบวกมวลทั้งหมดเข้าด้วยกัน โดยคูณแต่ละมวลด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกน (x 2 i + y 2 i) โปรดทราบว่าสิ่งนี้เป็นจริงแม้กระทั่งกับวัตถุสามมิติ แม้ว่าระยะห่างจะมีลักษณะเป็น "ลักษณะสองมิติ" ก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะจำกัดตัวเองอยู่เพียงวัตถุสองมิติ

เป็นตัวอย่างง่ายๆ ลองพิจารณาแกนที่หมุนรอบแกนที่ผ่านส่วนปลายและตั้งฉากกับแกนนั้น (รูปที่ 19.3) ตอนนี้เราจำเป็นต้องรวมมวลทั้งหมดคูณด้วยกำลังสองของระยะ x (ในกรณีนี้ y ทั้งหมดเป็นศูนย์) โดยผลรวมแล้ว ฉันหมายถึงอินทิกรัลของ x 2 คูณด้วย "องค์ประกอบ" ของมวล หากเราแบ่งท่อนไม้ออกเป็นท่อนๆ ตามความยาว dx องค์ประกอบมวลที่สอดคล้องกันจะเป็นสัดส่วนกับ dx และถ้า dx คือความยาวของท่อนไม้ทั้งหมด มวลของมันจะเท่ากับ M ดังนั้น

มิติของโมเมนต์ความเฉื่อยจะเท่ากับมวลคูณด้วยความยาวกำลังสองเสมอ ดังนั้นปริมาณที่มีนัยสำคัญเพียงอย่างเดียวที่เราคำนวณได้คือตัวประกอบของ 1/3

โมเมนต์ความเฉื่อยฉันจะเท่ากับเท่าใดหากแกนการหมุนผ่านตรงกลางของแกน? หากต้องการค้นหา เราจำเป็นต้องหาอินทิกรัลอีกครั้ง แต่คราวนี้อยู่ในช่วงตั้งแต่ -1/2L ถึง +1/2L อย่างไรก็ตาม ให้เราทราบถึงคุณลักษณะหนึ่งของกรณีนี้ แท่งที่มีแกนผ่านจุดศูนย์กลางนั้นสามารถมองได้ว่าเป็นแท่งสองแท่งที่มีแกนผ่านส่วนปลาย โดยแต่ละแท่งมีมวล M/2 และความยาว L/2 โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทั้งสองมีค่าเท่ากันและคำนวณโดยใช้สูตร (19.5) ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทั้งหมดจึงเท่ากับ

ดังนั้นจึงเป็นการง่ายกว่าที่จะบิดไม้เรียวตรงกลางมากกว่าปลายสุด

แน่นอนว่าเราสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุอื่นๆ ที่เราสนใจต่อไปได้ แต่เนื่องจากการคำนวณดังกล่าวต้องใช้ประสบการณ์อย่างมากในการคำนวณอินทิกรัล (ซึ่งมีความสำคัญมากในตัวมันเอง) การคำนวณดังกล่าวจึงไม่น่าสนใจสำหรับเรามากนัก อย่างไรก็ตาม มีทฤษฎีบทที่น่าสนใจและมีประโยชน์บางประการอยู่ที่นี่ ให้มีร่างบ้างเราอยากรู้ โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนบางแกน- ซึ่งหมายความว่าเราต้องการหาความเฉื่อยเมื่อหมุนรอบแกนนี้ ถ้าเราขยับร่างกายด้วยไม้ค้ำซึ่งรองรับจุดศูนย์กลางมวลของมัน เพื่อไม่ให้มันหมุนเมื่อหมุนรอบแกนของมัน (ในกรณีนี้ ไม่มีแรงเฉื่อยสักชั่วขณะมากระทำ ดังนั้นร่างกายจะไม่หมุนเมื่อเราเริ่มขยับ) จากนั้น เพื่อที่จะหมุนมัน ต้องใช้แรงเท่ากันทุกประการ เหมือนกับว่ามวลทั้งหมดมีสมาธิอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลและโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับ I 1 = MR 2 c.m. โดยที่ R c.m คือระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลถึงแกนการหมุน อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่ถูกต้องแน่นอน มันไม่ได้ให้โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่ถูกต้อง ท้ายที่สุดแล้วในความเป็นจริงเมื่อหมุนร่างกายจะหมุน ศูนย์กลางมวลไม่เพียงหมุนเท่านั้น (ซึ่งจะให้ค่า I 1) ร่างกายยังต้องหมุนสัมพันธ์กับศูนย์กลางมวลด้วย ดังนั้นจนถึงโมเมนต์ความเฉื่อย I 1 คุณต้องเพิ่ม I c - โมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางมวล คำตอบที่ถูกต้องคือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ มีค่าเท่ากับ

ทฤษฎีบทนี้เรียกว่าทฤษฎีบทการแปลแกนขนาน มันสามารถพิสูจน์ได้ง่ายมาก โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ เท่ากับผลรวมของมวลคูณด้วยผลรวมของกำลังสองของ x และ y นั่นคือ I = Σm i (x 2 i + y 2 i) ตอนนี้เราจะมุ่งความสนใจไปที่ x แต่ทุกอย่างสามารถทำซ้ำได้สำหรับ y ให้พิกัด x เป็นระยะทางของจุดเฉพาะนี้จากจุดกำเนิด อย่างไรก็ตาม เรามาดูกันว่าทุกอย่างจะเปลี่ยนไปอย่างไรหากเราวัดระยะทาง x` จากจุดศูนย์กลางมวล แทนที่จะเป็น x จากจุดกำเนิด หากต้องการทราบเราต้องเขียน
x i = x` i + X ซม.
เราพบว่ากำลังสองนิพจน์นี้
x 2 i = x` 2 i + 2X ซม. x` i + X 2 ซม.

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณคูณมันด้วย m i แล้วบวกมันกับ r ทั้งหมด? เราพบปริมาณคงที่เกินกว่าเครื่องหมายผลรวม

I x = Σm i x` 2 i + 2X ซม. Σm ฉัน x` ฉัน + X2 ซม. Σm ฉัน

จำนวนที่สามนั้นง่ายต่อการคำนวณ แค่ MX 2 ซม. - เทอมที่สองประกอบด้วยสองปัจจัย หนึ่งในนั้นคือ Σm i x` i ; มันเท่ากับพิกัด x` ของจุดศูนย์กลางมวล แต่ค่านี้ควรจะเท่ากับศูนย์ เนื่องจาก x' วัดจากจุดศูนย์กลางมวล และในระบบพิกัดนี้ ตำแหน่งเฉลี่ยของอนุภาคทั้งหมดซึ่งชั่งน้ำหนักด้วยมวลของอนุภาคจะเท่ากับศูนย์ แน่นอนว่าเทอมแรกแทนส่วน x ของ I c ดังนั้นเราจึงได้สูตร (19.7)

ลองตรวจสอบสูตร (19.7) โดยใช้ตัวอย่างเดียว ลองตรวจสอบว่ามันจะใช้ได้กับคันเบ็ดหรือไม่ เราพบแล้วว่าโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งที่สัมพันธ์กับปลายควรเท่ากับ ML 2 /3 และแน่นอนว่าจุดศูนย์กลางมวลของไม้เรียวอยู่ที่ระยะ L/2 ดังนั้น เราควรได้ ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 เนื่องจากหนึ่งในสี่ + หนึ่งในสิบสอง = หนึ่งในสาม เราจึงไม่ได้ทำผิดพลาดร้ายแรงใดๆ

อย่างไรก็ตามเพื่อค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อย (19.5) ไม่จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลเลย คุณสามารถสรุปได้ว่ามันเท่ากับค่าของ ML 2 คูณด้วยสัมประสิทธิ์ γ ที่ไม่รู้จัก หลังจากนี้ คุณสามารถใช้การให้เหตุผลประมาณสองซีกและรับค่าสัมประสิทธิ์ 1/4γ สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อย (19.6) ตอนนี้ใช้ทฤษฎีบทในการแปลแกนแบบขนาน เพื่อพิสูจน์ว่า γ = 1/4γ + 1/4 โดยที่ γ = 1/3 คุณสามารถหาทางวงเวียนได้เสมอ!

เมื่อใช้ทฤษฎีบทแกนขนาน สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าแกน I จะต้องขนานกับแกนที่เราต้องการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย

บางทีอาจคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงคุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งซึ่งมักจะมีประโยชน์มากในการค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายบางประเภท เป็นดังนี้: หากเรามีรูประนาบและแกนพิกัดสามแกนที่มีจุดกำเนิดอยู่ในระนาบนี้และแกน z ตั้งฉากกับมัน ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของรูปนี้สัมพันธ์กับแกน z จะเท่ากับ ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกน x และ y สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย โปรดทราบว่า

โมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมเนื้อเดียวกัน เช่น มีมวล M ความกว้าง ω และความยาว L รอบแกนที่ตั้งฉากกับแผ่นนั้นและผ่านจุดศูนย์กลาง เป็นเพียง

เนื่องจากโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนที่อยู่ในระนาบของแผ่นและขนานกับความยาวของมันเท่ากับ Mω 2 /12 นั่นคือ เหมือนกันทุกประการกับแท่งที่มีความยาว ω และโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนอื่นทุกประการ ในระนาบเดียวกันจะเท่ากับ ML 2/12 เช่นเดียวกับแท่งยาว L

ลองแสดงรายการคุณสมบัติของโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับแกนที่กำหนด ซึ่งเราจะเรียกว่าแกน z:

1. โมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับ

2. หากวัตถุประกอบด้วยหลายส่วน และทราบโมเมนต์ความเฉื่อยของแต่ละส่วน โมเมนต์ความเฉื่อยรวมจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของส่วนเหล่านี้
3. โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนใดๆ เท่ากับโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนขนานที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล บวกด้วยผลคูณของมวลรวมและกำลังสองของระยะห่างของแกนที่กำหนดจากจุดศูนย์กลางมวล .
4. โมเมนต์ความเฉื่อยของรูปทรงแบนสัมพัทธ์กับแกนที่ตั้งฉากกับระนาบจะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยเทียบกับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันอีกสองแกนที่อยู่ในระนาบของรูปและตัดกับแกนตั้งฉาก

ในตาราง ตารางที่ 19.1 แสดงโมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขพื้นฐานบางตัวที่มีความหนาแน่นมวลสม่ำเสมอ และตาราง 19.2 - โมเมนต์ความเฉื่อยของตัวเลขบางค่าซึ่งสามารถหาได้จากตาราง 19.1 โดยใช้คุณสมบัติตามรายการข้างต้น

สามารถหาเนื้อความที่สัมพันธ์กับแกนใดๆ ได้โดยการคำนวณ หากสารในร่างกายมีการกระจายอย่างต่อเนื่อง การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของมันจะลดลงเหลือเพียงการคำนวณอินทิกรัล

ซึ่งในนั้น ร- ระยะห่างจากธาตุมวล DMไปจนถึงแกนหมุน

โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งเนื้อเดียวกันบางๆ รอบแกนตั้งฉากปล่อยให้แกนผ่านปลายแกน ก(รูปที่ 4.4)

สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยเราสามารถเขียนได้ I A = กม 2 ที่ไหน ล- ความยาวก้าน เค- สัมประสิทธิ์สัดส่วน ศูนย์กลางของก้าน กับเป็นจุดศูนย์กลางมวล ตามทฤษฎีบทของสไตเนอร์ ฉัน A = ฉัน C + ม(ล/2) 2 . ขนาด ฉันซีสามารถแสดงเป็นผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งสองอัน SAและ NEซึ่งแต่ละอันมีความยาวเท่ากัน ล/2, มวล ม/2 ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยจึงเป็นดังนี้ ไอ ซี = กม(ลิตร/ 2) 2 . เราได้การแทนที่นิพจน์เหล่านี้เป็นสูตรสำหรับทฤษฎีบทของสทิเนอร์

,

ที่ไหน เค = 1/3. ส่งผลให้เราพบว่า

(4.16)

โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนทรงกลมบางอนันต์(วงกลม). โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน ซี(รูปที่ 4.5) มีค่าเท่ากับ

IZ = มอาร์ 2 , (4.17)

ที่ไหน ร- รัศมีของวงแหวน เนื่องจากมีความสมมาตร ฉัน X = ฉัน Y.

สูตร (4.17) ยังให้โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีผนังบางเป็นอนันต์อย่างเห็นได้ชัดเมื่อเทียบกับแกนเรขาคณิต

ข้าว. 4.5 รูป 4.6

โมเมนต์ความเฉื่อยของจานบางและทรงกระบอกตันสันนิษฐานว่าดิสก์และกระบอกสูบเป็นเนื้อเดียวกันนั่นคือสารมีการกระจายอยู่ในนั้นด้วยความหนาแน่นคงที่ ปล่อยให้แกน ซีผ่านศูนย์กลางของดิสก์ กับตั้งฉากกับระนาบ (รูปที่ 4.6) พิจารณาวงแหวนที่บางเฉียบและมีรัศมีภายใน รและรัศมีภายนอก ร+ดร- บริเวณวงแหวนดังกล่าว ดีเอส = 2พี ถ- โมเมนต์ความเฉื่อยของมันสามารถพบได้ตามสูตร (4.17) ซึ่งมีค่าเท่ากับ ดีฉัน z = ร 2 DM.โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ทั้งหมดถูกกำหนดโดยอินทิกรัล เนื่องจากความสม่ำเสมอของดิสก์ ดีเอ็ม= , ที่ไหน ส=พี ร 2 คือพื้นที่ของดิสก์ทั้งหมด เราจะได้นิพจน์นี้ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล

(4.18)

สูตร (4.18) ยังให้โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตันที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยสัมพันธ์กับแกนเรขาคณิตตามยาว

การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนมักจะทำให้ง่ายขึ้นโดยการคำนวณครั้งแรก ช่วงเวลาแห่งความเฉื่อยของเขา สัมพันธ์กับประเด็น- โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับจุดนั้นไม่ได้มีบทบาทใดๆ ในการเปลี่ยนแปลง เป็นแนวคิดเสริมที่ช่วยให้การคำนวณง่ายขึ้น โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับจุด Oเรียกว่า ผลรวมของผลิตภัณฑ์ของมวลของจุดวัสดุที่ประกอบเป็นวัตถุด้วยกำลังสองของระยะทาง R ถึงจุด O:q = Σ มอาร์2- ในกรณีของการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง ผลรวมนี้จะลดลงเหลือค่าปริพันธ์ q = ∫R 2 เดซิเมตร- ดำเนินไปโดยไม่ได้บอกว่าไม่ควรสับสนระหว่างโมเมนต์ θ กับโมเมนต์ความเฉื่อย ฉันสัมพันธ์กับแกน ในกรณีที่สักครู่ ฉันมวลชน DMจะถูกคูณด้วยกำลังสองของระยะทางถึงแกนนี้ และในกรณีของช่วงเวลา θ - ไปยังจุดคงที่

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาจุดวัสดุหนึ่งจุดที่มีมวลก่อน มและมีพิกัด x, ที่,zสัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (รูปที่ 4.7) กำลังสองของระยะห่างถึงแกนพิกัด เอ็กซ์,ย,ซีเท่ากันตามลำดับ ย 2 + ซ 2,ซี 2 + x 2,x 2 + ย 2และโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนเดียวกัน

ฉัน X= ม(ย 2 + z 2), ฉันยู = ม(z 2 + x 2),

ฉัน Z = ม(x 2 + ย 2).

ลองบวกทั้งสามค่านี้แล้วได้ ฉัน X + ฉัน Y + ฉัน Z = 2ม(x 2 + ย 2 + ซ 2).

แต่ เอ็กซ์ 2 + ย 2 + ซ 2 = ร 2 ที่ไหน ร- ระยะทางจุด m จากจุดกำเนิด เกี่ยวกับ.นั่นเป็นเหตุผล

ฉัน X + ฉัน Y + ฉัน Z = 2θ . (4.19)

ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้ไม่เพียงแต่สำหรับจุดวัสดุจุดเดียวเท่านั้น แต่ยังสำหรับส่วนเนื้อหาโดยพลการด้วย เนื่องจากส่วนเนื้อหาถือได้ว่าเป็นจุดรวมของจุดวัสดุ ดังนั้น, ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายเทียบกับแกนตั้งฉากกันสามแกนที่ตัดกันที่จุดหนึ่ง O เท่ากับสองเท่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุเดียวกันเมื่อเทียบกับจุดนี้

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมกลวงที่มีผนังบางเป็นอนันต์.

ก่อนอื่น เรามาค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อย θ ที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางของลูกบอลกันก่อน แน่นอน มันเท่ากับ θ = ม.ร 2 . จากนั้นเราก็ใช้สูตร (4.19) เชื่อเพราะความสมมาตร ฉัน X = ฉัน Y = ฉัน Z = ฉันด้วยเหตุนี้ เราจึงพบโมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอลกลวงที่สัมพันธ์กับเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน

โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนและสัมพันธ์กับจุด โมเมนต์ความเฉื่อยของจุดวัสดุสัมพันธ์กับแกนจะเท่ากับผลคูณของมวลของจุดด้วยกำลังสองของระยะห่างของจุดถึงแกน ในการค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย (ที่มีการกระจายตัวของสสารอย่างต่อเนื่อง) สัมพันธ์กับแกนคุณต้องแบ่งมันออกเป็นองค์ประกอบเล็ก ๆ ทางจิตใจเพื่อให้แต่ละองค์ประกอบถือได้ว่าเป็นจุดวัสดุที่มีมวลน้อยที่สุด DM =  ดีวี. จากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนจะเท่ากับอินทิกรัลเหนือปริมาตรของร่างกาย:

ที่ไหน ร– ระยะทางองค์ประกอบ DMไปที่แกน

การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนมักจะง่ายขึ้นหากคุณคำนวณครั้งแรก โมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับจุดหนึ่ง . คำนวณโดยใช้สูตรคล้ายกับ (1):

(2)

ที่ไหน ร– ระยะทางองค์ประกอบ DMไปยังจุดที่เลือก (สัมพันธ์กับที่คำนวณ  - ให้จุดนี้เป็นจุดกำเนิดของระบบพิกัด เอ็กซ์, ย, ซี(รูปที่ 1) ระยะห่างขององค์ประกอบกำลังสอง DMเพื่อประสานแกน เอ็กซ์, ย, ซี และถึงจุดกำเนิดเท่ากันตามลำดับ ย 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + ย 2 , x 2 + ย 2 + z 2 - โมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกน เอ็กซ์, ย, ซีและสัมพันธ์กับต้นกำเนิด

จากความสัมพันธ์เหล่านี้จึงเป็นไปตามนั้น

ดังนั้น, ผลรวมของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับแกนตั้งฉากซึ่งกันและกันสามแกนที่ผ่านจุดหนึ่งจะเท่ากับสองเท่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายที่สัมพันธ์กับจุดนี้

โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางๆ องค์ประกอบของแหวนทั้งหมด DM(รูปที่ 2) อยู่ในระยะเท่ากันเท่ากับรัศมีของวงแหวน ร, จากแกนสมมาตร (แกน Y) และจากศูนย์กลาง โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนสัมพันธ์กับแกน Y

(4)

โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ขนาดบาง ปล่อยให้จานมวลที่เป็นเนื้อเดียวกันบางๆ มมีรูศูนย์กลาง (รูปที่ 3) มีรัศมีภายในและภายนอก ร 1 และ ร 2 - แบ่งดิสก์ออกเป็นวงแหวนบาง ๆ ในใจ ร,ความหนา ดร- โมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนดังกล่าวสัมพันธ์กับแกน ย(รูปที่ 3 ตั้งฉากกับรูปและไม่แสดง) ตาม (4):

โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์:

(6)

โดยเฉพาะสมมติใน (6) ร 1 = 0, ร 2 = ร, เราได้รับสูตรสำหรับคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์เนื้อเดียวกันที่เป็นของแข็งบาง ๆ สัมพันธ์กับแกนของมัน:

โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์ที่สัมพันธ์กับแกนสมมาตรไม่ได้ขึ้นอยู่กับความหนาของดิสก์- ดังนั้นด้วยการใช้สูตร (6) และ (7) จึงเป็นไปได้ที่จะคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบที่เกี่ยวข้องซึ่งสัมพันธ์กับแกนสมมาตร

โมเมนต์ความเฉื่อยของดิสก์บางที่สัมพันธ์กับศูนย์กลางก็คำนวณโดยใช้สูตร (6)  = เจ ย , และโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน เอ็กซ์และ ซีมีความเท่าเทียมกัน เจ x = เจ z- ดังนั้นตาม (3): 2 เจ x + เจ ย = 2 เจ ย , เจ x = เจ ย /2, หรือ

(8)

โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบ ให้มีทรงกระบอกมวลสมมาตรกลวง ม, ความยาว ชม.ซึ่งมีรัศมีด้านในและด้านนอกเท่ากัน ร 1 และ ร 2 - ลองหาโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนกัน ซีลากผ่านจุดศูนย์กลางมวลตั้งฉากกับแกนกระบอกสูบ (รูปที่ 4) ในการทำเช่นนี้ เราจะแบ่งมันออกเป็นแผ่นๆ ที่มีความหนาน้อยที่สุดในใจ ดี้- หนึ่งในดิสก์เหล่านี้กำลังชั่งน้ำหนัก DM = มายดี้/ ชม.ซึ่งตั้งอยู่ห่างไกล ยจากแหล่งกำเนิดดังแสดงในรูป 4. โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน ซีตาม (8) และทฤษฎีบทไฮเกนส์–สไตเนอร์

โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบทั้งหมด

โมเมนต์ความเฉื่อยของกระบอกสูบรอบแกน ซี (แกนการหมุนของลูกตุ้ม) เราพบว่าใช้ทฤษฎีบทไฮเกนส์–สไตเนอร์

ที่ไหน ง– ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของทรงกระบอกถึงแกน ซี - ในการอ้างอิง 16 โมเมนต์ความเฉื่อยนี้ถูกกำหนดให้เป็น เจ ทีเอส

(11)

วิธีสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุด

การวางแผนจุดทดลองและวาดกราฟบนจุดเหล่านั้น "ด้วยตา" ตลอดจนการกำหนดจุดแอบซิสซาและลำดับของจุดจากกราฟนั้นไม่มีความแม่นยำมากนัก สามารถเพิ่มขึ้นได้หากคุณใช้วิธีการวิเคราะห์ กฎทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างกราฟคือการเลือกค่าของพารามิเตอร์ "a" และ "b" ในความสัมพันธ์เชิงเส้นของแบบฟอร์ม ย = อา + ข  ที่ ดังนั้นผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสอง ฉัน (รูปที่ 5) ของจุดทดลองทั้งหมดจากเส้นกราฟมีค่าน้อยที่สุด (วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

(1)