การแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.
ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
วัสดุมาตราพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่ค่อย..." มากนัก
และสำหรับผู้ที่ “มากๆ…”)
เกิดอะไรขึ้น สมการเลขชี้กำลัง- นี่คือสมการที่มีสิ่งที่ไม่ทราบ (x) และสำนวนที่เกี่ยวข้องอยู่ ตัวชี้วัดองศาบ้าง และที่นั่นเท่านั้น! นี่เป็นสิ่งสำคัญ
เอาล่ะ ตัวอย่างสมการเลขชี้กำลัง:
3 x 2 x = 8 x+3
ใส่ใจ! ในฐานขององศา (ด้านล่าง) - ตัวเลขเท่านั้น- ใน ตัวชี้วัดองศา (ด้านบน) - การแสดงออกที่หลากหลายด้วย X หากจู่ๆ X ปรากฏในสมการที่อื่นที่ไม่ใช่ตัวบ่งชี้ เช่น:
นี่จะเป็นสมการแบบผสมอยู่แล้ว สมการดังกล่าวไม่มีกฎเกณฑ์ที่ชัดเจนในการแก้สมการ เราจะไม่พิจารณาพวกเขาในตอนนี้ ที่นี่เราจะจัดการกับ การแก้สมการเลขชี้กำลังในรูปแบบที่บริสุทธิ์ที่สุด
ในความเป็นจริง แม้แต่สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบริสุทธิ์ก็ไม่สามารถแก้ได้อย่างชัดเจนเสมอไป แต่มีสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลบางประเภทที่สามารถและควรแก้ได้ นี่คือประเภทที่เราจะพิจารณา
การแก้สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
ก่อนอื่น เรามาแก้อะไรบางอย่างที่พื้นฐานมากกันดีกว่า ตัวอย่างเช่น:
แม้ว่าจะไม่มีทฤษฎีใดๆ แต่การเลือกง่ายๆ ก็ชัดเจนว่า x = 2 ไม่มีอะไรอีกแล้วใช่ไหม!? ไม่มีค่าอื่นของ X ใช้งานได้ ตอนนี้เรามาดูคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ซับซ้อนนี้:
เราทำอะไรไปแล้วบ้าง? อันที่จริงเราแค่โยนฐานเดียวกันออกไป (สามเท่า) ไล่ออกหมดเลย และข่าวดีก็คือ เราโดนตะปูหัวแตก!
อันที่จริงถ้าในสมการเลขชี้กำลังมีทั้งซ้ายและขวา เหมือนกันตัวเลขที่อยู่ในกำลังใดๆ ก็ตาม ตัวเลขเหล่านี้สามารถลบออกได้ และเลขยกกำลังก็สามารถทำให้เท่ากันได้ คณิตศาสตร์อนุญาต มันยังคงต้องแก้สมการที่ง่ายกว่ามาก เยี่ยมเลยใช่ไหม?)
อย่างไรก็ตาม ขอให้เราจำไว้อย่างมั่นคง: คุณสามารถลบฐานได้ก็ต่อเมื่อตัวเลขฐานด้านซ้ายและขวาแยกจากกันอย่างสวยงาม!โดยไม่มีเพื่อนบ้านและสัมประสิทธิ์ใดๆ สมมติว่าในสมการ:
2 x +2 x+1 = 2 3 หรือ
twos ไม่สามารถลบออกได้!
เราเข้าใจสิ่งที่สำคัญที่สุดแล้ว วิธีย้ายจากนิพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลที่ชั่วร้ายไปเป็นสมการที่ง่ายกว่า
“ถึงเวลาแล้ว!” - คุณพูด “ใครจะให้บทเรียนพื้นฐานเกี่ยวกับการทดสอบและการสอบ!”
ฉันต้องเห็นด้วย ไม่มีใครจะ. แต่ตอนนี้คุณก็รู้แล้วว่าจะต้องมุ่งเป้าไปที่ใดเมื่อแก้ไขตัวอย่างที่ยุ่งยาก จำเป็นต้องนำไปในรูปแบบที่มีเลขฐานเดียวกันทั้งด้านซ้ายและด้านขวา แล้วทุกอย่างจะง่ายขึ้น จริงๆ แล้ว นี่คือคลาสสิกของคณิตศาสตร์ เราใช้ตัวอย่างดั้งเดิมและแปลงเป็นรูปแบบที่ต้องการ เราจิตใจ. ตามกฎของคณิตศาสตร์แน่นอน
ลองดูตัวอย่างที่ต้องใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพื่อลดขนาดให้ง่ายที่สุด มาโทรหาพวกเขากันเถอะ สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย
การแก้สมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย ตัวอย่าง.
เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลังกฎหลักคือ การกระทำที่มีองศาหากไม่มีความรู้เกี่ยวกับการกระทำเหล่านี้ก็จะไม่มีอะไรเกิดขึ้น
ในการดำเนินการที่มีระดับนั้น เราจะต้องเพิ่มการสังเกตและความเฉลียวฉลาดส่วนตัว เราจำเป็นต้องมีเลขฐานเดียวกันหรือไม่? ดังนั้นเราจึงมองหาสิ่งเหล่านั้นในตัวอย่างในรูปแบบที่ชัดเจนหรือเข้ารหัส
เรามาดูกันว่าในทางปฏิบัติทำอย่างไร?
ให้เรายกตัวอย่าง:
2 2x - 8 x+1 = 0
การมองอย่างกระตือรือร้นครั้งแรกอยู่ที่ บริเวณพวกเขา... พวกเขาแตกต่าง! สองและแปด แต่ยังเร็วเกินไปที่จะท้อแท้ ถึงเวลาที่ต้องจำไว้ว่า
สองและแปดเป็นญาติในระดับปริญญา) ค่อนข้างเป็นไปได้ที่จะเขียน:
8 x+1 = (2 3) x+1
หากเราจำสูตรได้จากการดำเนินการที่มีองศา:
(น) ม. = นาโนเมตร ,
มันได้ผลดีมาก:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
ตัวอย่างดั้งเดิมเริ่มมีลักษณะดังนี้:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
เราโอน 2 3 (x+1)ทางด้านขวา (ไม่มีใครยกเลิกการดำเนินการเบื้องต้นของคณิตศาสตร์!) เราได้รับ:
2 2x = 2 3(x+1)
นั่นคือทั้งหมดในทางปฏิบัติ การถอดฐาน:
เราแก้สัตว์ประหลาดตัวนี้และรับ
นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง
ในตัวอย่างนี้ การรู้ถึงพลังของทั้งสองช่วยเราออกไป เรา ระบุในแปดมีการเข้ารหัสสองตัว เทคนิคนี้ (การเข้ารหัสฐานร่วมภายใต้ตัวเลขที่ต่างกัน) เป็นเทคนิคยอดนิยมในสมการเลขชี้กำลัง! ใช่ และในลอการิทึมด้วย คุณต้องสามารถจดจำกำลังของตัวเลขอื่นเป็นตัวเลขได้ นี่เป็นสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในการแก้สมการเลขชี้กำลัง
ความจริงก็คือการเพิ่มจำนวนใดๆ ให้เป็นกำลังใดๆ ไม่ใช่ปัญหา คูณแม้กระทั่งบนกระดาษก็แค่นั้นแหละ เช่น ใครๆ ก็ยก 3 ยกกำลัง 5 ได้ 243 จะได้ผลถ้าคุณรู้ตารางสูตรคูณ) แต่ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล มักไม่จำเป็นต้องยกกำลัง แต่ในทางกลับกัน... ค้นหา เลขอะไรถึงระดับไหนถูกซ่อนอยู่หลังหมายเลข 243 หรือพูด 343... ไม่มีเครื่องคิดเลขจะช่วยคุณได้ที่นี่
ต้องรู้พลังของตัวเลขบางตัวด้วยการมองเห็นใช่ไหม... มาฝึกกัน?
กำหนดว่าพลังอะไรและตัวเลขอะไรคือ:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
คำตอบ (วุ่นวายแน่นอน!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
หากมองใกล้ ๆ คุณจะเห็นข้อเท็จจริงที่แปลกประหลาด มีคำตอบมากกว่างานอย่างเห็นได้ชัด! มันเกิดขึ้น... ตัวอย่างเช่น 2 6, 4 3, 8 2 - นั่นคือทั้งหมด 64
สมมติว่าคุณได้จดบันทึกข้อมูลเกี่ยวกับความคุ้นเคยกับตัวเลขแล้ว) ฉันขอเตือนคุณด้วยว่าในการแก้สมการเลขชี้กำลังที่เราใช้ ทั้งหมดคลังความรู้ทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งพวกชั้นต้นและชั้นกลางด้วย คุณไม่ได้เรียนมัธยมปลายใช่ไหม?)
ตัวอย่างเช่น เมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง การใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บมักจะช่วยได้ (สวัสดีนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7!) ลองดูตัวอย่าง:
3 2x+4 -11 9 x = 210
และขอย้ำอีกครั้งว่า แวบแรกอยู่ที่ฐานราก! ฐานองศาต่างกัน...สามกับเก้า และเราอยากให้พวกเขาเหมือนกัน ในกรณีนี้ความปรารถนาก็สมหวังอย่างสมบูรณ์!) เพราะ:
9 x = (3 2) x = 3 2x
ใช้กฎเดียวกันในการจัดการกับองศา:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
เยี่ยมมาก คุณสามารถเขียนลงไปได้เลย:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แล้วไงต่อ!? โยนสามออกไปไม่ได้... ทางตันเหรอ?
ไม่เลย. จำกฎการตัดสินใจที่เป็นสากลและทรงพลังที่สุด ทุกคนงานคณิตศาสตร์:
หากคุณไม่รู้ว่าคุณต้องการอะไร ให้ทำเท่าที่ทำได้!
ดูสิทุกอย่างจะได้ผล)
มีอะไรอยู่ในสมการเลขชี้กำลังนี้ สามารถทำ? ใช่ ทางด้านซ้ายขอให้เอาออกจากวงเล็บ! ตัวคูณโดยรวมของ 3 2x บอกเป็นนัยถึงสิ่งนี้อย่างชัดเจน มาลองกันดูครับว่า:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
ตัวอย่างเริ่มดีขึ้นเรื่อยๆ!
เราจำได้ว่าเพื่อกำจัดเหตุผล เราจำเป็นต้องมีปริญญาที่บริสุทธิ์ โดยไม่มีค่าสัมประสิทธิ์ใดๆ หมายเลข 70 กวนใจเรา ดังนั้นเราจึงหารทั้งสองข้างของสมการด้วย 70 เราได้:
อ๊ะ! ทุกอย่างดีขึ้น!
นี่คือคำตอบสุดท้าย
อย่างไรก็ตาม มันเกิดขึ้นที่การแท็กซี่ในบริเวณเดียวกันได้ผล แต่การกำจัดไม่ได้ผล สิ่งนี้เกิดขึ้นในสมการเลขชี้กำลังประเภทอื่น มาเชี่ยวชาญประเภทนี้กันดีกว่า
การแทนที่ตัวแปรในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง.
มาแก้สมการกัน:
4 x - 3 2 x +2 = 0
ครั้งแรก - ตามปกติ เรามาต่อกันที่ฐานเดียวกันดีกว่า ถึงผีสาง
4 x = (2 2) x = 2 2x
เราได้รับสมการ:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
และนี่คือที่ที่เราแขวนอยู่ เทคนิคก่อนหน้านี้จะไม่ได้ผลไม่ว่าคุณจะมองอย่างไร เราจะต้องดึงวิธีการอื่นที่ทรงพลังและเป็นสากลออกมาจากคลังแสงของเรา มันเรียกว่า การแทนที่ตัวแปร
สาระสำคัญของวิธีการนี้เรียบง่ายอย่างน่าประหลาดใจ แทนที่จะเป็นไอคอนที่ซับซ้อนอันหนึ่ง (ในกรณีของเรา - 2 x) เราเขียนอีกอันที่ง่ายกว่า (เช่น - t) การทดแทนที่ดูเหมือนไร้ความหมายดังกล่าวนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์!) ทุกอย่างชัดเจนและเข้าใจได้!
ดังนั้นให้
จากนั้น 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = เสื้อ 2
ในสมการของเรา เราแทนที่กำลังทั้งหมดด้วย x's ด้วย t:
รุ่งอรุณกับคุณหรือเปล่า?) คุณลืมสมการกำลังสองแล้วหรือยัง? การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
สิ่งสำคัญตรงนี้คืออย่าหยุด อย่างที่เกิดขึ้น... นี่ไม่ใช่คำตอบ เราต้องการ x ไม่ใช่ t กลับไปที่ X's กันเช่น เราทำการทดแทนแบบย้อนกลับ อันดับแรกสำหรับเสื้อ 1:
ดังนั้น,
พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
อืม... 2 x ทางซ้าย 1 ทางขวา... ปัญหาเหรอ? ไม่เลย! ก็เพียงพอแล้วที่จะจดจำ (จากการปฏิบัติการที่มีพลัง ใช่...) ว่าเป็นหน่วยหนึ่ง ใดๆตัวเลขยกกำลังศูนย์ ใดๆ. สิ่งที่จำเป็นเราจะติดตั้งให้ เราต้องการสอง วิธี:
แค่นั้นแหละ. เรามี 2 ราก:
นี่คือคำตอบ
ที่ การแก้สมการเลขชี้กำลังท้ายที่สุดแล้วบางครั้งคุณก็จบลงด้วยการแสดงออกที่น่าอึดอัดใจ พิมพ์:
เซเว่นไม่สามารถแปลงเป็นสองได้ด้วยพาวเวอร์ธรรมดา พวกเขาไม่ใช่ญาติกัน...เราจะอยู่ได้อย่างไร? บางคนอาจสับสน... แต่คนที่อ่านหัวข้อ “ลอการิทึมคืออะไร” ในเว็บไซต์นี้ เพียงแค่ยิ้มเท่าที่จำเป็นแล้วเขียนคำตอบที่ถูกต้องด้วยมือที่มั่นคง:
ไม่มีคำตอบดังกล่าวในงาน "B" ในการสอบ Unified State จำเป็นต้องมีหมายเลขเฉพาะ แต่ในงาน "C" มันง่าย
บทเรียนนี้ให้ตัวอย่างการแก้สมการเลขชี้กำลังที่พบบ่อยที่สุด เรามาเน้นประเด็นหลักกัน
เคล็ดลับการปฏิบัติ:
1. ก่อนอื่นเรามาดูกันที่ บริเวณองศา เรากำลังสงสัยว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างมันขึ้นมา เหมือนกันมาลองทำสิ่งนี้โดยใช้อย่างแข็งขัน การกระทำที่มีองศาอย่าลืมว่าตัวเลขที่ไม่มี x สามารถแปลงเป็นเลขยกกำลังได้เช่นกัน
2. เราพยายามนำสมการเลขชี้กำลังมาอยู่ในรูปแบบเมื่อมีด้านซ้ายและด้านขวา เหมือนกันตัวเลขที่อยู่ในกำลังใดๆ เราใช้ การกระทำที่มีองศาและ การแยกตัวประกอบอะไรที่นับเป็นตัวเลขได้ เราก็นับ
3. หากเคล็ดลับที่สองไม่ได้ผล ให้ลองใช้การแทนที่ตัวแปร ผลลัพธ์อาจเป็นสมการที่สามารถแก้ได้ง่าย ส่วนใหญ่มักจะ - สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือเศษส่วนซึ่งยังลดเป็นกำลังสองอีกด้วย
4. ในการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลได้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้กำลังของตัวเลขบางจำนวนจากการมองเห็น
ตามปกติในตอนท้ายของบทเรียนคุณจะได้รับเชิญให้ตัดสินใจเล็กน้อย) ด้วยตัวคุณเอง จากง่ายไปซับซ้อน
แก้สมการเลขชี้กำลัง:
ยากขึ้น:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0
ค้นหาผลคูณของราก:
2 3's + 2 x = 9
มันได้ผลเหรอ?
ถ้าอย่างนั้นก็เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนมาก (แม้ว่าจะสามารถแก้ไขได้ในใจ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
มีอะไรน่าสนใจมากกว่านี้? นี่เป็นตัวอย่างที่ไม่ดีสำหรับคุณ ค่อนข้างน่าดึงดูดสำหรับความยากลำบากที่เพิ่มขึ้น ฉันขอบอกเป็นนัยว่าในตัวอย่างนี้ สิ่งที่ช่วยให้คุณประหยัดได้คือความเฉลียวฉลาดและเป็นกฎสากลที่สุดในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
ตัวอย่างที่ง่ายกว่าสำหรับการพักผ่อน):
9 2 x - 4 3 x = 0
และสำหรับของหวาน ค้นหาผลรวมของรากของสมการ:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
ใช่ ใช่! นี่คือสมการแบบผสม! ซึ่งเราไม่ได้พิจารณาในบทเรียนนี้ ทำไมต้องพิจารณาพวกเขาต้องได้รับการแก้ไข!) บทเรียนนี้เพียงพอที่จะแก้สมการได้ คุณต้องมีความฉลาด... และขอให้ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ช่วยคุณได้ (นี่คือคำใบ้!)
คำตอบ (อยู่ในความระส่ำระสาย คั่นด้วยเครื่องหมายอัฒภาค):
1; 2; 3; 4; ไม่มีวิธีแก้ปัญหา 2; -2; -5; 4; 0.
ทุกอย่างประสบความสำเร็จใช่ไหม? ยอดเยี่ยม.
มีปัญหาอะไรไหม? ไม่มีคำถาม! ตอนพิเศษ 555 แก้สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดนี้พร้อมคำอธิบายโดยละเอียด อะไร ทำไม และทำไม และแน่นอนว่า ยังมีข้อมูลที่เป็นประโยชน์เพิ่มเติมเกี่ยวกับการทำงานกับสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทุกประเภท ไม่ใช่แค่พวกนี้)
คำถามสนุกข้อสุดท้ายที่ต้องพิจารณา ในบทเรียนนี้ เราทำงานกับสมการเลขชี้กำลัง ทำไมฉันไม่พูดอะไรเกี่ยวกับ ODZ ที่นี่?ในสมการ นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก ว่าแต่...
หากคุณชอบเว็บไซต์นี้...
ฉันมีเว็บไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามแห่งสำหรับคุณ)
คุณสามารถฝึกแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการยืนยันทันที มาเรียนรู้กันเถอะ - ด้วยความสนใจ!)
คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์ได้
ไปที่ช่อง YouTube ของเว็บไซต์ของเราเพื่อติดตามบทเรียนวิดีโอใหม่ทั้งหมด
ขั้นแรก เรามาจำสูตรพื้นฐานของกำลังและคุณสมบัติของมันกันก่อน
ผลคูณของตัวเลข กเกิดขึ้นกับตัวเอง n ครั้ง เราสามารถเขียนนิพจน์นี้ได้เป็น a … a=a n
1. ก 0 = 1 (ก ≠ 0)
3. n a m = n + m
4. (ก) ม. = นาโนเมตร
5. ก n ข n = (ab) n
7. n / a m = n - m
สมการกำลังหรือเลขชี้กำลัง– นี่คือสมการที่ตัวแปรอยู่ในกำลัง (หรือเลขชี้กำลัง) และฐานคือตัวเลข
ตัวอย่างของสมการเลขชี้กำลัง:
ในตัวอย่างนี้ เลข 6 คือฐาน โดยจะอยู่ด้านล่างเสมอและเป็นตัวแปร xระดับหรือตัวบ่งชี้
ให้เรายกตัวอย่างเพิ่มเติมของสมการเลขชี้กำลัง
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
ตอนนี้เรามาดูกันว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลแก้ได้อย่างไร?
ลองใช้สมการง่ายๆ:
2 x = 2 3
ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้แม้กระทั่งในหัวของคุณ จะเห็นได้ว่า x=3 ท้ายที่สุด เพื่อให้ด้านซ้ายและขวาเท่ากัน คุณต้องใส่เลข 3 แทน x
มาดูวิธีตัดสินใจอย่างเป็นทางการกัน:
2 x = 2 3
x = 3
เพื่อที่จะแก้สมการดังกล่าว เราได้ลบออก บริเวณที่เหมือนกัน(นั่นคือสอง) แล้วจดสิ่งที่เหลืออยู่นี่คือองศา เราได้รับคำตอบที่เรากำลังมองหา
ตอนนี้ขอสรุปการตัดสินใจของเรา
อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง:
1. จำเป็นต้องตรวจสอบ เหมือนกันว่าสมการนั้นมีฐานทางขวาและซ้ายหรือไม่ หากเหตุผลไม่เหมือนกัน เรากำลังหาทางเลือกในการแก้ไขตัวอย่างนี้
2. หลังจากฐานกลายเป็นเหมือนเดิมแล้ว เท่าเทียมกันองศาแล้วแก้สมการใหม่ที่ได้
ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างบางส่วน:
เริ่มจากสิ่งง่ายๆ
ฐานด้านซ้ายและขวามีค่าเท่ากับเลข 2 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถทิ้งฐานและยกกำลังของฐานให้เท่ากันได้
x+2=4 จะได้สมการที่ง่ายที่สุด
x=4 – 2
x=2
คำตอบ: x=2
ในตัวอย่างต่อไปนี้ คุณจะเห็นว่าฐานต่างกัน: 3 และ 9
3 3x - 9 x+8 = 0
ขั้นแรก ย้ายเลขเก้าไปทางด้านขวา เราจะได้:
ตอนนี้คุณต้องสร้างฐานเดียวกัน เรารู้ว่า 9=3 2. ลองใช้สูตรกำลัง (a n) m = a nm
3 3x = (3 2) x+8
เราได้ 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 ตอนนี้เห็นได้ชัดว่าฐานทางด้านซ้ายและด้านขวาเท่ากันและเท่ากับ 3 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถละทิ้งพวกมันและเทียบองศาได้
3x=2x+16 เราได้สมการที่ง่ายที่สุด
3x - 2x=16
x=16
คำตอบ: x=16
ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
ก่อนอื่น เราดูที่ฐาน ฐานสองและสี่ และเราต้องการให้พวกเขาเหมือนกัน เราแปลงค่าทั้งสี่โดยใช้สูตร (a n) m = a nm
4 x = (2 2) x = 2 2x
และเรายังใช้สูตรหนึ่ง a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
เพิ่มลงในสมการ:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
เรายกตัวอย่างด้วยเหตุผลเดียวกัน แต่หมายเลข 10 และ 24 อื่นรบกวนเราจะทำอย่างไร? หากคุณมองใกล้ๆ คุณจะเห็นว่าทางด้านซ้ายเรามี 2 2x ซ้ำกัน นี่คือคำตอบ - เราสามารถใส่ 2 2x ออกจากวงเล็บได้:
2 2x (2 4 - 10) = 24
ลองคำนวณนิพจน์ในวงเล็บ:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
เราหารสมการทั้งหมดด้วย 6:
ลองนึกภาพ 4=2 2:
2 2x = 2 2 ฐานเท่ากัน เราทิ้งมันแล้วหาค่าองศามาเทียบกัน
2x = 2 เป็นสมการที่ง่ายที่สุด หารมันด้วย 2 แล้วเราได้
x = 1
คำตอบ: x = 1
มาแก้สมการกัน:
9 x – 12*3 x +27= 0
มาแปลงร่างกัน:
9 x = (3 2) x = 3 2x
เราได้รับสมการ:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
ฐานของเราเท่ากัน เท่ากับ 3 ในตัวอย่างนี้ คุณจะเห็นว่าสามฐานแรกมีดีกรีสองเท่า (2x) มากกว่าฐานที่สอง (แค่ x) ในกรณีนี้คุณสามารถแก้ไขได้ วิธีการทดแทน- เราแทนที่ตัวเลขด้วยระดับที่น้อยที่สุด:
จากนั้น 3 2x = (3 x) 2 = เสื้อ 2
เราแทนที่กำลัง x ทั้งหมดในสมการด้วย t:
เสื้อ 2 - 12t+27 = 0
เราได้สมการกำลังสอง การแก้ปัญหาด้วยการเลือกปฏิบัติเราได้รับ:
ส=144-108=36
เสื้อ 1 = 9
เสื้อ2 = 3
กลับไปสู่ตัวแปร x.
ใช้เวลา 1:
เสื้อ 1 = 9 = 3 x
ดังนั้น,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
พบหนึ่งราก เรากำลังมองหาอันที่สองจาก t 2:
เสื้อ 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
คำตอบ: x 1 = 2; x 2 = 1
บนเว็บไซต์คุณสามารถถามคำถามที่น่าสนใจได้ในส่วน HELP DECIDE เราจะตอบคุณอย่างแน่นอน
เข้าร่วมกลุ่ม
อุปกรณ์:
- คอมพิวเตอร์,
- เครื่องฉายมัลติมีเดีย,
- หน้าจอ,
- ภาคผนวก 1(การนำเสนอสไลด์ PowerPoint) “วิธีการแก้สมการเลขชี้กำลัง”
- ภาคผนวก 2(การแก้สมการเช่น “สามฐานพลังที่แตกต่างกัน” ใน Word)
- ภาคผนวก 3(เอกสารประกอบคำบรรยายใน Word สำหรับงานภาคปฏิบัติ)
- ภาคผนวก 4(เอกสารแจกใน Word สำหรับการบ้าน)
ความคืบหน้าของบทเรียน
1. เวทีองค์กร
- ข้อความของหัวข้อบทเรียน (เขียนบนกระดาน)
- ความจำเป็นสำหรับบทเรียนทั่วไปในระดับ 10-11:
ขั้นตอนการเตรียมนักเรียนให้พร้อมสำหรับการเรียนรู้เชิงรุก
การทำซ้ำ
คำนิยาม.
สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลคือสมการที่มีตัวแปรพร้อมเลขชี้กำลัง (คำตอบของนักเรียน)
บันทึกของครู. สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอยู่ในกลุ่มของสมการอดิศัย ชื่อที่ไม่สามารถออกเสียงได้นี้บ่งบอกว่าสมการดังกล่าวโดยทั่วไปไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปแบบของสูตร
สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีตัวเลขบนคอมพิวเตอร์เท่านั้น แต่งานสอบล่ะ? เคล็ดลับก็คือผู้ตรวจสอบจะวางกรอบปัญหาในลักษณะที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณสามารถ (และควร!) ทำการแปลงที่เหมือนกันซึ่งจะลดสมการเลขชี้กำลังนี้ให้เป็นสมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด สมการที่ง่ายที่สุดนี้เรียกว่า: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด มันกำลังได้รับการแก้ไข โดยลอการิทึม
สถานการณ์ที่มีการแก้สมการเลขชี้กำลังนั้นชวนให้นึกถึงการเดินทางผ่านเขาวงกตซึ่งผู้เขียนคิดค้นขึ้นเป็นพิเศษ จากข้อโต้แย้งทั่วไปเหล่านี้ให้ปฏิบัติตามคำแนะนำที่เฉพาะเจาะจงมาก
ในการแก้สมการเลขชี้กำลังได้สำเร็จ คุณต้อง:
1. ไม่เพียง แต่รู้อัตลักษณ์เอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมดอย่างแข็งขัน แต่ยังค้นหาชุดของค่าตัวแปรที่กำหนดอัตลักษณ์เหล่านี้ด้วย เพื่อว่าเมื่อใช้อัตลักษณ์เหล่านี้ คุณจะไม่ได้รับรูตที่ไม่จำเป็น และยิ่งกว่านั้นอย่าสูญเสียวิธีแก้ไข สู่สมการ
2. รู้อัตลักษณ์เอ็กซ์โปเนนเชียลทั้งหมดอย่างแข็งขัน
3. ดำเนินการแปลงสมการทางคณิตศาสตร์อย่างชัดเจนในรายละเอียดและไม่มีข้อผิดพลาด (โอนเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่งโดยไม่ลืมเปลี่ยนเครื่องหมายนำเศษส่วนมาเป็นตัวส่วนร่วม ฯลฯ ) สิ่งนี้เรียกว่าวัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์ ในเวลาเดียวกัน การคำนวณด้วยตนเองควรทำโดยอัตโนมัติด้วยมือ และศีรษะควรคำนึงถึงแนวทางทั่วไปของการแก้ปัญหา การเปลี่ยนแปลงต้องทำอย่างระมัดระวังและละเอียดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพียงเท่านี้ก็จะรับประกันการตัดสินใจที่ถูกต้องและปราศจากข้อผิดพลาด และโปรดจำไว้ว่า: ข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์เล็กๆ น้อยๆ สามารถสร้างสมการเหนือธรรมชาติได้ ซึ่งตามหลักการแล้วไม่สามารถแก้ไขได้ในเชิงวิเคราะห์ ปรากฎว่าคุณหลงทางและชนกำแพงเขาวงกตแล้ว
4. รู้วิธีการแก้ปัญหา (คือ รู้เส้นทางทั้งหมดผ่านเขาวงกตแห่งการแก้ปัญหา) เพื่อนำทางอย่างถูกต้องในแต่ละด่าน คุณจะต้อง (ทั้งมีสติหรือโดยสัญชาตญาณ!):
- กำหนด ประเภทสมการ;
- จำประเภทที่เกี่ยวข้อง วิธีการแก้ปัญหางาน
ขั้นตอนของการวางนัยทั่วไปและการจัดระบบของเนื้อหาที่ศึกษา
ครูร่วมกับนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์ ทำการทบทวนสมการเลขชี้กำลังทุกประเภทและวิธีการแก้โจทย์ และวาดแผนภาพทั่วไป (ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อการศึกษาของ L.Ya. Borevsky "Mathematics Course - 2000" ผู้เขียนงานนำเสนอ PowerPoint คือ T.N. Kuptsova)
ข้าว. 1.รูปนี้แสดงแผนภาพทั่วไปของสมการเลขชี้กำลังทุกประเภท
ดังที่เห็นได้จากแผนภาพนี้ กลยุทธ์ในการแก้สมการเลขชี้กำลังคือการลดสมการเลขชี้กำลังที่กำหนดให้เป็นสมการ ประการแรกคือ โดยมีฐานองศาเท่ากัน และจากนั้น – และ โดยมีตัวชี้วัดระดับเดียวกัน
เมื่อได้รับสมการที่มีฐานและเลขชี้กำลังเท่ากัน คุณจะแทนที่เลขยกกำลังด้วยตัวแปรใหม่ และรับสมการพีชคณิตอย่างง่าย (โดยปกติจะเป็นเศษส่วน-ตรรกยะหรือกำลังสอง) เทียบกับตัวแปรใหม่นี้
เมื่อแก้สมการนี้และทำการทดแทนแบบย้อนกลับแล้ว คุณจะได้ชุดสมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายที่สามารถแก้ไขได้ในรูปแบบทั่วไปโดยใช้ลอการิทึม
สมการที่พบเฉพาะผลคูณของกำลัง (บางส่วน) เท่านั้นที่โดดเด่น การใช้อัตลักษณ์เอ็กซ์โพเนนเชียลทำให้สามารถลดสมการเหล่านี้ลงเหลือเพียงฐานเดียวได้ทันที โดยเฉพาะสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลที่ง่ายที่สุด
มาดูวิธีแก้สมการเลขชี้กำลังด้วยฐานที่ต่างกัน 3 ฐานกัน
(หากครูมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อการศึกษาโดย L.Ya. Borevsky“ หลักสูตรคณิตศาสตร์ - 2000” เราก็ทำงานกับดิสก์โดยธรรมชาติถ้าไม่มีคุณสามารถพิมพ์สมการประเภทนี้จากสมการนี้สำหรับแต่ละโต๊ะได้ นำเสนอด้านล่าง)
ข้าว. 2.แผนการแก้สมการ
ข้าว. 3.เริ่มแก้สมการ
ข้าว. 4.แก้สมการให้เสร็จ
ปฏิบัติงานภาคปฏิบัติ
กำหนดประเภทของสมการแล้วแก้สมการ
1. 2. 3. 0,125 4. 5. 6.
สรุปบทเรียน
การให้คะแนนสำหรับบทเรียน
สิ้นสุดบทเรียน
สำหรับคุณครู
ฝึกแผนการตอบ
ออกกำลังกาย:จากรายการสมการ ให้เลือกสมการประเภทที่ระบุ (ป้อนหมายเลขคำตอบในตาราง):
- ฐานสามระดับที่แตกต่างกัน
- สองฐานที่แตกต่างกัน - เลขชี้กำลังต่างกัน
- ฐานแห่งกำลัง - พลังของตัวเลขตัวเดียว
- ฐานเดียวกัน – เลขชี้กำลังต่างกัน
- ฐานองศาเดียวกัน - ตัวชี้วัดองศาเดียวกัน
- ผลิตผลแห่งอำนาจ
- ฐานระดับที่แตกต่างกันสองฐาน - ตัวบ่งชี้เดียวกัน
- สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
1. 
(ผลผลิตแห่งอำนาจ)
2. 
(ฐานเดียวกัน – เลขชี้กำลังต่างกัน)
บทเรียนนี้มีไว้สำหรับผู้ที่เพิ่งเริ่มเรียนรู้สมการเลขชี้กำลัง และเช่นเคย เรามาเริ่มด้วยคำจำกัดความและตัวอย่างง่ายๆ กันก่อน
หากคุณกำลังอ่านบทเรียนนี้ ฉันสงสัยว่าคุณมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับสมการที่ง่ายที่สุดอยู่แล้ว - เชิงเส้นและกำลังสอง: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ฯลฯ ความสามารถในการแก้ไขสิ่งปลูกสร้างดังกล่าวเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งเพื่อไม่ให้ "ติดขัด" ในหัวข้อที่จะกล่าวถึงในตอนนี้
ดังนั้น สมการเลขชี้กำลัง ฉันขอยกตัวอย่างให้คุณสองสามตัวอย่าง:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
บางส่วนอาจดูซับซ้อนกว่าสำหรับคุณ ในขณะที่บางส่วนอาจดูเรียบง่ายเกินไป แต่พวกมันทั้งหมดมีคุณลักษณะที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เหมือนกัน นั่นคือ สัญกรณ์มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ดังนั้นเรามาแนะนำคำจำกัดความ:
สมการเลขชี้กำลังคือสมการใดๆ ที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เช่น การแสดงออกของแบบฟอร์ม $((a)^(x))$ นอกเหนือจากฟังก์ชันที่ระบุแล้ว สมการดังกล่าวยังสามารถมีโครงสร้างพีชคณิตอื่นๆ ได้ เช่น พหุนาม ราก ตรีโกณมิติ ลอการิทึม ฯลฯ
ตกลงแล้ว เราได้แยกคำจำกัดความออกแล้ว ตอนนี้คำถามคือ: จะแก้ไขเรื่องไร้สาระทั้งหมดนี้ได้อย่างไร? คำตอบนั้นทั้งง่ายและซับซ้อน
เริ่มต้นด้วยข่าวดี: จากประสบการณ์ของฉันในการสอนนักเรียนหลายคน ฉันสามารถพูดได้ว่านักเรียนส่วนใหญ่หาสมการเลขชี้กำลังได้ง่ายกว่าลอการิทึมเดียวกันมาก และยิ่งกว่านั้นคือตรีโกณมิติอีกด้วย
แต่มีข่าวร้าย: บางครั้งผู้รวบรวมปัญหาสำหรับตำราเรียนและการสอบทุกประเภทถูกโจมตีโดย "แรงบันดาลใจ" และสมองที่ติดยาของพวกเขาก็เริ่มสร้างสมการที่โหดร้ายจนการแก้ปัญหากลายเป็นปัญหาไม่เพียง แต่สำหรับนักเรียน - แม้แต่ครูหลายคน ติดอยู่กับปัญหาดังกล่าว
อย่างไรก็ตาม อย่าพูดถึงเรื่องน่าเศร้าเลย และลองกลับมาที่สมการทั้งสามที่ให้ไว้ตอนต้นเรื่องกัน เรามาลองแก้แต่ละข้อกัน
สมการแรก: $((2)^(x))=4$ แล้วต้องยกเลข 2 ขึ้นถึงเลข 4 ขึ้นไปถึงเลข 4 ล่ะ? อาจเป็นครั้งที่สอง? ท้ายที่สุด $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - และเราได้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง นั่นคือ $x=2$ จริงๆ ขอบคุณแคป แต่สมการนี้ง่ายมากจนแม้แต่แมวของฉันก็แก้ได้ :)
ลองดูสมการต่อไปนี้:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
แต่ที่นี่มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย นักเรียนหลายคนรู้ว่า $((5)^(2))=25$ คือตารางสูตรคูณ บางคนยังสงสัยว่า $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ โดยพื้นฐานแล้วเป็นคำจำกัดความของกำลังลบ (คล้ายกับสูตร $((a)^(-n))= \ frac(1)(((ก)^(n)))$).
ท้ายที่สุด มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่ตระหนักว่าข้อเท็จจริงเหล่านี้สามารถนำมารวมกันได้และให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
ดังนั้นสมการดั้งเดิมของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\ลูกศรขวา ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
แต่นี่สามารถแก้ไขได้อย่างสมบูรณ์แล้ว! ทางด้านซ้ายของสมการคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ทางด้านขวาในสมการคือฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ไม่มีอะไรอื่นนอกจากฟังก์ชันเหล่านี้ ดังนั้นเราจึงสามารถ "ละทิ้ง" ฐานและถือเอาตัวบ่งชี้อย่างโง่เขลาได้:
เราได้รับสมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุดที่นักเรียนคนใดคนหนึ่งสามารถแก้ได้ภายในสองสามบรรทัด โอเค ในสี่บรรทัด:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
หากคุณไม่เข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นในสี่บรรทัดสุดท้าย อย่าลืมกลับไปที่หัวข้อ “สมการเชิงเส้น” แล้วทำซ้ำอีกครั้ง เนื่องจากหากไม่มีความเข้าใจที่ชัดเจนในหัวข้อนี้ ยังเร็วเกินไปที่คุณจะใช้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
\[((9)^(x))=-3\]
แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? ความคิดแรก: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$ ดังนั้นสมการดั้งเดิมจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]
จากนั้นเราจำได้ว่าเมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ:
\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\ลูกศรขวา ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
และสำหรับการตัดสินใจดังกล่าว เราจะได้รับสองรางวัลที่สมควรได้รับโดยสุจริต ด้วยความใจเย็นของโปเกมอน เราได้ส่งเครื่องหมายลบหน้าทั้งสามไปยกกำลังของทั้งสามตัวนี้ แต่คุณไม่สามารถทำอย่างนั้นได้ และนี่คือเหตุผล ดูพลังที่แตกต่างกันของทั้งสาม:
\[\begin(เมทริกซ์) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(เมทริกซ์)\]
เมื่อรวบรวมแท็บเล็ตนี้ ฉันไม่ได้บิดเบือนสิ่งใดเลย: ฉันดูพลังบวกและพลังลบ หรือแม้แต่เศษส่วน... แล้วตัวเลขลบอย่างน้อยหนึ่งตัวอยู่ที่ไหน? เขาไปแล้ว! และเป็นไปไม่ได้ เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลัง $y=((a)^(x))$ ประการแรกจะใช้เฉพาะค่าบวกเสมอ (ไม่ว่าจะคูณหรือหารด้วยสองเท่าใดก็จะยังคงเป็น a จำนวนบวก) และประการที่สอง ฐานของฟังก์ชันดังกล่าว - ตัวเลข $a$ - ตามคำจำกัดความแล้ว เป็นจำนวนบวก!
แล้วจะแก้สมการ $((9)^(x))=-3$ ได้อย่างไร? แต่ไม่มีทาง: ไม่มีราก และในแง่นี้ สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลคล้ายกับสมการกำลังสองมาก - อาจไม่มีรากด้วย แต่ถ้าในสมการกำลังสองจำนวนรากถูกกำหนดโดยการแบ่งแยก (การแบ่งแยกเชิงบวก - 2 ราก, ลบ - ไม่มีราก) ดังนั้นในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลทุกอย่างขึ้นอยู่กับสิ่งที่อยู่ทางขวาของเครื่องหมายเท่ากับ
ดังนั้น ขอให้เรากำหนดข้อสรุปที่สำคัญ: สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุดของรูปแบบ $((a)^(x))=b$ มีรากก็ต่อเมื่อ $b>0$ เท่านั้น เมื่อทราบข้อเท็จจริงง่ายๆ นี้ คุณจะตัดสินใจได้อย่างง่ายดายว่าสมการที่เสนอให้คุณนั้นมีรากฐานมาจากหรือไม่ เหล่านั้น. มันคุ้มค่าที่จะแก้ไขเลยหรือเขียนทันทีว่าไม่มีราก
ความรู้นี้จะช่วยเราได้หลายครั้งเมื่อเราต้องแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น สำหรับตอนนี้เนื้อเพลงก็เพียงพอแล้ว - ถึงเวลาศึกษาอัลกอริธึมพื้นฐานสำหรับการแก้สมการเลขชี้กำลัง
วิธีการแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล
เรามากำหนดปัญหากัน จำเป็นต้องแก้สมการเลขชี้กำลัง:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
ตามอัลกอริทึม "ไร้เดียงสา" ที่เราใช้ก่อนหน้านี้ จำเป็นต้องแสดงตัวเลข $b$ เป็นกำลังของตัวเลข $a$:
นอกจากนี้ ถ้ามีนิพจน์ใดๆ แทนที่จะเป็นตัวแปร $x$ เราจะได้สมการใหม่ที่สามารถแก้ไขได้แล้ว ตัวอย่างเช่น:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(3))\ลูกศรขวา x=3; \\& ((3)^(-x))=81\ลูกศรขวา ((3)^(-x))=((3)^(4))\ลูกศรขวา -x=4\ลูกศรขวา x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\ลูกศรขวา ((5)^(2x))=((5)^(3))\ลูกศรขวา 2x=3\ลูกศรขวา x=\frac(3)( 2). \\\end(จัดแนว)\]
และน่าแปลกที่โครงการนี้ใช้ได้ในกรณีประมาณ 90% แล้วอีก 10% ที่เหลือล่ะ? ส่วนที่เหลืออีก 10% เป็นสมการเลขชี้กำลังแบบ "จิตเภท" เล็กน้อยในรูปแบบ:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
คุณต้องยกกำลัง 2 ถึง 3 ถึงระดับใด? อันดับแรก? แต่ไม่: $((2)^(1))=2$ ยังไม่เพียงพอ ที่สอง? ไม่เช่นกัน: $((2)^(2))=4$ มากเกินไป อันไหนแล้ว?
นักเรียนที่มีความรู้คงเดาได้แล้ว: ในกรณีเช่นนี้เมื่อไม่สามารถแก้ "อย่างสวยงาม" ได้ "ปืนใหญ่" - ลอการิทึม - ก็เข้ามามีบทบาท ฉันขอเตือนคุณว่าการใช้ลอการิทึม จำนวนบวกใดๆ สามารถแสดงเป็นกำลังของจำนวนบวกอื่นๆ ได้ (ยกเว้นหนึ่ง):
จำสูตรนี้ได้ไหม? เมื่อฉันบอกนักเรียนเกี่ยวกับลอการิทึม ฉันเตือนเสมอ: สูตรนี้ (ซึ่งเป็นอัตลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานด้วย หรือถ้าคุณต้องการ คำจำกัดความของลอการิทึม) จะหลอกหลอนคุณเป็นเวลานานและ "ป๊อปอัป" มากที่สุด สถานที่ที่ไม่คาดคิด เธอโผล่ขึ้นมาแล้ว ลองดูสมการของเราและสูตรนี้:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
หากเราถือว่า $a=3$ เป็นตัวเลขเดิมทางขวามือ และ $b=2$ เป็นฐานของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลที่เราต้องการลดทางด้านขวามือ เราจะได้ดังต่อไปนี้:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\ลูกศรขวา 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\ลูกศรขวา ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\ลูกศรขวา x=( (\log )_(2))3. \\\end(จัดแนว)\]
เราได้รับคำตอบที่แปลกเล็กน้อย: $x=((\log )_(2))3$ ในงานอื่น หลายคนอาจมีข้อสงสัยในคำตอบดังกล่าวและจะเริ่มตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของตนเองอีกครั้ง: จะเกิดอะไรขึ้นหากเกิดข้อผิดพลาดขึ้นในที่ใดที่หนึ่ง ฉันรีบทำให้คุณพอใจ: ไม่มีข้อผิดพลาดที่นี่ และลอการิทึมในรากของสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลถือเป็นสถานการณ์ปกติโดยสิ้นเชิง ดังนั้นจงทำความคุ้นเคย :)
ทีนี้มาแก้สมการที่เหลืออีกสองสมการโดยการเปรียบเทียบกัน:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\ลูกศรขวา ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \ลูกศรขวา x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\ลูกศรขวา ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\ลูกศรขวา 2x=( (\log )_(4))11\ลูกศรขวา x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(จัดแนว)\]
แค่นั้นแหละ! อย่างไรก็ตาม คำตอบสุดท้ายสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้:
เราแนะนำตัวคูณให้กับอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ไม่มีใครหยุดเราไม่ให้เพิ่มปัจจัยนี้เข้ากับฐาน:
ยิ่งกว่านั้นทั้งสามตัวเลือกนั้นถูกต้อง - เป็นเพียงรูปแบบการเขียนตัวเลขเดียวกันที่แตกต่างกัน ตัวเลือกใดที่จะเลือกและจดบันทึกไว้ในโซลูชันนี้ขึ้นอยู่กับคุณในการตัดสินใจ
ดังนั้นเราจึงได้เรียนรู้ที่จะแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลในรูปแบบ $((a)^(x))=b$ โดยที่ตัวเลข $a$ และ $b$ เป็นผลบวกอย่างเคร่งครัด อย่างไรก็ตาม ความจริงอันโหดร้ายในโลกของเราก็คืองานง่ายๆ เช่นนี้จะพบได้น้อยมาก บ่อยครั้งคุณจะพบสิ่งนี้:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดแนว)\]
แล้วเราจะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? สามารถแก้ไขได้ทั้งหมดหรือไม่? และถ้าเป็นเช่นนั้นทำอย่างไร?
อย่าตื่นตกใจ. สมการทั้งหมดนี้ลดลงอย่างรวดเร็วและง่ายดายเป็นสูตรง่ายๆ ที่เราพิจารณาไปแล้ว คุณเพียงแค่ต้องจำเคล็ดลับสองสามข้อจากหลักสูตรพีชคณิต และแน่นอนว่าไม่มีกฎเกณฑ์ในการทำงานกับปริญญา ฉันจะบอกคุณเกี่ยวกับเรื่องนี้ทั้งหมดตอนนี้ :)
การแปลงสมการเลขชี้กำลัง
สิ่งแรกที่ต้องจำ: สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลใด ๆ ไม่ว่าจะซับซ้อนแค่ไหนก็ตามจะต้องลดทอนลงให้เป็นสมการที่ง่ายที่สุดไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง - สมการที่เราได้พิจารณาไปแล้วและเรารู้วิธีแก้ กล่าวอีกนัยหนึ่งรูปแบบการแก้สมการเลขชี้กำลังมีลักษณะดังนี้:
- เขียนสมการเดิมลงไป ตัวอย่างเช่น: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- ทำเรื่องแปลกๆ บ้าง หรือแม้แต่เรื่องไร้สาระที่เรียกว่า "แปลงสมการ";
- ที่เอาต์พุต รับนิพจน์ที่ง่ายที่สุดของแบบฟอร์ม $((4)^(x))=4$ หรืออย่างอื่นที่คล้ายกัน ยิ่งไปกว่านั้น สมการเริ่มต้นหนึ่งสมการสามารถให้นิพจน์ดังกล่าวได้หลายนิพจน์ในคราวเดียว
ทุกอย่างชัดเจนตั้งแต่ประเด็นแรก - แม้แต่แมวของฉันก็เขียนสมการลงบนกระดาษได้ ประเด็นที่สามดูเหมือนจะชัดเจนไม่มากก็น้อย - เราได้แก้สมการข้างต้นทั้งหมดแล้ว
แต่ประเด็นที่สองล่ะ? การเปลี่ยนแปลงแบบไหน? แปลงอะไรเป็นอะไร? แล้วยังไงล่ะ?
เรามาดูกันดีกว่า ก่อนอื่นฉันอยากจะสังเกตสิ่งต่อไปนี้ สมการเลขชี้กำลังทั้งหมดแบ่งออกเป็นสองประเภท:
- สมการประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเดียวกัน ตัวอย่าง: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- สูตรประกอบด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานต่างกัน ตัวอย่าง: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ และ $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.
เริ่มจากสมการประเภทแรกกันก่อน - เป็นวิธีแก้ง่ายที่สุด และในการแก้ปัญหานั้น เทคนิคเช่นการเน้นสำนวนที่มั่นคงจะช่วยเราในการแก้ปัญหา
แยกการแสดงออกที่มั่นคง
ลองดูสมการนี้อีกครั้ง:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
เราเห็นอะไร? ทั้งสี่ถูกยกขึ้นในระดับที่ต่างกัน แต่กำลังทั้งหมดนี้เป็นเพียงผลบวกของตัวแปร $x$ กับตัวเลขอื่นๆ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องจำกฎการทำงานกับปริญญา:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(ป))). \\\end(จัดแนว)\]
พูดง่ายๆ ก็คือ การบวกสามารถแปลงเป็นผลคูณของกำลัง และการลบสามารถแปลงเป็นการหารได้อย่างง่ายดาย ลองใช้สูตรเหล่านี้กับองศาจากสมการของเรา:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4 \ \\end(จัดแนว)\]
ลองเขียนสมการเดิมใหม่โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงนี้ แล้วรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้าย:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0 \\\end(จัดแนว)\]
สี่เทอมแรกมีองค์ประกอบ $((4)^(x))$ - ลองเอามันออกจากวงเล็บ:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(จัดแนว)\]
ยังคงต้องหารทั้งสองข้างของสมการด้วยเศษส่วน $-\frac(11)(4)$ เช่น คูณด้วยเศษส่วนกลับหัว - $-\frac(4)(11)$ เราได้รับ:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(จัดแนว)\]
แค่นั้นแหละ! เราได้ลดสมการดั้งเดิมให้เหลือรูปแบบที่ง่ายที่สุดและได้คำตอบสุดท้าย
ในเวลาเดียวกัน ในกระบวนการแก้ไขเราค้นพบ (และนำมันออกจากวงเล็บด้วย) ปัจจัยร่วม $((4)^(x))$ - นี่คือนิพจน์ที่เสถียร มันสามารถถูกกำหนดให้เป็นตัวแปรใหม่หรือคุณสามารถแสดงมันอย่างระมัดระวังและรับคำตอบก็ได้ ไม่ว่าในกรณีใด หลักการสำคัญในการแก้ปัญหามีดังนี้:
ค้นหานิพจน์คงที่ในสมการดั้งเดิมซึ่งมีตัวแปรที่แยกแยะได้ง่ายจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมด
ข่าวดีก็คือว่าสมการเอ็กซ์โปเนนเชียลเกือบทุกสมการช่วยให้คุณสามารถแยกนิพจน์ที่เสถียรได้
แต่ข่าวร้ายก็คือสำนวนเหล่านี้ค่อนข้างยุ่งยากและระบุได้ยาก ลองดูปัญหาอีกข้อหนึ่ง:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
บางทีตอนนี้อาจมีคนถามว่า“ มหาอำมาตย์คุณเมาหรือเปล่า? มีฐานที่แตกต่างกันที่นี่ - 5 และ 0.2” แต่ลองแปลงกำลังเป็นฐาน 0.2 กัน ตัวอย่างเช่น ลองกำจัดเศษส่วนทศนิยมโดยลดให้เหลือเศษส่วนปกติ:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
อย่างที่คุณเห็น เลข 5 ยังคงปรากฏ แม้ว่าจะเป็นตัวส่วนก็ตาม ในขณะเดียวกัน ตัวบ่งชี้ก็ถูกเขียนใหม่เป็นค่าลบ ตอนนี้เรามาจำกฎที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่งในการทำงานกับปริญญา:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
แน่นอนว่าฉันกำลังโกหกอยู่นิดหน่อย เพราะเพื่อความเข้าใจที่สมบูรณ์ สูตรในการกำจัดตัวบ่งชี้เชิงลบจึงต้องเขียนดังนี้:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\ลูกศรขวา ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ ขวา))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
ในทางกลับกัน ไม่มีอะไรขัดขวางไม่ให้เราทำงานกับเศษส่วนเพียงอย่างเดียว:
\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ ขวา))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
แต่ในกรณีนี้ คุณจะต้องสามารถยกกำลังหนึ่งไปสู่อีกกำลังหนึ่งได้ (ฉันขอเตือนคุณ: ในกรณีนี้ ตัวบ่งชี้จะถูกรวมเข้าด้วยกัน) แต่ฉันไม่จำเป็นต้อง "ย้อนกลับ" เศษส่วน - บางทีมันอาจจะง่ายกว่าสำหรับบางคน :)
ไม่ว่าในกรณีใด สมการเลขชี้กำลังดั้งเดิมจะถูกเขียนใหม่เป็น:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(จัดแนว)\]
ปรากฎว่าสมการดั้งเดิมสามารถแก้ไขได้ง่ายกว่าสมการที่พิจารณาก่อนหน้านี้: ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องเลือกนิพจน์ที่เสถียรด้วยซ้ำ - ทุกอย่างลดลงเอง เหลือเพียงจำไว้ว่า $1=((5)^(0))$ ซึ่งเราได้รับ:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(จัดแนว)\]
นั่นคือทางออก! เราได้คำตอบสุดท้าย: $x=-2$ ในเวลาเดียวกัน ฉันอยากจะสังเกตเทคนิคหนึ่งที่ทำให้การคำนวณทั้งหมดของเราง่ายขึ้นอย่างมาก:
ในสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล อย่าลืมกำจัดเศษส่วนทศนิยมออกแล้วแปลงให้เป็นเศษส่วนธรรมดา วิธีนี้จะช่วยให้คุณเห็นฐานขององศาที่เท่ากันและทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นมาก
ตอนนี้เรามาดูสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งมีฐานที่แตกต่างกันซึ่งไม่สามารถลดให้กันและกันโดยใช้กำลังได้เลย
การใช้คุณสมบัติองศา
ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีสมการที่รุนแรงเป็นพิเศษอีกสองสมการ:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(จัดแนว)\]
ปัญหาหลักที่นี่คือยังไม่ชัดเจนว่าจะให้อะไรและให้บนพื้นฐานอะไร สำนวนที่มั่นคงอยู่ที่ไหน? สนามเดียวกันอยู่ที่ไหนครับ? ไม่มีสิ่งนี้
แต่ลองไปทางอื่นกัน หากไม่มีฐานที่เหมือนกันสำเร็จรูป คุณสามารถลองหาฐานเหล่านั้นได้โดยแยกตัวประกอบฐานที่มีอยู่
เริ่มจากสมการแรกกันก่อน:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\ลูกศรขวา ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)) \\\end(จัดแนว)\]
แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - สร้างเลข 21 จากเลข 7 และ 3 ซึ่งทำได้ง่ายเป็นพิเศษทางด้านซ้ายเนื่องจากตัวชี้วัดของทั้งสององศาเหมือนกัน:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(จัดแนว)\]
แค่นั้นแหละ! คุณเอาเลขชี้กำลังไปนอกผลคูณแล้วได้สมการที่สวยงามซึ่งสามารถแก้ไขได้ในสองสามบรรทัดทันที
ทีนี้ลองดูสมการที่สองกัน ทุกอย่างซับซ้อนกว่านี้มากที่นี่:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
ในกรณีนี้ เศษส่วนกลายเป็นสิ่งที่ลดไม่ได้ แต่หากมีสิ่งใดลดได้ ก็อย่าลืมลดเศษส่วนนั้นด้วย บ่อยครั้งที่เหตุผลที่น่าสนใจปรากฏขึ้นซึ่งคุณสามารถทำงานได้แล้ว
น่าเสียดายที่ไม่มีอะไรพิเศษปรากฏสำหรับเรา แต่เราเห็นว่าเลขชี้กำลังทางด้านซ้ายของผลคูณอยู่ตรงกันข้าม:
ฉันขอเตือนคุณ: ในการกำจัดเครื่องหมายลบในตัวบ่งชี้ คุณเพียงแค่ต้อง "พลิก" เศษส่วน ลองเขียนสมการเดิมใหม่:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100) \\\end(จัดแนว)\]
ในบรรทัดที่สอง เราเพียงแค่เอาเลขชี้กำลังทั้งหมดออกจากผลคูณจากวงเล็บตามกฎ $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$ และอันสุดท้ายก็แค่คูณตัวเลข 100 ด้วยเศษส่วน
โปรดทราบว่าตัวเลขทางด้านซ้าย (ที่ฐาน) และทางด้านขวาจะค่อนข้างคล้ายกัน ยังไง? ใช่ ชัดเจนเลย พวกมันเป็นเลขยกกำลังเดียวกัน! เรามี:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \ขวา))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \ขวา))^(2)) \\\end(จัดแนว)\]
ดังนั้นสมการของเราจะถูกเขียนใหม่ดังนี้:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\ขวา))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]
ในกรณีนี้ ทางด้านขวาคุณสามารถรับปริญญาที่มีฐานเดียวกันได้ ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะ "พลิก" เศษส่วน:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
ในที่สุดสมการของเราจะอยู่ในรูปแบบ:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3) \\\end(จัดแนว)\]
นั่นคือวิธีแก้ปัญหา แนวคิดหลักของเขาอยู่ที่ความจริงที่ว่าถึงแม้ฐานจะต่างกัน แต่เราพยายามจะลดฐานเหล่านี้ให้เหลือสิ่งเดียวกันโดยใช้ตะขอหรือข้อพับ การแปลงสมการและกฎเบื้องต้นสำหรับการทำงานกับกำลังช่วยเราในเรื่องนี้
แต่จะใช้กฎอะไรและเมื่อใด? คุณเข้าใจได้อย่างไรว่าในสมการหนึ่งคุณต้องหารทั้งสองข้างด้วยบางสิ่ง และอีกสมการหนึ่งคุณต้องแยกตัวประกอบฐานของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
คำตอบสำหรับคำถามนี้จะมาพร้อมกับประสบการณ์ ลองใช้สมการง่ายๆ ก่อน แล้วค่อยๆ ทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้น - และในไม่ช้า ทักษะของคุณก็จะเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลังจากการสอบ Unified State เดียวกันหรืองานอิสระ/การทดสอบใดๆ
และเพื่อช่วยคุณในงานที่ยากลำบากนี้ ฉันขอแนะนำให้ดาวน์โหลดชุดสมการจากเว็บไซต์ของฉันเพื่อแก้ด้วยตัวเอง สมการทั้งหมดมีคำตอบ คุณจึงสามารถทดสอบตัวเองได้ตลอดเวลา
ระดับรายการ
สมการเลขชี้กำลัง สุดยอดคู่มือ (2019)
สวัสดี! วันนี้เราจะหารือกับคุณถึงวิธีการแก้สมการที่สามารถเป็นได้ทั้งระดับประถมศึกษา (และฉันหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้แล้วเกือบทั้งหมดจะเป็นเช่นนั้นสำหรับคุณ) และสมการที่มักจะให้ "เติม" ดูเหมือนจะหลับไปในที่สุด แต่ฉันจะพยายามทำทุกอย่างที่เป็นไปได้ เพื่อว่าตอนนี้คุณจะไม่ประสบปัญหาเมื่อต้องเผชิญกับสมการประเภทนี้ ฉันจะไม่ตีพุ่มไม้อีกต่อไป แต่ฉันจะบอกความลับเล็กน้อยให้คุณทราบทันที: วันนี้เราจะศึกษากัน สมการเลขชี้กำลัง
ก่อนที่จะวิเคราะห์วิธีแก้ไขปัญหาเหล่านั้น ฉันจะสรุปคำถามต่างๆ (ค่อนข้างเล็ก) ให้คุณทันทีที่คุณควรทำซ้ำก่อนจะรีบโจมตีหัวข้อนี้ ดังนั้นเพื่อผลลัพธ์ที่ดีที่สุดโปรด ทำซ้ำ:
- คุณสมบัติและ
- คำตอบและสมการ
ซ้ำเหรอ? อัศจรรย์! จากนั้นจะสังเกตได้ไม่ยากว่ารากของสมการคือตัวเลข คุณเข้าใจอย่างชัดเจนว่าฉันทำมันได้อย่างไร? มันเป็นเรื่องจริงเหรอ? ถ้าอย่างนั้นเรามาทำต่อ ทีนี้ตอบคำถามผมว่าอะไรคือกำลังสาม? คุณพูดถูก: . แปดกำลังสองเป็นเท่าใด? ถูกต้อง - อันที่สาม! เพราะ. ทีนี้ เรามาลองแก้ปัญหาต่อไปนี้: ขอผมคูณตัวเลขด้วยตัวเองหนึ่งครั้งแล้วจะได้ผลลัพธ์ คำถามคือ ฉันคูณด้วยตัวเองกี่ครั้ง? แน่นอนคุณสามารถตรวจสอบได้โดยตรง:
\begin(จัดแนว) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( จัดตำแหน่ง)
แล้วสรุปได้ว่าผมคูณด้วยตัวผมเองด้วย คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้อย่างไร? นี่คือวิธีการ: โดยตรงตามคำจำกัดความของระดับ: . แต่คุณต้องยอมรับว่า ถ้าฉันถามว่าต้องคูณด้วยตัวมันเองกี่ครั้งจึงจะได้ บอกว่าคุณจะบอกฉันว่า ฉันจะไม่หลอกตัวเองและคูณด้วยตัวมันเองจนกว่าฉันจะหน้าซีด และเขาจะพูดถูกอย่างแน่นอน เพราะยังไงคุณก็ทำได้. จดบันทึกขั้นตอนทั้งหมดโดยย่อ(และความกะทัดรัดเป็นน้องสาวของพรสวรรค์)
ที่ไหน - สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งเดียวกัน "ครั้ง", เมื่อคุณคูณด้วยตัวมันเอง
ฉันคิดว่าคุณรู้ (และถ้าคุณไม่รู้ ให้ทำซ้ำระดับอย่างเร่งด่วนและเร่งด่วนมาก!) ว่าปัญหาของฉันจะถูกเขียนในรูปแบบ:
คุณจะสรุปอย่างสมเหตุสมผลได้อย่างไรว่า:
ดังนั้นฉันจึงเขียนสิ่งที่ง่ายที่สุดโดยไม่มีใครสังเกตเห็น สมการเลขชี้กำลัง:
และฉันก็พบเขาด้วย ราก- คุณไม่คิดว่าทุกสิ่งเป็นเรื่องเล็กน้อยใช่ไหม? ฉันคิดว่าเหมือนกันทุกประการ นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณ:
แต่จะทำอย่างไร? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถเขียนเป็นกำลังของจำนวน (สมเหตุสมผล) ได้ อย่าเพิ่งสิ้นหวังและสังเกตว่าตัวเลขทั้งสองนี้แสดงออกมาได้อย่างสมบูรณ์แบบด้วยกำลังของจำนวนเดียวกัน อันไหน? ขวา: . จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ:
ที่ไหนตามที่คุณเข้าใจแล้ว . อย่ารอช้าอีกต่อไปแล้วจดบันทึกไว้ คำนิยาม:
ในกรณีของเรา: .
สมการเหล่านี้แก้ไขได้โดยการลดขนาดให้อยู่ในรูปแบบ:
ตามด้วยการแก้สมการ
อันที่จริง ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เราทำอย่างนั้น: เราได้สิ่งต่อไปนี้: และเราแก้สมการที่ง่ายที่สุดแล้ว
ดูเหมือนไม่มีอะไรซับซ้อนใช่ไหม? มาฝึกสิ่งที่ง่ายที่สุดก่อน ตัวอย่าง:
เราจะเห็นอีกครั้งว่าด้านขวาและด้านซ้ายของสมการจำเป็นต้องแสดงเป็นกำลังของตัวเลขตัวเดียว จริงอยู่ด้านซ้ายก็ทำไปแล้ว แต่ด้านขวามีตัวเลข แต่ไม่เป็นไร เพราะสมการของฉันจะเปลี่ยนเป็นสิ่งนี้อย่างน่าอัศจรรย์:
ฉันต้องใช้อะไรที่นี่? กฎอะไร? กฎของ "องศาภายในองศา"ซึ่งอ่านว่า:
จะเกิดอะไรขึ้นถ้า:
ก่อนที่จะตอบคำถามนี้ ให้กรอกตารางต่อไปนี้:
มันง่ายสำหรับเราที่จะสังเกตเห็นว่ายิ่งน้อยค่าก็จะยิ่งน้อยลง แต่ถึงกระนั้นค่าทั้งหมดเหล่านี้ก็ยังมากกว่าศูนย์ และมันจะเป็นเช่นนั้นตลอดไป!!! คุณสมบัติเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับพื้นฐานใด ๆ ที่มีตัวบ่งชี้ใด ๆ !! (สำหรับใด ๆ และ) แล้วเราจะสรุปอะไรเกี่ยวกับสมการนี้ได้บ้าง? นี่คือสิ่งที่: มัน ไม่มีราก- เช่นเดียวกับสมการใดๆ ที่ไม่มีราก ตอนนี้เรามาฝึกฝนและ มาแก้ตัวอย่างง่ายๆ:
มาตรวจสอบกัน:
1. ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องมีสิ่งใดนอกจากความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติขององศา (ซึ่งฉันขอให้คุณทำซ้ำ!) ตามกฎแล้วทุกอย่างจะนำไปสู่ฐานที่เล็กที่สุด: , . จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้ ทั้งหมดที่ฉันต้องการคือใช้คุณสมบัติของกำลัง: เมื่อคูณตัวเลขด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกบวก และเมื่อหารจะถูกลบออกจากนั้นฉันจะได้รับ: ตอนนี้ด้วยมโนธรรมที่ชัดเจน ฉันจะย้ายจากสมการเลขชี้กำลังไปเป็นสมการเชิงเส้น: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. -
\end(จัดตำแหน่ง)
2. ในตัวอย่างที่สอง เราต้องระวังมากขึ้น ปัญหาคือทางด้านซ้ายเราไม่สามารถแสดงจำนวนเดียวกันเป็นกำลังได้ ในกรณีนี้บางครั้งก็มีประโยชน์ แทนตัวเลขเป็นผลคูณของกำลังที่มีฐานต่างกัน แต่มีเลขชี้กำลังเหมือนกัน:
ทางด้านซ้ายของสมการจะมีลักษณะดังนี้ นี่ให้อะไรเราบ้าง นี่คือสิ่งที่: ตัวเลขที่มีฐานต่างกันแต่เลขชี้กำลังเท่ากันสามารถคูณได้ในกรณีนี้ ฐานจะถูกคูณ แต่ตัวบ่งชี้ไม่เปลี่ยนแปลง:
ในสถานการณ์ของฉันสิ่งนี้จะให้:
\begin(จัดแนว)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. -
\end(จัดตำแหน่ง)
ไม่เลวใช่มั้ย?
3. ฉันไม่ชอบเมื่อฉันมีสองเทอมที่ด้านหนึ่งของสมการโดยไม่มีความจำเป็น (แน่นอนว่าบางครั้งนี่เป็นสิ่งที่สมเหตุสมผล แต่ตอนนี้ไม่เป็นเช่นนั้น) ฉันจะย้ายเทอมลบไปทางขวา:
ตอนนี้เหมือนเมื่อก่อน ฉันจะเขียนทุกอย่างในรูปของกำลังสาม:
ฉันบวกองศาทางซ้ายแล้วได้สมการที่เทียบเท่ากัน
คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย:
4. เช่นเดียวกับตัวอย่างที่สาม เทอมลบจะอยู่ทางด้านขวา!
ด้านซ้ายของฉันเกือบทุกอย่างดี ยกเว้นอะไร? ใช่ “ระดับที่ผิด” ของทั้งสองกำลังรบกวนจิตใจฉัน แต่ฉันสามารถแก้ไขสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดายโดยเขียน: . ยูเรก้า - ทางด้านซ้ายฐานทั้งหมดต่างกัน แต่องศาทั้งหมดเหมือนกัน! มาคูณกันด่วน!
ที่นี่อีกครั้งทุกอย่างชัดเจน: (ถ้าคุณไม่เข้าใจว่าฉันได้ความเท่าเทียมครั้งสุดท้ายอย่างน่าอัศจรรย์ได้อย่างไร ให้พักสักครู่ หายใจเข้า และอ่านคุณสมบัติของปริญญาอีกครั้งอย่างละเอียด ใครบอกว่าคุณสามารถข้าม องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใช่ไหม ฉันก็เหมือนกับไม่มีใครเลย) ตอนนี้ฉันจะได้รับ:
\begin(จัดแนว)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4) -
\end(จัดตำแหน่ง)
ต่อไปนี้เป็นปัญหาสำหรับคุณในการฝึกฝน ซึ่งฉันจะให้คำตอบเท่านั้น (แต่ในรูปแบบ "ผสม") แก้ไข ตรวจสอบ แล้วคุณกับฉันจะค้นคว้าต่อไป!
พร้อม? คำตอบแบบนี้:
- หมายเลขใดก็ได้
โอเค โอเค ฉันล้อเล่น! ต่อไปนี้เป็นภาพร่างวิธีแก้ปัญหา (บางส่วนสั้นมาก!)
คุณไม่คิดว่าไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่เศษส่วนทางซ้ายอีกส่วนหนึ่ง "กลับหัว" ใช่ไหม? มันจะเป็นบาปที่จะไม่ใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้:
กฎนี้ใช้บ่อยมากในการแก้สมการเลขชี้กำลัง จำไว้ให้ดี!
จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเป็นดังนี้:
โดยการแก้สมการกำลังสองนี้ คุณจะได้รากดังต่อไปนี้:
2. วิธีแก้ไขปัญหาอื่น: หารทั้งสองข้างของสมการด้วยนิพจน์ทางซ้าย (หรือขวา) หารด้วยสิ่งที่อยู่ทางขวา แล้วผมจะได้:
ที่ไหน (ทำไม?!)
3. ฉันไม่อยากพูดซ้ำทุกอย่าง "เคี้ยว" ไปแล้วมาก
4. เทียบเท่ากับสมการกำลังสอง, ราก
5. คุณต้องใช้สูตรที่ให้ไว้ในโจทย์แรก จากนั้นคุณจะได้:
สมการได้กลายมาเป็นตัวตนเล็กๆ น้อยๆ ที่เป็นจริงสำหรับทุกคน แล้วคำตอบคือจำนวนจริงใดๆ
ตอนนี้คุณได้ฝึกฝนการแก้ปัญหาแล้ว สมการเลขชี้กำลังอย่างง่ายตอนนี้ฉันอยากจะยกตัวอย่างในชีวิตจริงสองสามตัวอย่างที่จะช่วยให้คุณเข้าใจว่าเหตุใดจึงจำเป็นตามหลักการ ที่นี่ฉันจะยกตัวอย่างสองตัวอย่าง หนึ่งในนั้นค่อนข้างทุกวัน แต่อีกอันมีแนวโน้มที่จะเป็นวิทยาศาสตร์มากกว่าสนใจในทางปฏิบัติ
ตัวอย่างที่ 1 (การค้าขาย)ให้คุณมีรูเบิล แต่คุณต้องการเปลี่ยนเป็นรูเบิล ธนาคารเสนอให้คุณรับเงินจำนวนนี้จากคุณในอัตรารายปีพร้อมดอกเบี้ยเป็นทุนรายเดือน (ยอดคงค้างรายเดือน) คำถามคือ คุณต้องเปิดเงินฝากกี่เดือนจึงจะถึงจำนวนเงินสุดท้ายที่ต้องการ? ค่อนข้างเป็นงานธรรมดาใช่ไหม? อย่างไรก็ตาม วิธีการแก้ปัญหานั้นเกี่ยวข้องกับการสร้างสมการเลขชี้กำลังที่สอดคล้องกัน: ให้ - จำนวนเงินเริ่มต้น - จำนวนเงินสุดท้าย - อัตราดอกเบี้ยสำหรับงวด - จำนวนงวด แล้ว:
ในกรณีของเรา (หากเป็นอัตรารายปี ระบบจะคำนวณต่อเดือน) ทำไมจึงแบ่งด้วย? หากคุณไม่ทราบคำตอบสำหรับคำถามนี้ จำหัวข้อ “” ไว้! จากนั้นเราจะได้สมการนี้:
สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยความช่วยเหลือของเครื่องคิดเลขเท่านั้น (ลักษณะที่ปรากฏของมันบ่งบอกถึงสิ่งนี้และต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับลอการิทึมซึ่งเราจะทำความคุ้นเคยในภายหลัง) ซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันจะทำ: ... ดังนั้น ,อยากได้ล้านเราต้องสมทบทุนเป็นเดือน(ไม่เร็วมากใช่ไหม?)
ตัวอย่างที่ 2 (ค่อนข้างเป็นวิทยาศาสตร์)แม้ว่าเขาจะ "โดดเดี่ยว" บ้าง แต่ฉันขอแนะนำให้คุณให้ความสนใจเขา: เขามักจะ "หลุดเข้าสู่การสอบ Unified State!! (ปัญหานำมาจากเวอร์ชัน "ของจริง") ในระหว่างการสลายตัวของไอโซโทปกัมมันตภาพรังสี มวลของมันจะลดลงตามกฎหมาย โดยที่ (มก.) คือมวลเริ่มต้นของไอโซโทป (นาที) คือเวลาที่ผ่านไปจาก โมเมนต์เริ่มต้น (นาที) คือครึ่งชีวิต ในช่วงเวลาเริ่มต้น มวลของไอโซโทปคือ มก. ครึ่งชีวิตของมันคือนาที หลังจากผ่านไปกี่นาทีมวลของไอโซโทปจะเท่ากับมิลลิกรัม? ไม่เป็นไร: เราแค่นำข้อมูลทั้งหมดมาแทนที่ลงในสูตรที่เสนอให้เรา:
ลองหารทั้งสองส่วนโดย "หวังว่า" ทางด้านซ้ายเราจะได้สิ่งที่ย่อยได้:
เราโชคดีมาก! อยู่ทางซ้าย มาดูสมการที่เทียบเท่ากัน:
มินอยู่ไหน
อย่างที่คุณเห็น สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลมีการใช้งานจริงมากในทางปฏิบัติ ตอนนี้ ผมอยากแสดงให้คุณเห็นอีกวิธี (ง่ายๆ) ในการแก้สมการเลขชี้กำลัง ซึ่งขึ้นอยู่กับการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ แล้วจึงจัดกลุ่มพจน์ อย่ากลัวกับคำพูดของฉัน คุณเคยเจอวิธีนี้มาแล้วตอนเกรด 7 ตอนที่คุณเรียนพหุนาม ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์:
มาจัดกลุ่ม: เทอมที่หนึ่งและสามรวมถึงเทอมที่สองและสี่ เห็นได้ชัดว่าอันที่หนึ่งและสามคือความแตกต่างของกำลังสอง:
และตัวที่สองและสี่มีตัวประกอบร่วมกันคือสาม:
จากนั้นนิพจน์ดั้งเดิมจะเทียบเท่ากับสิ่งนี้:
การหาปัจจัยร่วมนั้นไม่ใช่เรื่องยากอีกต่อไป:
เพราะฉะนั้น,
นี่คือสิ่งที่เราจะทำโดยประมาณเมื่อแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียล: มองหา "ความเหมือนกัน" ในกลุ่มคำแล้วเอาออกจากวงเล็บแล้ว - ไม่ว่าอะไรจะเกิดขึ้นฉันเชื่อว่าเราจะโชคดี =)) ตัวอย่างเช่น:
ทางด้านขวายังห่างไกลจากการยกกำลังเจ็ด (ฉันตรวจสอบแล้ว!) และทางด้านซ้าย - ดีขึ้นนิดหน่อยแน่นอนคุณสามารถ "ตัด" ตัวประกอบ a จากวินาทีจากเทอมแรกแล้วจัดการ กับสิ่งที่คุณมี แต่ให้เราระมัดระวังตัวให้มากขึ้น ฉันไม่ต้องการจัดการกับเศษส่วนที่ก่อตัวอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้เมื่อ "selecting" ดังนั้นฉันไม่ควรเอามันออกไปใช่ไหม ถ้าอย่างนั้นฉันจะไม่มีเศษส่วนใด ๆ อย่างที่พวกเขาพูดหมาป่าได้รับอาหารและแกะก็ปลอดภัย:
คำนวณนิพจน์ในวงเล็บ อย่างมหัศจรรย์และน่าอัศจรรย์ ปรากฎว่า (น่าประหลาดใจ แม้ว่าเราจะคาดหวังอะไรอีกก็ตาม)
จากนั้นเราลดทั้งสองข้างของสมการด้วยตัวประกอบนี้ เราได้รับ: , จาก
นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ (ค่อนข้างมากจริงๆ):
มีปัญหาอะไร! เราไม่มีจุดร่วมที่นี่! ยังไม่ชัดเจนว่าต้องทำอย่างไรในตอนนี้ มาทำสิ่งที่เราทำได้ ขั้นแรก ย้าย "สี่" ไปด้านหนึ่ง และ "ห้า" ไปอีกด้านหนึ่ง:
ตอนนี้เรามาดู "ทั่วไป" ทางซ้ายและขวากัน:
แล้วตอนนี้ล่ะ? กลุ่มโง่ๆ แบบนี้มีประโยชน์อะไร? เมื่อมองแวบแรกจะมองไม่เห็นเลย แต่ลองมาดูให้ลึกกว่านี้:
ตอนนี้เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าทางด้านซ้ายเรามีเพียงนิพจน์ c และทางขวา - อย่างอื่นทั้งหมด เราจะทำเช่นนี้ได้อย่างไร? วิธีการ: หารทั้งสองข้างของสมการก่อน (เพื่อกำจัดเลขชี้กำลังทางขวา) แล้วหารทั้งสองข้างด้วย (เพื่อกำจัดตัวประกอบที่เป็นตัวเลขทางซ้าย) ในที่สุดเราก็ได้รับ:
เหลือเชื่อ! ทางซ้ายเรามีสำนวน และทางขวาเรามีสำนวนง่ายๆ แล้วเราก็สรุปได้ทันทีว่า
นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งสำหรับคุณในการเสริมกำลัง:
ฉันจะให้วิธีแก้ปัญหาสั้น ๆ ของเขา (โดยไม่ต้องอธิบายคำอธิบายให้ตัวเอง) พยายามทำความเข้าใจ "รายละเอียดปลีกย่อย" ทั้งหมดของวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเอง
ตอนนี้สำหรับการรวมวัสดุที่ครอบคลุมขั้นสุดท้าย ลองแก้ไขปัญหาต่อไปนี้ด้วยตัวเอง ฉันจะให้คำแนะนำสั้น ๆ และเคล็ดลับในการแก้ปัญหา:
- ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ: โดยที่:
- เรามานำเสนอนิพจน์แรกในรูปแบบ: หารทั้งสองข้างแล้วได้สิ่งนั้น
- จากนั้นสมการดั้งเดิมจะถูกแปลงเป็นรูปแบบ: ตอนนี้เป็นคำใบ้ - ดูว่าคุณและฉันได้แก้สมการนี้ไปแล้วที่ไหน!
- ลองนึกภาพว่า อย่างไร อ่า แล้วหารทั้งสองข้างด้วย คุณจะได้สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
- นำมันออกจากวงเล็บ
- นำมันออกจากวงเล็บ
สมการเลขยกกำลัง ระดับกลาง
ผมคิดว่าหลังจากอ่านบทความแรกๆที่พูดถึงแล้ว สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลคืออะไรและจะแก้ได้อย่างไรคุณได้เรียนรู้ความรู้ขั้นต่ำที่จำเป็นในการแก้ไขตัวอย่างที่ง่ายที่สุดแล้ว
ทีนี้ผมจะดูวิธีแก้สมการเอ็กซ์โปเนนเชียลอีกวิธีหนึ่ง ก็คือ
“วิธีการแนะนำตัวแปรใหม่” (หรือการแทนที่)เขาแก้ปัญหา "ยาก" ส่วนใหญ่ในหัวข้อสมการเลขชี้กำลัง (และไม่ใช่แค่สมการเท่านั้น) วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ ก่อนอื่น ฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับหัวข้อนี้
ตามที่คุณเข้าใจจากชื่อแล้ว สาระสำคัญของวิธีนี้คือการแนะนำการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่สมการเลขชี้กำลังของคุณจะแปลงเป็นตัวแปรที่คุณสามารถแก้ได้อย่างง่ายดายอย่างน่าอัศจรรย์ สิ่งที่เหลืออยู่สำหรับคุณหลังจากแก้ "สมการแบบง่าย" นี้คือการสร้าง "การแทนที่แบบย้อนกลับ" นั่นคือคืนจากการแทนที่ไปยังการแทนที่ มาอธิบายสิ่งที่เราเพิ่งพูดด้วยตัวอย่างง่ายๆ:
ตัวอย่างที่ 1:
สมการนี้แก้ได้โดยใช้ "การทดแทนอย่างง่าย" ตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกมันอย่างดูถูกเหยียดหยาม ที่จริงแล้วการแทนที่ที่นี่ชัดเจนที่สุด เราจะต้องเห็นสิ่งนั้นเท่านั้น
จากนั้นสมการดั้งเดิมจะกลายเป็น:
หากเราจินตนาการเพิ่มเติมว่าจะต้องเปลี่ยนอะไรอย่างชัดเจนอย่างแน่นอน: แน่นอน . แล้วอะไรจะกลายเป็นสมการดั้งเดิม? นี่คือสิ่งที่:
คุณสามารถค้นหารากของมันได้อย่างง่ายดาย: . เราควรทำอย่างไรตอนนี้? ถึงเวลากลับไปสู่ตัวแปรเดิมแล้ว ฉันลืมพูดถึงอะไรไป? กล่าวคือเมื่อแทนที่ระดับหนึ่งด้วยตัวแปรใหม่ (นั่นคือเมื่อเปลี่ยนประเภท) ฉันจะสนใจ รากที่เป็นบวกเท่านั้น!คุณเองก็สามารถตอบได้อย่างง่ายดายว่าทำไม ดังนั้นคุณและฉันจึงไม่สนใจ แต่รากที่สองค่อนข้างเหมาะสำหรับเรา:
แล้วมาจากไหน..
คำตอบ:
ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การเปลี่ยนทดแทนเป็นเพียงการขอมือของเรา น่าเสียดายที่นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป อย่างไรก็ตาม อย่าไปพูดถึงเรื่องที่น่าเศร้าโดยตรง แต่มาฝึกฝนกับอีกตัวอย่างหนึ่งด้วยการแทนที่ที่ค่อนข้างง่ายกันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 2
เป็นที่ชัดเจนว่ามีแนวโน้มมากที่สุดที่เราจะต้องทำการแทนที่ (นี่คือกำลังที่น้อยที่สุดที่รวมอยู่ในสมการของเรา) แต่ก่อนที่จะแนะนำการแทนที่ สมการของเราต้อง "เตรียม" ไว้ก่อน กล่าวคือ: , . จากนั้นคุณสามารถแทนที่ได้ ส่งผลให้ฉันได้นิพจน์ต่อไปนี้:
โอ้สยองขวัญ: สมการลูกบาศก์ที่มีสูตรแย่มากสำหรับการแก้มัน (พูดโดยทั่วไป) แต่อย่าสิ้นหวังในทันที แต่ลองคิดดูว่าเราควรทำอย่างไร ฉันจะแนะนำให้โกง: เรารู้ว่าเพื่อให้ได้คำตอบที่ "สวยงาม" เราต้องได้มันมาในรูปแบบของยกกำลังสาม (ทำไมถึงเป็นอย่างนั้นล่ะ?) ลองเดาอย่างน้อยหนึ่งรากของสมการของเรา (ฉันจะเริ่มเดาด้วยกำลังของสาม)
ก่อนอื่นให้เดา ไม่ใช่ราก อนิจจาและอา...
.
ด้านซ้ายก็เท่ากัน
ด้านขวา: !
กิน! เดารากแรก ตอนนี้ทุกอย่างจะง่ายขึ้น!
คุณรู้เกี่ยวกับแผนการแบ่งส่วน “มุม” หรือไม่? แน่นอน คุณใช้มันเมื่อคุณหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง แต่มีน้อยคนที่รู้ว่าสิ่งเดียวกันนี้สามารถทำได้ด้วยพหุนาม มีทฤษฎีบทหนึ่งที่ยอดเยี่ยม:
เมื่อใช้กับสถานการณ์ของฉัน สิ่งนี้บอกฉันว่าหารด้วยเศษไม่ลงตัว การแบ่งส่วนดำเนินการอย่างไร? มีวิธีดังนี้:
ฉันดูว่าควรคูณ monomial ใดเพื่อให้ชัดเจน จากนั้น:
ฉันลบนิพจน์ผลลัพธ์จาก ฉันได้รับ:
ทีนี้, ผมต้องคูณด้วยอะไรถึงได้? เป็นที่ชัดเจนว่าเมื่อนั้นฉันจะได้รับ:
และลบนิพจน์ผลลัพธ์ออกจากนิพจน์ที่เหลืออีกครั้ง:
ขั้นตอนสุดท้ายคือการคูณและลบออกจากนิพจน์ที่เหลือ:
ไชโย การแบ่งแยกสิ้นสุดลงแล้ว! เราสะสมอะไรเป็นส่วนตัวบ้าง? แน่นอน: .
จากนั้นเราได้การขยายตัวของพหุนามดั้งเดิมดังต่อไปนี้:
มาแก้สมการที่สองกัน:
มันมีต้นกำเนิด:
จากนั้นสมการดั้งเดิม:
มีสามราก:
แน่นอนว่าเราจะละทิ้งรูตสุดท้ายเพราะมันมีค่าน้อยกว่าศูนย์ และสองอันแรกหลังจากการแทนที่แบบย้อนกลับจะทำให้เรามีรากสองอัน:
คำตอบ: ..
ด้วยตัวอย่างนี้ ฉันไม่ได้ต้องการทำให้คุณกลัวเลย แต่เป้าหมายของฉันคือการแสดงให้เห็นว่าถึงแม้เราจะมีสมการทดแทนที่ค่อนข้างง่าย แต่ก็ยังนำไปสู่สมการที่ค่อนข้างซับซ้อน ซึ่งการแก้ปัญหานั้นต้องใช้ทักษะพิเศษบางอย่างจากเรา ไม่มีใครรอดพ้นจากสิ่งนี้ แต่การแทนที่ในกรณีนี้ค่อนข้างชัดเจน
นี่คือตัวอย่างที่มีการแทนที่ที่ชัดเจนน้อยกว่าเล็กน้อย:
ยังไม่ชัดเจนว่าเราควรทำอย่างไร ปัญหาคือในสมการของเรามีสองฐานที่แตกต่างกัน และฐานหนึ่งไม่สามารถรับจากอีกฐานหนึ่งได้โดยการเพิ่มกำลังใดๆ (สมเหตุสมผล โดยธรรมชาติ) อย่างไรก็ตามเราเห็นอะไร? ฐานทั้งสองต่างกันเพียงเครื่องหมายเท่านั้น และผลคูณคือผลต่างของกำลังสองเท่ากับหนึ่ง:
คำนิยาม:
ดังนั้น ตัวเลขที่เป็นฐานในตัวอย่างของเราจึงเป็นค่าคอนจูเกต
ในกรณีนี้ ขั้นตอนที่ชาญฉลาดน่าจะเป็น คูณทั้งสองข้างของสมการด้วยจำนวนคอนจูเกต
ตัวอย่างเช่น เปิด ด้านซ้ายของสมการจะเท่ากับ และด้านขวา ถ้าเราทำการทดแทน สมการดั้งเดิมของเราจะเป็นดังนี้:
รากของมัน และเมื่อนึกถึงสิ่งนั้น เราก็เข้าใจสิ่งนั้น
คำตอบ: , .
ตามกฎแล้ว วิธีการแทนที่นั้นเพียงพอที่จะแก้สมการเลขชี้กำลัง "โรงเรียน" ส่วนใหญ่ได้ งานต่อไปนี้นำมาจาก Unified State Examination C1 (ระดับความยากเพิ่มขึ้น) คุณมีความรู้เพียงพอที่จะแก้ไขตัวอย่างเหล่านี้ด้วยตัวเองแล้ว ฉันจะให้เฉพาะสิ่งทดแทนที่จำเป็นเท่านั้น
- แก้สมการ:
- ค้นหารากของสมการ:
- แก้สมการ: . ค้นหารากทั้งหมดของสมการนี้ที่อยู่ในส่วนนี้:
และตอนนี้มีคำอธิบายและคำตอบสั้น ๆ :
- นี่ก็พอจะทราบได้ว่า... จากนั้นสมการดั้งเดิมจะเท่ากับสิ่งนี้: สมการนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยการแทนที่ ทำการคำนวณเพิ่มเติมด้วยตนเอง ท้ายที่สุดแล้ว งานของคุณจะลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาตรีโกณมิติอย่างง่าย (ขึ้นอยู่กับไซน์หรือโคไซน์) เราจะดูวิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่คล้ายกันในส่วนอื่นๆ
- ที่นี่คุณสามารถทำได้โดยไม่ต้องทดแทน: เพียงเลื่อนเครื่องหมายต่ำกว่าไปทางขวาและแทนทั้งสองฐานด้วยกำลังของสอง: จากนั้นตรงไปที่สมการกำลังสอง
- สมการที่สามได้รับการแก้ไขอย่างเป็นมาตรฐานเช่นกัน ลองจินตนาการดูว่าทำอย่างไร จากนั้นแทนที่เราจะได้สมการกำลังสอง: จากนั้น
คุณรู้อยู่แล้วว่าลอการิทึมคืออะไร ใช่ไหม? เลขที่? แล้วอ่านหัวข้อด่วน!
เห็นได้ชัดว่ารูตแรกไม่ได้อยู่ในกลุ่ม แต่รูตที่สองไม่ชัดเจน! แต่เราจะพบคำตอบเร็วๆ นี้! ตั้งแต่นั้นมา (นี่คือคุณสมบัติของลอการิทึม!) มาเปรียบเทียบกัน:
ลบทั้งสองข้างแล้วเราจะได้:
ด้านซ้ายสามารถแสดงเป็น:
คูณทั้งสองข้างด้วย:
ก็คูณได้เลย
จากนั้นเปรียบเทียบ:
ตั้งแต่นั้นมา:
จากนั้นรากที่สองจะอยู่ในช่วงที่ต้องการ
คำตอบ:
อย่างที่คุณเห็น การเลือกรากของสมการเลขชี้กำลังต้องอาศัยความรู้เชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติของลอการิทึมดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณระมัดระวังให้มากที่สุดเมื่อแก้สมการเลขชี้กำลัง อย่างที่คุณเข้าใจ ในทางคณิตศาสตร์ทุกอย่างเชื่อมโยงถึงกัน! ดังที่ครูคณิตศาสตร์ของฉันกล่าวไว้ว่า “คณิตศาสตร์ก็เหมือนกับประวัติศาสตร์ ไม่สามารถอ่านได้ในชั่วข้ามคืน”
ตามกฎแล้วทั้งหมด ความยากในการแก้ปัญหา C1 คือการเลือกรากของสมการอย่างแม่นยำมาฝึกกันอีกตัวอย่างหนึ่ง:
เป็นที่ชัดเจนว่าสมการนั้นแก้ได้ง่ายมาก ด้วยการทดแทน เราจะลดสมการดั้งเดิมของเราลงเหลือดังนี้:
ก่อนอื่นเรามาดูที่รูตแรกกันก่อน มาเปรียบเทียบกัน: ตั้งแต่นั้นมา (คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึมที่) เห็นได้ชัดว่ารูทแรกไม่อยู่ในช่วงของเรา ตอนนี้รากที่สอง: . เป็นที่ชัดเจนว่า (เนื่องจากฟังก์ชัน at เพิ่มขึ้น) มันยังคงเปรียบเทียบและ...
ตั้งแต่นั้นมาในขณะเดียวกัน ด้วยวิธีนี้ฉันสามารถ "ตอกหมุด" ระหว่างและ หมุดนี้เป็นตัวเลข นิพจน์แรกมีค่าน้อยกว่าและนิพจน์ที่สองมีค่ามากกว่า จากนั้นนิพจน์ที่สองจะมากกว่านิพจน์แรกและรูทอยู่ในช่วงเวลา
คำตอบ: .
สุดท้ายนี้ ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการที่การทดแทนค่อนข้างไม่ได้มาตรฐาน:
มาเริ่มกันทันทีว่าอะไรทำได้และอะไร - โดยหลักการแล้วสามารถทำได้ แต่อย่าทำเลยจะดีกว่า คุณสามารถจินตนาการทุกสิ่งได้ด้วยพลังของสาม สอง และหก สิ่งนี้จะนำไปสู่อะไร? มันจะไม่นำไปสู่สิ่งใดเลย: องศาที่สับสน ซึ่งบางองศาก็ค่อนข้างยากที่จะกำจัด แล้วจำเป็นอะไรล่ะ? สังเกตว่าก และสิ่งนี้จะให้อะไรเราบ้าง? และการที่เราสามารถลดคำตอบของตัวอย่างนี้ลงเหลือเพียงคำตอบของสมการเลขชี้กำลังที่ค่อนข้างง่ายได้! ขั้นแรก ลองเขียนสมการของเราใหม่เป็น:
ทีนี้ลองหารทั้งสองข้างของสมการผลลัพธ์ด้วย:
ยูเรก้า! ตอนนี้เราสามารถแทนที่ได้ เราได้รับ:
ตอนนี้ถึงตาคุณแล้วที่จะต้องแก้ไขปัญหาการสาธิตและฉันจะให้ความคิดเห็นสั้น ๆ กับพวกเขาเท่านั้นเพื่อที่คุณจะได้ไม่หลงทาง! ขอให้โชคดี!
1. ยากที่สุด! มันยากมากที่จะเห็นสิ่งทดแทนที่นี่! แต่อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ เน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์- เพื่อแก้ปัญหาก็เพียงพอที่จะทราบว่า:
นี่คือสิ่งทดแทนของคุณ:
(โปรดทราบว่าในระหว่างการเปลี่ยนเราไม่สามารถละทิ้งรากที่เป็นลบได้ !!! คุณคิดอย่างไร)
ตอนนี้เพื่อแก้ตัวอย่าง คุณต้องแก้สมการเพียงสองสมการเท่านั้น:
ทั้งสองอย่างสามารถแก้ไขได้ด้วย "การแทนที่แบบมาตรฐาน" (แต่อันที่สองในตัวอย่างเดียว!)
2. สังเกตและทำการเปลี่ยนใหม่
3. แยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยโคไพรม์และทำให้นิพจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้น
4. หารเศษและส่วนของเศษส่วนด้วย (หรือถ้าคุณต้องการ) แล้วทำการแทนที่หรือ
5. สังเกตว่าตัวเลขและมีการผันกัน
สมการเลขยกกำลัง ระดับขั้นสูง
นอกจากนี้เรามาดูวิธีอื่นกัน - การแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้วิธีลอการิทึม- ฉันไม่สามารถพูดได้ว่าการแก้สมการเลขชี้กำลังโดยใช้วิธีนี้เป็นที่นิยมมาก แต่ในบางกรณีเท่านั้นที่สามารถนำเราไปสู่การแก้สมการที่ถูกต้องได้ มักใช้เพื่อแก้สิ่งที่เรียกว่า “ สมการผสม": นั่นคือฟังก์ชันที่เกิดฟังก์ชันประเภทต่างๆ
ตัวอย่างเช่น สมการของรูปแบบ:
ในกรณีทั่วไปสามารถแก้ไขได้โดยนำลอการิทึมของทั้งสองข้างเท่านั้น (เช่น ไปที่ฐาน) ซึ่งสมการดั้งเดิมจะเปลี่ยนเป็นดังนี้
ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้:
เห็นได้ชัดว่าตาม ODZ ของฟังก์ชันลอการิทึม เราสนใจเท่านั้น อย่างไรก็ตาม สิ่งนี้ไม่เพียงตามมาจาก ODZ ของลอการิทึมเท่านั้น แต่ยังมาจากอีกเหตุผลหนึ่งด้วย ฉันคิดว่ามันคงไม่ยากสำหรับคุณที่จะเดาว่ามันคืออะไร
ลองนำลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐาน:
อย่างที่คุณเห็น การหาลอการิทึมของสมการดั้งเดิมอย่างรวดเร็วทำให้เราได้คำตอบที่ถูกต้อง (และสวยงาม!) มาฝึกกันอีกตัวอย่างหนึ่ง:
ก็ไม่มีอะไรผิดเช่นกัน ลองนำลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการไปที่ฐาน แล้วเราจะได้:
มาทำการทดแทนกันเถอะ:
อย่างไรก็ตาม เราพลาดอะไรบางอย่างไป! คุณสังเกตไหมว่าฉันทำผิดตรงไหน? ท้ายที่สุดแล้ว:
ซึ่งไม่เป็นไปตามข้อกำหนด (ลองคิดดูว่ามันมาจากไหน!)
คำตอบ:
ลองเขียนคำตอบของสมการเลขชี้กำลังด้านล่าง:
ตอนนี้เปรียบเทียบการตัดสินใจของคุณกับสิ่งนี้:
1. ลองลอการิทึมทั้งสองด้านไปที่ฐาน โดยคำนึงถึงว่า:
(รากที่สองไม่เหมาะกับเราเนื่องจากมีการเปลี่ยน)
2. ลอการิทึมถึงฐาน:
ให้เราแปลงนิพจน์ผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:
สมการเลขยกกำลัง คำอธิบายโดยย่อและสูตรพื้นฐาน
สมการเลขชี้กำลัง
สมการของแบบฟอร์ม:
เรียกว่า สมการเลขชี้กำลังที่ง่ายที่สุด
คุณสมบัติขององศา
แนวทางการแก้ปัญหา
- ลดให้เหลือพื้นฐานเดียวกัน
- การลดลงเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน
- การแทนที่ตัวแปร
- ลดความซับซ้อนของนิพจน์และการใช้อย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้น