ตัวกรองเพิ่มเติม
จากครูสอนพิเศษหรือนักเรียน
อยู่ที่อาจารย์
ที่บ้านนักเรียน
จากระยะไกล
ราคาต่อชั่วโมง
จาก
ถึง
ถูแสดง
ด้วยรูปถ่ายเท่านั้น
กับรีวิวเท่านั้น
ตรวจสอบแล้วเท่านั้น
นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา
อาจารย์มหาวิทยาลัย
ครูเอกชน
เจ้าของภาษา
มากกว่า 10 ปี
อายุมากกว่า 50 ปี
สถิติ:
พบผู้สอน 500 คน
2246 รีวิว ทิ้งไว้โดยนักเรียน
คะแนนเฉลี่ย: 4,5 5 1 คะแนนเฉลี่ยของผู้สอนที่พบโดยตัวกรอง
พบผู้สอน 500 คน
รีเซ็ตตัวกรอง
OGE (GIA) การสอบแบบครบวงจรของรัฐ การเตรียมตัวสำหรับการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน เรขาคณิตวิเคราะห์ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น+8 เรขาคณิตเชิงผสม พีชคณิตเชิงเส้น สถิติทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์ ทฤษฎีความน่าจะเป็นตรีโกณมิติ
เด็กอายุ 6-7 ปี เด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1-11นักเรียน ผู้ใหญ่
ม. โอเซอร์นายา ม. ยูโก-ศาปัดนายา ม. Kuntsevskaya (ฟิเลฟสกายา)
อเล็กซานเดอร์ อเล็กซานโดรวิช
ประสบการณ์อาจารย์มหาวิทยาลัย 17 ปี
จาก 2,000 รูเบิล / ชั่วโมง
ติดต่อฟรีอยู่ที่อาจารย์
ครูสอนพิเศษที่มีประสิทธิภาพมากและ ครูที่มีพรสวรรค์-รู้วิธีนำเสนอโปรแกรมแบบนี้ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นมหาวิทยาลัยที่วิชาคณิตศาสตร์จากฝันร้ายกลายเป็นเรื่องน่ารำคาญขยาย ความจำเป็น - แม้ว่าจะมาจากก็ตาม หลักสูตรของโรงเรียนนักเรียนรู้เฉพาะหลักสูตรชั้น ป.5-6 อย่างมั่นใจรีวิวทั้งหมด (46)
เรขาคณิตวิเคราะห์ แคลคูลัสของการแปรผัน การวิเคราะห์เวกเตอร์ +33 คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นเรขาคณิต คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงผสม พีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตเชิงเส้น การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น สถิติทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์คณิตศาสตร์ แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด วิธีการเพิ่มประสิทธิภาพ การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด คณิตศาสตร์ประยุกต์โซโปรมาต การวิเคราะห์เทนเซอร์ กลศาสตร์เชิงทฤษฎี ทฤษฎีความน่าจะเป็นทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีเกม ทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพทฤษฎีจำนวน โทโพโลยี ตรีโกณมิติ TFKP สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย สมการฟิสิกส์คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์การเงิน การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเศรษฐมิติ
เด็กนักเรียนเกรด 9-11นักเรียน ผู้ใหญ่
ม. มิทรี ดอนสคอย บูเลอวาร์ด
อเล็กเซย์ วาซิลีวิช
ประสบการณ์อาจารย์มหาวิทยาลัย 44 ปี
จาก 1,500 รูเบิล / ชั่วโมง
ติดต่อฟรีครูสอนพิเศษสถิติคณิต
อยู่ที่อาจารย์
ฟิสิกส์ดุษฎีบัณฑิต วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์- เป็นผู้นำ นักวิจัยมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก (คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์) ศาสตราจารย์คณะ การศึกษาเพิ่มเติมขยาย MGIMO เป็นสมาชิกของคณะกรรมการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ Moscow State University, MGIMO, MGUDT
Alexey Vasilievich เป็นครูที่เราตามหามานาน รู้วิธีค้นหาแนวทางให้กับนักเรียนและนำเสนอสื่อการศึกษาอย่างมีความสามารถ
รีวิวทั้งหมด (29)เด็กนักเรียนเกรด 10-11
นักเรียน
ม. ราเมนกิ
อเล็กเซย์ อเล็กซานโดรวิช
ครูเอกชน ประสบการณ์ 11 ปี
ติดต่อฟรีครูสอนพิเศษสถิติคณิต
จาก 1,600 รูเบิล / ชั่วโมง ผู้ชนะรางวัล Lomonosov Olympiad ประจำปี 2550 ในสาขาวิชา - คณิตศาสตร์การพูดและการเขียนการแต่งเพลง ผู้เข้าร่วมหลักสูตรพิเศษระหว่างคณะขยาย ปัญหาโอลิมปิก ภาควิชาวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก มีประสบการณ์ในการบริหารชมรมขนสัตว์ขนาดเล็กในปี 2550-2555 คณิตศาสตร์ทางเลือก ที่ Lyceum 1553 ครูสอนพีชคณิต เรขาคณิต วิทยาการคอมพิวเตอร์ภาษาอังกฤษ ที่ Lyceum 1553 ในปี 2554 สนับสนุนการศึกษาของเด็กๆ ในค่ายภาษาในอังกฤษและมอลตา พ.ศ. 2554-2555 ประสบการณ์ 3 ปี ในการจัดการร้านค้าปลีกในสำนักงานกลาง ธนาคารที่ใหญ่ที่สุดใน CIS ฉันจัดชั้นเรียนโดยใช้แท็บเล็ตกราฟิก Wacom และไวท์บอร์ดออนไลน์ (ต้องเสียค่าใช้จ่ายซึ่งสามารถใช้งานได้หลายคนพร้อมกัน ตัดต่อวิดีโอพร้อมกัน ร่วมกันวิดีโอและเสียง) หลังจากบทเรียน ลิงก์ไปยังห้องจะยังคงอยู่ - นักเรียนสามารถเข้าถึงสิ่งที่เขียนในบทเรียนได้ตลอดเวลาและสามารถเข้าถึงบันทึกย่อตลอดระยะเวลาของหลักสูตร สื่อการสอนทั้งหมดที่เขียนบนกระดานจะถูกส่งไปยังลูกค้าในรูปแบบ PDF ด้วย . ทั้ง Skype และห้องออนไลน์ใช้เพื่อการสื่อสาร จำนวนนักเรียนที่เตรียมตัวสอบมากกว่า 100 คน เตรียมความพร้อมสำหรับ OGEการรับเข้าสอบ Unified State ใน Lyceum ที่ MEPhI, Moscow State University เตรียมนักเรียนสอบจากมหาวิทยาลัยต่างๆ ของ Moscow State University of Mechanics and Mathematics, คณะฟิสิกส์, คณะเศรษฐศาสตร์, Moscow State Pedagogical University, Plekhanov,สถาบันการเงิน ภายใต้ประธาน MGIMO, MEPhI ฯลฯ ฉันเตรียมเด็ก ๆ ให้พร้อมสำหรับการแข่งขัน All-Russian, Lomonosov และ Vuzovsky Olympiads ภายใต้ Bauman และ Mifi, MIPT การสอนเป็นกิจกรรมหลักของฉัน ฉันกำลังเตรียมตัวเข้าศึกษาในวิทยาลัยภาษาอังกฤษและสวิสด้วย เปลี่ยนการสอบแบบรวม ระดับภาษาอังกฤษในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ เตรียมความพร้อมให้เด็กนักเรียนสอบผ่านภาษาอังกฤษ OGE
และการสอบ Unified State ฉันเรียนกับ Alexey Alexandrovich และในหนึ่งเดือนฉันก็สามารถเตรียมตัวกับเขาเพื่อทบทวนการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ อธิบายเรื่องให้ผมชัดเจนและชัดเจน ขยายความฉันผ่านได้โดยไม่มีปัญหาใด ๆ ต้องขอบคุณเขา
รีวิวทั้งหมด (52) เรขาคณิตวิเคราะห์ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น OGE (GIA) หลักสูตรโรงเรียน Unified State Exam พีชคณิต คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง สมการเชิงอนุพันธ์ พีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตเชิงเส้น สถิติทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต +12 ทฤษฎีความน่าจะเป็นในภาษาอังกฤษ
เด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 1-11นักเรียน ผู้ใหญ่
ทฤษฎีกราฟ ทฤษฎีเกม ตรีโกณมิติ เศรษฐมิติ
ม.ครัสโนกวาร์ดีสกายา
แม็กซิม อเล็กเซวิช
จาก 1,500 รูเบิล / ชั่วโมง
ติดต่อฟรีครูสอนพิเศษสถิติคณิต
ประสบการณ์ครูเอกชน 9 ปี
กับครูกับลูกศิษย์ทางไกล การเขียนโปรแกรมฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์ (SQL) ประเภทแรกในหมากรุก เรามีประสบการณ์ที่ประสบความสำเร็จในการทำงานกับนักเรียนทุกประเภท: เด็กนักเรียน (การสอบ Olized State, การสอบ Unified State, การพัฒนาผลการเรียน) นักเรียน (คณิตศาสตร์และกลศาสตร์ขั้นสูงเกือบทั้งหมด) ผู้ใหญ่ (ชั้นเรียนสำหรับตัวเอง, ช่วยในการทำงาน คำถาม).
หลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ Sevastyanov B.A.
อ.: วิทยาศาสตร์. ช. เอ็ด ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สว่าง., 1982.- 256 น.
หนังสือเล่มนี้มีพื้นฐานมาจากหลักสูตรการบรรยายตลอดทั้งปีโดยผู้เขียนในช่วงหลายปีที่ภาควิชาคณิตศาสตร์ของคณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก แนวคิดพื้นฐานและข้อเท็จจริงของทฤษฎีความน่าจะเป็นจะถูกนำเสนอในขั้นต้นสำหรับโครงร่างสุดท้าย ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ป กรณีทั่วไปถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับอินทิกรัลของ Lebesgue แต่ผู้อ่านไม่จำเป็นต้องรู้อะไรเลย ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับการบูรณาการ Lebesgue
หนังสือเล่มนี้ประกอบด้วยหัวข้อต่อไปนี้: การทดสอบอิสระและโซ่มาร์คอฟ ทฤษฎีบทลิมิตของ Moivre-Laplace และ Poisson ตัวแปรสุ่มลักษณะเฉพาะและฟังก์ชันการสร้าง กฎของจำนวนมาก ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ การประมาณค่าทางสถิติ ช่วงความเชื่อมั่น
สำหรับนักศึกษาระดับมหาวิทยาลัยและวิทยาลัยที่กำลังศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็น
รูปแบบ:ดีเจวู/zip
ขนาด: 2.5 7 ลบ
/ดาวน์โหลดไฟล์
สารบัญ
คำนำ 7
บทที่ 1 พื้นที่ความน่าจะเป็น 9
§ 1. หัวข้อทฤษฎีความน่าจะเป็น 9
§ 2. เหตุการณ์ 12
§ 3. พื้นที่ความน่าจะเป็น 16
§ 4. พื้นที่ความน่าจะเป็นจำกัด คำจำกัดความคลาสสิกความน่าจะเป็น 19
§ 5 ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต 23
ปัญหา 24
บทที่ 2 ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข- อิสรภาพ 26
§ 6. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข 26
§ 7. สูตร ความน่าจะเป็นเต็ม 28
§ 8. สูตรเบย์ 29
§ 9. ความเป็นอิสระของเหตุการณ์ 30
§ 10. ความเป็นอิสระของพาร์ติชัน พีชคณิต และพีชคณิต.... 33
มาตรา 11 การทดสอบอิสระ 35
ปัญหา 39
บทที่ 3 ตัวแปรสุ่ม (รูปแบบจำกัด) 41
§ 12. ตัวแปรสุ่ม ตัวชี้วัดที่ 41
§ 13. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 45
§ 14. กฎหมายการกระจายหลายมิติ 50
§ 15. ความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม 53
§ 10. ปริภูมิแบบยุคลิดแห่งความยิ่งใหญ่แบบสุ่ม - - - ที่ 5
§ 17. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข 5E
§ 18. ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev กฎ จำนวนมาก.... 61
ปัญหา 64
บทที่ 4 ทฤษฎีบทจำกัดในแผนการของแบร์นูลลี 65
§ 19. การแจกแจงแบบทวินาม 65
§ 20. ทฤษฎีบทของปัวซอง 66
§ 21. ทฤษฎีบทขีดจำกัดท้องถิ่นของ Moivre - Laplace - 70
§ 22. ทฤษฎีบทขีดจำกัดอินทิกรัลของ Moivre - Laplace 71
§ 23. การประยุกต์ทฤษฎีบทขีดจำกัด 73
ปัญหา 76
บทที่ 5 โซ่มาร์คอฟ 77
§ 24. การทดสอบการพึ่งพามาร์กอฟ 77
§ 25. ความน่าจะเป็นในช่วงเปลี่ยนผ่าน 78
§ 26. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการจำกัดความน่าจะเป็น 80
ปัญหา 83
บทที่ 6 ตัวแปรสุ่ม (กรณีทั่วไป) 84
§ 27. ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงของพวกมัน 84
§ 28. การแจกแจงหลายตัวแปร 92
§ 29 ความเป็นอิสระของตัวแปรสุ่ม 96
ปัญหา 98
บทที่ 7 ความคาดหวัง 100
§ 30. คำจำกัดความ ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 100
§ 31. สูตรคำนวณความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ 108
ปัญหา 115
บทที่ 8 การสร้างฟังก์ชัน 117
§ 32. ตัวแปรสุ่มจำนวนเต็มและฟังก์ชันการสร้าง 117
§ 33 ช่วงเวลาแฟคทอเรียล 118
§ 34. สมบัติการคูณ 120
§ 35. ทฤษฎีบทความต่อเนื่อง 123
§ 36 กระบวนการแยกสาขา 125
ปัญหา 127
บทที่ 9 ฟังก์ชั่นลักษณะ 129
§ 37. คำจำกัดความและคุณสมบัติที่ง่ายที่สุด ฟังก์ชั่นลักษณะเฉพาะ 129
§ 38 สูตรการผกผันสำหรับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ 136
§ 39. ทฤษฎีบทความสอดคล้องต่อเนื่องระหว่างเซตของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะและเซตของฟังก์ชันการแจกแจง 140
ปัญหา 145
บทที่ 10 ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง 146
§ 40. ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางสำหรับเงื่อนไขอิสระที่มีการกระจายเหมือนกัน 146
§ 41. ทฤษฎีบทของ Lyapunov 147
§ 42. การประยุกต์ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง 150
ปัญหา 153
บทที่ 11 ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะหลายมิติ154
§ 43 คำจำกัดความและคุณสมบัติที่ง่ายที่สุด 154
§ 44 สูตรการหมุนเวียน 158
§ 45. ทฤษฎีบทจำกัดสำหรับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ 159
§ 46 การแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปรและการแจกแจงที่เกี่ยวข้อง 164
ปัญหา 173
บทที่ 12 กฎหมายที่เข้มแข็งขึ้นของตัวเลขจำนวนมาก 174
§ 47. บทแทรก Borel-Cantelli กฎ "0 หรือ 1" ของโคลโมโกรอฟ 174
มาตรา 48 ประเภทต่างๆการบรรจบกันของตัวแปรสุ่ม - - 177
§ 49. กฎหมายที่เข้มแข็งขึ้นของจำนวนมาก 181
ปัญหา 188
บทที่ 13 สถิติ 189
§ 50. งานหลัก สถิติทางคณิตศาสตร์.... 189
มาตรา 51 วิธีการสุ่มตัวอย่าง 190
ปัญหา 194
บทที่ 14 เกณฑ์ทางสถิติ 195
มาตรา 52 สมมติฐานทางสถิติ 195
§ 53 ระดับความสำคัญและอำนาจของเกณฑ์ 197
§ 54. เกณฑ์ Neyman-Pearson ที่เหมาะสมที่สุด.... 199
§ 55. เกณฑ์ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปกติและการแจกแจงแบบทวินาม 201
§ 56. เกณฑ์สำหรับการทดสอบสมมติฐานที่ซับซ้อน 2E4
§ 57 เกณฑ์ที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ 206
ปัญหา 211
บทที่ 15 การประมาณค่าพารามิเตอร์ 213
§ 58 การประมาณการทางสถิติและคุณสมบัติ 213
§ 59. กฎหมายการแจกจ่ายแบบมีเงื่อนไข 216
§ 60 สถิติที่เพียงพอ 220
§ 61. ประสิทธิภาพของการประเมิน 223
§ 62 วิธีการหาค่าประมาณ 228
ปัญหา 232
บทที่ 16 ช่วงความมั่นใจ 234
§ 63. การกำหนดช่วงความเชื่อมั่น 234
§ 64. ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับพารามิเตอร์ การกระจายตัวตามปกติ 236
§ 65. ช่วงความมั่นใจสำหรับความน่าจะเป็นที่จะประสบความสำเร็จในโครงการเบอร์นูลลี 240
ปัญหา 244
คำตอบสำหรับปัญหา 245
ตารางการแจกแจงแบบปกติ 251
วรรณกรรม 253
ดัชนีหัวเรื่อง 254
คุณต้องการหาครูสอนพิเศษด้านสถิติทางคณิตศาสตร์ในมอสโกหรือไม่? มี 164 รายการในฐานข้อมูลของเรา!
หากคุณไม่มีเวลาเลือกครูสอนพิเศษสถิติคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง คุณก็สามารถทำได้โดยการดูโปรไฟล์ทั้งหมด เขียนคุณต้องการติวเตอร์แบบไหน และผู้ดูแลระบบ ฟรีจะเลือกตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับคุณ
ครูสอนพิเศษคณิตสถิติ
ครูสอนพิเศษส่วนตัวด้านสถิติทางคณิตศาสตร์ในมอสโก
การฝึกอบรมสำหรับเด็กนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 - 11 นักเรียนและผู้ใหญ่ การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State, OGE การสำเร็จหลักสูตรของโรงเรียนคุณภาพสูง การเตรียมความพร้อมสำหรับโรงเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์และสถานศึกษาชั้นนำทุกแห่ง ช่วยให้นักเรียนเรียนรู้คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง มีชั้นเรียนภาคฤดูร้อน
ชั้นเรียนแบบกลุ่มย่อย (2-4 คน) สามารถทำได้ในราคาที่ต่ำกว่าราคาอย่างเป็นทางการ
ฉันทำงานเพื่อผลลัพธ์ ฉันใช้วิธีการสอนที่นักเรียนมีการพัฒนาตนเองอย่างเต็มที่ ความคิดสร้างสรรค์และ การคิดเชิงตรรกะและสนใจวิชาคณิตศาสตร์ด้วย ฉันทำงานโดยใช้คู่มือและวิธีการพิเศษของตัวเอง (โดยวิธีทดสอบแล้วในทางปฏิบัติ)...
- ค่าเรียน: 1,500 ถู / 60 นาที
- รายการ:
- เมือง:มอสโก
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด: Elektrozavodskaya, เอเวียมอเตอร์นายา
- เยี่ยมชมบ้าน:เลขที่
- สถานะ:ครูโรงเรียน
- การศึกษา:ศึกษาอยู่ที่โรงเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ซึ่งตั้งชื่อตาม A. N. Kolmogorov (ปัจจุบันเป็นศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์ที่ Moscow State University) ในปี 2529-2531 สำเร็จการศึกษาจากคณะฟิสิกส์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก เอ็ม.วี. โลโมโนซอฟ ในปี 1994 ฉันทำงานที่โรงเรียนเป็นครูสอนคณิตศาสตร์มาตั้งแต่ปี 1994...
คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 2-11 ผู้สมัครนักเรียน การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ การเตรียมความพร้อมสำหรับการแข่งขันเศรษฐศาสตร์โอลิมปิกมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ - อุดมศึกษาและ การสอบเข้าที่มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก ช่วยเหลือในทุกส่วนของหลักสูตรของโรงเรียน ประสบการณ์การทำงานในโรงเรียน ให้คำปรึกษาแก่นักศึกษาทุกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง (การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเส้น, เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ เศรษฐมิติ คณิตศาสตร์แยก และอื่นๆ)
- ค่าเรียน: 2,000 ถู / 60 นาที
- รายการ:
- เมือง:มอสโก
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:คุนต์เซฟสกายา
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:อาจารย์มหาวิทยาลัย
- การศึกษา:มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม M. V. Lomonosov (MSU) คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ สำเร็จการศึกษาในปี 2524 ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ ฉันสอนอยู่ที่ State University Higher School of Economics
บริการติวเตอร์วิชาสถิติคณิตศาสตร์
การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State, การสอบ State เตรียมความพร้อมนักเรียนในทุกสาขาวิชาคณิตศาสตร์ ขจัดช่องว่างระหว่างเด็กนักเรียนและนักเรียน การเตรียมความพร้อมผู้สมัครสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่างๆ วิทยาการคอมพิวเตอร์และการเขียนโปรแกรม
- ค่าเรียน: 1,500 ถู / 60 นาที
- รายการ:คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น วิทยาการคอมพิวเตอร์
- เมือง:มอสโก, ครัสโนกอร์สค์
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:เยาวชน, สโตรจิโน
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:ครูเอกชน
- การศึกษา:มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม M.V. Lomonosov คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ สำเร็จการศึกษาในปี 2539
ครูสอนพิเศษรายบุคคลด้านสถิติทางคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์: การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State และ State Examination, พีชคณิต (รวมถึงตรีโกณมิติ, เลขคณิต, ตรรกะทางคณิตศาสตร์), เรขาคณิต (ระนาบ, สเตอริโอเมทรี), การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์ชั้นสูง, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, พีชคณิตเชิงเส้น, คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง และสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ การเตรียมตัวเข้ามหาวิทยาลัย และการสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฟิสิกส์: หลักสูตรของโรงเรียน,การเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State, การสอบ State
ภูมิศาสตร์: หลักสูตรของโรงเรียน, การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State, การสอบของรัฐ
แนวทางสำหรับนักเรียนแต่ละคนเป็นรายบุคคล คุณบอกฉันถึงผลลัพธ์ที่คุณต้องการได้รับจากชั้นเรียนเหล่านี้ แล้วเราจะบรรลุเป้าหมายไปด้วยกัน
วิธีการปฏิบัติตัวต่อนักเรียนแต่ละคน...
- ค่าเรียน: 60 นาที/2,200-2,900 รูเบิล (ขึ้นอยู่กับสถานที่เรียนและระดับการฝึก)
90 นาที/3200 - 4,000 รูเบิล (ขึ้นอยู่กับสถานที่เรียนและระดับการฝึกอบรม)
120 นาที/410... - รายการ:คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ ภูมิศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น
- เมือง:มอสโก, โอดินต์โซโว
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:ครีลัตสโค
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:ครูเอกชน
- การศึกษา:มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม M.V. Lomonosov คณะกลศาสตร์และคณิตศาสตร์ สำเร็จการศึกษาเมื่อปี 2553 คะแนนเฉลี่ย- 4.5 ฉันสำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนด้วยเหรียญรางวัล
ครูสอนพิเศษวิชาสถิติคณิต
เตรียมเด็กนักเรียนให้พร้อมสำหรับการสอบ Unified State และ การสอบภายใน, เพื่อเข้าศึกษาต่อ โรงเรียนต่างประเทศช่วยเหลือนักเรียนในการเติมช่องว่างในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, TFKP, คณิตศาสตร์ขั้นสูง (พีชคณิตเชิงเส้น, เรขาคณิตวิเคราะห์, คณิตศาสตร์ขั้นสูง)
ได้รับการรับรอง ผู้เชี่ยวชาญด้านการสอบ Unified Stateด้านคณิตศาสตร์ ประสบการณ์ 12 ปี ในการเตรียมตัวสอบ Unified State ประสบการณ์การสอนมากกว่า 30 ปี นักเรียนลงทะเบียนเรียนด้วยงบประมาณสำหรับ คณะเศรษฐศาสตร์มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ-คณะเศรษฐศาสตร์ระดับสูง, คณะเศรษฐศาสตร์ มีประสบการณ์ในการเตรียมตัวสอบ GSCE, A-Level ที่ประสบความสำเร็จ
- ค่าเรียน: 60 นาที/2,000 ถู.;
120 นาที/4000ถู.. - รายการ:คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น พีชคณิตเชิงเส้น
- เมือง:มอสโก
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:กิเตย์-โกร็อด, ลูเบียนกา
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:อาจารย์มหาวิทยาลัย
- การศึกษา:อูราล สถาบันการสอน,คณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ สำเร็จการศึกษา พ.ศ. 2525 ประกาศนียบัตรเกียรตินิยม ผู้สมัครสาขาวิชาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ รองศาสตราจารย์ มหาวิทยาลัยของรัฐ.
- ค่าเรียน: 1,500 ถู.-2,000 ถู./60 นาที ขึ้นอยู่กับชั้นเรียน
- รายการ:คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเส้น ทฤษฎีความน่าจะเป็น
- เมือง:มอสโก
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:โนโวกิเรโว
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:ครูโรงเรียน
- การศึกษา:สถาบันสอนการสอน Sverdlovsk พิเศษ: คณิตศาสตร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ สำเร็จการศึกษาในปี 1991
ครูสอนสถิติคณิตศาสตร์ที่มีประสบการณ์
การเตรียมการอย่างมืออาชีพและมีคุณภาพสูงสำหรับ HSE Lyceum เกรด 9 ในปี 2019 งานที่เข้มข้นตามตัวแปรต่างๆ ของการทดสอบที่ครอบคลุม HSE รวมถึงตามงานที่เกี่ยวข้องอย่างเคร่งครัด ตัวเลือกการสอบ- การพัฒนาวิธีการแก้ปัญหาทั้งหมดของการทดสอบที่ซับซ้อนอย่างละเอียด! ลูกศิษย์เตรียมตัวให้ดี!
การจัดระบบความรู้สำหรับเกรด 5 - 11 การปรับปรุงโปรแกรมอย่างมีประสิทธิภาพและสำคัญ (พีชคณิตและเรขาคณิต) รับประกันผลการเรียนที่สูงสม่ำเสมอ (ที่ "4" และ "5") การเตรียมการอย่างละเอียดสำหรับ OGE - 2019 การฝึกอบรมการแก้ปัญหาส่วน I และ II ของตัวแปร OGE...
ครูสอนพิเศษสอนพิเศษสถิติคณิต
เด็กนักเรียนเกรด 5-11 ผู้สมัคร (เตรียมความพร้อมที่ Moscow State University หรือสำหรับงาน C5 และ C6 ในการสอบ Unified State) นักเรียน (ชั้นเรียนใน หลักสูตรทั่วไปคณิตศาสตร์ชั้นสูง: การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์, เรขาคณิตวิเคราะห์, พีชคณิตเชิงเส้น, ทฤษฎีความน่าจะเป็น)
ฉันจัดชั้นเรียนที่ค่อนข้างจริงจังโดยใช้สื่อต้นฉบับและงานที่เลือกเป็นรายบุคคลสำหรับนักเรียนแต่ละคน นอกจากนี้ ฉันวิเคราะห์หมายเลขโอลิมปิกที่ซับซ้อนและ C6 ด้วยการสอบ Unified State
ราคาบทเรียนขั้นต่ำ 90 นาที 3300 ถู
หากกำลังเตรียมตัวที่ Moscow State University หรือสำหรับงาน C5 และ C6 ในการสอบ Unified State - ภายใน 3,800-4,000 รูเบิล
ครูสอนคณิตศาสตร์มืออาชีพ รับประกันคุณภาพงาน แนวทางส่วนบุคคลและการเลือกวิธีการให้นักเรียนแต่ละคน...
- ค่าเรียน: 2,200 ถู / 60 นาที
- รายการ:คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น พีชคณิตเชิงเส้น
- เมือง:มอสโก
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:ชูคินสกายา
- เยี่ยมชมบ้าน:เลขที่
- สถานะ:ครูเอกชน
- การศึกษา:สูงกว่า การศึกษาของครู: คณะคณิตศาสตร์, Moscow State Pedagogical University. สำเร็จการศึกษาเมื่อปี พ.ศ. 2539
เป็นครูสอนพิเศษด้านสถิติคณิตศาตร์
วิชา: คณิตศาสตร์ (โรงเรียนและสูงกว่า, การสอบ OGE และ Unified State), ฟิสิกส์ (โรงเรียน, การสอบ OGE และ Unified State), ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติทางคณิตศาสตร์, คณิตศาสตร์เชิงผสม
เด็กนักเรียนผู้สมัครนักเรียน การเตรียมความพร้อมสำหรับมหาวิทยาลัยใด ๆ , การสอบ Unified State, โอลิมปิก วิชา: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตเชิงเส้น เรขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติทางคณิตศาสตร์ กระบวนการสุ่ม
ครู หลักสูตรเตรียมความพร้อมไปมหาวิทยาลัย
- ค่าเรียน:อัตราของฉันที่บ้านใน Dolgoprudny คือ 3,000 รูเบิล/60 นาที ในสถานที่สำหรับนักเรียน - 3,700 รูเบิล/60 นาที , การเรียนทางไกล (Skype) - 2,700 RUR/60 นาที
- รายการ:คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
- เมือง:มอสโก, โลบนเนีย, โดลโกปรุดนี, ดมิทรอฟ
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด: Altufyevo สถานีแม่น้ำ
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:อาจารย์มหาวิทยาลัย
- การศึกษา:มอสโก สถาบันฟิสิกส์และเทคโนโลยี(MIPT) คณะการจัดการและคณิตศาสตร์ประยุกต์ วิทยาศาสตร์เทคนิค, ชื่อทางวิชาการ"นักวิจัยอาวุโส" รองศาสตราจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง MIPT...
ครูสอนพิเศษที่มีประสบการณ์ด้านสถิติทางคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์และฟิสิกส์สำหรับนักเรียนมัธยมต้นและมัธยมปลาย นักเรียน ผู้ใหญ่ การเตรียมตัวสอบ Unified State และ Unified State Exam ชั้นเรียนสำหรับผู้สมัครเข้ามหาวิทยาลัย บทเรียนแบบตัวต่อตัว- มีประสิทธิภาพมากที่สุด รับประกันประสบการณ์การสอนที่กว้างขวาง การศึกษาที่ประสบความสำเร็จคำถามที่ยากที่สุด
- ค่าเรียน:คณิตศาสตร์และฟิสิกส์: 90 นาที/900 รูเบิล สำหรับเด็กนักเรียน
นักเรียนและผู้ใหญ่ 90 นาที/1200 ถู - รายการ:คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์
- เมือง:มอสโก, ซูคอฟสกี้, ซูคอฟสกี้, ซูคอฟสกี้, ซูคอฟสกี้
- สถานีรถไฟใต้ดินที่ใกล้ที่สุด:โคเทลนิกิ, วิคิโน
- เยี่ยมชมบ้าน:เป็นไปได้
- สถานะ:ครูเอกชน
- การศึกษา:มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโกตั้งชื่อตาม M.V. Lomonosov คณะฟิสิกส์ ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะฟิสิกส์, 1976. สถาบันผู้ประกอบการแห่งรัสเซีย, 2537
กระทรวง สหพันธรัฐรัสเซียเกี่ยวกับการสื่อสารและข้อมูล
มหาวิทยาลัยโทรคมนาคมและสารสนเทศแห่งรัฐไซบีเรีย
เอ็น. ไอ. เชอร์โนวา
คณิตศาสตร์
สถิติ
โนโวซีบีสค์
รองศาสตราจารย์ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ N.I. Chernova สถิติทางคณิตศาสตร์: ตำราเรียน / SibGUTI - Novosibirsk, 2009. - 90 p.
หนังสือเรียนประกอบด้วยหลักสูตรบรรยายหกเดือนเกี่ยวกับสถิติทางคณิตศาสตร์สำหรับนักศึกษาสาขาเศรษฐศาสตร์เฉพาะทาง หนังสือเรียนเป็นไปตามข้อกำหนดของมาตรฐานการศึกษาของรัฐสำหรับวิชาชีพ โปรแกรมการศึกษาพิเศษ 080116 - "วิธีทางคณิตศาสตร์ทางเศรษฐศาสตร์"
ตารางแผนก IMBP 7 ภาพวาด - 9 รายการวรรณกรรม - 8 ชื่อ
ผู้ตรวจสอบ: A. P. Kovalevsky, Ph.D. ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ รองศาสตราจารย์ภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของ NSTU V. I. Lotov ปริญญาเอกสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตรจารย์ภาควิชา
ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ NSU
สำหรับวิชาพิเศษ 080116 - “วิธีทางคณิตศาสตร์ทางเศรษฐศาสตร์”
ได้รับการอนุมัติจากกองบรรณาธิการและสำนักพิมพ์ SibGUTI ให้เป็นสื่อการสอน
c มหาวิทยาลัยแห่งรัฐไซบีเรีย
โทรคมนาคมและสารสนเทศศาสตร์, 2552
คำนำ. - - - - - - - - - | ||
I. แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ - - - - - - - | ||
ปัญหาทางสถิติทางคณิตศาสตร์ . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
การสุ่มตัวอย่าง - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - | ||
ลักษณะที่เลือก. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
คุณสมบัติของฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์ - - - - - - - - | ||
§ 5. คุณสมบัติของโมเมนต์ตัวอย่าง. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
§ 6. ฮิสโตแกรมเป็นการประมาณความหนาแน่น. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
§ 7. คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
บทที่สอง การประมาณจุด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 1. การประมาณจุดและคุณสมบัติของพวกเขา. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 2. วิธีการของช่วงเวลา. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
คุณสมบัติของวิธีประมาณค่าโมเมนต์. . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
วิธีความน่าจะเป็นสูงสุด - - - - - - - - - - - - - - | |||
ภาวะปกติเชิงซีมโทติคของการประมาณค่า - - - - - - - - - - - - - | |||
คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
การเปรียบเทียบการให้คะแนน. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
วิธีรูตค่าเฉลี่ยกำลังสองเพื่อเปรียบเทียบการประมาณค่า - - - - - - - - | |||
ความไม่เท่าเทียมกันเรา-แครมเมอร์. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
IV. การประมาณช่วง. . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
ช่วงความมั่นใจ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
หลักการสร้างช่วงความเชื่อมั่น - - - - - - - | |||
คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |||
การแจกแจงที่เกี่ยวข้องกับปกติ - - - - - - - - - | |||
ขั้นพื้นฐาน การแจกแจงทางสถิติ. . . . . . . . . . . . . . | |||
การเปลี่ยนแปลงตัวอย่างปกติ - - - - - - - - - - - - - - | |||
ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับการแจกแจงแบบปกติ - - | |||
§ 1. สมมติฐานและเกณฑ์. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
§ 2. คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
บทที่เจ็ด เกณฑ์การยินยอม. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 1. มุมมองทั่วไปเกณฑ์ข้อตกลง. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
§ 2. ทดสอบสมมติฐานง่ายๆ เกี่ยวกับพารามิเตอร์. . . . . . . . . . . . . . 53
§ 3. เกณฑ์การทดสอบสมมติฐานการแจกแจง. . . . . . . . 56
§ 4. เกณฑ์สำหรับการทดสอบสมมติฐานเชิงพารามิเตอร์ - - - - - - - 59
§ 5. เกณฑ์การตรวจสอบความเป็นเนื้อเดียวกัน. . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 6. χ 2 เกณฑ์ในการตรวจสอบความเป็นอิสระ - - - - - - - - - - - - 70
§ 7. คำถามและแบบฝึกหัด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
§ 2. วิธีความน่าจะเป็นสูงสุด. . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 3. วิธีกำลังสองน้อยที่สุด. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
คำนำ
บทช่วยสอนประกอบด้วย หลักสูตรเต็มการบรรยายเกี่ยวกับสถิติทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนที่กำลังศึกษาในวิชา “วิธีทางคณิตศาสตร์ทางเศรษฐศาสตร์” เฉพาะทางที่มหาวิทยาลัยโทรคมนาคมและสารสนเทศแห่งรัฐไซบีเรีย เนื้อหาหลักสูตรมีความสอดคล้องอย่างสมบูรณ์ มาตรฐานการศึกษาการฝึกอบรมระดับปริญญาตรีในสาขาพิเศษที่กำหนด
หลักสูตรสถิติทางคณิตศาสตร์สร้างขึ้นจากหลักสูตรระยะยาวภาคการศึกษาในทฤษฎีความน่าจะเป็นและเป็นพื้นฐานสำหรับหลักสูตรเศรษฐมิติตลอดทั้งปี ผลจากการเรียนวิชานี้นักศึกษาควรเชี่ยวชาญ วิธีการทางคณิตศาสตร์วิจัย รุ่นต่างๆสถิติทางคณิตศาสตร์
หลักสูตรประกอบด้วยแปดบท บทแรกเป็นบทหลักสำหรับการทำความเข้าใจเนื้อหา แนะนำผู้อ่านให้รู้จักกับแนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ บทที่สองกล่าวถึงวิธีการประมาณค่าจุดของพารามิเตอร์การแจกแจงที่ไม่รู้จัก: โมเมนต์และความน่าจะเป็นสูงสุด
บทที่สามพิจารณาการเปรียบเทียบการประมาณค่าในความหมายรากกำลังสองเฉลี่ย นอกจากนี้ ยังมีการศึกษาความไม่เท่าเทียมกันของ Rao-Cramer เพื่อตรวจสอบประสิทธิภาพของการประมาณค่า
บทที่สี่กล่าวถึงการประมาณค่าพารามิเตอร์ช่วงเวลา ซึ่งจะสิ้นสุดในบทถัดไปด้วยการสร้างช่วงเวลาสำหรับพารามิเตอร์การแจกแจงแบบปกติ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะมีการแจกแจงทางสถิติแบบพิเศษ ซึ่งจะนำไปใช้ในการทดสอบความพอดีในบทที่แปด บทที่หกให้แนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นของทฤษฎีการทดสอบสมมติฐาน ดังนั้นผู้อ่านควรศึกษาอย่างระมัดระวัง
ท้ายที่สุด บทที่เจ็ดและแปดแสดงรายการเกณฑ์การยินยอมที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติ บทที่เก้ากล่าวถึง โมเดลที่เรียบง่ายและวิธีการ การวิเคราะห์การถดถอยและคุณสมบัติหลักของการประมาณการที่ได้รับได้รับการพิสูจน์แล้ว
เกือบทุกบทจะลงท้ายด้วยรายการแบบฝึกหัดตามเนื้อหาในบท ภาคผนวกประกอบด้วยตารางที่มีรายการคุณสมบัติหลักของการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องอย่างแน่นอนตารางของการแจกแจงทางสถิติพื้นฐาน
คำนำ |
มีดัชนีหัวเรื่องโดยละเอียดอยู่ท้ายเล่ม บรรณานุกรมประกอบด้วยหนังสือเรียนที่สามารถใช้เพื่อเสริมรายวิชาและรวบรวมปัญหาสำหรับการฝึกปฏิบัติ
การเรียงลำดับย่อหน้าในแต่ละบทจะแยกจากกัน สูตร ตัวอย่าง ข้อความ ฯลฯ มีการกำหนดหมายเลขต่อเนื่องกัน เมื่อกล่าวถึงวัตถุจากบทอื่น หมายเลขหน้าที่มีวัตถุนั้นจะถูกระบุเพื่อความสะดวกของผู้อ่าน เมื่ออ้างอิงถึงวัตถุจากบทเดียวกัน จะให้เฉพาะตัวเลขของสูตร ตัวอย่าง ข้อความสั่งเท่านั้น ส่วนท้ายของหลักฐานมีสัญลักษณ์กำกับไว้
บทที่ 1
แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์
สถิติทางคณิตศาสตร์ขึ้นอยู่กับวิธีของทฤษฎีความน่าจะเป็น แต่สามารถแก้ปัญหาอื่นๆ ได้ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่มด้วย ได้รับการแจกจ่ายหรือการทดลองสุ่มซึ่งทราบคุณสมบัติทั้งหมด แต่ความรู้เกี่ยวกับการแจกแจงในการทดลองเชิงปฏิบัติมาจากไหน? เช่น ความน่าจะเป็นเท่าใดที่ตราแผ่นดินปรากฏบนเหรียญที่กำหนด? เพื่อระบุความน่าจะเป็นนี้ เราสามารถโยนเหรียญได้หลายครั้ง แต่ไม่ว่าในกรณีใดจะต้องทำการสรุปตามผลลัพธ์ จำนวนจำกัดการสังเกต ดังนั้น เมื่อสังเกตเสื้อคลุมแขน 5,035 อันหลังจากการโยนเหรียญ 10,000 เหรียญ ไม่มีใครสามารถสรุปได้อย่างแม่นยำเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่เสื้อคลุมแขนจะถูกทิ้ง แม้ว่าความน่าจะเป็นนี้จะแตกต่างจาก 0.5 เสื้อคลุมแขนก็สามารถปรากฏได้ 5,035 ครั้ง การสรุปที่แม่นยำเกี่ยวกับการกระจายสามารถทำได้เฉพาะเมื่อมีการทดสอบจำนวนไม่สิ้นสุดเท่านั้น ซึ่งเป็นไปไม่ได้ สถิติทางคณิตศาสตร์ช่วยให้สามารถสรุปที่แม่นยำมากขึ้นหรือน้อยลงเกี่ยวกับการแจกแจงของตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ในการทดลองเหล่านี้ โดยขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการทดลองจำนวนจำกัด
§ 1. ปัญหาสถิติทางคณิตศาสตร์
สมมติว่าเราทำการทดลองสุ่มแบบเดิมซ้ำใน เงื่อนไขเดียวกัน- ผลจากการทดลองซ้ำแต่ละครั้ง จะมีการสังเกตชุดข้อมูลบางชุด (ตัวเลขหรืออย่างอื่น)
สิ่งนี้ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้
1. หากสังเกตตัวแปรสุ่มหนึ่งตัว จะทำข้อสรุปที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการแจกแจงของมันจากชุดของค่าในการทดลองหลายครั้งได้อย่างไร
2. หากสังเกตการปรากฏตัวของสัญญาณตั้งแต่สองสัญญาณขึ้นไป สิ่งที่สามารถพูดเกี่ยวกับประเภทและความแรงของการพึ่งพาตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้?
มักจะเป็นไปได้ที่จะตั้งสมมติฐานบางประการเกี่ยวกับการกระจายตัวที่สังเกตได้หรือคุณสมบัติของมัน ในกรณีนี้ ตามข้อมูลการทดลอง จำเป็นต้องยืนยันหรือหักล้างสมมติฐานเหล่านี้ (“สมมติฐาน”) ต้องจำไว้ว่าคำตอบ "ใช่" หรือ "ไม่" จะต้องได้รับด้วยความมั่นใจในระดับหนึ่งเท่านั้น และยิ่งเราทำการทดลองต่อไปได้นานเท่าไร ข้อสรุปก็จะยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น บางครั้งอาจยืนยันความพร้อมได้ล่วงหน้า
8 บทที่ 1 แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์
คุณสมบัติบางอย่างของการทดลองที่สังเกตได้ - ตัวอย่างเช่น เกี่ยวกับ การพึ่งพาการทำงานระหว่างปริมาณที่สังเกตได้ เกี่ยวกับความเป็นปกติของการกระจาย เกี่ยวกับความสมมาตร เกี่ยวกับความหนาแน่นในการแจกแจง หรือเกี่ยวกับธรรมชาติที่ไม่ต่อเนื่อง เป็นต้น
ดังนั้น สถิติทางคณิตศาสตร์จะใช้ได้ในกรณีที่มีการทดลองแบบสุ่ม ซึ่งไม่ทราบคุณสมบัติบางส่วนหรือทั้งหมด และในกรณีที่เราสามารถทำซ้ำการทดลองนี้ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันเป็นจำนวนครั้ง (หรือดีกว่าก็ได้)
ผลการทดลองอาจเป็นเชิงปริมาณหรือ ลักษณะเชิงคุณภาพ- ตัวอย่างเช่น สามารถเพิ่มผลลัพธ์เชิงปริมาณได้ ดังนั้นลักษณะที่มีความหมายประการหนึ่งคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของการสังเกต การรวมผลลัพธ์เชิงคุณภาพเข้าด้วยกันไม่สมเหตุสมผลแม้ว่าจะสามารถแสดงออกมาได้ก็ตาม รูปแบบตัวเลข- สมมุติว่าเดือนเกิดของผู้ถูกร้องเป็นเดือนเชิงคุณภาพไม่ใช่ การสังเกตเชิงปริมาณ: แม้ว่าจะสามารถระบุเป็นตัวเลขได้ แต่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลขเหล่านี้ก็มีข้อมูลที่สมเหตุสมผลมากเท่ากับข้อความที่บอกว่าคนทั่วไปเกิดระหว่างเดือนมิถุนายนถึงกรกฎาคม
ในบทแรกเราจะศึกษาการทำงานด้วย ผลลัพธ์เชิงปริมาณการสังเกต
§ 2. การสุ่มตัวอย่าง
ให้ ξ : Ω → R เป็นตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้จากการทดลองสุ่ม เมื่อทำการทดลองนี้ n ครั้งภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน เราจะได้ตัวเลข X1, X2, . - - , Xn - ค่าของตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ในการทดลองครั้งแรก ครั้งที่สอง ฯลฯ ตัวแปรสุ่ม ξ มีการแจกแจง F บางส่วนซึ่งเราไม่ทราบบางส่วนหรือทั้งหมด
เรามาดูเซต X = (X1, . . . , Xn) ที่เรียกว่าตัวอย่างกันดีกว่า
ในชุดการทดลองที่ได้ดำเนินการไปแล้ว ตัวอย่างคือชุดตัวเลข แต่ก่อนที่จะทำการทดลอง ควรพิจารณาว่าตัวอย่างเป็นชุดของตัวแปรสุ่ม (อิสระและกระจายในลักษณะเดียวกับ ξ) อันที่จริงก่อนที่จะทำการทดลองเราไม่สามารถบอกได้ว่าองค์ประกอบตัวอย่างจะใช้ค่าใด: ค่าเหล่านี้จะเป็นค่าบางส่วนของตัวแปรสุ่ม ξ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะพิจารณาว่าก่อนการทดลอง Xi เป็นตัวแปรสุ่ม ซึ่งมีการกระจายเหมือนกันกับ ξ และหลังการทดลอง มันคือตัวเลขที่เราสังเกตเห็นในการทดลองครั้งที่ i นั่นคือ หนึ่งในนั้น ค่าที่เป็นไปได้ตัวแปรสุ่ม Xi
คำจำกัดความ 1. ตัวอย่าง X = (X1, . . . , Xn) ของปริมาตร n จากการแจกแจง F คือเซตของตัวแปรสุ่มอิสระและแบบกระจายเหมือนกัน n ตัวที่มีการแจกแจง F
รายการที่เลือกมักจะถูกแปลงเพื่อให้ทำงานกับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ได้ง่ายขึ้น ไม่ว่าจะเรียงลำดับหรือจัดกลุ่ม
ถ้าองค์ประกอบตัวอย่างคือ X1, . - - , Xn จะถูกเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก และได้รับชุดของตัวแปรสุ่มใหม่ที่เรียกว่า อนุกรมของรูปแบบ:
X(1) 6 X(2) 6 . - - 6 X(n−1) 6 X(n) .
ที่นี่ X(1) = นาที(X1 , . . . , Xn ), X(n) = สูงสุด(X1 , . . . , Xn ) องค์ประกอบ X(k) เรียกว่าพจน์ที่ k ซีรีย์การเปลี่ยนแปลงหรือสถิติลำดับที่ k
เมื่อจัดกลุ่มข้อมูล คุณจะเลือกกลุ่มค่าองค์ประกอบตัวอย่างหลายกลุ่ม นับจำนวนองค์ประกอบในแต่ละกลุ่ม จากนั้นจัดการกับชุดข้อมูลใหม่นี้เท่านั้น ทั้งการจัดกลุ่มและการจัดลำดับข้อมูลจะละทิ้งข้อมูลบางส่วนที่มีอยู่ในตัวอย่าง
หน้าที่ของสถิติทางคณิตศาสตร์คือการหาข้อสรุปจากตัวอย่างเกี่ยวกับการแจกแจงที่ไม่รู้จัก F ที่ใช้ดึงข้อมูลนั้นมา การแจกแจงมีลักษณะเป็นฟังก์ชันการกระจาย ความหนาแน่น หรือตาราง ซึ่งเป็นชุดคุณลักษณะเชิงตัวเลข: E ξ = E X1, Dξ = D X1, Eξ k = E X1 k เมื่อใช้ตัวอย่าง คุณจะต้องสามารถสร้างการประมาณสำหรับคุณลักษณะเหล่านี้ทั้งหมดได้ การประมาณดังกล่าวเรียกว่าการประมาณค่า คำว่า "การประเมิน" ไม่เกี่ยวข้องกับความไม่เท่าเทียมกัน การประมาณค่าสำหรับคุณลักษณะการแจกแจงที่ไม่รู้จักบางอย่างคือตัวแปรสุ่มที่สร้างจากตัวอย่าง ซึ่งในแง่หนึ่งเป็นการประมาณลักษณะการแจกแจงที่ไม่ทราบนี้
ตัวอย่างที่ 1 ทอยลูกเต๋าหกด้าน 100 ครั้ง ใบหน้าแรกหลุดออกไป 25 ครั้ง ครั้งที่สองและห้า - 14 ครั้งต่อครั้ง ครั้งที่สาม - 21 ครั้ง ครั้งที่สี่ - 15 ครั้ง ครั้งที่หก - 11 ครั้ง เรากำลังจัดการกับตัวอย่างตัวเลขซึ่งเพื่อความสะดวกจะจัดกลุ่มตามจำนวนคะแนนที่ดึงออกมา
จากผลการทดลองเหล่านี้ ไม่สามารถระบุความน่าจะเป็น p1, ได้ - - , p6 สูญเสียขอบ เราบอกได้เพียงว่าได้รับค่าประมาณเชิงตัวเลขสำหรับความน่าจะเป็นเหล่านี้: 0.25 สำหรับ p1, 0.14 สำหรับ p2 และสำหรับ p5 เป็นต้น
แม้จะไม่ได้ทำการทดลองดังกล่าว เราก็สามารถบอกล่วงหน้าได้ว่าการประมาณความน่าจะเป็นที่ไม่ทราบค่า p1 จะเป็นตัวแปรสุ่ม
และการประมาณความน่าจะเป็น p2 จะเป็นตัวแปรสุ่ม
ในชุดการทดลองนี้ ตัวแปรสุ่มเหล่านี้ใช้ค่า 0.25 และ 0.14 ตามลำดับ ในอีกซีรีส์หนึ่งความหมายจะเปลี่ยนไป
บทที่ 1 แนวคิดพื้นฐานของสถิติทางคณิตศาสตร์ |
§ 3. คุณสมบัติที่เลือก
จากทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เรารู้ การรักษาแบบสากลสำหรับการคำนวณโดยประมาณของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด: กฎแห่งจำนวนมาก กฎข้อนี้รับประกันว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคำศัพท์ที่เป็นอิสระและมีการกระจายเหมือนกันในบางแง่จะเข้าใกล้ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของคำศัพท์ทั่วไป (แน่นอนว่า หากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นี้มีอยู่จริง)
ดังนั้น ในการประมาณ (ประมาณ) สำหรับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ทราบ E X1 คุณสามารถใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตขององค์ประกอบตัวอย่างทั้งหมดได้: ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง
X1 + . - - +Xn | ||||||||||||||||||||||||||
โมเมนต์ที่ k ตัวอย่างเหมาะสมสำหรับการประมาณค่า E X1 k | ||||||||||||||||||||||||||
X1 k + . - - + Xn เค | ||||||||||||||||||||||||||
ซี ก = | ||||||||||||||||||||||||||
และเป็นการประมาณค่าความแปรปรวน D X1 = E (X1 − E X1 )2 = E X1 2 − (E X1 )2 |
||||||||||||||||||||||||||
ใช้ความแปรปรวนตัวอย่าง | ||||||||||||||||||||||||||
S2 = n 1 | (Xi - X)2 = X2 - X | |||||||||||||||||||||||||
โดยทั่วไปแล้วค่า | ||||||||||||||||||||||||||
ก.(X1) + . - - + ก(Xn) | ||||||||||||||||||||||||||
ก.(Xi) = | ||||||||||||||||||||||||||
สามารถใช้ประมาณค่าของ E g(X1 ) ได้
ในทำนองเดียวกัน กฎจำนวนมากของเบอร์นูลลีช่วยให้เราสามารถประมาณความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันได้ เช่น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (X1< 3} можно заменить на долю การทดสอบที่ประสบความสำเร็จในรูปแบบแบร์นูลลี: ถ้าสำหรับแต่ละองค์ประกอบของตัวอย่างเหตุการณ์ (Xi< 3}, то доля успехов
p = ปริมาณ Xi< 3n
จะมาบรรจบกัน (ในความน่าจะเป็น) กับความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จ P(X1< 3). Оценивать неизвестную функцию распределения F (y) = P(X1 < y) мож-
แต่ใช้ฟังก์ชันการกระจายเชิงประจักษ์