พื้นที่ของรูปตามอินทิกรัล เครื่องคิดเลขออนไลน์ คำนวณอินทิกรัลแน่นอน (พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง)

อินทิกรัลที่แน่นอน วิธีการคำนวณพื้นที่ของรูป

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไปที่สุด – วิธีใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในการคำนวณพื้นที่ของรูประนาบ- สุดท้ายนี้ ผู้ที่กำลังมองหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูง ขอให้พวกเขาค้นพบมัน คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

1) ทำความเข้าใจอินทิกรัลไม่ จำกัด อย่างน้อยในระดับกลาง ดังนั้นหุ่นควรอ่านบทเรียนก่อน ไม่.

ที่จริงแล้ว เพื่อที่จะหาพื้นที่ของรูป คุณไม่จำเป็นต้องมีความรู้เรื่องอินทิกรัลไม่แน่นอนและอินทิกรัลจำกัดมากนัก งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นเร่งด่วนมากขึ้น ในเรื่องนี้ จะมีประโยชน์ในการรีเฟรชหน่วยความจำกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานพื้นฐาน และอย่างน้อยที่สุดก็สามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้ สิ่งนี้สามารถทำได้ (สำหรับหลาย ๆ คนจำเป็น) ด้วยความช่วยเหลือของสื่อระเบียบวิธีและบทความเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตของกราฟ

จริงๆ แล้ว ทุกคนคุ้นเคยกับภารกิจในการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนมาตั้งแต่สมัยเรียน และเราจะไม่ไปไกลกว่าหลักสูตรของโรงเรียนมากนัก บทความนี้อาจไม่มีอยู่เลย แต่ความจริงก็คือปัญหาเกิดขึ้นใน 99 กรณีจาก 100 กรณี เมื่อนักเรียนคนหนึ่งต้องทนทุกข์ทรมานจากโรงเรียนที่เกลียดชังและเชี่ยวชาญหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับสูงอย่างกระตือรือร้น

เนื้อหาในการประชุมเชิงปฏิบัติการนี้นำเสนออย่างเรียบง่าย มีรายละเอียด และมีทฤษฎีขั้นต่ำ

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน

สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยแกน เส้นตรง และกราฟของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่งซึ่งไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในช่วงเวลานี้ ให้รูปนี้ตั้งอยู่ ไม่ต่ำกว่าแกน x:

แล้ว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน- อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในชั้นเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหาผมบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA.

นั่นคือ อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) จะสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต- ตัวอย่างเช่น พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต อินทิกรัลกำหนดเส้นโค้งบนระนาบที่อยู่เหนือแกน (ผู้ที่ต้องการวาดภาพได้) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดแรกและสำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการสร้างภาพวาด- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว– พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ การสร้างกราฟของฟังก์ชันจะทำกำไรได้มากกว่า จุดต่อจุดสามารถดูเทคนิคการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้
มาวาดรูปกัน (โปรดทราบว่าสมการกำหนดแกน):

ฉันจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง เห็นได้ชัดว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

กราฟของฟังก์ชันจะอยู่ในส่วนนี้ เหนือแกนนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ:

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา.

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , และแกน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาเหรอ?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้นและพิกัดแกน

สารละลาย: มาวาดรูปกันเถอะ:

หากมีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา(หรืออย่างน้อย ไม่สูงกว่าแกนที่กำหนด) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:
ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

1) หากคุณถูกขอให้แก้แค่อินทิกรัลจำกัดจำนวนโดยไม่มีความหมายทางเรขาคณิต ค่านั้นอาจเป็นค่าลบ

2) หากคุณถูกขอให้ค้นหาพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต พื้นที่นั้นจะเป็นบวกเสมอ! นั่นคือสาเหตุที่เครื่องหมายลบปรากฏในสูตรที่เพิ่งกล่าวถึง

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง ดังนั้น จากปัญหาที่ง่ายที่สุดของโรงเรียน เราจึงไปยังตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้น

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

สารละลาย: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จก่อน โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรงกัน ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการรวมคือ ขีดจำกัดบนของการรวมคือ
หากเป็นไปได้ จะเป็นการดีกว่าที่จะไม่ใช้วิธีนี้.

การสร้างบรรทัดทีละจุดจะทำกำไรได้มากกว่าและรวดเร็วกว่ามาก และขีดจำกัดของการรวมระบบก็ชัดเจน "ด้วยตัวเอง" เทคนิคการสร้างกราฟแบบจุดต่อจุดจะมีการกล่าวถึงโดยละเอียดในความช่วยเหลือ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) และเราจะพิจารณาตัวอย่างดังกล่าวด้วย

กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ฉันขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักจะถูกค้นพบ "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน: หากมีฟังก์ชันต่อเนื่องในส่วนนั้น มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง จากนั้นพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้และเส้น , , สามารถพบได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดว่ารูปนั้นอยู่ที่ตำแหน่งใดอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกน และพูดคร่าวๆ แล้ว มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง
ในส่วนตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

ที่จริงแล้ว สูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างง่ายๆ หมายเลข 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร - เนื่องจากสมการระบุแกนและกราฟของฟังก์ชันจึงอยู่ ไม่สูงกว่าขวานแล้ว

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น , .

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบบริเวณที่ผิดรูปนี่เป็นวิธีที่คนรับใช้ผู้ต่ำต้อยของคุณทำผิดพลาดหลายครั้ง นี่คือกรณีชีวิตจริง:

ตัวอย่างที่ 7

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , , , .

สารละลาย: ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

...เอ๊ะ ภาพวาดออกมาห่วย แต่ทุกอย่างดูเหมือนจะอ่านออก

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจมักมี "ความผิดพลาด" เกิดขึ้นโดยคุณต้องค้นหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์ในการคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟเป็นเส้นตรง

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกนจะมีกราฟของไฮเปอร์โบลา

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

เรามาดูงานที่มีความหมายอื่นกันดีกว่า

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น
นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน" และวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาดชัดเจนว่าขีดจำกัดบนของเรานั้น “ดี”: .
แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร? อาจจะ ? แต่ที่รับประกันว่าการวาดแบบจะแม่นยำสมบูรณ์แบบกลับกลายเป็นว่า... หรือราก. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ในกรณีเช่นนี้ คุณต้องใช้เวลาเพิ่มเติมและชี้แจงขีดจำกัดของการผสานรวมเชิงวิเคราะห์

ลองหาจุดตัดของเส้นตรงและพาราโบลากัน
เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

,

จริงหรือ, .

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและเครื่องหมาย การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน เรามาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

สารละลาย: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ให้ตายเถอะ ฉันลืมเซ็นกำหนดการ และขอโทษด้วย ฉันไม่ต้องการทำภาพซ้ำ ไม่ใช่วันจับฉลาก สรุปคือ วันนี้คือวัน =)

สำหรับการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ (และโดยทั่วไปจะมีประโยชน์ที่จะทราบ กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด) เช่นเดียวกับค่าไซน์บางค่า สามารถพบได้ใน ตารางตรีโกณมิติ- ในบางกรณี (เช่นในกรณีนี้) เป็นไปได้ที่จะสร้างแผนผังซึ่งควรแสดงกราฟและขีดจำกัดของการรวมอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการรวมที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง: "x" เปลี่ยนจากศูนย์เป็น "pi" มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนนั้น กราฟของฟังก์ชันจะอยู่เหนือแกน ดังนั้น:

เราเริ่มพิจารณากระบวนการจริงในการคำนวณอินทิกรัลสองเท่าและทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของมัน

อินทิกรัลคู่เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของรูประนาบ (ขอบเขตของปริพันธ์) นี่เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของอินทิกรัลคู่ เมื่อฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวมีค่าเท่ากับหนึ่ง:

อันดับแรก มาดูปัญหาในรูปแบบทั่วไปกันก่อน ตอนนี้คุณจะประหลาดใจมากที่ทุกอย่างเรียบง่ายจริงๆ! ลองคำนวณพื้นที่ของรูปทรงแบนที่ล้อมรอบด้วยเส้น เพื่อความชัดเจน เราถือว่าในส่วนนั้น พื้นที่ของรูปนี้เท่ากับตัวเลข:

ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

เรามาเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่:

ดังนั้น:

และเทคนิคทางเทคนิคที่สำคัญทันที: อินทิกรัลแบบวนซ้ำสามารถคำนวณแยกกันได้- ขั้นแรกอินทิกรัลด้านใน จากนั้นอินทิกรัลภายนอก ฉันขอแนะนำวิธีนี้ให้กับผู้เริ่มต้นในวิชานี้

1) มาคำนวณอินทิกรัลภายในแล้วทำการอินทิเกรตกับตัวแปร "y":

อินทิกรัลไม่กำหนดตรงนี้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุด จากนั้นจึงใช้สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซซ้ำๆ โดยมีข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือ ขีดจำกัดของการรวมไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน- ขั้นแรก เราแทนที่ขีดจำกัดบนลงใน “y” (ฟังก์ชันต้านอนุพันธ์) จากนั้นแทนที่ขีดจำกัดล่าง

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในย่อหน้าแรกจะต้องถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

การแสดงโซลูชันทั้งหมดที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นมีลักษณะดังนี้:

สูตรผลลัพธ์ที่ได้ เป็นสูตรการทำงานในการคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต "ธรรมดา" อย่างแน่นอน! ดูบทเรียน การคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตเธออยู่ที่นั่นทุกย่างก้าว!

นั่นคือ ปัญหาการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลสองเท่า ไม่แตกต่างกันมากนักจากปัญหาการหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต!อันที่จริงมันก็เป็นสิ่งเดียวกัน!

ดังนั้นจึงไม่ควรเกิดปัญหาใด ๆ เกิดขึ้น! ฉันจะไม่ดูตัวอย่างมากนักเนื่องจากในความเป็นจริงคุณต้องเผชิญกับงานนี้ซ้ำแล้วซ้ำเล่า

ตัวอย่างที่ 9

สารละลาย:ลองพรรณนาพื้นที่ในรูปวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ฉันจะไม่ขอกล่าวถึงวิธีสำรวจพื้นที่นี้อีกต่อไป เนื่องจากมีคำอธิบายโดยละเอียดอยู่ในย่อหน้าแรก

ดังนั้น:

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้ว เป็นการดีกว่าสำหรับผู้เริ่มต้นในการคำนวณอินทิกรัลแบบวนซ้ำแยกกัน และฉันจะยึดวิธีเดิม:

1) ขั้นแรก โดยใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

2) ผลลัพธ์ที่ได้รับในขั้นตอนแรกจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลภายนอก:

จุดที่ 2 คือการหาพื้นที่ของรูประนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

คำตอบ:

นี่เป็นงานที่โง่และไร้เดียงสา

ตัวอย่างที่น่าสนใจสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 10

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น , ,

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

ในตัวอย่างที่ 9-10 จะมีประโยชน์มากกว่ามากหากใช้วิธีการแรกในการสำรวจพื้นที่ อย่างไรก็ตาม ผู้อ่านที่อยากรู้อยากเห็นสามารถเปลี่ยนลำดับการสำรวจและคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีที่สองได้ หากคุณไม่ทำผิดพลาด คุณจะได้รับค่าพื้นที่เท่ากันโดยธรรมชาติ

แต่ในบางกรณี วิธีที่สองในการสำรวจพื้นที่นั้นมีประสิทธิภาพมากกว่า และเมื่อจบหลักสูตรของเด็กเนิร์ดแล้ว เรามาดูตัวอย่างเพิ่มเติมในหัวข้อนี้กัน:

ตัวอย่างที่ 11

ใช้อินทิกรัลคู่คำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

สารละลาย:เรากำลังรอคอยพาราโบลาสองอันที่มีมุมแหลมอยู่ข้างๆ ไม่จำเป็นต้องยิ้ม สิ่งที่คล้ายกันมักเกิดขึ้นบ่อยครั้งในปริพันธ์หลายรายการ

วิธีที่ง่ายที่สุดในการวาดภาพคืออะไร?

ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชัน:
– สาขาบนและ – สาขาล่าง

ในทำนองเดียวกัน ลองจินตนาการถึงพาราโบลาที่อยู่ในรูปบนและล่าง สาขา

ต่อไปคือการวางแผนกฎกราฟแบบ point-wise ส่งผลให้เกิดตัวเลขที่แปลกประหลาดนี้:

เราคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลสองเท่าตามสูตร:

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเลือกวิธีแรกในการสำรวจพื้นที่? ประการแรก พื้นที่นี้จะต้องแบ่งออกเป็นสองส่วน และประการที่สอง เราจะสังเกตเห็นภาพที่น่าเศร้านี้: - แน่นอนว่าอินทิกรัลไม่ได้อยู่ในระดับที่ซับซ้อนมากนัก แต่... มีคำพูดทางคณิตศาสตร์เก่าๆ ที่ว่า ผู้ที่อยู่ใกล้รากเหง้าของตัวเองไม่จำเป็นต้องมีการทดสอบ

ดังนั้น จากความเข้าใจผิดที่ให้ไว้ในเงื่อนไข เราจึงแสดงฟังก์ชันผกผันได้:

ฟังก์ชันผกผันในตัวอย่างนี้มีข้อได้เปรียบตรงที่สามารถระบุพาราโบลาทั้งหมดในคราวเดียวโดยไม่มีใบ ลูกโอ๊ก กิ่งก้าน และรากใดๆ เลย

ตามวิธีที่ 2 การเคลื่อนที่ผ่านพื้นที่จะเป็นดังนี้

ดังนั้น:

อย่างที่พวกเขาพูดรู้สึกถึงความแตกต่าง

1) เราจัดการกับอินทิกรัลภายใน:

เราแทนที่ผลลัพธ์เป็นอินทิกรัลภายนอก:

การบูรณาการเหนือตัวแปร “y” ไม่ควรทำให้เกิดความสับสน หากมีตัวอักษร “zy” การบูรณาการเข้ากับตัวแปรดังกล่าวจะดีมาก แม้ว่าผู้ที่อ่านบทเรียนย่อหน้าที่สอง วิธีการคำนวณปริมาตรของตัวการปฏิวัติเขาไม่ประสบกับความอึดอัดใจแม้แต่น้อยกับการบูรณาการตามวิธี "Y" อีกต่อไป

ให้ความสนใจกับขั้นตอนแรกด้วย: อินทิแกรนด์เป็นเลขคู่ และช่วงของอินทิเกรตมีความสมมาตรประมาณศูนย์ ดังนั้นส่วนสามารถลดลงครึ่งหนึ่งและผลลัพธ์สามารถเพิ่มเป็นสองเท่าได้ เทคนิคนี้มีความคิดเห็นโดยละเอียดในบทเรียน วิธีที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต.

จะเพิ่มอะไร... ทั้งหมด!

คำตอบ:

หากต้องการทดสอบเทคนิคการรวมระบบ คุณสามารถลองคำนวณได้ - คำตอบควรจะเหมือนกันทุกประการ

ตัวอย่างที่ 12

ใช้อินทิกรัลคู่เพื่อคำนวณพื้นที่ของรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าหากคุณพยายามใช้วิธีแรกในการสำรวจพื้นที่ ตัวเลขจะไม่ต้องแบ่งออกเป็นสองอีกต่อไป แต่แบ่งออกเป็นสามส่วน! และด้วยเหตุนี้ เราได้อินทิกรัลซ้ำสามคู่ สิ่งนี้ก็เกิดขึ้นเช่นกัน

คลาสมาสเตอร์สิ้นสุดลงแล้ว และถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่ระดับมาสเตอร์คลาส - วิธีการคำนวณอินทิกรัลสองเท่า? ตัวอย่างการแก้ปัญหา- ฉันจะพยายามไม่คลั่งไคล้ในบทความที่สอง =)

ฉันขอให้คุณประสบความสำเร็จ!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2:สารละลาย: ลองพรรณนาถึงพื้นที่ บนภาพวาด:

ให้เราเลือกลำดับการเคลื่อนที่ของพื้นที่ดังต่อไปนี้:

ดังนั้น:
มาดูฟังก์ชันผกผันกันดีกว่า:

ดังนั้น:
คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 4:สารละลาย: มาดูฟังก์ชั่นโดยตรงกันดีกว่า:

มาวาดรูปกันเถอะ:

มาเปลี่ยนลำดับการเคลื่อนที่ในพื้นที่กัน:

คำตอบ:

มาดูการประยุกต์ใช้แคลคูลัสอินทิกรัลกันต่อ ในบทนี้ เราจะวิเคราะห์งานทั่วไปและงานทั่วไปที่สุด การคำนวณพื้นที่ของรูปเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต- สุดท้ายนี้ ให้ทุกคนที่แสวงหาความหมายในคณิตศาสตร์ชั้นสูงค้นพบมัน คุณไม่มีทางรู้ ในชีวิตจริง คุณจะต้องประมาณพล็อตเดชาโดยใช้ฟังก์ชันพื้นฐาน และค้นหาพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวน

หากต้องการเชี่ยวชาญเนื้อหาให้สำเร็จ คุณต้อง:

2) สามารถใช้สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซและคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตได้ คุณสามารถสร้างความสัมพันธ์ฉันมิตรอันอบอุ่นกับอินทิกรัลบางอย่างบนเพจได้ อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา. งาน “คำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัด” มักจะเกี่ยวข้องกับการสร้างภาพวาดเสมอดังนั้นความรู้และทักษะการวาดภาพของคุณจะเป็นประเด็นที่เกี่ยวข้องเช่นกัน อย่างน้อยที่สุด คุณจะต้องสามารถสร้างเส้นตรง พาราโบลา และไฮเปอร์โบลาได้

เริ่มจากสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งกันก่อน สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นรูปแบนที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ย = ฉ(x) แกน วัวและเส้น x = ก; x = ข.

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเป็นตัวเลขเท่ากับอินทิกรัลที่แน่นอน

อินทิกรัลจำกัดจำนวนใดๆ (ที่มีอยู่) มีความหมายทางเรขาคณิตที่ดีมาก ในชั้นเรียน อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหาเราบอกว่าอินทิกรัลจำกัดจำนวนคือตัวเลข และตอนนี้ก็ถึงเวลาที่จะกล่าวถึงข้อเท็จจริงที่เป็นประโยชน์อีกประการหนึ่ง จากมุมมองของเรขาคณิต อินทิกรัลจำกัดเขตคือ AREA- นั่นคือ อินทิกรัลที่แน่นอน (ถ้ามี) จะสอดคล้องกับพื้นที่ของรูปใดรูปหนึ่งทางเรขาคณิต- พิจารณาอินทิกรัลจำกัดเขต

ปริพันธ์

กำหนดเส้นโค้งบนระนาบ (สามารถวาดได้หากต้องการ) และอินทิกรัลที่แน่นอนนั้นมีค่าเท่ากับตัวเลขกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 1

, , , .

นี่คือคำสั่งมอบหมายงานทั่วไป จุดที่สำคัญที่สุดในการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง- นอกจากนี้จะต้องสร้างแบบเขียนแบบด้วย ขวา.

เมื่อสร้างภาพวาดฉันขอแนะนำลำดับต่อไปนี้: ตอนแรกจะดีกว่าถ้าสร้างเส้นตรงทั้งหมด (ถ้ามี) และเท่านั้น แล้ว– พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา กราฟของฟังก์ชันอื่นๆ เทคนิคการก่อสร้างแบบจุดต่อจุดสามารถพบได้ในเอกสารอ้างอิง กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น- ที่นั่นคุณยังสามารถค้นหาสื่อที่มีประโยชน์มากสำหรับบทเรียนของเรา - วิธีสร้างพาราโบลาอย่างรวดเร็ว

ในปัญหานี้ วิธีแก้ไขอาจมีลักษณะเช่นนี้

มาวาดรูปกันดีกว่า (โปรดสังเกตว่าสมการ ย= 0 ระบุแกน วัว):

เราจะไม่แรเงาสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตรงนี้ชัดเจนว่าเรากำลังพูดถึงบริเวณใด การแก้ปัญหายังคงดำเนินต่อไปเช่นนี้:

ในส่วน [-2; 1] กราฟฟังก์ชัน ย = x 2 + 2 ตั้งอยู่ เหนือแกนวัวนั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: .

ใครมีปัญหาในการคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขตและประยุกต์สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

อ้างถึงการบรรยาย อินทิกรัลที่แน่นอน ตัวอย่างการแก้ปัญหา- หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด "ด้วยตา" - จะมีประมาณ 9 เซลล์ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

ตัวอย่างที่ 2

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น เอ็กซ์ซี = 4, x = 2, x= 4 และแกน วัว.

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลาวัว?

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = อดีต, x= 1 และแกนพิกัด

วิธีแก้ปัญหา: มาวาดรูปกันเถอะ:

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ วัว จากนั้นสามารถหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

ในกรณีนี้:

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

ตัวอย่างที่ 4

หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น ย = 2x – x 2 , ย = -x.

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูป เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน ย = 2x – x 2 และตรง ย = -x- ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์ เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก= 0 ขีดจำกัดบนของการรวม ข= 3. มักจะสร้างผลกำไรได้มากกว่าและเร็วกว่าในการสร้างบรรทัดทีละจุด และขีดจำกัดของการบูรณาการจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล) กลับมาที่งานของเราดีกว่า การสร้างเส้นตรงก่อนแล้วจึงสร้างพาราโบลาจะมีเหตุผลมากกว่า มาวาดรูปกันเถอะ:

ขอย้ำอีกครั้งว่าเมื่อสร้างตามจุด ขีดจำกัดของการบูรณาการมักถูกกำหนด "โดยอัตโนมัติ"

และตอนนี้สูตรการทำงาน:

หากอยู่ในส่วน [ ก; ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x) มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชั่นต่อเนื่องบางอย่าง ก(x) จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร:

ที่นี่คุณไม่จำเป็นต้องคิดถึงตำแหน่งของรูปอีกต่อไป - เหนือแกนหรือใต้แกนอีกต่อไป มันสำคัญว่ากราฟไหนสูงกว่า(สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และอันไหนอยู่ด้านล่าง.

ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าบนส่วนพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรง ดังนั้นจาก 2 x – x 2 ต้องถูกลบ – x.

โซลูชันที่สมบูรณ์อาจมีลักษณะดังนี้:

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลา ย = 2x – x 2 ด้านบนและตรง ย = -xด้านล่าง.

บนส่วนที่ 2 x – x 2 ≥ -x- ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ: .

ที่จริงแล้วสูตรของโรงเรียนสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งในระนาบครึ่งล่าง (ดูตัวอย่างที่ 3) เป็นกรณีพิเศษของสูตร

เพราะว่าแกน วัวกำหนดโดยสมการ ย= 0 และกราฟของฟังก์ชัน ก(x) ซึ่งอยู่ใต้แกน วัว, ที่

และตอนนี้มีตัวอย่างบางส่วนสำหรับโซลูชันของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 5

ตัวอย่างที่ 6

หาพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

เมื่อแก้ไขปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต บางครั้งเหตุการณ์ตลกๆ ก็เกิดขึ้น วาดถูก คำนวณถูก แต่เนื่องจากความประมาท... พบพื้นที่ผิดรูป

ตัวอย่างที่ 7

ก่อนอื่นมาวาดรูปกันก่อน:

รูปที่เราต้องค้นหาพื้นที่จะเป็นสีน้ำเงิน(ดูสภาพให้ดี - ของมีจำนวนจำกัดแค่ไหน!) แต่ในทางปฏิบัติเนื่องจากการไม่ตั้งใจผู้คนมักตัดสินใจว่าจำเป็นต้องหาพื้นที่ของร่างที่แรเงาเป็นสีเขียว!

ตัวอย่างนี้ยังมีประโยชน์เนื่องจากจะคำนวณพื้นที่ของรูปโดยใช้อินทิกรัลจำกัดจำนวนสองตัว จริงหรือ:

1) ในส่วน [-1; 1] เหนือแกน วัวกราฟจะอยู่ตรง ย = x+1;

2) บนส่วนที่อยู่เหนือแกน วัวกราฟของไฮเปอร์โบลาตั้งอยู่ ย = (2/x).

เห็นได้ชัดว่าสามารถ (และควร) เพิ่มพื้นที่ได้ ดังนั้น:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

นำเสนอสมการในรูปแบบ "โรงเรียน"

และทำการวาดภาพแบบจุดต่อจุด:

จากรูปวาด เห็นได้ชัดว่าขีดจำกัดบนของเราคือ “ดี”: ข = 1.

แต่ขีดจำกัดล่างคืออะไรล่ะ! เห็นได้ชัดว่านี่ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่คืออะไร?

อาจจะ, ก=(-1/3)? แต่การรับประกันว่าการวาดภาพนั้นทำขึ้นด้วยความแม่นยำสมบูรณ์แบบอยู่ที่ไหนก็อาจกลายเป็นอย่างนั้นได้ ก=(-1/4) =(-1/4) จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราสร้างกราฟไม่ถูกต้อง?

ลองหาจุดตัดกันของกราฟกัน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจะแก้สมการ:

เพราะฉะนั้น, ก=(-1/3).

วิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นไม่สำคัญ สิ่งสำคัญคืออย่าสับสนในการทดแทนและสัญญาณ การคำนวณที่นี่ไม่ใช่วิธีที่ง่ายที่สุด บนส่วน

, ,

ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

เพื่อสรุปบทเรียน มาดูงานที่ยากอีกสองงานกัน

ตัวอย่างที่ 9

คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น

วิธีแก้ไข: ลองพรรณนารูปนี้ในภาพวาด

ในการสร้างภาพวาดแบบจุดต่อจุด คุณจำเป็นต้องทราบลักษณะของไซนัสอยด์ โดยทั่วไป การรู้กราฟของฟังก์ชันพื้นฐานทั้งหมด รวมถึงค่าไซน์บางค่าจะเป็นประโยชน์ สามารถพบได้ในตารางค่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- ในบางกรณี (เช่น ในกรณีนี้) สามารถสร้างแผนผังได้ ซึ่งกราฟและขีดจำกัดของการรวมควรแสดงอย่างถูกต้องโดยพื้นฐาน

ไม่มีปัญหากับข้อจำกัดของการบูรณาการที่นี่ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขโดยตรง:

– “x” เปลี่ยนจากศูนย์เป็น “pi” มาตัดสินใจเพิ่มเติมกัน:

ในส่วนของกราฟของฟังก์ชัน ย= บาป 3 xซึ่งอยู่เหนือแกน วัวนั่นเป็นเหตุผล:

(1) คุณจะเห็นว่าไซน์และโคไซน์รวมเข้ากับเลขยกกำลังคี่ได้อย่างไรในบทเรียน ปริพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เราบีบไซนัสหนึ่งอัน

(2) เราใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักในรูปแบบ

(3) มาเปลี่ยนตัวแปรกัน ที=คอส xดังนั้น: อยู่เหนือแกน ดังนั้น:

บันทึก:สังเกตว่าอินทิกรัลของแทนเจนต์กำลังสามถูกนำมาใช้อย่างไร ข้อพิสูจน์ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ที่นี่

ปัญหาที่ 1(เกี่ยวกับการคำนวณพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง)

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน xOy จะได้รูป (ดูรูป) ที่ล้อมรอบด้วยแกน x เส้นตรง x = a, x = b (รูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง
สารละลาย.เรขาคณิตให้สูตรในการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมและบางส่วนของวงกลม (เซกเตอร์, เซกเมนต์) เมื่อใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต เราสามารถหาค่าโดยประมาณของพื้นที่ที่ต้องการได้เท่านั้น โดยให้เหตุผลดังนี้

มาแบ่งส่วนกัน [a; b] (ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง) ออกเป็น n ส่วนเท่า ๆ กัน; พาร์ติชันนี้ดำเนินการโดยใช้คะแนน x 1, x 2, ... x k, ... x n-1 ให้เราวาดเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ขนานกับแกน y จากนั้น สี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดจะถูกแบ่งออกเป็น n ส่วน ออกเป็นคอลัมน์แคบๆ n คอลัมน์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูทั้งหมดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของคอลัมน์

ให้เราพิจารณาคอลัมน์ที่ k แยกกันนั่นคือ สี่เหลี่ยมคางหมูโค้งซึ่งมีฐานเป็นส่วน ลองแทนที่ด้วยสี่เหลี่ยมที่มีฐานและความสูงเท่ากันกับ f(x k) (ดูรูป) พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับ $f(x_k) \cdot \Delta x_k $ โดยที่ $\Delta x_k $ คือความยาวของส่วน; เป็นเรื่องปกติที่จะต้องพิจารณาผลลัพธ์ที่ได้ว่าเป็นค่าโดยประมาณของพื้นที่ของคอลัมน์ k

หากเราทำแบบเดียวกันกับคอลัมน์อื่นๆ ทั้งหมด เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ พื้นที่ S ของสี่เหลี่ยมคางหมูส่วนโค้งที่กำหนดนั้นมีค่าประมาณเท่ากับพื้นที่ S n ของรูปขั้นบันไดที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม n รูป (ดูรูป):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
ในที่นี้ เพื่อความสม่ำเสมอของสัญกรณ์ เราถือว่า a = x 0, b = xn; $\Delta x_0 $ - ความยาวของส่วน $\Delta x_1 $ - ความยาวของส่วน ฯลฯ ในกรณีนี้ ตามที่เราตกลงกันข้างต้น $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

ดังนั้น $S \ประมาณ S_n $ และความเท่าเทียมกันโดยประมาณนี้มีความแม่นยำมากกว่า ยิ่ง n ยิ่งมาก
ตามคำจำกัดความเชื่อกันว่าพื้นที่ที่ต้องการของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่ากับขีด จำกัด ของลำดับ (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

ปัญหาที่ 2(เกี่ยวกับการย้ายจุด)
จุดวัสดุเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง การขึ้นอยู่กับความเร็วตรงเวลาแสดงโดยสูตร v = v(t) ค้นหาการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง [a; ข]
สารละลาย.หากการเคลื่อนไหวสม่ำเสมอ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขอย่างง่ายดาย: s = vt เช่น s = โวลต์(บี-เอ) สำหรับการเคลื่อนไหวที่ไม่สม่ำเสมอ คุณต้องใช้แนวคิดเดียวกันกับที่ใช้แก้ไขปัญหาเดิม
1) แบ่งช่วงเวลา [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน
2) พิจารณาช่วงระยะเวลาหนึ่งและสมมุติว่าในช่วงเวลานี้ความเร็วคงที่เท่ากับเวลา t k ดังนั้นเราจึงถือว่า v = v(t k)
3) ลองหาค่าโดยประมาณของการเคลื่อนที่ของจุดในช่วงเวลาหนึ่ง เราจะเขียนค่าโดยประมาณนี้เป็น sk
$s_k = v(t_k) \เดลต้า t_k $
4) ค้นหาค่าประมาณของการกระจัด:
$s \ประมาณ S_n $ โดยที่
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) การกระจัดที่ต้องการเท่ากับขีดจำกัดของลำดับ (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

มาสรุปกัน การแก้ปัญหาต่าง ๆ ลดลงเหลือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ปัญหามากมายจากสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ นำไปสู่รูปแบบเดียวกันในกระบวนการแก้ไข ซึ่งหมายความว่าจะต้องศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์นี้เป็นพิเศษ

แนวคิดของอินทิกรัลจำกัดเขต

ขอให้เราให้คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของแบบจำลองที่สร้างขึ้นในสามปัญหาที่พิจารณาสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่อง (แต่ไม่จำเป็นต้องไม่เป็นลบ ดังที่สมมติไว้ในปัญหาที่พิจารณา) ในช่วงเวลา [a; ข]:
1) แยกส่วน [a; b] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน;
2) สร้างผลรวม $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) คำนวณ $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

ในระหว่างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าขีดจำกัดนี้มีอยู่ในกรณีของฟังก์ชันต่อเนื่อง (หรือต่อเนื่องเป็นชิ้น) พวกเขาเรียกเขาว่า อินทิกรัลหนึ่งของฟังก์ชัน y = f(x) ส่วน [a; ข]และแสดงไว้ดังนี้:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
ตัวเลข a และ b เรียกว่าขีดจำกัดของการอินทิเกรต (ล่างและบน ตามลำดับ)

กลับไปที่งานที่กล่าวถึงข้างต้น คำจำกัดความของพื้นที่ที่กำหนดในปัญหาที่ 1 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx $
โดยที่ S คือพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งที่แสดงในรูปด้านบน นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิกรัลจำกัดเขต

นิยามของการกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b ตามที่ให้ไว้ในปัญหาที่ 2 สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้

สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ

ก่อนอื่น มาตอบคำถามกันก่อนว่า อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลจำกัดจำนวนกับแอนติเดริเวทีฟ?

คำตอบสามารถพบได้ในปัญหาที่ 2 ในด้านหนึ่ง การกระจัด s ของจุดที่เคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว v = v(t) ตลอดระยะเวลาตั้งแต่ t = a ถึง t = b คำนวณโดย สูตร
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt $

ในทางกลับกัน พิกัดของจุดที่เคลื่อนที่เป็นแอนติเดริเวทีฟสำหรับความเร็ว ลองแสดงว่ามันเป็น s(t); นี่หมายความว่าการกระจัด s แสดงได้ด้วยสูตร s = s(b) - s(a) เป็นผลให้เราได้รับ:
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
โดยที่ s(t) คือแอนติเดริเวทีฟของ v(t)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ทฤษฎีบท. ถ้าฟังก์ชัน y = f(x) ต่อเนื่องกันในช่วง [a; b] ดังนั้นสูตรจึงใช้ได้
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
โดยที่ F(x) คือแอนติเดริเวทีฟของ f(x)

โดยปกติแล้วสูตรที่กำหนดจะเรียกว่า สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซเพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ Isaac Newton (1643-1727) และนักปรัชญาชาวเยอรมัน Gottfried Leibniz (1646-1716) ซึ่งได้รับมันอย่างเป็นอิสระจากกันและเกือบจะพร้อมกัน

ในทางปฏิบัติ แทนที่จะเขียนว่า F(b) - F(a) จะใช้สัญลักษณ์ $\left. F(x)\right|_a^b $ (บางครั้งเรียกว่า การทดแทนสองครั้ง) และเขียนสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซใหม่ในรูปแบบนี้:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

เมื่อคำนวณอินทิกรัลจำกัดเขต ให้หาแอนติเดริเวทีฟก่อน แล้วจึงทำการแทนสองครั้ง

จากสูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ เราจะได้คุณสมบัติของอินทิกรัลจำกัดเขตสองรายการ

คุณสมบัติ 1.อินทิกรัลของผลรวมของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมของอินทิกรัล:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

คุณสมบัติ 2.ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัลได้:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเครื่องบินโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

เมื่อใช้อินทิกรัล คุณสามารถคำนวณพื้นที่ไม่เพียงแต่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงรูปร่างเครื่องบินประเภทที่ซับซ้อนมากขึ้นด้วย ตัวอย่างเช่น ที่แสดงในรูป รูป P ถูกจำกัดด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง y = f(x), y = g(x) และบนเซกเมนต์ [a; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ ถืออยู่ ในการคำนวณพื้นที่ S ของรูปดังกล่าว เราจะดำเนินการดังนี้:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

ดังนั้น พื้นที่ S ของรูปที่ล้อมรอบด้วยเส้นตรง x = a, x = b และกราฟของฟังก์ชัน y = f(x), y = g(x) ต่อเนื่องกันบนเซ็กเมนต์ และเช่นนั้นสำหรับ x ใดๆ จากเซ็กเมนต์ [เป็น; b] ความไม่เท่าเทียมกัน $g(x) \leq f(x) $ เป็นที่พอใจ คำนวณโดยสูตร
$S = \int\ขีดจำกัด_a^b (f(x)-g(x))dx $

ตารางอินทิกรัลไม่ จำกัด (แอนติเดริเวทีฟ) ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +ค \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(อาร์คซิน) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

ก)

สารละลาย.

จุดแรกและสำคัญที่สุดของการตัดสินใจคือการสร้างแบบร่าง.

มาวาดรูปกันเถอะ:

สมการ ย=0 ตั้งค่าแกน "x";

- x=-2 และ x=1 - ตรงขนานกับแกน โอ้;

- y=x 2 +2 - พาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น โดยมีจุดยอดอยู่ที่จุด (0;2)

ความคิดเห็นในการสร้างพาราโบลา ก็เพียงพอที่จะหาจุดตัดกับแกนพิกัดแล้ว เช่น วาง x=0 หาจุดตัดกับแกน โอ้ และแก้สมการกำลังสองที่สอดคล้องกัน หาจุดตัดกับแกน โอ้ .

จุดยอดของพาราโบลาหาได้จากสูตร:

คุณสามารถสร้างเส้นทีละจุดได้

ในช่วงเวลา [-2;1] กราฟของฟังก์ชัน y=x 2 +2 ตั้งอยู่ เหนือแกน วัว นั่นเป็นเหตุผล:

คำตอบ: ส =9 ตร.หน่วย

หลังจากงานเสร็จสิ้น จะเป็นประโยชน์เสมอที่จะดูภาพวาดและพิจารณาว่าคำตอบนั้นเป็นเรื่องจริงหรือไม่ ในกรณีนี้ "ด้วยตา" เรานับจำนวนเซลล์ในภาพวาด - จะมีประมาณ 9 ดูเหมือนว่าจะเป็นจริง ชัดเจนอย่างยิ่งว่าหากเราได้รับคำตอบ: 20 ตารางหน่วยก็เห็นได้ชัดว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นที่ไหนสักแห่ง - เห็นได้ชัดว่า 20 เซลล์ไม่พอดีกับตัวเลขที่เป็นปัญหา อย่างน้อยที่สุดก็หนึ่งโหล หากคำตอบเป็นลบ แสดงว่างานนั้นได้รับการแก้ไขอย่างไม่ถูกต้องเช่นกัน

จะทำอย่างไรถ้ามีรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้งอยู่ ใต้เพลา โอ้?

ข)คำนวณพื้นที่ของภาพที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=-อี x , x=1 และประสานแกน

สารละลาย.

มาวาดรูปกันเถอะ

ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง ตั้งอยู่ใต้แกนโดยสมบูรณ์ โอ้ , จากนั้นหาพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

คำตอบ: ส=(อี-1) ตร.หน่วย" 1.72 ตร.หน่วย

ความสนใจ! ไม่ควรสับสนงานทั้งสองประเภท:

ในทางปฏิบัติ ตัวเลขส่วนใหญ่มักจะอยู่ในระนาบครึ่งบนและล่าง

กับ)หาพื้นที่ของรูปเครื่องบินที่ล้อมรอบด้วยเส้น y=2x-x 2, y=-x

สารละลาย.

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปให้เสร็จ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อสร้างภาพวาดในปัญหาพื้นที่ เราจะสนใจจุดตัดกันของเส้นมากที่สุด ลองหาจุดตัดของพาราโบลากัน และตรง ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี วิธีแรกคือการวิเคราะห์

เราแก้สมการ:

ซึ่งหมายความว่าขีดจำกัดล่างของการบูรณาการ ก=0 , ขีดจำกัดบนของการบูรณาการ ข=3 .

เราสร้างเส้นที่กำหนด: 1. พาราโบลา - จุดยอดที่จุด (1;1); จุดตัดแกน โอ้ -คะแนน (0;0) และ (0;2) 2. เส้นตรง - เส้นแบ่งครึ่งของมุมพิกัดที่ 2 และ 4 และตอนนี้ โปรดทราบ! หากอยู่ในส่วน [ ก;ข] ฟังก์ชันต่อเนื่องบางอย่าง ฉ(x)มากกว่าหรือเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องบางฟังก์ชัน ก.(เอ็กซ์)จากนั้นสามารถหาพื้นที่ของรูปที่เกี่ยวข้องได้โดยใช้สูตร: .

และไม่สำคัญว่ารูปนั้นจะอยู่ที่ตำแหน่งใด - เหนือแกนหรือใต้แกน แต่สิ่งสำคัญคือกราฟใดสูงกว่า (สัมพันธ์กับกราฟอื่น) และกราฟใดอยู่ด้านล่าง ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่เหนือเส้นตรงบนส่วน ดังนั้น จึงจำเป็นต้องลบออกจาก

คุณสามารถสร้างเส้นทีละจุด และขีดจำกัดของการผสานรวมจะชัดเจน "ด้วยตัวเอง" อย่างไรก็ตาม บางครั้งยังต้องใช้วิธีการวิเคราะห์ในการค้นหาขีดจำกัด ตัวอย่างเช่น กราฟมีขนาดใหญ่เพียงพอ หรือโครงสร้างโดยละเอียดไม่ได้เปิดเผยขีดจำกัดของการอินทิเกรต (อาจเป็นแบบเศษส่วนหรือไม่มีเหตุผล)

รูปที่ต้องการถูกจำกัดด้วยพาราโบลาด้านบนและเส้นตรงด้านล่าง

บนส่วน ตามสูตรที่สอดคล้องกัน:

คำตอบ: ส =4.5 ตร.หน่วย