ไซน์เป็นหนึ่งในฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน ซึ่งไม่จำกัดเพียงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียว ตารางสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม ไม่ได้มีอยู่ในมือเสมอไป และบางครั้งการคำนวณไซน์ก็จำเป็นต้องแก้ งานต่างๆ- โดยทั่วไป การคำนวณไซน์จะช่วยรวบรวมทักษะการวาดภาพและความรู้เกี่ยวกับอัตลักษณ์ตรีโกณมิติ

เกมที่มีไม้บรรทัดและดินสอ

งานง่ายๆ: จะหาไซน์ของมุมที่วาดบนกระดาษได้อย่างไร? ในการแก้ปัญหา คุณจะต้องใช้ไม้บรรทัดธรรมดา สามเหลี่ยม (หรือเข็มทิศ) และดินสอ วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณไซน์ของมุมคือการหารขาไกลของสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากด้วยด้านยาว - ด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นก่อนอื่นคุณต้องทำมุมแหลมให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยวาดเส้นตั้งฉากกับรังสีเส้นใดเส้นหนึ่งที่ระยะห่างจากจุดยอดของมุมโดยพลการ เราจะต้องรักษามุมไว้ที่ 90° ซึ่งเราต้องการรูปสามเหลี่ยมสำหรับนักบวช

การใช้เข็มทิศจะแม่นยำกว่าเล็กน้อย แต่จะใช้เวลานานกว่า ในรังสีใดรังสีหนึ่งคุณต้องทำเครื่องหมาย 2 จุดในระยะห่างที่กำหนด ให้ปรับรัศมีบนเข็มทิศโดยประมาณ เท่ากับระยะทางระหว่างจุดต่างๆ แล้ววาดครึ่งวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเหล่านี้จนกระทั่งได้จุดตัดกันของเส้นเหล่านี้ เมื่อเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลมเข้าด้วยกัน เราจะได้เส้นตั้งฉากที่เข้มงวดกับรังสีในมุมของเรา สิ่งที่เหลืออยู่คือการขยายเส้นตรงจนกระทั่งมันตัดกับรังสีอื่น

ในรูปสามเหลี่ยมที่ได้ คุณต้องใช้ไม้บรรทัดวัดด้านตรงข้ามมุมและด้านยาวของรังสีเส้นใดเส้นหนึ่ง อัตราส่วนของมิติแรกต่อวินาทีจะเป็นค่าไซน์ที่ต้องการ มุมแหลม.

ค้นหาไซน์ของมุมที่มากกว่า 90°

สำหรับ มุมป้านงานไม่ได้ยากอีกต่อไป คุณต้องวาดรังสีจากจุดยอดถึง ฝั่งตรงข้ามใช้ไม้บรรทัดสร้างเส้นตรงโดยมีรังสีมุมใดมุมหนึ่งที่เราสนใจ มุมแหลมที่เกิดขึ้นควรได้รับการปฏิบัติตามที่อธิบายไว้ข้างต้น ไซน์ มุมที่อยู่ติดกันเมื่อประกอบกันเป็นมุมกลับกัน 180° จะเท่ากัน

การคำนวณไซน์โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

นอกจากนี้การคำนวณไซน์ยังเป็นไปได้หากทราบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ของมุมหรืออย่างน้อยก็ความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม อัตลักษณ์ตรีโกณมิติจะช่วยเราในเรื่องนี้ ลองดูตัวอย่างทั่วไป

จะหาไซน์ด้วยโคไซน์ของมุมที่ทราบได้อย่างไร? อัตลักษณ์ตรีโกณมิติประการแรกตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ระบุว่าผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ที่มีมุมเดียวกันมีค่าเท่ากับหนึ่ง

จะหาไซน์ด้วยแทนเจนต์ของมุมที่ทราบได้อย่างไร? แทนเจนต์ได้มาจากการหารด้านไกลด้วยด้านใกล้หรือหารไซน์ด้วยโคไซน์ ดังนั้น ไซน์จะเป็นผลคูณของโคไซน์และแทนเจนต์ และกำลังสองของไซน์จะเป็นกำลังสองของผลคูณนี้ เราแทนที่โคไซน์กำลังสองด้วยผลต่างระหว่างหนึ่งกับไซน์กำลังสองตามค่าแรก เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและด้วยการปรับเปลี่ยนอย่างง่าย ๆ เราจึงลดสมการลงเป็นการคำนวณไซน์กำลังสองผ่านแทนเจนต์ ดังนั้นในการคำนวณไซน์คุณจะต้องแยกรากของผลลัพธ์ที่ได้รับ

จะหาไซน์ด้วยโคแทนเจนต์ของมุมที่รู้จักได้อย่างไร? ค่าของโคแทนเจนต์สามารถคำนวณได้โดยการหารความยาวของขาที่ใกล้กับมุมมากที่สุดด้วยความยาวของอันไกล และโดยการหารโคไซน์ด้วยไซน์ นั่นคือโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชัน ส่วนกลับของแทนเจนต์สัมพันธ์กับหมายเลข 1 ในการคำนวณไซน์คุณสามารถคำนวณแทนเจนต์ได้โดยใช้สูตร tg α = 1 / ctg α และใช้สูตรในตัวเลือกที่สอง คุณยังสามารถหาสูตรโดยตรงได้โดยการเปรียบเทียบกับแทนเจนต์ซึ่งจะมีลักษณะดังนี้ ดังต่อไปนี้.

วิธีหาไซน์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

มีสูตรในการค้นหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักของสามเหลี่ยมใดๆ จากสองด้าน ไม่ใช่แค่ด้านสี่เหลี่ยมเท่านั้น ฝ่ายที่รู้จักโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของโคไซน์ของมุมตรงข้าม เธอมีลักษณะเช่นนี้

ไซน์สามารถคำนวณเพิ่มเติมจากโคไซน์ตามสูตรด้านบน

บทเรียนในหัวข้อ “ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉาก”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

ทางการศึกษา - แนะนำแนวคิดของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สำรวจการขึ้นต่อกันและความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณเหล่านี้

การพัฒนา - การก่อตัวของแนวคิดของไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์เป็นฟังก์ชันของมุม, โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ, การพัฒนา การคิดเชิงตรรกะการพัฒนาคำพูดทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง

การศึกษา – การพัฒนาทักษะการทำงานอิสระ วัฒนธรรมพฤติกรรม ความแม่นยำในการจดบันทึก

ความคืบหน้าของบทเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

“การศึกษาไม่ใช่จำนวนบทเรียนที่เรียน แต่เป็นจำนวนความเข้าใจ ดังนั้นถ้าคุณต้องการก้าวไปข้างหน้าก็รีบๆและระวังด้วย”

2. แรงจูงใจในบทเรียน

ปราชญ์ผู้หนึ่งกล่าวว่า “ การสำแดงอย่างสูงสุดวิญญาณคือจิตใจ การแสดงเหตุผลสูงสุดคือเรขาคณิต เซลล์เรขาคณิตเป็นรูปสามเหลี่ยม มันไม่สิ้นสุดเหมือนกับจักรวาล วงกลมคือจิตวิญญาณของเรขาคณิต รู้จักวงกลม และไม่เพียงแต่จะรู้จักจิตวิญญาณของเรขาคณิตเท่านั้น แต่คุณยังจะยกระดับจิตวิญญาณของคุณอีกด้วย”

เราจะพยายามทำวิจัยร่วมกับคุณเล็กน้อย มาแบ่งปันความคิดของคุณที่เข้ามาในใจของคุณ และอย่ากลัวที่จะทำผิดพลาด ความคิดใดๆ ก็สามารถกำหนดทิศทางใหม่ในการค้นหาให้กับเราได้ ความสำเร็จของเราอาจดูไม่ยิ่งใหญ่สำหรับใครซักคน แต่ความสำเร็จนั้นจะเป็นความสำเร็จของเราเอง!

3. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

มีมุมอะไรบ้าง?

สามเหลี่ยมคืออะไร?

องค์ประกอบหลักที่กำหนดรูปสามเหลี่ยมคืออะไร?

สามเหลี่ยมมีกี่ประเภทขึ้นอยู่กับด้านข้าง?

สามเหลี่ยมมีกี่ประเภทขึ้นอยู่กับมุม?

ขาคืออะไร?

ด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร?

ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากเรียกว่าอะไร?

คุณรู้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมนี้อย่างไร

ทำไมคุณต้องรู้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุม?

งานอะไรในชีวิตที่อาจนำไปสู่ความจำเป็นในการคำนวณ ฝ่ายที่ไม่รู้จักในรูปสามเหลี่ยมเหรอ?

คำว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" มาจาก คำภาษากรีก"hypoinouse" หมายถึง "ยืดออกเหนือบางสิ่งบางอย่าง" "หดตัว" คำนี้มีต้นกำเนิดมาจากภาพของพิณกรีกโบราณซึ่งมีสายขึงที่ปลายขาตั้งสองอันตั้งฉากกัน คำว่า "cathetus" มาจากคำภาษากรีก "kathetos" ซึ่งหมายถึงจุดเริ่มต้นของ "เส้นลูกดิ่ง" "ตั้งฉาก"

Euclid กล่าวว่า “ขาเป็นด้านที่ล้อมรอบมุมฉาก”

ใน กรีกโบราณวิธีสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากบนพื้นเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ในการทำเช่นนี้พวกเขาใช้เชือกผูก 13 นอตในระยะห่างเท่ากัน ในระหว่างการก่อสร้างปิรามิดในอียิปต์ สามเหลี่ยมมุมฉากถูกสร้างขึ้นในลักษณะนี้ นี่อาจเป็นเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน 3,4,5 สามเหลี่ยมอียิปต์.

4. ศึกษาเนื้อหาใหม่

ในสมัยโบราณ ผู้คนเฝ้าดูดวงดาวและจากการสังเกตเหล่านี้ พวกเขาได้จัดทำปฏิทิน คำนวณวันที่หว่าน และเวลาที่เกิดน้ำท่วมในแม่น้ำ เรือในทะเลและคาราวานบนบกเดินทางโดยดวงดาว ทั้งหมดนี้นำไปสู่ความจำเป็นในการเรียนรู้วิธีคำนวณด้านต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยม โดยสองด้านมีจุดยอดอยู่บนพื้น และด้านที่สามแสดงด้วยจุดบนท้องฟ้าที่เต็มไปด้วยดวงดาว ตามความต้องการนี้ วิทยาศาสตร์ตรีโกณมิติจึงเกิดขึ้น - วิทยาศาสตร์ที่ศึกษาการเชื่อมต่อระหว่างด้านของรูปสามเหลี่ยม

คุณคิดว่าความสัมพันธ์ที่เรารู้อยู่แล้วเพียงพอที่จะแก้ไขปัญหาดังกล่าวหรือไม่?

จุดประสงค์ของบทเรียนวันนี้คือการสำรวจความเชื่อมโยงและการพึ่งพาใหม่ๆ เพื่อให้ได้มาซึ่งความสัมพันธ์ ซึ่งในบทเรียนเรขาคณิตครั้งต่อไป คุณจะสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้

ให้รู้สึกเหมือนเราอยู่ในบทบาท คนงานทางวิทยาศาสตร์และติดตามอัจฉริยะแห่งสมัยโบราณ Thales, Euclid, Pythagoras เดินไปตามเส้นทางกันเถอะค้นหาความจริง

สำหรับสิ่งนี้เราต้องการ พื้นฐานทางทฤษฎี.

ไฮไลท์มุม A และขา BC เป็นสีแดง

ไฮไลท์ สีเขียวขาเอซี

ลองคำนวณว่าส่วนใดเป็นด้านตรงข้ามของมุมแหลม A กับด้านตรงข้ามมุมฉากของมัน สำหรับสิ่งนี้เราสร้างอัตราส่วน ขาตรงข้ามถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก:

ความสัมพันธ์นี้มีชื่อพิเศษ - เพื่อให้ทุกคนในทุกจุดของโลกเข้าใจเรื่องนั้น เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับตัวเลขที่แสดงถึงอัตราส่วนของด้านตรงข้ามของมุมแหลมต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก คำนี้เป็นไซน์ เขียนมันลงไป เนื่องจากคำว่าไซน์ที่ไม่มีชื่อของมุมจะสูญเสียความหมายทั้งหมด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์จึงเป็นดังนี้:

ตอนนี้สร้างความสัมพันธ์ ขาที่อยู่ติดกันถึงด้านตรงข้ามมุมฉากของมุมแหลม A:

อัตราส่วนนี้เรียกว่าโคไซน์ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

ลองพิจารณาอัตราส่วนอื่นสำหรับมุมแหลม A: อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน:

อัตราส่วนนี้เรียกว่าแทนเจนต์ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์:

5. การรวมวัสดุใหม่

มารวมการค้นพบขั้นกลางของเราเข้าด้วยกัน

ไซน์คือ...

โคไซน์คือ...

แทนเจนต์คือ...

บาป ก =	บาป เกี่ยวกับ =	บาปเอ 1 =
เพราะ A =	เพราะ เกี่ยวกับ =	เพราะเอ 1 =
ตาล เอ =	ทีจี เกี่ยวกับ =	ตาล เอ 1 =

แก้ปากเปล่าหมายเลข 88, 889, 892 (ทำงานเป็นคู่)

โดยใช้ความรู้ที่ได้รับมาแก้ไข ปัญหาในทางปฏิบัติ:

“จากหอคอยประภาคารที่สูง 70 ม. เรือลำหนึ่งสามารถมองเห็นได้ในมุม 3° ถึงขอบฟ้า มันเป็นอย่างไร

ระยะทางจากประภาคารถึงเรือ?

ปัญหาได้รับการแก้ไขในเบื้องหน้า ในระหว่างการสนทนา เราจะวาดภาพและจดบันทึกที่จำเป็นไว้บนกระดานและในสมุดบันทึก

เมื่อแก้ไขปัญหา จะใช้ตาราง Bradis

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาหน้า 175

แก้หมายเลข 902(1)

6. ออกกำลังกายเพื่อดวงตา

โดยไม่ต้องหันศีรษะ ให้มองไปรอบๆ ผนังห้องเรียนรอบปริมณฑลตามเข็มนาฬิกา กระดานดำรอบปริมณฑลทวนเข็มนาฬิกา รูปสามเหลี่ยมที่แสดงบนขาตั้งตามเข็มนาฬิกา และสามเหลี่ยมเท่ากันในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา หันศีรษะไปทางซ้ายแล้วมองไปที่เส้นขอบฟ้า และตอนนี้อยู่ที่ปลายจมูก หลับตา นับถึง 5 เปิดตา แล้ว...

เราจะวางฝ่ามือของเราไว้ที่ดวงตาของเรา
มากางขาที่แข็งแรงของเรากันเถอะ
เลี้ยวขวา
ลองมองไปรอบ ๆ อย่างสง่าผ่าเผย
และคุณต้องไปทางซ้ายด้วย
มองจากใต้ฝ่ามือของคุณ
และ - ไปทางขวา! และอีกอย่างหนึ่ง
ข้ามไหล่ซ้ายของคุณ!
ตอนนี้เรามาทำงานกันต่อ

7. ทำงานอิสระนักเรียน.

แก้หมายเลข.

8. สรุปบทเรียน การสะท้อนกลับ ดี/แซด

คุณได้เรียนรู้สิ่งใหม่อะไรบ้าง? ในชั้นเรียน:

คุณเคยพิจารณาไหมว่า...

คุณวิเคราะห์...

คุณได้รับ...

คุณได้ข้อสรุปแล้ว...

คุณได้เติมเต็มแล้ว คำศัพท์เงื่อนไขดังต่อไปนี้...

วิทยาศาสตร์โลกเริ่มต้นด้วยเรขาคณิต บุคคลไม่สามารถพัฒนาวัฒนธรรมและจิตวิญญาณได้อย่างแท้จริงหากเขาไม่ได้เรียนเรขาคณิตที่โรงเรียน เรขาคณิตเกิดขึ้นไม่เพียงแต่จากการปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังมาจากความต้องการทางจิตวิญญาณของมนุษย์ด้วย

นี่คือวิธีที่เธออธิบายความรักในเรขาคณิตของเธอในเชิงกวี

ฉันชอบเรขาคณิต...

ฉันสอนเรขาคณิตเพราะฉันชอบมัน

เราต้องการเรขาคณิต ถ้าไม่มีมัน เราก็ไปไม่ถึงไหนเลย

ไซน์ โคไซน์ เส้นรอบวง ทุกอย่างมีความสำคัญที่นี่

ทุกสิ่งเป็นสิ่งจำเป็นที่นี่

คุณเพียงแค่ต้องเรียนรู้และเข้าใจทุกสิ่งอย่างชัดเจน

ทำงานที่ได้รับมอบหมายและทดสอบให้ตรงเวลา

ไซน์และโคไซน์เดิมทีเกิดขึ้นจากความจำเป็นในการคำนวณปริมาณในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าถ้าการวัดองศาของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไม่เปลี่ยนแปลง อัตราส่วนภาพไม่ว่าด้านเหล่านี้จะเปลี่ยนไปเท่าใด ก็ยังคงเท่าเดิมเสมอ

นี่คือวิธีการนำเสนอแนวคิดของไซน์และโคไซน์ ไซน์ของมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก และโคไซน์คืออัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

แต่โคไซน์และไซน์สามารถใช้ได้มากกว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ในการค้นหาค่าของมุมป้านหรือมุมแหลมหรือด้านข้างของสามเหลี่ยมใดๆ ก็เพียงพอที่จะใช้ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์ค่อนข้างง่าย: “กำลังสองของด้านสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมกำลังสองของอีกสองด้านลบด้วยสองเท่าผลคูณของด้านเหล่านี้ด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างสองด้าน”

ทฤษฎีบทไซน์มีการตีความสองแบบ: เล็กและขยาย ตามที่อันเล็กกล่าวไว้: “ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกัน ฝ่ายตรงข้าม». ทฤษฎีบทนี้มักขยายตัวเนื่องจากคุณสมบัติของวงกลมที่ล้อมรอบของรูปสามเหลี่ยม: “ในรูปสามเหลี่ยม มุมต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับด้านตรงข้าม และอัตราส่วนของพวกมันจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ”

อนุพันธ์

อนุพันธ์เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงได้เร็วเพียงใดเมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ อนุพันธ์ถูกนำมาใช้ในเรขาคณิต และในสาขาวิชาทางเทคนิคจำนวนหนึ่ง

เมื่อแก้ปัญหาคุณจำเป็นต้องทราบค่าตารางของอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ: ไซน์และโคไซน์ อนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และโคไซน์คือไซน์ แต่มีเครื่องหมายลบ

การประยุกต์ทางคณิตศาสตร์

ไซน์และโคไซน์มักใช้ในการแก้สามเหลี่ยมมุมฉากและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพวกมัน

ความสะดวกสบายของไซน์และโคไซน์ก็สะท้อนให้เห็นในเทคโนโลยีเช่นกัน การประเมินมุมและด้านเป็นเรื่องง่ายโดยใช้ทฤษฎีบทของโคไซน์และไซน์แบบพังทลาย ตัวเลขที่ซับซ้อนและวัตถุให้เป็นสามเหลี่ยม "ธรรมดา" วิศวกรมักจะจัดการกับการคำนวณอัตราส่วนภาพและ มาตรการระดับใช้เวลาและความพยายามอย่างมากในการคำนวณโคไซน์และไซน์ของมุมที่ไม่ใช่ตาราง

จากนั้นตาราง Bradis ก็เข้ามาช่วยเหลือโดยมีค่าไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์นับพันค่า มุมที่แตกต่างกัน- ใน ยุคโซเวียตครูบางคนบังคับให้นักเรียนจำหน้าตาราง Bradis

เรเดียน - ขนาดเชิงมุมส่วนโค้งความยาว เท่ากับรัศมีหรือ 57.295779513° องศา

องศา (ในเรขาคณิต) - ส่วนที่ 1/360 ของวงกลมหรือส่วนที่ 1/90 มุมขวา.

π = 3.141592653589793238462… ( ค่าโดยประมาณตัวเลขไพ)

ตารางโคไซน์สำหรับมุม: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

มุม x (เป็นองศา)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
มุม x (เป็นเรเดียน)	0	พาย/6	พาย/4	พาย/3	พาย/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x พาย
เพราะ x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

ระดับกลาง

สามเหลี่ยมมุมฉาก- คู่มือภาพประกอบฉบับสมบูรณ์ (2019)

สามเหลี่ยมสี่เหลี่ยม ระดับเริ่มต้น

ในปัญหา มุมขวาไม่จำเป็นเลย - ซ้ายล่าง ดังนั้นคุณต้องเรียนรู้ที่จะจดจำสามเหลี่ยมมุมฉากในรูปแบบนี้

และในเรื่องนี้

และในเรื่องนี้

สามเหลี่ยมมุมฉากมีประโยชน์อย่างไร? เอ่อ...ก่อนอื่นเลยมีความพิเศษ ชื่อที่สวยงามสำหรับฝ่ายของเขา

ให้ความสนใจกับการวาดภาพ!

จำไว้และอย่าสับสน: มีสองขา และมีเพียงด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวเท่านั้น(หนึ่งเดียวไม่ซ้ำใครและยาวที่สุด)!

เราได้พูดคุยกันถึงชื่อแล้ว ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด: ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทนี้เป็นกุญแจสำคัญในการแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกี่ยวข้องกับสามเหลี่ยมมุมฉาก พีทาโกรัสพิสูจน์มันอย่างสมบูรณ์ กาลเวลาและตั้งแต่นั้นมาเธอก็ได้นำประโยชน์มากมายมาสู่ผู้ที่รู้จักเธอ และสิ่งที่ดีที่สุดก็คือมันเรียบง่าย

ดังนั้น, ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

คุณจำเรื่องตลกได้ไหม: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกด้าน!”?

ลองวาดกางเกงพีทาโกรัสแบบเดียวกันนี้แล้วดู

มันดูไม่เหมือนกางเกงขาสั้นเหรอ? แล้วด้านไหนและเท่ากันตรงไหน? ทำไมเรื่องตลกจึงมาจากไหน? และเรื่องตลกนี้เชื่อมโยงอย่างแม่นยำกับทฤษฎีบทของพีทาโกรัส หรืออย่างแม่นยำมากขึ้นกับวิธีที่พีทาโกรัสกำหนดทฤษฎีบทของเขาเอง และเขากำหนดไว้ดังนี้:

“ซำ พื้นที่สี่เหลี่ยมที่สร้างบนขามีค่าเท่ากับ พื้นที่สี่เหลี่ยมสร้างขึ้นบนด้านตรงข้ามมุมฉาก"

มันฟังดูแตกต่างออกไปเล็กน้อยจริงๆเหรอ? ดังนั้น เมื่อพีทาโกรัสวาดประโยคของทฤษฎีบทของเขา นี่คือภาพที่ออกมาอย่างแน่นอน

ในภาพนี้ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ และเพื่อให้เด็ก ๆ จำได้ดีขึ้นว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก มีคนฉลาดคิดเรื่องตลกเกี่ยวกับกางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา

เหตุใดเราจึงกำหนดทฤษฎีบทพีทาโกรัสขึ้นมา?

พีทาโกรัสทนทุกข์และพูดคุยเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมหรือไม่?

เห็นไหมว่าในสมัยโบราณไม่มี... พีชคณิต! ไม่มีป้ายบอกทางและอื่นๆ ไม่มีจารึก คุณนึกภาพออกไหมว่าการที่นักเรียนโบราณผู้น่าสงสารจำทุกอย่างด้วยคำพูดได้แย่แค่ไหน??! และเราก็ดีใจที่เรามีสูตรง่ายๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทำซ้ำอีกครั้งเพื่อให้จดจำได้ดีขึ้น:

ตอนนี้มันควรจะง่าย:

กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

มีการพูดคุยถึงทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว หากคุณสนใจว่าวิธีนี้ได้รับการพิสูจน์อย่างไร โปรดอ่านทฤษฎีในระดับต่อไปนี้ และตอนนี้เรามาดูกันต่อ... ป่ามืด... ตรีโกณมิติ! ถึงคำที่น่ากลัว ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ที่จริงแล้วทุกสิ่งไม่ได้น่ากลัวเลย แน่นอนว่าควรดูคำจำกัดความ "ของจริง" ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ในบทความ แต่ฉันไม่อยากทำจริงๆ ใช่ไหม? เราชื่นชมยินดี: ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉาก คุณสามารถกรอกสิ่งง่ายๆ ต่อไปนี้:

ทำไมทุกอย่างถึงอยู่แค่หัวมุม? มุมไหนคะ? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจำเป็นต้องรู้ว่าข้อความที่ 1 - 4 เขียนด้วยคำพูดอย่างไร ดูเข้าใจและจำ!

1.
จริงๆแล้วมันฟังดูเหมือนนี้:

แล้วมุมล่ะ? มีขาที่อยู่ตรงข้ามมุมนั่นคือขาตรงข้าม (สำหรับมุม) หรือไม่? มีแน่นอน! นี่คือขา!

แล้วมุมล่ะ? ดูอย่างระมัดระวัง ขาไหนอยู่ติดกับมุม? แน่นอนว่าขา ซึ่งหมายความว่าสำหรับมุมที่ขาอยู่ติดกันและ

ตอนนี้ให้ความสนใจ! ดูสิ่งที่เราได้รับ:

มาดูกันว่ามันเจ๋งแค่ไหน:

ทีนี้มาดูแทนเจนต์และโคแทนเจนต์กันดีกว่า

ตอนนี้ฉันจะเขียนสิ่งนี้ออกมาเป็นคำพูดได้อย่างไร? ขาสัมพันธ์กับมุมคืออะไร? ตรงกันข้าม - มัน "อยู่" ตรงข้ามกับมุม แล้วขาล่ะ? ติดกับหัวมุม. แล้วเราได้อะไร?

ดูว่าตัวเศษและส่วนสลับตำแหน่งอย่างไร?

และตอนนี้ได้เตะมุมอีกครั้งและทำการแลกเปลี่ยน:

ประวัติย่อ

มาเขียนทุกสิ่งที่เราได้เรียนรู้มาโดยย่อ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับสามเหลี่ยมมุมฉากคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คุณจำได้ดีว่าขาและด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร? ถ้าไม่ดีมากลองดูที่ภาพ - รีเฟรชความรู้ของคุณ

ค่อนข้างเป็นไปได้ว่าคุณเคยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาหลายครั้งแล้ว แต่คุณเคยสงสัยหรือไม่ว่าทำไมทฤษฎีบทดังกล่าวถึงเป็นจริง? ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร? เรามาทำเหมือนชาวกรีกโบราณกันดีกว่า มาวาดรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านกัน

มาดูกันว่าเราแบ่งด้านข้างของมันออกเป็นความยาวอย่างชาญฉลาดแค่ไหนและ!

ตอนนี้เรามาเชื่อมต่อจุดที่ทำเครื่องหมายไว้

อย่างไรก็ตามที่นี่เราสังเกตเห็นอย่างอื่น แต่คุณเองก็ดูภาพวาดและคิดว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น

พื้นที่เท่ากับเท่าไร? สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่กว่า- ขวา, . แล้วพื้นที่ที่เล็กกว่าล่ะ? แน่นอน, . พื้นที่ทั้งสี่มุมที่เหลืออยู่ ลองนึกภาพว่าเราพาพวกมันทีละสองตัวแล้วพิงกันด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก เกิดอะไรขึ้น สี่เหลี่ยมสองอัน ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของ "รอยตัด" เท่ากัน

มารวบรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันตอนนี้

มาแปลงกัน:

ดังนั้นเราจึงไปเยี่ยมชมพีทาโกรัส - เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาในวิธีโบราณ

สามเหลี่ยมมุมฉากและตรีโกณมิติ

สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเป็นดังนี้:

ไซน์ของมุมแหลม เท่ากับอัตราส่วนด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์ของมุมแหลมเท่ากับอัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

และทั้งหมดนี้อีกครั้งในรูปแบบแท็บเล็ต:

สะดวกมาก!

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ทั้งสองด้าน

ครั้งที่สอง โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

III. โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

IV. ตามแนวขาและมุมแหลม

ก)

ข)

ความสนใจ! สิ่งสำคัญมากที่นี่คือขามีความ "เหมาะสม" ตัวอย่างเช่น หากเป็นไปตามนี้:

สามเหลี่ยมจึงไม่เท่ากันแม้ว่าพวกมันจะมีมุมแหลมเหมือนกันมุมเดียวก็ตาม

มีความจำเป็นเช่นนั้น ในรูปสามเหลี่ยมทั้งสองขาอยู่ติดกัน หรือทั้งสองข้างอยู่ตรงข้ามกัน.

คุณสังเกตไหมว่าสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉากแตกต่างจากสัญญาณปกติของสามเหลี่ยมอย่างไร? ดูหัวข้อ "และให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม "ธรรมดา" องค์ประกอบสามอย่างจะต้องเท่ากัน: ด้านสองด้านและมุมระหว่างพวกเขา สองมุมและด้านระหว่างพวกเขา หรือสามด้าน แต่เพื่อความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก องค์ประกอบที่สอดคล้องกันเพียงสององค์ประกอบก็เพียงพอแล้ว เยี่ยมมากใช่มั้ย?

สถานการณ์จะใกล้เคียงกันโดยมีสัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก

I. ตามมุมแหลม

ครั้งที่สอง ทั้งสองด้าน

III. โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก

ค่ามัธยฐานในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

แทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้พิจารณาสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

ลองวาดเส้นทแยงมุมแล้วพิจารณาจุด - จุดตัดของเส้นทแยงมุม คุณรู้อะไรเกี่ยวกับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยม?

และอะไรต่อจากนี้?

มันเลยกลายเป็นว่า

1. - ค่ามัธยฐาน:

จำข้อเท็จจริงข้อนี้ไว้! ช่วยได้มาก!

สิ่งที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นคือสิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน

จะได้ประโยชน์อะไรจากการที่ค่ามัธยฐานที่ลากเข้าหาด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก? เรามาดูรูปกันดีกว่า

ดูอย่างระมัดระวัง เรามี: นั่นคือระยะทางจากจุดถึงจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมกลายเป็นว่าเท่ากัน แต่มีเพียงจุดเดียวในสามเหลี่ยม ซึ่งมีระยะห่างจากจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมเท่ากัน และนี่คือจุดศูนย์กลางของวงกลม แล้วเกิดอะไรขึ้น?

มาเริ่มกันที่ "นอกจาก..." กันก่อน

มาดูกันและ.

แต่ สามเหลี่ยมที่คล้ายกันทุกมุมเท่ากัน!

เดียวกันสามารถพูดเกี่ยวกับและ

ทีนี้มาวาดมันด้วยกัน:

จะได้ประโยชน์อะไรจากความคล้ายคลึงกัน "สามเท่า" นี้?

ตัวอย่างเช่น - สองสูตรสำหรับความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก

ให้เราเขียนความสัมพันธ์ของฝ่ายที่เกี่ยวข้อง:

ในการหาความสูง เราก็แก้สัดส่วนแล้วได้ สูตรแรก "ความสูงในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก":

ลองใช้ความคล้ายคลึงกัน: .

จะเกิดอะไรขึ้นตอนนี้?

เราแก้สัดส่วนอีกครั้งและรับสูตรที่สอง:

คุณต้องจำทั้งสองสูตรนี้ให้ดีและใช้อันที่สะดวกกว่า มาเขียนมันลงไปอีกครั้ง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา:

สัญญาณของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ทั้งสองด้าน:
• โดยขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมที่อยู่ติดกัน: หรือ
• ตามแนวขาและมุมแหลมตรงข้าม: หรือ
• โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม: หรือ

สัญญาณของความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• มุมเฉียบพลัน: หรือ
• จากสัดส่วนของขาทั้งสองข้าง:
• จากสัดส่วนของขาและด้านตรงข้ามมุมฉาก: หรือ

ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

• ไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• โคไซน์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก:
• ค่าแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด:
• โคแทนเจนต์ของมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดต่อด้านตรงข้าม:

ความสูงของสามเหลี่ยมมุมฉาก: หรือ

ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ค่ามัธยฐานที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก:

• ผ่านทางขา:

ครูเชื่อว่านักเรียนทุกคนควรจะสามารถคำนวณได้นะรู้ไหม สูตรตรีโกณมิติแต่ไม่ใช่ครูทุกคนที่อธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร ความหมายของพวกเขาคืออะไรพวกเขาใช้ที่ไหน? ทำไมเราถึงพูดถึงสามเหลี่ยม แต่ในตำราเรียนแสดงเป็นวงกลม? ลองเชื่อมโยงข้อเท็จจริงทั้งหมดเข้าด้วยกัน

วิชาที่โรงเรียน

การศึกษาวิชาตรีโกณมิติมักจะเริ่มต้นในเกรด 7-8 โรงเรียนมัธยมปลาย- ในเวลานี้ นักเรียนจะได้รับการอธิบายว่าไซน์และโคไซน์คืออะไรและถูกขอให้แก้โจทย์ ปัญหาทางเรขาคณิตการใช้ฟังก์ชันเหล่านี้ ปรากฏเพิ่มเติมในภายหลัง สูตรที่ซับซ้อนและนิพจน์ที่ต้องแปลงพีชคณิต (สูตร double และ ครึ่งมุม, ฟังก์ชั่นพลังงาน) งานจะดำเนินการโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ

อย่างไรก็ตาม ครูไม่สามารถอธิบายความหมายของแนวคิดที่ใช้และการบังคับใช้สูตรได้อย่างชัดเจนเสมอไป ดังนั้นผู้เรียนจึงมักไม่เห็นประเด็นในนั้น เรื่องนี้และข้อมูลที่จดจำก็จะถูกลืมอย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม ควรอธิบายให้นักเรียนมัธยมปลายฟังสักครั้ง เช่น ความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันกับ การเคลื่อนไหวแบบสั่น, และ การเชื่อมต่อแบบลอจิคัลจะถูกจดจำไปอีกหลายปีและเรื่องตลกเกี่ยวกับความไร้ประโยชน์ของสิ่งของก็จะกลายเป็นเรื่องในอดีต

การใช้งาน

เพื่อความอยากรู้อยากเห็น เรามาดูฟิสิกส์สาขาต่างๆ กันดีกว่า คุณต้องการกำหนดระยะของกระสุนปืนหรือไม่? หรือคุณกำลังคำนวณแรงเสียดทานระหว่างวัตถุกับพื้นผิวบางอย่าง? แกว่งลูกตุ้มดูรังสีที่ผ่านกระจกคำนวณการเหนี่ยวนำ? แนวคิดตรีโกณมิติปรากฏในเกือบทุกสูตร แล้วไซน์และโคไซน์คืออะไร?

คำจำกัดความ

ไซน์ของมุมคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์คืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้ามมุมฉากเดียวกัน ไม่มีอะไรซับซ้อนอย่างแน่นอนที่นี่ บางทีนักเรียนมักจะสับสนกับความหมายที่เห็น ตารางตรีโกณมิติเพราะรากที่สองปรากฏอยู่ตรงนั้น ใช่การรับทศนิยมนั้นไม่สะดวกนัก แต่ใครบอกว่าตัวเลขทั้งหมดในคณิตศาสตร์ต้องเท่ากัน?

ที่จริงแล้ว คุณสามารถพบคำใบ้ตลกๆ ได้ในหนังสือปัญหาตรีโกณมิติ: คำตอบส่วนใหญ่จะเป็นเลขคู่และใน กรณีที่เลวร้ายที่สุดมีรากของสองหรือสาม ข้อสรุปนั้นง่ายมาก: หากคำตอบของคุณกลายเป็นเศษส่วน "หลายเรื่อง" ให้ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาอีกครั้งเพื่อหาข้อผิดพลาดในการคำนวณหรือการให้เหตุผล และคุณมักจะพบพวกเขา

สิ่งที่ต้องจำ

เช่นเดียวกับวิทยาศาสตร์อื่นๆ ตรีโกณมิติมีข้อมูลที่ต้องเรียนรู้

ก่อนอื่นคุณควรจำไว้ ค่าตัวเลขสำหรับไซน์ โคไซน์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก 0 และ 90 รวมถึง 30, 45 และ 60 องศา ตัวชี้วัดเหล่านี้เกิดขึ้นในเก้าในสิบ งานของโรงเรียน- การดูคุณค่าเหล่านี้ในตำราเรียนจะทำให้คุณเสียเวลาไปมากและไม่มีที่ไหนเลยที่จะดูค่าเหล่านี้ในระหว่างการทดสอบหรือการสอบ

ต้องจำไว้ว่าค่าของทั้งสองฟังก์ชันต้องไม่เกินหนึ่ง หากพบค่านอกช่วง 0-1 ในการคำนวณ ให้หยุดและลองแก้ปัญหาอีกครั้ง

ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์เท่ากับหนึ่ง หากคุณพบค่าใดค่าหนึ่งแล้ว ให้ใช้สูตรนี้เพื่อค้นหาค่าที่เหลือ

ทฤษฎีบท

มีสองทฤษฎีบทพื้นฐานในตรีโกณมิติพื้นฐาน: ไซน์และโคไซน์

ข้อแรกระบุว่าอัตราส่วนของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมต่อไซน์ของมุมตรงข้ามจะเท่ากัน อย่างที่สองคือหากำลังสองของด้านใดก็ได้โดยการบวกกำลังสองของด้านที่เหลือทั้งสองแล้วลบผลคูณสองเท่าของด้านนั้น คูณด้วยโคไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง

ดังนั้น ถ้าเราแทนค่าของมุม 90 องศาลงในทฤษฎีบทโคไซน์ เราจะได้... ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตอนนี้ หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมฉาก คุณไม่ต้องกังวลอีกต่อไป - ทฤษฎีบททั้งสองที่กล่าวถึงจะทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก

เป้าหมายและวัตถุประสงค์

การเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติจะง่ายขึ้นมากเมื่อคุณตระหนักถึงข้อเท็จจริงง่ายๆ ข้อเดียว: การกระทำทั้งหมดที่คุณทำมุ่งเป้าไปที่การบรรลุเป้าหมายเดียว คุณสามารถหาพารามิเตอร์ใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมได้หากคุณทราบข้อมูลขั้นต่ำสุดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งอาจเป็นค่าของมุมหนึ่งมุมและความยาวของสองด้านหรือตัวอย่างเช่น สามด้าน

ในการระบุไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์ของมุมใด ๆ ข้อมูลเหล่านี้ก็เพียงพอแล้วและด้วยความช่วยเหลือเหล่านี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของรูปได้อย่างง่ายดาย เกือบทุกครั้ง คำตอบต้องใช้ค่าใดค่าหนึ่งที่กล่าวถึง และสามารถพบได้โดยใช้สูตรเดียวกัน

ความไม่สอดคล้องกันในการเรียนรู้วิชาตรีโกณมิติ

คำถามที่น่าสงสัยประการหนึ่งที่เด็กนักเรียนชอบหลีกเลี่ยงคือการค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างกัน แนวคิดที่แตกต่างในวิชาตรีโกณมิติ ดูเหมือนว่าสามเหลี่ยมจะใช้เพื่อศึกษาไซน์และโคไซน์ของมุม แต่ด้วยเหตุผลบางประการจึงมักพบสัญลักษณ์ในรูปวงกลม นอกจากนี้ยังมีกราฟคล้ายคลื่นที่ไม่สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ที่เรียกว่าคลื่นไซน์ ซึ่งไม่มีความคล้ายคลึงภายนอกกับวงกลมหรือสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ มุมจะถูกวัดเป็นองศาหรือเรเดียน และตัวเลข Pi ซึ่งเขียนง่ายๆ เป็น 3.14 (ไม่มีหน่วย) ด้วยเหตุผลบางประการปรากฏในสูตรซึ่งสอดคล้องกับ 180 องศา ทั้งหมดนี้เชื่อมโยงกันอย่างไร?

หน่วยวัด

ทำไม Pi ถึงเป็น 3.14 กันแน่? คุณจำได้ไหมว่าความหมายนี้คืออะไร? นี่คือจำนวนรัศมีที่พอดีกับส่วนโค้งของครึ่งวงกลม ถ้าเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ 2 เซนติเมตร เส้นรอบวงจะเท่ากับ 3.14 * 2 หรือ 6.28

ประเด็นที่สอง: คุณอาจสังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างคำว่า "เรเดียน" และ "รัศมี" ความจริงก็คือว่าหนึ่งเรเดียนเป็นตัวเลข เท่ากับมูลค่ามุมที่ยื่นจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปสู่ส่วนโค้งยาวหนึ่งรัศมี

ตอนนี้เราจะรวมความรู้ที่ได้รับและทำความเข้าใจว่าเหตุใดจึงเขียน "Pi ครึ่งหนึ่ง" ที่ด้านบนของแกนพิกัดในตรีโกณมิติและ "Pi" เขียนทางด้านซ้าย นี่เป็นค่าเชิงมุมที่วัดเป็นเรเดียน เนื่องจากครึ่งวงกลมมี 180 องศา หรือ 3.14 เรเดียน และเมื่อมีองศา ที่นั่นก็มีไซน์และโคไซน์ ง่ายต่อการวาดรูปสามเหลี่ยมจากจุดที่ต้องการ โดยวางส่วนต่างๆ เข้าหากึ่งกลางและลงบนแกนพิกัด

มาดูอนาคตกันดีกว่า

ตรีโกณมิติที่เรียนในโรงเรียนเกี่ยวข้องกับ ระบบเส้นตรงพิกัด โดยที่ไม่ว่าจะฟังดูแปลกแค่ไหน เส้นตรงก็คือเส้นตรง

แต่มีมากกว่านั้น วิธีที่ซับซ้อนการทำงานกับอวกาศ: ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมตรงนี้จะมากกว่า 180 องศา และเส้นตรงในมุมมองของเราจะดูเหมือนส่วนโค้งจริง

มาเปลี่ยนจากคำพูดไปสู่การกระทำกันดีกว่า! หยิบแอปเปิ้ลหนึ่งลูก ใช้มีดตัดสามครั้งเพื่อว่าเมื่อมองจากด้านบนคุณจะได้รูปสามเหลี่ยม นำผลแอปเปิ้ลออกมาแล้วดูที่ "ซี่โครง" ที่ปลายเปลือก พวกเขาไม่ตรงเลย ผลไม้ในมือของคุณสามารถเรียกได้ว่ากลมตามอัตภาพ แต่ตอนนี้ลองนึกดูว่าสูตรจะต้องซับซ้อนแค่ไหนซึ่งคุณสามารถหาพื้นที่ของชิ้นที่ตัดได้ แต่ผู้เชี่ยวชาญบางคนแก้ปัญหาดังกล่าวทุกวัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติในชีวิต

คุณสังเกตไหมว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดสำหรับเครื่องบินจากจุด A ไปยังจุด B บนพื้นผิวโลกของเรานั้นมีรูปร่างส่วนโค้งที่เด่นชัด เหตุผลง่ายๆ ก็คือ โลกมีลักษณะทรงกลม ซึ่งหมายความว่าคุณไม่สามารถคำนวณได้มากนักโดยใช้รูปสามเหลี่ยม คุณต้องใช้สูตรที่ซับซ้อนมากขึ้น

คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีไซน์/โคไซน์ของมุมแหลมในคำถามใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับอวกาศ ที่น่าสนใจคือมีหลายปัจจัยมารวมกันที่นี่: ฟังก์ชันตรีโกณมิติจำเป็นในการคำนวณการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในวงกลม วงรี และวิถีต่างๆ มากกว่า รูปร่างที่ซับซ้อน- กระบวนการปล่อยจรวด ดาวเทียม กระสวยอวกาศ การปลดยานวิจัย การตรวจสอบ ดาวที่อยู่ห่างไกลและการศึกษากาแล็กซีที่มนุษย์ไม่สามารถเข้าถึงได้ในอนาคตอันใกล้

โดยทั่วไปแล้ว กิจกรรมสำหรับผู้ที่รู้ตรีโกณมิตินั้นกว้างมากและดูเหมือนจะขยายออกไปเมื่อเวลาผ่านไปเท่านั้น

บทสรุป

วันนี้เราได้เรียนรู้หรืออย่างน้อยก็ย้ำว่าไซน์และโคไซน์คืออะไร สิ่งเหล่านี้เป็นแนวคิดที่คุณไม่จำเป็นต้องกลัว แค่ต้องการมัน แล้วคุณจะเข้าใจความหมายของมัน โปรดจำไว้ว่าตรีโกณมิติไม่ใช่เป้าหมาย แต่เป็นเพียงเครื่องมือที่สามารถใช้เพื่อตอบสนองความเป็นจริงเท่านั้น ความต้องการของมนุษย์: สร้างบ้าน รับรองความปลอดภัยในการจราจร แม้กระทั่งสำรวจความเวิ้งว้างอันกว้างใหญ่ของจักรวาล

อันที่จริง วิทยาศาสตร์อาจดูน่าเบื่อ แต่ทันทีที่คุณค้นพบวิธีที่จะบรรลุเป้าหมายและการตระหนักรู้ในตนเอง กระบวนการเรียนรู้จะน่าสนใจ และแรงจูงใจส่วนตัวของคุณก็จะเพิ่มขึ้น

เช่น การบ้านพยายามหาวิธีใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติในด้านกิจกรรมที่คุณสนใจเป็นการส่วนตัว ลองจินตนาการ ใช้จินตนาการของคุณ แล้วคุณจะพบว่าความรู้ใหม่ๆ จะเป็นประโยชน์กับคุณในอนาคต และนอกจากนั้นคณิตศาสตร์ยังมีประโยชน์อีกด้วย การพัฒนาทั่วไปกำลังคิด