ระดับความน่าจะเป็น p ขึ้นอยู่กับอะไร? คำจำกัดความคลาสสิกและทางสถิติของความน่าจะเป็น

หมายเหตุสำคัญ!
1. หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ วิธีการทำเช่นนี้ในเบราว์เซอร์ของคุณเขียนไว้ที่นี่:
2. ก่อนที่คุณจะเริ่มอ่านบทความ โปรดใส่ใจกับเนวิเกเตอร์ของเราให้มากที่สุด ทรัพยากรที่เป็นประโยชน์สำหรับ

ความน่าจะเป็นคืออะไร?

เจอคำนี้ครั้งแรกก็ไม่เข้าใจว่ามันคืออะไร ดังนั้นผมจะพยายามอธิบายให้ชัดเจน

ความน่าจะเป็นคือโอกาสที่เหตุการณ์ที่เราอยากให้เกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่น คุณตัดสินใจไปบ้านเพื่อน คุณจำทางเข้าและแม้แต่ชั้นที่เขาอาศัยอยู่ได้ แต่ฉันลืมหมายเลขและที่ตั้งของอพาร์ตเมนต์ และตอนนี้คุณกำลังยืนอยู่บนบันได และตรงหน้าคุณก็มีประตูให้เลือก

โอกาส (ความน่าจะเป็น) ที่ถ้าคุณกดกริ่งประตูอันแรกเพื่อนของคุณจะตอบประตูให้คุณคืออะไร? มีเพียงอพาร์ตเมนต์เท่านั้นและเพื่อนคนหนึ่งอาศัยอยู่ด้านหลังเพียงห้องเดียวเท่านั้น ด้วยโอกาสที่เท่าเทียมกันเราสามารถเลือกประตูใดก็ได้

แต่โอกาสนี้คืออะไร?

ประตู ประตูขวา. ความน่าจะเป็นในการทายผลจากการกดกริ่งประตูอันแรก: . นั่นคือหนึ่งในสามที่คุณจะเดาได้อย่างแม่นยำ

เราอยากรู้ว่าโทรไปครั้งเดียวจะเดาประตูได้บ่อยแค่ไหน? ลองดูตัวเลือกทั้งหมด:

1. คุณโทรมา ที่ 1ประตู
2. คุณโทรมา 2ประตู
3. คุณโทรมา 3ประตู

ตอนนี้เรามาดูตัวเลือกทั้งหมดที่เพื่อนอาจเป็นได้:

ก. สำหรับ ที่ 1ประตู
ข. สำหรับ 2ประตู
วี. สำหรับ 3ประตู

ลองเปรียบเทียบตัวเลือกทั้งหมดในรูปแบบตาราง เครื่องหมายถูกระบุตัวเลือกต่างๆ เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อน เครื่องหมายกากบาท - เมื่อไม่ตรงกัน

เป็นยังไงบ้างคะ มองเห็นทุกอย่าง. อาจจะ ตัวเลือกตำแหน่งของเพื่อนของคุณและการเลือกว่าจะให้เสียงเรียกเข้าประตูไหน

ก ส่งผลดีต่อทุกสิ่ง . นั่นคือคุณจะเดาได้หนึ่งครั้งโดยกดกริ่งประตูหนึ่งครั้งเช่น -

นี่คือความน่าจะเป็น - อัตราส่วนของผลลัพธ์ที่ดี (เมื่อตัวเลือกของคุณตรงกับตำแหน่งของเพื่อนของคุณ) ต่อจำนวน เหตุการณ์ที่เป็นไปได้.

คำจำกัดความคือสูตร ความน่าจะเป็นมักจะแสดงด้วย p ดังนั้น:

การเขียนสูตรดังกล่าวไม่สะดวกนัก ดังนั้นเราจึงใช้ - จำนวนผลลัพธ์ที่น่าพอใจ และ - จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

ความน่าจะเป็นสามารถเขียนเป็นเปอร์เซ็นต์ได้ คุณต้องคูณผลลัพธ์ที่ได้ด้วย:

คำว่า "ผลลัพธ์" อาจดึงดูดสายตาคุณ เพราะนักคณิตศาสตร์โทรมา การกระทำต่างๆ(ในประเทศของเราการกระทำเช่นนี้คือกริ่งประตู) การทดลอง จากนั้นผลลัพธ์ของการทดลองดังกล่าวมักเรียกว่าผลลัพธ์

มีทั้งผลดีและผลเสีย

กลับไปที่ตัวอย่างของเรากัน สมมติว่าเราส่งเสียงประตูบานหนึ่ง แต่มันเปิดให้เรา คนแปลกหน้า- เราคาดเดาไม่ถูก ความน่าจะเป็นที่ถ้าเรากดกริ่งประตูที่เหลืออีกบานหนึ่ง เพื่อนของเราก็จะเปิดประตูให้เราเป็นเท่าไร?

หากคุณคิดอย่างนั้นแสดงว่านี่คือความผิดพลาด ลองคิดดูสิ

เรามีประตูเหลืออยู่สองประตู ดังนั้นเราจึงมีขั้นตอนที่เป็นไปได้:

1) โทร ที่ 1ประตู
2) โทร 2ประตู

แม้จะทั้งหมดนี้ เพื่อนคนนี้ก็อยู่ข้างหลังหนึ่งในนั้นอย่างแน่นอน (ท้ายที่สุดแล้ว เขาไม่ได้อยู่ข้างหลังคนที่เราโทรหา):

ก) เพื่อนสำหรับ ที่ 1ประตู
b) เพื่อนสำหรับ 2ประตู

มาวาดตารางอีกครั้ง:

อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นประโยชน์ นั่นคือความน่าจะเป็นเท่ากัน

ทำไมไม่?

สถานการณ์ที่เราพิจารณาคือ ตัวอย่าง เหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา. เหตุการณ์แรกคือกริ่งประตูอันแรก เหตุการณ์ที่สองคือกริ่งประตูที่สอง

และพวกมันถูกเรียกว่าขึ้นอยู่กับเพราะมันมีอิทธิพลต่อการกระทำต่อไปนี้ ท้ายที่สุดแล้ว หากเพื่อนตอบรับกริ่งประตูแรกหลังจากกดกริ่งครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่เขาจะตามหลังอีกคนหนึ่งจากอีกสองคนที่เหลือจะเป็นเท่าใด ขวา, .

แต่หากมีเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาก็ต้องมีเช่นกัน เป็นอิสระ- ถูกต้อง พวกมันเกิดขึ้น

ตัวอย่างหนังสือเรียนคือการโยนเหรียญ

1. โยนเหรียญหนึ่งครั้ง เช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเป็นเท่าใด? ถูกต้อง - เนื่องจากมีตัวเลือกทั้งหมด (ไม่ว่าจะหัวหรือก้อยเราละเลยความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกที่ขอบ) แต่มันเหมาะกับเราเท่านั้น
2. แต่มันก็ขึ้นมาในหัว โอเค เรามาโยนมันอีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวตอนนี้เป็นเท่าไหร่? ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง ทุกอย่างยังเหมือนเดิม มีกี่ตัวเลือก? สอง. เราพอใจกับมันมากแค่ไหน? หนึ่ง.

และปล่อยให้มันขึ้นหัวอย่างน้อยพันครั้งติดต่อกัน ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในครั้งเดียวจะเท่ากัน มีตัวเลือกอยู่เสมอและตัวเลือกที่ดี

มันง่ายที่จะแยกแยะเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพาจากเหตุการณ์อิสระ:

1. หากทำการทดลองเพียงครั้งเดียว (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กดกริ่งประตูหนึ่งครั้ง ฯลฯ) เหตุการณ์ต่างๆ จะเป็นอิสระจากกันเสมอ
2. หากทำการทดลองหลายครั้ง (โยนเหรียญหนึ่งครั้ง กริ่งประตูดังหลายครั้ง) เหตุการณ์แรกจะเป็นอิสระจากกันเสมอ จากนั้น ถ้าจำนวนผลที่ได้เปรียบหรือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดเปลี่ยนแปลง เหตุการณ์ต่างๆ จะขึ้นอยู่กับ และถ้าไม่ มันก็จะเป็นอิสระกัน

มาฝึกกำหนดความน่าจะเป็นกันสักหน่อย

ตัวอย่างที่ 1

มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันคือเท่าไร?

สารละลาย:

พิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด:

1. อินทรีอินทรี
2. หัว-ก้อย
3. ก้อย-หัว
4. ก้อยก้อย

อย่างที่คุณเห็นมีเพียงตัวเลือกเท่านั้น เท่านี้เราก็พอใจแล้ว นั่นคือความน่าจะเป็น:

หากเงื่อนไขขอให้ค้นหาความน่าจะเป็น ก็ควรให้คำตอบอยู่ในแบบฟอร์ม ทศนิยม- หากระบุว่าควรให้คำตอบเป็นเปอร์เซ็นต์ เราก็จะคูณด้วย

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 2

ในกล่องช็อคโกแลต ช็อคโกแลตทั้งหมดจะถูกบรรจุในกระดาษห่อเดียวกัน อย่างไรก็ตามจากของหวาน - กับถั่ว, กับคอนญัก, กับเชอร์รี่, ด้วยคาราเมลและกับตังเม

ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกกวาดหนึ่งลูกแล้วได้ลูกกวาดที่มีถั่วเป็นเท่าไหร่? ให้คำตอบของคุณเป็นเปอร์เซ็นต์

สารละลาย:

มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่แบบ? -

นั่นคือถ้าคุณหยิบขนมมาหนึ่งชิ้น มันจะเป็นหนึ่งในขนมที่มีอยู่ในกล่อง

มีผลดีกี่ประการ?

เพราะในกล่องมีเพียงช็อคโกแลตที่มีถั่วเท่านั้น

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3

ในกล่องลูกโป่ง ซึ่งมีสีขาวและดำ

1. ความน่าจะเป็นที่จะออกคือเท่าไร ลูกบอลสีขาว?
2. เราเพิ่มลูกบอลสีดำเข้าไปในกล่อง ตอนนี้ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

ก) ในกล่องมีเพียงลูกบอลเท่านั้น ในจำนวนนี้มีสีขาว

ความน่าจะเป็นคือ:

b) ตอนนี้มีลูกมากขึ้นในกล่อง และยังมีคนผิวขาวเหลืออยู่อีกมาก - .

คำตอบ:

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ ()

สมมติว่ามีลูกบอลสีแดงและเขียวอยู่ในกล่อง ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดงเป็นเท่าไร? ลูกบอลสีเขียว? ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว?

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีแดง

ลูกบอลสีเขียว:

ลูกบอลสีแดงหรือสีเขียว:

อย่างที่คุณเห็น ผลรวมของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับ () การเข้าใจประเด็นนี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาต่างๆ ได้มากมาย

ตัวอย่างที่ 4

ในกล่องมีเครื่องหมาย: เขียว แดง น้ำเงิน เหลือง ดำ

ความน่าจะเป็นที่จะวาดไม่ใช่เครื่องหมายสีแดงเป็นเท่าใด

สารละลาย:

มานับเลขกัน ผลลัพธ์ที่ดี

ไม่ใช่เครื่องหมายสีแดง นั่นหมายถึงสีเขียว น้ำเงิน เหลือง หรือดำ

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

คุณรู้อยู่แล้วว่ากิจกรรมอิสระคืออะไร

จะเป็นอย่างไรถ้าคุณต้องการค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ (หรือมากกว่า) จะเกิดขึ้นติดต่อกัน?

สมมติว่าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่ถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้งเราจะเห็นหัวสองครั้งเป็นเท่าใด?

เราได้พิจารณาแล้ว - .

จะเป็นอย่างไรถ้าเราโยนเหรียญหนึ่งครั้ง? ความน่าจะเป็นที่จะเห็นนกอินทรี 2 ครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด?

ทั้งหมด ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัวก้อยหัว
4. หัว-ก้อย-ก้อย
5. ก้อยหัวหัว
6. ก้อยหัวก้อย
7. ก้อยก้อยหัว
8. หางหางหาง

ฉันไม่รู้เกี่ยวกับคุณ แต่ฉันทำผิดพลาดหลายครั้งเมื่อรวบรวมรายการนี้ ว้าว! และมีเพียงตัวเลือก (ตัวแรก) เท่านั้นที่เหมาะกับเรา

สำหรับการโยน 5 ครั้ง คุณสามารถจัดทำรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ด้วยตัวเอง แต่นักคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำงานหนักเท่าคุณ

ดังนั้น พวกเขาสังเกตเห็นเป็นครั้งแรกและพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์อิสระบางลำดับลดลงในแต่ละครั้งด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งเหตุการณ์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

เรามาดูตัวอย่างเหรียญอาถรรพ์เดียวกันกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการท้าทาย? - ตอนนี้เราพลิกเหรียญหนึ่งครั้ง

ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวติดกันคือเท่าไร?

กฎนี้ใช้ไม่ได้ผลเฉพาะเมื่อเราถูกขอให้ค้นหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เดียวกันจะเกิดขึ้นหลายครั้งติดต่อกัน

หากเราต้องการค้นหาลำดับ TAILS-HEADS-TAILS สำหรับการทอยติดต่อกัน เราจะทำเช่นเดียวกัน

ความน่าจะเป็นที่จะได้ก้อยคือ , หัว -

ความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับ TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเองโดยทำตาราง

กฎสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

ดังนั้นหยุด! นิยามใหม่

ลองคิดดูสิ เอาเหรียญที่หมดสภาพของเรามาโยนมันครั้งเดียวกัน
ตัวเลือกที่เป็นไปได้:

1. อินทรีอินทรีอินทรี
2. หัว-หัว-ก้อย
3. หัวก้อยหัว
4. หัว-ก้อย-ก้อย
5. ก้อยหัวหัว
6. ก้อยหัวก้อย
7. ก้อยก้อยหัว
8. หางหางหาง

ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงเป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ นี่เป็นเรื่องที่แน่นอน ลำดับที่กำหนดเหตุการณ์ต่างๆ - สิ่งเหล่านี้เป็นเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

หากเราต้องการหาว่าอะไรคือความน่าจะเป็นของสอง (หรือมากกว่า) เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จากนั้นเราจะรวมความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้เข้าด้วยกัน

คุณต้องเข้าใจว่าหัวหรือก้อยเป็นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน

ถ้าเราต้องการหาความน่าจะเป็นของลำดับ (หรืออื่นๆ) ที่เกิดขึ้น เราจะใช้กฎของการคูณความน่าจะเป็น
ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวในการทอยครั้งแรก และก้อยในการทอยครั้งที่สองและครั้งที่สามเป็นเท่าใด?

แต่ถ้าเราอยากรู้ว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ลำดับใดลำดับหนึ่งจากหลายๆ ลำดับเป็นเท่าใด เช่น เมื่อหัวขึ้นมาเพียงครั้งเดียว นั่นคือ ตัวเลือกต่างๆ แล้วเราต้องบวกความน่าจะเป็นของลำดับเหล่านี้

ตัวเลือกทั้งหมดเหมาะกับเรา

เราสามารถได้รับสิ่งเดียวกันโดยการเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของแต่ละลำดับ:

ดังนั้นเราจึงเพิ่มความน่าจะเป็นเมื่อเราต้องการหาความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์บางอย่างที่ไม่สอดคล้องกัน

มีกฎที่ดีที่จะช่วยให้คุณหลีกเลี่ยงความสับสนว่าเมื่อใดควรคูณและเมื่อใดควรบวก:

กลับไปที่ตัวอย่างที่เราโยนเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหนึ่งครั้ง
จะเกิดอะไรขึ้น?

ควรหลุดออกไป:
(หัวและก้อยและก้อย) หรือ (ก้อยและหัวและก้อย) หรือ (ก้อยและก้อยและหัว)
ปรากฎดังนี้:

ลองดูตัวอย่างบางส่วน

ตัวอย่างที่ 5

มีดินสออยู่ในกล่อง สีแดง สีเขียว สีส้ม และสีเหลืองและสีดำ ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีแดงหรือสีเขียวเป็นเท่าใด

สารละลาย:

ตัวอย่างที่ 6

ถ้าโยนลูกเต๋า 2 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มทั้งหมด 8 แต้มเป็นเท่าใด

สารละลาย.

เราจะได้คะแนนได้อย่างไร?

(และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ) หรือ (และ)

ความน่าจะเป็นที่จะได้หนึ่ง (หน้าใดก็ได้) คือ

เราคำนวณความน่าจะเป็น:

การฝึกอบรม.

ฉันคิดว่าตอนนี้คุณเข้าใจแล้วเมื่อคุณจำเป็นต้องคำนวณความน่าจะเป็น เมื่อใดควรบวก และเมื่อใดควรคูณ ไม่ใช่เหรอ? มาฝึกกันหน่อย

งาน:

เรามาเล่นสำรับไพ่ที่มีไพ่ซึ่งประกอบด้วย โพดำ หัวใจ 13 ดอกและเพชร 13 ดอก จากไปจนถึงเอซของแต่ละชุด

1. ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไม้กอล์ฟติดต่อกันเป็นเท่าใด (เรานำไพ่ใบแรกที่ดึงออกมากลับเข้าไปในสำรับแล้วสับไพ่)?
2. ความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่สีดำ (โพดำหรือไม้กอล์ฟ) คือเท่าไร?
3. ความน่าจะเป็นในการวาดภาพ (แจ็ค ควีน คิง หรือเอซ) คือเท่าไร?
4. ความน่าจะเป็นที่จะวาดภาพสองภาพติดต่อกันคือเท่าไร (เราเอาไพ่ใบแรกที่จั่วออกจากสำรับ)?
5. ความน่าจะเป็นที่จะหยิบไพ่สองใบเพื่อรวบรวมไพ่ผสมกัน (แจ็ค ควีน หรือคิง) และเอซคืออะไร?

คำตอบ:

หากคุณสามารถแก้ไขปัญหาทั้งหมดได้ด้วยตัวเอง แสดงว่าคุณเยี่ยมมาก! ตอนนี้คุณจะถอดรหัสปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นในการสอบ Unified State อย่างถั่ว!

ทฤษฎีความน่าจะเป็น ระดับกลาง

ลองดูตัวอย่าง สมมติว่าเราโยนลูกเต๋า นี่มันกระดูกอะไรรู้มั้ย? นี่คือสิ่งที่พวกเขาเรียกว่าลูกบาศก์ที่มีตัวเลขอยู่บนใบหน้า มีกี่หน้า กี่เลข จากไปกี่หน้า? ถึง.

ดังนั้นเราจึงทอยลูกเต๋าและเราต้องการให้มันขึ้นมาหรือ และเราได้รับมัน

ตามทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาบอกว่าเกิดอะไรขึ้น เหตุการณ์อันเป็นมงคล(อย่าสับสนกับความเจริญ)

หากเกิดขึ้นเหตุการณ์นั้นก็จะเป็นผลดีเช่นกัน โดยรวมแล้วมีเพียงสองเหตุการณ์ที่ดีเท่านั้นที่สามารถเกิดขึ้นได้

มีกี่อันที่ไม่เอื้ออำนวย? เนื่องจากมีเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด หมายความว่าเหตุการณ์ที่ไม่เอื้ออำนวยนั้นเป็นเหตุการณ์ (นี่คือถ้าหรือหลุดออกไป)

คำนิยาม:

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด- นั่นคือความน่าจะเป็นแสดงให้เห็นว่าสัดส่วนของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นที่น่าพอใจ

บ่งบอกถึงความน่าจะเป็น อักษรละติน(เห็นได้ชัดว่ามาจาก คำภาษาอังกฤษความน่าจะเป็น - ความน่าจะเป็น)

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดความน่าจะเป็นเป็นเปอร์เซ็นต์ (ดูหัวข้อ) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ต้องคูณค่าความน่าจะเป็นด้วย ในตัวอย่างลูกเต๋า ความน่าจะเป็น

และเป็นเปอร์เซ็นต์: .

ตัวอย่าง (ตัดสินใจด้วยตัวเอง):

1. ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวเมื่อโยนเหรียญเป็นเท่าไหร่? ความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเป็นเท่าใด?
2. ความน่าจะเป็นที่จะได้เลขคู่เมื่อขว้างลูกเต๋าคือเท่าไร? อันไหนแปลก?
3. ในกล่องดินสอสีน้ำเงินและสีแดงที่เรียบง่าย เราสุ่มวาดดินสอหนึ่งอัน ความน่าจะเป็นที่จะได้อันง่าย ๆ เป็นเท่าไหร่?

โซลูชั่น:

1. มีกี่ตัวเลือก? หัวและก้อย - แค่สองอัน มีกี่อันที่ดี? มีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่เป็นนกอินทรี ดังนั้นความน่าจะเป็น

   เช่นเดียวกับก้อย: .

2. ตัวเลือกทั้งหมด: (ลูกบาศก์มีกี่ด้าน, มีหลายด้าน ตัวเลือกต่างๆ- สิ่งที่ชอบ: (นี่คือเลขคู่ทั้งหมด :)
   ความน่าจะเป็น แน่นอนว่ามันเหมือนกันกับเลขคี่
3. ทั้งหมด: . ดี: . ความน่าจะเป็น: .

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

ดินสอทั้งหมดในกล่องเป็นสีเขียว ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีแดงเป็นเท่าใด? ไม่มีโอกาส: ความน่าจะเป็น (ท้ายที่สุดแล้ว เหตุการณ์ที่ดี -)

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเป็นไปไม่ได้

ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวเป็นเท่าใด? มีเหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบจำนวนเท่ากันทุกประการกับจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด (เหตุการณ์ที่เป็นที่ชื่นชอบทั้งหมด) ความน่าจะเป็นจึงเท่ากับหรือ

เหตุการณ์ดังกล่าวเรียกว่าเชื่อถือได้

ถ้ากล่องมีดินสอสีเขียวและสีแดง ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด อีกครั้ง. โปรดทราบว่า: ความน่าจะเป็นที่จะดึงสีเขียวออกมามีค่าเท่ากัน และสีแดงมีค่าเท่ากัน

โดยรวมแล้ว ความน่าจะเป็นเหล่านี้เท่ากันทุกประการ นั่นคือ ผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับหรือ

ตัวอย่าง:

ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่ไม่วาดสีเขียวเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

เราจำได้ว่าความน่าจะเป็นทั้งหมดเพิ่มขึ้น และความน่าจะเป็นที่จะได้สีเขียวก็เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะไม่วาดสีเขียวจะเท่ากัน

จำเคล็ดลับนี้:ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

เหตุการณ์อิสระและกฎการคูณ

คุณพลิกเหรียญหนึ่งครั้งและต้องการให้มันขึ้นหัวทั้งสองครั้ง ความน่าจะเป็นของสิ่งนี้คืออะไร?

มาดูตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้วพิจารณาว่ามีกี่ตัวเลือก:

หัว-หัว, ก้อย-หัว, หัว-ก้อย, ก้อย-ก้อย. อะไรอีก?

ตัวเลือกทั้งหมด ในจำนวนนี้มีเพียงคนเดียวเท่านั้นที่เหมาะกับเรา: Eagle-Eagle โดยรวมแล้วมีความน่าจะเป็นเท่ากัน

ดี. ทีนี้ลองพลิกเหรียญสักครั้ง ทำคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง มันได้ผลเหรอ? (คำตอบ).

คุณอาจสังเกตเห็นว่าการเพิ่มการโยนครั้งต่อๆ ไป ความน่าจะเป็นลดลงครึ่งหนึ่ง กฎทั่วไปเรียกว่า กฎการคูณ:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระจะเปลี่ยนไป

กิจกรรมอิสระคืออะไร? ทุกอย่างเป็นไปตามตรรกะ: สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งที่ไม่ขึ้นอยู่กับกันและกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อเราโยนเหรียญหลายครั้ง แต่ละครั้งที่มีการโยนครั้งใหม่ ผลลัพธ์ที่ได้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโยนครั้งก่อนทั้งหมด เราสามารถโยนเหรียญสองเหรียญในเวลาเดียวกันได้อย่างง่ายดาย

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

1. ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้ทั้งสองครั้งเป็นเท่าไหร่?
2. มีการโยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะขึ้นหัวครั้งแรก แล้วก้อยสองครั้งเป็นเท่าใด?
3. ผู้เล่นทอยลูกเต๋าสองลูก ความน่าจะเป็นที่ผลรวมของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากันคือเท่าไร?

คำตอบ:

1. เหตุการณ์มีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่ากฎการคูณจะทำงาน:
2. ความน่าจะเป็นของหัวจะเท่ากัน ความน่าจะเป็นของก้อยก็เหมือนกัน คูณ:
3. 12 สามารถรับได้ก็ต่อเมื่อมีการทอยสอง -ki:

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และกฎการเพิ่ม

เหตุการณ์ที่เสริมซึ่งกันและกันเรียกว่าเข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นเต็ม- ตามชื่อมันไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ เช่น ถ้าเราโยนเหรียญ มันจะขึ้นหัวหรือก้อยก็ได้

ตัวอย่าง.

ในกล่องดินสอมีสีฟ้า แดง เขียว ธรรมดา เหลือง และที่เหลือเป็นสีส้ม ความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงเป็นเท่าใด?

สารละลาย .

ความน่าจะเป็นที่จะวาดดินสอสีเขียวมีค่าเท่ากัน สีแดง - .

เหตุการณ์ที่ดีทั้งหมด: เขียว + แดง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่จะวาดสีเขียวหรือสีแดงมีค่าเท่ากัน

ความน่าจะเป็นแบบเดียวกันสามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้:

นี่คือกฎการเพิ่ม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น

ปัญหาประเภทผสม

ตัวอย่าง.

มีการโยนเหรียญสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยจะแตกต่างออกไปคือเท่าไร?

สารละลาย .

ซึ่งหมายความว่าหากผลลัพธ์แรกเป็นหัว ผลที่สองจะต้องเป็นก้อย และในทางกลับกัน ปรากฎว่ามีเหตุการณ์อิสระสองคู่และคู่เหล่านี้เข้ากันไม่ได้ วิธีที่จะไม่สับสนว่าจะคูณตรงไหนและจะเพิ่มตรงไหน

มีกฎง่ายๆ สำหรับสถานการณ์ดังกล่าว พยายามอธิบายว่าจะเกิดอะไรขึ้นโดยใช้คำสันธาน “AND” หรือ “OR” ตัวอย่างเช่นใน ในกรณีนี้:

มันควรจะขึ้นมา (หัวและก้อย) หรือ (ก้อยและหัว)

เมื่อมีคำเชื่อม “และ” ก็จะมีการคูณ และเมื่อมี “หรือ” ก็จะต้องมีการบวกดังนี้

ลองด้วยตัวเอง:

1. ความน่าจะเป็นที่โยนเหรียญ 2 ครั้ง เหรียญจะตกด้านเดียวกันทั้ง 2 ครั้งเป็นเท่าไร?
2. ลูกเต๋าจะถูกโยนสองครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะได้คะแนนรวมเป็นเท่าใด?

โซลูชั่น:

อีกตัวอย่างหนึ่ง:

โยนเหรียญหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่หัวจะปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้งเป็นเท่าใด?

สารละลาย:

ทฤษฎีความน่าจะเป็น สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่น่าพึงพอใจต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เหตุการณ์อิสระ

สองเหตุการณ์เป็นอิสระต่อกัน หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่ได้เปลี่ยนความน่าจะเป็นของอีกเหตุการณ์หนึ่งที่เกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นทั้งหมด

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากับ ()

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเท่ากับลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดขึ้น

กฎสำหรับการคูณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ

ความน่าจะเป็นของลำดับหนึ่งของเหตุการณ์อิสระจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้

เหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้คือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันอันเป็นผลมาจากการทดสอบ ชุดของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้แบบฟอร์ม เต็มกลุ่มเหตุการณ์ต่างๆ

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้จะเพิ่มขึ้น

เมื่ออธิบายสิ่งที่จะเกิดขึ้นโดยใช้คำเชื่อม "AND" หรือ "OR" เราใส่เครื่องหมายคูณแทน "AND" และใส่เครื่องหมายบวกแทน "OR"

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ ผ่านการสอบ Unified Stateสำหรับการเข้าศึกษาในวิทยาลัยด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

คนที่ได้รับ การศึกษาที่ดีมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับมันมาก นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะยังมีอะไรเปิดกว้างอยู่ตรงหน้าพวกเขาอีกมาก ความเป็นไปได้มากขึ้นและชีวิตจะสดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหา การวิเคราะห์โดยละเอียด และตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

1. ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 499 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดทั้งชีวิตของไซต์

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

ในบล็อกของฉัน มีการแปลการบรรยายครั้งต่อไปของหลักสูตร "หลักการแห่งความสมดุลของเกม" โดยนักออกแบบเกม Jan Schreiber ซึ่งทำงานในโปรเจ็กต์ต่างๆ เช่น Marvel Trading Card Game และ Playboy: the Mansion

ถึง วันนี้เกือบทุกสิ่งที่เราพูดถึงนั้นเป็นสิ่งที่กำหนดได้ และเมื่อสัปดาห์ที่แล้วเราได้พิจารณากลศาสตร์สกรรมกริยาอย่างใกล้ชิด โดยลงรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่ฉันจะอธิบายได้ แต่จนถึงขณะนี้ เรายังไม่ได้ให้ความสนใจกับแง่มุมอื่นของเกมหลายๆ เกม กล่าวคือ แง่มุมที่ไม่สามารถกำหนดได้ หรืออีกนัยหนึ่งก็คือ ความสุ่ม

การทำความเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มเป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับนักออกแบบเกม เราสร้างระบบที่ส่งผลต่อประสบการณ์ของผู้ใช้ในเกมนั้นๆ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องรู้ว่าระบบเหล่านั้นทำงานอย่างไร หากมีการสุ่มในระบบ เราจำเป็นต้องเข้าใจธรรมชาติของการสุ่มนี้ และรู้วิธีการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ

ลูกเต๋า

มาเริ่มกันด้วยสิ่งง่ายๆ - การขว้างปา ลูกเต๋า- เมื่อคนส่วนใหญ่นึกถึงลูกเต๋า พวกเขานึกถึงลูกเต๋าหกด้านที่เรียกว่า d6 แต่นักเล่นเกมส่วนใหญ่เคยเห็นลูกเต๋าอื่นๆ มากมาย: จัตุรมุข (d4), แปดเหลี่ยม (d8), สิบสองด้าน (d12), ยี่สิบด้าน (d20) หากคุณเป็นพวกคลั่งไคล้จริงๆ คุณอาจมีลูกเต๋า 30 ด้านหรือ 100 ด้านอยู่ที่ไหนสักแห่ง

หากคุณไม่คุ้นเคยกับคำศัพท์เหล่านี้ d ย่อมาจาก die และตัวเลขที่อยู่ข้างหลังคือจำนวนด้านที่มี หากตัวเลขปรากฏก่อน d แสดงว่าจำนวนลูกเต๋าที่จะทอย ตัวอย่างเช่น ในเกม Monopoly คุณหมุน 2d6

ดังนั้นในกรณีนี้ คำว่า "ลูกเต๋า" ก็คือ เครื่องหมาย- มีเครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มอื่น ๆ จำนวนมากที่ดูไม่เหมือนตัวเลขพลาสติก แต่ทำหน้าที่เดียวกัน - สร้าง หมายเลขสุ่มจาก 1 ถึง n เหรียญธรรมดาสามารถแสดงเป็นลูกเต๋าไดฮีดรัล d2 ได้เช่นกัน

ฉันเห็นลูกเต๋าเจ็ดด้านสองแบบ อันหนึ่งดูเหมือนลูกเต๋า และอีกอันดูเหมือนดินสอไม้เจ็ดด้านมากกว่า จัตุรมุขเดรเดลหรือที่รู้จักกันในชื่อไทโทตัม มีลักษณะคล้ายกับกระดูกจัตุรมุข กระดานลูกศรหมุนใน Chutes & Ladders ซึ่งคะแนนมีตั้งแต่ 1 ถึง 6 สอดคล้องกับลูกเต๋าหกด้าน

เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มของคอมพิวเตอร์สามารถสร้างตัวเลขใดๆ ก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 19 หากผู้ออกแบบระบุ แม้ว่าคอมพิวเตอร์จะไม่มีแม่พิมพ์ที่มี 19 ด้านก็ตาม (โดยทั่วไป ฉันจะพูดถึงความน่าจะเป็นของตัวเลขที่จะเกิดขึ้นบน คอมพิวเตอร์ในสัปดาห์หน้า) รายการทั้งหมดเหล่านี้ดูแตกต่างออกไป แต่ในความเป็นจริงแล้วสิ่งเหล่านั้นเทียบเท่ากัน: คุณมีโอกาสเท่ากันในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละอย่าง

ลูกเต๋าก็มีบ้าง คุณสมบัติที่น่าสนใจที่เราต้องรู้ ประการแรก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกเต๋าใดๆ ก็ตามจะเท่ากัน (ฉันถือว่าคุณกำลังทอยลูกเต๋าถูก) รูปทรงเรขาคณิต- หากคุณต้องการทราบค่าเฉลี่ยของม้วนหนึ่ง (สำหรับผู้ที่สนใจทฤษฎีความน่าจะเป็นจะเรียกว่า ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์) รวมค่าบนใบหน้าทั้งหมดแล้วหารตัวเลขนี้ด้วยจำนวนใบหน้า

ผลรวมของค่าของทุกด้านสำหรับแม่พิมพ์หกด้านมาตรฐานคือ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 หาร 21 ด้วยจำนวนด้านและรับค่าเฉลี่ยของม้วน: 21 / 6 = 3.5 นี้ กรณีพิเศษเนื่องจากเราถือว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่าเทียมกัน

ถ้าคุณมีลูกเต๋าพิเศษล่ะ? เช่น ผมเห็นเกมที่มีลูกเต๋าหกด้านและมีสติ๊กเกอร์พิเศษอยู่ด้านข้าง: 1, 1, 1, 2, 2, 3 มันเลยมีพฤติกรรมเหมือนลูกเต๋าสามหน้าแปลกๆ ที่มี โอกาสมากขึ้นตัวเลขนั้นจะเป็น 1 แทนที่จะเป็น 2 และเลข 2 มีแนวโน้มที่จะถูกทอยมากกว่า 3 ค่าเฉลี่ยของการทอยสำหรับลูกเต๋าชิ้นนี้เป็นเท่าใด? ดังนั้น 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10 หารด้วย 6 - จะได้ 5/3 หรือประมาณ 1.66 ดังนั้น หากคุณมีลูกเต๋าพิเศษและผู้เล่นทอยลูกเต๋าสามลูกแล้วบวกผลลัพธ์ คุณรู้ว่าทอยของพวกเขาจะรวมกันได้ประมาณ 5 และคุณสามารถปรับสมดุลเกมตามสมมติฐานนั้น

ลูกเต๋าและความเป็นอิสระ

ดังที่ผมได้กล่าวไปแล้ว เราดำเนินการตามสมมติฐานที่ว่าแต่ละฝ่ายมีแนวโน้มที่จะหลุดออกไปเท่าๆ กัน ไม่สำคัญว่าคุณจะทอยลูกเต๋ากี่ลูก การทอยลูกเต๋าแต่ละครั้งมีความเป็นอิสระ ซึ่งหมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งก่อนจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการทอยครั้งต่อไป เมื่อทดลองมากพอ คุณจะสังเกตเห็นรูปแบบของตัวเลข เช่น การทอยค่าที่สูงกว่าหรือต่ำกว่าเป็นส่วนใหญ่ หรือคุณสมบัติอื่นๆ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าลูกเต๋าจะ "ร้อน" หรือ "เย็น" เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานแล้วเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดกัน ความน่าจะเป็นที่การโยนครั้งถัดไปจะส่งผลให้ได้ 6 เท่ากับ 1/6 พอดี ความน่าจะเป็นจะไม่เพิ่มขึ้นเนื่องจากลูกเต๋า "ร้อนขึ้น" . ในขณะเดียวกัน ความน่าจะเป็นก็ไม่ลดลง: ไม่ถูกต้องโดยให้เหตุผลว่าเลข 6 ขึ้นมาสองครั้งติดต่อกันแล้ว ซึ่งหมายความว่าตอนนี้ต้องมีอีกฝ่ายขึ้นมา

แน่นอน หากคุณทอยลูกเต๋ายี่สิบครั้งและได้ 6 ในแต่ละครั้ง โอกาสที่ยี่สิบครั้งแรกที่คุณทอยลูกเต๋าได้ 6 นั้นค่อนข้างสูง บางทีคุณอาจแค่ตายผิด แต่หากการตายนั้นยุติธรรม แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของการทอยครั้งอื่น คุณสามารถจินตนาการได้ว่าเราเปลี่ยนลูกเต๋าทุกครั้ง: หากทอยหมายเลข 6 สองครั้งติดต่อกัน ให้เอาลูกเต๋าที่ "ร้อน" ออกจากเกมแล้วแทนที่ด้วยอันใหม่ ฉันขอโทษถ้าคุณมีคนรู้เรื่องนี้แล้ว แต่ฉันจำเป็นต้องเคลียร์เรื่องนี้ก่อนที่จะดำเนินการต่อ

วิธีทำให้ลูกเต๋าทอยสุ่มมากหรือน้อย

เรามาพูดถึงวิธีการได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันบนลูกเต๋าที่แตกต่างกัน ไม่ว่าคุณจะทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียวหรือหลายครั้ง เกมจะรู้สึกสุ่มมากขึ้นเมื่อลูกเต๋ามีด้านมากขึ้น ยิ่งคุณต้องทอยลูกเต๋าบ่อยแค่ไหน และยิ่งทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ในกรณีของ 1d6 + 4 (นั่นคือ หากคุณทอยลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานหนึ่งครั้งแล้วบวก 4 เข้ากับผลลัพธ์) ค่าเฉลี่ยจะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 หากคุณทอย 5d2 ค่าเฉลี่ย จะเป็นตัวเลขระหว่าง 5 ถึง 10 ผลลัพธ์ของการทอย 5d2 ส่วนใหญ่จะเป็นตัวเลข 7 และ 8 ซึ่งน้อยกว่าค่าอื่น ๆ ซีรีย์เดียวกันแม้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน (ในทั้งสองกรณี 7.5) แต่ลักษณะของการสุ่มจะแตกต่างกัน

รอสักครู่. ฉันไม่ได้บอกว่าลูกเต๋าไม่ "ร้อน" หรือ "เย็น" ใช่ไหม? ตอนนี้ฉันพูดว่า: ถ้าคุณโยนลูกเต๋าจำนวนมาก ผลลัพธ์ของการทอยจะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย ทำไม

ให้ฉันอธิบาย. หากคุณทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก แต่ละฝ่ายมีความน่าจะเป็นที่จะลงจอดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหากคุณทอยลูกเต๋าเป็นจำนวนมากเมื่อเวลาผ่านไป แต่ละด้านจะออกมาเป็นจำนวนเท่าๆ กัน ยิ่งคุณทอยลูกเต๋ามากเท่าไร ผลลัพธ์รวมก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ยมากขึ้นเท่านั้น

ไม่ใช่เพราะว่าหมายเลขที่ออก "บังคับ" หมายเลขอื่นให้ออกที่ยังไม่ได้ออก แต่เนื่องจากการออกเลข 6 (หรือ 20 หรือเลขอื่น) ชุดเล็กๆ ในตอนท้ายจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์มากนักหากคุณทอยลูกเต๋าอีกหมื่นครั้งและส่วนใหญ่จะได้เลขเฉลี่ยขึ้นมา ตอนนี้คุณจะได้รับหลายอย่าง จำนวนมากและต่อมาก็มีรายการเล็กๆ อีกหลายรายการ และเมื่อเวลาผ่านไปก็จะเข้าใกล้ค่าเฉลี่ย

ไม่ใช่เพราะการทอยครั้งก่อนส่งผลต่อลูกเต๋า (เอาจริง ๆ ลูกเต๋าทำจากพลาสติก มันไม่มีสมองที่จะคิดว่า "โอ้ คุณทอย 2 มานานแล้ว") แต่เพราะนี่คือสิ่งที่ปกติ เกิดขึ้นเมื่อคุณทอยลูกเต๋าจำนวนมาก

ดังนั้นจึงค่อนข้างง่ายที่จะคำนวณการทอยลูกเต๋าแบบสุ่มหนึ่งครั้ง - อย่างน้อยก็เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของการทอย นอกจากนี้ยังมีวิธีคำนวณว่าบางสิ่งมีความ "สุ่มแค่ไหน" และบอกว่าผลลัพธ์ของการกลิ้ง 1d6+4 จะ "สุ่มมากกว่า" มากกว่า 5d2 สำหรับ 5d2 ม้วนจะกระจายเท่าๆ กันมากขึ้น ในการทำเช่นนี้ คุณจะต้องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: ยิ่งค่ามากขึ้น ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะสุ่มมากขึ้นเท่านั้น วันนี้ฉันไม่ต้องการที่จะให้การคำนวณมากมายฉันจะอธิบายหัวข้อนี้ในภายหลัง

สิ่งเดียวที่ฉันจะขอให้คุณจำก็คือ ตามกฎทั่วไป ยิ่งคุณทอยลูกเต๋าน้อยลง ความสุ่มก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น และยิ่งลูกเต๋ามีด้านมากเท่าใด ความสุ่มก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เนื่องจากมีตัวเลือกค่าที่เป็นไปได้มากกว่า

วิธีการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้การนับ

คุณอาจสงสัยว่า: เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่แน่นอนของการได้ผลลัพธ์ที่แน่นอนได้อย่างไร อันที่จริงสิ่งนี้ค่อนข้างสำคัญสำหรับหลาย ๆ เกม: หากคุณทอยลูกเต๋าในตอนแรก - มีแนวโน้มว่าจะได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด คำตอบของฉันคือ: เราต้องคำนวณค่าสองค่า ประการแรก จำนวนทั้งหมดผลลัพธ์เมื่อขว้างลูกเต๋า และประการที่สอง จำนวนผลลัพธ์ที่ดี การหารค่าที่สองด้วยค่าแรกจะทำให้คุณได้ความน่าจะเป็นที่ต้องการ ที่จะได้รับ เปอร์เซ็นต์ให้คูณผลลัพธ์ด้วย 100

ตัวอย่าง

นี่เป็นตัวอย่างง่ายๆ คุณต้องการให้หมายเลข 4 หรือสูงกว่าหมุนลูกเต๋าหกด้านหนึ่งครั้ง จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ในจำนวนนี้มี 3 ผลลัพธ์ (4, 5, 6) ที่เป็นที่น่าพอใจ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็น เราจะหาร 3 ด้วย 6 แล้วได้ 0.5 หรือ 50%

นี่เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย คุณต้องการม้วน 2d6 เลขคู่- จำนวนผลลัพธ์สูงสุดคือ 36 (6 ตัวเลือกสำหรับการตายแต่ละครั้ง การตายหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่ออีกทางเลือกหนึ่ง ดังนั้นให้คูณ 6 ด้วย 6 และรับ 36) ความยากง่ายของปัญหา ประเภทนี้คือมันง่ายที่จะนับสองครั้ง ตัวอย่างเช่น เมื่อทอย 2d6 มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 3: 1+2 และ 2+1 มีลักษณะเหมือนกัน แต่ความแตกต่างคือหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าตัวแรกและหมายเลขใดจะแสดงบนลูกเต๋าที่สอง

คุณยังสามารถจินตนาการได้ว่าลูกเต๋า สีที่ต่างกัน: ตัวอย่างเช่น ในกรณีนี้ ลูกเต๋าลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกเป็นสีน้ำเงิน จากนั้นนับจำนวนตัวเลือกในการทอยเลขคู่:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

ปรากฎว่ามี 18 ตัวเลือกสำหรับผลลัพธ์ที่ดีจาก 36 ตัวเลือก - เช่นเดียวกับในกรณีก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นคือ 0.5 หรือ 50% อาจจะไม่คาดคิดแต่ค่อนข้างแม่นยำ

การจำลองมอนติคาร์โล

ถ้าคุณมีลูกเต๋ามากเกินไปสำหรับการคำนวณนี้ล่ะ? ตัวอย่างเช่น คุณต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มรวม 15 หรือมากกว่าเมื่อทอย 8d6 เป็นเท่าใด สำหรับลูกเต๋าแปดลูกก็มี ความหลากหลายมากผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน และการนับด้วยตนเองอาจใช้เวลานานมาก แม้ว่าเราจะพบวิธีแก้ปัญหาที่ดีในการจัดกลุ่มการทอยลูกเต๋าหลายชุดก็ตาม

ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือไม่ต้องนับด้วยตนเอง แต่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ มีสองวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นบนคอมพิวเตอร์ วิธีแรกสามารถให้คำตอบที่ถูกต้องแก่คุณได้ แต่ต้องใช้การเขียนโปรแกรมหรือการเขียนสคริปต์เล็กน้อย คอมพิวเตอร์จะผ่านแต่ละความเป็นไปได้ ประเมินและนับจำนวนการวนซ้ำทั้งหมด และจำนวนการวนซ้ำที่ตรงกัน ผลลัพธ์ที่ต้องการแล้วจึงให้คำตอบ รหัสของคุณอาจมีลักษณะดังนี้ ดังต่อไปนี้:

หากคุณไม่เข้าใจการเขียนโปรแกรมและต้องการคำตอบโดยประมาณมากกว่าคำตอบที่แน่นอน คุณสามารถจำลองสถานการณ์นี้ใน Excel โดยที่คุณหมุน 8d6 หลายพันครั้งและรับคำตอบ หากต้องการหมุน 1d6 ใน Excel ให้ใช้สูตร =ชั้น(แรนด์()*6)+1.

มีชื่อของสถานการณ์เมื่อคุณไม่ทราบคำตอบและลองหลายครั้ง - การจำลองแบบมอนติคาร์โล นี่เป็นทางออกที่ดีที่จะใช้เมื่อคำนวณความน่าจะเป็นที่ยากเกินไป สิ่งที่ยอดเยี่ยมคือในกรณีนี้ เราไม่จำเป็นต้องเข้าใจว่าคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร และเรารู้ว่าคำตอบจะ "ค่อนข้างดี" เพราะอย่างที่เราทราบอยู่แล้ว ยิ่งหมุนมากเท่าไร ผลลัพธ์ก็จะเข้าใกล้มากขึ้นเท่านั้น เฉลี่ย.

วิธีรวมการทดลองอิสระ

หากถามซ้ำหลายรอบแต่ การทดสอบอิสระดังนั้นผลลัพธ์ของการโยนหนึ่งครั้งจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งอื่น มีคำอธิบายที่ง่ายกว่านี้อีกประการหนึ่งสำหรับสถานการณ์นี้

จะแยกแยะระหว่างสิ่งที่ขึ้นอยู่กับและเป็นอิสระได้อย่างไร? โดยพื้นฐานแล้ว หากคุณสามารถแยกการโยนแต่ละครั้ง (หรือการโยนต่อเนื่องกัน) ของการตายเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน มันก็จะเป็นอิสระจากกัน ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราทอยได้ 8d6 และต้องการผลรวมเป็น 15 งานนี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นทอยลูกเต๋าอิสระหลายๆ อันได้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ คุณจะต้องคำนวณผลรวมของค่าทั้งหมด ดังนั้นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นจากการตายตัวหนึ่งจะส่งผลต่อผลลัพธ์ที่ควรจะเกิดขึ้นกับอีกตัวหนึ่งด้วย

นี่คือตัวอย่างของการทอยลูกเต๋าแบบอิสระ: คุณกำลังเล่นเกมลูกเต๋า และคุณกำลังทอยลูกเต๋าหกด้านหลายครั้ง การหมุนครั้งแรกต้องเป็น 2 หรือสูงกว่าจึงจะอยู่ในเกมได้ สำหรับการโยนครั้งที่สอง - 3 หรือสูงกว่า อันที่ 3 ต้องได้ 4 หรือสูงกว่า อันที่ 4 ต้องได้ 5 หรือสูงกว่า และอันที่ 5 ต้องได้ 6 หากทอยทั้งห้าสำเร็จ คุณจะชนะ ในกรณีนี้ การโยนทั้งหมดจะเป็นอิสระจากกัน ใช่ หากการโยนหนึ่งครั้งไม่สำเร็จ จะส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมทั้งหมด แต่การโยนครั้งหนึ่งจะไม่ส่งผลต่ออีกอัน ตัวอย่างเช่น หากการทอยลูกเต๋าครั้งที่สองของคุณประสบความสำเร็จอย่างมาก ไม่ได้หมายความว่าการทอยลูกเต๋าครั้งถัดไปจะดีเท่ากัน ดังนั้นเราจึงสามารถพิจารณาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าแต่ละลูกแยกกัน

ถ้าคุณมี ความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระและคุณต้องการรู้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นเป็นเท่าใด คุณจึงกำหนดความน่าจะเป็นแต่ละรายการและคูณเข้าด้วยกัน อีกวิธีหนึ่ง: ถ้าใช้คำเชื่อม “และ” อธิบายเงื่อนไขหลายประการ (เช่น ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นบางเงื่อนไขเป็นเท่าใด เหตุการณ์สุ่มและเหตุการณ์สุ่มอิสระอื่น ๆ บ้างไหม) - นับความน่าจะเป็นส่วนบุคคลแล้วคูณมัน

ไม่ว่าคุณจะคิดอย่างไร อย่ารวมความน่าจะเป็นที่เป็นอิสระเข้าด้วยกัน นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไป เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงผิด ลองจินตนาการถึงสถานการณ์ที่คุณกำลังโยนเหรียญและต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกันเป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นที่แต่ละฝ่ายจะหลุดคือ 50% หากคุณบวกความน่าจะเป็นทั้งสองนี้เข้าด้วยกัน คุณจะมีโอกาส 100% ที่จะได้หัว แต่เรารู้ว่ามันไม่จริง เพราะมันอาจออกก้อยสองครั้งติดต่อกัน หากคุณคูณความน่าจะเป็นทั้งสองแทน คุณจะได้ 50% * 50% = 25% ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัวสองครั้งติดต่อกัน

ตัวอย่าง

กลับไปที่เกมลูกเต๋าหกด้าน โดยก่อนอื่นคุณต้องทอยตัวเลขที่มากกว่า 2 จากนั้นมากกว่า 3 - และต่อไปจนถึง 6 อะไรคือโอกาสที่ในการทอยห้าครั้งที่กำหนดผลลัพธ์ทั้งหมดจะเป็นที่น่าพอใจ ?

ตามที่ระบุไว้ข้างต้น สิ่งเหล่านี้เป็นการทดลองอิสระ ดังนั้นเราจึงคำนวณความน่าจะเป็นของแต่ละทอยแล้วคูณเข้าด้วยกัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์ของการทอยครั้งแรกจะออกมาดีคือ 5/6 วินาที - 4/6 ที่สาม - 3/6 ที่สี่ - 2/6 ที่ห้า - 1/6 เราคูณผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันและได้ประมาณ 1.5% การชนะในเกมนี้ค่อนข้างหายาก ดังนั้นหากคุณเพิ่มองค์ประกอบนี้ลงในเกม คุณจะต้องมีแจ็คพอตขนาดใหญ่พอสมควร

การปฏิเสธ

นี่อีกอันหนึ่ง คำแนะนำที่เป็นประโยชน์: บางครั้งการคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นได้ยาก แต่จะง่ายกว่าในการกำหนดโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะไม่เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีเกมอื่น: คุณทอยได้ 6d6 และชนะถ้าคุณทอยได้ 6 อย่างน้อยหนึ่งครั้ง ความน่าจะเป็นที่จะชนะเป็นเท่าใด

ในกรณีนี้ มีหลายทางเลือกที่ต้องพิจารณา เป็นไปได้ว่าจะมีการทอยเลข 6 ตัวหนึ่ง นั่นคือลูกเต๋าตัวหนึ่งจะแสดงหมายเลข 6 และอีกลูกจะแสดงตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 จากนั้นมี 6 ตัวเลือกซึ่งลูกเต๋าจะแสดงเลข 6 คุณสามารถได้เลข 6 จากลูกเต๋าสองลูกหรือสามลูกหรือมากกว่านั้น และแต่ละครั้งคุณจะต้องคำนวณแยกกัน ดังนั้นจึงอาจสับสนได้ง่ายที่นี่

แต่ลองดูปัญหาจากอีกด้านหนึ่ง คุณจะแพ้หากไม่มีลูกเต๋าทอยได้ 6 ในกรณีนี้ เรามีการทดลองอิสระ 6 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าแต่ละลูกจะทอยเป็นตัวเลขอื่นที่ไม่ใช่ 6 คือ 5/6 คูณพวกมันแล้วคุณจะได้ประมาณ 33% ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือหนึ่งในสาม ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% (หรือสองถึงสาม)

จากตัวอย่างนี้เห็นได้ชัดเจน: หากคุณคำนวณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้น คุณจะต้องลบผลลัพธ์ออกจาก 100% หากความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 67% ความน่าจะเป็นที่จะแพ้คือ 100% ลบ 67% หรือ 33% และในทางกลับกัน หากการคำนวณความน่าจะเป็นหนึ่งรายการยากแต่คำนวณค่าตรงกันข้ามได้ง่าย ให้คำนวณค่าตรงกันข้ามแล้วลบตัวเลขนั้นออกจาก 100%

เรารวมเงื่อนไขสำหรับการทดสอบอิสระหนึ่งครั้ง

ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าคุณไม่ควรเพิ่มความน่าจะเป็นในการทดลองอิสระ มีกรณีใดบ้างที่สามารถสรุปความน่าจะเป็นได้? ใช่ ในสถานการณ์พิเศษอย่างหนึ่ง

หากคุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจหลายรายการที่ไม่เกี่ยวข้องในการทดลองครั้งเดียว ให้รวมความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจแต่ละรายการ ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4, 5 หรือ 6 บน 1d6 เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 4 ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 5 และความน่าจะเป็นที่จะทอยเลข 6 สถานการณ์แบบนี้สามารถจินตนาการได้ด้วยวิธีนี้: หากคุณใช้คำเชื่อม "หรือ" ในคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (เช่น ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อย่างใดอย่างหนึ่งของเหตุการณ์สุ่มเหตุการณ์หนึ่งคืออะไร) - นับความน่าจะเป็นแต่ละรายการและสรุปผล

โปรดทราบ: เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเกม ผลรวมของความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นจะต้องเท่ากับ 100% มิฉะนั้นการคำนวณของคุณจะไม่ถูกต้อง นี้ วิธีที่ดีตรวจสอบการคำนวณของคุณอีกครั้ง ตัวอย่างเช่น คุณวิเคราะห์ความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมทั้งหมดในโป๊กเกอร์ หากคุณรวมผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน คุณควรจะได้ 100% พอดี (หรืออย่างน้อยก็เกือบ 100%: หากคุณใช้เครื่องคิดเลข อาจมีข้อผิดพลาดในการปัดเศษเล็กน้อย แต่ถ้าคุณบวกตัวเลขที่แน่นอนด้วยมือ ทุกอย่างจะเกิดข้อผิดพลาด ควรเพิ่มขึ้น) หากผลรวมไม่มาบรรจบกัน หมายความว่าคุณไม่ได้คำนึงถึงชุดค่าผสมบางชุดหรือคำนวณความน่าจะเป็นของชุดค่าผสมบางชุดไม่ถูกต้อง และการคำนวณจำเป็นต้องได้รับการตรวจสอบอีกครั้ง

ความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน

จนถึงขณะนี้ เราสันนิษฐานว่าแต่ละด้านของลูกเต๋าถูกทอยด้วยความถี่เดียวกัน เพราะนั่นคือลักษณะการทำงานของลูกเต๋า แต่บางครั้งคุณอาจพบกับสถานการณ์ที่อาจได้รับผลลัพธ์ที่แตกต่างกันออกไป และมีโอกาสถูกดึงออกมาต่างกัน

ตัวอย่างเช่นหนึ่งในส่วนขยายของเกมการ์ดสงครามนิวเคลียร์มีสนามเด็กเล่นที่มีลูกศรซึ่งขึ้นอยู่กับผลของการปล่อยจรวด ส่วนใหญ่มักจะสร้างความเสียหายตามปกติ แรงกว่าหรือน้อยกว่า แต่บางครั้งความเสียหายก็เพิ่มเป็นสองเท่าหรือสามเท่า หรือจรวดระเบิด แท่นยิงจรวดและเป็นอันตรายต่อคุณ หรือมีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ต่างจากกระดานลูกศรใน Chutes & Ladders หรือ A Game of Life ผลลัพธ์ของกระดานเกมในสงครามนิวเคลียร์นั้นไม่สม่ำเสมอ สนามเด็กเล่นบางส่วนมีขนาดใหญ่กว่าและลูกศรจะหยุดที่พวกมันบ่อยกว่ามาก ในขณะที่ส่วนอื่นๆ มีขนาดเล็กมากและลูกศรจะหยุดที่พวกมันน้อยมาก

เมื่อมองแวบแรก แม่พิมพ์จะมีลักษณะดังนี้: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - เราได้พูดถึงไปแล้ว มันเหมือนกับ 1d3 ถ่วงน้ำหนัก ดังนั้นเราจึงต้องแบ่งส่วนเหล่านี้ออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน หาหน่วยวัดที่เล็กที่สุด ตัวหารที่ทุกอย่างเป็นจำนวนทวีคูณ แล้วแทนสถานการณ์ในรูปของ d522 (หรืออย่างอื่น) โดยที่เซตของลูกเต๋า ใบหน้าจะสื่อถึงสถานการณ์เดียวกัน จมูก จำนวนมากผลลัพธ์ นี่เป็นวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหา และเป็นไปได้ในทางเทคนิค แต่มีตัวเลือกที่ง่ายกว่า

กลับไปที่ลูกเต๋าหกด้านมาตรฐานของเรากัน เราเคยกล่าวไว้ว่าในการคำนวณการหมุนเฉลี่ยของแม่พิมพ์ปกติคุณต้องบวกค่าบนหน้าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนหน้า แต่การคำนวณทำงานอย่างไรกันแน่? มีวิธีอื่นในการแสดงออกนี้ สำหรับการทอยลูกเต๋าหกด้าน ความน่าจะเป็นที่แต่ละด้านจะถูกทอยคือ 1/6 พอดี ตอนนี้เราคูณผลลัพธ์ของแต่ละเส้นขอบด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น (ในกรณีนี้คือ 1/6 สำหรับแต่ละเส้นขอบ) แล้วบวกค่าผลลัพธ์เข้าด้วยกัน ดังนั้นสรุปได้ (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ) เราได้ผลลัพธ์เดียวกัน (3.5) เช่นเดียวกับการคำนวณด้านบน อันที่จริง เรานับแบบนี้ทุกครั้ง: เราคูณผลลัพธ์แต่ละอย่างด้วยความน่าจะเป็นของผลลัพธ์นั้น

เราสามารถคำนวณลูกศรบนสนามแข่งขันในสงครามนิวเคลียร์แบบเดียวกันได้หรือไม่? แน่นอนเราทำได้ และถ้าเรารวมผลลัพธ์ทั้งหมดที่พบ เราก็จะได้ค่าเฉลี่ย สิ่งที่เราต้องทำคือคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการสำหรับลูกศรบนกระดานเกมและคูณด้วยค่าผลลัพธ์

อีกตัวอย่างหนึ่ง

วิธีการคำนวณค่าเฉลี่ยนี้ยังเหมาะสมหากผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากันแต่มีข้อได้เปรียบที่แตกต่างกัน เช่น หากคุณทอยลูกเต๋าและชนะในบางด้านมากกว่าด้านอื่น ตัวอย่างเช่น เรามาเล่นเกมคาสิโนกัน: คุณวางเดิมพันและทอย 2d6 ถ้าทอยเลขสามตัวด้วย ค่าต่ำสุด(2, 3, 4) หรือตัวเลขสี่ตัวด้วย มูลค่าสูง(9, 10, 11, 12) - คุณจะชนะจำนวนเท่ากับเงินเดิมพันของคุณ ตัวเลขที่มีค่าต่ำสุดและสูงสุดเป็นพิเศษ: หากคุณหมุน 2 หรือ 12 คุณจะชนะการเดิมพันสองเท่า หากทอยหมายเลขอื่น (5, 6, 7, 8) คุณจะเสียเงินเดิมพัน มันสวย เกมง่ายๆ- แต่ความน่าจะเป็นที่จะชนะคืออะไร?

เริ่มต้นด้วยการนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถชนะได้ จำนวนผลลัพธ์สูงสุดเมื่อทอย 2d6 คือ 36 จำนวนผลลัพธ์ที่ดีคือเท่าไร?

• มี 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 2 และ 1 ตัวเลือกที่จะทอยได้ 12
• มี 2 ​​ตัวเลือกที่ 3 จะทอยและ 2 ตัวเลือกที่ 11 จะทอย
• มี 3 ตัวเลือกที่ 4 จะทอย และ 3 ตัวเลือกที่ 10 จะทอย
• มี 4 ตัวเลือกสำหรับการหมุน 9

เมื่อรวมตัวเลือกทั้งหมดแล้ว เราได้ผลลัพธ์ที่ดี 16 รายการจาก 36 รายการ ดังนั้นด้วย สภาวะปกติคุณจะชนะ 16 ครั้งจากทั้งหมด 36 ครั้ง - ความน่าจะเป็นที่จะชนะน้อยกว่า 50% เล็กน้อย

แต่ในสองกรณีจากสิบหกกรณีนี้ คุณจะชนะเป็นสองเท่า - มันเหมือนกับการชนะสองครั้ง หากคุณเล่นเกมนี้ 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง และผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แต่ละรายการเกิดขึ้นครั้งเดียว คุณจะชนะรางวัลรวม 18 ดอลลาร์ (จริง ๆ แล้วคุณจะชนะ 16 ครั้ง แต่สองรายการจะนับเป็นชัยชนะสองครั้ง) หากคุณเล่น 36 ครั้งและชนะรางวัล $18 นั่นไม่ได้หมายความว่าอัตราต่อรองจะเท่ากันใช่หรือไม่

ใช้เวลาของคุณ หากคุณนับจำนวนครั้งที่คุณสามารถแพ้ได้ คุณจะจบลงด้วย 20 ไม่ใช่ 18 หากคุณเล่น 36 ครั้ง เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง คุณจะชนะ จำนวนเงินทั้งหมด$18 หากผลลัพธ์ที่ดีทั้งหมดเกิดขึ้น แต่คุณจะเสียเงินทั้งหมด 20 ดอลลาร์หากคุณได้รับผลลัพธ์ที่ไม่น่าพอใจทั้ง 20 รายการ ผลก็คือ คุณจะตามหลังเล็กน้อย: คุณเสียเงินสุทธิเฉลี่ย 2 ดอลลาร์สำหรับทุก ๆ 36 เกม (คุณยังสามารถพูดได้ว่าคุณเสียเงินเฉลี่ย 1/18 ต่อวัน) ตอนนี้คุณคงเห็นว่าการทำผิดพลาดในกรณีนี้นั้นง่ายเพียงใดและคำนวณความน่าจะเป็นไม่ถูกต้อง

การจัดเรียงใหม่

จนถึงตอนนี้เราได้สันนิษฐานว่าลำดับของตัวเลขเมื่อโยนลูกเต๋าไม่สำคัญ การทอย 2 + 4 เหมือนกับการทอย 4 + 2 ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะนับจำนวนผลลัพธ์ที่ดีด้วยตนเอง แต่บางครั้ง วิธีนี้ทำไม่ได้และควรใช้สูตรทางคณิตศาสตร์จะดีกว่า

ตัวอย่างของสถานการณ์นี้มาจากเกมลูกเต๋า Farkle ในแต่ละรอบใหม่ คุณจะหมุน 6d6 หากคุณโชคดีและได้รับทั้งหมด ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 1-2-3-4-5-6 (ตรง) คุณจะได้รับโบนัสก้อนโต โอกาสที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้นคืออะไร? ในกรณีนี้ มีตัวเลือกมากมายในการรับชุดค่าผสมนี้

วิธีแก้มีดังนี้ ลูกเต๋าหนึ่งลูก (และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น) ต้องมีหมายเลข 1 หมายเลข 1 จะปรากฏบนลูกเต๋าหนึ่งลูกได้กี่วิธี? มี 6 ตัวเลือกเนื่องจากมีลูกเต๋า 6 ลูกและลูกเต๋าใดลูกหนึ่งก็สามารถตกเป็นหมายเลข 1 ได้ ดังนั้นให้หยิบลูกเต๋าหนึ่งลูกแล้ววางไว้ข้างๆ ตอนนี้ลูกเต๋าที่เหลือหนึ่งลูกควรหมุนหมายเลข 2 มี 5 ตัวเลือกสำหรับสิ่งนี้ นำลูกเต๋าอีกลูกแล้ววางไว้ข้างๆ จากนั้นลูกเต๋าที่เหลือ 4 ลูกอาจลง 3 ได้ 3 ลูกเต๋าที่เหลืออาจลง 4 และลูกเต๋าที่เหลือ 2 ลูกอาจลง 5 ได้ สิ่งนี้จะทำให้คุณมีหนึ่งตายที่ควรลง 6 (ใน กรณีหลังมีผู้เสียชีวิตเพียงรายเดียวและไม่มีทางเลือก)

ในการคำนวณจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับการตีเส้นตรง เราจะคูณตัวเลือกอิสระต่างๆ ทั้งหมด: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - ดูเหมือนว่าจะมีค่อนข้างน้อย จำนวนมากตัวเลือกสำหรับการรับชุดค่าผสมนี้

ในการคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้เส้นตรง เราต้องหาร 720 ด้วยจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการกลิ้ง 6d6 จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเท่าไร? ลูกเต๋าแต่ละลูกสามารถมีได้ 6 ด้าน ดังนั้นเราจึงคูณ 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (จำนวนที่มากกว่าจำนวนก่อนหน้ามาก) หาร 720 ด้วย 46656 แล้วเราจะได้ความน่าจะเป็นประมาณ 1.5% หากคุณกำลังออกแบบเกมนี้ มันจะเป็นประโยชน์สำหรับคุณที่จะรู้สิ่งนี้ เพื่อที่คุณจะได้สามารถสร้างระบบการให้คะแนนตามนั้นได้ ตอนนี้เราเข้าใจแล้วว่าทำไมใน Farkle คุณจะได้รับโบนัสก้อนโตหากคุณทำตรง: นี่เป็นสถานการณ์ที่ค่อนข้างหายาก

ผลลัพธ์ก็น่าสนใจเช่นกันด้วยเหตุผลอื่น ตัวอย่างแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นในช่วงเวลาสั้นๆ แทบจะไม่เกิดขึ้นเลย แน่นอนว่าถ้าเราทอยลูกเต๋าหลายพันลูกเต๋า ใบหน้าที่แตกต่างกันลูกเต๋าก็จะเกิดขึ้นค่อนข้างบ่อย แต่เมื่อเราโยนลูกเต๋าไปเพียงหกลูก มันแทบไม่เคยเกิดขึ้นเลยที่ทุกหน้าจะโผล่ขึ้นมา เห็นได้ชัดว่าเป็นการโง่ที่จะคาดหวังว่าจะมีบรรทัดที่ยังไม่เกิดขึ้นเพราะ "เราไม่ได้ทอยเลข 6 มาเป็นเวลานาน" ฟังนะ เครื่องกำเนิดตัวเลขสุ่มของคุณเสีย

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความเข้าใจผิดทั่วไปที่ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่ความถี่เดียวกันในช่วงเวลาสั้นๆ ถ้าเราโยนลูกเต๋าหลาย ๆ ครั้ง ความถี่ที่แต่ละด้านจะหลุดออกจะไม่เท่ากัน

หากคุณเคยเล่นเกมออนไลน์โดยใช้โปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มมาก่อน คุณคงประสบปัญหาที่ผู้เล่นเขียนถึงฝ่ายสนับสนุนทางเทคนิคโดยบ่นว่าโปรแกรมสร้างตัวเลขสุ่มไม่แสดงตัวเลขสุ่ม เขามาถึงข้อสรุปนี้เพราะเขาฆ่ามอนสเตอร์ 4 ตัวติดต่อกันและได้รับรางวัลที่เหมือนกันทั้งหมด 4 รางวัล และรางวัลเหล่านี้ควรปรากฏเพียง 10% ของเวลาเท่านั้น ดังนั้นเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้แทบจะไม่เคยเกิดขึ้นเลย

คุณกำลังทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ ความน่าจะเป็นคือ 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 นั่นคือ 1 ผลลัพธ์จาก 10,000 ค่อนข้างมาก กรณีที่หายาก- นี่คือสิ่งที่ผู้เล่นพยายามจะบอกคุณ ในกรณีนี้จะมีปัญหาหรือไม่?

ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสถานการณ์ ขณะนี้มีผู้เล่นกี่คนบนเซิร์ฟเวอร์ของคุณ? สมมติว่าคุณมีเกมที่ได้รับความนิยมและมีผู้เล่นนับแสนคนทุกวัน ผู้เล่นสามารถฆ่ามอนสเตอร์สี่ตัวติดต่อกันได้กี่คน? อาจจะทั้งหมด หลายครั้งต่อวัน แต่สมมติว่าครึ่งหนึ่งเป็นเพียงการแลกเปลี่ยนกัน วัตถุที่แตกต่างกันในการประมูล โต้ตอบบนเซิร์ฟเวอร์ RP หรือดำเนินการเกมอื่น ๆ - ดังนั้นมีเพียงครึ่งเดียวเท่านั้นที่ล่าสัตว์ประหลาด ความน่าจะเป็นที่คนจะได้รับรางวัลเดียวกันคือเท่าไร? ในสถานการณ์นี้ คุณสามารถคาดหวังได้ว่าสิ่งนี้จะเกิดขึ้นอย่างน้อยหลายครั้งต่อวัน

อย่างไรก็ตาม นี่คือสาเหตุที่ดูเหมือนว่าทุกๆ สองสามสัปดาห์จะมีคนถูกลอตเตอรี่ แม้ว่าคนนั้นจะไม่เคยเป็นคุณหรือใครก็ตามที่คุณรู้จักก็ตาม หากมีคนเล่นเป็นประจำมากพอ ก็มีโอกาสที่จะมีผู้เล่นที่โชคดีอย่างน้อยหนึ่งคนอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ถ้าคุณเล่นลอตเตอรีด้วยตัวเอง คุณก็ไม่น่าจะถูกรางวัล แต่คุณจะได้รับเชิญให้ไปทำงานที่ Infinity Ward

การ์ดและการเสพติด

เราได้พูดคุยถึงเหตุการณ์อิสระ เช่น การขว้างลูกเต๋า และตอนนี้เรารู้อะไรมากมายแล้ว เครื่องมืออันทรงพลังวิเคราะห์ความสุ่มในหลาย ๆ เกม การคำนวณความน่าจะเป็นจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อยเมื่อพูดถึงการจั่วไพ่จากสำรับ เนื่องจากไพ่แต่ละใบที่เราจั่วจะส่งผลต่อไพ่ที่เหลืออยู่ในสำรับ

หากคุณมีสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ คุณจะลบหัวใจ 10 ดวงออกจากสำรับและต้องการทราบความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบต่อไปจะเป็นดอกเดียวกัน - ความน่าจะเป็นเปลี่ยนจากต้นฉบับเพราะคุณได้ถอดไพ่ออกหนึ่งใบแล้ว ของหัวใจจากดาดฟ้า การ์ดแต่ละใบที่คุณนำออกจะเปลี่ยนความน่าจะเป็นที่การ์ดใบถัดไปจะปรากฏในสำรับ ในกรณีนี้ เหตุการณ์ก่อนหน้าส่งผลต่อสิ่งต่อไปนี้ ดังนั้นเราจึงเรียกความน่าจะเป็นนี้ว่าขึ้นอยู่กับ

โปรดทราบว่าเมื่อฉันพูดว่า "การ์ด" ฉันกำลังพูดถึงกลไกเกมใดๆ ที่คุณมีชุดของวัตถุ และคุณนำวัตถุชิ้นใดชิ้นหนึ่งออกโดยไม่ต้องเปลี่ยนมัน "สำรับไพ่" ในกรณีนี้คล้ายคลึงกับถุงชิปที่คุณหยิบชิปมาหนึ่งชิปหรือโกศที่ใช้ลูกบอลสี (ฉันไม่เคยเห็นเกมที่มีโกศที่ใช้ลูกบอลสีมา แต่ครู ของทฤษฎีความน่าจะเป็นว่าอะไร - เหตุผลที่ว่าทำไมตัวอย่างนี้จึงเป็นที่นิยม)

คุณสมบัติการพึ่งพา

ฉันอยากจะชี้แจงว่าเมื่อ เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับไพ่ ฉันเดาว่าคุณจะหยิบไพ่ออกมา ดูมัน แล้วเอามันออกจากสำรับ การกระทำแต่ละอย่างเหล่านี้เป็นทรัพย์สินที่สำคัญ ถ้าฉันมีสำรับไพ่หกใบที่มีหมายเลข 1 ถึง 6 ฉันจะสับไพ่และจั่วไพ่หนึ่งใบ จากนั้นสับไพ่ทั้งหกใบอีกครั้ง สิ่งนี้จะคล้ายกับการโยนลูกเต๋าหกด้านเพราะผลลัพธ์หนึ่งมี ไม่มีผลกับอันถัดไป และถ้าฉันหยิบไพ่ออกมาแล้วไม่แทนที่ ด้วยการหยิบไพ่ใบที่ 1 ฉันจะทำให้มีโอกาสมากขึ้นที่จะหยิบไพ่ใบที่ 6 ในครั้งต่อไป ความน่าจะเป็นจะเพิ่มขึ้นต่อไปจนกว่าฉันจะหยิบไพ่ออกมาในที่สุด การ์ดใบนั้นหรือสับไพ่

ความจริงที่ว่าเรากำลังดูไพ่ก็มีความสำคัญเช่นกัน ถ้าฉันเอาไพ่ออกจากสำรับแล้วไม่ดู ฉันก็จะไม่มี ข้อมูลเพิ่มเติมและในความเป็นจริงความน่าจะเป็นจะไม่เปลี่ยนแปลง นี่อาจฟังดูขัดกับสัญชาตญาณ วิธีพลิกไพ่แบบง่ายๆ อย่างน่าอัศจรรย์เปลี่ยนความน่าจะเป็นเหรอ? แต่ก็เป็นไปได้เพราะว่าคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับรายการที่ไม่ทราบได้จากสิ่งที่คุณรู้เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและเปิดเผยไพ่ 51 ใบ แต่ไม่มีไพ่ใดที่เป็นราชินีแห่งไพ่ คุณสามารถมั่นใจได้ 100% ว่าไพ่ที่เหลือนั้นเป็นราชินีแห่งไพ่ หากคุณสับไพ่สำรับมาตรฐานและหยิบไพ่ออกมา 51 ใบโดยไม่มองดู ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เหลือจะเป็นไพ่ควีนออฟคลับจะยังคงเป็น 1/52 เมื่อคุณเปิดการ์ดแต่ละใบ คุณจะได้รับข้อมูลเพิ่มเติม

การคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ขึ้นอยู่กับหลักการเดียวกันกับเหตุการณ์อิสระ ยกเว้นว่าจะซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยเนื่องจากความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนไปเมื่อคุณเปิดเผยไพ่ ดังนั้นคุณต้องคูณให้มาก ความหมายที่แตกต่างกันแทนที่จะคูณค่าเดียวกัน ความหมายจริงๆ ก็คือเราจำเป็นต้องรวมการคำนวณทั้งหมดที่เราทำเข้าด้วยกันเป็นชุดเดียว

ตัวอย่าง

คุณสับไพ่สำรับมาตรฐาน 52 ใบแล้วจั่วไพ่สองใบ ความน่าจะเป็นที่คุณจะวาดคู่เป็นเท่าใด? มีหลายวิธีในการคำนวณความน่าจะเป็นนี้ แต่บางทีวิธีที่ง่ายที่สุดก็คือ ความน่าจะเป็นที่หากคุณจั่วไพ่ใบเดียว คุณจะไม่สามารถจั่วไพ่คู่ได้เป็นเท่าใด ความน่าจะเป็นนี้เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สำคัญว่าคุณจั่วไพ่ใบแรกใบไหน ตราบใดที่มันตรงกับใบที่สอง ไม่ว่าเราจะจั่วไพ่ใบไหนก่อนก็ยังมีโอกาสจั่วคู่ได้ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะจั่วคู่หลังจากจั่วไพ่ใบแรกคือ 100%

ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองตรงกับใบแรกเป็นเท่าใด? มีไพ่ที่เหลืออยู่ 51 ใบในสำรับ และ 3 ใบตรงกับไพ่ใบแรก (จริงๆ แล้วจะมี 4 ใบจาก 52 ใบ แต่คุณได้เอาไพ่ที่ตรงกันออกแล้วหนึ่งใบเมื่อคุณจั่วไพ่ใบแรก) ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 1/ 17. ดังนั้นครั้งต่อไปที่คุณกำลังเล่น Texas Hold'em คนที่อยู่ตรงข้ามโต๊ะกับคุณพูดว่า “เจ๋ง อีกคู่หนึ่งเหรอ? วันนี้ฉันรู้สึกโชคดี” คุณจะรู้ว่ามีความเป็นไปได้สูงที่เขากำลังบลัฟ

จะเป็นอย่างไรถ้าเราเพิ่มโจ๊กเกอร์สองตัวเพื่อให้เรามีไพ่ 54 ใบในสำรับ และต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ไพ่คู่คืออะไร? ไพ่ใบแรกอาจเป็นโจ๊กเกอร์ จากนั้นจะมีไพ่ใบเดียวในสำรับที่ตรงกัน ไม่ใช่สามใบ จะหาความน่าจะเป็นในกรณีนี้ได้อย่างไร? เราจะหารความน่าจะเป็นและคูณความเป็นไปได้แต่ละรายการ

ไพ่ใบแรกของเราอาจเป็นไพ่โจ๊กเกอร์หรือไพ่ใบอื่น ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่โจ๊กเกอร์คือ 2/54 ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ใบอื่นคือ 52/54 ถ้าไพ่ใบแรกเป็นโจ๊กเกอร์ (2/54) ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบที่สองจะตรงกับใบแรกคือ 1/53 เราคูณค่า (เราสามารถคูณได้เนื่องจากเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกันและเราต้องการให้ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น) และเราได้ 1/1431 - น้อยกว่าหนึ่งในสิบของเปอร์เซ็นต์

หากคุณจั่วไพ่ใบอื่นก่อน (52/54) ความน่าจะเป็นที่จะจับคู่ไพ่ใบที่สองคือ 3/53 เราคูณค่าแล้วได้ 78/1431 (มากกว่า 5.5%) เล็กน้อย เราจะทำอย่างไรกับผลลัพธ์ทั้งสองนี้? พวกมันไม่ตัดกัน และเราต้องการทราบความน่าจะเป็นของแต่ละตัว เราจึงบวกค่าเข้าด้วยกัน เราได้ผลลัพธ์สุดท้ายที่ 79/1431 (ยังคงประมาณ 5.5%)

หากเราต้องการมั่นใจในความถูกต้องของคำตอบ เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของผลลัพธ์อื่นๆ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เช่น จั่วไพ่โจ๊กเกอร์แต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง หรือจั่วไพ่ใบอื่นแต่ไม่ตรงกับไพ่ใบที่สอง เมื่อสรุปความน่าจะเป็นเหล่านี้และความน่าจะเป็นที่จะชนะ เราจะได้ 100% พอดี ฉันจะไม่บอกคณิตศาสตร์ตรงนี้ แต่คุณสามารถลองคณิตศาสตร์เพื่อตรวจสอบอีกครั้งได้

มอนตี้ ฮอลล์ พาราด็อกซ์

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงซึ่งมักสร้างความสับสนให้กับผู้คนจำนวนมาก นั่นก็คือ Monty Hall Paradox ความขัดแย้งนี้ตั้งชื่อตามพิธีกรรายการทีวี Let's Make a Deal สำหรับผู้ที่ไม่เคยเห็นรายการทีวีนี้ มันตรงกันข้ามกับ The Price Is Right

ในราคาที่ถูกต้อง เจ้าของบ้าน (Bob Barker เคยเป็นเจ้าภาพ ตอนนี้ใครคือ Drew Carey ไม่เป็นไร) คือเพื่อนของคุณ เขาต้องการให้คุณชนะเงินหรือของรางวัลสุดเจ๋ง มันพยายามให้ทุกโอกาสแก่คุณในการชนะ ตราบใดที่คุณสามารถเดาได้ว่าสินค้าที่ผู้สนับสนุนซื้อนั้นมีมูลค่าเท่าไร

มอนตี้ ฮอลล์มีพฤติกรรมแตกต่างออกไป เขาเป็นเหมือนฝาแฝดที่ชั่วร้ายของ Bob Barker เป้าหมายของเขาคือการทำให้คุณดูเป็นคนงี่เง่าในโทรทัศน์ระดับชาติ หากคุณอยู่ในรายการ เขาเป็นคู่ต่อสู้ของคุณ คุณเล่นกับเขา และโอกาสก็เข้าข้างเขา บางทีฉันอาจรุนแรงเกินไป แต่เมื่อดูการแสดงที่คุณมีแนวโน้มที่จะสนใจมากขึ้นหากคุณสวมชุดไร้สาระ นั่นแหละสิ่งที่ฉันคิด

มีมที่โด่งดังที่สุดอย่างหนึ่งของรายการคือ มีประตูสามบานอยู่ตรงหน้าคุณ ประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 คุณสามารถเลือกหนึ่งประตูได้ฟรี เบื้องหลังหนึ่งในนั้นคือรางวัลอันทรงคุณค่า - เช่น รถใหม่ ไม่มีรางวัลหลังประตูอีกสองบาน ซึ่งทั้งสองประตูไม่มีค่าเลย พวกเขาควรจะทำให้คุณขายหน้า ดังนั้นเบื้องหลังพวกเขาจึงไม่ใช่แค่ไม่มีอะไร แต่ยังมีอะไรที่โง่ๆ เช่น แพะหรือยาสีฟันหลอดใหญ่ อะไรก็ได้นอกจากรถใหม่

คุณเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง มอนตี้กำลังจะเปิดประตูเพื่อแจ้งให้คุณทราบว่าคุณชนะหรือไม่... แต่เดี๋ยวก่อน ก่อนที่เราจะรู้ เรามาดูประตูบานใดบานหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกกันดีกว่า มอนตี้รู้ว่าประตูไหนที่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง และเขาสามารถเปิดประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลังได้ตลอดเวลา “คุณกำลังเลือกประตูหมายเลข 3 หรือไม่? งั้นเปิดประตูหมายเลข 1 แสดงว่าไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง” และตอนนี้ด้วยความเอื้ออาทรเขาจึงเสนอโอกาสให้คุณเปลี่ยนประตูหมายเลข 3 ที่เลือกไว้กับสิ่งที่อยู่ด้านหลังประตูหมายเลข 2

ณ จุดนี้ คำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นเกิดขึ้น: โอกาสนี้เพิ่มความน่าจะเป็นในการชนะของคุณ หรือลดลง หรือยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่? คุณคิดอย่างไร?

คำตอบที่ถูกต้อง: ความสามารถในการเลือกประตูอื่นเพิ่มความน่าจะเป็นที่จะชนะจาก 1/3 เป็น 2/3 นี่เป็นเรื่องไร้เหตุผล หากคุณไม่เคยพบกับความขัดแย้งนี้มาก่อน เป็นไปได้มากว่าคุณกำลังคิดว่า เดี๋ยวก่อน เป็นไปได้อย่างไรที่การเปิดประตูบานเดียวทำให้เราเปลี่ยนความน่าจะเป็นได้อย่างน่าอัศจรรย์? ดังที่เราได้เห็นในแผนที่แล้ว นี่คือสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเราได้รับข้อมูลเพิ่มเติม แน่นอนว่าเมื่อคุณเลือกครั้งแรก ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 เมื่อประตูบานหนึ่งเปิดขึ้น ความน่าจะเป็นที่จะชนะตัวเลือกแรกจะไม่เปลี่ยนเลย ความน่าจะเป็นยังคงเป็น 1/3 แต่ความน่าจะเป็นที่อีกประตูถูกคือ 2/3

ลองดูตัวอย่างนี้จากมุมมองที่ต่างออกไป คุณเลือกประตู ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ฉันขอแนะนำให้คุณเปลี่ยนประตูอีกสองบาน ซึ่งเป็นสิ่งที่มอนตี้ ฮอลล์ทำ แน่นอนว่าเขาเปิดประตูบานหนึ่งเพื่อเผยให้เห็นว่าไม่มีรางวัลอยู่เบื้องหลัง แต่เขาสามารถทำเช่นนั้นได้เสมอ ดังนั้นมันจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลย แน่นอนว่าคุณจะต้องเลือกประตูอื่น

หากคุณไม่ค่อยเข้าใจคำถามและต้องการคำอธิบายที่น่าเชื่อถือกว่านี้ ให้คลิกที่ลิงก์นี้เพื่อเข้าสู่แอปพลิเคชัน Flash ตัวเล็กๆ ที่จะช่วยให้คุณสามารถสำรวจความขัดแย้งนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น คุณสามารถเล่นโดยเริ่มจากประตูประมาณ 10 ประตู จากนั้นค่อยๆ ไต่ระดับไปจนถึงเกมที่มีสามประตู นอกจากนี้ยังมีเครื่องจำลองที่คุณสามารถเล่นกับประตูจำนวนเท่าใดก็ได้ตั้งแต่ 3 ถึง 50 ประตู หรือเล่นเกมจำลองหลายพันแบบ แล้วดูว่าคุณจะชนะกี่ครั้งถ้าคุณเล่น

เลือกหนึ่งในสามประตู - ความน่าจะเป็นที่จะชนะคือ 1/3 ตอนนี้คุณมีสองกลยุทธ์: เปลี่ยนตัวเลือกของคุณหลังจากเปิดประตูผิดหรือไม่ หากคุณไม่เปลี่ยนตัวเลือก ความน่าจะเป็นจะยังคงเป็น 1/3 เนื่องจาก ทางเลือกกำลังจะมาเฉพาะช่วงแรกเท่านั้นและคุณต้องเดาทันที หากคุณเปลี่ยนแปลง คุณก็สามารถชนะได้หากคุณเลือกประตูผิดก่อน (จากนั้นพวกเขาจะเปิดประตูผิดอีกบาน ประตูที่ถูกต้องยังคงอยู่ - โดยการเปลี่ยนการตัดสินใจของคุณ คุณจะรับมัน) ความน่าจะเป็นในการเลือกประตูผิดตั้งแต่เริ่มต้นคือ 2/3 - ปรากฎว่าเมื่อเปลี่ยนการตัดสินใจ คุณจะมีโอกาสชนะเป็นสองเท่า

ข้อสังเกตจากอาจารย์ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นและผู้เชี่ยวชาญด้านความสมดุลของเกม Maxim Soldatov - แน่นอนว่า Schreiber ไม่มีเธอ แต่ถ้าไม่มีเธอคุณก็สามารถเข้าใจสิ่งนี้ได้ การเปลี่ยนแปลงที่มีมนต์ขลังค่อนข้างยาก

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของ Monty Hall

ในส่วนของการแสดง แม้ว่าคู่ต่อสู้ของ Monty Hall จะไม่เก่งคณิตศาสตร์ แต่เขาก็สามารถทำได้ดี นี่คือสิ่งที่เขาทำเพื่อเปลี่ยนแปลงเกมเล็กน้อย หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง ซึ่งมีโอกาส 1/3 เกิดขึ้น ประตูนั้นจะเสนอทางเลือกให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ คุณจะเลือกรถแล้วเปลี่ยนเป็นแพะ แล้วคุณจะดูงี่เง่ามาก ซึ่งเป็นสิ่งที่คุณต้องการเลยเพราะฮอลเป็นคนประเภทที่ชั่วร้าย

แต่ถ้าคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัลอยู่ข้างหลัง เขาจะขอให้คุณเลือกอีกครึ่งหนึ่งเท่านั้น หรือเขาจะให้คุณดูแพะตัวใหม่ของคุณแล้วคุณจะออกจากเวที มาวิเคราะห์เรื่องนี้กัน เกมใหม่โดยมอนตี้ ฮอลล์สามารถตัดสินใจได้ว่าจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นหรือไม่

สมมติว่าเขาทำตามอัลกอริธึมนี้: หากคุณเลือกประตูที่มีรางวัล เขาจะเสนอโอกาสให้คุณเลือกประตูอื่นเสมอ ไม่เช่นนั้นเขาก็จะเสนอให้คุณเลือกประตูอื่นหรือให้แพะแก่คุณเท่าๆ กัน ความน่าจะเป็นของคุณที่จะชนะคืออะไร?

ในหนึ่งใน สามตัวเลือกคุณเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรางวัลทันทีและผู้นำเสนอขอเชิญคุณเลือกประตูอื่น

จากสองตัวเลือกที่เหลือจากสามตัวเลือก (ในตอนแรกคุณเลือกประตูที่ไม่มีรางวัล) ครึ่งหนึ่งของกรณีที่ผู้นำเสนอจะเสนอให้คุณเปลี่ยนการตัดสินใจและในอีกครึ่งหนึ่งของกรณี - ไม่

ครึ่งหนึ่งของ 2/3 คือ 1/3 นั่นคือในกรณีหนึ่งในสามคุณจะได้แพะ ในกรณีหนึ่งในสามคุณจะเลือกประตูผิดและเจ้าบ้านจะขอให้คุณเลือกประตูอื่น และในหนึ่ง กรณีจากสามคุณจะเลือกประตูที่ถูกต้อง แต่เขากลับเสนออีกประตูหนึ่ง

หากผู้นำเสนอเสนอให้เลือกประตูอื่น เราก็รู้อยู่แล้วว่ากรณีหนึ่งในสามกรณีที่เขาให้แพะเราและเราจากไปนั้นไม่เกิดขึ้น นี้ ข้อมูลที่เป็นประโยชน์: หมายความว่าโอกาสในการชนะของเราเปลี่ยนไป สองกรณีจากสามกรณีที่เรามีโอกาสเลือก: ในกรณีหนึ่งหมายความว่าเราเดาถูก และอีกกรณีหนึ่งเราเดาผิด ดังนั้นหากเราได้รับโอกาสในการเลือกเลย ความน่าจะเป็นของการชนะของเรา คือ 1/2 และจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ไม่สำคัญว่าคุณจะเลือกประตูอื่นหรือเลือกประตูอื่น

เช่นเดียวกับโป๊กเกอร์ มันเป็นเกมจิตวิทยา ไม่ใช่เกมทางคณิตศาสตร์ ทำไมมอนตี้ถึงเสนอทางเลือกให้คุณ? เขาคิดว่าคุณเป็นคนธรรมดาที่ไม่รู้ว่าการเลือกประตูอื่นเป็นการตัดสินใจที่ "ถูกต้อง" และจะยึดมั่นในการเลือกของเขาอย่างดื้อรั้น (ท้ายที่สุดแล้วในทางจิตวิทยา สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้น,เลือกรถแล้วหาย)?

หรือเขาตัดสินใจว่าคุณฉลาดและจะเลือกประตูอื่น เขาเสนอโอกาสนี้ให้คุณเพราะเขารู้ว่าคุณทายถูกตั้งแต่แรกและจะติดใจ? หรือบางทีเขาอาจจะใจดีอย่างไม่เคยมีมาก่อนและกดดันให้คุณทำสิ่งที่เป็นประโยชน์กับคุณเพราะเขาไม่ได้แจกรถมาสักพักแล้วและโปรดิวเซอร์บอกว่าคนดูเริ่มเบื่อแล้วจะดีกว่าถ้าแจกรางวัลใหญ่เร็วๆ นี้ เรตติ้งตกเหรอ?

ด้วยวิธีนี้ มอนตี้จึงเสนอทางเลือกในบางครั้งและในเวลาเดียวกัน ความน่าจะเป็นโดยรวมเงินรางวัลยังคงเท่ากับ 1/3 โปรดจำไว้ว่าความน่าจะเป็นที่คุณจะสูญเสียทันทีคือ 1/3 ความน่าจะเป็นที่คุณจะทายถูกทันทีคือ 1/3 และ 50% ของครั้งนั้นคุณจะชนะ (1/3 x 1/2 = 1/6)

โอกาสที่คุณจะทายผิดในตอนแรกแต่ต่อมามีโอกาสเลือกประตูอื่นคือ 1/3 และครึ่งหนึ่งของครั้งนั้นคุณจะชนะ (เช่น 1/6 เช่นกัน) เพิ่มความเป็นไปได้ในการชนะโดยอิสระสองรายการ และคุณจะได้รับความน่าจะเป็น 1/3 ดังนั้นไม่สำคัญว่าคุณจะยึดติดกับตัวเลือกของคุณหรือเลือกประตูอื่น ความน่าจะเป็นโดยรวมของคุณที่จะชนะตลอดทั้งเกมคือ 1/3

ความน่าจะเป็นไม่ได้ยิ่งใหญ่กว่าในสถานการณ์เมื่อคุณเดาประตูและผู้นำเสนอก็แสดงให้คุณเห็นว่ามีอะไรอยู่เบื้องหลังโดยไม่ต้องเสนอให้เลือกประตูอื่น ประเด็นของข้อเสนอไม่ใช่เพื่อเปลี่ยนความน่าจะเป็น แต่เพื่อทำให้กระบวนการตัดสินใจสนุกสนานในการรับชมทางโทรทัศน์มากขึ้น

อย่างไรก็ตาม นี่เป็นเหตุผลหนึ่งว่าทำไมโป๊กเกอร์ถึงน่าสนใจมาก: ในรูปแบบส่วนใหญ่ ระหว่างรอบที่มีการเดิมพัน (เช่น ฟล็อป เทิร์น และริเวอร์ใน Texas Hold'em) ไพ่จะค่อยๆ เผยออกมา และหากตอนเริ่มเกมคุณมีโอกาสชนะหนึ่งครั้ง จากนั้นหลังจากแต่ละรอบการเดิมพันเมื่อเปิด การ์ดเพิ่มเติมความน่าจะเป็นนี้เปลี่ยนไป

ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

สิ่งนี้นำเราไปสู่ความขัดแย้งที่รู้จักกันดีซึ่งตามกฎแล้วทำให้ทุกคนไขปริศนา - ความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง สิ่งเดียวที่ฉันเขียนเกี่ยวกับวันนี้ซึ่งไม่เกี่ยวข้องโดยตรงกับเกม (แม้ว่าฉันเดาว่าฉันควรจะสนับสนุนให้คุณสร้างกลไกเกมที่เหมาะสม) นี่เป็นปริศนามากกว่า แต่เป็นปริศนาที่น่าสนใจ และเพื่อที่จะแก้ไขมัน คุณต้องเข้าใจความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ซึ่งเราได้พูดถึงไปแล้วข้างต้น

ปัญหา: ฉันมีเพื่อนที่มีลูกสองคน อย่างน้อยหนึ่งในนั้นก็เป็นเด็กผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร? สมมติว่าในครอบครัวใดก็ตาม โอกาสที่จะมีเด็กหญิงและเด็กชายคือ 50/50 และนี่เป็นเรื่องจริงสำหรับเด็กแต่ละคน

ในความเป็นจริง ผู้ชายบางคนมีสเปิร์มที่มีโครโมโซม X หรือโครโมโซม Y อยู่ในตัวอสุจิมากกว่า ดังนั้นโอกาสจึงเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย หากคุณรู้ว่าเด็กคนหนึ่งเป็นเด็กผู้หญิง โอกาสที่จะมีลูกสาวคนที่สองก็จะสูงขึ้นเล็กน้อย และยังมีเงื่อนไขอื่นๆ อีก เช่น ภาวะกระเทย แต่การแก้ปัญหานี้เราจะไม่คำนึงถึงเรื่องนี้และถือว่าการเกิดของเด็กคือ เหตุการณ์อิสระและการเกิดของเด็กชายและเด็กหญิงก็มีแนวโน้มเท่าเทียมกัน

เนื่องจากเรากำลังพูดถึงโอกาส 1/2 ตามสัญชาตญาณแล้ว เราคาดว่าคำตอบน่าจะเป็น 1/2 หรือ 1/4 หรือจำนวนอื่นๆ ที่เป็นจำนวนเท่าของ 2 ในตัวส่วน แต่คำตอบคือ 1/3. ทำไม

ปัญหาที่นี่คือข้อมูลที่เรามีลดจำนวนความเป็นไปได้ สมมติว่าพ่อแม่เป็นแฟนพันธุ์แท้ของ Sesame Street และไม่ว่าเด็กๆ จะเป็นเพศใดก็ตาม ให้ตั้งชื่อพวกเขาว่า A และ B ภายใต้สภาวะปกติ มีความเป็นไปได้ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันสี่ประการ: A และ B เป็นเด็กชายสองคน A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคน A เป็นเด็กผู้ชาย และ B เป็นเด็กผู้หญิง A เป็นเด็กผู้หญิง และ B เป็นเด็กผู้ชาย เนื่องจากเรารู้ว่าเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นเด็กผู้หญิง เราจึงตัดความเป็นไปได้ที่ A และ B จะเป็นเด็กชายสองคนได้ นี่ทำให้เรามีความเป็นไปได้สามประการ - ยังคงมีความเป็นไปได้เท่ากัน หากความเป็นไปได้ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันและมี 3 รายการ ความน่าจะเป็นของแต่ละรายการคือ 1/3 มีเพียงหนึ่งในสามตัวเลือกเท่านั้นที่เป็นทั้งเด็กผู้หญิง ดังนั้นคำตอบคือ 1/3

และอีกครั้งเกี่ยวกับความขัดแย้งของเด็กชายและเด็กหญิง

การแก้ปัญหาก็ไร้เหตุผลมากยิ่งขึ้น ลองนึกภาพเพื่อนของฉันมีลูกสองคน และหนึ่งในนั้นเป็นผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร สมมติว่าภายใต้สภาวะปกติ เด็กสามารถเกิดได้ทุกวันในเจ็ดวันของสัปดาห์โดยมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ความน่าจะเป็นที่ลูกคนที่สองจะเป็นเด็กผู้หญิงเป็นเท่าไร?

คุณอาจคิดว่าคำตอบจะยังคงเป็น 1/3: วันอังคารสำคัญอะไร? แต่ถึงแม้ในกรณีนี้ สัญชาตญาณของเราก็ล้มเหลว คำตอบคือ 13/27 ซึ่งไม่เพียงแต่ไม่เป็นไปตามสัญชาตญาณเท่านั้น แต่ยังแปลกมากอีกด้วย ในกรณีนี้คืออะไร?

อันที่จริง วันอังคารเปลี่ยนความน่าจะเป็นเนื่องจากเราไม่รู้ว่าเด็กคนไหนเกิดในวันอังคาร หรือบางทีอาจเกิดทั้งสองคนในวันอังคาร ในกรณีนี้ เราใช้ตรรกะเดียวกัน: เรานับทุกอย่าง การรวมกันที่เป็นไปได้เมื่อมีเด็กอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้หญิงที่เกิดในวันอังคาร เช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ สมมติว่ารายการย่อยมีชื่อว่า A และ B ชุดค่าผสมมีลักษณะดังนี้:

• A คือเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B เป็นเด็กผู้ชาย (ในสถานการณ์นี้มีความเป็นไปได้ 7 ประการ โดยหนึ่งอย่างสำหรับแต่ละวันในสัปดาห์ที่เด็กผู้ชายจะเกิดได้)
• B เป็นเด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร A เป็นเด็กผู้ชาย (เป็นไปได้ 7 ประการด้วย)
• A - เด็กผู้หญิงที่เกิดวันอังคาร B - เด็กผู้หญิงที่เกิดในวันอื่นของสัปดาห์ (6 ความเป็นไปได้)
• B คือเด็กหญิงที่เกิดวันอังคาร A คือเด็กหญิงที่ไม่ได้เกิดวันอังคาร (มีความน่าจะเป็น 6 ประการด้วย)
• A และ B เป็นเด็กผู้หญิงสองคนที่เกิดวันอังคาร (มีความเป็นไปได้ 1 ข้อ คุณต้องใส่ใจเรื่องนี้เพื่อไม่ให้นับซ้ำ)

เรารวมเข้าด้วยกันได้ 27 รายการที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันของการเกิดของเด็กและวัน โดยมีความเป็นไปได้ที่จะเกิดของเด็กผู้หญิงในวันอังคารอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ในจำนวนนี้มีความเป็นไปได้ 13 ประการเมื่อเด็กหญิงสองคนเกิดมา ดูเหมือนว่าจะไร้เหตุผลโดยสิ้นเชิง - ดูเหมือนว่า งานนี้ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพียงเพื่อทำให้เกิด ปวดศีรษะ- หากคุณยังคงสับสน เว็บไซต์ของ Jesper Juhl นักทฤษฎีเกมมีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับปัญหานี้

หากคุณกำลังเล่นเกมอยู่

หากมีการสุ่มในเกมที่คุณกำลังออกแบบ นี่เป็นเวลาที่ดีในการวิเคราะห์มัน เลือกองค์ประกอบบางอย่างที่คุณต้องการวิเคราะห์ ก่อนอื่นให้ถามตัวเองว่าคุณคาดหวังความน่าจะเป็นเป็นเท่าใด ขององค์ประกอบนี้สิ่งที่ควรจะเป็นในบริบทของเกม

ตัวอย่างเช่น หากคุณกำลังสร้างเกม RPG และคุณสงสัยว่าความน่าจะเป็นที่ผู้เล่นจะเอาชนะสัตว์ประหลาดในการต่อสู้ควรเป็นเท่าใด ให้ถามตัวเองว่าเปอร์เซ็นต์การชนะที่คุณรู้สึกเหมาะสมคืออะไร โดยปกติแล้วในเกม RPG คอนโซล ผู้เล่นจะรู้สึกเสียใจมากเมื่อพ่ายแพ้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่สุดหากแพ้ไม่บ่อยนัก - 10% ของเวลาหรือน้อยกว่านั้น หากคุณเป็นนักออกแบบ RPG คุณอาจรู้ดีกว่าฉัน แต่คุณจำเป็นต้องมี แนวคิดพื้นฐาน, ความน่าจะเป็นควรเป็นเท่าใด

จากนั้นถามตัวเองว่าความน่าจะเป็นของคุณขึ้นอยู่กับ (เช่น ไพ่) หรือเป็นอิสระ (เช่น ลูกเต๋า) วิเคราะห์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้และความน่าจะเป็นทั้งหมด ตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลรวมของความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ 100% และแน่นอน เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้รับกับความคาดหวังของคุณ คุณสามารถทอยลูกเต๋าหรือจั่วไพ่ได้ตามต้องการหรือชัดเจนว่าต้องปรับค่าต่างๆ และแน่นอน หากคุณพบข้อบกพร่องใดๆ คุณสามารถใช้การคำนวณเดียวกันนี้เพื่อกำหนดว่าจะต้องเปลี่ยนแปลงค่ามากน้อยเพียงใด

การบ้านที่ได้รับมอบหมาย

ของคุณ การบ้าน” สัปดาห์นี้จะช่วยให้คุณฝึกฝนทักษะความน่าจะเป็น นี่คือเกมลูกเต๋าสองเกมและเกมไพ่หนึ่งเกมที่คุณจะวิเคราะห์โดยใช้ความน่าจะเป็น เช่นเดียวกับกลไกเกมแปลก ๆ ที่ฉันเคยพัฒนาซึ่งจะทดสอบวิธีมอนติคาร์โล

เกม #1 - กระดูกมังกร

นี่คือเกมลูกเต๋าที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเคยคิดขึ้นมา (ขอบคุณ Jeb Heavens และ Jesse King) - มันทำให้จิตใจของผู้คนทึ่งด้วยความน่าจะเป็นโดยเฉพาะ มันเป็นเกมคาสิโนง่ายๆ ที่เรียกว่า Dragon Dice และเป็นการแข่งขันลูกเต๋าการพนันระหว่างผู้เล่นและเจ้ามือ

คุณจะได้รับตาย 1d6 ปกติ เป้าหมายของเกมคือการทอยตัวเลขให้สูงกว่าบ้าน ทอมได้รับ 1d6 ที่ไม่ได้มาตรฐาน - เช่นเดียวกับของคุณ แต่บนใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งแทนที่จะเป็นหน่วยจะมีรูปมังกร (ดังนั้นคาสิโนจึงมีลูกบาศก์มังกร - 2-3-4-5-6 ). หากบ้านมีมังกร มันจะชนะโดยอัตโนมัติและคุณจะแพ้ หากได้รับทั้งคู่ หมายเลขเดียวกัน- เสมอกัน และคุณทอยลูกเต๋าอีกครั้ง ผู้ที่หมุนหมายเลขสูงสุดจะเป็นผู้ชนะ

แน่นอนว่าทุกอย่างไม่ได้เป็นไปตามความต้องการของผู้เล่นเลย เพราะคาสิโนมีข้อได้เปรียบในรูปแบบของขอบมังกร แต่นี่เป็นเรื่องจริงเหรอ? นี่คือสิ่งที่คุณต้องคำนวณ แต่ตรวจสอบสัญชาตญาณของคุณก่อน

สมมติว่าอัตราต่อรองคือ 2 ต่อ 1 ดังนั้นหากคุณชนะ คุณจะเก็บเงินเดิมพันไว้และได้รับเงินเดิมพันเป็นสองเท่า ตัวอย่างเช่น หากคุณเดิมพัน 1 ดอลลาร์และชนะ คุณจะเก็บดอลลาร์นั้นไว้และได้เพิ่มอีก 2 ดอลลาร์ รวมเป็น 3 ดอลลาร์ หากคุณแพ้ คุณจะเสียเงินเดิมพันเท่านั้น คุณจะเล่นไหม? คุณรู้สึกโดยสัญชาตญาณว่าความน่าจะเป็นนั้นมากกว่า 2 ต่อ 1 หรือคุณยังคิดว่ามันน้อยกว่าหรือไม่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยเฉลี่ยมากกว่า 3 เกม คุณคาดหวังที่จะชนะมากกว่าหนึ่งครั้ง หรือน้อยกว่า หรือหนึ่งครั้ง?

เมื่อคุณเข้าใจสัญชาตญาณแล้ว ให้ใช้คณิตศาสตร์ ลูกเต๋าทั้งสองมีตำแหน่งที่เป็นไปได้เพียง 36 ตำแหน่ง ดังนั้นคุณจึงสามารถนับทั้งหมดได้โดยไม่มีปัญหา หากคุณไม่แน่ใจเกี่ยวกับข้อเสนอ 2 ต่อ 1 ให้ลองพิจารณาสิ่งนี้: สมมติว่าคุณเล่นเกม 36 ครั้ง (เดิมพัน 1 ดอลลาร์ในแต่ละครั้ง) ทุกครั้งที่ชนะ คุณจะได้รับ 2 ดอลลาร์ ทุกครั้งที่แพ้ คุณจะเสีย 1 ดอลลาร์ และการเสมอกันจะไม่เปลี่ยนแปลงอะไร คำนวณชัยชนะและความสูญเสียที่เป็นไปได้ทั้งหมดของคุณ และตัดสินใจว่าคุณจะแพ้หรือได้เงินดอลลาร์บ้าง แล้วถามตัวเองว่าสัญชาตญาณของคุณถูกต้องแค่ไหน แล้วจะรู้ว่าฉันเป็นคนร้ายขนาดไหน

และใช่ หากคุณคิดเกี่ยวกับคำถามนี้แล้ว ฉันตั้งใจทำให้คุณสับสนโดยบิดเบือนกลไกที่แท้จริงของเกมลูกเต๋า แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถเอาชนะอุปสรรคนี้ได้ด้วยความคิดเพียงเล็กน้อย พยายามแก้ไขปัญหานี้ด้วยตัวเอง

เกมที่ 2 - เสี่ยงโชค

นี้ การพนันในลูกเต๋าที่เรียกว่า "ม้วนโชค" (หรือ "กรงนก" ก็ได้ เพราะบางครั้งลูกเต๋าจะไม่ทอยแต่วางอยู่ในกรงลวดขนาดใหญ่ ชวนให้นึกถึงกรงจากบิงโก) เกมนี้เรียบง่ายและโดยพื้นฐานแล้วมีเนื้อหาดังนี้: เดิมพัน เช่น 1 ดอลลาร์จากตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 จากนั้นคุณทอย 3d6 สำหรับการตายแต่ละครั้ง หมายเลขของคุณตกลง คุณจะได้รับ 1 ดอลลาร์ (และคงเงินเดิมพันเดิมไว้) หากหมายเลขของคุณไม่ปรากฏบนลูกเต๋าใดๆ คาสิโนจะได้รับเงินดอลลาร์ของคุณและคุณจะไม่ได้อะไรเลย ดังนั้น หากคุณเดิมพันที่ 1 และได้ 1 ที่ด้านข้างสามครั้ง คุณจะได้รับ 3 ดอลลาร์

โดยสัญชาตญาณดูเหมือนว่าเกมนี้มีโอกาสเท่ากัน การตายแต่ละครั้งมีโอกาสชนะ 1 ใน 6 ของแต่ละบุคคล ดังนั้นจากผลรวมของการทอยทั้งสามครั้ง โอกาสในการชนะของคุณคือ 3 ใน 6 อย่างไรก็ตาม จำไว้ว่าคุณกำลังเพิ่มลูกเต๋าสามลูกแยกจากกัน และคุณได้รับอนุญาตเท่านั้น เพิ่มหากเรากำลังพูดถึงชุดค่าผสมการชนะที่แยกจากกันของลูกเต๋าเดียวกัน สิ่งที่คุณจะต้องคูณ

เมื่อคุณคำนวณผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด (อาจจะทำได้ง่ายกว่าใน Excel มากกว่าด้วยมือ เนื่องจากมี 216 ผลลัพธ์) เกมยังคงดูแปลกแม้จะมองแวบแรกก็ตาม ในความเป็นจริง คาสิโนยังมีโอกาสชนะที่ดีกว่า – มากกว่านี้อีกเท่าไหร่? โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณคาดหวังที่จะเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าใดในแต่ละรอบการเล่น?

สิ่งที่คุณต้องทำคือบวกผลชนะและแพ้ของผลลัพธ์ทั้งหมด 216 รายการ แล้วหารด้วย 216 ซึ่งน่าจะค่อนข้างง่าย แต่อย่างที่คุณเห็น มีข้อผิดพลาดหลายประการที่นี่ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ฉันพูดว่า: ถ้าคุณคิดว่าเกมนี้มีโอกาสที่จะชนะ คุณก็คิดผิดไปหมดแล้ว

เกม #3 - โป๊กเกอร์สตั๊ดไพ่ 5 ใบ

หากคุณได้อุ่นเครื่องกับเกมก่อนหน้านี้แล้ว เรามาดูกันดีกว่าว่าเรารู้อะไรบ้าง ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขโดยใช้เกมไพ่ใบนี้เป็นตัวอย่าง ลองจินตนาการถึงเกมโป๊กเกอร์ที่มีสำรับไพ่ 52 ใบ ลองจินตนาการถึงไพ่สตั๊ด 5 ใบ โดยที่ผู้เล่นแต่ละคนจะได้รับไพ่เพียง 5 ใบเท่านั้น คุณไม่สามารถทิ้งการ์ดได้ คุณไม่สามารถจั่วการ์ดใหม่ได้ ไม่มีสำรับที่ใช้ร่วมกัน คุณจะได้รับการ์ดเพียง 5 ใบเท่านั้น

รอยัลฟลัชคือ 10-J-Q-K-A ในมือเดียว มีทั้งหมดสี่แต้ม ดังนั้นจึงมีสี่แต้ม วิธีที่เป็นไปได้รับรอยัลฟลัช คำนวณความน่าจะเป็นที่คุณจะได้ชุดค่าผสมดังกล่าว

ฉันต้องเตือนคุณถึงสิ่งหนึ่ง: จำไว้ว่าคุณสามารถจั่วไพ่ห้าใบนี้ในลำดับใดก็ได้ นั่นคือก่อนอื่นคุณสามารถจั่วเอซหรือสิบได้ไม่สำคัญ ดังนั้นในขณะที่คุณคำนวณ โปรดจำไว้ว่าจริงๆ แล้วมีมากกว่าสี่วิธีในการได้รอยัลฟลัช โดยสมมติว่าไพ่ถูกแจกตามลำดับ

เกมที่ 4 - ลอตเตอรี IMF

ปัญหาที่สี่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่าย ๆ โดยใช้วิธีที่เราพูดถึงในวันนี้ แต่คุณสามารถจำลองสถานการณ์ได้อย่างง่ายดายโดยใช้การเขียนโปรแกรมหรือ Excel เป็นตัวอย่างของปัญหานี้ที่คุณสามารถหาวิธีมอนติคาร์โลได้

ฉันพูดถึงเกม Chron X ก่อนหน้านี้ซึ่งฉันเคยทำและมีการ์ดที่น่าสนใจใบหนึ่งนั่นคือลอตเตอรี IMF นี่คือวิธีการทำงาน: คุณใช้มันในเกม หลังจากจบรอบ การ์ดจะถูกแจกจ่ายซ้ำ และมีโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากการเล่น และผู้เล่นสุ่มจะได้รับทรัพยากรแต่ละประเภท 5 หน่วยซึ่งมีโทเค็นปรากฏบนการ์ดนั้น ไพ่ถูกเข้าสู่การเล่นโดยไม่มีชิปตัวเดียว แต่ทุกครั้งที่มันยังคงอยู่ในการเล่นเมื่อเริ่มรอบถัดไป จะได้รับหนึ่งชิป

ดังนั้นจึงมีโอกาส 10% ที่ถ้าคุณใส่มันลงเล่น รอบจะจบลง การ์ดจะออกจากเกม และจะไม่มีใครได้อะไรเลย หากสิ่งนี้ไม่เกิดขึ้น (โอกาส 90%) ก็มีโอกาส 10% (จริง ๆ แล้ว 9% เนื่องจากเป็น 10% ของ 90%) ที่ในรอบต่อไปเธอจะออกจากเกมและบางคนจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย หากการ์ดออกจากเกมหลังจากหนึ่งรอบ (10% ของ 81% ที่มีอยู่ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 8.1%) บางคนจะได้รับ 10 หน่วย อีกรอบ - 15 อีกครั้ง - 20 และอื่น ๆ คำถาม: ค่าคาดหวังโดยทั่วไปของจำนวนทรัพยากรที่คุณจะได้รับจากการ์ดใบนี้เมื่อออกจากเกมในที่สุดคือเท่าไร?

โดยปกติเราจะพยายามแก้ไขปัญหานี้โดยการคำนวณความเป็นไปได้ของแต่ละผลลัพธ์แล้วคูณด้วยจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด มีโอกาส 10% ที่คุณจะได้ 0 (0.1 * 0 = 0) 9% ที่คุณจะได้รับทรัพยากร 5 หน่วย (9% * 5 = 0.45 ทรัพยากร) 8.1% ของสิ่งที่คุณจะได้รับคือ 10 (ทรัพยากร 8.1%*10=0.81 - มูลค่าที่คาดหวังโดยรวม) และอื่นๆ แล้วเราจะสรุปทั้งหมดให้ฟัง

และตอนนี้ปัญหาก็ชัดเจนสำหรับคุณ: มีโอกาสเสมอที่การ์ดจะไม่ออกจากเกมมันสามารถอยู่ในเกมได้ตลอดไปเพราะ จำนวนอนันต์รอบ จึงไม่มีทางที่จะคำนวณทุกความน่าจะเป็นได้ วิธีการที่เราศึกษาในวันนี้ไม่อนุญาตให้เราคำนวณการเรียกซ้ำแบบไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นเราจะต้องสร้างมันขึ้นมาเอง

หากคุณเก่งพอในการเขียนโปรแกรม ให้เขียนโปรแกรมที่จะจำลองแผนที่นี้ คุณควรมีไทม์ลูปที่นำตัวแปรมา ตำแหน่งเริ่มต้นศูนย์ แสดงตัวเลขสุ่มและมีความน่าจะเป็น 10% ที่ตัวแปรจะออกจากลูป มิฉะนั้นจะเพิ่ม 5 ให้กับตัวแปรและวนซ้ำ เมื่อออกจากลูปในที่สุด ให้เพิ่มจำนวนการทดลองใช้ทั้งหมดขึ้น 1 และจำนวนทรัพยากรทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรสิ้นสุดที่ใด) จากนั้นรีเซ็ตตัวแปรและเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง

รันโปรแกรมหลายพันครั้ง ในตอนท้าย ให้หารจำนวนทรัพยากรทั้งหมดด้วยจำนวนการวิ่งทั้งหมด ซึ่งจะเป็นค่ามอนติคาร์โลที่คุณคาดหวัง รันโปรแกรมหลายๆ ครั้งเพื่อให้แน่ใจว่าตัวเลขที่คุณได้รับนั้นใกล้เคียงกัน หากการกระจายยังคงมีขนาดใหญ่ ให้เพิ่มจำนวนการทำซ้ำในลูปด้านนอกจนกว่าคุณจะเริ่มได้แมตช์ คุณสามารถมั่นใจได้ว่าตัวเลขใดก็ตามที่คุณลงท้ายด้วยจะถูกต้องโดยประมาณ

หากคุณยังใหม่กับการเขียนโปรแกรม (แม้ว่าคุณจะเป็น) ต่อไปนี้คือแบบฝึกหัดสั้นๆ เพื่อทดสอบทักษะ Excel ของคุณ หากคุณเป็นนักออกแบบเกม ทักษะเหล่านี้จะไม่มีวันฟุ่มเฟือย

ตอนนี้ฟังก์ชัน if และ rand จะมีประโยชน์สำหรับคุณมาก Rand ไม่ต้องการค่า เพียงสร้างค่าสุ่มขึ้นมา เลขทศนิยมจาก 0 ถึง 1 โดยปกติแล้วเราจะรวมมันเข้ากับพื้นและข้อดีและข้อเสียเพื่อจำลองการทอยลูกเต๋าที่ผมกล่าวไว้ก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีนี้ เราเพียงทิ้งโอกาส 10% ที่การ์ดจะออกจากเกม ดังนั้นเราจึงสามารถตรวจสอบได้ว่าค่าแรนด์น้อยกว่า 0.1 หรือไม่ และไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป

ถ้ามีสามความหมาย ตามลำดับ: เงื่อนไขที่เป็นจริงหรือเท็จ จากนั้นค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นจริง และค่าที่ส่งคืนหากเงื่อนไขเป็นเท็จ ดังนั้น ฟังก์ชั่นถัดไปจะกลับมา 5% ของเวลา และ 0 ที่เหลือ 90% ของเวลา: =ถ้า(แรนด์()<0.1,5,0) .

มีหลายวิธีในการตั้งค่าคำสั่งนี้ แต่ฉันจะใช้สูตรนี้สำหรับเซลล์ที่แสดงถึงรอบแรก สมมติว่าเป็นเซลล์ A1: =ถ้า(แรนด์()<0.1,0,-1) .

ที่นี่ฉันใช้ตัวแปรลบเพื่อหมายถึง "การ์ดใบนี้ยังไม่ออกจากเกมและยังไม่หมดทรัพยากรใดๆ" ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากการเล่น A1 จะเป็น 0; มิฉะนั้นจะเป็น –1

สำหรับเซลล์ถัดไปที่เป็นตัวแทนของรอบที่สอง: =IF(A1>-1, A1, IF(แรนด์()<0.1,5,-1)) - ดังนั้นหากรอบแรกจบลงและไพ่ออกจากเกมทันที A1 จะเป็น 0 (จำนวนทรัพยากร) และเซลล์นี้จะคัดลอกค่านั้น มิฉะนั้น A1 จะเป็น -1 (การ์ดยังไม่ได้ออกจากเกม) และเซลล์นี้ยังคงเคลื่อนที่แบบสุ่ม: 10% ของเวลาที่มันจะคืนทรัพยากร 5 หน่วย เวลาที่เหลือมูลค่าของมันจะยังคงเท่ากับ -1. หากเราใช้สูตรนี้กับเซลล์เพิ่มเติม เราจะได้รอบเพิ่มเติม และเซลล์ใดก็ตามที่คุณอยู่ได้จะให้ผลลัพธ์สุดท้ายแก่คุณ (หรือ -1 หากการ์ดไม่เคยออกจากเกมหลังจากคุณเล่นทุกรอบแล้ว)

นำเซลล์แถวนั้นซึ่งแสดงถึงรอบเดียวที่มีการ์ดใบนั้น แล้วคัดลอกและวางแถวหลายร้อย (หรือพัน) แถว เราอาจไม่สามารถทำการทดสอบ Excel แบบไม่มีที่สิ้นสุดได้ (ในตารางมีจำนวนเซลล์จำกัด) แต่อย่างน้อยเราก็สามารถครอบคลุมกรณีส่วนใหญ่ได้ จากนั้นเลือกเซลล์หนึ่งเซลล์ที่คุณจะวางค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ของทุกรอบ - Excel จะให้ฟังก์ชัน Average() ที่เป็นประโยชน์สำหรับสิ่งนี้

บน Windows อย่างน้อยคุณก็สามารถกด F9 เพื่อคำนวณตัวเลขสุ่มทั้งหมดใหม่ได้ เช่นเคย ให้ทำเช่นนี้หลายครั้งแล้วดูว่าคุณได้ค่าเท่ากันหรือไม่ หากสเปรดใหญ่เกินไป ให้เพิ่มจำนวนการวิ่งเป็นสองเท่าแล้วลองอีกครั้ง

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข

หากคุณมีวุฒิการศึกษาระดับปริญญาในทฤษฎีความน่าจะเป็นและปัญหาข้างต้นดูเหมือนง่ายเกินไปสำหรับคุณ นี่คือปัญหาสองข้อที่ฉันครุ่นคิดมานานหลายปี แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์พอที่จะแก้ปัญหาเหล่านั้น

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไข #1: ลอตเตอรี IMF

ปัญหาแรกที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขคือการบ้านที่มอบหมายก่อนหน้านี้ ฉันสามารถใช้วิธี Monte Carlo ได้อย่างง่ายดาย (โดยใช้ C ++ หรือ Excel) และมั่นใจในคำตอบของคำถาม "ผู้เล่นจะได้รับทรัพยากรจำนวนเท่าใด" แต่ฉันไม่รู้ว่าจะให้คำตอบที่พิสูจน์ได้อย่างแน่นอนในทางคณิตศาสตร์อย่างไร (คือ ซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุด)

ปัญหาที่ยังไม่ได้แก้ไข #2: ลำดับของตัวเลข

ปัญหานี้ (มันยังไปไกลกว่างานที่แก้ไขในบล็อกนี้ด้วย) เพื่อนนักเล่นเกมมอบให้ฉันเมื่อสิบกว่าปีที่แล้ว ในขณะที่เล่นแบล็คแจ็คในเวกัส เขาสังเกตเห็นสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เมื่อเขาถอดไพ่ออกจากรองเท้า 8 สำรับ เขาเห็นตัวเลขสิบตัวติดต่อกัน (ตัวเลขหรือไพ่หน้าคือ 10 โจ๊กเกอร์ คิงหรือควีน ดังนั้นจึงมี 16 ตัวใน รวมในไพ่มาตรฐาน 52 สำรับหรือ 128 ใบในฐานไพ่ 416 ใบ)

ความน่าจะเป็นที่รองเท้านี้มีอย่างน้อยหนึ่งลำดับที่มีตัวเลขสิบตัวขึ้นไปคือเท่าใด สมมติว่าพวกมันถูกสับอย่างยุติธรรมโดยสุ่มลำดับ หรือถ้าคุณต้องการ ความน่าจะเป็นที่ลำดับของตัวเลขตั้งแต่สิบตัวขึ้นไปจะไม่เกิดขึ้นที่ใดเลยคือเท่าใด

เราสามารถทำให้งานง่ายขึ้น นี่คือลำดับของ 416 ส่วน แต่ละส่วนคือ 0 หรือ 1 มี 128 ส่วนและศูนย์ 288 ตัวกระจายแบบสุ่มตลอดลำดับ มีกี่วิธีในการสุ่มกระจาย 128 ตัวกับศูนย์ 288 ตัว และกี่ครั้งในลักษณะเหล่านี้ที่จะมีอย่างน้อย 1 กลุ่มที่มีตั้งแต่ 10 ตัวขึ้นไป?

ทุกครั้งที่ฉันเริ่มแก้ไขปัญหานี้ มันดูเหมือนง่ายและชัดเจนสำหรับฉัน แต่ทันทีที่ฉันเจาะลึกรายละเอียด มันก็พังทลายลงและดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลย

ดังนั้นอย่ารีบโพล่งคำตอบ: นั่งลง คิดให้รอบคอบ ศึกษาเงื่อนไข พยายามแทนจำนวนจริง เพราะทุกคนที่ฉันได้พูดคุยด้วยเกี่ยวกับปัญหานี้ (รวมถึงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาหลายคนที่ทำงานในสาขานี้) ต่างก็มีปฏิกิริยาโต้ตอบ เหมือนกัน: “มันชัดเจนมาก... โอ้ ไม่ เดี๋ยวก่อน มันไม่ชัดเจนเลย” นี่เป็นกรณีที่ฉันไม่มีวิธีการคำนวณตัวเลือกทั้งหมด แน่นอนว่าฉันสามารถบังคับปัญหาแบบเดรัจฉานผ่านอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์ได้ แต่การรู้วิธีแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จะน่าสนใจกว่ามาก

ทฤษฎีสั้น ๆ

ในการเปรียบเทียบเหตุการณ์ในเชิงปริมาณตามระดับความเป็นไปได้ของการเกิดขึ้น จะมีการแนะนำการวัดเชิงตัวเลข ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคือตัวเลขที่แสดงการวัดความเป็นไปได้ของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น

ปริมาณที่กำหนดความสำคัญของเหตุผลวัตถุประสงค์ที่คาดว่าจะเกิดเหตุการณ์นั้น มีลักษณะเฉพาะด้วยความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ต้องเน้นย้ำว่าความน่าจะเป็นเป็นปริมาณวัตถุประสงค์ที่มีอยู่อย่างเป็นอิสระจากผู้รู้และถูกกำหนดเงื่อนไขโดยเงื่อนไขทั้งหมดที่มีส่วนทำให้เกิดเหตุการณ์

คำอธิบายที่เราให้ไว้สำหรับแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นไม่ใช่คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากไม่ได้ให้แนวคิดเป็นจำนวน มีคำจำกัดความหลายประการของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาเฉพาะ (คลาสสิก คำจำกัดความทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็น สถิติ ฯลฯ)

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลดแนวคิดนี้ลงเหลือแนวคิดเบื้องต้นเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน ซึ่งไม่อยู่ภายใต้คำจำกัดความอีกต่อไป และถือว่ามีความชัดเจนโดยสัญชาตญาณ ตัวอย่างเช่น หากลูกเต๋าเป็นลูกบาศก์เนื้อเดียวกัน การสูญเสียหน้าใดๆ ของลูกบาศก์นี้ก็จะเป็นเหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน

ให้เหตุการณ์ที่น่าเชื่อถือถูกแบ่งออกเป็นกรณีที่เป็นไปได้เท่าๆ กัน โดยผลรวมจะเป็นเหตุการณ์นั้น นั่นคือกรณีที่พังทลายลงเรียกว่าเป็นผลดีต่อเหตุการณ์เนื่องจากการปรากฏตัวของหนึ่งในนั้นทำให้มั่นใจได้ว่าจะเกิดขึ้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะแสดงด้วยสัญลักษณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนกรณีที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นั้น จากจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ที่ไม่ซ้ำกัน เป็นไปได้เท่ากัน และเข้ากันไม่ได้ ต่อจำนวน เช่น

นี่คือคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น ดังนั้น ในการค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เมื่อพิจารณาผลลัพธ์ต่างๆ ของการทดสอบแล้ว จำเป็นต้องค้นหาชุดของกรณีที่เป็นไปได้เฉพาะ เป็นไปได้เท่าเทียมกัน และเข้ากันไม่ได้ คำนวณจำนวนทั้งหมด n จำนวนกรณี m ที่เป็นประโยชน์ เหตุการณ์ที่กำหนด จากนั้นจึงทำการคำนวณโดยใช้สูตรข้างต้น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลการทดลองที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์ต่อจำนวนผลการทดลองทั้งหมดเรียกว่า ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกเหตุการณ์สุ่ม

คุณสมบัติของความน่าจะเป็นต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความ:

คุณสมบัติ 1. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติ 2 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

คุณสมบัติ 3 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเป็นจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

คุณสมบัติ 4. ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะเกิดเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จะมีค่าเท่ากับหนึ่ง

คุณสมบัติ 5 ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ตรงกันข้ามถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A

จำนวนคดีที่สนับสนุนให้เกิดเหตุการณ์ตรงกันข้าม ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ตรงกันข้ามจะเกิดขึ้นจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างความสามัคคีและความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น:

ข้อได้เปรียบที่สำคัญของคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือด้วยความช่วยเหลือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องใช้ประสบการณ์ แต่ขึ้นอยู่กับการใช้เหตุผลเชิงตรรกะ

เมื่อตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้จะเกิดขึ้นอย่างแน่นอน แต่เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้จะไม่เกิดขึ้นอย่างแน่นอน ในบรรดาเหตุการณ์ที่อาจหรือไม่อาจเกิดขึ้นเมื่อมีการสร้างเงื่อนไขขึ้นมา การเกิดขึ้นของบางเหตุการณ์สามารถนับได้ด้วยเหตุผลที่ดี และการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่นๆ ที่มีเหตุผลน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น หากในโกศมีลูกบอลสีขาวมากกว่าลูกบอลสีดำ ก็มีเหตุผลมากกว่าที่จะหวังว่าจะมีลักษณะเป็นลูกบอลสีขาวเมื่อสุ่มออกมาจากโกศมากกว่าที่จะมีลักษณะเป็นลูกบอลสีดำ

หน้าถัดไปจะกล่าวถึง

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

กล่องหนึ่งประกอบด้วยลูกบอลสีขาว 8 ลูก สีดำ 4 ลูก และสีแดง 7 ลูก สุ่มจับลูกบอล 3 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้: – สุ่มลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก – มีลูกบอลสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก – มีลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูกและลูกบอลสีขาว 1 ลูก

การแก้ปัญหา

เราค้นหาจำนวนผลการทดสอบทั้งหมดเป็นจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบ 19 (8+4+7) ของ 3:

ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กัน– สุ่มลูกบอลสีแดงอย่างน้อย 1 ลูก (1,2 หรือ 3 ลูกสีแดง)

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ให้จัดงาน– มีลูกบอลสีเดียวกันอย่างน้อย 2 ลูก (ลูกบอลสีขาว 2 หรือ 3 ลูก, ลูกบอลสีดำ 2 หรือ 3 ลูก และลูกบอลสีแดง 2 หรือ 3 ลูก)

จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อเหตุการณ์:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

ให้จัดงาน– มีลูกบอลสีแดงและสีขาวอย่างน้อย 1 ลูก

(1 แดง, 1 ขาว, 1 ดำหรือ 1 แดง, 2 ขาวหรือ 2 แดง, 1 ขาว)

จำนวนผลลัพธ์ที่เอื้อต่อเหตุการณ์:

ความน่าจะเป็นที่ต้องการ:

คำตอบ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; ป(ล)=0.6068

ตัวอย่างที่ 2

มีการโยนลูกเต๋าสองลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมของคะแนนจะเท่ากับ 5 เป็นอย่างน้อย

สารละลาย

ให้กิจกรรมมีคะแนนอย่างน้อย 5

ลองใช้คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

จำนวนผลการทดสอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

จำนวนการทดลองที่สนับสนุนเหตุการณ์ที่สนใจ

ด้านที่หล่นของลูกเต๋าลูกแรก มีหนึ่งแต้ม สองแต้ม... หกแต้มอาจปรากฏขึ้น ในทำนองเดียวกัน ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หกประการเมื่อทอยลูกที่สอง แต่ละผลลัพธ์ของการขว้างลูกเต๋าลูกแรกสามารถนำมารวมกับผลลัพธ์ของลูกที่สองได้ ดังนั้น จำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมดจะเท่ากับจำนวนตำแหน่งที่มีการทำซ้ำ (ตัวเลือกที่มีตำแหน่ง 2 องค์ประกอบจากชุดเล่มที่ 6):

ลองหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกัน - ผลรวมคะแนนน้อยกว่า 5

การรวมกันของคะแนนที่ดรอปต่อไปนี้จะสนับสนุนกิจกรรม:

№

กระดูกที่ 1

กระดูกที่ 2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

เฉลี่ยค่าใช้จ่ายในการแก้การทดสอบคือ 700 - 1200 รูเบิล (แต่ไม่น้อยกว่า 300 รูเบิลสำหรับคำสั่งซื้อทั้งหมด) ราคาได้รับอิทธิพลอย่างมากจากความเร่งด่วนของการตัดสินใจ (ตั้งแต่หนึ่งวันไปจนถึงหลายชั่วโมง) ค่าใช้จ่ายในการช่วยเหลือออนไลน์สำหรับการสอบ / การทดสอบอยู่ที่ 1,000 รูเบิล สำหรับการแก้ตั๋ว

คุณสามารถฝากคำขอไว้ในแชทได้โดยตรง โดยก่อนหน้านี้ได้ส่งเงื่อนไขงานและแจ้งให้คุณทราบถึงกรอบเวลาสำหรับโซลูชันที่คุณต้องการ เวลาตอบสนองคือไม่กี่นาที

ตัวอย่างปัญหาที่เกี่ยวข้อง

สูตรความน่าจะเป็นทั้งหมด สูตรเบย์
เมื่อใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา เราจะพิจารณาสูตรความน่าจะเป็นทั้งหมดและสูตรเบย์ และยังอธิบายด้วยว่าสมมติฐานและความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคืออะไร

เมื่อโยนเหรียญก็บอกได้เลยว่าเหรียญจะหงายขึ้น หรือ ความน่าจะเป็น นี่คือ 1/2. แน่นอนว่าไม่ได้หมายความว่าหากโยนเหรียญ 10 ครั้ง เหรียญจะต้องตกหัว 5 ครั้ง ถ้าเหรียญ "ยุติธรรม" และถ้าโยนหลายครั้ง หัวจะตกลงมากครึ่งหนึ่งของเวลา ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมีอยู่สองประเภท: ทดลอง และ ตามทฤษฎี .

ความน่าจะเป็นเชิงทดลองและเชิงทฤษฎี

ถ้าเราโยนเหรียญหลายๆ ครั้ง เช่น 1,000 ครั้ง และนับจำนวนครั้งที่เหรียญตกหัว เราจะสามารถกำหนดความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกหัวได้ หากโยนหัว 503 ครั้ง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่มันจะตกได้:
503/1000 หรือ 0.503

นี้ ทดลอง การกำหนดความน่าจะเป็น คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้มาจากการสังเกตและการศึกษาข้อมูล ซึ่งค่อนข้างธรรมดาและมีประโยชน์มาก ตัวอย่างเช่น นี่คือความน่าจะเป็นบางส่วนที่ถูกกำหนดโดยการทดลอง:

1. ความน่าจะเป็นที่ผู้หญิงจะเป็นมะเร็งเต้านมคือ 1/11

2. หากคุณจูบคนที่เป็นหวัด ความน่าจะเป็นที่คุณจะเป็นหวัดด้วยคือ 0.07

3. ผู้ที่เพิ่งได้รับการปล่อยตัวออกจากเรือนจำมีโอกาสกลับเข้าเรือนจำถึง 80%

หากเราพิจารณาโยนเหรียญและคำนึงว่าเหรียญจะออกหัวหรือออกก้อยพอๆ กัน เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้หัว: 1/2 นี่คือคำจำกัดความทางทฤษฎีของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นอื่นๆ ต่อไปนี้ถูกกำหนดตามทฤษฎีโดยใช้คณิตศาสตร์:

1. ถ้าห้องหนึ่งมีคน 30 คน ความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันเกิดวันเดียวกัน (ไม่รวมปี) คือ 0.706

2. ระหว่างการเดินทาง คุณพบใครบางคน และในระหว่างการสนทนา คุณพบว่าคุณมีเพื่อนร่วมกัน ปฏิกิริยาโดยทั่วไป: “นี่เป็นไปไม่ได้!” อันที่จริงแล้ว วลีนี้ไม่เหมาะ เนื่องจากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ดังกล่าวค่อนข้างสูง - เพียงมากกว่า 22%

ดังนั้นความน่าจะเป็นในการทดลองจึงถูกกำหนดโดยการสังเกตและการรวบรวมข้อมูล ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีถูกกำหนดโดยใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของความน่าจะเป็นทางการทดลองและทางทฤษฎี เช่น ที่กล่าวไว้ข้างต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งสิ่งที่เราไม่คาดคิด จะนำเราไปสู่ความสำคัญของการศึกษาความน่าจะเป็น คุณอาจถามว่า "ความน่าจะเป็นที่แท้จริงคืออะไร" ในความเป็นจริงไม่มีสิ่งนั้น ความน่าจะเป็นภายในขีดจำกัดที่กำหนดสามารถกำหนดได้จากการทดลอง อาจตรงกับความน่าจะเป็นที่เราได้รับตามทฤษฎีหรือไม่ก็ได้ มีบางสถานการณ์ที่การระบุความน่าจะเป็นประเภทหนึ่งได้ง่ายกว่าประเภทอื่นมาก ตัวอย่างเช่น ก็เพียงพอแล้วที่จะหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นหวัดโดยใช้ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

การคำนวณความน่าจะเป็นเชิงทดลอง

ให้เราพิจารณาคำจำกัดความเชิงทดลองของความน่าจะเป็นก่อน หลักการพื้นฐานที่เราใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็นดังกล่าวมีดังนี้

หลักการ P (ทดลอง)

ถ้าในการทดลองที่มีการสังเกต n ครั้ง สถานการณ์หรือเหตุการณ์ E เกิดขึ้น m ครั้งในการสังเกต n ครั้ง ความน่าจะเป็นเชิงทดลองของเหตุการณ์ดังกล่าวจะเรียกว่า P (E) = m/n

ตัวอย่างที่ 1 การสำรวจทางสังคมวิทยา มีการศึกษาทดลองเพื่อหาจำนวนคนถนัดซ้าย คนถนัดขวา และคนที่มีมือทั้งสองข้างเท่ากัน ผลลัพธ์แสดงไว้ในกราฟ

ก) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดขวา

b) พิจารณาความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นถนัดซ้าย

c) กำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งจะพูดได้คล่องเท่ากันทั้งสองมือ

d) การแข่งขัน Professional Bowling Association ส่วนใหญ่จำกัดผู้เล่นไว้ที่ 120 คน จากข้อมูลจากการทดลองนี้ มีผู้เล่นที่ถนัดซ้ายได้กี่คน?

สารละลาย

ก) จำนวนคนที่ถนัดขวาคือ 82 คน, คนถนัดซ้ายคือ 17 คน และจำนวนคนที่ถนัดมือทั้งสองข้างเท่ากันคือ 1 จำนวนการสังเกตทั้งหมดคือ 100 ดังนั้น ความน่าจะเป็น ว่าคนถนัดขวาคือพี
P = 82/100 หรือ 0.82 หรือ 82%

b) ความน่าจะเป็นที่คนถนัดซ้ายคือ P โดยที่
P = 17/100 หรือ 0.17 หรือ 17%

c) ความน่าจะเป็นที่บุคคลจะพูดได้คล่องทั้งสองมือเท่ากันคือ P โดยที่
P = 1/100 หรือ 0.01 หรือ 1%

d) ผู้ขว้าง 120 คน และจาก (b) เราคาดหวังได้ว่า 17% เป็นคนถนัดซ้าย จากที่นี่
17% ของ 120 = 0.17.120 = 20.4,
นั่นคือเราสามารถคาดหวังได้ว่าจะมีผู้เล่นถนัดซ้ายประมาณ 20 คน

ตัวอย่างที่ 2 การควบคุมคุณภาพ - เป็นสิ่งสำคัญมากสำหรับผู้ผลิตที่จะต้องรักษาคุณภาพของผลิตภัณฑ์ไว้ในระดับสูง ในความเป็นจริง บริษัทต่างๆ จ้างผู้ตรวจสอบการควบคุมคุณภาพเพื่อรับรองกระบวนการนี้ เป้าหมายคือการผลิตผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่องให้น้อยที่สุด แต่เนื่องจากบริษัทผลิตสินค้าหลายพันรายการทุกวัน จึงไม่สามารถทดสอบผลิตภัณฑ์ทุกรายการเพื่อดูว่ามีข้อบกพร่องหรือไม่ หากต้องการค้นหาเปอร์เซ็นต์ของผลิตภัณฑ์ที่มีข้อบกพร่อง บริษัทจะทดสอบผลิตภัณฑ์น้อยลงมาก
USDA กำหนดให้ 80% ของเมล็ดพันธุ์ที่ผู้ปลูกขายต้องงอก เพื่อตรวจสอบคุณภาพของเมล็ดพันธุ์ที่บริษัทเกษตรกรรมผลิต จะต้องปลูกเมล็ดพันธุ์ 500 เมล็ดจากเมล็ดพันธุ์ที่ผลิต หลังจากนั้นจึงคำนวณได้ว่ามีเมล็ดงอก 417 เมล็ด

ก) ความน่าจะเป็นที่เมล็ดจะงอกเป็นเท่าใด?

b) เมล็ดพันธุ์เป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาลหรือไม่?

สารละลายก) เรารู้ว่าจากเมล็ดที่ปลูก 500 เมล็ด มีเมล็ดงอก 417 เมล็ด ความน่าจะเป็นของการงอกของเมล็ด P และ
P = 417/500 = 0.834 หรือ 83.4%

b) เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ของเมล็ดงอกเกิน 80% ตามที่กำหนด เมล็ดจึงเป็นไปตามมาตรฐานของรัฐบาล

ตัวอย่างที่ 3 เรตติ้งโทรทัศน์. ตามสถิติ มีครัวเรือนที่มีโทรทัศน์จำนวน 105,500,000 ครัวเรือนในสหรัฐอเมริกา ทุกสัปดาห์ข้อมูลเกี่ยวกับการรับชมรายการจะถูกรวบรวมและประมวลผล ในหนึ่งสัปดาห์ มีผู้ชม 7,815,000 ครัวเรือนรับชมซีรีส์ตลกยอดนิยมเรื่อง "Everybody Loves Raymond" ทางช่อง CBS และ 8,302,000 ครัวเรือนได้รับชมซีรีส์ยอดนิยมเรื่อง "Law & Order" ทางช่อง NBC (ที่มา: Nielsen Media Research) ความน่าจะเป็นที่ทีวีของครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "Everybody Loves Raymond" ในช่วงสัปดาห์ที่กำหนดเป็นเท่าใด

สารละลายความน่าจะเป็นที่ทีวีในครัวเรือนหนึ่งจะปรับเป็น "ใครๆ ก็รักเรย์มอนด์" คือ P และ
P = 7,815,000/105,500,000 µ 0.074 µ 7.4%
โอกาสที่ทีวีในครัวเรือนได้รับการปรับเป็น Law & Order คือ P และ
P = 8,302,000/105,500,000 µ 0.079 µ 7.9%
เปอร์เซ็นต์เหล่านี้เรียกว่าการให้คะแนน

ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี

สมมติว่าเรากำลังทำการทดลอง เช่น การขว้างเหรียญหรือลูกดอก การจั่วไพ่จากสำรับ หรือการทดสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ในสายการผลิต แต่ละผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดลองดังกล่าวเรียกว่า อพยพ - เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ผลลัพธ์ . เหตุการณ์ มันเป็นชุดของผลลัพธ์ นั่นคือ เซตย่อยของปริภูมิของผลลัพธ์

ตัวอย่างที่ 4 ขว้างปาเป้า สมมติว่าในการทดลองขว้างปาลูกดอก ลูกดอกจะเข้าเป้า ค้นหาแต่ละรายการต่อไปนี้:

b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
a) ผลลัพธ์คือ: กดปุ่มสีดำ (B), กดปุ่มสีแดง (R) และกดปุ่มสีขาว (B)

b) ช่องผลลัพธ์คือ (ช่องสีดำ ช่องสีแดง ช่องสีขาว) ซึ่งสามารถเขียนง่ายๆ ว่า (H, K, B)

ตัวอย่างที่ 5 การขว้างลูกเต๋า ลูกเต๋าคือลูกบาศก์ที่มีหกด้าน แต่ละด้านจะมีจุดหนึ่งถึงหกจุดวาดอยู่


สมมุติว่าเรากำลังขว้างลูกเต๋า หา
ก) ผลลัพธ์
b) พื้นที่ผลลัพธ์

สารละลาย
ก) ผลลัพธ์: 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) พื้นที่ผลลัพธ์ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

เราแสดงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นเป็น P(E) ตัวอย่างเช่น “เหรียญจะตกลงบนหัว” สามารถเขียนแทนด้วย H ได้ จากนั้น P(H) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่เหรียญจะตกลงบนหัว เมื่อผลลัพธ์ทั้งหมดของการทดสอบมีความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นเท่ากัน ก็จะถือว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน หากต้องการดูความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่มีโอกาสเท่าเทียมกันกับเหตุการณ์ที่ไม่เท่ากัน ให้พิจารณาเป้าหมายที่แสดงด้านล่าง

สำหรับเป้าหมาย A เหตุการณ์การชนสีดำ แดง และขาวมีความเป็นไปได้พอๆ กัน เนื่องจากส่วนสีดำ แดง และขาวเหมือนกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับเป้าหมาย B โซนที่มีสีเหล่านี้ไม่เหมือนกัน กล่าวคือ การชนนั้นไม่น่าจะเป็นไปได้เท่ากัน

หลักการ P (เชิงทฤษฎี)

หากเหตุการณ์ E สามารถเกิดขึ้นได้เป็น m จาก n ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันจากสเปซผลลัพธ์ S แล้ว ความน่าจะเป็นทางทฤษฎี เหตุการณ์ P(E) คือ
P(E) = ม/n

ตัวอย่างที่ 6ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าได้ 3 เป็นเท่าไหร่?

สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน 6 รายการบนลูกเต๋า และมีความเป็นไปได้เพียงทางเดียวเท่านั้นที่จะทอยเลข 3 จากนั้นความน่าจะเป็น P จะเป็น P(3) = 1/6

ตัวอย่างที่ 7ความน่าจะเป็นที่จะทอยเลขคู่บนลูกเต๋าเป็นเท่าใด?

สารละลายเหตุการณ์คือการขว้างเลขคู่ สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้ 3 วิธี (หากคุณหมุน 2, 4 หรือ 6) จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เท่ากันคือ 6 จากนั้นความน่าจะเป็น P(คู่) = 3/6 หรือ 1/2

เราจะใช้ตัวอย่างจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับสำรับไพ่มาตรฐาน 52 ใบ สำรับนี้ประกอบด้วยไพ่ที่แสดงในรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 8ความน่าจะเป็นในการจั่วไพ่เอซจากสำรับไพ่ที่สับอย่างดีคือเท่าไร?

สารละลายมีผลลัพธ์ 52 แบบ (จำนวนไพ่ในสำรับ) มีโอกาสเท่ากัน (ถ้าสับสำรับดี) และมีวิธีจั่วเอซได้ 4 วิธี ดังนั้นตามหลักการ P ความน่าจะเป็น
P(จั่วเอซ) = 4/52 หรือ 1/13

ตัวอย่างที่ 9สมมติว่าเราเลือกลูกบอลหนึ่งลูกจากถุงที่มีลูกบอลสีแดง 3 ลูกและสีเขียว 4 ลูกโดยไม่มอง ความน่าจะเป็นที่จะเลือกลูกบอลสีแดงเป็นเท่าใด?

สารละลายมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้พอๆ กัน 7 แบบในการจั่วลูกบอล และเนื่องจากจำนวนวิธีในการจับลูกบอลสีแดงคือ 3 เราจึงได้
P(การเลือกลูกบอลสีแดง) = 3/7

ข้อความต่อไปนี้เป็นผลจากหลักการ P

คุณสมบัติของความน่าจะเป็น

ก) ถ้าเหตุการณ์ E ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้น P(E) = 0
b) ถ้าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นแน่นอน ดังนั้น P(E) = 1
c) ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ E จะเกิดขึ้นคือตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1

ตัวอย่างเช่น ในการโยนเหรียญ เหตุการณ์ที่เหรียญตกลงบนขอบของมันมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 1

ตัวอย่างที่ 10สมมุติว่าจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบ ความน่าจะเป็นที่ทั้งคู่จะถึงจุดสูงสุดเป็นเท่าใด?

สารละลายจำนวนวิธีจั่วไพ่ 2 ใบจากสำรับไพ่ 52 ใบที่สับอย่างดีคือ 52 C 2 เนื่องจากไพ่ 13 ใบจากทั้งหมด 52 ใบเป็นโพดำ จำนวนวิธีที่ m จะจั่วไพ่ 2 โพดำคือ 13 C 2 แล้ว,
P(ดึง 2 ยอด)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17

ตัวอย่างที่ 11สมมติว่าสุ่มเลือกคน 3 คนจากกลุ่มชาย 6 คนและหญิง 4 คน ความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน เป็นเท่าไหร่?

สารละลายจำนวนวิธีเลือกสามคนจากกลุ่ม 10 คนคือ 10 C 3 ผู้ชายหนึ่งคนสามารถเลือกได้ 6 C 1 วิธี และผู้หญิง 2 คนสามารถเลือกได้ 4 C 2 วิธี ตามหลักการพื้นฐานของการนับ จำนวนวิธีเลือกชาย 1 คนและหญิง 2 คนคือ 6 C 1 4 ซี 2 . จากนั้นความน่าจะเป็นที่จะเลือกผู้ชาย 1 คน และผู้หญิง 2 คน คือ
ป = 6 ค 1 . 4 ค 2 / 10 ค 3 = 3/10

ตัวอย่างที่ 12 การขว้างลูกเต๋า ความน่าจะเป็นที่จะทอยลูกเต๋าสองลูกได้แต้มรวม 8 แต้มเป็นเท่าใด?

สารละลายลูกเต๋าแต่ละลูกมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ผลลัพธ์จะเพิ่มเป็นสองเท่า ซึ่งหมายความว่ามี 6.6 หรือ 36 วิธีที่เป็นไปได้ที่ตัวเลขบนลูกเต๋าสองลูกจะปรากฏ (จะดีกว่าถ้าลูกบาศก์แตกต่างกัน สมมติว่าอันหนึ่งเป็นสีแดงและอีกอันเป็นสีน้ำเงิน ซึ่งจะช่วยให้เห็นภาพผลลัพธ์)

คู่ตัวเลขที่รวมกันได้ 8 จะแสดงในรูปด้านล่าง มี 5 วิธีที่เป็นไปได้ในการหาผลรวมเท่ากับ 8 ดังนั้นความน่าจะเป็นคือ 5/36

นี่คืออัตราส่วนของจำนวนการสังเกตที่มีเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นต่อจำนวนการสังเกตทั้งหมด การตีความนี้เป็นที่ยอมรับในกรณีที่มีการสังเกตหรือการทดลองจำนวนมากเพียงพอ ตัวอย่างเช่น หากประมาณครึ่งหนึ่งของคนที่คุณพบบนถนนเป็นผู้หญิง คุณสามารถบอกได้ว่าความน่าจะเป็นที่คนที่คุณพบบนถนนจะเป็นผู้หญิงคือ 1/2 กล่าวอีกนัยหนึ่ง การประมาณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อาจเป็นความถี่ของการเกิดขึ้นในการทดลองสุ่มซ้ำอย่างอิสระชุดยาว

ความน่าจะเป็นในวิชาคณิตศาสตร์

ในแนวทางทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิก (นั่นคือ ไม่ใช่ควอนตัม) ถูกกำหนดโดยสัจพจน์ของโคลโมโกรอฟ ความน่าจะเป็นเป็นการวัด ปซึ่งถูกกำหนดไว้ในชุด เอ็กซ์เรียกว่าปริภูมิความน่าจะเป็น การวัดนี้ต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

จากเงื่อนไขเหล่านี้จะเป็นไปตามการวัดความน่าจะเป็น ปก็มีทรัพย์สินเช่นกัน บวก: ถ้าตั้งค่า ก 1 และ ก 2 ไม่ตัดกัน แล้ว . เพื่อพิสูจน์ว่าคุณต้องใส่ทุกอย่าง ก 3 , ก 4 , ... เท่ากับเซตว่างและใช้คุณสมบัติของการบวกที่นับได้

การวัดความน่าจะเป็นอาจไม่ได้กำหนดไว้สำหรับชุดย่อยทั้งหมดของชุด เอ็กซ์- ก็เพียงพอแล้วที่จะนิยามมันด้วยพีชคณิตซิกมา ซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยบางส่วนของเซต เอ็กซ์- ในกรณีนี้ เหตุการณ์สุ่มถูกกำหนดให้เป็นชุดย่อยของพื้นที่ที่สามารถวัดได้ เอ็กซ์นั่นคือ เป็นองค์ประกอบของพีชคณิตซิกมา

ความรู้สึกของความน่าจะเป็น

เมื่อเราพบว่าสาเหตุของข้อเท็จจริงที่เป็นไปได้เกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เราจะพิจารณาข้อเท็จจริงนั้น น่าจะเป็น, มิฉะนั้น - เหลือเชื่อ- ความเหนือกว่าของฐานบวกเหนือฐานลบ และในทางกลับกัน สามารถแสดงถึงเซตขององศาที่ไม่แน่นอน ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ ความน่าจะเป็น(และ ความไม่น่าจะเป็นไปได้) มันเกิดขึ้น มากกว่าหรือ น้อย .

ข้อเท็จจริงส่วนบุคคลที่ซับซ้อนไม่อนุญาตให้มีการคำนวณระดับความน่าจะเป็นที่แน่นอน แต่ถึงแม้ที่นี่สิ่งสำคัญคือต้องสร้างเขตการปกครองขนาดใหญ่บางแห่ง ตัวอย่างเช่น ในสาขากฎหมาย เมื่อมีการกำหนดข้อเท็จจริงส่วนบุคคลที่ต้องได้รับการพิจารณาคดีบนพื้นฐานของคำให้การ ความจริงนั้นก็จะยังคงอยู่ พูดอย่างเคร่งครัด มีเพียงความเป็นไปได้เท่านั้น และจำเป็นต้องรู้ว่าความน่าจะเป็นนี้มีนัยสำคัญเพียงใด ในกฎหมายโรมัน มีการนำการแบ่งสี่เท่ามาใช้ที่นี่: ภาคทัณฑ์เต็ม(โดยที่ความน่าจะเป็นกลายเป็นจริง ความน่าเชื่อถือ), แล้ว - ภาคทัณฑ์ลบเต็ม, แล้ว - ภาคทัณฑ์เซมิเพลนาเมเจอร์และในที่สุด ภาคทัณฑ์เซมิเพลนาไมเนอร์ .

นอกเหนือจากคำถามเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของคดีแล้ว ยังอาจเกิดคำถามขึ้น ทั้งในสาขากฎหมายและสาขาศีลธรรม (ด้วยมุมมองด้านจริยธรรมบางประการ) ว่าข้อเท็จจริงดังกล่าวมีแนวโน้มเพียงใดที่ข้อเท็จจริงที่กำหนดจะก่อให้เกิด การละเมิดกฎหมายทั่วไป คำถามนี้ซึ่งทำหน้าที่เป็นแรงจูงใจหลักในนิติศาสตร์ศาสนาของทัลมุดยังก่อให้เกิดโครงสร้างที่เป็นระบบที่ซับซ้อนมากและวรรณกรรมขนาดใหญ่ที่ไม่เชื่อและโต้แย้งในเทววิทยาทางศีลธรรมของนิกายโรมันคาทอลิก (โดยเฉพาะจากปลายศตวรรษที่ 16) ( ดูความน่าจะเป็น)

แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นทำให้เกิดการแสดงออกทางตัวเลขบางอย่างเมื่อใช้เฉพาะกับข้อเท็จจริงที่เป็นส่วนหนึ่งของอนุกรมที่เป็นเนื้อเดียวกันบางชุดเท่านั้น ดังนั้น (ในตัวอย่างที่ง่ายที่สุด) เมื่อมีคนโยนเหรียญร้อยครั้งติดต่อกัน เราจะพบชุดทั่วไปหรือชุดใหญ่ชุดหนึ่ง (ผลรวมของการตกของเหรียญทั้งหมด) ประกอบด้วยชุดส่วนตัวสองชุดหรือเล็กกว่า ในกรณีนี้เป็นตัวเลข เท่ากัน ซีรีส์ (ตก " หัว" และตก "ก้อย"); ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวในครั้งนี้ นั่นคือ สมาชิกใหม่ของซีรีย์ทั่วไปจะเป็นของซีรีย์เล็กสองชุดนี้ เท่ากับเศษส่วนที่แสดงความสัมพันธ์เชิงตัวเลขระหว่างซีรีย์เล็กนี้กับซีรีย์ที่ใหญ่กว่า คือ 1/2 นั่นคือ ความน่าจะเป็นเดียวกันเป็นของชุดใดชุดหนึ่งหรือชุดอื่นของชุดข้อมูลสองชุด ในตัวอย่างที่ไม่ซับซ้อนนี้ ไม่สามารถอนุมานข้อสรุปได้โดยตรงจากข้อมูลของปัญหา แต่ต้องมีการปฐมนิเทศก่อน ตัวอย่างเช่น คำถามคือ ความน่าจะเป็นที่ทารกแรกเกิดจะมีชีวิตถึงอายุ 80 ปีเป็นเท่าใด ในที่นี้จะต้องมีกลุ่มคนทั่วไปหรือกลุ่มใหญ่จำนวนหนึ่งที่เกิดในสภาพที่คล้ายคลึงกันและเสียชีวิตในวัยที่ต่างกัน (จำนวนนี้ต้องมากพอที่จะกำจัดการเบี่ยงเบนแบบสุ่ม และน้อยพอที่จะรักษาความเป็นเนื้อเดียวกันของซีรีส์ได้ สำหรับบุคคลที่เกิดในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในครอบครัวที่ร่ำรวยและมีวัฒนธรรมประชากรทั้งล้านที่แข็งแกร่งของเมืองส่วนสำคัญประกอบด้วยผู้คนจากกลุ่มต่าง ๆ ที่สามารถเสียชีวิตก่อนวัยอันควร - ทหาร, นักข่าว, คนงานในอาชีพที่เป็นอันตราย - เป็นตัวแทนของกลุ่มที่ต่างกันเกินไปสำหรับการพิจารณาความน่าจะเป็นที่แท้จริง) ให้ซีรีย์ทั่วไปนี้ประกอบด้วยชีวิตมนุษย์หมื่นคน ประกอบด้วยซีรีส์เล็กๆ ที่แสดงถึงจำนวนผู้รอดชีวิตในช่วงอายุหนึ่งๆ หนึ่งในชุดข้อมูลเล็กๆ เหล่านี้แสดงถึงจำนวนผู้ที่มีอายุถึง 80 ปี แต่ไม่สามารถระบุจำนวนซีรีส์ที่มีขนาดเล็กกว่านี้ได้ (เช่นเดียวกับชุดอื่นๆ ทั้งหมด) นิรนัย- สิ่งนี้กระทำโดยอุปนัยล้วนๆ ผ่านทางสถิติ สมมติว่าการศึกษาทางสถิติพบว่าจากชนชั้นกลางในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กจำนวน 10,000 คน มีเพียง 45 คนเท่านั้นที่จะมีชีวิตอยู่จนถึงอายุ 80 ปี ดังนั้น ชุดที่เล็กกว่านี้สัมพันธ์กับชุดที่ใหญ่กว่า เช่น 45 เท่ากับ 10,000 และความน่าจะเป็นที่บุคคลหนึ่งๆ จะอยู่ในชุดที่เล็กกว่านี้ กล่าวคือ มีอายุถึง 80 ปี จะแสดงเป็นเศษส่วนของ 0.0045 การศึกษาความน่าจะเป็นจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ถือเป็นวินัยพิเศษ - ทฤษฎีความน่าจะเป็น

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

วรรณกรรม

• อัลเฟรด เรนยี่. ตัวอักษรเกี่ยวกับความน่าจะเป็น / ทรานส์ จากประเทศฮังการี ดี. ซาส และ เอ. ครัมลีย์, eds. บี.วี. กเนเดนโก. ม.: มีร์. 1970
• Gnedenko B.V.หลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น ม. 2550 42 น.
• คุปต์ซอฟ วี.ไอ.ความมุ่งมั่นและความน่าจะเป็น ม., 2519. 256 น.

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.:

คำพ้องความหมาย:

คำตรงข้าม

ดูว่า "ความน่าจะเป็น" ในพจนานุกรมอื่นคืออะไร: วิทยาศาสตร์และปรัชญาทั่วไป หมวดหมู่ที่แสดงถึงระดับความเป็นไปได้เชิงปริมาณของการเกิดเหตุการณ์สุ่มมวลภายใต้เงื่อนไขการสังเกตคงที่ ซึ่งระบุลักษณะความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์ ในเชิงตรรกศาสตร์ ระดับความหมาย......

สารานุกรมปรัชญา ความน่าจะเป็น ตัวเลขในช่วงตั้งแต่ศูนย์ถึงหนึ่ง แสดงถึงความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์หนึ่งๆ จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ หมายถึง อัตราส่วนของจำนวนโอกาสที่เหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นต่อจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด... ...

พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค ในทุกโอกาส.. พจนานุกรมคำพ้องความหมายภาษารัสเซียและสำนวนที่คล้ายกัน ภายใต้. เอ็ด N. Abramova, M.: พจนานุกรมรัสเซีย, 1999. ความน่าจะเป็น, ความน่าจะเป็น, โอกาส, ความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์, Maza, การยอมรับ, ความเสี่ยง มด. เป็นไปไม่ได้......

ความน่าจะเป็นพจนานุกรมคำพ้องความหมาย - มาตรการที่เหตุการณ์หนึ่งมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้น หมายเหตุ คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นคือ “จำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 ที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์สุ่ม” ตัวเลขอาจสะท้อนความถี่สัมพัทธ์ในชุดการสังเกต... ...

คู่มือนักแปลด้านเทคนิคความน่าจะเป็น - “คุณลักษณะทางคณิตศาสตร์และตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์ใด ๆ ในเงื่อนไขเฉพาะบางประการที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง” ขึ้นอยู่กับคลาสสิกนี้......

พจนานุกรมเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ - (ความน่าจะเป็น) ความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์หรือผลลัพธ์บางอย่าง สามารถนำเสนอในรูปแบบของมาตราส่วนที่มีการหารตั้งแต่ 0 ถึง 1 หากความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นศูนย์ การเกิดขึ้นนั้นเป็นไปไม่ได้ ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 การเริ่มต้นของ...